Mục lục
Tómtắt Lý thuyết 1
Bài toán có lời giải 15
1 Điểm - Đường thẳng 15
2 Đường tròn - Đường elip 68
Bài tập ôn luyện có đáp số 94
1 Bài tập Điểm - Đường thẳng 94
2 Bài tập Đường tròn - Đường elip 107
boxmath.vn
Lời nói đầu
Hình học giải tích hay hình học tọa độ là một cách nhìn khác về Hình học . Hình học giải tích
trong mặt phẳng được đưa vào chương trình toán của lớp 10 nhưng vẫn có trong đề thi tuyển
sinh Đại học, Cao đẳng. Để góp phần trong việc ôn tập cho học sinh trước khi dự thi Diễn đàn
BoxMath xin đóng góp tuyển tập này.
Khi thực hiện biên soạn trên diễn đàn BoxMath, tôi đã nhận được sự quan tâm của nhiều
thành viên và quản trị viên. Những người đã góp sức vào quá trình biên soạn, góp ý sửa chữa
về các chi tiết trong tuyển tập. Sự đóng góp của các bạn, và những thầy cô tâm huyết chứng tỏ
cuốn tài liệu này là cần thiết cho học sinh.
Bây giờ đây, khi bạn đang đọc nó trên máy tính hay đã được in ra trên giấy.Chúng tôi hy vọng
nó sẽ góp phần ôn tập kiến thức của bản thân đồng thời tăng thêm động lực khi học tập hình
học giải tích trong không gian.
Mặc dù đã biên soạn rất kỹ tuy nhiên tài liệu có thể vẫn còn sai sót, mong các bạn khi đọc
hãy nhặt ra dùm và gởi email về Đồng thời qua đây cũng xin phép các
Tác giả đã có bài tập trong tuyển tập này mà chúng tôi chưa nhớ ra để ghi rõ nguồn gốc vào,
cùng lời xin lỗi chân thành.
Thay mặt nhóm biên soạn, tôi xin chân thành cảm ơn!
Chủ biên
Châu Ngọc Hùng
Các thành viên biên soạn

1. Huỳnh Chí hào -THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp
2. Lê Đình Mẫn - THPT Nguyễn Chí Thanh - Quảng Bình
3. Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự 2 - Đồng Tháp
4. Đỗ Kiêm Tùng - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội
5. Tôn Thất Quốc Tấn - Huế
6. Nguyễn Tài Tuệ - THPT Lương Thế Vinh - Vụ Bản Nam Định
7. Nguyễn Xuân Cường - THPT Anh Sơn 1 - Nghệ An
8. Lê Đức Bin - THPT Đồng Xoài - Bình Phước
9. Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận
10. Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp.
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế
t





































































1







H
Ì
N
H
H
Ọ
C

GI
Ả
I

T
Í
CH

T
R
ONG
M
Ặ

T

PH
Ẳ
N
G


PH
ƯƠ
N
G
P
H
Á
P

TO
Ạ

ĐỘ

T
R
O
N
G
M
Ặ
T


PH
Ẳ
N
G

T
Ọ
A
ĐỘ

Đ
I
Ể
M
-
T
Ọ
A
ĐỘ

V
É
CT
Ơ


A
.


KI
Ế
N

TH
Ứ
C
C
Ơ
B
Ả
N


I
. H
ệ

tr
ụ
c
to
ạ

độ

ĐỀ
-
C
ÁC

t
r
o
n
g
m
ặ
t

ph
ẳ
ng
:


•

x
'
O
x

:

tr
ụ
c

ho
à

n
h






















































•

y
'
O

y

:

tr
ụ
c

t
un
g

•

O



:
g
ố
c

to
ạ

độ

•


,
ij
rr
:
v
é
ct
ơ

đơ
n
v
ị

(
)
1


v
a
ø
i
j
ij
=
=⊥
r
r
rr




Q
u
y
ư
ớ
c
:
M
ặ
t

ph
ẳ
n
g
m
à

t
r
ê
n
đ
ó

c
ó


ch
ọ
n
h
ệ

tr
ụ
c

to
ạ

độ

Đề
-
C
á
c

vu
ô
n
g

gó
c


O
x
y
đư
ợ
c
g
ọ
i
l
à
m
ặ
t

ph
ẳ
ng














O
x
y

v
à

ký

hi
ệ
u
l
à

:

m
p
(
O
x
y)

II
.
To
ạ


độ
c
ủ
a
m
ộ
t
đ
i
ể
m
v
à
c
ủ
a
m
ộ
t
v
é
ct
ơ
:

1
.
Đ
ị
n

h

n
gh
ĩ
a

1:

C
h
o
()
M
m
p
O
xy
∈
.

K
h
i
đ
ó
v
éct
ơ


OM
uuu
ur

đư
ợ
c

bi
ể
u

di
ể
n
m
ộ
t

các
h

d
u
y

nh
ấ
t


t
h
eo



















,
ij
rr
b
ở
i
h
ệ


th
ứ
c

c
ó
d
ạ
n
g

:



vo
i

x
,y
O
M
x
i
yj
=
+∈
uuu
u

r
rr
¡
.





C
ặ
p
s
ố
(
x
;
y
)
t
r
o
n
g
h
ệ

th
ứ
c


tr
ê
n
đư
ợ
c
g
ọ
i
l
à

to
ạ

độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m

M.





Ký

hi
ệ
u
:




M(
x
;
y
)





(

x
:

h
o
à
n
h

đ
ộ
c
ủ
a
đ
i
ể
m

M
;

y
:

t
un
g
độ
c
ủ
a
đ
i
ể
m

M
)























































/
(
;
)








dn
M
x
y
O
M
x
i
yj
⇔
=+
uuu
urrr

•

Ý

n
gh
ĩ
a
h
ì
nh
h

ọ
c
:






































































































v
à


y
=
OQ
x
OP
=



2
.
Đ
ị
n

h

n
gh
ĩ
a

2:

C
h
o
()
a
m
p
O
xy
∈
r
.

K
h
i
đ
ó
v
éct
ơ


a
r

đư
ợ
c

bi
ể
u

di
ể
n
m
ộ
t

c
á
c
h

d
u
y

nh
ấ

t

t
h
eo












,
ij
rr
bở
i
hệ
th
ứ
c
có
d
ạn
g

:
1
2
12


voi

a,a
a
ai
aj
=+∈
r
rr
¡
.




C
ặ
p
s
ố
(a
1
;a
2

)

t
r
on
g
h
ệ

th
ứ
c

tr
ê
n
đư
ợ
c
g
ọ
i
l
à

to
ạ

độ
c

ủ
a
v
é
ct
ơ

a
r

.












K
ý

hi
ệ
u
:





12
(
;)
a
aa
=
r
















































/
1

2
12
=
(
a
;
a
)






dn
a
a
a
i
aj
⇔
=+
r
r
rr




•


Ý

n
gh
ĩ
a
h
ì
nh
h
ọ
c
:














































































































1
1
1
2
22

và
a
=A
aABB
=
x
y
i
r
j
r
O
'
x
'
y
'
x
x
y
i
r
j
r

O
'
y
M
Q
P
x
y
O
'
x
'
y
M
Q
P
x
y
x
y
1
e
v
2
e
v
O
'x
'y
P

a
r
x
y
O
'x
'
y
1
A
1
B
2
A
2
B
A
B
K
H
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý


t
h
uy
ế
t




































































2















II
I
.


C
á
c

c
ô
n
g

th
ứ
c
v
à
đ
ị
n
h

l
ý
v
ề

to
ạ

độ


đ
i
ể
m
v
à

to
ạ

độ

v
é
ct
ơ
:


Đ
ị
n
h

l
ý

1:



N
ế
u
B
(
;
)


v
à

B
(
x
;)
A
AB
A
x
yy

t
h
ì



























(
;)
B
A
BA
A
B
x
x

yy
=
−−
uu
ur



Đ
ị
n
h

l
ý

2:


N
ế
u
1
2
12
(
;
)

v

à

(
;)
a
a
a
b
bb
==
rr

t
hì














*



11
22
a


b
ab
ab
=

=⇔

=

rr













*



1
1
22
(
;)
a
b
a
b
ab
+
=
++
rr













*



1
1
22
(
;)
a
b
a
b
ab
−
=
−−
rr













*



12
.
(
;)
k
a
k
a
ka
=
r





()
k
∈
¡


I
V
.
S
ự
c

ù
n
g

ph
ươ
n
g
c
ủ
a

h
a
i
v
é
ct
ơ
:





Nh
ắ
c
l
ạ

i

•

Hai
v
é
ct
ơ

c
ù
n
g

ph
ươ
n
g

l
à

h
ai
v
éct
ơ
n
ằ

m

tr
ê
n

c
ù
n
g
m
ộ
t
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g

ho
ặ
c
n
ằ
m


tr
ê
n

h
ai
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
s
o
n
g

s
on
g
.

