đề thi học sinh giỏi trường lớp 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (162.76 KB, 4 trang )
Trng THPT Qu Hp I
thi hc sinh gii lp 11 nm hc 2012-2013
Mụn: Toỏn - Khi: 11
Thi gian: 150 phỳt
Bi 1(2,0 im).:
Bi 2 (2,0 im).
1. Cho dóy s
( )
n
u
bit:
2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2
n
n
n
u
= + + + +
. Tớnh
lim
n
u
2. Cho dóy s
( )
n
u
xỏc nh bi :
( )
1 1
1
, , 1,2,
3 2 3 1
n
n
n
u
u u n
n u
+
= = =
+ +
Tớnh tng:
2012 1 2 3 2012
S u u u u= + + + +
Bi 3(3 điểm)
1) Giải phơng trình:
2
2
2tan cot tan
sin 2
x x x
x
+ = +
2) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
( ; )
8 4
x
4 4 6 6 2
4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4x x x x x m+ + =
Bi 4 (2 điểm) : Giải bất phơng trình:
2 2
4 3 2 3 1 1x x x x x + +
Bi 5(1 điểm) : Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC
đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đờng thẳng
AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI
Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1
==========Ht==========
Trng THPT Qu Hp I
1
Đáp Án Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm học 2012-2013
Bài 1
Bài 2
Bài 2 (2,0 điểm).
• Cho dãy số
( )
n
u
biết:
2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2
n
n
n
u
−
= + + + +
. Tính
lim
n
u
• Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi :
( )
1 1
1
, , 1,2,
3 2 3 1
n
n
n
u
u u n
n u
+
= = =
+ +
Tính tổng:
2012 1 2 3 2012
S u u u u= + + + +
Bài giải
Bài 2: (2,0 điểm)
1.
( ) ( )
2 3 2 3 1
1 3 5 2 1 3 5 7 2 1
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
−
− −
= + + + + ⇒ = + + + +
n n
n n
n n
u u
.
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
2 2
1 1 1 2 1 2 3
2 3 , 2
2 2 2 2 2
n
n n n
n n
u n
−
− +
= + + + + − = − ≥
÷
1
2 3 3
lim lim 3 3 lim lim 3
2 2 2
n
n n n
n n
u
−
+
= − = − + =
÷ ÷
2
2. Cú
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 3, 1,2, 4 4 3
n n n n
n n n n n n
u u u u u
+ + +
= + = = + = + +
hay
( ) ( )
1
2
1 1 1 1 1
4 3 1 3 2 1 3
n
u
n n n n n n
+
= = =
ữ
+ + + + + +
. Do ú
1 1 1
, 1,2,
2 2
n
u n
n n
=
ữ
+
Vy
2012 1 2 3 2012
1 1 1 1
1
2 2 2013 2014
S u u u u
= + + + + = + =
ữ
Bi 3
(3điểm)
3) Giải phơng trình:
2
2
2tan cot tan
sin 2
x x x
x
+ = +
4) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
( ; )
8 4
x
4 4 6 6 2
4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4x x x x x m+ + =
B i gi i
+) Điều kiện
+) Tìm đợc tanx = 1 hoặc tanx = 0
+) GiảI đúng và loại nghiệm đúng. ĐS:
4
x k
= +
+) Đa PT về dạng:
2
2cos 4 cos4 2 1x x m = +
(1)
+) Đặt t = cos4x với
( ; )
8 4
x
t
(-1; 0)
+) Xét f(t) = 2t
2
+ t trên (-1; 0) có bảng biến thiên
Và PT (1) có nghiệm khi đờng thẳng y = 2m +1 (song song hoặc
trùng 0x )cắt f(t) trên (-1; 0)
+) ĐS:
1
( ;1)
2
m
Bi 4
Giải bất phơng trình:
2 2
4 3 2 3 3 1x x x x x + +
B i gi i
+) Điều kiện:
2
2
3
4 3 0
1
2 3 1 0
1
2
x
x x
x
x x
x
+
=
+
+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm
+) Với
3x
suy ra BPT
( 3)( 1) ( 1)(2 1) 1x x x x x
3
chỉ ra vô nghiệm
+) Với
1
2
x
suy ra BPT
(1 )(1 2 ) (1 )(3 ) 1x x x x x
.
Chỉ ra nghiệm
1
2
x
+) Kết luận: BPT có nghiệm
1
1
2
x
x
=
Bi 5
Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K
là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đờng thẳng AS và CK
ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI
Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1
Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và
song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI
Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P
Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q
Vậy PQ // BI
Ta có I, E là các trung điểm của AC và SI
1
3
SP
SA
=
Mà
1 1
3 3
PQ SP
PQ AF
AF SA
= = =
Ta có
2 3AF BI= =
Vậy
3
3
PQ =
4
