Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (88.64 KB, 2 trang )
Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ
Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp hay trong giải phương
trình vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn,tuy nhiên cũng gây nhiều thắc
mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng
phổ biến nhất là dạng (ax+b)
e+dx+cx
2
=px
2
+qx+t.
Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp này.
Phương trình (ax+b)
e+dx+cx
2
=px
2
+qx+t có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ,
Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phương trình, Mục đích là đưa
phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn,có biệt thức Δ là một biểu thức chính
phương
Ví dụ mở đầu:
Giải phương trình 3x
2
+x+3+(8x−3)
1+2x
2
=0
-Lời giải: Phương trình tương đương với (3
1+2x
2
−x)(
1+2x
2
+3x−1)=0
Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp
Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử
phương trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ
đi tìm lời giải đáp.
Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào
nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô
tỷ thì sao.phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp
Bài toán trên còn có một lời giải khác:
Đặt
1+2x
2
=t ,phương trình trở thành:
3t
2
+(8x−3)t−3x
2
+x=0
Ta có : Δt =100x
2
−60x+9=(10x−3)
2
Từ đây dễ dàng giải tiếp
Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1
Ở cách giải thứ 2,hệ số của t
2
là 3,nếu hệ số khác có làm cho Δ chính phương không,đáp án là
không.
Vậy những số nào có thể thỏa mãn
Chúng ta gọi hệ số đó là m, khi đó phương trình trở thành
Mong muốn của chúng ta là : 3t
2
+(8x−3)t−3x
2
+x=0
mt
2
+(8x−3)t+3x
2
+x+3−m(2x
2
+1) = 0 ( do : + mt
2
thì −m(2x
2
+1) trở lại)
Chúng ta tìm m để Δt chính phương
Δt = (8x−3)
2
−4m[3x
2
+x+3−m(2x
2
+1)] = (8m
2
−12m+64)x
2
−(4m+48)x+4m
2
−4m+9
Δt chính phương khi phương trình Δ = 0 có nghiệm duy nhất,tức là:
ΔΔt = 0⇔−16m(8m
3
−36m
2
+117m−243)=0
Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm m=3,từ đó suy ra cách biến đổi phương trình
để có hai lời giải trên
Tổng quát: Phương trình (ax+b) .
e+dx+cx
2
= px
2
+qx+z
Viết lại phương trình thành: px
2
+qx+z−(ax+b) .
e+dx+cx
2
= 0
Đặt
e+dx+cx
2
=t
Ta sẽ biến đổi phương trình thành : mt
2
−(ax+b)t+P(x) = 0(1)
Với P(x)=x
2
+qx+z−m(cx
2
+dx+e) và Δt là một biểu thức chính phương,nhiệm vụ của chúng ta là
phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu
Viết lại phương trình (1) thành:
mt
2
−(ax+b)
e+dx+cx
2
+(1−mc)x
2
+(q−md)x+(z−e) = 0.
Δt = (ax+b)
2
−4m[(1−mc)x
2
+(q−md)x+(z−e)]
= (a
2
−4m+4m
2
c)x
2
+(2ab−4mq+4m
2
d)x+(b
2
−4mz+4me)
= Ax
2
+Bx+C
Để Δt chính phương khi phương trình Δ= 0 có nghiệm duy nhất,tức ΔΔt = 0
Hay B
2
−4AC = 0⇒(2ab−4mq+4m
2
d)
2
−4(a
2
−4m+4mc)(b
2
−4mz+4me)=0
Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng
m(a
1
x
3
+a
2
x
2
+a
3
x+a
4
)=0,phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó có một
nghiệm m=0
Sau khi tìm được giá trị m,ta dễ dàng giải quyết phương trinh (1)
VD: Giải phương trình −4x
2
+7+(2x−4)
2
x-2
=0
Đặt
2
x-2
=t
phương trình thành: −4x
2
+7+(2x−4) t =0
mt
2
−4x
2
+7+(2x−4) t −m(2-x
2
) = 0
mt
2
+(2x−4) t −4x
2
+7−m(2-x
2
) = 0
Bước tiếp theo đi tìm m
Δt = (2x−4)
2
−4m[−4x
2
+7−m(2−x
2
)]=(−4m
2
+16m+4)x
2
−16x+8m
2
−28m+16.
Δ′Δt = 64−(−4m
2
+16m+4)(8m
2
−28m+16)=32m
4
−240m
3
+480m
2
−144m
= m(32m
3
−240m
2
+480m−144) = 0
Giải phương trình ta tìm được nghiệm m = 3
Phương trinh viết lại thành 3t
2
+(2x−4)t−4x
2
+7−3(2−x
2
)=0
⇔3t
2
+2(x−2)t−x
2
+1=0
Δ′=(x−2)
2
−3(1−x
2
)=(2x−1)
2
⇒t =1−xt = x+13
Vậy là bài toán được giải quyết
