chuyen de chon loc ve luong giac
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (891.44 KB, 78 trang )
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
1
Ch :
HÀM S LNG GIÁC
I- LÝ THUYT:
0. Gii thiu tng quan v các hàm s lng giác:
∀ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤
(
)
(
)
( ) ( )
π π
π π
∀ ∈ + = + =
∀ ∈ + = + =
* Các giá tr c bit:
π π
π π π
π
π π π π
π
π π
= ⇔ = = − ⇔ = − + = ⇔ = +
= ⇔ = + = ⇔ = = − ⇔ = +
= ⇔ = = ⇔ = +
π
π
π π π
π π π
= − ⇔ = − +
= ⇔ = + = ⇔ = + = − ⇔ = − +
1. Hàm s y = sin x:
* TX:
=
* Tp giá tr:
∀ ∈ − ≤ ≤
.
* Hàm s y = sin x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k:
π
=
.
th:
2. Hàm s y = cos x:
* TX:
=
* Tp giá tr:
∀ ∈ − ≤ ≤
.
* Hàm s y = cos x là hàm s chn. * Tun hoàn vi chu k:
π
=
.
th:
y
x
-
π
π
π
2
-
π
2
O
1
y
x
1
-1
O
-
π
2
π
2
π
-
π
O
α
cotang
tang
sin
cos
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
2
3.
Hàm
s y = tan x:
* TX:
π
π
= + ∈
* Tp giá tr:
∀ ∈ ∈
.
* Hàm s y = tan x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k:
π
=
.
th:
3. Hàm s y = cot x:
* TX:
{
}
π
= ∈
* Tp giá tr:
∀ ∈ ∈
.
* Hàm s y = cot x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k:
π
=
.
th:
Dng toán 1: TP XÁC NH CA HÀM S LNG GIÁC
*Nhc li:
Mt s dng tìm Tp xác nh hàm s thng gp:
≥
=
≥
=
∈
=
!
"#$%
!
!
+
∈
=
≠
=
"#$%
!
!
y
x
O
y
x
O
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
3
( ) ( ) ( )
= ≠ ⇔ ≠ +
(
)
(
)
(
)
= ≠ ⇔ ≠
Bài tp 1: (Mc c bn) Tìm TX ca các hàm s sau:
π
= − = − −
+
= =
− −
Hng dn:
π π π π π π π
π
π π
π
π
π
− ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + = +
≠
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ =
≠
≠
⇔ ≠ ⇔ ≠ + =
≠
&'(
) &'(
&'(
{ }
π
π
π π
+
+
+ ≥ ∀ ∈
≥
−
− ≥ ∀ ∈
≠
≠ ⇔ ≠ =
* +
,-./0 &'(
Bài tp 2: (Mc trung bình) Tìm TX ca các hàm s sau:
2 2
3 3 2
a) b) c)
sin cos 2sin 1 cos cos3
= = =
− − −
y y y
x x x x x
Hng dn:
2
3 3
sin
2 \
2
1 5
2sin 1 sin \ 2 , 2
5
2
2
3 2
cos3 cos
3 2
π π π π π
π
π
π
π π
π π
π
π
π
π
= = −
−
≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + = +
≠ +
≠ ⇔ ≠ ⇔ = + +
≠ +
≠
≠ +
≠ ⇔ ⇔
≠ − +
&'(
) &'(
y
x x x
x x k x k D R k
x k
x x D R k k
x k
x k
x x k
x x
x x k
. \
4
4
π
π
π
=
≠
&'(
D R k
x k
Dng toán 2: TÌM GIÁ TR NH NHT- GIÁ TR LN NHT CA HSLG
Phng pháp:
Bc 1: S dng các k nng bin i có các BT và kt lun GTLN- GTNN.
Bc 2: Ch rõ GTLN- GTNN xãy ra trong trng hp nào?
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
4
Bài tp 1: (Mc c bn) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s sau:
= − = −
= + = −
Hng dn:
π
π
∀ ∈ − ≤ ≤
⇔ ≥ − ≥ −
⇔ − ≤ − ≤
− ≤ ≤
= − = ⇔ = − ⇔ = − +
1
&'( 23 .4.56
70 2
π
= − − = − ⇔ = ⇔ =
∀ ∈ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤
⇔ − ≤ − ≤ −
− ≤ ≤ −
= −
1
1
.4.56
)
&'( 23 .4
π π
π
− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = +
= − − = − ⇔ = ⇔ =
∀ ∈ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ + ≤
⇔ ≤
1
.56
70 2 .4.56
π
π π
+ ≤
≤ ≤
= + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= + = ⇔ = ⇔ = +
1
1
&'( 23 .4.56
70 2 .4.56
π
∀ ∈ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤
⇔ − ≤ − ≤ −
− ≤ ≤ −
= − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= − − = − ⇔
1
1
*
&'( 23 .4.56
70 2 .4.56
π π
= ⇔ = ⇔ = +
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
5
Bài tp 2: (Mc trung bình) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s sau:
2 4 4
a) 2sin cos2 b) sin cos 4 c) cos cos
3
π
= − = + + = + −
y x x y x x y x x
Hng dn:
2
2
4 2 2
2sin
2sin 1 2
1 1
sin 4 1 sin 2 4 5 sin 2
2 2
2
3 6
π π
= −
= − ⇔ = −
= + + ⇔ = − + = −
= + − = −
" 7089: 5)0'9;-
) 7089: 5)0'9;-
y x x
y x x y x
y x x y x x
y x x x 3 3 3
6 6
π π
= − − ≤ ≤
7089: 5)0'9;-
x y
Bài tp 3: (Mc khá) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s sau:
(
)
2 2
a) 3sin cos 2
b) 2sin 2 sin 2 4cos2
2 cos
c) 3sin 5cos 8sin cos 2 d)
sin cos 2
= − + = −
+
= + − − =
+ +
y x x y x x x
x
y x x x x y
x x
Hng dn:
Chú ý: iu kin phng trình
sin cos
=
<)
y t t
có nghim là:
2 2 2
+ ≥
a b c
a)
3sin cos 2 3sin cos 2 (*)
= − + ⇔ − = −y x x x x y
