LỜI GIẢI CHI TIẾT
CHƯƠNG I DAO ĐỘNG CƠ – DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Bài 1.1. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục tọa độ Ox với chu kì T=1s. Nếu chọn gốc tọa độ O là
VTCB thì sau khi chất điểm bắt đầu dao động được 2,5s, nó ở tọa độ x=5
2
cm, đi theo chiều âm của trục Ox
và vận tốc đạt giá trị
10 2
π
cm/s.
1. Viết phương trình dao động của chất điểm.
2. Gọi M và N lần lượt là hai vị trí xa nhất của chất điểm ở hai bên điểm O. Gọi P là trung điểm của
đoạn OM, Q là trung điểm của đoạn ON. Hãy tính tốc độ trung bình của chất điểm trên đoạn đường từ P tới Q.
Lấy
2
10
π
=
.
3. Tính vận tốc của vật khi vật có li độ x=6cm
4. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x
1
=5cm đến vị trí có gia tốc a=2
3
m/s
2
5. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
=0,25s đến thời điểm t
2

=1,45s.
6. Quãng đường lớn nhất vật đi được trong 1/3s?
7. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí x=
5 3
cm lần thứ 3 và lần thứ 2010.
8. Trong 2s đầu tiên vật đi qua vị trí có vận tốc v=12
π
cm/s bao nhiêu lần?
LG:
1.
2
2 (rad / s)
T
π
ω = = π
;
2
2
2
v
A x 10(cm)= + =
ω
Sử dụng mối quan hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa ta xác định được
3
(rad)
4
π
ϕ = −
3
x 10cos(2 t )(cm)

4
π
⇒ = π −
2. Sử dụng CT
tb
S A
v 60(cm / s)
t T / 6
= = =
3.
2 2
v A x 16 (cm / s)= ±ω − = ± π
4.
2
2 2
2
a
a x x 5 3(cm)= −ω ⇒ = − = −
ω
; Thời gian ngắn nhất vật đi từ x
1
đến x
2
là t=T/4=0,25(s)
5. S=4A+(A-5
2
)+(A-8,91)=44(cm)
6.
max
T

t S 2Asin 10 3(cm)
2 2
∆ϕ
∆ ⇒ = =p
7. Sau 1T vật qua vị trí x=
5 3
cm hai lần
⇒
Thời điểm vật qua vị trí đó lần 3(t
3
)=T+7T/24=41/24(s)
t
2010
=1004T+11T/24=24107/24(s)
8.
2
2
2
v
x A 8(cm)= ± − = ± ⇒
ω
Trong 2s đầu tiên vật qua x=
8(cm)±
8 lần.
Bài 1.2. Một vật dao động điều hòa, có phương trình là: x=5cos(
2
6
t
π
π

+
) cm.
1. Hỏi vào thời điểm nào thì vật qua li độ x=2,5 cm lần thứ 2 kể từ lúc t=0?
2. Lần thứ 2010 vật qua vị trí có li độ x=-2,5cm là vào thời điểm nào?
3. Định thời điểm vật qua vị trí x=2,5cm theo chiều âm lần đầu tiên kể từ t=0?
4. Tính tốc độ trung bình của vật đi được từ thời điểm t
1
=1(s) đến thời điểm t
2
=3,5 (s) ?
5. Quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được trong khoảng thời gian 1/3 (s) ?
LG:
1. t
2
=3T/4=0,75s
2. t
2010
=1004T+7T/12=12055/12s
3. t=T/12=1/12s
1
4.
tb
S 10
v 20(cm / s)
t 2,5T
= = =
5.
max
T
t S 2Asin 5 3(cm)

2 2
∆ϕ
∆ ⇒ = =p
Bài 1.3. Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x=Acos(
+t
ω ϕ
). Lúc đầu (lúc
t=0) vật có li độ x
0
=3
3
cm và vận tốc v
0
=15 cm/s. Lúc t vật có li độ x=3cm và vận tốc
v 15 3= −
cm/s.
1. Xác định A,
ω
,
ϕ
và viết phương trình dao động của vật
2. Xác định thời điểm t.
LG:
1.
2
2 2
0
0
2
2

2 2
2
v
A x
v
A x

= +


ω
⇒


= +

ω

2 2
0
2 2
0
v v
5(rad / s)
x x
−
ω = =
−
; A=6(cm);
(rad)

6
π
ϕ = −
x= 6cos(5t-
6
π
)(cm)
2. Giải phương trình x=3 thỏa mãn v<0
⇒
t=
2k
(s)
10 5
π π
+
; k=0,1,2,
Bài 1.4. Một con lắc lò xo, gồm một lò xo có độ cứng k=10 N/m có khối lượng không đáng kể và một vật có
khối lượng m=100g dao động điều hòa dọc theo trục Ox, phương trình dao động có dạng x=Acos(
+
t
ω ϕ
).
Thời điểm ban đầu được chọn lúc vật có vận tốc v
0
=0,1 m/s và có gia tốc
a 1= −
m/s
2
. Tính:
1. Chu kì dao động của vật

2. Biên độ A và pha ban đầu
ϕ
của dao động
3. Tính cơ năng toàn phần của vật.
LG:
1.
m
T 2 s
K 5
π
= π =
2.
2 2
2 4
v a
A 2cm= + =
ω ω
;
a 1= −
m/s
2
⇒
0
x 1cm (rad)
4
π
= ⇒ ϕ = −
3.
2 3
1

W KA 10 (J)
2
−
= =
Bài 1.5. Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x=6cos(8t + 3). Trong đó t tính ra
giây, x tính ra cm. Tính
1. Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t
1
=1,1s đến thời điểm t
2
=4,8s.
2. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm P (x
P
=5cm) tới điểm Q (x
Q
=-2cm) và tốc độ trung bình
của vật trên quãng đường PQ.
LG:
1. Ta thấy t
2
-t
1
=4T+
t
∆
S 4.4A s
⇒ = + ∆
Tại t
1
=1,1s, x

1
=4,323cm(v>0), tại t
2
=4,8s, x
2
=-5,08cm (v>0)
⇒
s∆
=2A+(6-4,323)+(6-5,08)=14,6cm
⇒
S=110,6cm
2.
0
75,91 1,342(rad) t 0,166s
∆ϕ
∆ϕ = = ⇒ ∆ = =
ω
tb
S 7
v 42,17(cm / s)
t 0,166
= = =
Bài 1.6. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng là 62,8 cm/s và
gia tốc cực đại của vật là 2m/s
2
. Lấy
2
π
=10.
1. Xác định biên độ, chu kì và tần số dao động của vật

2. Viết phương trình dao động của vật nếu gốc thời gian được chọn là lúc vật qua điểm M
0
có li độ x
0
=-
10
2
cm theo chiều dương của trục tọa độ còn gốc tọa độ trùng vị trí cân bằng của vật.
3. Tìm thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí M
1
có li độ x
1
=10cm.
ĐH Vinh – 2000
2
LG :
1.
max
max
2
max
max
v A
a
10
(rad / s) A 20cm
v
a A

= ω


⇒ ω = = ⇒ =

π
= ω


T=2s ; f=0,5Hz
2.
3
(rad)
4
π
ϕ = −
⇒
x=20cos(
10 3
t )
4
π
−
π
cm
3. Gải phương trình x=10
⇒
10 3
t K2
4 3
π π
− = ± + π

π
Bài 1.7. Một chất điểm có khối lượng m=0,1 kg dao động điều hòa trên trục tọa độ Ox với tần số f=5Hz và
biên độ 20cm.
1. Viết phương trình dao động của chất điểm. Chọn gốc tọa độ O tại VTCB và gốc thời gian là lúc chất
điểm đi qua VTCB theo chiều dương
2. Xác định chiều và độ lớn của véctơ vận tốc, gia tốc và lực gây ra dao động tại vị trí có li độ cực đại.
Lấy
2
10
π
=
.
LG:
1.
x 20cos(10 t )cm
2
π
= π −
2. Tại x=
±
A
⇒
v=0; a=
2
A±ω
; F
ph
=
±
KA

Bài 1.8. Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với tần số góc
ω
=4 rad/s. Tại thời điểm t
1
, vật có li
độ là x
1
=15cm và vận tốc tương ứng là v
1
=80cm/s. Tìm li độ x
2
và vận tốc tương ứng v
2
của vật ở thời điểm
t
2
=t
1
+ 0,45s.
LG:
2
2
2
v
A x 25(cm)= + =
ω
1 1
2 1
1 1
2 1

x A cos(4t )
x A cos(4t 4.0,45 )
v A sin(4t )

v A sin(4t 1,8)
= +ϕ


= + +ϕ

= − ω + ϕ


= − ω + ϕ+

2 1 1
x A cos(4t ).cos1,8 Asin(4t ).sin1,8= + ϕ − +ϕ
=15.cos1,8-25.(-
2
3
1
5
 
−
 ÷
 
).sin1,8=
Chú ý:
1
sin(4t )+ ϕ

=
2
1
1 cos (4t )− − + ϕ
vì v
1
>0
Bài 1.9. Phương trình chuyển động của một vật có dạng:
x=3cos(5
6
t
π
π
−
) +1 (cm)
1. Mô tả chuyển động của vật đó.
2. Gốc thời gian được tính lúc vật đang ở đâu?
3. Trong giây đầu tiên vật qua vị trí x=1cm mấy lần?
ĐH Thủy Lợi – 2001
LG:
1. Đặt X=x-1=3cos(5
6
t
π
π
−
)

Vật dao động điều hòa có VTCB cách gốc tọa độ 0 một khoảng 1cm
2. Gốc thời gian được chọn vào lúc vật li độ X=1,5

3
cm, vận tốc v=7,5
(cm / s)π
3. Trong giây đầu tiên (
5 (rad)∆ϕ = π
) vật qua x=1cm 5 lần.
3
(VTCB)
1cm
X
0
x
Bài 1.10. Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng O, dọc theo trục Ox có li độ thỏa mãn phương
trình :
4 4
os(2 t+ )+ os(2 t+ )
6 2
3 3
=
x c c
π π
π π
cm
1. Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động.
2. Tính vận tốc của vật khi nó có li độ x=2
3
cm.
HVKTQS – 1999
LG :
1.

