SỞ G D & Đ T N G H Ệ A N Đ Ề T H I T H Ử Đ Ạ I H Ọ C L Ầ N T H Ứ H A I N Ă M
2013

TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU
M ô n : T O Á N ; K h ối D

.


Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề).


I. Phần chung cho tất cả thí sinh:
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số
x 1
y
x 1



(H)
1. Khảo sát sự biến t hiên và vẽ đ ồ t h ị ( H ) c ủ a h à m s ố.
2. Lậ p p h ư ơ n g t r ì n h đường thẳng (d) đi qua M (
,
1
2
1

2


) và cắt (H) tại hai điểm A, B sao
cho M là trung điểm AB.
Câu II (2.0 điểm) 1. Giải hệ p hươn g trì n h :
x x y y
x y - x
3 3
8 2
2 2 1
  



  


.
2. Giải phương trình
si n 2 x 3 c o s 2 x 6 2 si n x 1 0
4
 
    
 
 

.
Câu III ( 1 , 0 đ i ể m ) Tính:
3
2
0
x 1

x
x 1




I d

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,

BAD
0
120
và SA

(ABCD), SA= a
3
. Tính thể t í c h k h ố i c h óp S.ABCD và khoảng cách giữ a AD và SB.
Câu V (1.0 điểm ) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3. Chứn g m inh rằn g :
  
  
a b c
b c a
2 2 2
3
1 1 1 2
II. Phần riên g:
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VIa(1,0 điểm) T r o n g m ặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạ n h AB: x – 3y + 7
= 0, đ ư ờn g c a o A H : x – 5y +11 = 0 và M (1,0) là trung điểm AC. Lập phương trì n h c ạ n h BC .

Câu VIIa (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d)
x y
z+1 
 
1
2 1 2
và hai mặt
phẳn g (P
1
) : x + y - 2 z + 5 = 0 , ( P
2
): 2x – y + z + 2 = 0. Viết p hươ n g trì n h m ặt cầu tâm I thuộ c (d)
và tiếp xú c v ới c ả hai mặt phẳn g ( P
1
), (P
2
).
Câu VIIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn:
z
=
2
và z = 2 –
z
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VIb (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có phương trì n h :
x y
 
2 2
1
9 5

. Gọi F
1
, F
2
là
hai tiêu điểm của (E). Tì m điểm M

( E ) s a o c h o M F
1
= 2MF
2

Câu VIIb(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 10x + 2y + 26x–113= 0
và hai đường thẳng (d
1
)
x+5 y
z +13 1
2 3 2

 

và (d
2

) :
x t
y t
z
  


  




7 3
1 2
8
. Hãy viết phương trình mặt
phẳn g (P ) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với cả (d
1
) , (d
2
) .
Câu VIIIb ( 1,0 điểm).Tìm số phức z thỏa mãn:
z 
5
và
(z+i)
2
là số thuần ảo.
****************************** Hết *********************************
Họ và tên: ……………………………………. SBD: …………………………


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM – MÔN TOÁN, KHỐI D - 2013
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(2 điểm)
1. (1 điểm)
+) Tập xác định: D =
¡
\{1}
+) Sự biến thiên:
-) Chiều biến thiên:
2
2
y' 0 , x 1
(x 1)

   


=> h/s nghịch biến trên (-

; 1) và (1;+

),
-) Cực trị: Không có.
-) Giới hạn:
x 1 x 1
x
lim y 1, l im y ,lim y
 

 

    
Vậy tiệm cận ngang là y = 1 , t i ệm cận đứng là x = 1
-) Bảng biến thiên: x –

1 +


y’ – –
y 1
+


–

1

+)
Đồ thị:


2.(1 điểm): Gọi A(
0
x
,
0
y
)


(H), khi đó B (– 1–
0
x
,– 1–
0
y
)

(H)
nên ta có hệ phương tr ì n h
0
0
0
0
0
0
x 1
y
x 1
1 x 1
1 y
1 x 1







  


  

  

0
0
x
0
x 1




 

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
Với
0
x
= 0 thì
0
y
= – 1 nên A(– 1, 0) và B(0, – 1)
Với

0
x
= – 1 thì
0
y
= 0 nên A(0, – 1) và B(– 1, 0)
0.25
Câu 2
(2 điểm)
1. (1 điểm). Đk :
y x
0  
Từ phương trình thứ nhất suy ra
( )
3 3
2x 2x y y
  
(*)
Xét h/s đặc trưng f(t) =
3
t
t 
. Do
2
f ' 3 t 1 0 , t .
   