Min giá tr ca hàm s trên là
∀ ∈
y R
sao cho phng trình sau:
3sin cos 2
− = −
x x y có nghim
∈
x R
( )
2
2
3 1 2 4 0 0 4
4 3sin cos 2
2
sin 1 2 2
6 6 2 3
0 3sin cos 2
π π π π
π π
⇔ + ≥ − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
= − =
⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = +
= − = −
1
1
&'( 23 .4.56
70 2 .4.56
y y y y
y x x
x x k x k
y x x
sin 1 2 2
6 6 2 3
π π π π
π π
⇔ − = − ⇔ − = − + ⇔ = − +
x x k x k
Hng khác:
Hng 2:
3 1
3sin cos 2 2 sin cos 2 2sin 2
2 2 6
π
= − + = − + = − +
y x x x x x
7089: 5)0'9;-
Hng 3:
(
)
( )
(
)
( )
2
2 2
2
3sin cos 3 1 sin cos 4
2 4 2 2 2 0 4
− ≤ + + =
− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤
" =>"> 9 x x x x
y y y
7089: 5)0'9;-
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
6
( )
2
2
1 cos4
2sin 2 sin 2 4cos2 2sin 2 8sin 2 cos2 2 4sin 4
2
4sin 4 cos4 1
1 1
3sin 5 8sin 2 3
−
= − ⇔ = − = −
⇔ = − − +
− +
= + − − ⇔ =
)
7089: 5)0'9;-
<
x
y x x x y x x x x
y x x
x x
y x x x x y
( ) ( )
4sin 2 2
2 cos
sin cos 2 2 cos sin 1 cos 2 2
sin cos 2
− −
+
= ⇔ + + = + ⇔ + − = −
+ +
7089: 5)0'9;-
*
x
x
y y x x x y x y x y
x x
Vi iu kin có nghim
(
)
(
)
2 2
2
1 2 2
+ − ≥ −
y y y
7089: 5)0'9;-
BÀI TP T LUY!N:
Bài tp 1: Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca các hàm s:
2
2 2 2
2 2 2
1 4cos
1) 2 4cos 2) 3 8sin .cos 3)
4) 2sin cos2
3
5) 3 2 sin 6) cos cos 7) cos 2cos2 8) 5 2
sin .cos
3
x
y x y x x y y x x
y x y x x y x x y x x
π
+
= + = − = = −
= − = + − = + = −
Bài tp 2: Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca các hàm s:
(
)
2 2 2
2 2 2 2
4 4
1) sin 4sin 2
2) sin cos 0
3) 3sin 5cos 8sin cos 2 4) 2s
in 4cos 8sin cos 1
5) sin cos
y x x y a x b x a b
y x x x x y x x x x
y x x
= − − = + + >
= + − − = − + −
= +
6 6
6) sin cosy x x= +
BÀI TP T LUY!N:
Bài tp: Tìm tp xác nh ca các hàm s:
1
1) sin3 2) cos 3) sin 4) cos
3 1
7 cot sin 2
5) 6) cot 2 7) 8)
2cos 4 cos 1 cos 1
9) cos 1
π
−
= = = =
+
+
= = − = =
− +
= +
x x
y x y y x y
x
x x
y y x y y
x x x
y x
2 2
3 2
10) 11) 12) tan cot
sin cos cos cos3
= = = +
− −
y y y x x
x x x x
Dng toán 3: XÁC NH TÍNH CH"N L# CA CÁC HÀM S LNG GIÁC
Phng pháp:
Bc 1: Tìm tp xác nh D ca hàm s
( )
y f x
=
, lúc ó:
+ Nu D là tp i xng (tc là
∀ ∈ − ∈
), ta thc hin bc 2.
+ Nu D không là tp i xng (
∃ ∈ − ∉
), ta kt lun hàm s
( )
y f x
=
không chn cng không l.
Bc 2: Xác nh
−
. Lúc ó:
− = =
− = − =
?02@ /0 02 A
?02@ /0 02/B
Lu ý: V mt hình hc:
1. th hàm s ch$n nhn trc tung Oy làm trc i xng.
2. th hàm s l% nhn gc to O làm tâm i xng.
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
7
Nhn xét: Vi các hàm s l ng giác c b!n, ta có:
a. Hàm s
=
/0 02@ A
.
b. Hàm s
= = =
/0% 02@/C
.
Bài tp 1: Xác nh tính chn, l ca các hàm s:
3
4
3 sin
a) 1 cos3 b) 1 cos sin 2 c) sin3 d)
2 cos2
π
−
= + = + − = =
x x
y x x y x x y x x y
x
Hng dn:
a) TX:
=
D R
. Ta có:
∀ ∈ − ∈
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1 1− = + − − = − ≠
− ≠ −
70 ?02@.D /0 02 E A E
/B;-1
y x x x x x y x
y x y x
b)
3
1 sin 2 1 cos cos 2
2
π
= + − = −
y x x x x
TX:
=
D R
. Ta có:
∀ ∈ − ∈
(
)
(
)
(
)
(
)
1 cos cos2 cos2
− = − − − − =
F ?02@.D /0 02 A;-1
y x x x x x y x
c) TX:
=
D R
. Ta có:
∀ ∈ − ∈
(
)
(
)
(
)
(
)
4
4
sin3 sin 3− = − − − = −
F ?02@.D /0 02/B;-1
y x x x x x y x
d) TX: \
4 2
π π
= +
D R k . Ta có:
∀ ∈ − ∈
( )
(
)
(
)
( )
( )
3
3 3
sin
sin sin
− − −
− + −
− = = − = −
−
F ?02@.D /0 02/B;-+
x x
x x x x
y x y x
x x x
BÀI TP T LUY!N:
Bài tp: Xác nh tính chn, l ca các hàm s:
3
3
2000
sin cos2
1) cos3 3) sin 3 4) 5)
cos2
1 cos
6) sin 2 7) 1 cos 8)
9) sin cos2
1 cos
10)
−
= = = =
+
= − = − = = +
−
=
x x x
y x x y x x y y
x x
x
y x x y x y y x x
x
x
y
2 2010
sin 2010
11) 12) sin 2
sin tan cos
+
= =
+
x
y y x x
x x x
Dng toán 4: XÁC NH TÍNH TU&N HOÀN CA CÁC HÀM S LNG GIÁC
Phng pháp:
1. Chng minh hàm s
( )
y f x
=
tun hoàn
Xét hàm s
( )
y f x
=
, tp xác nh D, ta d oán có s thc dng
0
T
sao cho:
( )
∀ ∈ − ∈ + ∈
+ =
70
2. Chng minh
là chu k ca hàm s ( ngh"a là
dng nh nht tho! mãn h (1) và
(2)). Thc hin bng phn chng.