4
x .2cos
3
=
6
π
.cos(
2 t
3
π
π +
)cm=4 cos(
2 t
3
π
π +
)cm
⇒
A=4cm ;
(rad)
3
π
ϕ =
2.
2 2
v A x 4 (cm / s)= ±ω − = ± π
B. CON LẮC LÒ XO.
Bài 1.11. Cho con lắc lò xo có độ cứng k=6N/m và khối lượng m=15g. Tại thời điểm t=0 vật có gia tốc a
0
>0

và cách vị trí cân bằng 1cm và đang chạy ra xa vị trí cân bằng với vận tốc 20cm/s. Viết phương trình dao động
của con lắc.
LG:
k
20(rad / s)
m
ω = =
Giả sử ptdđ x=Acos(
tω + ϕ
) ;
2
2
2
v
A x 2(cm)= + =
ω
a
0
>0
⇒
0 0
x 0,x 1cm< = −
Sử dụng đường tròn lượng giác
⇒
3
(rad)
4
π
ϕ =
⇒

3
x 2cos(20t )cm
4
π
= +
Bài 1.12. Một lò xo có độ dài tự nhiên l
0
=30cm, khối lượng không đáng kể, đầu trên O cố định, đầu dưới treo
vật nặng kích thước không đáng kể, khối lượng m=100g. Khi vật cân bằng lò xo có độ dài l=34cm.
1. Tính độ cứng của lò xo và chu kì dao động của vật. Cho g=
2
π
=10m/s
2
.
2. Kéo vật xuống theo phương thẳng đứng một đoạn cách vị trí cân bằng 6cm và truyền cho vật vận tốc v
0
=
30
π
cm/s, hướng về vị trí cân bằng. Chọn lúc đó là gốc thời gian, gốc tọa độ trùng vị trí cân bằng và chiều
dương hướng xuống. Viết phương trình dao động của m.
3. Tính động năng của m tại vị trí có li độ x=3cm
4. Tìm chiều dài cực đại, cực tiểu của con lắc lò xo.
5. Tính vận tốc của vật khi con lắc có chiều dài l=27cm
6. Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu.
7. Xác định cường độ và chiều của lực mà lò xo tác dụng vào điểm treo O khi vật qua vị trí cân bằng, khi vật
xuống thấp nhất, và khi vật lên cao nhất.
8. Nếu chỉ kéo vật m xuống dưới vị trí cân bằng đoạn 3cm thì lực đàn hồi cực đại, cực tiểu khi đó là bao
nhiêu?

ĐH Công Đoàn – 1999
LG:
1. Tại VTCB
0
0
mg
P k(l l ) k 25(N / m)
(l l )
= − ⇒ = =
−
; T=
m
2 0,4s
k
π =
2.
5 (rad / s)ω = π
; x=Acos(
tω + ϕ
);
2
2
2
v
A x 6 2(cm)= + =
ω
;
rad
4
π

ϕ = −
3.
2 2
đ
1 1
W kA kx
2 2
= −
=0,07875(J)
4.
max 0
l l l A= + ∆ +
= 42,86cm;
min 0
l l l A= + ∆ −
=25,51cm
4
5.
2 2
v A x= ±ω −
; khi chiều dài của lò xo l=27cm thì x=-7cm
v 75,33cm / s⇒ = ±
6.
max
F k( l A) 3,12N= ∆ + =
A>
min
l F 0∆ ⇒ =
7.
+ Khi vật qua VTCB lực tác dụng lên o hướng về o và có cường độ

F k l 1N= ∆ =
+ Khi vật qua thấp nhất lực tác dụng lên o hướng về o và có cường độ
F k( l A) 3,12N= ∆ + =
+ Khi vật qua cao nhất lực tác dụng lên o hướng về VTCB và có cường độ
F k(A l) 1,121N= − ∆ =
8. A=3cm
max
F k( l A) 1,75N= ∆ + =
A<
min
l F k( l A) 0,25N∆ ⇒ = ∆ − =
Bài 1.13. Một lò xo khối lượng không đáng kể với độ dãn tỉ lệ với khối lượng của vật treo vào nó: Cứ treo 40g
thì lò xo dãn ra 1cm. Bỏ qua mọi lực ma sát và lực cản của môi trường.
a) Tính độ cứng của lò xo
b) Treo vào lò xo một vật khối lượng m=400g. Kéo vật theo phương thẳng đứng xuống dưới một
khoảng 3cm rồi buông ra không vân tốc đầu. Xác định chu kì và phương trình dao động của vật (chọn gốc o tại
VTCB chiều dương hướng xuống). Lấy g=9,8 m/s
2
.
(Bài 1/21 – Một số phương pháp giải toán vật lí sơ cấp)
LG:
a)
mg
k 39,2N
l
= =
∆
b) A=3cm ;
k
7 2rad / s

m
ω = =
; T=0,635s ;
0ϕ =
Bài 1.14. Một lò xo khối lượng không đáng kể, có độ dài l
0
=25cm và độ cứng k=100N/m. Đầu trên O của lò
xo được giữ cố định, người ta treo vào đầu dưới một vật có khối lượng m=100g.
a) Tìm độ dài của lò xo khi treo vật
b) Vật dao động theo phương thẳng đứng và có vận tốc cực đại bằng 135,6cm/s. Viết phương trình dao
động của vật và tính khoảng cách cực đại, cực tiểu từ điểm O tới vật. Lấy
2
10
π
=
; g=10m/s
2
.
LG:
a)
0
mg
l l 26cm
k
= + =
b)
10 rad / s
ω = π
;
max

max
v
v A A 4,3cm= ω⇒ = =
ω
max 0
l l l A= + ∆ +
= 30,3 cm;
min 0
l l l A= + ∆ −
=21,7cm
Bài 1.15. Một lò xo có khối lượng không đáng kể được treo vào một điểm cố định, đầu dưới của lò xo gắn một
hòn bi có khối lượng 100g. Hòn bi dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số f = 2,54Hz.
a) Viết phương trình dao động của hòn bi biết rằng trong quá trình dao động chiều dài của lò xo biến
thiên từ l
1
= 20cm đến l
2
= 24cm.
b) Tính vận tốc và gia tốc của hòn bi khi nó qua VTCB và khi nó cách vị trí đó một đoạn 1cm.
c) Tính độ dài của lò xo khi không treo vật. Lấy g = 9,8m/s
2
.
(Bài 2/22 – Một số phương pháp giải toán vật lý sơ cấp)
LG:
Bài 1.16. Một con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng không đáng kể. Biết rằng vận tốc của vật khi qua
VTCB là 62,8cm/s và gia tốc cực đại của vật là 4m/s
2
.
a) Tính biên độ, chu kì, tần số dao động của vật và độ cứng của lò xo.
b) Viết phương trình dao động của vật. Chọn gốc tọa độ là vị trí cân bằng của vật, chiều dương của trục

tọa độ hướng xuống dưới và chọn gốc thời gian là lúc vật có tọa độ x
0
= -
5 2
cm và theo chiều dương trục
tọa độ.
c) Tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x
1
= 5cm. Lấy
2
10
π
=
(Bài 6/22 – Một số phương pháp giải toán vật lý sơ cấp )
LG:
5
Bài 1.17. Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 400g treo vào một lò xo có khối lượng không đáng kể
và có độ cứng k = 100N/m. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng đoạn 2cm và đẩy vật xuống dưới với vận tốc ban
đầu v
0
=
15 5
cm/s.
a) Tính chu kì và biên độ dao động của vật. Tính vận tốc cực đại của vật.
b) Viết phương trình dao động của vật. Chọn gốc tọa độ là vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên trên
và gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất. Lấy
2
10
π
=

(Bài 7/23 – Một số phương pháp giải toán vật lý sơ cấp)
LG:
Bài 1.18. Một con lắc lò xo gồm quả cầu khối lượng 200g treo vào một lò xo có khối lượng không đáng kể.
Tần số dao động của con lắc là 3,5Hz và trong quá trình dao động của con lắc lúc ngắn nhất là 28cm và lúc dài
nhất là 36cm.
a) Tính độ cứng của lò xo và độ dài tự nhiên của lò xo.
b) Viết phương trình dao động của quả cầu. Tính vận tốc và gia tốc của quả cầu khi nó qua vị trí cân
bằng và khi nó cách vị trí cân bằng 2cm. Lấy g = 9,8m/s
2
,
2
10
π
=
Bài 8/23 – Một số phương pháp giải toán vật lý sơ cấp
LG:
Bài 1.19. Treo một quả cầu có khối lượng m
1
= 400g vào đầu A của một lò xo có khối lượng không đáng kể,
khi lò xo có độ dài OB = l
1
= 26cm. Treo thêm một vật có khối lượng m
2
= 100g vào lò xo thì độ dài của nó OC
= l
2
= 27cm.
a) Tính độ cứng k của lò xo và độ dài tự nhiên OA = l
0
của lò xo.

b) Bỏ vật m
2
đi rồi nâng vật lên cho lò xo trở lại độ dài l
0
, sau đó thả cho cật chuyển động tự do. Chứng
minh rằng quả cầu dao động điều hòa quanh B từ A đến C. Tính chu kì và viết phương trình dao động của nó.
c) Tính vận tốc của quả cầu khi nó cách A một đoạn 2cm.
Đề 62(2) – Bộ đề TSĐH
LG:
Bài 1.20. Cho một lò xo có khối lượng không đáng kể, được treo thẳng đứng và một điểm cố định, đầu dưới
nối với một vật M có khối lượng m=400g để tạo thành con lắc lò xo.
1. Kéo vật M xuống phía dưới cách vị trí cân bằng O một đoạn bằng 1cm rồi truyền cho nó vận tốc 25
cm/s theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Bỏ qua mọi ma sát, coi vật dao động điều hoà. Viết phương
trình dao động của vật. Biết năng lượng toàn phần của con lắc khi nó dao động là 25 mJ.
2. Tính vận tốc trung bình khi vật m dao động từ vị trí có toạ độ x
1
= +A/2 đến vị trí x =
-A/2.
3. Thời gian ngắn nhất giữa hai lần vật có động năng bằng thế năng?
LG:
Bài 1.21. Con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m mắc với lò xo, dao động điều hòa với tần số 5Hz. Bớt khối
lượng vật đi 150g thì chu kỳ dao động của nó là 0,1s. Lấy
2
π
= 10. g = 10m/s
2
.
a) Tìm m và độ cứng k của lò xo
b) Viết phương trình dao động của con lắc khi chưa bớt khối lượng của nó. Biết rằng khi bắt đầu dao
động vận tốc của vật cực đại và bằng 314cm/s

ĐH Thủy Lợi – 2001
LG:
Bài 1.22. Một lò xo có khối lượng không đáng kể, chiều dài tự nhiên l
o
=40 cm, độ cứng k đầu trên gắn cố
định, đầu dưới buộc một quả cầu nhỏ có khối lượng m. Khi quả cầu đang đứng yên ở vị trí cân bằng truyền
cho nó vận tốc có phương thẳng đứng và có độ lớn v
o
=31,4 cm/s thì quả cầu dao động điều hoà với chu kì T =
0,4s. Lấy g =
π
2
=10 m/s
2
.
1. Tìm chiều dài của lò xo khi quả cầu đứng cân bằng.
2. Viết PT dao động, chọn gốc thời gian khi quả cầu qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
3. Trong quá trình dao động lò xo có chiều dài cực đại là 3N. Tính k và m?
LG:
6
Bài 1.23. Một lò xo khối lượng không đáng kể, được treo thẳng đứng, một đầu được giữ cố định, đầu còn lại
treo vật nặng có khối lượng 80g. vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số f = 4,5Hz. Trong
quá trình dao động, độ dài ngắn nhất của lò xo là 40cm và dài nhất là 56cm
1. Viết phương trình dao động, chọn gốc tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống và t = 0 là lúc lò
xo ngắn nhất.
2. Tìm độ dài tự nhiên của lò xo
3. Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi nó ở vị trí x = 4cm.
ĐH Luật – 1999
LG:
Bài 1.24. Một lò xo có khối lượng không đáng kể, được treo thẳng đứng vào một giá cố định, đầu dưới gắn

một quả cầu nhỏ có khối lượng m = 100g. Khi quả cầu cân bằng lò xo dãn một đoạn
∆
l = 2 cm. Chọn trục Ox
thẳng đứng, chiều dương hướng xuống dưới, gốc tại vị trí cân bằng của quả cầu. Quả cầu dao động điều hoà
với cơ năng bằng 2.10
7
J. Chọn thời điểm t = 0 là lúc quả cầu đang đi lên qua vị trí x = -2cm.
1. Viết PT dao động của quả cầu.
2. Tính giá trị cực đại và cực tiểu của lò xo trong dao động này
LG:
Bài 1.25. Một lò xo khối lượng không đáng kể, chiều dài tự nhiên l
0
=125cm, được treo thẳng đứng, một đầu
được giữ cố định, đầu còn lại có gắn một vật nặng có khối lượng m. Chọn trục Ox thẳng đứng, hướng xuống,
gốc O ở vị trí cân bằng của quả cầu. Quả cầu dao động điều hòa theo trục Ox với phương trình x = 10cos
2
( )
3
t
π
ϖ
−
(cm). Trong quá trình dao động của quả cầu, tỉ số giữa độ lớn lớn nhất và nhỏ nhất của lực đàn hồi
của lò xo là
7
3
. Tính chu kì dao động T và chiều dài của lò xo tại thời điểm t = 0. Cho g =
2
10
π