•

Đ
ị

n
h

l
ý
v
ề
s
ự
c
ùn
g

ph
ươ
n
g
c
ủ
a

h
a
i
v
é
ct
ơ
:




Đ
ịn
h
l
ý
3
:











Ch
o
h
ai
véct
ơ


v
à





v
o
i
0
a
bb
≠
r
r
rr


































c
ùn
g

phu
o
n
g






!
k

s
a
o

c
ho
.
a
b
a
kb
⇔
∃
∈=
r
r
rr
¡



















N
ế
u
0
a
≠
rr

t
h
ì
s
ố

k

t
r
o
n
g


tr
ư
ờ
n
g
h
ợ
p
n
à
y
đư
ợ
c

x
á
c
đị
n
h

nh
ư

s
a
u:









k

>

0

k
h
i
a
r

c
ù
n
g
h
ư
ớ
n
g
b
r







k
<
0
k
h
i
a
r
ng
ư
ợc
hư
ớ
ng
b
r
































a
k
b
=
r
r








Đ
ị
n
h

l
ý

4
:







,
,

t
h
a
ng


h
à
ng





c
ù
ng

p
h
u
o
n
g
A
B
C
A
B
AC
⇔
uuur
uuur










































(
Đ
i
ề
u

ki
ệ
n

3
đ
i
ể
m

th
ẳ
n
g
h
à

n
g
)

 Đ
ịnh
lý 5:
Cho
hai véct
ơ
1
2
12
(
;) v
aø (;)
a
aabbb
==
rr

ta có :





















1221

c
ùn
g

ph
uo
n
g






a
.

.0
a
b
b
ab
⇔
−=
rr





(
Đ
i
ề
u

ki
ệ
n
c
ùn
g

ph
ươ
n
g

c
ủ
a
2

v
éct
ơ













A
B
C
a
v
b
r
25
ab , b-a

52
=−=
vv
vv

)
;(
A
A
y
xA
)
;
(
BB
y
x
B
a
v
b
v
a
v
b
v
a
v
b
v

(
1
;
2)
(
2
;
4)
a
b
=
=
v
v
12
12
(
;)





V
D
:
(;)
a
aa
bbb

=
=
v
v
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế
t





































































3




V
.
T
íc
h

v
ô
h
ư
ớ
n
g
c
ủ
a

h
a
i
v
é
ct
ơ
:










Nh
ắ
c
l
ạ
i:












.
.
.
c
o
s
(
,)

a
b
a
b
ab
=
r
r
r
r
rr














2
2
aa
=
rr

















.0
a
b
ab
⊥
⇔=
r
r
rr






Đ
ị
nh

l
ý

6:


C
ho

h
a
i
v
é
ct
ơ

1
2
12
(
;
)

v
à


(
;)
a
a
a
b
bb
==
rr

ta

c
ó
:

































1
1
22
.
a
b
a
b
ab
=+
rr









(
C
ô
n
g

th
ứ
c

t
í
n
h

tíc
h

v
ô
h
ư
ớ

n
g

t
h
e
o
t
ọ
a
độ
)





Đ
ị
n
h

l
ý

7:

C
ho


h
a
i
v
é
ct
ơ

12
(
;
)

a
aa
=
r
ta

c
ó
:



22
12
aaa
=+
r

(Công thức tính độ dài véctơ )








Đ
ị
n
h

l
ý

8:
N
ế
u
B
(
;
)


v
à


B
(
x
;)
A
AB
A
x
yy

t
h
ì






























22
(
)
()
B
A
BA
A
B
x
x
yy
=
−
+−








(
C
ô
n
g

th
ứ
c

tí
n
h

k
ho
ả
n
g

c
á
c
h

2

đ
i
ể
m)




Đ
ị
nh

l
ý

9:


C
h
o

h
ai
v
éct
ơ

1
2

12
(
;
)

v
à

(
;)
a
a
a
b
bb
==
rr

ta

c
ó
:
































1
1
22





a0
a
b
b
ab
⊥
⇔
+=
rr












(
Đ
i
ề
u

ki
ệ

n

vu
ô
n
g

gó
c
c
ủ
a

2
v
é
ct
ơ
)





Đ
ị
nh

l
ý


10:

C
ho

h
a
i
v
é
ct
ơ

1
2
12
(
;
)

v
à

(
;)
a
a
a
b

bb
==
rr

ta

c
ó




























1
1
22
2
2
22
1
2
12
.
c
o
s
(
,)
.
.
a
b
a
b
ab
ab
ab
a

a
bb
+
==
++
rr
rr
rr





(
C
ôn
g

th
ứ
c

t
í
n
h

g
ó
c

c
ủ
a

2
v
éct
ơ
)



V
I.

Đ
i
ể
m

chi
a
đ
o
ạ
n

th
ẳ
n

g
t
h
e
o
t
ỷ
s
ố
k
:





Đ
ị
n
h

n
gh
ĩ
a:

Đ
i
ể
m


M
đ
ư
ợ
c
g
ọ
i
l
à

c
h
ia
đ
o
ạ
n

A
B

t
h
e
o
t
ỷ
s

ố

k

(

k
≠
1

) n
ế
u

nh
ư

:

.
M
A
k
MB
=
uu
u
r
uu
ur



A



M



B











•



•





•
















Đ
ị
nh

l
ý

11
:
N
ế
u

B
(;)
, B(x;)
A
AB
Axyy

v
à
.
MAk
MB
=
uu
u
r
uu
ur
(

k
≠
1
)

t
h
ì

























(
)

;;
11
A
B
AB

MM
x
k
x
y
ky
xy
kk
−−

=

−−


x
y
b
v
O
'
x
'
y
a
v

ϕ
a
v

b
v
b
v
a
v
O
B
A
(
;)
BB
B
xy
(
;)
AA
A
xy
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t

h
uy
ế
t
































































4






Đ
ặ
c

bi
ệ
t
:




M

là

t

r
u
n
g
đ
i
ể
m
c
ủ
a

A
B

⇔

(
)
;;
22
A
B
AB
MM
x
x
yy
xy
++


=



V
II
. M
ộ
t
s
ố

đ
i
ề
u

ki
ệ
n

xá
c
đị
nh
đ
i
ể
m


t
r
o
n
g

t
a
m

g
i
á
c

:

G
x
3
1
.

G

l
à

t

r
o
n
g

t
â
m

t
a
m

g
i
á
c

A
B
C




G
A
0



3
A
BC
A
BC
G
x
xx
G
B
GC
yyy
y
++

=


⇔
+
+
=⇔

++

=


uu
u

r
uu
u
r
uu
u
rr

2
.
.0
H

l
à

t
r
u
c

t
â
m

t
a
m

g

i
á
c

A
B
C


.0
A
H
B
C
A
H
BC
B
H
A
C
B
H
AC

⊥=

⇔⇔

⊥=



uu
u
r
uu
u
r
uu
u
r
uu
ur
uu
u
r
uu
u
r
uu
u
r
uu
ur

3
.
'
'
'


l
à

c
h
â
n

d
uong

ca
o

k
e

t
u

A


c
ùn
g

ph
uo

n
g
A
A
BC
A
B
A
BC

⊥

⇔



uu
ur
uu
ur
uu
ur
uu
ur

4
.
I
A
=

IB
I
l
à

t
â
m

du
o
n
g

t
r
òn

n
g
o
a
i

tiê
p

t
a
m


g
i
ác
A
BC

I
A
=
IC

⇔



5
.
D

l
à

c
h
â
n

du
o

n
g

p
h
â
n

g
i
ác

t
r
o
n
g

c
u
a

gó
c
A

c
u
a


A
B
C

.
AB
D
B
DC
AC
∆
⇔
=−
uu
u
r
uu
ur

6
.
E

l
à

c
h
â
n


d
u
ong

p
h
â
n

g
iá
c

ng
o
à
i

c
u
a

g
ó
c
A

c
u

a

A
B
C

.
AB
E
B
EC
AC
∆
⇔=
u
uu
ruu
ur

7
.
J

l
à

t
â
m


du
o
n
g

t
r
òn

n
ô
i

ti
ê
p

A
B
C

.
AB
J
A
JD
BD
∆
⇔
=−

u
u
r
u
u
ur


V
III
.
Ki
ế
n
th
ứ
c
c
ơ
b
ả
n

th
ư
ờ
n
g
s
ử

d
ụ
n
g

k
h
á
c:







C
ô
n
g

th
ứ
c

t
í
n
h


di
ệ
n
t
í
ch
t
a
m

g
i
á
c
t
h
e
o

to
ạ

độ

b
a
đỉ
nh
:











Đ
ị
nh

l
ý

12:



C
ho

ta
m

g
i
ác


A
B
C
.
Đ
ặ
t
1
212
(
;
)


v
à

(
;)
A
B
a
a
A
C
bb
==
uu
ur
uuur


ta

c
ó
:



























1
2
21
1
.
2
A
BC
S
a
b
ab
∆
=−



Cơng thức tính góc hai đường thẳng dựa vào hệ số góc :













Đ
ị
n
h

l
ý

1
3
:


C
ho

h
ai
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
1

∆
v
ớ
i
h
ệ
s
ố

g
óc

1
k

v
à
2
∆
v
ớ
i
h
ệ
s
ố

g
óc


2
k
.
K
h
i
đ
ó
n
ế
u





























(
)
·
12
;
α
∆
∆=

t
h
ì














































12
12
t
an
1
kk
kk
α
−
=
+


G
A
B
C
H
A
B
C
A'
B
A
C

I
A
B
C
B
A
C
D
J
B
A
C
D
B
C
B
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế

t
































































5



ĐƯ
Ờ
N
G
TH
Ẳ
N
G
T
R
O
N
G M
Ặ
T

PH
Ẳ
N
G
T
Ọ
A

ĐỘ



A
.
KI
Ế
N
TH
Ứ
C C
Ơ
B
Ả
N


I
.
C
á
c
đ
ị
n
h

n
gh

ĩ
a
v
ề

V
T
C
P
v
à

V
T
P
T
(P
V
T
) c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g
th
ẳ
n

g:


a
r
l
à

V
T
C
P
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
(
∆
)
dn
⇔


0
a

c
ó

g
i
á

s
o
n
g

s
ong

h
a
y

t
r
ù
ng

v
o

i

()
a

≠


∆


rr
r

n
r

là

V
T
P
T
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n

g

th
ẳ
n
g
(
∆
)
dn
⇔

0
n

c
ó

g
i
á

v
uô
ng

g
ó
c


v
o
i

()
n

≠


∆


rr
r







*

C
h
ú

ý:


•

N
ế
u
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
(
∆
)
c
ó

V
T
C
P
12
(
;)
a
aa

=
r

t
h
ì

c
ó

V
T
P
T

l
à
21
(
;)
n
aa
=−
r

•

N
ế
u

đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
(
∆
)
c
ó

V
T
P
T
(
;)
n
AB
=
r

t
h
ì


c
ó

V
T
C
P

là
(
;)
a
BA
=−
r






II
.
Ph
ươ
n
g

tr

ì
n
h
đư
ờ
n
g
th
ẳ
n
g
:

1
.
Ph
ươ
n
g
tr
ì
nh

t
h
a
m
s
ố
v

à

ph
ươ
n
g

tr
ì
nh

c
h
í
n
h
t
ắ
c
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ

n
g
:


a
.
Đ
ị
n
h

l
ý
:
Tr
o
n
g
m
ặ
t

ph
ẳ
n
g

(
O

x
y
).
Đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
(
∆
)

q
u
a
M
0
(x
0
;y
0
)
v
à


nh
ậ
n
12
(
;)
a
aa
=
r

l
à
m


VTCP sẽ có :







































Ph
ươ
n
g


tr
ì
nh

t
h
a
m
s
ố
l
à
:
01
02
.
(
)
:








()
.
x

x
ta
t
y
y
ta
=+

∆∈

=+

¡






















Ph
ươ
n
g

tr
ì
nh

c
h
í
n
h
t
ắ
c
l
à
:
00
12
(
):
x
x

yy
aa
−−
∆=



(
)
12
,0
aa
≠























)
(
∆
n
v
a
v
a
v
)
(
∆
a
v
n
v
)
(
∆
y
a
v
(
;)
M

xy
O
x
0
00
(
;)
M
xy
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế
t


































































6


2
.
Ph
ươ
n
g
tr
ì
nh
t
ổ
n
g

q
u
á
t c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g
th
ẳ
n
g
:


a
.
Ph
ươ
n
g
tr
ì
nh
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
đ
i

q
u
a
m
ộ
t
đ
i

ể
m
M
0
(x
0
;y
0
)
v
à
c
ó

V
T
P
T
(
;)
n
AB
=
r

l
à:

























00
(
)
:
(
)
(
)0
A

x
x
B
yy
∆
−
+
−=




(
22
0
AB
+≠
)


b
.

Ph
ươ
n
g

tr
ì

n
h
t
ổ
n
g

qu
á
t c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
:



Đ
ị
n
h


l
ý
:
T
r
on
g
m
ặ
t

ph
ẳ
n
g
(
O
x
y
)
.

Ph
ươ
n
g

tr
ì

n
h
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
(
∆
)
c
ó
d
ạ
n
g
:
























































































0
A
x
B
yC
+
+=


v
ớ
i
22
0

AB
+≠












C
h
ú

ý:



T
ừ

ph
ươ
n
g


tr
ì
n
h
(
∆
):
0
A
x
B
yC
+
+=


ta

l
u
ôn

s
u
y
r
a
đư
ợ
c

:




1
.

V
T
P
T
c
ủ
a
(
∆
)
là
(
;)
n
AB
=
r




2

.

V
T
C
P
c
ủ
a
(
∆
)

là
(
;
)

h
a
y

a
(
;)
a
B
A
BA
=

−
=−
rr




3
.
0
0
0
00
(
;
)
(
)0
M
x
y
A
x
B
yC
∈
∆
⇔
+
+=

















M
ệ
n
h
đề

(
3
)
đ
ư
ợ
c


hi
ể
u
l
à

:


























Đ
i
ề
u

ki
ệ
n
c
ầ
n
v
à
đ
ủ

để
m
ộ
t
đ
i
ể
m
n
ằ
m


tr
ê
n
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
l
à
t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m
đ
ó


























n
g
hi
ệ
m
đ
ún
g

ph

ươ
n
g

tr
ì
nh
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g
th
ẳ
n
g
.


3
.

C
á
c
d
ạ

n
g

k
h
á
c
c
ủ
a
ph
ươ
n
g
tr
ì
n
h
đư
ờ
n
g
th
ẳ
n
g
:


a

.
Ph
ươ
n
g
tr
ì
nh
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
đ
i

q
u
a

h
a
i
đ
i
ể

m

A
(x
A
;y
A
)

v
à

B
(x
B
;y
B
)
:


















(
):
AA
B
A
BA
x
x
yy
AB
x
x
yy
−−
=
−−












(
):
A
A
B
xx
=













(
):
A
A
B
yy
=









b
.

