LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN

Home: 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Hotline: 090.88.626.88 Trang | 1
Đây lại là dạng bài mà các em đã được gặp trong kì thi Đại học vừa qua (năm 2013). Để giải bài
toán trắc nghiệm một cách nhanh nhất thì các em phải biết sử dụng cách nào là hiệu quả (trong
nhiều cách dưới đây). Các cách này, vận dụng tương tự cho con lắc đơn hay các chuyên đề dao
động khác : dao động sóng, dao động điện từ…
Đề thi đại học 2013 : Câu 28 (Mã đề 859)
Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và 64 cm được treo ở trần một căn phòng. Khi các
vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng
hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song
song với nhau. Gọi
t
là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo
song song nhau. Giá trị
t
gần giá trị nào nhất sau đây?
A.8,12 s. B.2,36 s. C.0,45 s. D.7,20 s.
Hướng dẫn giải (xem cuối bài)
Chúc các em vận dụng thành công đối với các “biến thể” của dạng này!
DẠNG 15. THỜI ĐIỂM VÀ SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU, 2 VẬT CÁCH NHAU d (met)
LOẠI 1 : HAI DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ
Cách 1 :
B1 :
+ xác định vị trí, thời điểm gặp nhau lần đầu t
1
.
+ Trong cùng khoảng thời gian t, hai dao động quét được một góc như nhau = π ⟹
T
t
2


.
(sau khoảng thời gian này 2 vật lại gặp nhau)
B2 : + Thời điểm gặp nhau lần thứ n :
1
T
t (n 1) t
2
  
. Với n = 1, 2, 3 …
Cách 2 :
Giải bằng phương pháp đại số, xem ví dụ 3.
Cách 3 :
Hai dao động phải có cùng tần số.
Phương trình khoảng cách :
   
 
1 2 1 1 2 2
L x x A cos t A cos t
L Acos t
         
    

Hai vật gặp nhau
12
L
xx
t k2
L 0 t
2

xétv (t 0)



      

   





Ví dụ 1 : Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 400 g, độ cứng lò xo 10π
2
N/m
dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở
gốc tọa độ). Biên độ của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau
khi chúng chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần hai vật nặng gặp nhau
liên tiếp là
A. 0,3 s. B. 0,2 s. C. 0,4s. D. 0,1 s.
Hướng dẫn giải :
Trang | 2
A
-A
x
x’
N
N’
M
M’


+ Giả sử hai vật gặp nhau tại vị trí li độ x, ở thời điểm t
1
= 0.
Sau khoảng thời gian
T
t
2

, hai chất điểm quét được một góc π như nhau và gặp nhau tại x’.
Khoảng thời gian giữa ba lần gặp nhau n = 3 :
1
2
TT
t (n 1) t (3 1) T
22
m 0,4
t T 2 2 0,4s
k 10
     
      


Ví dụ 2 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao
động của các vật lần lượt là
1
x 3cos(5 t )
3

  

và
2
x 3cos(5 t )
6

  
(x tính bằng cm; t tính bằng
s). Trong khoảng thời gian 1s đầu tiên, hai vật gặp nhau mấy lần?
Hướng dẫn giải :
Ta nhận thấy hai vật gặp nhau tại thời điểm ban đầu t
1
= 0 :
1
12
2
3
x 3cos( )
3
32
xx
3
2
x 3cos( )
62


  


  




  



Chu kì :
22
T 0,4s
5




Trong 1s có :
1
T 0,4
t (n 1) t 1 (n 1) 0 1 n 6
22
         
(lần) gặp nhau.
Bài tập đề nghị :
Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các
vật lần lượt là
1
x 3cos(5 t )
3

  

và
2
x 3cos(5 t )
6

  
(x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ thời
điểm 0,21 s, trong 1s tiếp theo hai vật gặp nhau mấy lần?

Ví dụ 3 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao
động của các vật lần lượt là
1
x 3cos(5 t )
3

  
và
2
x 2 3cos(5 t )
2

  
(x tính bằng cm; t tính
bằng s). Xác định thời điểm gặp nhau của hai vật.
Hướng dẫn giải :
Tại thời điểm t = 0, hai vật không gặp nhau. Ta không thể giải bằng cách trên được.
Ta có : Khi gặp nhau có
12
xx


3cos 5 t 2 3 cos 5 t
32
3cos 5 t 2 3 cos 5 t
3 3 6

   
     
   
   
  
   
      
   
   

LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN

Home: 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Hotline: 090.88.626.88 Trang | 3
Đặt
y 5 t
3


  


ta có phương trình
3cosy 2 3cos y
6







3cos y 2 3 cosycos sin ysin
66
31
3cos y 2 3 cosy. sin y.
22
sin y
3cos y 3cosy sin y 0
2


  



  


    

sin y 0 y k
1k
y 5 t k t ;k 0,1,2
3 15 5
    


         

Bài toán đề nghị :
Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa
độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều
ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai
vật lần lượt là
1
x 4cos 4 t cm
3


