S GD T PH TH
GV: NGễ TNG LM
THI TH I HC LN 2 NM 2013
Mụn : Toỏn ng y 30/03/2013
Thi gian : 180 phỳt (Khụng k thi gian giao )
I. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im)
Cõu I(2 im Cho hàm số :
3 1
2
x
y
x

=
+
(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua điểm M(0; -11), cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao
cho diện tích tam giác OAB gấp 2 lần diện tích tam giác OMB.
Cõu II(2 im).
1. Gii phng trỡnh:

+ + + +
=

4sin .sin( ) 5 3sin 3(cos 2)
3
1
1 2cos

x x x x
x
2. Gii h phng trỡnh:
( ) ( )
3 7 1 2 1
2 4 5
x x y y y
x y x y
+ =


+ + + =


Cõu III(1 im). Tớnh tớch phõn: I=
2
1
ln ln( . )
ln 1
+
+

e
x x x e
dx
x x
. .
Cõu IV(1 im). Cho hình chóp SABCD.Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a
Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (ABCD) bằng 60

0
. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đờng thẳng CDvà SB.
Cõu V(1 im). Cho
, ,x y z
l cỏc s thc dng tho món:
2 1xy xz+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc:
3 4 5yz zx xy
P
x y z
= + +
II. PHN T CHN (3 im): Thớ sinh ch c chn mt trong hai phn
1.Theo chng trỡnh chun:
Cõu VIa (2 im).
1. Trong mặt phẳng Oxy, Cho
ABC

có trọng tâm
1 1
( ; )
3 3
G
, tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
I(2 ;-1),
1
: 2 0A d x y + =
, trung điểm M của BC nằm trên d
2


: x+y+3=0. Tìm toạ độ A, B, C.
2. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm toạ
độ đỉnh S biết thể tích khối S.ABC bằng 36.
Cõu VIIa(1 im).
Tìm phần thực của số phức
(1 )
n
z i
= +
, bit rng:
( ) ( )
4 5
log 3 log 6 4 + + =n n
(
*
n Ơ
).
2.Theo chng trỡnh nõng cao:
Cõu VIb (2 im).
1. Trong mt phng ta Oxy, cho hai ng trũn (C
1
):
( ) ( )
2 2
x 1 y 2 5
+ + =
v (C
2
):
( ) ( )

2 2
x 1 y 3 9
+ + + =

Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc (C
1
) v ct (C
2
) ti hai im A, B tha món AB = 4.
2. Trong khụng gian ta Oxyz, cho ng thng
x 1 y 2 z
d :
2 1 1
+
= =
v mt phng (P) cú phng
trỡnh: x + 2y z 3 = 0. Vit phng trỡnh ng thng thuc (P), vuụng gúc vi d v cú khong
cỏch gia d v bng
2
.
Cõu VIIb (1 im). Trong các số phức z thỏa mãn
3 1z i
=
. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
.Ht
Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
P N THI TH I HC LN 2 NGY 30/03/2013
Cõu I
2
Cho hàm số :

3 1
2
x
y
x

=
+
(C).
1.0
ng thng cú h s gúc m i qua M cú pt: y = mx - 11
Xét phơng trình:
3 1
11
2
x
mx
x

=
+
2
2( 7) 21 0( 2 )mx m x do x KTM + = =
Điều kiện tồn tại A, B phân biệt là:
2
0
0
' 7 49 0
m
m

m m




= + + >

0.5
Gọi
1 1 2 2
( ; 11); ( ; 11)A x mx B x mx
.
Theo định lý Viet ta có:
1 2 1 2
14 2 21
; .
m
x x x x
m m

+ = =
1
2 ( , ). ( , ).
2
2
OAB OBM
S S d O AB AB d O BM BM
AB BM

= =

=
(M, A, B thẳng hàng)
( )
2
1 2
2 2 2
1 2 2
1 2
3
(1 ) 4 (1 )
0
=

+ = +

+ =

x x
x x m x m
x x
0.25
Vi
1 2
3x x=
. Kết hợp định lí Viet ta có:
2
2 1
7 3(7 )
; 14 49 0 7
2 2


= = => + + = =
m m
x x m m m
m m
. Vậy m=- 7 thoả đề.
Vi
1 2
0x x+ =
, tng t cú m = 7.
cú hai ng thng tha món
0.25
CõuII
1
Gii phng trỡnh:

+ + + +
=

4sin .sin( ) 5 3sin 3(cos 2)
3
1
1 2cos
x x x x
x
1.0
Đk:
2
3
x k



+
2
1 2.cos(2 ) 5( 3 sin cos ) 5 0 4.sin ( ) 10sin( ) 4 0
3 6 6
sin( ) 1/ 2
2
6
3
2
sin( ) 2 ( )
6






+ + + + = + + + + =

+ =


= +






= +
+ =



PT x x x x x
x
x k
x k
x VN
(L)

Vậy
{ }
2S k

= +

0.5
2 Gii h phng trỡnh:
( ) ( ) ( )
( )
3 7 1 2 1 1
2 4 5 2
+ =


+ + + =



x x y y y
x y x y
iu kin:
2 0
4 0
x y
x y
+


+

0,25
(1)
( ) ( )
3 7 1 2 1x x y y y + =


( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
3 1 3
3 7 1 2 2 0 3 1 2 0
2 4
= +
+ = + =

=



y x
x y x y y x y x y
x y
0,25
Thay (3) vo (2) ta c:
0,25

7 2 7 1 5x x+ + + =
iu kin:
1
7
x
( )
2
11
11 7 0
17 76
7
49 21 2 11 7 d
175 119 17
25 25
25
x
x
x x x x y tm k
x
x







+ + = = =

=


=


Thay (4) vo (2) ta c:

4 9 5 1y y y+ = =
=>x=2(tmdk)
Vy h phng trỡnh cú nghim: (x;y)
( )
17 76
2;1 , ;
25 25




ữ


0,25
CõuII

I
Tớnh tớch phõn: I=
2
1
ln ln( . )
ln 1
e
x x x e
dx
x x
+
+

. 1.0

( )
1 1 1
1
1
1
ln 1 ln 1 ln 1
ln 1 ln 1
( ln 1)
ln 1 (ln 1)
ln 1
1 ln ln 1 1 ln( 1)
+ + + +
= = +
+ +
+

= + + = +
+
= + + = + +


e e e
e
e
e
x x x x
I dx dx dx
x x x x
d x x
x d x x x dx
x x
e x x e e
0.25
0.25
0.25
0.25
Cõu
IV
1.0
Gọi H = AC BD => SH (ABCD) & BH =
3
1
BD
Kẻ HE AB => AB (SHE) => g((SAB);(ABCD)) =
ã
0

60SHE =
.
0.25
Mà HE =
3
1
AD =
3
2a
=> SH =
3
32a
=> V
SABCD
=
3
1
.SH.S
ABCD
=
3
3
3
a
0.25
Gọi O là trung điểm AD=>ABCO là hv cạnh a =>ACD có trung tuyến CO =
2
1
AD
CD AC => CD (SAC) và BO // CD hay CD // (SBO) & BO (SAC).

d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)).
0.25
Tính chất trọng tâm tam giác BCO => IH =
3
1
IC =
6
2a
=> IS =
6
25
22
a
HSIH
=+
kẻ CK SI mà CK BO => CK (SBO) => d(C;(SBO)) = CK
Trong tam giác SIC có : S
SIC
=
2
1
SH.IC =
2
1
SI.CK => CK =
5
32. a
SI
ICSH
=

Vậy d(CD;SB) =
5
32a
0.25
Cõu V
Cho
, ,x y z
l cỏc s thc dng tho món:
2 1xy xz+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc:
3 4 5yz zx xy
P
x y z
= + +
1.0
Ta có
3 4 5
2 3


= + + = + + + + +
ữ ữ
ữ


yz zx xy yz zx yz xy zx xy
P
x y z x y x z y z
0,25

2 . 2.2 . 3.2 . 2 4 6 + + = + +
yz zx yz xy zx xy
P z y x
x y x z y z
0.25
( ) ( )
( )
4 2 4.2 2.2 4 2 4 + + + + = + =P x y x z xy xz xy xz
0.25
Dấu đẳng thức xảy ra khi :
1
3
2 1
x y z
x y z
xy xz
= =


= = =

+ =


Vậy
min
1
4
3
P khi x y z= = = =

0.25
Cõu
VIa
1
Trong mặt phẳng Oxy, Cho
ABC

có trọng tâm
1 1
( ; )
3 3
G
, tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC là I(2 ;-1),
1
: 2 0A d x y + =
, trung điểm M của BC nằm trên d
2

:
x+y+3=0. Tìm toạ độ A, B, C.
1.0
Gọi
2
( ; 3) ( 2 1;2 7)M a a d A a a => +
Do :
1
3 / 2A d a =
=> A(2 ;4),
3 3