Ph
ươ
n
g

t
rì
n
h
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
t

h
e
o
đ
o
ạ
n

ch
ắ
n:




Đ
ị
n
h

l
ý
:
T
r
o
n
g

m

p
(
O
x
y
)

ph
ươ
n
g

tr
ì
nh
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
(
∆
)
c
ắ
t


tr
ụ
c
h
ồ
n
g
t
ạ
i
đ
i
ể
m

A
(
a;
0
) v
à

tr
ụ
c

t
u
n

g
t
ạ
i














đ
i
ể
m

B
(
0
;
b
)
v

ớ
i

a
,
b
≠
0
có
d
ạ
n
g
:





1
xy
ab
+=


































)
;
(
0

0
0
y
x
M
)
;
(
B
A
n
=
v
x
y
O
)
;
(
A
B
a
−
=
v
)
;
(
A
B

a
−
=
v
)
;
(
y
x
M
x
y
O
)
;
(
A
A
y
x
A
)
;
(
B
B
y
x
B
)

;
(
AA
y
x
A
)
;
(
B
B
y
x
B
A
x
B
x
A
y
B
y
x
y
)
;
(
A
A
y

x
A
)
;
(
B
B
y
x
B
A
y
B
y
x
y
y
n
v
(
;)
M
xy
O
x
0
00
(
;)
M

xy
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế
t


































































7

c
.
Ph
ươ
n
g

tr

ì
nh
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
đ
i

q
u
a
m
ộ
t
đ
i
ể
m
M
0
(x
0
;y
0

)
và

c
ó
h
ệ
s
ố

g
ó
c

k:



Đ
ị
n
h

n
gh
ĩ
a:

Tr
on

g

mp
(
O
x
y
)
c
h
o
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
∆
. G
ọ
i
(
,)
Ox
α
=∆
t

h
ì
t
an
k
α
=

đư
ợ
c
g
ọ
i
l
à
h
ệ
s
ố

g
ó
c



















c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
∆










Đ
ị
n
h

l
ý

1:

Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h
đư
ờ
n
g

th

ẳ
n
g
∆

q
u
a
0
00
(
;)
M
xy

c
ó
h
ệ
s
ố

g
ó
c

k
l
à
:

























































































































00
y
-

y
=
k
(
x
-
x)







(
1)








C
h
ú

ý


1:

Ph
ươ
n
g

tr
ìn
h

(
1
)

kh
ô
n
g

c
ó

ch
ứ
a

ph
ươ
n

g

tr
ì
nh
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
đ
i

q
u
a
M
0

v
à


vu
ô
n
g

góc











Ox

n
ê
n

k
h
i
s
ử
d
ụ

n
g

ta
c
ầ
n
để

ý

x
ét

th
ê
m
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
đ
i

qu

a
M
0

v
à

v
uôn
g

g
ó
c

O
x

là
x

=
x
0







Ch
ú

ý
2
:
N
ế
u
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
∆

c
ó

ph
ươ
n
g

tr

ì
n
h
y
axb
=+

t
h
ì
h
ệ
s
ố

g
ó
c
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n

g
l
à
ka
=



Đ
ị
n
h

l
ý

2
:
G
ọ
i
k
1
, k
2
l
ầ
n
l
ư

ợ
t
l
à
h
ệ
s
ố

g
ó
c
c
ủ
a

h
ai
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
12
,

∆∆

ta

c
ó
:

•

1
2
12
/
/







k
k
∆
∆
⇔=












(
)
12
∆
≠∆

•

1
2
12








k
.1
k

∆
⊥
∆
⇔
=−

d
.

Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h
đ
t
đ
i

qu
a
m
ộ
t
đ
i

ể
m
v
à

s
o
n
g

s
o
n
g

ho
ặ
c

v
u
ô
n
g

g
ó
c
v
ớ

i
m
ộ
t
đ
t

c
h
o
tr
ư
ớ
c:





i
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

đư
ờ
n
g

th
ẳ
ng

1

(
)

/
/
(
)
:

A
x
+
B
y
+C
=
0
∆∆
c

ó
d
ạ
ng
:

1

A
x
+
B
y
+
m
=0




i
i
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì

nh
đư
ờ
n
g

th
ẳ
ng

1
(
)

(
)
:

A
x
+
B
y
+
C=0
∆
⊥∆
c
ó
d

ạ
ng
:

2
B
x
-
A
y
+
m
=0









C
h
ú
ý
:
12
;
mm


đư
ợ
c

x
á
c
đị
n
h
b
ở
i
m
ộ
t
đ
i
ể
m

c
ó
t
ọ
a
độ

đ

ã

bi
ế
t
n
ằ
m

tr
ê
n
12
;
∆∆








II
I
.
V
ị

t

rí
t
ươ
n
g
đ
ố
i
c
ủ
a

h
a
i
đ
ư
ờ
n
g
th
ẳ
n
g
:























































Tr
on
g

m
p
(
O
x
y
)
c

h
o

h
ai
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g

:
1
1
11
2222
()
:0
(
)
:0
Ax
ByC
A
x
B

yC
∆+
+=
∆
+
+=


1
∆
x
y
O
2
∆
2
1
//
∆
∆
1
∆
x
y
O
2
∆
2
1



∆
∆
c
aét
1
∆
x
y
O
2
∆
2
1


∆
≡
∆
0
:
2
1
=
+−
∆
mAy
Bx
x
y

O
0
x
1
M
0
:
1
=
+
+
∆
C
By
Ax


)
;
(
y
x
M
x
y
O
0
x
0
y

0
:
1
1
=
+
+
∆
m
By
Ax
x
y
O
0
x
0
:
1
=
+
+
∆
C
By
Ax
1
M
y
α

x
O
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế
t


































































8


V
ị

t
r
í

t
ươ
n
g
đ
ố
i
c
ủ
a
12
(
)

v
à

()
∆∆

ph
ụ

t
hu
ộ
c
v
à
o

s
ố

n
g
hi
ệ
m
c
ủ
a
h
ệ

ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h
:

































1
11
2
22

0
0
A
x
B
yC
A
x
B
yC
+
+=


+
+=






h
a
y


1
11
2

22



(
1)
A
x
B
yC
A
x
B
yC
+
=−


+
=−











C
h
ú
ý
:

N
g
hi
ệ
m

d
u
y

nh
ấ
t
(
x
;
y
)
c
ủ
a
h
ệ


(
1
)

c
h
í
n
h
l
à
t
ọ
a
độ

g
ia
o
đ
i
ể
m

M c
ủ
a
12
(
)


v
a
ø

()
∆∆


Đ
ị
n
h

l
ý

1:



























12
12
12
.


H
ê

(
1
)

vô

ng

h
i
ê
m












(
)
/
/
()
.


Hê

(
1
)


c
ó

ng
h
i
ê
m

d
u
y

n
h
â
t



(
)

cá
t
(
)
.



H
ê

(
1
)

c
ó

n
g
h
i
ê
m

t
ù
y


ý






(

)
()
i
ii
iii
⇔
∆∆
⇔
∆∆
⇔
∆
≡∆


Đ
ị
n
h

l
ý

2:




N
ế
u

2
22
;;
ABC

k
h
á
c

0

t
hì


























11
12
22
1
11
12
2
22
1
11
12
2
22
A
.



(
)


cá
t

(
)




A
A
.


(
)

//

(
)







A
A

.


(
)
(
)








A
B
i
B
BC
ii
BC
BC
iii
BC
∆
∆
⇔≠
∆
∆

⇔
=≠
∆
≡
∆
⇔
==


I
V
.
G
ó
c

gi
ữ
a

h
a
i
đ
ư
ờ
n
g
th
ẳ

n
g


1.
Đ
ị
n
h

n
gh
ĩ
a
:
Ha
i
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g

a
,
b

c
ắ
t

n
h
a
u
t
ạ
o

th
à
nh

4
g
óc
.
S
ố

đ
o

nh
ỏ

nh

ấ
t

t
r
o
n
g

c
á
c
s
ố

đ
o










c
ủ
a

b
ố
n
g
óc

đ
ó

đư
ợ
c
g
ọ
i
l
à
góc

gi
ữ
a

h
a
i
đ
ư
ờ
n

g

th
ẳ
n
g

a
v
à
b

(
h
a
y
g
óc
h
ợ
p
b
ở
i

h
ai











đư
ờ
ng

th
ẳ
n
g

a
v
à
b
).
G
óc

gi
ữ
a

h
ai

đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g

a
v
à

b
đư
ớ
c

k
í

hi
ệ
u
l
à
(
)

,
ab











K
h
i

a

v
à

b

s
ong

s
on
g


ho
ặ
c

tr
ùn
g

nh
a
u
,

t
a
nói
r
ằ
n
g
góc
c
ủ
a

c
h
ú
n

g
b
ằ
n
g
0
0









2.