  


và
2
x 4 2 cos 4 t cm
12


  


. Tính từ thời điểm
1
1
ts
24


đến thời điểm
2
1
ts
3

thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không
nhỏ hơn
2 3 cm
là bao nhiêu ?
A.
1
s
3
. B.
1
s
8
. C.
1
s
6
. D.
1
s.
12
.
LOẠI 1 : HAI DAO ĐỘNG KHÁC TẦN SỐ
Lưu ý :
+ Hai vật gặp nhau ⟹

12
xx

+ Hai vật gặp nhau tại li độ x, chuyển động ngược chiều ⟹ ngược pha.
Ví dụ 4 : Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ A, với tần số góc 3 Hz và 6 Hz. Lúc đàu
hai vật đồng thời xuất phát từ vị trí có li độ
A2
2
. Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật gặp
nhau là
A. 1/35 s. B. 1/25 s. C. 1/36 s. D. 1/6 s.
Hướng dẫn giải :
Để có khoảng thời gian ngắn nhất ⟹ hai vật chuyển động cùng chiều và theo chiều
dương.
Xuất phát tại
1
12
2
A2
Acos
A2
x
2
2
4
A2
t0
Acos
2








      








Phương trình dao động :
11
22
x Acos t
4
x Acos t
4


  


  





  





Trang | 4
Khi gặp nhau :
12
12
12
xx
Acos t Acos t
44
tt
44


   
     
   
   

   
      
   
   


Hai đao động gặp nhau lần đầu nên ngược pha :
12
tt
44

   
     
   
   

12
21
ts
4( ) 36

  
 

Chọn đáp án C.
Bài tập đề nghị :
Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao động của
hai vật tương ứng là
 
11
x Acos 3 t  
và
 
22
x Acos 4 t  
. Tại thời điểm t = 0, hai vật xuất

phát tại cùng li độ
A
2
nhưng vật thứ nhất chuyển động theo chiều dương, vật thứ hai chuyển động
theo chiều âm trục tọa độ. Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật gặp lại nhau là
A. 3 s. B. 1 s. C. 4 s. D. 2 s.
Hướng dẫn giải :
Xuất phát tại
1
1
22
A
A
vìv 0
Acos
x
3
2
2
A
t0
Acos vìv 0
23



   






  

  

  

     






Phương trình dao động :
11
22
x Acos t
3
x Acos t
3


  


  





  





Khi gặp nhau :
12
12
12
xx
Acos t Acos t
33
t t k2
33


   
     
   
   

   
        
   
   

Hai vật gặp nhau cùng trạng thái ban đầu nên ngược pha :

12
t t k2
33

   
       
   
   

12
11
k2 2k
t
7
3 rad / s, 4 rad / s,
t0

  
  
     


Khoảng thời gian ngắn nhất khi k = 1 :
2k 2
ts
77
  

Ví dụ 5 : Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao
động của hai vật tương ứng là

 
11
x Acos 3 t   
và
 
22
x Acos 4 t   
. Tại thời điểm t = 0, hai
vật xuất phát tại cùng li độ
A
2
nhưng vật thứ nhất chuyển động theo chiều dương, vật thứ hai
LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN

Home: 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Hotline: 090.88.626.88 Trang | 5
chuyển động theo chiều âm trục tọa độ. Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp
lại như ban đầu là
A. 3 s. B. 1 s. C. 4 s. D. 2 s.
(Trích đề thi thử chuyên Thái Nguyên, lần 1 - 2013)
Hướng dẫn giải :
Vì chu kì :
1
1
2
2
222
Ts
33
2 2 1
Ts

42




  



12
TT

Nên hai vật gặp lại khi vật 1 thực hiện được n dao động, vật 2 thực hiện được (n + 1) dao
động.:
12
1
21
nT (n 1)T n (n 1) n 3
32
2
t nT 3. 2s
3
      
   

LOẠI 3 : KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI VẬT TRONG QUÁ TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
1. Tìm khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất
Hai dao động phải cùng tần số
Cách 1 :
+ sử dụng đường tròn lượng giác.

+ sử dụng phương trình khoảng cách :
12
L x x Acos( t )     

+
min
max
L0
LA






2. Tìm thời điểm để hai vật cách nhau một khoảng d
Cách 2 : phương trình khoảng cách :
   
 
1 2 1 1 2 2
L x x A cos t A cos t
Acos t
         
   

L d Acos( t ) d     

⟹
t t(k)
với k ∈ Z; t > 0

Ví dụ 6 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song
với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của
hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao
động của hai vật lần lượt là
1
x 4cos 4 t cm
3


  


và
2
x 4 2 cos 4 t cm
12


  


. Tính
khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm.
Hướng dẫn giải :

Độ lệch pha :
12
3 12 4
  
       


Hai vật có cùng tần số góc nên độ lệch pha luôn không đổi
trong qua trình chuyển động. Khoảng cách giữa hai vật là
khoảng cách giữa hai hình chiếu của 2 vecto :
-4
N
P
M
42
42
Q
4
φ
φ
Trang | 6
min
S0
: khi chất điểm ở M và N.
S
max
= 4 cm : khi chất điểm ở P và Q.
Cách 2 : phương trình khoảng cách :
12
L x x 4cos 4 t 4 2cos 4 t
3 12