=
ĐHQGTPHCM – 1999
LG:
Bài 1.26. Một con lắc lò xo (gồm một một quả cầu gắn với một lò xo có khối lượng không đáng kể) đang dao
động điều hòa theo phương thẳng đứng với chu lì T = 1s. Nếu chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng O và chiều
dương của trục tọa độ hướng xuống thì sau khi dao động được 2,5s quả cầu ở tọa độ x = -
5 2
cm, đi theo
chiều âm của quỹ đạo và vận tốc đạt giá trị
10 2
π
cm/s.
a) Viết phương trình dao động của quả cầu
b) Gọi M, N lần lượt là vị trí thấp nhất và vị trí cao nhất của quả cầu. Gọi P là trung điểm của OM và Q
là trung điểm của đoạn ON. Hãy tính vận tốc trung bình của quả cầu trên đoạn PQ
c) Tính lực đàn hồi của lò xo lúc quả cầu bắt đầu dao động và sau khi dao động được 2,5s. Biết rằng
lực đàn hồi nhỏ nhất của lò xo trong quá trình dao động bằng 6N. Lấy
2
10
π
=
; Lấy g=9,8m/s
2
.
ĐHBKTPHCM – 1996
LG:
Bài 1.27. Một con lắc lò xo nằm ngang gồm quả cầu có khối lượng 100g gắn vào lò xo có khối lượng không
đáng kể và có độ cứng k = 80N/m. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng theo phương của trục lò xo một đoạn
3cm và đẩy quả cầu về vị trí cân bằng với vận tốc bằng 0,8
2

m/s.
a) Viết phương trình dao động của vật. Chọn gốc thời gian là lúc đẩy quả cầu và chiều dương của trục
tọa độ ngược chiều vận tốc v
0
. Bỏ qua ma sát giữa quả cầu và mặt sàn.
b) Xác định vị trí tại đó lực tác dụng lên quả cầu có giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 5/22 – Một số phương pháp giải toán vật lý sơ cấp
LG:

Bài 1.28. Cho một lò xo lí tưởng có độ cứng k, có độ dài tự nhiên l
0
. Treo lò xo thẳng đứng và móc vào đầu
dưới của lò xo một vật có khối lượng m và có độ dày không đáng kể. Khi ấy lò xo dài l
1
. Cho biết l
0
= 12cm;
l
1
=14cm; m = 200g và g = 10m/s
2
.
1. Hãy tính độ cứng của lò xo
7
2. Cho vật m gắn với lò xo dịch chuyển dọc theo đường dốc chính của mặt phẳng nghiêng một góc
α

so với phương ngang. Khi đứng cân bằng, lò xo dài l
2
= 11cm (giá đỡ phía dưới). Bỏ qua ma sát.

a) Tính góc
α
b) Chọn trục tọa độ song song với đường dốc chính có gốc tại vị trí cân bằng của vật, chiều dương
hướng lên trên. Người ta kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng tới vị trí có tọa độ x
1
= 4,5cm rồi buông ra. Viết
phương trình dao động và tính chu kì dao động của vật.
Đề 21(2) – Bộ đề TSĐH
LG:
Bài 1.29. Một con lắc lò xo gồm một quả cầu khối lượng m = 100g gắn vào lò xo khối lượng không đáng kể
có độ cứng k = 50N/m và độ dài tự nhiên của lò xo l
0
= 12cm. Con lắc đặt trên một mặt phẳng nghiêng góc
α

so với phương ngang. Khi đó l
1
= 13cm.
1. Tính góc
α
2. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng O một đoạn 3cm rồi thả nhẹ cho nó dao động. Viết phương trình
dao động và tính chu kì dao động của quả cầu. Lấy g = 9,8m/s
2
.
HVKTQS – 1999
LG:
Bài 1.30. Một vật khối lượng m = 100g được gắn vào lò xo có khối lượng
không đáng kể., chiều dài tự nhiên l
0
, độ cứng k = 40N/m. Đầu còn lại của

lò xo được giữ cố định và cho vật chuyển động không ma sát dọc theo
đường đường dốc chính của một mặt phẳng nghiêng góc
30
α
=
o
so với
mặt phẳng ngang. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng O, chiều dương hướng
xuống. Đưa vật tới vị trí mà lò xo không biến dạng rồi buông nhẹ cho vật
dao động điều hòa. Viết phương trình dao động của vật cho g = 10m/s
2
.
HVNH TPHCM – 1999
LG:
Bài 1.31. Một vật nhỏ khối lượng m = 200g treo vào sợi dây AB không dãn và treo vào một lò xo có độ cứng
k = 20N/m. Kéo vật m xuống dưới vị trí cân bằng rồi thả ra không vận tốc đầu. Chọn gốc tọa
độ là vị trí cân bằng của vật, chiều dương hướng thẳng đứng từ trên xuống, gốc thời gian là
lúc thả vật. Lấy g = 10m/s
2
.
1. Viết phương trình dao động của vật. Bỏ qua lực cản không khí và khối lượng của
dây AB.
2. Tìm biểu thức sự phụ thuộc của lực căng dây vào thời gian. Vẽ đồ thị sự phụ thuộc
này.
3. Biên độ dao động của vật m phải thỏa mãn điều kiện nào để dây AB luôn căng mà
không bị đứt, biết rằng dây chỉ chịu được lực kéo tối đa là 3N.
HVBCVT – 2001
LG:
Bài 1.32. Một lò xo vô cùng nhẹ có độ cứng k = 100N/m được đặt nằm ngang, một đầu giữ cố định, đầu còn
lại gắn với chất điểm có khối lượng m

1
= 0,5 kg. Chất điểm m
1
được gắn với chất điểm m
2
= 0,5 kg. Các chất
điểm đó có thể dao động không ma sát trên trục x nằm ngang hướng từ điểm cố định giữ lò xo về phía các chất
điểm m
1
, m
2
. Dịch 2 chất điểm đi một đoạn 2cm khỏi vị trí cân bằng sao cho lò xo bị nén. Tại thời điểm t = 0
thả cho chúng dao động không có vận tốc đầu. Bỏ qua sức cản của môi trường.
1. Viết biểu thức tọa độ x của chất các chất điểm ở thời điểm bất kì, giả thiết chúng luôn gắn chặt với
nhau. Lấy vị trí cân bằng của chúng làm gốc tọa độ.
2. Chỗ gắn hai chất điểm bị bong ra nếu lực kéo tại đây đạt đến 1N. Hỏi chất điểm m
2
có thể tách khỏi
chất điểm m
1
không? Nếu có thì tách ở tọa độ nào? Viết phương trình dao động của chất điểm m
1
sau khi chất
điểm m
2
tách khỏi nó. Mốc thời gian vẫn lấy như cũ.
ĐH Mỏ - 2001
LG:
Bài 1.33. Một lò xo khối lượng không đáng kể, độ cứng k = 100N/m, một đầu gắn vào một điểm A của một
vật cố định, đầu còn lại gắn vào vật nhỏ có khối lượng m = 1kg. Vật m có thể dao động trên trục Ox nằm

8
k
m
A
B
k
+
α
ngang hướng từ A đến vật m. Điểm A chịu được lực nén tùy ý nhưng chỉ chịu được lực kéo có độ lớn tối đa là
F
0
= 2N. Nén lò xo bằng một lực có độ lớn F = 1N không đổi đặt vào vật m. Bỏ qua các lực ma sát.
a) Tính độ biến dạng của lò xo lúc m ở vị trí cân bằng
b) Tại thời điểm t = 0 ngừng đột ngột tác dụng lực F. Viết phương trình li độ dao động của m tại thời
điểm bất kì, giả thiết lò xo không bị tuột khỏi A.
c) Viết biểu thức lực mà lò xo tác động vào vật cố định ở đầu A.
d) Vật m ở vị trí nào thì lực đó là lực kéo cực đại?
e) F bằng bao nhiêu thì lò xo chưa bị tuột khỏi A?
Bài 1.34. Một lò xo có khối lượng không đáng kể, độ dài tự nhiên l
0
= 25cm. Độ dãn của lò xo tỉ lệ với
khối lượng của vật treo vào nó: Cứ 5mm cho 20g. Bỏ qua mọi lực cản của môi trường.
1. Treo vào lò xo một vật có khối lượng m = 100g. Kéo vật theo phương thẳng đứng xuống dưới vị trí
cân bằng một đoạn x = 2cm rồi buông ra không vận tốc ban đầu. Xác định chu kì và phương trình dao động
của vật. Lấy g = 9,8m/s
2
.
2. Treo con lắc lò xo trên vào trong một chiếc xe đang chuyển động nằm ngang, người ta thấy lò xo
lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 15
0

. Tìm gia tốc của xe và độ dài của lò xo.
Đề 54(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.35. a) Treo vào điểm O cố định một đầu của lò xo có khối lượng không đáng kể, độ dài tự nhiên l
0
=
30cm. Đầu phía dưới của lò xo treo một vật M, lò xo dãn một đoạn 10cm. Bỏ qua lực cản, cho g = 10m/s
2
.
Nâng vật M lên đến vị trí cách O một khoảng 38cm rồi truyền cho vật vận tốc ban đầu hướng xuống dưới bằng
20m/s. Viết phương trình dao động của vật M.
b) Giữ các điều kiện như câu a, nếu treo con lắc kể trên vào trần một xe đang chuyển động thẳng đều trên đoạn
đường dốc hợp với mặt phẳng ngang một góc 15
0
thì dao động của con lắc lò xo có thay đổi gì so với dao động
của nó trong trường hợp câu a?
ĐHBKHN – 1999
Bài 1.36. Một lò xo khối lượng không đáng kể có độ dài tự nhiên l
0
= 10cm. Lò xo dãn
thêm 1cm dưới lực kéo F=0,2N. Cố định một đầu của lò xo vào điểm O và treo vào
đầu kia một hòn bi khối lượng 10g. Cho g =10m/s
2
.
1. Cho hệ lò xo – vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng, tìm độ cứng
của lò xo và chu kì dao động của vật
2. Quay lò xo xung quanh trục thẳng đứng OO’ với vận tốc góc không đổi, khi
đó trục của lò xo làm với trục thẳng đứng góc
60
α
=