C
ơ
n
g

th
ứ
c
t
í
nh
g

óc

gi
ữ
a

h
a
i
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g

t
he
o

V
T
C
P
v
à


V
T
P
T



a
)
N
ế
u

h
a
i
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
có

V

T
C
P
l
ầ
n
l
ư
ợ
t
l
à
u
r

v
à
v
r

t
hì






(
)

(
)
.
c
o
s
,
c
o
s,
.
uv
a
b
uv
uv
==
rr
rr
rr



b
)
N
ế
u

h

ai
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
có

V
T
P
T
l
ầ
n
l
ư
ợ
t
l
à
n
r

v

à
'
n
u
ur

t
hì






(
)
( )
.'
c
o
s
,
c
o
s
,'
.'
nn
a
b

nn
nn
==
r
uur
r
u
ur
r
u
ur




Đ
ị
n
h

l
ý
:

T
r
on
g

m

p
(
O
x
y
)
c
h
o

h
ai
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g

:
1
1
11
2
2
22
(

)
:0
(
)
:0
A
x
B
yC
A
x
B
yC
∆
+
+=
∆
+
+=

















G
ọ
i
ϕ
(
00
0
90
ϕ
≤≤
)
là

gó
c

gi
ữ
a
12
(
)

v
a

ø

()
∆∆

ta

c
ó
:











































1
2
12
2222
1122
c
os
.

A
A
BB
A
B
AB
ϕ
+
=
++












H
ệ

qu
ả
:





















































1
212
12
(
)
(
)





A0
A
BB
∆
⊥
∆
⇔
+=

1
∆
x
y
O
2
∆
ϕ
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy

ế
t

































































9


V
.
K
ho
ả
n
g

c
á
c
h
t
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m
đế

n
m
ộ
t
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
:

Đ
ị
n
h

l
ý

1
:

T
r
o

n
g

mp
(
O
x
y
)

c
ho

h
a
i
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
(
)
:0
A
x

ByC
∆
+
+=

v
à
đ
i
ể
m
0
00
(
;)
M
xy







K
ho
ả
n
g


các
h
t
ừ
M
0

đ
ế
n
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
()
∆

đư
ợ
c

t
í
n

h
b
ở
i

c
ô
n
g

th
ứ
c:








































00
0
22
(
;)
A
x
B

yC
dM
AB
++
∆=
+




Đ
ị
n
h

l
ý

2:


T
r
o
n
g

mp
(
O

x
y
)

c
ho

h
a
i
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g

:
1
1
11
2
2
22
(
)
:0

(
)
:0
A
x
B
yC
A
x
B
yC
∆
+
+=
∆
+
+=















Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

ph
â
n

g
i
ác
c
ủ
a

gó
c
t
ạ
o
b
ở
i

12
(
)

v
a
ø

()
∆∆

l
à
:
































1
1
1
2
22
2
2
22
1
1
22
A
x
B
y

C
A
x
B
yC
A
B
AB
+
+
++
=±
++




























Đ
ị
n
h

l
ý

3
:
C
h
o
đư
ờ
n
g

th
ẳ

n
g
1
(
)
:0
A
x
B
yC
∆
+
+=

v
à

h
ai
đ
i
ể
m

M
(x
M
;y
M
),


N
(x
N
;y
N
)

k
h
ô
n
g
n
ằ
m






















t
r
ê
n
(
∆
)
.

K
h
i
đ
ó:

•

Hai
đ
i
ể
m


M ,

N
n
ằ
m
c
ù
n
g

p
h
í
a
đ
ố
i
v
ớ
i

(
∆
)

k
h
i


v
à

ch
ỉ

k
hi
















(
)
(
)0
M
M

NN
A
x
B
y
C
A
x
B
yC
+
+
+
+>

•

Hai
đ
i
ể
m

M ,

N
n
ằ
m


kh
á
c

ph
ía
đố
i
v
ớ
i

(
∆
)
kh
i

v
à

ch
ỉ

k
hi

















(
)
(
)0
M
M
NN
A
x
B
y
C
A
x
B
yC
+
+

+
+<


x
y
O
)
(
∆
0
M
H
1
∆
x
y
O
2
∆
M
N
M
N
∆
∆
boxmath.vn
T
ĩ
m

t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế
t































































10




ĐƯ
Ờ
N
G

TR
Ò
N

T
R
O
N

G
M
Ặ
T

PH
Ẳ
N
G
T
Ọ
A
ĐỘ


A
.
KI
Ế
N
TH
Ứ
C C
Ơ
B
Ả
N

I
.

Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h
đư
ờ
n
g

tr
ò
n:




1
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì

n
h

c
h
í
nh
t
ắ
c:




Đ
ị
n
h

l
ý
:



T
r
on
g


m
p
(
O
x
y
).
Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

tr
ò
n

(

C
)

tâ
m

I(
a;
b
)
,
b
á
n

k
í
n
h

R

là
:






























































2
22
(
)
:
(

)
()
C
x
a
y
bR
−
+
−=


(
1)


























Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

(
1
)
đư
ợ
c
g
ọ
i
l
à


ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

c
h
í
nh
t
ắ
c
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

tr
òn























Đ
ặ
c

bi
ệ
t:





K
h
i

I
≡
O

t
h
ì

2
22
(
):
C
x
yR
+=





2
.
Ph

ươ
n
g

tr
ì
n
h
t
ổ
n
g

qu
á
t:





Đ
ị
n
h

l
ý
:
T

r
on
g

m
p
(
O
x
y
)
.

Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

:



22
2
20

x
y
a
x
b
yc
+
−
−
+=





v
ớ
i

22
0
a
bc
+
−>






















là

ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h
c
ủ
a

đ
ư
ờ
n
g

tr
òn

(
C
)
c
ó

t
â
m

I
(
a;
b
)
,
b
á
n

k

í
n
h
22
R
a
bc
=
+−


II
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

ti
ế
p

t
uy
ế

n
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

tr
ò
n:











Đ
ị
n
h

l

ý
:
T
r
on
g

m
p
(
O
x
y
)
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

ti
ế
p

t

uy
ế
n
v
ớ
i
đ
ư
ờ
n
g

tr
ò
n





















22
(
)
:
2
20
C
x
y
a
x
b
yc
+
−−
+=
t
ạ
i
đ
i
ể
m
00
(

;
)
()
M
x
yC
∈

là
:






































0
0
00
(
)
:
(
)
(
)0
x
x
y

y
a
x
x
b
y
yc
∆
+
−
+
−
+
+=




V
I
.
C
á
c
v
ấ
n
đề

c

ó

li
ên

q
u
a
n:









1
.
V
ị

t
rí
t
ươ
n
g
đ

ố
i
c
ủ
a
đ
ư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
v
à
đư
ờ
n
g
tr
ò
n:













Đ
ị
n
h

l
ý
:












































(
)
(

)








d
(
I
;
)

>
R
C
∆
=
∅
⇔∆
I
































(
)

ti
ê
p


x
ú
c

(
C
)



d
(
I
;
)
=
R
∆
⇔∆
































(
)

cá
t
(
C
)










d
(
I
;
)

<
R
∆
⇔∆


x
y
O
)
;
(
b
a
I
R

a
b
)
;
(
y
x
M
(
C)
I
(
a;
b)
)
(
∆
)
;
(
0
0
0
y
x
M
()
C
()
C

I
H
M
R
()
C
MH
≡
R
I
H
M
R
I
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế
t





































































11

L
ư
u
ý:

C
ho
đư
ờ
n
g
t
r
òn

22
(
)
:
2
20
C
x

y
a
x
b
yc
+
−−
+=

v
à
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
(
)
:0
A
x
B
yC
∆
+
+=

. T
ọ
a
độ

g
ia
o
đ
i
ề
m

(n
ế
u
có
)
c
ủ
a

(
C
)
v
à
(
∆
)

là

n
g
hi
ệ
m
c
ủ
a
h
ệ

ph
ươ
n
g

tr
ì
nh
:







































































22
2
20
0
x
y
a
x
b
yc
A
x
B
yC

+
−−
+=

+
+=


2
.
V
ị

t
rí

t
ươ
n
g
đ
ố
i
c
ủ
a

h
a
i
đ
ư
ờ
n
g
tr
ò
n
:































1
2
1
2
12
1
2

1
2
1
2
12
1
2
1
2
12
1
21
(
)

v
à

(
C
)

kh
ôn
g

c
á
t


n
h
a
u








I
I

>
R
(
)

v
à

(
C
)

cá
t


nh
a
u














R
<

I
I

<
R
(
)

v
à


(
C
)

ti
ê
p

x
ú
c

ng
o
à
i

nh
a
u



I
I

=
R
(

)

v
à

(
C
)

ti
ê
p

x
ú
c

t
r
o
n
g

nh
a
u





II
CR
C
RR
CR
C
⇔+
⇔
−+
⇔+
⇔
2
12

=
R
R
−


L
ư
u
ý:


C
h
o
đư

ờ
n
g
t
r
òn

22
(
)
:
2
20
C
x
y
a
x
b
yc
+
−−
+=


và đường tròn
(
)
22
':2'2''0

Cxyaxbyc
+−−+=
.
T
ọ
a
độ

g
i
a
o
đ
i
ề
m
(n
ế
u
có
)
c
ủ
a
(
C
) v
à
(
C

’)

l
à

n
ghi
ệ
m
c
ủ
a
h
ệ

ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h
:








































































22
22
2
20
2
'
2
'
'0
x
y
a
x
b
yc
x
y
a
x
b
yc

+
−
−
+=



+
−
−
+=




1
I
1
R
1
C
2
I
2
R
2
C
1
I
1
R
1
C
2
C

2
R
2
I
1
C
1
I
1
R
2
C
2
R
2
I
1
C
2
C
1
I
2
I
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ

t

lý

t
h
uy
ế
t




































































12


ĐƯ
Ờ
N
G

E
L
Í
P

T
R

O
N
G
M
Ặ
T

PH
Ẳ
N
G T
Ọ
A
ĐỘ


A
.
KI
Ế
N
TH
Ứ
C C
Ơ
B
Ả
N

I.

Đ
ị
n
h

n
gh
ĩ
a:


E
l
í
p

(E)

là
t
ậ
p
h
ợ
p

c
á
c
đ

i
ể
m

M
c
ó
t
ổ
n
g

k
ho
ả
n
g

c
á
c
h
đế
n

h
ai
đ
i
ể

m
c
ố

đị
n
h
F
1
;
F
2
b
ằ
n
g
h
ằ
n
g
s
ố
















*

Hai
đ
i
ể
m
c
ố

đị
n
h
F
1
;
F
2

đư
ợ
c
g

ọ
i
l
à

các

t
iê
u
đ
i
ể
m















*

F
1
F
2

=

2
c

(

c

>

0
)
đư
ợ
c
g
ọ
i
l
à

t
i
ê

u
c
ự













{
}
12
(
)
/2
E
M
M
F
M
Fa
=
+=











(

a
>
0

:
h
ằ
n
g
s
ố
v
à

a
>
c
)



II
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

c
h
í
n
h
t
ắ
c
c
ủ
a

E
líp
v
à


c
á
c
y
ế
u
t
ố
:



1
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

c
h
í
n
h

t
ắ
c:


22
22
(
)
:1
xy
E
ab
+=

v
ớ
i

2
22
b
ac
=−


(
a

>


b
)

(
1)












2. Các yếu tố của Elíp:
* Elíp xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm:


-
T
â
m
đ
ố
i
x

ứ
n
g

O
,

tr
ụ
c
đố
i
x
ứ
n
g

O
x
;

Oy



-
T
i
ê
u

đ
i
ể
m
F
1
(
-
c;
0
)
;
F
2
(
c
;
0
)



-
T
i
ê
u
c
ự


F
1
F
2

=

2c



-
Tr
ụ
c
l
ớ
n
n
ằ
m

tr
ê
n

O
x
;
đ

ộ
d
à
i

tr
ụ
c
l
ớ
n


2
a
(

=
A
1
A
2
)



-
Tr
ụ
c


nh
ỏ
n
ằ
m

tr
ê
n

O
y
;
đ
ộ
d
ài

tr
ụ
c
l
ớ
n


2
b


(
=
B
1
B
2
)



-

Đ
ỉ
nh

tr
ê
n

tr
ụ
c
l
ớ
n

:
A
1

(
-
a;
0
)
;
A
2
(
a;
0)



-

Đ
ỉ
nh

tr
ê
n

tr
ụ
c

nh
ỏ


:B
1
(
0;
-
b
)
;
B
2
(
0
;
b)



-

B
á
n

k
í
n
h

q

u
a

t
i
ê
u
đ
i
ể
m:








V
ớ
i

M(
x
;
y
)
∈
(

E
)
t
h
ì











11
22
c
r
M
F
a
x
a
ex
a
c
r
M

F
a
x
a
ex
a

=
=
+
=+




=
=
−
=−





-
T
â
m

s

ai







:
(
0
1)
c
ee
a
=
<<



-

Đư
ờ
n
g

c
hu
ẩ

n

:
a
x
e
=±


(E)
2c
M
-
a

a

(E
)

c

-
c

y
x

R


S

P
Q

O

M

1
r
2
r
1
A
2
A
1
B
2
B
1
F
2
F
1
F
2
F
boxmath.vn

T
ĩ
m
t
ắ
t

lý

t
h
uy
ế
t




































































13


ĐƯ
Ờ
N
G H
Y
P
EB

O
L

T
R
O
N
G
M
Ặ
T

PH
Ẳ
N
G T
Ọ
A
ĐỘ


A
.
KI
Ế
N
TH
Ứ
C C
Ơ

B
Ả
N

I
.
Đ
ị
n
h

n
gh
ĩ
a:








{
}
12
(
)
/2
H

M
M
F
M
Fa
=
−=




(

a

>

0

:
h
ằ
n
g
s
ố
v
à

a


<

c

) (
1)



II
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

c
h
í
n
h
t
ắ
c

c
ủ
a

H
y
peb
o
l
v
à

c
á
c
y
ế
u
t
ố
:











1
.
Ph
ươ
n
g
tr
ìn
h

c
h
í
n
h
t
ắ
c:
































22
22
(
)
:1
xy
H
ab
−=


v
ớ
i

2
22
b
ca
=−





(
1)





















2
.
C
á
c
y
ế
u
t
ố
c
ủ
a

H
y
p
e
b
o
l:








*

H
y
peb
o
l

xá
c
đ
ị
n
h
b
ở
i

ph
ươ
n
g

tr
ì
n

h

(
1
)

c
ó

c
á
c
đ
ặ
c
đ
i
ể
m:



-
T
â
m
đ
ố
i
x

ứ
n
g

O
,

tr
ụ
c
đố
i
x
ứ
n
g

O
x
;

Oy



-
T
i
ê
u

đ
i
ể
m
F
1
(
-
c;
0
)
;
F
2
(
c
;
0
)


T
iê
u
c
ự
F
1
F
2


=

2c



-
Tr
ụ
c

th
ự
c
n
ằ
m

tr
ê
n

O
x
;
đ
ộ
d
à

i

tr
ụ
c

th
ự
c

2
a

(
=
A
1
A
2
)



-
Tr
ụ
c
ả
o
n

ằ
m

tr
ê
n

O
y
;
đ
ộ
d
ài

tr
ụ
c
ả
o


2
b




(


=
B
1
B
2
)



-

Đ
ỉ
nh
:
A
1
(
-
a
;
0
)
;
A
2
(
a;
0)




-

Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

ti
ệ
m
c
ậ
n

:
b
yx
a
=±


- B
án kí

nh q
ua ti
êu điể
m: Vớ
i M(x
;y)
∈
(
H) th
ì :



















V

ớ
i


x

>

0
⇒



11
22
r
M
F
a
ex
r
M
F
a
ex
=
=+


=

=
−+

V
ớ
i

x

<

0
⇒



11
22
()
()
r
M
F
a
ex
r
M
F
a
ex

=
=
−+


=
=
−
−+




-
T
â
m

s
ai







:
(
1)

c
ee
a
=>

- Đường chuẩn :
a
x
e
=±


x
a
b
y
−
=
x
a
b
y
=
1
F
2
F
M
x
y

1
B
2
B
1
A
2
A
a
c
c
−
a
−
O
M
1
F
2
F
c2
boxmath.vn
T
ĩ
m
t
ắ
t

lý


t
h
uy
ế
t




































































14



ĐƯ
Ờ
N
G
P
A
R
A
B
O
L

T
R

O
N
G
M
Ặ
T

PH
Ẳ
N
G T
Ọ
A
ĐỘ





A
.
KI
Ế
N
TH
Ứ
C C
Ơ
B
Ả

N

I
.
Đ
ị
n
h

n
gh
ĩ
a
:







{
}
(
)
/
(,
P
M
M

F
dM
=
=∆



*

F

l
à
đ
i
ể
m
c
ố

đị
n
h
g
ọ
i
l
à

tiê

u
đ
i
ể
m

*
(
∆
)
l
à
đư
ờ
n
g

th
ẳ
n
g
c
ố

đị
n
h
g
ọ
i

l
à
đư
ờ
n
g

c
hu
ẩ
n

*

H
F

=

p

>

0
g
ọ
i
l
à
t

h
a
m
s
ố

ti
êu


II
.
Ph
ươ
n
g

tr
ì
n
h

c
h
í
n
h
t
ắ
c

c
ủ
a

p
a
r
a
b
o
l:



1
)
D
ạ
n
g

1:


Ptct
:
y
2

=


2px





2
)
D
ạ
n
g

2:

Ptct:
y
2

=
-
2px














3
)
D
ạ
n
g

3:

Ptct:
x
2

=

2
py






4

) D
ạ
n
g

4:

Ptct

:
x
2

=
-
2
py











p
K

H
F
M
∆
y

x

p
/2

F(
-
p
/
2
;
0)

M
2
/
:
)
(
p
x
=
∆



y

x

-
p
/2


:
y

=
-
p/2

F(
0
;
p/
2)

O

M



F

(
0
;-
p
/
2)
x
(
) :
y

=

p
/2
p
/2
y
O
M


( )
:

x
=
-
p
/2

O
-
p/2

F(
p/2
;
0)

x
y
M


boxmath.vn
BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI
1 Điểm - Đường thẳng
Bài 1. Trong mặt phẳng Ox y, cho hình thoi ABCD có tâm I
(
3;3
)
và AC = 2BD. Điểm M

2;
4
3

thuộc đường thẳng AB, điểm N

3;

13
3

thuộc đường thẳng C D. Viết phương trình đường chéo BD
biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.
Giải:
I
M
N
N

B
D
A
C
Tọa độ điểm N

đối xứng với điểm N qua I là N


3;
5
3

Đường thẳng AB đi qua M, N

có phương trình: x −3y +2 =0
Suy ra: I H =d
(
I , AB

)
=
|
3 −9 +2
|

10
=
4

10
Do AC =2B D nên I A =2I B.
Đặt I B = x >0, ta có phương trình
1
x
2
+
1
4x
2
=
5
8
⇔x
2
=2 ⇔x =

2
Đặt B


x, y

. Do I B =

2 và B ∈ AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:

(
x −3
)
2
+

y −3

2
=2
x −3y +2 =0
⇔

5y
2
−18y +16 =0
x =3y −2
⇔








x =
14
5
<3
y =
8
5
hoặc

x =4 >3
y =2
Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn B

14
5
;
8
5

Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7x −y −18 =0. 
Bài2. Trong mặt phẳngOxy, cho điểm A
(
−1;2
)
và đường thẳng
(
d
)
: x−2y+3 =0. Tìm trên đường

thẳng (d) hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC =3BC.
Giải:
Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra C là hình chiếu vuông góc của A trên (d).
Phương trình đường thẳng
(
∆
)
qua A và vuông góc với (d) là: 2x +y +m =0
A
(
−1;2
)
∈
(
∆
)
⇔−2 +2 +m =0 ⇔m =0 Suy ra:
(
∆
)
: 2x +y =0.
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:

2x +y =0
x −2y =−3
⇔








x =−
3
5
y =
6
5
⇒C

−
3
5
;
6
5

Đặt B
(
2t −3; t
)
∈(d), theo giả thiết ta có: AC =3BC ⇔ AC
2
=9BC
2
15
boxmath.vn
⇔
4

25
+
16
25
=9

2t −
12
5

2
+

t −
6
5

2

⇔45t
2
−108t +64 =0 ⇔




t =
16
15
t =

4
3
.
Với t =
16
15
⇒B

−
13
15
;
16
15

Với t =
4
3
⇒B

−
1
3
;
4
3

Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: B

−

13
15
;
16
15

hoặc B

−
1
3
;
4
3

. 
A
C
B
1
B
2
Bài 3. Cho điểm A
(
−1;3
)
và đường thẳng ∆ có phương trình x −2y +2 = 0. Dựng hình vuông
ABCD sao cho hai đỉnh B,C nằm trên ∆ và các tọa độ đỉnh C đều dương. Tìm tọa độ các đỉnh
B,C,D.
Giải:

A
B
C
D
Đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với ∆ có phương trình: 2x +y +m =0
A
(
−1;3
)
∈∆ ⇔−2 +3 +m =0 ⇔m =−1 Suy ra:
(
d
)
: 2x +y −1 =0
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

x −2y =−2
2x +y =1
⇔

x =0
y =1
⇒B
(
0;1
)
Suy ra: BC = AB =

1 +4 =


5 Đặt C

x
0
; y
0

với x
0
, y
0
>0, ta có:

C ∈∆
BC =

5
⇔

x
0
−2y
0
+2 =0
x
2
0
+

y

0
−1

2
=5
⇔

x
0
=2y
0
−2
x
2
0
+

y
0
−1

2
=5
Giải hệ này ta được:

x
0
=2
y
0

=2
hoặc

x
0
=−2
y
0
=0
(loại). Suy ra: C
(
2;2
)
Do ABCD là hình vuông nên:
−−→
CD =
−→
B A ⇔

x
D
−2 =−1 −0
y
D
−2 =3 −1
⇔

x
D
=1

y
D
=4
⇒D
(
1;4
)
Vậy B
(
0;1
)
,C
(
2;2
)
,D
(
1;4
)

16 boxmath.vn
boxmath.vn
Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của
tam giác ABC biết A
(
1;6
)
và hai đường trung tuyến nằm trên hai đường thẳng có phương trình
là x −2y +1 =0,3x −y −2 =0.
Giải:

A
B
C
Do tọa độ điểm A không nghiệm đúng các phương trình đã cho nên ta có thể giả sử rằng:
Phương trình trung tuyến B M là: x −2y +1 =0 Phương trình trung tuyến C N là: 3x −y −2 =0
Đặt B
(
2b −1;b
)
, do N là trung điểm AB nên : N

b;
b +6
2

N

b;
b +6
2

∈C N ⇔3b −
b +6
2
−2 =0 ⇔b =2 Suy ra: B
(
3;2
)
Đặt C
(

c;3c −2
)
, do M là trung điểm AC nên : M

c +1
2
;
3c +4
2

M

c +1
2
;
3c +4
2

∈BM ⇔
c +1
2
−2.
3c +4
2
+1 =0 ⇔c =−1 Suy ra: C
(
−1;−5
)
Vậy phương trình ba cạnh là: AB : 11x −2y +1 =0, BC : 7x −4y −13 =0, AC : 2x +y −8 =0 
Bài 5. Trong mặt phẳng Ox y, cho tam giác ABC vuông tại A. Biết A

(
−1;4
)
,B
(
1;−4
)
và đường
thẳng BC đi qua điểm I

2;
1
2

. Tìm tọa độ đỉnh C .
Giải:
A
B
I
C
Phương trình đường thẳng BC : 9x −2y −17 =0 Do C ∈BC nên ta có thể đặt C

c;
9c −17
2

,
ta có
−→
AB =

(
2;−8
)
−→
AC =

c +1;
9c −25
2

. Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A nên:
−→
AB.
−→
AC =0 ⇔c +1 −4.
9c −25
2
=0 ⇔c =3
Vậy C
(
3;5
)

17
boxmath.vn
Bài6. Trong mặt phẳng Ox y, cho tam giác ABC có đường phân giác trong
(
AD
)
: x −y =0, đường

cao
(
C H
)
: 2x +y +3 = 0, cạnh AC qua M
(
0;−1
)
, AB =2AM. Viết phương trình ba cạnh của tam
giác ABC.
Giải:
M
A
B
C
H
D
Gọi N là điểm đối xứng của M qua AD. Suy ra: N ∈ tia AB
Mặt khác ta có: AN = AM ⇒ AB =2AN ⇒ N là trung điểm của AB.
Do MN⊥AD nên phương trình MN là: x +y +m
1
=0
M
(
0;−1
)
∈M N ⇔−1 +m
1
=0 ⇔m
1