   
       
   
   


max
L 4cos 4 t L 4cm
6


     



Ví dụ 7 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song
với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của
hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao
động của hai vật lần lượt là
1
x 4cos 4 t cm
3


  


và
2
x 4 2 cos 4 t cm
12


  



. Tính từ
t = 0, hai vật cách nhau 2 cm lần đầu tại thời điểm
A 1/6 s. B. 1/7 s. C. 1/8 s. D. 1 s.
Hướng dẫn giải :

Khoảng cách giữa hai vật :
12
L x x 4cos 4 t 4 2cos 4 t
3 12
4cos 4 t
6

   
       
   
   


  



L : là hàm dao động điều hòa theo t.
Sử dụng phương pháp bấm số phức để viết phương trình của L
Để L = 2 cm :
1
L 4cos 4 t 2 cos 4 t cos
6 6 2 3
  

   
        
   
   

4 t 2k
63
1k
4 t 2k
t
63
24 2
1k
t
4 t 2k
82
63

      



     
  










     





1
k 0:t s
8


Bài tập đề nghị :
Bài 1 : Khi hai chất điểm chuyển động đều trên hai đường tròn đồng tâm thì hình chiếu của
chúng trên cùng một đường thẳng dao động với phương trình lần lượt là :
1
x 2Acos t
12


  



và
2
x Acos t
4



  


(trong đó x tính bằng cm; t tính bằng s và A > 0). Ở thời điểm nào sau
đây, khoảng cách giữa hai hình chiếu có giá trị lớn nhất?
A 1,0 s. B. 0,5 s. C. 0,25 s. D. 0,75 s.
LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN

Home: 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Hotline: 090.88.626.88 Trang | 7
Bài 2 : Hai chất điểm M
1
và M
2
cùng dao động điều hòa trên một trục x quanh điểm O với cùng
tần số f. Biên độ của M
1
là A, của M
2
là 2A. Dao động của M
1
chậm pha hơn một góc /3 so
với dao động của M
2
, lúc đó
A. Khoảng cách M
1
M
2

biến đổi tuần hoàn với tần số f, biên độ
A3
.
B. Khoảng cách M
1
M
2
biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ
A3
.
C. Độ dài đại số
12
MM
biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ
A3
và vuông pha với dao
động của M
2
.
D. Độ dài đại số
12
MM
biến đổi điều hòa với tần số f, biên độ
A3
và vuông pha với
dao động của M
1
.
(Trích đề thi thử chuyên Đại Học Vinh, lần 1 - 2013)
HD :

12
0
3

    

   
1 2 1 2
L x x 2Acos t Acos t
A 3cos t
2
         


  



Bài 3 : Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số f = 0,5Hz dọc theo hai đường thẳng song
song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường
thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N
theo phương Ox là 10 cm. Tại thời điểm t
1
hai vật đi ngang nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là
bao nhiêu kể từ thời điểm t
1
khoảng cách giữa chúng bằng 5cm.
A. 1/3s. B. 1/2s. C. 1/6s. D. 1/4s.
Bài 4 : Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng cùng song song với trục tọa độ
Ox. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O và vuông góc với Ox. Biên độ

dao động của chúng lần lượt là 140,0mm và 480,0mm. Biết hai chất điểm đi qua nhau ở vị trí có li độ x =
134,4mm khi chúng đang chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm đó
theo phương Ox là
A. 620,0mm. B. 485,6mm. C. 500,0mm. D. 474,4mm.
HD :
Áp dụng máy tính với số phức :
o
134,4 134,4
L 140 { arccos } 480 {arccos } 500 ( 147,5 )
140 480
    
.
max
L 500mm
.

Áp dụng cho con lắc đơn - đề thi Đại học 2013
Bài 5 : Câu 28 (Mã đề 859)
Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và 64 cm được treo ở trần một căn phòng. Khi các
vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng
hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song
song với nhau. Gọi
t
là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo
song song nhau. Giá trị
t
gần giá trị nào nhất sau đây?
A.8,12 s. B.2,36 s. C.0,45 s. D.7,20 s.

Trang | 8

Hướng dẫn giải :
Tần số góc :
2
1
1
g 10
rad / s
0,81 9

   

2
2
2
g 10
rad / s
0,64 8

   

Giả sử truyền cho vật vận tốc theo chiều dương.
Phương trình dao động của 2 con lắc đơn :
1
10
x Acos t cm
92






và
2
10
x Acos t cm
82






Hai dây song song nhau (gặp nhau) khi
12
xx

Acos t Acos t
0,9 2 0,8 2
10 10
t t k2 (loai)
9 2 8 2
10 10
t t k2
9 2 8 2
72 144
tk
170 17
   
   
   

   
   
   

    



   


     




  

72
k 0:t 0,423s
170
  