o
. Xác định chiều dài lò xo và số
vòng quay trong 1s.
ĐH Đà Nẵng – 2000 + Đề 7(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.37. Con lắc lò xo gồm vật nặng M = 300g, lò xo có độ cứng k = 200N/m lồng
vào một trục thẳng đứng như hình vẽ: Khi M đang ở vị trí cân bằng, thả vật m = 200g
từ độ cao h = 3,75cm so với M. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy g=10m/s
2
. va chạm là hoàn
toàn mềm.
1. Tính vận tốc của m ngay trước khi va chạm và vận tốc 2 vật ngay sau khi
va chạm.
2. Sau va chạm 2 vật cùng dao động điều hòa. Lấy t = 0 là lúc va chạm. Viết
phương trình dao động của 2 vật trong HQC như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng của
M trước va chạm
3. Tính các thời điểm mà W
đ
= 3W
t
4. Tính biên độ dao động cực đại của 2 vật để trong quá trình dao động m
không dời khỏi M.
ĐHKTQD – 2001
Bài 1.38. Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có khối lượng không đáng kể. Vật M có thể trượt không ma sát trên
mặt phẳng nằm ngang.Hệ đang ở trạng thái cân bằng, dùng một vật m
0
=
100g bắn vào M theo phương ngang với vận tốc v
0
= 1m/s. Va chạm là hoàn
toàn đàn hồi. Sau khi va chạm, vật M dao động điều hòa, chiều dài cực đại

cà cực tiểu của lò xo lần lượt là 28cm và 20 cm.
1. Tìm chu kì dao động của vật M và độ cứng k của lò xo.
2. Đặt một vật m = 100g lên trên vật M, hệ gồm hai vật m + M đang đứng yên, vẫn dùng vật m
0
bắn
vào với cùng vận tốc v
0
. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Sau va chạm ta thấy cả hai vật cùng dao động điều
9
O
A
M
k
m
k
m
l
O
O’
hòa. Viết phương trình dao động dao động của hệ (m+M). Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng và gốc thời gian
là lúc bắt đầu va chạm.
3. Cho biết hệ số ma sát giữa m và M là 0,4. Hỏi vận tốc v
0
của vật m
0
phải nhỏ hơn một giá trị bằng
bao nhiêu để vật m vẫn đứng yên (không bị trượt) trên vật M trong khi hệ dao động? Cho g=10m/s
2
.
ĐH Ngoại Thương – 1999

C. GHÉP HAI LÒ XO
Bài 1.39. Một lò xo có khối lượng không đáng kể, có độ dài l
0
= 20cm, và độ cứng k = 200N/m. Đầu trên O
của lò xo được giữ cố định, người ta treo vào đầu dưới một vật A có khối lượng m = 200g.
1. Vật A dao động theo phương thẳng đứng và có vận tốc cực đại bằng 62,8 cm/s. Viết phương trình
dao động của vật A và tính các khoảng cách cực đại và cực tiểu từ điểm O đến vật A. Lấy
2
10
π
=
và
g=9,8m/s
2
.
2. Lấy một lò xo khác giống hệt lò xo trên và nối hai lò xo với nhau thành một lò xo dài gấp đôi. Treo
vật A nói trên vào đầu dưới của lò xo mới rồi cho nó dao động. Cho biết cơ năng của vật A trong trường hợp
này vẫn bằng cơ năng của nó trong trường hợp câu 1. Viết phương trình dao động của vật A và tính khoảng
cách cực đại, cực tiểu từ vật A đến điểm treo O cố định.
Đề 27(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.40. Khi treo vật m lần lượt vào hai lò xo L
1
và L
2
thì tần số dao động của các con
lắc lò xo tương ứng là f
1
= 3Hz, f
2
= 4Hz. Treo vật m đó vào hai lò xo như hình vẽ. Đưa

vật m về vị trí mà hai lò xo không biến dạng rồi thả ra không vận tốc đầu thì hệ dao động
theo phương thẳng đứng. Bỏ qua lực cản của không khí.
Viết phương trình dao động (chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương thẳng
đứng hướng xuống dưới, gốc thời gian là lúc thả vật). Lấy g = 10m/s
2
.
ĐH An Ninh – 2001
Bài 1.41. Cho một lò xo OA có chiều dài OA = l
0
= 30cm và có độ cứng k
0
= 100N/m.
MN là hai điểm trên lò xo với OM =
0
3
l
và ON =
0
2
3
l
1. Giữ đầu O cố định và kéo đầu A của lò xo bằng một lực F=1N dọc theo chiều dài
của lò xo để nó giãn ra. Gọi A’, M’, N’ là các vị trí mới của A, M, N. Hãy tính các đoạn OA’,
OM’, ON’.
2. Cắt lò xo trên thành hai lò xo có chiều dài là
0
3
l
và
0

2
3
l
, rồi lần lượt kéo dãn các lò
xo này cũng bằng một lực F=1N. Hãy xác định độ giãn của các lò xo và từ đó suy ra độ cứng
của chúng.
3. Treo lò xo OA thẳng đứng, đầu O cố định. Móc một quả nặng có khối lượng m=100g vào một điểm
C của lò xo với OC=l. Cho quả nặng dao động theo phương thẳng đứng.Hãy xác định l để chu kì dao động của
m bằng 0,1s. Bỏ qua khối lượng của lò xo. Lấy
2
10
π
=
.
Đề 27(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.42. Một quả cầu khối lượng m, được mắc vào hai đầu của hai lò xo L
1
, L
2
chưa bị biến dạng, có độ cứng
lần lượt là k
1
và k
2
sao cho nó có thể trượt không ma sát dọc theo
thanh kim loại mỏng nằm ngang. Đầu A của lò xo 1 được giữ
chặt. Người ta giữ yên quả cầu và kéo giãn đầu B của lò xo 2 đến
vị trí B
1
và giữ chặt ở B

1
. Sau đó thả quả cầu. Biết BB
1
=a.
1. Viết phương trình dao động của quả cầu.
2. Tìm biên độ và chu kì dao động của quả cầu.
3. Tìm vận tốc cực đại của quả cầu.
Đề 23(2) - Bộ đề TSĐH
Bài 1.43. Hai lò xo giống hệt nhau, có khối lượng không đáng kể, có
độ cứng k=2,5N/m, được móc vào vật A có khối lượng m=600g như
hình vẽ. Mặt phẳng đỡ đủ nhẵn để có thể bỏ qua ma sát. Hai lò xo luôn
luôn bị kéo dãn trong thời gian thí nghiệm. Người ta kéo vật A ra khỏi
vị trí cân bằng một đoạn x
m
=10cm theo trục của lò xo, rồi thả nó ra không vận tốc đầu.
1. Bỏ qua sức cản của không khí, vật dao động điều hòa, lập phương trình chuyển động của vật.
2. Tính chu kì dao động của vật
10
A
B
m
L
1
L
2
A
1
2
A
A

O
O
M
M
N
L
1
L
2
3. Trong thực tế người ta nhận thấy biên độ dao động giảm từ từ. Sau nhiều lần dao động, biên độ của
vật chỉ còn bằng x
1m
=5cm. Khi đó động năng cực đại của vật bằng bao nhiêu? So sánh nó với động năng cực
đại lúc đầu của vật. Hãy giải thích tại sao động năng cực đại giảm dần?
Đề 28(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.44. Hai lò xo có độ cứng k
1
= 50N/m và k
2
= 100N/m mỗi chiếc
có một đầu gắn vào bức tường thẳng đứng còn đầu kia gắn vào một
vật có khối lượng m = 1,5kg chỉ có thể chuyển động dọc theo một
thanh cứng nằm ngang Dx xuyên qua vật. Bỏ qua ma sát. Tại thời
điểm ban đầu, lò xo L
1
được kéo dãn ra thêm một đoạn l
1
= 2cm còn
lò xo L
2

bị nén vào một đoạn l
2
= 4cm. Người ta buông để nó dao
động.
1. Viết phương trình dao động của vật
2. Tìm biên độ và chu kì dao động của vật
3. Tìm động năng và vận tốc cực đại của vật.
Đề 65(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.45. Một quả cầu nhỏ, khối lượng m=50g có thể trượt dọc
theo một dây thép, xuyên qua tâm quả cầu và căng nằm ngang
giữa hai điểm cố định A và B cách nhau một đoạn AB=50cm.
Có hai lò xo L
1
và L
2
được cắt ra từ một lò xo dài. L
1
được gắn
một đầu vào quả cầu, đầu kia vào điểm A, còn L
2
được gắn một đầu vào quả cầu, đầu kia gắn vào điểm B. Ở vị
trí cân bằng O ta có OA=l
1
=20cm và OB = l
2
= 30cm và cả hai lò xo đều không bị nén hay giãn.
1. Dùng một lực F = 5N đẩy quả cầu thì nó dời khỏi vị trí cân bằng O một đoạn bằng 1cm. Tính các độ
cứng k
1
, k

2
của hai lò xo L
1
và L
2
.
2. Thả quả cầu cho nó dao động. Tính chu kì dao động của quả cầu trong trường hợp bỏ qua mọi ma
sát.
3. Do có ma sát với dây nên quả cầu dao động tắt dần. Cho rằng hệ số ma sát không đổi k
m
= 0,3 và
biên độ của dao động giảm theo cấp số nhân lùi vô hạn. Hãy tìm tỉ số q giữa hai biên độ dao động liên tiếp
nhau. Lấy g = 10m/s
2
và bỏ qua khối lượng của lò xo.
Đề 67(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.46. Hai lò xo L
1
và L
2
có cùng độ dài tự nhiên. Khi treo một vật
khối lượng m = 200g bằng lò xo L
1
thì nó dao động với chu kì
T
1
=0,3s; khi treo bằng lò xo L
2
thì chu kì là T
2

=0,4s.
1. Nối hai lò xo trên với nhau thành một lò dài gấp đôi rồi treo
vật m trên thì vật m dao động với chu kì bằng bao nhiêu? Muốn chu kì
dao động của vật là T’ =
1 2
1
( )
2
T T
+
thì phải tăng hay giảm khối
lượng m bao nhiêu?
2. Nối hai lò xo với nhau ở cả hai đầu để được một lò xo có
cùng độ dài rồi treo vật m trên thì chu kì dao động của vật là bao
nhiêu? Muốn chu kì dao động của vật là 0,3s thì phải tăng hay giảm
khối lượng vật m bao nhiêu?
Đề 35(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.47. Một vật có khối lượng m = 2kg, có thể trượt không ma sát trên một mặt phẳng nằm ngang. Vật được
nối qua hai lò xo L
1
, L
2
vào hai điểm cố định như ở hình vẽ
47.1. Bỏ qua khối lượng hai lò xo và mọi ma sát và giả sử rằng
khi vật m ở vị trí cân bằng thì cả hai lò xo đều không biến
dạng. Đưa vật m ra khỏi vị trí cân bằng 10cm rồi thả cho dao
động không vận tốc đầu. Chu kì dao động của vật đo được là
T =
2
3

π
s
1. Hãy viết phương trình dao động của vật m, Chọn gốc
tọa độ ở vị trí cân bằng của vật và gốc thời gian là lúc vật bắt đầu thả vật.
2. Viêt biểu thức tính động năng và thế năng của hệ dao động. chứng minh cơ năng của hệ được bảo
toàn.
11
L
1
L
1
L
2
L
2
L
2
L
1
L
1
L
2
47.1
47.2
1
2
D
x
m

O
L
1
L
2
A
B
3. Vật m được nối với một điểm cố định qua hai lò xo nói trên mắc theo hình 47.2 Khi đó chu kì dao
động của vật T’ =
3
2
T
giây. Tìm độ cứng của hai lò xo.
Đề 71(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.48. Cho cơ hệ như hình vẽ. Các lò xo lí tưởng, lần lượt có độ cứng và chiều dài là k
1
= 60N/m, l
1
= 30cm;
k
2
=40N/m, l
2
= 20cm; A và B là hai giá cố định và AB = 60cm,
vật nhỏ m = 1kg. Bỏ qua mọi ma sát, tại thời điểm ban đầu giữ
vật m sao cho L
1
có chiều dài tự nhiên rồi thả ra không vận tốc
đầu.
1. Vật dao động điều hòa. Viết phương trình dao động của vật.