Bc 1: Gi! s có s T sao cho
< <
tho! mãn các tính cht (1) và (2):
(
)
∀ ∈ + = ⇔ < <
GH I7JK 8
Bc 2: Mâu thu#n này chng t
là s dng nh nht tho! mãn (2).
Kt lun: Vy
là chu k ca hàm s
( )
y f x
=
.
3. Xét tính tun hoàn các các hàm s l ng giác, ta s dng m$t s kt qu!:
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
8
a. Hàm s
π
= =
L 07J M
.
b. Hàm s
π
= =
L 07J M
.
M rng: (cm)
c. Hàm s
( ) ( )
π
= + = + >
L 07J M
.
d. Hàm s
( ) ( )
π
= + = + >
L 07J M
.
nh lý: Cho cp hàm s
tun hoàn trên tp M có các chu k ln l t là
70
∈
7J
. Khi ó, các hàm s:
= + =
cng tun hoàn trên
M.
H qu:
Hàm s
= +
tun hoàn vi chu k T là b$i chung nh nht ca
0
.
Bài tp 1: Chng minh r%ng m&i hàm s sau là m$t hàm s tun hoàn và hãy tìm chu k
ca nó:
2
1) 2sin 2) cos 5 3) tan
4) cos2
4 3 4
5) cos 6) sin cos 7) sin cos 8) 4sin
2 4
9)
y x y x y x y x
x
y y x x y x x y x
y
π π π
π
= + = − − + = + =
= + = + = =
=
1
sin
x
SAI L&M ' ÂU?
Xét bài toán:
Tìm chu k ca hàm s:
(
)
( ) sin ; ( 0)
= + ≠
f x ax b a
( Trc nghim Nghuyn Vn Nho HSP2006 và nhiu sách khác)
Mt h(c sinh gii nh sau:
Bc 1: Gi T là chu k ca hàm s ã cho.
Bc 2: Lúc ó:
(
)
(
)
( ) ( ) sin sin
+ = ⇔ + + = +
f x T f x a x T b ax b
(
)
(
)
sin sin
⇔ + + = +
ax b aT ax b
(*)
Bc 3: Do hàm s
sin
=
y x
tun hoàn vi chu k
2
T
π
=
T' (*)
2
aT
π
⇔ =
2
T
a
π
⇔ =
Vy chu k ca hàm s ã cholà
2
T
a
π
= . (ycbt)
Bài gi!i ca hc sinh trên ã úng cha? Nu cha thì sai ( bc nào?
*Lu ý:
Nhìn tng th thì bài gi!i có v úng nhng b!n cht thì sai. Sai vì cha hiu rõ th
nào là chu k ca mt hàm s.
Nhc: T c gi là chu k ca hàm s
( )
y f x
=
khi ch) khi:
+
( ) ( )
f x T f x
+ =
(*)
+ T là s dng nh nht tho! (*)
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
9
Nh vy i vi bài gi!i trên, ch) úng khi
0
>
a
. Vy trong tr*ng h p tng quát thì sao?
Ta gi!i nh sau:
TH1:
0
>
a
gi!i nh trên.
TH2:
0
<
a
. Thc hin phép bin i:
(
)
(
)
sin sin
+ = − − −
ax b ax b
. Lúc này ta a
bài toán v TH1.
Bài tp: Tìm chu k ca các hàm s sau:
a)
(
)
cos 2 4
= −
y x b)
(
)
cot 3 1
= − +
y x c)
2
tan 1
3
= −
x
y
c)
(
)
sin 4 2
= − +
y x
Bài toán: Cho hàm s
( ) sin sin
f x a ux b vx
= +
, trong ó
, , ,
a b u v
là các s thc khác 0.
a) Chng minh r%ng: Nu hàm s
( )
y f x
=
tun hoàn thì
u
v
là s h+u t).
b) Ng c l,i nu
u
v
là s h+u t) thì hàm s
( )
y f x
=
tun hoàn.
Chng minh:
a) Gi! s hàm s
( )
y f x
=
tun hoàn vi chu kì T. Ta có:
(
)
: ( )
x f x T f x
∀ + =
.
Cho
0
x
=
, ta có:
(
)
(0) sin
f T f a uT b vT b
= ⇔ + =
.
Cho
x T
= −
, ta có:
(
)
(0) sin
f T f a uT b vT b
− = ⇔ − + =
.
T' (1) và (2) suy ra :
1 2
2 2
sin 0
π
π
π
π
= =
⇔ = ⇔ = ∈
= =
vT vT k
vT k v k
Q
uT uT m
uT m u m
(.p.c.m)
b) Gi! s
= ∈
v m
Q
u n
vi
,
m n
là các s nguyên khác 0. Chn
2 2
m n
T
u v
π π
= =
.
Khi ó:
( )
2 2
sin
π π
+ = + + +
m n
f x T a u x b v x
u v
(
)
(
)
(
)
(
)
sin 2 cos 2 sin cos ( )
π π
= + + + = + =
a ux m b vx n a ux b vx f x
Vy hàm s
( )
y f x
=
tun hoàn (.p.c.m)
nh lý: Cho cp hàm s
tun hoàn trên tp M có các chu k ln l t là
∈
70 7J
. Khi ó, các hàm s:
= + =
cng tun hoàn
trên M.
H qu:
Hàm s
= +
tun hoàn vi chu k T là b$i chung nh nht ca
0
.
