GV Hồng Cơng Nhật
CHUN TỐN LÝ HĨA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507
EMail : ; 1
ĐẠI SỐ
1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO TRONG R
Gv Hoàng Công Nhật ……………………
1 . Biện luận phương trình bậc nhất
Ax = B ( A, B là các biểu thức chứa hoặc không chứá tham số m )
 A = 0  m = ? : Thay m vào phương trình ta có
0x const VN : S
0.x 0 x R : S R

   

    

 A  0  m  ? : Chia hai vế cho A ta có nghiệm : x =
B
A
Tập hợp nghiệm là S =
B
A
 
 
 
 Tự suy ra điều kiện có nghiệm và vô nghiệm của phương trình bậc nhất
2 . Biện luận phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c là các biểu thức chứa hoặc không chứá tham số m )
1 Xét a = 0  m = ? Thay trực tiếp vào (1 )  x = ?

2  Xét a  0 .
Ta tính  = b
2
– 4.a.c
Lập bảng xét dấu  theo m và biện luận
3  Nhìn vào bảng xét dấu  biện luận ba trường hợp
  < 0: phương trình vô nghiệm
  = 0: phương trình có nghiệm số kép : x
1
= x
2
=
b
2a

  > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x
1, 2
=
b
2a
 

3 . ĐỊNH LÝ VIETE cho phương trình bậc hai
Xét phương trình a.x
2
+ b.x + c = 0 (1)
 Điều kiện (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

:





0
0a
 Nếu a.c < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm và 2 nghiệm trái dấu
ĐL Viete thuận : Nếu phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm thì tổng số S ; tích số P của
hai nghiệm là
1 2
1 2
b
x x S
a
c
x .x P
a

   




 


ĐL Viete đảo : Nếu 2 số có tổng S và tích số là P thì chúng là hai nghiệm của phương
trình :

X
2
 S.X + P = 0
GV Hồng Cơng Nhật
CHUN TỐN LÝ HĨA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507
EMail : ; 2
Một số hệ thức nghiệm cần chú ý :

2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x
    ;

3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 3x x (x x )
    

1 2
x x
a

 
4 . ĐIỀU KIỆN phương trình bậc hai CÓ NGHIỆM ÂM, NGHIỆM DƯƠNG
Xét phương trình : a.x
2
+ b.x + c = 0
 Phương trình có hai nghiệm trái dấu : x
1
< 0 < x

2
 P < 0
* Nếu thêm điều kiện nghiệm âm có trò tuyệt đối lớn hơn S < 0
* Nếu thêm điều kiện nghiệm dương có trò tuyệt đối lớn hơn S > 0
 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt : x
1
< x
2
< 0 
0
P 0
S 0

 






 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt : 0 < x
1
< x
2

0
P 0
S 0

 







 Phương trình có hai nghiệm có giá trò tuyệt đối bằng nhau : có hai trường hợp
1 2
1 2
x x
x x 0



 



a 0
0
P 0
S 0





 












5 . Biện luận SỐ NGHIỆM CỦA phương trình bậc ba
Xét phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1) .
Ta nhẩm một nghiệm thực x
0
chia vế trái của (1) cho x - x
0
ta có :
(x - x
0
).(Ax
2
+ Bx + C) = 0 
0
2
x x 0
Ax Bx C 0 (2)


 


  

Tính  = B
2
- 4A.C
 Nếu (2) có 2 nghiệm x
1
; x
2
(  x
0
) thì (1) có ba nghiệm : x
0
; x
1
; x
2
.
 Nếu (2) có nghiệm kép x
1
= x
2
(  x
0
) thì (1) có hai nghiệm : x
0
; x

1
= x
2
.
 Nếu (2) có nghiệm kép x
1
= x
2
= x
0
thì (1) có một nghiệm kép : x
0
.
 Nếu (2) vô nghiệm thì (1) có một nghiệm đơn: x
0
6 . Cách giải một số phương trình đa thức quy về phương trình bậc hai trong R
Dạng 1:
4 2
ax bx c 0 (a 0)
   