2. Tìm và biểu diễn lực cực đại, cực tiểu mà mỗi lò xo tác động lên A và B.
3. Tìm thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có x= 2cm.
4. Vận tốc trung bình trong một chu kì và tốc độ trung bình khi vật đi từ x = 2cm đến x = -2cm.
ĐHTCKT – 2000
Bài 1.49. Cho cơ hệ như hình vẽ. Hai lò xo có chiều dài tự nhiên và độ cứng tương ứng là L
01
= 20cm, k
1
= 15N/m; L
02
, k
2
= 20N/m. Một vật có khối lượng m = 200g có bề dày 4cm được
nối vào hai đầu lò xo, hai đầu còn lại được nối vào hai điểm cố định A và B có chiều dài AB
= 52cm. Lấy g=10m/s
2
.
1. Đặt AB thẳng đứng như hình vẽ. Khi m nằm cân bằng thì độ dài hai lò xo bằng
nhau. Tìm độ dài tự nhiên của lò xo thứ hai L
02
2. Cho m dao động theo phương thẳng đứng. Tính chu kì dao động của vật.
3. Đưa m tới vị trí mà lò xo thứ nhất không biến dạng, rồi cung cấp cho m một vận
tốc ban đầu v
0
= 30,55cm/s theo phương thẳng đứng hướng lên trên. Chọn lúc đó là gốc thời
gian và vị trí cân bằng là gốc tọa độ, chiều dương hướng xuống. Viết phương trình dao động
của vật m.
ĐH Công Đoàn – 2000
Hệ lò xo ghép với ròng rọc
Bài 1.50. Cho hệ dao động như hình vẽ. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và lò xo; dây nối không dãn

1. Định độ dãn của mỗi lò xo khi vật ở vị trí cân bằng
2. Kéo vật xuống theo phương thẳng đứng mộ đoạn
rồi thả nhẹ. Vật dao động điều hòa. Tìm chu kì dao động
của vật.
3. So sánh sự khác nhau ở hai thí nghiệm và giải thích
rõ nguyên nhân.
Bài 1.51. 1. Một lò xo có độ cứng k = 80N/m, độ dài tự
nhiên l
0
= 20cm, một đầu cố định, đầu kia mắc vào vật C có khối lượng m
1
=600g có thể trượt trên mặt phẳng
nằm ngang Vật C được nối với vật D có khối lượng m
2
= 200g bằng một sợi
dây không giãn qua một ròng rọc. Sợi
dây và ròng rọc đều có khối lượng
không đáng kể. Giữ vật D sao cho lò
xo có độ dài l
1
= 21 cm rồi thả ra nhẹ
nhàng. Chứng minh hệ dao động điều
hòa và Viết phương trình dao động của
hệ.
2. Đặt hệ thống lò xo, vật C đã cho trên mặt phẳng nghiệng như hình vẽ, góc
30
α
=
o
. Các điều kiện

khác như trong câu a. Chứng minh rằng trong trường hợp này hệ vẫn dao động điều hòa. Viết phương trình
dao động của hệ.
ĐHBKHN - 1998
12
m
1
2
A
B
L
1
L
2
m
A
B
Bài 1.52. Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo và ròng rọc có khối lượng không đáng kể. Độ cứng của lò xo k =
200N/m. Khối lượng M = 4kg, m
0
= 1kg. Vật M có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiêng, góc
nghiêng
30
α
=
o
1. Xác định độ dãn hoặc nén của lò xo khi ở vị trí cân bằng
2. Từ vị trí cân bằng kéo vật M dọc theo mặt phẳng nghiêng
xuống dưới một khoảng x
0
= 2,5cm rồi thả nhẹ. Chứng minh hệ dao

động điều hòa. Viết phương trình dao động của hệ. Chọn gốc tọa độ
tại vị trí cân bằng và gốc thời gian là lúc thả vật.
3. Đặt một vật m = 1kg lên trên vật M, hệ vật (m+M) đang ở
vị trí cân bằng. Hỏi chỉ có thể kéo hệ m+M đi xuống một đoạn tối đa
bằng bao nhiêu so với vị trí cân bằng dọc theo mặt phẳng nghiêng để
vật m vẫn đứng yên (không bị trượt) trên vật M khi hệ dao động.
Cho biết hệ số ma sát giữa vật m và M là 0,2. Cho g=10m/s
2
;
2
10
π
=
ĐH Ngoại Thương TPHCM – 2000
C. CON LẮC ĐƠN
Tính chu kì, tần số, vận tốc, lực căng dây của con lắc đơn
Bài 1.53.
1. Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là l
1
và l
2
và có chu kì dao động T
1
, T
2
tại một nơi có gia tốc
trọng trường là g=9,8m/s
2
. Biết rằng cũng tại nơi đó, con lắc đơn có chiều dài l
1

+ l
2
có chu kì dao động là 2,4s
và con lắc đơn có chiều dài l
1
– l
2
có chu kì dao động là 0,8s. Hãy tính T
1
, T
2
, l
1
, l
2
.
2. Một vật khối lượng m được treo bằng một lò xo vào một điểm cố định O thì dao động với tần số f =
5Hz. Treo thêm một gia trọng
m
∆
=38g vào vật thì tần số dao động là 4,5Hz. Tính khối lượng m và độ cứng
k của lò xo; bỏ qua mọi ma sát và lực cản của không khí.
Đề 20(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.54. Một con lắc đơn gồm một quả cầu khối lượng m = 500g được treo trên sợi dây dài l = 1m ở một nơi
có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s
2
. Bỏ qua sức cản không khí và ma sát ở điểm treo.
1. Tính chu kì của con lắc khi nó dao động với biên độ nhỏ.
2. Kéo con lắc lệch ra khỏi vị trí cân bằng một góc
60

α
=
o
rồi thả ra không vận tốc đầu. Tính:
a) Vận tốc cực đại của quả cầu.
b) Vận tốc của quả cầu khi con lắc lệch một góc
30
β
=
o
và β=8
0
so với phương thẳng đứng
3. Tính chu kì của con lắc khi nó dao động với biên độ góc nhỏ.
4. Con lắc đi lên tới vị trí có góc lệch 30
0
thì dây treo bị tuột ra.
a) Xác định chuyển động của quả cầu sau khi dây bị tuột và thành lập phương trình quỹ đạo của vật.
b) Xác định độ cao cực đại của quả cầu trong chuyển động này. So sánh với độ cao của quả cầu ở điểm
bắt đầu thả con lắc (không vận tốc đầu) và giải thích.
Đề 79(2) - Bộ đề TSĐH
Bài 1.55. Một con lắc đơn gồm một quả cầu khối lượng m=50g treo vào đầu một sợi dây dài l =1m, ở một nơi
có gia tốc trọng trường g=9,8 m/s
2
. Mỏ qua mọi ma sát.
1. Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng đứng là
30
m
α
=

o
.Hãy tính vận tốc của quả cầu
và lực căng của dây treo.
a) Tại vị trí mà li độ góc của con lắc bằng 8
0
.
b) Tại vị trí cân bằng của con lắc
2. Tính chu kì của con lắc khi nó dao động với biên độ góc
m
α
nhỏ (với góc
α
nhỏ thì coi
2
os 1-
2
c
α
α
≈
). Cho 1
0
=0,01745 rad.
Đề 70(2) – Bộ đề TSĐH
Bài toán đồng hồ nhanh, chậm
Bài 1.56. Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại một nơi trên mặt biển có g=9,8m/s
2
và có nhiệt độ là 20
0
C.

Thanh treo quả lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài
5 1
1,85.10 K
α
− −
=
.
13
1. Cho biết chu kì của con lắc là 2s. Hãy tính độ dài của con lắc đơn đồng bộ (có cùng chu kì dao động)
với nó.
2. Khi nhiệt độ nơi đó tăng lên đến 30
0
C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày nhanh chậm bao
nhiêu?
3. Đưa đồng hồ xuống một giếng sâu 100m so với mặt biển. Đồng hồ chạy nhanh hay chậm? một ngày
chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?
4. Đưa đồng hồ lên cao 1000m so với mặt biển, đồng hồ chạy đúng giờ. Hãy giải thích hiện tượng và
tính nhiệt độ ở độ cao ấy. Coi trái đất là hình cầu, có bán kính R=6400km và độ dài của thanh treo quả lắc
đồng hồ bằng độ dài con lắc đơn đồng bộ với nó.
5. Nếu không lên dây cót đồng hồ và để cho con lắc của nó dao động tự do với biên độ góc ban đầu
bằng 5
0
thì nó sẽ dao động tắt dần và sau 4 chu kì biên độ góc của nó chỉ còn là 4
0
. Cho rằng biên độ con lắc
giảm theo cấp số nhân lùi vô hạn. Hãy tính công mà phải tốn để lên dây cót đồng hồ sao cho nó chạy được môt
tuần lễ với biên độ 5
0
.
Cho biết khối lượng của quả nặng con lắc là m=100g và phải mất 80% năng lượng của dây cót để

thắng ma sát ở hệ thống bánh xe.
Đề 18(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.57. 1. Con lắc của một đồng hồ quả lắc được coi như một con lắc đơn, có chu kì dao động là 1s ở nhiệt
độ 15
0
C. Tính chiều dài của con lắc. Lấy g=9,8m/s
2
.
2
10
π
=
.
2. Ở nhiệt độ 35
0
C đồng trên chạy nhanh hay chậm và mỗi ngày chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Cho
hệ số nở dài của thanh treo con lắc là
5 1
2.10 K
α
− −
=
3. Nếu không lên dây cót đồng hồ và để cho con lắc của nó dao động tự do với biên độ góc ban đầu
bằng 5
0
thì nó sẽ dao động tắt dần và sau 4 chu kì biên độ góc của nó chỉ còn là 4
0
. Cho rằng biên độ con lắc
giảm theo cấp số nhân lùi vô hạn. Hãy tính công mà phải tốn để lên dây cót đồng hồ sao cho nó chạy được môt
tuần lễ với biên độ 5