Ví d) minh h(a 1: Xác nh chu kì ca các hàm s sau:
2
2
1
1) tan 3 2) 2cos 2
3) sin sin 2
6 3 2
1 1
4) sin sin 2 sin3 5) 2tan 3tan 6) cos 2cos
2 3 2 3
y x y x y x x
x x
y x x x y y x x
π π
= + = + = +
= + + = − = +
Gii:
4) Ta có:
Hàm s
sin
y x
=
tun hoàn chu kì
2
π
.
Hàm s
sin 2
y x
=
tun hoàn chu kì
π
.
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
10
Suy ra, hàm s
1
sin sin 2
2
y x x
= + tun hoàn vi chu kì
2
T
π
=
.
Hàm s
sin3
y x
=
tun hoàn chu kì
2
3
π
.
Vy hàm s
1 1
sin sin 2 sin3
2 3
y x x x
= + +
tun hoàn vi chu kì
2
π
Ví d) minh h(a 2: Cho hàm s ( )
f x x
=
. Chng minh r%ng hàm s trên không tun
hoàn phi.
Gii: Gi! s hàm s ã cho là tun hoàn ph!i. Khi ó có tn t,i s dng T sao cho:
0 :
x x T x
∀ ≥ + =
Cho
0
x
=
, ta có:
1 2
T T k
π
= ⇔ =
(1)
Cho
x T
=
, ta có:
2 1 2 2
T T T m
π
= = ⇔ =
Lp t) s
(1)
(2)
, ta c:
2
= ∈
k
Q
m
. Mâu thu#n. Vy hàm s ó không tun hoàn ph!i.
Ví d) minh h(a 3:
Tìm tt c! các s nguyên
n
khác 0 hàm s:
5
( ) cos .sin
x
y f x nx
n
= = tun hoàn vi chu kì
3
π
.
Gii: Gi! s hàm s ã cho là tun hoàn vi chu kì
3
π
. Lúc ó, ta có:
5( 3 ) 5
: ( 3 ) ( ) cos ( ).sin cos .sin
x x
x f x f x n x nx
n n
π
π π
+
∀ + = ⇔ + =
Thay
0
x
=
ta c:
15 15
sin 0 15
k kn
n n
π π
π
= ⇔ = ⇔ =
. Tc là
n
là c ca 15, do
ó:
{
}
1; 3; 5; 15
n
∈ ± ± ± ±
!o l,i:
{
}
1; 3; 5; 15
n
∀ ∈ ± ± ± ±
thì:
5( 3 ) 5
( ) cos ( ).sin cos .sin
x x
f x n x nx
n n
π
π
+
= + =
Tht vy, vì
3
n
và
15
n
là các s nguyên l nên :
cos ( ) cos( ) cos .
5( 3 ) 5 15 5
sin sin sin
n x nx n nx
x x x
n n n n
π π
π π
+ = + = −
+
= + = −
Do
ó các giá tr
n
cn tìm là
{
}
1; 3; 5; 15
n
∈ ± ± ± ±
(y.c.b.t)
BÀI TP T LUY!N:
Bài tp: Xác nh chu k ca các hàm s:
2
2
1
1) tan 3 2) 2cos 2
3) sin sin 2
6 3 2
1 1
4) sin sin 2 sin3 5) 2tan 3tan 6) cos 2cos
2 3 2 3
y x y x y x x
x x
y x x x y y x x
π π
= + = + = +
= + + = − = +
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
11
CHUYÊN *:
PHNG TRÌNH LNG GIÁC
Ch 1: PHNG TRÌNH LNG GIÁC C BN
I- LÝ THUYT:
1)Phng trình
sin
x a
=
(1)
Thut toán:
TH1:
1
a
>
Ph
ng trình (1) vô nghi
m vì sin 1,
x x R
≤ ∀ ∈
TH2:
1
a
≤
Ph
ng trình (1) có các ngi
m:
2 ,
x k k Z
α π
= + ∈
2 ,
x k k Z
π α π
= − + ∈
(trong
ó:
sin
a
α
=
)
Hoc:
2) Phng trình
cos
x a
=
(2)
Thu
t toán:
TH1:
1
a
>
Ph
ng trình (2) vô nghi
m vì cos 1,
x x R
≤ ∀ ∈
TH2:
1
a
≤
Ph
ng trình (2) có các ngi
m:
2 ,
x k k Z
α π
= + ∈
2 ,
x k k Z
α π
= − + ∈
(trong
ó:
cos
a
α
=
)
Hoc:
3) Phng trình
tan
x a
=
(3)
Thu
t toán:
i
u ki
n c
a ph
ng trình (3) là:
,
2
x k k Z
π
π
≠ + ∈
Ph
ng trình (3) có các nghi
m là:
,
x k k Z
α π
= + ∈
(trong
ó:
tan
a
α
=
)
Hoc:
arctan ,
x a k k Z
π
= + ∈
4) Phng trình
cot
x a
=
(4)
Thu
t toán:
i
u ki
n c
a ph
ng trình (4) là:
,
x k k Z
π
≠ ∈
Ph
ng trình (4) có các nghi
m là:
,
x k k Z
α π
= + ∈
(trong
ó:
cot
a
α
=
)
Hoc:
arccot ,
x a k k Z
π
= + ∈
II- M+T S K, N-NG C&N LU Ý:
I- X. lý d/u “
−
” :
a) Gi!i phng trình:
3
cos 2 cos 2 cos cos
3 2 3 6 6
x x
π π π π
π
− = − ⇔ − = − = −
arcsin 2 ,
x a k k Z
π
= + ∈
arcsin 2 ,
x a k k Z
π π
= − + ∈
arccos 2 ,
x a k k Z
π
= + ∈
arccos 2 ,
x a k k Z
π
= − + ∈
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
12
b) Gi!i phng trình:
3
sin 2 sin 2 sin sin
3 2 3 3 6
x x
π π π π
− = − ⇔ − = − = −
c) Gi!i phng trình:
tan 2 3 tan 2 tan tan
3 3 3 3
π π π π
− = − ⇔ − = − = −
x x
Nhn xét: T,i sao l,i s dng k nng này?
+ Gi!m bt t duy “ nh” máy móc các giá tr c bit.