=1 Suy ra:
(
M N
)
: x +y +1 =0
Gọi K = MN

AD, tọa độ K là nghiệm của hệ pt:

x +y =−1
x −y =0
⇔







x =−
1
2
y =−
1
2
⇒K

−
1
2

;−
1
2

Vì K là trung điểm của MN nên:

x
N
=2x
K
−x
M
=−1
y
N
=2y
K
−y
M
=0
⇒N
(
−1;0
)
Do AB⊥C H nên phương trình AB là: x −2y +m
2
=0
N
(
−1;0

)
∈ AB ⇔−1 +m
2
=0 ⇔m
2
=1 Suy ra:
(
AB
)
: x −2y +1 =0
Vì A = AB

AD nên tọa độ A là nghiệm của hệ pt:

x −2y =−1
x −y =0
⇔

x =1
y =1
⇒ A
(
1;1
)
Suy ra:
(
AC
)
: 2x −y −1 =0 Vì C = AC


C H nên tọa độ C là nghiệm của hệ pt:

2x −y =1
2x +y =−3
⇔





x =−
1
2
y =−2
⇒C

−
1
2
;−2

Do N là trung điểm của AB ⇒

x
B
=2x
N
−x
A
=−3

y
B
=2y
N
−y
A
=−1
⇒B
(
−3;−1
)
Phương trình cạnh BC: 2x +5y +11 =0 
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh A
(
−1;2
)
. Trung tuyến C M : 5 x +7y −
20 =0 và đường cao B H : 5x −2y −4 =0. Viết phương trình các cạnh AC và BC.
Giải:
Do AC⊥B H nên phương trình AC là: 2x +5y +m =0 A
(
−1;2
)
∈ AC ⇔−2 +10 +m =0 ⇔m =−8
Suy ra:
(
AC
)
: 2x +5y −8 =0 Do C = AC


C M nên tọa độ C là nghiệm của hệ pt:

2x +5y =8
5x +7y =20
⇔

x =4
y =0
⇒C
(
4;0
)
Đặt B
(
a;b
)
, do B ∈B H nên: 5a −2b −4 =0
Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ M là : M

−1 +a
2
;
2 +b
2

18 boxmath.vn
boxmath.vn
Do M

−1 +a

2
;
2 +b
2

∈C M ⇔5.
−1 +a
2
+7.
2 +b
2
−20 =0 ⇔5a +7b −31 =0
Tọa độ M là nghiệm của hệ:

5a −2b =4
5a +7b =31
⇔

a =2
b =3
⇒B
(
2;3
)
Phương trình cạnh BC là:
(
BC
)
: 3x +2y −12 =0 
A

C
B
M
H
Bài 8. Trong mặt phẳng Ox y, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, I

9
2
;
3
2

là tâm của
hình chữ nhật và M
(
3;0
)
là trung điểm của cạnh AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Giải:
I
M
A
B
C
D
Do M I là đường trung bình của tam giác ABD nên AB =2M I =2

9
4
+

9
4
=3

2
Vì S
ABCD
= AB.AD =12 nên AD =
12
AB
=2

2 ⇒M A = MD =

2
Đường thẳng AD qua M
(
3;0
)
và nhận
−−→
I M =

3
2
;
3
2

làm VTPT có phương trình là:

3
2
(
x −3
)
+
3
2

y −0

=0 ⇔x +y −3 =0
Phương trình đường tròn tâm M bán kính R =

2 là:
(
x −3
)
2
+y
2
=2
Tọa độ A và D là nghiệm của hệ phương trình:

x +y −3 =0
(
x −3
)
2
+y

2
=2
⇔

y =3 −x
(
x −3
)
2
+
(
3 −x
)
2
=2
⇔

x =2
y =1
∨

x =4
y =−1
Suy ra: ta chọn A
(
2;1
)
,D
(
4;−1

)
Vì I là trung điểm của AC nên:

x
C
=2x
I
−x
A
=9 −2 =7
y
C
=2y
I
−y
A
=3 −1 =2
⇒C
(
7;2
)
Vì I là trung điểm của BD nên:

x
B
=2x
I
−x
D
=5

y
B
=2y
I
−y
D
=4
⇒B
(
5;4
)
19
boxmath.vn
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A
(
2;1
)
,B
(
5;4
)
,C
(
7;2
)
,D
(
4;−1
)
. 

Bài9. Trong mặt phẳngOxy, cho tam giác ABC với A
(
2;−4
)
,B
(
0;−2
)
và trọng tâmG thuộc đường
thẳng 3x −y +1 =0. Hãy tìm tọa độ của C biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 3.
Giải:
A
B
C
C

G
G

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên: S
∆G AB
=
1
3
S
∆ABC
=
1
3
.3 =1

Phương trình đường thẳng AB là:
x −2
−2
=
y +4
2
⇔x +y +2 =0
Đặt G
(
a;b
)
, do G ∈
(
d
)
: 3x −y +1 =0 nên 3a −b +1 =0, ta có:
S
∆G AB
=1 ⇔
1
2
.AB.d
(
G, AB
)
=1 ⇔
1
2
.2


2.d
(
G, AB
)
=1
⇔d
(
G, AB
)
=
1

2
⇔
|
a +b +2
|

2
=
1

2
⇔a +b +2 =±1
Tọa độ G là nghiệm của hệ:

3a −b =−1
a +b =−1
∨


3a −b =−1
a +b =−3
⇔







a =−
1
2
b =−
1
2
∨

a =−1
b =−2
Suy ra: G

−
1
2
;−
1
2

hoặc G

(
−1;−2
)
Với G

−
1
2
;−
1
2

thì







x
C
=3x
G
−
(
x
A
+x
B

)
=−
7
2
y
C
=3y
G
−

y
A
+y
B

=
9
2
⇒C

−
7
2
;
9
2

Với G
(
−1;−2

)
thì

x
C
=3x
G
−
(
x
A
+x
B
)
=−5
y
C
=3y
G
−

y
A
+y
B

=0
⇒C
(
−5;0

)
Vậy có hai điểm C thỏa đề bài là : C
(
−5;0
)
và C

−
7
2
;
9
2


20 boxmath.vn
boxmath.vn
Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A
(
0;2
)
và đường thẳng
(
d
)
: x −2y +2 =0.
Tìm trên đường thẳng (d ) hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB =2BC.
Giải:
A
B

C
C

Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra B là hình chiếu vuông góc của A trên (d) Phương trình đường
thẳng
(
∆
)
qua A và vuông góc với (d) là: 2x +y +m =0
A
(
0;2
)
∈
(
∆
)
⇔2 +m =0 ⇔m =−2 Suy ra:
(
∆
)
: 2x +y −2 =0
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

2x +y =2
x −2y =−2
⇔








x =
2
5
y =
6
5
⇒B

2
5
;
6
5

Đặt C
(
2t −2; t
)
∈(d), theo giả thiết ta có:
AB =2BC ⇔ AB
2
=4BC
2
⇔

2

5
−0

2
+

6
5
−2

2
=4

2t −
12
5

2
+

t −
6
5

2

⇔2t
2
−12t +7 =0
⇔




t =1 ⇒C
(
0;1
)
t =
7
5
⇒C

4
5
;
7
5

Vậy các điểm cần tìm là: B

2
5
;
6
5

,C
(
0;1
)

hoặc B

2
5
;
6
5

,C

4
5
;
7
5


Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M
(
1;−1
)
và hai đường thẳng d
1
: x −y −1 =0,
d
2
: 2x +y −5 = 0 Gọi A là giao điểm của d
1
,d
2

. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M
cắt d
1
,d
2
lần lượt ở B và C sao cho ba điểm A,B,C tạo thành tam giác có BC =3AB.
Giải:
Tọa độ A là nghiệm của hệ:

x −y =1
2x +y =5
⇔

x =2
y =1
⇒ A
(
2;1
)
Lấy điểm E
(
3;2
)
∈d
1
(
E = A
)
. Ta tìm trên d
2

điểm F sao cho EF =3AE.
Đặt F
(
m;5−2m
)
. Khi đó:
EF =3AE ⇔
(
m −3
)
2
+
(
3 −2m
)
2
=18 ⇔5m
2
−18 =0 ⇔



m =0
m =
18
5
⇒




F
(
0;5
)
F

18
5
;−
11
5

Vì BC =3AB và EF =3AE ⇒
EF
BC
=
AE
AB
⇒BC//EF ⇒∆//EF
Với F
(
0;5
)
⇒
−→
EF =
(
−3;3
)
⇒∆ : x +y =0

21