0
. Cho biết khối lượng của quả nặng con lắc là m = 100g và phải mất 80% năng lượng của
dây cót để thắng ma sát ở hệ thống bánh xe.
Đề57(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.58. Một con lắc đồng hồ chạy đúng trên mặt đất có chu kì 2s.
a) Đưa con lắc xuống giếng sâu 100m thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh chậm là bao nhiêu?
b) Khi đưa đồng hồ lên cao, nó chạy chậm đi 2,16s mỗi ngày đêm, tính độ cao của đồng hồ so với mặt đất?
Bài 4/57 – Một số phương pháp giải toán vật lí sơ cấp 1
Bài 1.59. Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội, ở nhiệt độ 20
0
C, ở các điều kiện đó con lắc đồng hồ
có chu kì T = 2s. Nó được coi như con lắc đơn gồm một vật khối lượng m = 500g và một thanh treo mảnh
bằng kim loại có hệ số nở dài
5 1
2.10 K
α
− −
=
. Vật m có thể dịch chuyển được dọc theo thanh treo nhờ một
đinh ốc có bước ốc h = 0,5 mm.
1. Đồng hồ được đem từ Hà Nội vào TPHCM. Hỏi ở TPHCM khi nhiệt độ 30
0
C, đồng hồ chạy nhanh
hay chậm so với ở Hà Nội và nhanh chậm mỗi ngày bao nhiêu?
2. Ở TPHCM, để đồng hồ lại chạy đúng giờ thì phải xoay ốc điều chỉnh con lắc một góc bằng bao
nhiêu và theo chiều nào?
3. Biên độ dao động của con lắc là 5
0
. Do ma sát nên khi con lắc dao động tự do thì sau 5 chu kì, biên
độ dao động chỉ còn 4

0
. Dao động của con lắc được duy trì nhờ bộ máy của đồng hồ. Tính công suất của máy
đó khi đồng hồ đặt tại Hà Nội. Cho ở Hà Nội g = 9,793m/s
2
, ở TPHCM g = 9,787 m/s
2
.
Đề 72(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.60. Con lắc Fuco ở nhà thờ I xắc (hay là Isakiăc) ở thành phố Xanh pêtecbua là một con lắc đơn, gồm
một quả nặng có khối lượng m = 5kg, treo vào trần vòm nhà thờ bằng một sợi dây không trọng lượng, không
dãn, độ dài l = 98m. Gia tốc rơi tự do tại đây là g = 9,819 m/s
2
, và nhiệt độ trong nhà thờ là 20
0
C.
1. Tính chu kì dao động T của con lắc, chính xác đến 0,001s.
2. Nếu treo con lắc ấy ở Hà Nội, nơi có gia tốc rơi tự do g’= 9,793 m/s
2
và nhiệt độ 30
0
C và cho nó dao
động liên tục trong 6 giờ thì nó chạy nhanh hay chậm và nhanh, chậm bao nhiêu so với khi ở Xanh pê tec bua.
Biết hệ số nở dài của dây treo là
5 1
2.10 K
α
− −
=
3. Trong quá trình dao động, góc lệch cực đại của dây treo con lắc so với đường thẳng đứng qua điểm
treo là 0,02 rad. Coi quỹ đạo chuyển động của quả nặng là đường thẳng, hãy viết phương trình dao động của

nó, tính vận tốc của nó khi qua vị trí cân bằng, sức căng dây treo khi đó. Bỏ qua sức cản của không khí.
ĐH Công Đoàn – 1998
Bài 1.61. Tại một nơi ngang mực nước biển, ở nhiệt độ 10
0
C một đồng hồ quả lắc trong một ngày đêm chạy
nhanh 6,48s. Coi con lắc đồng hồ như con lắc đơn. Thanh treo con lắc có hệ số nở dài
5 1
2.10 K
α
− −
=
14
1. Tại vị trí nói trên, ở nhiệt độ nào thì đồng hồ chạy đúng giờ?
2. Đưa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó nhiệt đô là 6
0
C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ. Giải thích hiện
tượng và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nước biển. Coi trái đất hình cầu và có bán kính 6400km.
ĐH Thương Mại – 1999
Bài 1.62. Con lắc của một đồng hồ quả lắc được coi như một con lắc đơn có chu kì 2s ở nhiệt độ 28
0
C trên mặt
đất.
a) Nếu tăng nhiệt độ lên đến 32
0
C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong một ngày đêm?
Biết thanh treo quả lắc làm bằng đồng hồ có hệ số nở dài
5 1
1,7.10 K
α
− −

=
.
b) Đưa đồng hồ lên cao 2km so với mặt đất thì nó sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong một ngày
đêm? Giả sử nhiệt độ vẫn là 28
0
C. Biết gia tốc trọng trường tại mặt đất g = 9,8m/s
2
.
c) Ở độ cao 2km nếu muốn cho con lắc đồng hồ vẫn có chu kì 2s thì nhiệt độ phải bằng bao nhiêu?
Bài 2/56 – Một số phương pháp giải toán vật lý sơ cấp 1
Bài 1.63. Hai con lắc đơn L
1
và L
2
có độ dài l
1
, l
2
, hiệu số độ dài của chúng bằng 9cm. Cho hai con lắc đó dao
động, người ta thấy trong cùng một khoảng thời gian con lắc L
1
thực hiện được 8 dao động, còn con lắc L
2
thực hiện được 10 dao động.
a) Tìm độ dài mỗi con lắc.
b) Người ta dùng con lắc L
2
làm quả lắc đồng hồ, khi đó đồng hồ chạy đúng ở 28
0
C trên mặt đất. Đem

con lắc lên độ cao 5km và nhiệt độ tại đó là 18
0
C. Hỏi vị trí đó đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong
một ngày đêm, cho biết hệ số nở dài của thanh treo con lắc là
5 1
6.10 K
α
− −
=
Bài 3/57 – Một số phương pháp giải toán vật lí sơ cấp 1
Bài 1.64. Một đồng hồ quả lắc chỉ đúng giờ ở mặt nước biển và nhiệt độ là 18
0
C. Thanh treo của con lắc có hệ
số nở dài
5 1
2.10 K
α
− −
=
.
a) Khi nhiệt độ hạ xuống đến 8
0
C và cũng ở vị trí mặt nước biển thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm?
Mỗi ngày nhanh chậm bao nhiêu?
b) Khi đưa đồng hồ lên một đỉnh núi, tại đó nhiệt độ là 8
0
C thì đồng hồ vẫn chạy đúng. Giải thích hiện
tượng và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nước biển?
Bài 5/57 – Một số phương pháp giải toán vật lí sơ cấp 1
Con lắc đơn trong điện trường, từ trường, thang máy

Bài 1.65. Một con lắc đơn có chu kì dao động bằng 2s ở nơi mà gia tốc trọng trường là
g=9,8m/s
2
và O
0
C. Dây treo con lắc có hệ số nở dài
5 1
2.10 K
α
− −
=
. Bỏ qua mọi ma sát
và lực cản của môi trường.
1. Tính chiều dài l
0
của con lắc ở 0
0
C và chu kì dao động của nó ở 20
0
C.
2. Để con lắc ở 20
0
C có chu kì vẫn là 2s người ta truyền cho quả cầu của con lắc
một điện tích q=10
-9
C rồi đặt nó trong một điện trường đều nằm ngang có cường độ E,
có các đường sức nằm ngang và song song với mặt phẳng dao động của con lắc. Biết
khối lượng của con lắc m=1g. Hãy tính cường độ điện trường và góc giữa phương
thẳng đứng và phương của dây treo khi nó đứng cân bằng.
Đề 37(2) – Bộ đề TSĐH

Bài 1.66. Một con lắc đơn gồm một quả cầu kim loại nhỏ, khối lượng m=1g, tích điện |q| = 5,66.10
-7
C, được
treo vào một sợi dây mảnh dài l = 1,4m trong một điện trường đều E có phương nằm ngang tại một nơi có gia
tốc trọng trường g = 9,79 m/s
2
. Khi đó vị trí cân bằng của con lắc tạo với phương thẳng đứng một góc
30
α
=
o
1. Xác định cường độ điện trường và lực căng dây?
2. Cho con lắc dao động với biên độ góc nhỏ quanh vị trí cân bằng. Hãy xác định chu kì của con lắc.
3. Con lắc đang đứng yên tại vị trí cân bằng. Nếu bây giờ đột ngột đổi chiều điện trường nhưng vẫn
giữ nguyên cường độ thì con lắc sẽ chuyển động thế nào? Tính động năng cực đại của quả cầu. Bỏ qua mọi ma
sát.
Đề 24(2) – Bộ đề TSĐH
15
Bài 1.67. Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 2s. Quả cầu của con lắc có kích thước nhỏ và khối lượng m
= 0,1kg được tích điện dương q = 1,2.10
-6
C. Người ta treo con lắc trong điện trường đều có cường độ E=10
5
V/m và có phương nằm ngang so với mặt đất. Cho g = 10 m/s
2
,
2
10
π
=

. Bỏ qua mọi ma sát.
1. Xác định vị trí cân bằng của con lắc.
2. Tìm chu kì dao động của con lắc trong điện trường đều.
3. Giả sử con lắc đang đứng yên tại vị trí cân bằng, người ta đột ngột đổi chiều điện trường theo hướng
ngược lại và giữ nguyên cường độ. Hãy mô tả chuyển động của con lắc khi đó và tính vận tốc cực đại của quả
cầu.
ĐH Vinh – 2001
Bài 1.68. 1. Một con lắc đơn gồm một quả cầu khối lượng 50g, treo trên một sợi dây độ dài l. Con lắc thực
hiện dao động nhỏ tại một nơi có gia tốc g=9,8 m/s
2
. với chu kì T
0
=
2
5
π
s.
a) Tính độ dài l của con lắc. Viết phương trình dao động của nó. Cho biết lúc t = 0 góc lệch
α
của con
lắc so với phương thẳng đứng có giá trị cực đại bằng
0
α
với
0
cos 0,98
α
=
. Bỏ qua mọi ma sát và sức cản
của không khí.

b) Tính lực căng của dây ứng với hai vị trí của con lắc: Với
0
và 0
α α α
= =
2. Một con lắc đơn có chu kì dao động nhỏ là T. Đặt con lắc vào trong điện trường có véc tơ cường độ
điện trường E hướng thẳng đứng xuống dưới, Khi truyền cho quả cầu của con lắc điện tích q
1
thì nó dao động
nhỏ với chu kì T
1
= 5T, khi truyền điện tích q
2
thì nó dao động nhỏ với chu kì T
2
=
5
7
T. Xác định tỉ số
2
1
q
q
(q
1
và q
2
có thể dương hoặc âm).
Đề 75(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.69. Một con lắc đơn gồm một quả cầu bằng kim loại có thể tích 2cm

3
, có khối lượng riêng 4.10
3
kg/m
3
,
dao động trong không khí với chu kì 1,5s.
a) Đặt dưới con lắc một nam châm có từ trường đều, theo phương thẳng đứng. Biết lực hút của nam
châm lên quả cầu bằng 0,018N. Tính chu kì dao động của con lắc.
b) Cho con lắc dao động trong một chất khí có khối lượng riêng 3g/lít, tính chu kì dao động của con
lắc. Lấy g = 10 m/s
2
.
Bài 5/64 – Một số phương pháp giải toán vật lí sơ cấp 1
Bài 1.70. Chuyển động của thang máy khi hoạt động được coi là chuyển động biến đổi đều.
1. Hỏi khi nào thì thang máy có gia tốc hướng lên? Hướng xuống?
2. Thang máy chuyển động từ mặt đất xuống dưới một giếng sâu 196m. Khi xuống cũng như khi lên
một nửa quãng đường đầu nó chuyển động nhanh dần, nửa quãng đường sau chuyển động chậm dần đều cho
tới khi dừng lại. Độ lớn của các gia tốc ở hai nửa quãng đường đầu và cuối này đều bằng nhau và bằng
1
10
g
(với g = 9,8 m/s
2
)
a) Tìm khoảng thời gian (theo đồng hồ đứng yên trên mặt đất) chuyển động của thang máy từ mặt đất
xuống đáy giếng.
b) Đặt vào thang máy một đồng hồ quả lắc chạy đúng khi nó đứng yên trên mặt đất. Hỏi sau một ca
làm việc 8 giờ, mỗi giờ 6 chuyến lên xuống, đồng hồ trong thang máy chạy nhanh hay chậm hơn so với khi nó
đứng yên trên mặt đất. Tính độ sai lệch của đồng hồ. Cho rằng gia tốc g không đổi theo độ sâu của giếng.