+ Nh vy, x lý du “
−
” i vi
cos
thì dùng công thc bù,
sin, tan, cot
thì
dùng công thc i.
II- K0 thut l/y nghim trên mt khong, mt on:
VD: Tìm các nghim
[
]
0;2
π
∈
x
ca phng trình:
cos2 0
x
=
.
Gi!i:
2 0 ,
4 2
cos x x k k Z
π π
= ⇔ = + ∈
.
Do
[ ]
1 7
0;2 0 2 0 2 0,1,2,3
2 2
4 2
k
x x k k
k Z
π π
π π π
− ≤ ≤
∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ =
∈
Vy:
0 : , 1: , 2 : 2. , 3: 3.
4 4 2 4 2 4 2
π π π π π π π
= = = = + = = + = = +k x k x k x k x
III- K, THUT GII PHNG TRÌNH CH1A I*U KI!N:
Nhc: M$t s hàm s có iu kin:
π
π π
= ≠ + ∈ = ≠ ∈
= ≠ = ∈ ≥
. .
.
,N.
c bit, i vi phng trình l ng giác do c thù là có vô s nghim d,ng
π
α
= +
∈
nên vn i chiu nghim tng i phc tp và khó khn. Kh-c phc nh c
im này, chúng ta bàn lun cách x lý vn này thông qua các VD sau:
VD1: Gi!i phng trình:
=
−
(1)
Bc 1: iu kin:
π
π
− ≠ ⇔ ≠ +
(*)
Bc 2:
⇔ = ⇔
Cách 1:
π
π
π
π
π
= +
= = ⇔
= − +
. Thy (2) không tho! (*). Vy
phng trình có nghim
π
π
= − +
.
THUT TOÁN GII PHNG TRÌNH:
=
Bc 1:
Tìm
i
u ki
n
c
a ph
ng trình.
Bc 2:
Gi
!
i ph
ng trình (1) có các giá tr
:
.
Bc 3:
i chi
u
i
u ki
n
và k
t lu
n nghi
m c
a ph
ng trình
=
.
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
13
Nhn xét: ôi khi gp phng trình
OO
= −
thì công thc nghim nh trên thì
thun l i hn.
Cách 2:
⇔ =
.
Do
/4
=
+ =
= ⇔
= − ⇔
=
Cách 3: V ng tròn lng giác và i chiu iu kin:
Lu ý: Vi h nghim
x k
n
π
α
= + có
2
n
ngn cung nghim
π π
⇔ = ⇔ = +
+ Biu di.n các cung d,ng:
π π
= + . Kí hiu
+ Biu di.n các cung (iu kin):
π
π
≠ +
. Kí hiu:
×
T' hình v thy, các cung trùng nhau t,i
. Suy ra t,i
là các ngn cung
nghim:
π
π
= +
. Hoc:
π
π
= − + ∈
Cách 4: iu kin:
π
π
≠ +
. Nghim ca pt
=
, là
π π
= +
,
∈
.
Ta xét:
π π π
π
+ ≠ + ⇔ ≠
.
Kt lun: Vy phng trình có nghim là:
π π
∈
= +
≠
7J
VD2: Gi!i phng trình:
(
)
(
)
− − =
(1)
iu kin:
(
)
− ≠
(
)
( )
− =
⇔
− =
Gi!i (2):
(
)
− = ⇔ − = ⇔ = + ∈
Gi!i (3):
(
)
− = =
− = + = +
⇔ ⇔
− = − + = +
i chiu iu kin: Thay các nghim vào phng trình
(
)
− =
(
)
/0 29
+ − = ≠ = +
(
)
(
)
E/0
2P9
+ − = + = = +
A
4
A
3
A
2
A
1
O
y
x
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
14
III- LUY!N TP:
Bài tp 1: Gi!i các phng trình sau:
− = = −
+ = − =
Hng dn:
( )
"Q
F
;
;
&'(9 5R;S % 2/
π
π
π
π π
=
⇔ − = ⇔ −
= ⇔ = +
= +
⇔
= ⇔
= − +
0 O ; 70 ;
"Q
&'(9 5R;S % 2/0
π
π π π π
π π π
π
π π π
π
π
= + = + = − +
=
= − + ⇔ = − +
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔
= + ⇔ = +
= − +
( )
70
"Q
&'(9 5R;S % 2/0 70
"Q
π π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π π
π
= +
=
= + ⇔ = +
⇔ + + = ⇔ = ⇔
= − + ⇔ = − +
= + = − +
= + +
⇔
−
T.
&'(9 5R;S 2/0
π
π
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
−
=
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
15
Bài tp 2: Gi!i các phng trình sau:
N
N
π
− + = = =
Hng dn:
&'(9 5R;S 2/0
U VW@7J%9 5R;S 70 S EL3%.X .
"Q
π π π π π
π
π π
π
⇔ − = − ⇔ − = + ⇔ = +
= +
= =
=
⇔
T.
T.
&'(9 5R;S % 2/0 70
π
π
π
π
π π
π π
π π
π
= ⇔ = +
= ⇔ = ⇔ = ⇔
= − ⇔ = − +
= + = − +
=
≠ ⇔ ≠ +
≠ ⇔ ≠
"Q
@ 8. 2P9 5R;S /0
π
π π π
π
π
π
π
+
= + +
⇔ = ⇔ = + ⇔ =
=
Bài tp 3: Gi!i các phng trình sau:
− = + = + =
Hng dn:
( )
"Q
&'(9 5R;S % 2/0 O 70
π π
π
π
π
π
π π π π
π π
=
= ⇔ = +
⇔ = ⇔ − = ⇔
= +
= ⇔
= +
= + = + = +
U VW
@7J%9 5R;S 70 S
EL3%.X .