( ; )
2 2
M
.
Phơng trình BC qua M và vuông góc với IM=> BC : 7x+y+12=0
Gọi B(b ; -7b-12)=> C(-3-b ; 7b+9)
Ta có : IA=IB
1 ( 1; 5); ( 2;2)
2 ( 2;2); ( 1; 5)
b B C
b B C
= =>



= =>

Vậy A(2 ;4) ; B(-1 ;-5) ; C(-2 ;2) hoặc A(2 ;4) ; B(-2 ;2) ; C(-1;-5)
0.25
0.25

0.25
0.25
2
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết A(3;0;0), B(0;3;0),
C(0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối S.ABC bằng 36.
1.0
Phơng trình (ABC): x+y+z-3=0

ABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA= 3

2
=> S
ABC
= 9
3 / 2
.
Do hình chóp S.ABC đều nên PT SG qua G và vuông góc với (ABC)
=>
1
: 1 (1 ;1 ;1 )
1
x t
SG y t S t t t
z t
= +


= + + + +


= +

Ta có : V
S.ABC
=36=
1
SG.
3
S
ABC


8, 8t t = =
Vậy: S(9;9;9) ; S(-7;-7;-7)
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0
Xét pt :
( ) ( )
4 5
log 3 log 6 4, * + + = Ơn n n
.
Hàm số f(x) =
( ) ( )
4 5
log 3 log 6x x + +
là hàm số đồng biến trên (3; +) và f(19) = 4.
Do đó phơng trình
( ) ( )
4 5
log 3 log 6 4n n + + =
có nghiệm duy nhất
19n
=
.
0.25
z =
19 2 9 9 9
(1 ) [(1 ) ] (1 ) (2 ) (1 ) 512 (1 )i i i i i i i+ = + + = + = +


512 (1 ) 512 512i i i= + = +
0.5
Vy z có phần thực là a = -512 0.25
Cõu
VIb
2.0
1
1
( )C
cú tõm
1
(1; 2)I
v bỏn kớnh
1
5;R =
2
( )C
cú tõm
2
( 1; 3)I
v bỏn kớnh
2
3.R =
Ta cú:
1
( ; ) 5 (1).d I =

Gi
2

( ; ),h d I=

ta cú:
2 2
2
2 5 (2).AB R h h= =
0,5
T (1) v (2) suy ra

song song vi
1 2
I I
hoc

i qua trung im
5
(0; )
2
M
ca
1 2
I I
.
0,25
Vỡ M nm trong
1
( )C
nờn khụng xy ra kh nng

qua M, do ú

1 2
/ / ,I I

suy ra
phng trỡnh

cú dng
2 0,x y m + =
khi ú:
1
5
( ; ) 5 5 0 10.
5
m
d I m m
+
= = = =

0.25
2
(2;1;1);
d
u =
uur

( )
(1;2; 1),
P
n =
uuur

do ú

cú vect ch phng l
( )
1
, (1; 1; 1).
3
P d
u n u

= =


uur uuur uur
0,25
Gi (Q) l mt phng cha

v song song vi d, ta cú:
( )
1
, (0;1; 1).
3
Q d
n u u

= =


uuur uur uur
Phng trỡnh (Q):

0.y z m + =
Chn
(1; 2;0) ,A d=
ta cú:
( ,( )) 2 0 4.d A Q m m= = =
0,25
Vi
0,m
=
vỡ
( ) ( )P Q=

nờn

i qua
(3;0;0),B =
phng trỡnh
3
: .
1 1 1
x y z
= =


0,25
Vi
4,m
=
vỡ
( ) ( )P Q=


nờn

i qua
(7;0;4),C =
phng trỡnh
7 4
: .
1 1 1
x y z
= =


0,25
Cõu
VIIb
Đặt z = x + iy,
,x y
R, ta có
2 2
3 1 ( 3) 1z i x y
= + =
0.25
Từ
2 2
( 3) 1x y+ =
ta có
2
( 3) 1 2 4y y
0.25

Do đó
2 2 2 2
( 3) 6 9 6 8 4 2
= + = + + = =
z x y x y y y
0.25
Vậy giá trị nhỏ nhất của
z
bằng 2 đạt khi z = 2i
0.25
Chỳ ý :
+) Trờn õy l ỏp ỏn túm tt. Bi lm ca thớ sinh cn lp lun cht ch, , ỳng mi cho im ti a.
+) Mi cỏch gii khỏc ỳng u cho im tng ng.