Đề 45(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.71.
1. Trong một thang máy đứng yên có treo một con lắc là xo và một con lắc đơn. Con lắc lò xo gồm một vật có
khối lượng m = 250g và lò xo có độ cứng k = 12,25 N/m. Chu kì dao động của hai con lắc bằng nhau và biên
độ góc của con lắc đơn là 8
0
. Tính chu kì dao động của hai con lắc và chiều dài của con lắc đơn. Cho g = 9,8
m/s
2.
2. Thang máy trên được kéo lên nhanh dần đều với gia tốc có trị số là a =
1
10
g. Hỏi chu kì, biên độ của hai
con lắc trên thay đổi như thế nào?
16
Đề 49(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.72. Một con lắc đơn dài 1,73m dao động trên một chiếc xe đang lăn không ma sát xuống một cái dốc
nghiêng một góc 30
0
so với phương ngang.
a) Xác định gia tốc của xe và vị trí cân bằng của con lắc.
b) Tính chu kì dao động của con lắc. Lấy g=10 m/s
2
.
Bài 6/64 – Một số phương pháp giải toán vật lí sơ cấp 1
Bài 1.73. Treo một con lắc đơn vào một tấm gỗ thẳng đứng. Dây treo mềm có chiều dài là
l=1m. Dọc theo đường thẳng đứng, cách điểm treo con lắc một đoạn l/2, người ta đóng một
chiếc đinh. Khi con lắc dao động nó sẽ vướng vào đinh.
a) Tính chu kì dao động của con lắc
b) Chu kì của con lắc là bao nhiêu, nếu cho con lắc và tấm gỗ chuyển động theo

phương thẳng đứng lên phía trên với gia tốc a=g/2.
c) Đem con lắc và tấm gỗ lên mặt trăng. Chu kì dao động của nó là bao nhiêu, biết rằng
khối lượng trái đất gấp 81 lần khối lượng mặt trăng, bán kính trái đất bằng 3,7 lần bán kính mặt
trăng. Cho g=10 m/s
2
.
Đề 10(2) – Bộ đề TSĐH + HVBCVT – 1998
Bài 1.74.
1. Cho một con lắc đơn A dao động trước mặt một con lắc của đồng hồ gõ giây B(Chu kì dao động của
B là T
B
=2s). Con lắc B dao động nhanh hơn con lắc A một chút nên có những lần hai con lắc chuyển động
cùng chiều và trùng với nhau tại vị trí cân bằng của chúng (gọi là những lần trùng phùng). Quan sát cho thấy
hai lần trùng phùng liên tiếp cách nhau 9 phút 50s
a) Tính chu kì dao động của con lắc đơn A.
b) Con lắc đơn A dài 1m. Xác định gia tốc rơi tự do g
2. Quả cầu của con lắc đơn A có khối lượng m=50g khi dao động vạch ra một cung tròn mà ta có thể
coi như một đoạn thẳng dài 12cm. Bỏ qua ma sát.
a) Tính vận tốc cực đại của quả cầu và vận tốc của nó ở vị trí ứng với độ dời là 4cm.
b) Tính năng lượng của con lắc A khi nó dao động.
Đề 52(2) – Bộ đề TSĐH
Bài 1.75. Hai con lắc đơn có cùng chiều dài dây treo, cùng khối lượng vật nặng m=10g. Con lắc thứ nhất mang
điện tích q, con lắc thứ hai không tích điện. Đặt cả hai con lắc vào điện trường đều, thẳng đứng hướng xuống,
cường độ E = 11.10
4
V/m. Trong cùng một thời gian, nếu con lắc thứ nhất thực hiện 6 dao động thì con lắc thứ
hai thực hiện 5 dao động. Tính q. Cho g = 10 m/s
2
. Bỏ qua sức cản của không khí.
ĐH Cần Thơ – 1999

Bài 1.76. Một con lắc đơn gồm một hòn bi A có khối lượng m=100g treo trên một sợi dây
dài l=1m. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc
30
m
α
=
o
rồi thả không vận
tốc đầu. Bỏ qua lực cản và ma sát.
1. Tìm vận tốc của hòn bi khi qua vị trí cân bằng. Lấy g=9,8 m/s
2
2. Khi đi qua vị trí cân bằng, bi A va chạm đàn hồi với một hòn bi B có khối lượng
m
2
= 50g đang đứng yên trên mặt bàn. Tìm
a) Vận tốc của hai hòn bi ngay sau khi va chạm.
b) Biên độ góc
m
β
của con lắc sau va chạm.
3. Giả sử bàn cao 0,8 m so với mặt đất và bi B nằm ở mép bàn. Xác định chuyển động của bi B. Bi B
bay bao lâu thì rơi đến sàn nhà và điểm rơi cách chân bàn bao nhiêu?
Đề 47(2) – Bộ đề TSĐH
D. DAO ĐỘNG TẮT DẦN – HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG
Bài 1.77. Cho cơ hệ như hình vẽ. Độ cứng của lò xo k = 100N/m, m
= 200g. Hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nằm ngang
0,05
µ
=
.

Ban đầu đưa vật dời khỏi vị trí cân bằng một khoảng 4cm rồi thả
nhẹ. Hỏi đến khi dừng lại vật đã thực hiện được bao nhiêu dao động?
17
Bi 1.78. Hai lũ xo ging ht nhau, cú khi lng khụng ỏng k, cú cng k=2,5N/m, c múc vo vt A
cú khi lng m=600g nh hỡnh v. Mt phng nhn cú th
b qua ma sỏt. Hai lũ xo luụn luụn b kộo dón trong thi gian thớ
nghim. Ngi ta kộo vt A ra khi v trớ cõn bng mt on
x
m
=10cm theo trc ca lũ xo, ri th nú ra khụng vn tc u.
1. B qua sc cn ca khụng khớ, vt dao ng iu hũa, lp
phng trỡnh chuyn ng ca vt.
2. Tớnh chu kỡ dao ng ca vt
3. Trong thc t ngi ta nhn thy biờn dao ng gim t t. Sau nhiu ln dao ng, biờn ca
vt ch cũn bng x
1m
=5cm. Khi ú ng nng cc i ca vt bng bao nhiờu? So sỏnh nú vi ng nng cc
i lỳc u ca vt. Hóy gii thớch ti sao ng nng cc i gim dn?
28(2) B TSH
Bi 1.79. Mt con lc lũ xo gm lũ xo cú cng k = 60N/m v qu cu cú khi lng m = 60g dao ng
trong mt cht lng vi biờn ban u A=12cm. Trong quỏ trỡnh dao ng con lc luụn chu tỏc dng ca
mt lc cn cú ln khụng i F
C
. Xỏc nh ln ca lc cn ú. Bit khong thi gian t lỳc dao ng
cho n khi dng hn l t = 120s. Cho
2
10

=
.

Bi 1.80. Cho h dao ng nh hỡnh v. Hai lũ xo L
1
v L
2
cú cng
k
1
= 60N/m, k
2
=40N/m. Vt cú khi lng m = 250g. B qua khi
lng rũng rc v lũ xo, dõy ni khụng dón v luụn cng khi vt dao
ng. v trớ cõn bng O ca vt, tng dón ca L
1
v L
2
l 5cm.
Ly g = 10m/s
2
.
a) B qua ma sỏt gia vt v mt bn, thit lp phng trỡnh
dao ng. Chn gc ta ti O, chn t = 0 khi a vt n v trớ sao
cho L
1
khụng co dón ri truyn cho nú vn tc ban u v
0
= 40cm/s
theo chiu dng. Vit biu thc lc cng dõy v tỡm iu kin ca v
0
vt dao ng iu hũa.
b) Nu k n ma sỏt gia vt v mt bn v coi h s ma sỏt

0,1
à
=
khụng i. Hóy tỡm quóng
ng vt i c t khi bt u dao ng n khi dng hn.
H GTVT 2001
Bài 1.81. Một vật khối lợng
( )
gm 200=
nối với một lò xo có độ cứng
( )
mNk /80=
. Đầu còn lại của lò
xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một
đoạn
( )
cm10
rồi buông tay không vận tốc ban đầu. Chọn trục toạ độ Ox trùng với phơng chuyển động, gốc toạ
độ O là vị trí cân bằng, và chiều dơng của trục ngợc với chiều kéo ra nói trên. Chọn gốc thời gian là lúc buông
tay. Lấy gia tốc trọng trờng
( )
2
/10 smg
=
.
1. Nếu bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang. Viết phơng trình dao động.
2. Khi hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nằm ngang là
1,0
=
à

thì dao động sẽ tắt dần.
a) Tìm tổng chiều dài quãng đờng
max
S
mà vật đi đợc cho tới lúc dừng lại.
b) Tính độ giảm biên độ dao động sau một chu kì. Tìm thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến
lúc dừng lại.
Bài 1.82. Một vật khối lợng
( )
kgm 1=
nối với một lò xo có độ cứng
( )
mNk /100
=
. Đầu còn lại của lò
xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao động dọc theo trục Ox trên mặt phẳng nghiêng so với mặt phẳng nằm
ngang một góc
0
60
=

. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là
01,0=
à
. Từ vị trí cân bằng truyền
cho vật vận tốc ban đầu
( )
scmv /50
0
=

thì vật dao động tắt dần. Xác định khoảng thời gian từ lúc bắt đầu
dao động cho đến khi dừng hẳn.
Bài 1.83. Một con lắc đơn có chiều dài
( )
ml 5,0
=
, quả cầu nhỏ có khối lợng
( )
gm 100
=
. Cho nó dao
động tại nơi có gia tốc trọng trờng
( )
2
/8,9 smg
=
với biên độ góc
( )
rad14,0
0
=

. Trong quá trình dao
động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực ma sát nhỏ có độ lớn không đổi
( )
NF
C
002,0=
thì nó sẽ dao động
18

tắt dần. Dao động tắt dần có cùng chu kì nh khi không có lực cản. Hãy chứng tỏ sau mỗi chu kì biên độ giảm
một lợng nhất định. Tính khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn. Lấy
1416,3
=

.
Bài 1.84. Một con lắc đơn có chiều dài
( )
ml 248,0=
, quả cầu nhỏ có khối lợng
( )
100m g
=
. Cho nó dao
động tại nơi có gia tốc trọng trờng
( )
2
/8,9 smg
=
với biên độ góc
( )
rad07,0
0
=

trong môi trờng dới tác
dụng của lực cản (có độ lớn không đổi) thì nó sẽ dao động tắt dần có cùng chu kì nh khi không có lực cản. Lấy
1416,3
=


. Xác định độ lớn của lực cản. Biết con lắc đơn chỉ dao động đợc
( )
s100
=

thì ngừng hẳn.
Bài 1.85. Một con lắc đơn có chiều dài
( )
ml 992,0
=
, quả cầu nhỏ có khối lợng
( )
gm 25=
. Cho nó dao
động tại nơi có gia tốc trọng trờng
( )
2
/8,9 smg
=
với biên độ góc
0
0
4=

trong môi trờng có lực cản tác
dụng. Biết con lắc đơn chỉ dao động đợc
( )
s50
=


thì ngừng hẳn. Lấy
1416,3
=

.
1) Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì.
2) Để duy trì dao động, ngời ta dùng một bộ phận bổ sung năng lợng, cung cấp cho con lắc sau mỗi chu
kì. Bộ phận này hoạt động nhờ một pin tạo hiệu điện thế
( )
VU 3
=
, có hiệu suất
%25
. Pin dự trữ một điện
lợng
( )
CQ
3
10
=
. Tính thời gian hoạt động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin.
Bài 1.86. Một con lắc đồng hồ đợc coi nh một con lắc đơn có chu kì dao động
( )
sT 2
=
; vật nặng có khối l-
ợng
( )
kgm 1=
. Biên độ góc dao động lúc đầu là

0
0
5
=

. Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi
( )
NF
C
011,0
=
nên nó chỉ dao động đợc một thời gian
( )
s

rồi dừng lại.
1) Xác định

2) Ngời ta dùng một pin có suất điện động
( )
V3
điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lợng
cho con lắc với hiệu suất 25%. Pin có điện lợng ban đầu
( )
CQ
4
0
10=
. Hỏi đồng hồ chạy đợc thời gian bao
lâu thì lại phải thay pin?