= =
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
16
( ) ( )
"Q
&'(9 5R;S 2/0
π π
π π
=
− +
⇔ − = ⇔ − =
⇔ − − = + ⇔ = ⇔ = +
= +
Chú ý: K2t qu
+ = −
+ = −
( )
( )
"Q
F
&'(9 5R;S % 2/0 O 70
π π
π
π
π π
π
=
− −
⇔ + = − ⇔ + =
= ⇔ = +
⇔ = ⇔ − ⇔
=
= ⇔
=
= + =
π
=
Bài tp 4:
"S2% 2P9 5R;S
Y K.D Z;
O
π
− = ∈
Hng dn:
( )
"Q
[
N&J
+ O - OO
&'( 2LS2/0 O 70
"5R\7J
π
π
π
π
π
π π π π
π
π π π
=
= ⇔ = +
⇔ − = ⇔
= ⇔ =
= +
− ≤ ≤
∈ ⇔ ≤ ≤ ≤ + ≤ ⇔ =
∈
= = =
2]/4
Bài tp 5: Tìm
m
phng trình sau có nghim:
− + = −
.
Hng dn:
( )
"Q
[ N
=
⇔ − = −
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
17
( )
"?&J 9 5R;S N;^ 0 7E 2
"?&J 9 5R;S N;^ 0
_9 5R;S 2 Z
`8
= = −
−
≠ =
−
− ≥ ⇔ ≥
−
≤ ⇔ − ≥ ⇔
−
− ≤ − ⇔ ≤ −
[
)
/'&'(%%;X2LS2/0 O O
∈ −∞ − ∪ +∞
BÀI TP T LUY!N:
Bài tp 1: Gi!i các phng trình:
− = + = − =
− = + = =
−
= = − − =
Bài tp 2: Gi!i các phng trình:
+ + = + + = − =
− + = + + = + +
Bài tp 3: Gi!i các phng trình: (Dùng k0 n3ng h bc)
+ = + + + =
+ = − + = +
Bài tp 4: Gi!i phng trình:
a)
(
)
π
=
b)
( )
π
− =
Bài tp 5:
"S2% 2P2a9 5R;S
Y K.D Z;
[ ]
( )
O O ) O
O
π
π
− = ∈ − = ∈ −
Bài tp 6: "S2 2*5R T bP%9 5R
;S
( ) ( ) ( )
)
π π π π
+ − − = − + =
Bài tp 7:
a) Tìm
m
phng trình sau có nghim:
− + =
.
b) Vi giá tr nào ca
a
thì phng trình sau có nghim duy nht thu$c
;
2
π
π
(
)
(
)
+ = +
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
18
Ch 2:
PHNG TRÌNH LNG GIÁC TH4NG G5P
I- LÝ THUYT:
Dng 1: Phng trình bc hai theo mt hàm lng giác:
(
)
2
sin sin 0 0
a x b x c a
+ + = ≠
(5)
Thut toán: t
sin
=
t x
;
1,
t x R
≤ ∀ ∈
Pt (5) tr( thành:
2
0
at bt c
+ + =
. Gi!i theo
suy ra
.
Hoàn toàn tng t, i vi các d,ng:
( )
2
2
2
cos cos 0
tan tan 0
cot cot 0 0
+ + =
+ + =
+ + = ≠
a x b x c
a x b x c
a x b x c a
VÍ D6 MINH H7A:
Bài tp 1: Gi!i các phng trình sau:
+ − = + =
+ − = + =
Hng dn:
( )
"Q
N
c
'
N
/4
"
`8/'&'(9 5R;S
π
π
π
π
=
⇔ − + − = ⇔ − + + =
= − ≤ ≤
= −
− + + = ⇔
=
= − +
= − = − ⇔
= +
{ }
% 2/0 70
"Q
F
T.
`8/'&'(9 5R;S
π π
π π
π
π π
= − + = +
=
⇔ + = ⇔ + = ⇔ +
⇔ = ⇔ = +
2/0
π π
= +
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
19
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
"Q
N
=
⇔ − − = ⇔ − − =
⇔ + − − − =
+ +
⇔ + − − + =
+ − = −
⇔
( )
NN
U%9 5R;S N70NN/0%9 5R;S )' b = 70 .Y
K\K$(8
"Q
π
− + + = −
=
= ⇔ =
⇔ − = ⇔ + − = ⇔
=
7E 2
`8/'&'(9 5R;S 2/0
π
−
=
Bài tp 2: Gi!i các phng trình sau:
( )
2
2
2
4 2
1) 4tan 5 0 2) sin 3cos 3
cos
sin 3cos
2
3) 2tan 5 tan cot 4 0
sin
+ − = + + =
+
+ + + + =
x x x
x
x x
x x x
x
Hng dn:
"Q
N
c [ 5R;S N
N&J T.
N&J
π
π
π
= +
⇔ − + − = ⇔ − − =
=
= − − = ⇔
= −
= = ⇔ = ⇔ =
7E 2
`8/'&'(9 5R;S 2/0
c
'
[ 5R;S
'
π
= − = − ⇔ = −
=
+ ≠
= + ≤
=
+ = ⇔ − + = ⇔
=
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
20
N&J
N&J
`8/'&'(9 5R;S % 2
/0 70
π
π
π
π
π
π π
π
π π π
π π π
= − +
= + = ⇔ + = ⇔
= +
= + = ⇔ + = ⇔ = +
= − + = + = +
( )
( )
( ) ( )
"Q
N
c [ 5R;S N
N&J
π
=
⇔ + + + + + =
⇔ + + + + =
= −
= + = + + = ⇔
= −
= − = − ⇔ = − 7E 2
N&J
`8/'&'(9 5R;S 2/0
π
π
π
π
= − = − ⇔ = − ⇔ = − +
= − +
BÀI TP T LUY!N:
Bài tp1: Gi!i các phng trình sau:
− + = − − = − − =
Bài tp 2: Gi!i các phng trình sau:
− + − = − + = − = +
− + = + − = − + =
+ =
+ = + =
Bài tp 3:
Gi!i các phng trình sau:
( )
( )
2 2
2
2 2
4 2 1 1 5
1) cos 9 cos 1 2)cos cos2 tan
cos cos 2 cos 2
3) 3 tan cot 2( 3 1) tan cot 4 2 3 0
+ + − = + + + =
+ + − − − − =
x x x x x
x x x
x x x x
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
21
Dng 2: Phng trình 8ng c/p bc hai theo
sin
x
và
cos
x
:
2 2
sin sin cos cos
a x b x x c x d
+ + =
(6)
Thut toán:
TH1: Kim tra
,
2
x k k Z
π
π
= + ∈
có là nghim ca pt (6)?