Nên h/s đồng biến trên
[
0,
) 

.
Từ (*) suy ra y = 2x, thế vào phương trình thứ hai ta được :
2x y x 2 1 2x x 2 1 x 1
         
và y = 2
Vậy hệ phương trình có một nghiệm là (1, 2)
2. (1 điểm).
Pt

Sin2x + Cos2x = 3Sinx + Cosx + 2


os os
2
2SinxCosx 6C
x 6Sinx 6C x 2 0     


(Sĩn – Cosx )( Sinx + 2Cosx – 3) = 0


osx - 3 = 0(**)
Sinx Cosx(*)
Sinx 2C





Ta có (**) vô nghiệm. Giải (*) ta được nghiệm

x k ,k
4

   
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
Câu 3
(1 điểm)
Đặt t = x + 1 => dt = dx, khi x = 0 => t = 1, x = 3 => t = 4
=>
3 4 4
2 2 2
0 1 1
x 1 (t 1 ) t 2t 2
I d(x) dt dt
x 1 t t
   
  

  

=
5 3 1
2 2 2
4
2 4 106

( t t 4t )
5 3 15
1
  

0.25
0.5
0.25
Câu 4
(1 điểm)
+) Do
·
BAD
0
120
nên
ABC V
đều cạnh a S
s u y r a d t ( A B C D ) = 2 .
A B C
S
=
2
a
3
2

S . AB C D
V
=

1
3
.SA.dt(ABCD) A H D
=
1
3
a
3
.
2 3
a 3
a
2
2

(đvtt). B I C

0.25
0.25
+) Ta có d(AD,SB) = d(AD, (SBC))=d(A,(SBC))
Gọi I là trung điểm BC suy ra AI

BC
Do BC

SA, BC

AI

BC


( S A I )
Từ A hạ AH

SI

A H

(SBC)

d(A, (SBC)) = AH

Do

SAI vuông tại A nên AH =
2 2
SA.AI 15
a
5
S A A I


Vậy k/c(AD,SB) =
a 15
5
0.25
0.25
Câu 5
(1 điểm)
Do a, b, c > 0, a + b + c = 3 nên

2 2 2
a b c
1 b 1 c 1 a
  
  
=
2 2 2
a b 1 b c 1 c a 1 3
1 b 4 1 c 4 1 a 4 2
  
     
  
3 3
(a b c )
2 2
    
. Vậy P
3
2

. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0.5
0.5
CT
Chuẩn
(3 điểm)
VIa. (1 điểm). Tọa độ A là nghiệm hệ pt
x 3y 7 0
x 5y 11 0


  

  


A(-1;2).
Do M(1;0) là trung điểm AC suy ra C(3;-2)
Do
AH AH
n ( 1 ; 5 ) u (5;1)
   
r r
.Vì BC

AH nên BC có
B C
n ( 5 ; 1 )

r
Vậy pt đường BC là: 5(x - 3) + ( y + 2 ) = 0

5x + y – 13 = 0
VIIa. (1 điểm) Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu cần tìm, do I

d nên
a 2b 2 0
a b 1 c 1
2 1 2
a c 1 0


  
 
  

  

(1)
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc v ới (
1
P
), (
2
P
) nên k/c(I ,(
1
P
)) = k/c (I,(
2
P
))=R
a b 2c 5 2a b c 2
a 2b 3c 3
3 a c 7
6 6
     

  
  

  


(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được
8 7 5 20
a ,b ,c R
3 3 3
3 6
1 0
a 4,b 1 , c 5 R
6

    



       


Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn điều kiện bài toán là:
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2 2 2
8 7 5 2 0 0
(x ) (y ) (z )
3 3 3 2 7

     
và
2 2 2
5 0
(x 4) (y 1) (z 5 )
3
     

VIIIa. (1 điểm).
Gọi z = a +bi

2 2
a b 2
a 1 , b 1
2a 2

 

   




Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i
0.25
0.5
0.5
CT
Nâng cao
(3 điểm)

VIb (1 điểm). C ho p t (E ) :
2 2
x y
1
9
5
 

2
c
4 

1 2
F ( 2;0),F (2;0)


Khi đó
1 2
2 2
MF 3 x,MF 3 x
3 3
   


1 2
2 2 3 1 5
M F 2MF ( 3 x) 2(3 x) x ,y
3 3 2 2
         


Vậy
3 15
M( , )
2 2

hoặ c
3
1 5
M( , )
2 2
 

VIIb( 1 đ i ể m ) . V é c t ơ c h ỉ p h ư ơ n g c ủ a (
1
d
) là
u (2; 3;2)
 
r
, của (
2
d
)
là
v (3; 2;0)
 
r
. Mặt cầu (S) có tâm I (5; –1; –13) và R =
308
.

Mặt phẳng (P) cần tìm có véc tơ pháp tuyến là
n u , v (4;6;5)
 
 
 
r u r r
Vậy (P) có phương trình : 4x + 6y + 5z + D = 0
Để (P) tiếp xúc với (S) thì điều kiện là :
d(I,(P)) =
2 0 6 6 5 D
308 308
1 6 3 6 2 5
  
 
 
D
1 0 3
D 205

 




Vậy có 2 mặt phẳng (P) cần tì m l à :
4x + 6y + 5z – 103 = 0 và 4x + 6y + 5z + 205 = 0
VIIIb (1 điểm). Gọi z = a + bi

2 2
2 2

a b 5
a (b 1) 0

 


  



2
2 2
b b 2 0
a (b 1)

  


 


Với b = 1

a =

2

z = 2 + i hoặ c z = –2 + i
Với b = –2


a =


z = 1 – 2i hoặc z = –1 –2i
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
Lưu ý : Đáp án chỉ trình bày một cách giải. nếu thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho
điểm tối đa.