Bi 1.87. Mt con lc n cú di 0,3m c treo vo trn ca mt toa xe la. Con lc b kớch ng mi khi
bỏnh xe ca toa xe gp ch ni nhau ca cỏc on ng ray. Khi con tu chy thng u vi tc l bao
nhiờu thỡ biờn ca con lc ln nht. Cho bit khong cỏch gia hai mi ni l 12,5m.Ly g=9,8m/s
2
.
Bi 1.88. Mt chic xe chy trờn mt con ng lỏt gch, c cỏch khong 9m trờn ng li cú mt cỏi rónh
nh. Chu k dao ng riờng ca khung xe trờn cỏc lũ xo gim xúc l 1,5s. Hi vi vn tc bng bao nhiờu thỡ
xe b xúc mnh nht?
Bi 1.89. Treo con lc lũ xo vo trn mt toa xe ha, chu k dao ng riờng ca con lc lũ xo l T
0
=2s.Toa tu
b kớch ng mi khi qua ch ni ca hai ng ray. Mi ng ray di L=12m.Ly g=10m/s
2
.
a)Tu ha chy thng u vi vn tc bng bao nhiờu thỡ con lc dao ng mnh nht?
b)Treo con lc n vo toa xe ha thỡ con lc n dao ng vi biờn ln nht khi tu ha chuyn
ng vi vn tc cõu a. Tớnh chiu di ca con lc n.
Bi 1.90. Mt ngi i b vi bc i di
0,6s m
=
. Nu ngi ú xỏch mt xụ nc m nc trong xụ
dao ng vi tn s f = 2Hz. Ngi ú i vi vn tc bao nhiờu thỡ nc trong xụ súng sỏnh mnh nht?
E. TNG HP DAO NG
Bi 1.91. Cho hai dao ng iu ho cựng phng, cựng tn s, cựng biờn
2
cm v cú cỏc pha ban u
ln lt l
2
3


v
6

. Pha ban u v biờn ca dao ng tng hp ca hai dao ng trờn l bao nhiờu?
Bi 1.92. Mt vt tham gia ng thi vo hai dao ng iu ho
1
3cos5x t
=
(cm) v
2
4sin(5 )
2
x t

= +
(cm). Vn tc ca vt khi t = 2s l bao nhiờu?
19
Bài 1.93. Hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình dao động là x
1
=
3
cos(
t10
π
-
3
π
) cm và x
2
=

cos(10
π
t +
6
π
) cm. Viết phương trình dao động tổng hợp.
Bài 1.94. Con lắc lò xo có vật nặng m=200g thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số x
1
=6cos(
t10
π
-
π
) và x
2
=6cos(
10
2
t
π
π
−
). Thế năng của vật tại thời điểm t = 1s là bao nhiêu?
Bài 1.95.
Một vật tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương x
1
=4cos(5
2
t -

π
) cm và x
2
=A
2
cos(
5 2
2
t
π
+
) cm. Độ lớn vận tốc tại thời điểm động năng bằng thế năng là 40 cm/s.
Tìm biên độ A
2
?
Bài 1.96. Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc
5
ϖ π
=
rad/s với các biên độ: A
1
=
3
2

cm; A
2
=
3
cm và các pha ban đầu tương ứng

1 2
5
và
2 6
π π
ϕ ϕ
= =
. Tìm phương trình tổng hợp của hai
dao động trên.
Bài 1.97. Cho hai dao động x
1
=3cos(
1
t
π ϕ
+
) cm và x
2
=0,05cos(
2
t
π ϕ
+
) (m). Hãy xác định phương trình và
vẽ giản đồ véc tơ của dao động tổng hợp trong các trường hợp sau:
1. Hai dao động cùng pha
2. Hai dao động ngược pha
3. Hai dao động vuông pha
ĐH Nông Nghiệp I – 2000
Bài 1.98. Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng chu kì T=2s. Dao động thứ nhất có li độ ở thời điểm

ban đầu (t=0) bằng biên độ dao động và bằng 1cm. Dao động thứ hai có biên độ bằng
3
cm. Ở thời điểm ban
đầu li độ bằng không và vận tốc có giá trị âm.
1. Viết phương trình dao động của hai dao động đã cho
2. Hãy nói rõ cách biểu diễn hai dao động điều hòa đã cho bằng véc tơ quay. Chứng minh rằng véc tơ
tổng của hai véc tơ này là một véc tơ biểu thị một dao động điều hòa và là tổng hợp của hai dao động đã cho.
3. Không dùng phương pháp véctơ quay hãy chứng minh dao động tổng hợp của hai dao động này là
dao động điều hòa.
ĐHBKHN – 2001
Bài 1.99. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x
1
=A
1
cos(
6
t
π
ϖ
+
)
(cm) và x
2
=3cos(
5
6
t
π
ϖ
+

) (cm) với
20
ϖ
=
rad/s. Biết rằng vận tốc cực đại của vật bằng 140 (cm/s). Xác
định biên độ A
1
ĐH Cần Thơ - 2001
Bài 1.100. Cho ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc
100
ϖ π
=
rad/s với các biên độ
A
1
=1,5cm; A
2
=
3
2
cm; A
3
=
3
cm và các pha ban đầu tương ứng
1 2 3
5
0, ,
2 6
π π

ϕ ϕ ϕ
= = =
. Viết phương
trình dao động tổng hợp của ba dao động trên.
Bài 1.101. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình dao
động tổng hợp là
8,7 cos(6 )
2
x t
π
π
= +
(cm). Một trong hai dao động thành phần có phương trình là
1
5cos(6 )
3
x t
π
π
= +
(cm). Tìm phương trình của dao động thứ hai?
G. NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
20
Bài 1.102. Một con lắc đơn gồm viên bi nhỏ có khối lượng m=100g được treo ở đầu một sợi dây dài l=1,57m
tại địa điểm có gia tốc trọng trường g=9,81 m/s
2
. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc
0
0,10rad
α

=
rồi thả cho nó dao động không vận tốc đầu. Bỏ qua khối lượng dây treo, lực cản của không
khí và ma sát tại điểm treo.
a) Chứng minh rằng năng lượng dao động E của con lắc đơn tỉ lệ với bình phương biên độ góc
0
α
(tức
góc lệch lớn nhất) của nó. Tính giá trị năng lượng dao động E của con lắc đơn nói trên.
b) Tính động năng E
đ
và thế năng E
t
của con lắc đơn khi nó có góc lệch là
0,05
α
=
rad.
ĐHKTQD – 1998
Bài 1.103. Hai quả cầu rỗng giống hệt nhau, một quả chứa đầy cát, một quả chứa đầy nước được treo trên hai
sợi dây giống hệt nhau và có đô dài như nhau. Hai quả cầu được kéo lệch khỏi vị trí cân bằng một góc như
nhau rồi thả cho dao động không vận tốc đầu. Hãy so sánh chu kì dao động trong chân không của hai quả cầu.
Khi dao động trong không khí quả cầu nào sẽ dao động lâu hơn?
ĐH An Ninh – 1999
Bài 1.104. Một con lắc đơn gồm một quả cầu khối lượng 60g treo vào một sợi dây dài 1m, ở một nơi có gia
tốc trọng trường g=9,806 m/s
2
. Bỏ qua mọi ma sát.
1. Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng đứng là
30
m

α
=
o
a) Lập công thức tính vận tốc quả cầu và lực căng của dây treo
b) Tính vận tốc lớn nhất của quả cầu và lực căng nhỏ nhất của dây treo.
2. Treo con lắc trên vào trần một thang máy. Kéo thang máy lên nhanh dần đều với gia tốc a, người ta
thấy chu kì của con lắc (khi nó dao động với biên độ góc nhỏ) giảm 3% so với chu kì của nó lúc thang máy
đứng yên. Hãy xác định gia tốc a.
ĐH Thương Mại – 2000
Bài 1.105. Một con lắc lò xo có khối lượng của vật m=1kg, dao động điều hòa với phương trình x=Acos(
t
ϖ ϕ
+
) và có cơ năng E=0,125J. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc v=0,25m/s và gia tốc a=-6,25
3
m/s
2
.
a) Tính A,
,
ϕ ϖ
và độ cứng k của lò xo
b) Tìm động năng và thế năng của con lắc ở thời điểm t=7,25T với T là chu kì dao động của con lắc.
ĐH Vinh – 1999
Bài 1.106. Một vật có khối lượng m dao động điều hòa dọc theo trục x. Li độ của vật có biểu thức x=Acos(
4
t
π
ϖ
−

)
1. Viết biểu thức vận tốc, gia tốc a của vật
2. Vẽ các đường biểu diễn x(t); v(t); a(t) trong một chu kì biến đổi.
3. Viết biểu thức động năng W
đ
của vật và so sánh chu kì biến đổi động năng với chu kì dao động của
vật.
4. Vật đi qua điểm có tọa độ x
0
=A/2 vào những thời điểm nào?
ĐH KTQD – 1999
Bài 1.107. Cho con lắc lò xo như hình vẽ. Vật nặng có khối lượng m, lò xo có độ cứng k. Bỏ
qua khối lượng của lò xo. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật nặng. Một đầu lò xo
được gắn chặt vào giá đỡ nằm ngang. Vật có thể dao động dọc theo trục lò xo.
1. Đưa vật về vị trí mà lò xo không biến dạng rồi thả ra không vận tốc ban đầu cho vật
dao động điều hòa với tần số góc
10
ϖ
=
rad/s. Chọn chiều dương Ox hướng xuống. Viết
phương trình dao động với gốc thời gian là lúc thả vật.
2. Tính vận tốc của vật tại vị trí mà thế năng bằng 1,25 lần động năng.
3. Để vận tốc của vật tại vị trí cân bằng là 2m/s thì biên độ dao động của vật bằng bao
nhiêu?
ĐH Cần Thơ – 2000
21