TH2: Chia 2 v ca pt (6) cho
2
cos
x
. Ta a pt v d,ng bc hai theo
tan
x
Lu ý: T duy phng pháp còn áp dng cho phng trình ng cp bc 3 hoc bc cao
hn.
Phng trình 8ng c/p bc 3 :
3 3 2
cos in . +d 0
+ + =
,….v v
VÍ D6 MINH H7A:
Bài tp 1: Gi!i các phng trình sau:
2 2 2 2
1) 2sin 5sin .cos cos 2 2)
2sin 5sin .cos cos 2
− − = − − − =
x x x x x x x x
Hng dn:
2
1)
0 . 2
2
2
"Q
"?Qd [ 5R;S ;^ 0
E T
&'( E/0 2P9 5R;S
π
π
π
π
=
= ⇔ = + = −
= +
D R
x x k x
x k
( )
2
2 2 2
0 . ,
2
2tan 5tan 1 2 1 tan 4tan 5tan 1 0
tan 1
4
1 1
tan arctan
4 4
"?Qd U 78P .56
`8/'&'(9 5R;S %
π
π
π
π
π
≠ ⇔ ≠ +
− − = − + ⇔ − + =
= ⇔ = +
⇔
= ⇔ = +
x x k x
x x x x x
x x k
x x k
1
arctan .
4 4
2/0 70
π
π π
= + = +
x k x k
2
2
2)
0 . 2
2
2
0 . ,
2
2t
"Q
"?Qd [ 5R;S ;^ 0 T
&'( /0 2P9 5R;S
"?Qd U 78P .56
π
π
π
π
π
π
=
= ⇔ = + =
= +
≠ ⇔ ≠ +
D R
x x k x
x k
x x k x
( )
2 2
3 3
an 5tan 1 2 1 tan 5tan 3 tan arctan .
5 5
3
arctan .
5
`8/'&'(9 5R;S 2/0
π
π
− − = + ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − +
= − +
x x x x x x k
x k
Bài tp 2: Gi!i các phng trình sau:
3 3
1) 4cos cos sin 0
2) sin 2sin
4
π
− − = − =
x x x x x
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
22
Hng dn:
D. dàng nhn ra phng trình (1) có d,ng phng trình 8ng c/p bc 3.
3
1)
0 . 0
2
2
0 . ,
2
"Q
"?Qd [ 5R;S ;^ 0
E T
&'( E/0 2P9 5R;S
"?Qd U 78P .56
π
π
π
π
π
π
=
= ⇔ = + =
= +
≠ ⇔ ≠ +
D R
x x k x
x k
x x k x
( ) ( )
( )
( )
2 2 3 2
2
2
4 1 tan tan 1 tan 0 tan tan tan 3 0
tan 1
tan 1 tan 2 tan 3 0
4
tan 2tan 3 0
.
4
7E 2
`8/'&'(9 5R;S 2/0
π
π
π
π
− + − + = ⇔ + + − =
= ⇔ = +
⇔ − + + = ⇔
+ + =
= +
x x x x x x
x x k
x x x
x x
x k
3 3
2)
. 2 sin cos
4 4 4
"Q
c [ 5R;S
π π π
=
= − ⇔ = + = + ⇔ = +
D R
t x x t t t t t t
Cách 1:
(
)
3 2 2
sin cos sin 1 sin cos 0 sin cos cos 0
= + ⇔ − + = ⇔ + =
t t t t t t t t t
( )
3
cos 0
cos sin cos 1 0
2 4
sin cos 1 0 sin 2 2
7E 2
π π
π π
= ⇔ = + = +
⇔ + = ⇔
+ = = −
t t k x k
t t t
t t t
3
.
4
`8/'&'(9 5R;S 2/0
π
π
= +
x k
Cách 2:
3 3
sin cos sin cos 0
N
= + ⇔ + − =t t t t t t
Xem phng trình (*) là phng trình /ng cp bc 3 theo
sin cos
t t
.
3
3
sin cos 0
cos 0 .
2
sin 0
0
1
3
2 4
cos 0
"?Qd
E T
[ 5R;S ;^ 0
T
&'( /0 2P9 5R;S
"?Qd
π
π
π π
π π
+ − =
= ⇔ = +
=
− = ⇔
=
= + = +
≠ ⇔ ≠
t t t
t t k
t
x t
t
t k x k
t t
( ) ( )
3
2 2 3 2
. ,
2
tan 1 tan 1 tan tan 0 tan tan 1 0
3
.
4
U 78P .56
7E 2
`8/'&'(9 5R;S 2/0
π
π
π
π
+
+ + + − = ⇔ + + =
= +
k t
t t t t t t
x k
Bài tp 3: Gi!i phng trình sau:
(
)
5 5 3 3
2 cos sin cos sin
+ = +
x x x x
(1)
Hng dn:
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
23
Cách 1:
"?
Nhn thy
π
π
= + không tha (3).
"?
V
i
π
π
≠ +
, chia hai v ca (3) cho
5
cos
x
ta c:
( ) tan tan tan ( tan )
⇔ + = + + +
x x x x
5 3 2
tan tan tan 1 0
⇔ − − + =
x x x
2 2
(tan 1) (tan 1)(tan tan 1) 0 tan 1
4 4 2
π π π
π
⇔ − + + + = ⇔ = ± ⇔ = ± + ⇔ +
x x x x x x k k
.
Cách 2:
( ) cos ( cos ) sin ( sin )
cos
cos cos sin cos
tan
π π
π π
π
π
⇔ − = −
= +
=
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = +
=
= +
x x x x
x k
x
x x x x x k
x
x k
.
Vy (3) có h nghim là
,
4 2
π π
= + ∈
x k k
.
Chú ý:
(
)
(
)
5 5 3 3 5 5 3 3 2 2
2 cos sin cos sin 2 cos sin (cos sin )(cos sin )
+ = + ⇔ + = + +
x x x x x x x x x x
5 5 3 2 2 3
cos sin cos sin cos sin 0
⇔ + − − =
x x x x x x
(/ng cp).
BÀI TP T LUY!N:
Bài tp 1: Gi!i các phng trình sau:
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
1) 2sin sin .cos 3cos 0 2) sin sin2 2cos
2
3) cos 2sin .cos 5sin 2
4) 2cos 3 3sin2 4sin 4
5) 3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0 6) 4sin 3 3s
+ − = + − =
+ + = − − = −
+ + − = +
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
2
in2 2cos 4
− =
x x
Bài tp 2: Gi!i các phng trình sau:
2
3 2 2 3 3 2
3 3
1) sin3 cos3 2cos 0 2) sin cos 4sin cos
3) 2sin sin cos 2sin cos cos 0 4) cos sin
3sin cos 0
5) cos sin sin cos
+ + = − =
− + − = + − =
− = −
x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x
( ) ( )
3
4 2 2 4 3 3
2 3
6) sin sin2 sin3 6cos
7) 3cos 4cos sin sin 0
8) cos sin sin cos
9) sin 1 tan 3sin cos sin 3 10) 6sin
2cos 5cos sin2
+ =
− + = + = −
+ = − + − =
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Bài tp 3: Tìm m các phngtrình sau có nghim
0sin2cos2sin
2
=+++ mxxxm
)
0coscos)2(2sin)2(
22
=−+−− xxmxm
Dng 3: Phng trình bc nh/t i vi
sin
x
và
cos
x
:
sin cos
a x b x c
+ =
(7)
Thut toán: K phng trình (7) có nghim:
2 2 2
+ ≥
a b c
Chia 2 v ca phng trình (7) cho:
2 2
a b
+
Lúc ó (7)tt:
2 2 2 2 2 2
sin cos+ =
+ + +
a b c
x x
a b a b a b
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
24
t:
2 2
2 2
cos
(*)
sin
α
α
=
+
=
+
a
a b
b
a b
. a phng trình v d,ng c b!n.
Chú ý:
Phép bin i nhanh gn sau:
( )
2 2
sin cos sin
α
+ = + +a x b x a b x
vi
α
tha (*)
II- M+T S K, THUT GII PHNG TRÌNH:
Bàn v k0 thut gii phng trình:
sin cos
a x b x c
+ =
(1)
Phng pháp:
(1)
2 2 2 2 2 2
sin cos⇔ + =
+ + +
a b c
x x
a b a b a b
(*). t
2 2
2 2
cos
sin
α
α
=
+
=
+
a
a b
b
a b
(I)
Lúc ó (*) tt:
( )
2 2 2 2
cos .sin sin .cos sin
α α α
+ = ⇔ + =
+ +
c c
x x x
a b a b
Gi!i phng trình c b!n n gi!n, trong toàn b$ n$i dung thut toán, vn là: Có xác
nh c
α
trong h (I) hay không? Và k thut là gì? Ta làm rõ k nng này thông qua 3
ví d sau:
Ví d) 1:
sin 3cos 2
+ =x x
(*)
(*)
c
α
α
=
⇔ + =
=
. T' (1) chn:
π
α
=
, thy tho! (2).
Vy chn
π
α
=
. Phng trình tt:
π π π
⇔ + = ⇔ + =
Ví d) 2:
sin 3cos 2
− =x x (*)
(*)
c
α
α
=
⇔ − =
= −
.
T' (1) chn:
π
α
=
, thy không tho! (2), mun tho! (2) thì chn:
π
α
= −
(vì cos i:
(
)
α α
− = − )………
Ví d) 3:
sin 3cos 2
− + =
x x
(*)
(*)
c
α
α
= −
⇔ − + =
=
. T' (2) chn:
π
α
=
, thy không
tho! (1), mun tho! (2) thì chn:
π π
α π
= − =
(vì sin bù:
(
)
π α α
− = − )….
Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014
Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in
25
VÍ D6 MINH H7A:
Bài tp 1: Gi!i các phng trình sau:
1) sin 2cos 2 2) sin 4cos 0
3) sin cos 1
x x x x x x
− = − = − = −
Hng dn:
( )
1)
1
1 2 2
5
(1)
2
5 5 5
sin
5
2
arcsin 2
5
2
sin
5
2
arcsin 2
5
"Q
Nc e
[ 5R;S N
`8/'&'(9 5R;S % 2/0
D R
x x
x k
x
x k
α
α
α π
α
π α π
=
=
⇔ − =
= −
= + +
⇔ − = ⇔
= − + +
(
)
( )
( )
2 2
arcsin 2 arcsin 2
5 5
2)
(2) 4 tan 4 arctan 4
arctan 4 .
3)
(2) 2 sin
4
70 7J Te
"Q
`8/'&'(9 5R;S 2/0
"Q
x k x k
D R
x x x x k
x k
D R
x
α π π α π α
π
π
π
= + + = − + +
=
⇔ = ⇔ = ⇔ = +
= +
=
⇔ −
2
2
1 sin
3
4 2
2
2
3
2 2 .
2
`8/'&'(9 5R;S % 2/0 70
x k
x
x k
x k x k
π
π
π
π
π
π π
=
= − ⇔ − = − ⇔
= +
= = +
sin cos
, '3dV/078;%9 5R;S *49 5R;S )' b.@
7J 70
5 V E-K2%(2f
x x
Bài tp 1: Gi!i các phng trình sau:
1) sin 3cos 2cos2 2) sin 3
cos 3cos2 sin2
x x x x x x x
− = − − = −
Hng dn:
( ) ( )
1)
1 3
(1) 2 sin 2
2 2 3
sin 2 sin sin 2
3 3 2
2 2
2
3 2
6
sin sin 2
5
3 2
2 2
3 2
"Q
D R
x x x x x
x x x x
x x k
x k
x x
x x k
x
π
π π π
π π
π π
π
π
π
π π
π π
π
π π
=
⇔ − = − ⇔ − = −
⇔ − = − ⇔ − = − −
− = − +
= −
⇔ − = − ⇔ ⇔
− = − − +
=
2
18 3
k
π
+