đặt
2
t x 0
 
at
2
+ bt + c = 0
 Vì t = x
2
 x = 

t
cho nên ta có các kết quả sau :
GV Hồng Cơng Nhật
CHUN TỐN LÝ HĨA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507
EMail : ; 3
pt có 4 nghiệm 
0
P 0
S 0

 






; pt có 3 nghiệm 
P 0
S 0





pt có 2 nghiệm 
P 0
0
S / 2 0





 






; pt có 1 nghiệm 
P 0
S 0
0
S / 2 0










 







pt VN   < 0 
0
P 0
S 0

 






  < 0 
S 0
P 0





pt có 4 nghiệm lập thành CSC 
1 2
2 1
0 t t
t 3 t

 






 kết hợp đònh lý viet giải hệ pt
Dạng 2:
(x a)(x b)(x c)(x d) k
    
với
a b c d
  
Đặt
t (x a)(x b)
  
Dạng 3:
4 4
(x a) (x b) k
   
đặt
a b
t x
2

 
Dạng 4:
4 3 2
ax bx cx bx a 0
    
(a 0)


Chia 2 vế cho x
2
(vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ).
Phương trình trở thành :
2
2
1 1
a(x ) b(x ) c 0
x
x
    
. Đặt
1
t x
x
 
ĐK | t |  2
BÀI TẬP ÔN
1. Giải các phương trình và bất phương trình
a)12x
3
+ 4x
2
 17x + 6 = 0 ĐS:
1
2
;
2
3
;

3
2

b) 4x
3
– 10x
2
+ 6x – 1 = 0 ĐS:
1
2
;
2 2
2

c) x
3
– 2x
2
– x + 2 > 0 ĐS: –1< x< 1 ; x > 2 d) x
4
– 4x
3
– x
2
+ 16x – 12 = 0 ĐS: 1;  2; 3
e) x
4
– 3x
3
– x + 3 < 0 ĐS 1< x < 3

g) x
4
– 8x
3
+ 7x
2
+ 36x – 36 < 0 ĐS : – 2< x < 1 ; 3 < x < 6
2. Giải các phương trình
a)(x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) = 12 ĐS: 1 ; - 2
b)(x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 ĐS: – 6 ; -6
5

c) (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 16 ĐS:– 5 ; - 3 d) (x + 4)
4
+ (x + 6)
4
= 82 ĐS : – 3 ; – 7
e)
4 4 4
(3 x) (2 x) (5 2x)
    
ĐS: u

4
+ v
4
= (u + v)
4
 u
4
+ v
4
= u
4
+ v
4
+ 4u.v(u
2
+ v
2
) + 6u
2
v
2
 2u.v[2(u
2
+ v
2
) + 3u.v] = 0
 u = 0  v = 0  2u
2
+ 2v
2

+ 3uv = 0 ta đưa về tích số x = 2 ; x = 3
3. Cho phương trình:
2
x 2x 4
mx 2 2m
x 2
 
  

.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
ĐS: m > 1
4. Cho phương trình:
2
x (m 1)x 3m 5 0
    
.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương
phân biệt ? ĐS:
5
m 3 m 7
3
   
GV Hồng Cơng Nhật
CHUN TỐN LÝ HĨA : 331, Đường Thống Nhất , P.16 , Q.Gò Vấp - Phone : 01 222 644 410 , 01 226 904 442 - 39 963 507
EMail : ; 4
5. Cho phương trình:
2
mx x m
0
x 1
 



.Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ?
ĐS:
1
m 0
2
  
6. Cho phương trình: .
4 2
x mx m 1 0
   
.Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ?
ĐS:
m 1 m 2
  
7. Cho phương trình:
2
(x 1)(x mx m) 0
   
.Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ?
1
ĐS : m 0 m 4 m
2
     
8. Cho phương trình:
3 2 3 2
x 3x k 3k 0
    
.Tìm k để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ?

ĐS : 1 k 3 k 0;2
    
9. Cho phương trình :
2
mx (m 1)x 3(m 1) 0
    
. Với giá trò nào của m thì pt có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
thỏa
2 2
1 2
1 1 7
9
x x
 
?
1
ĐS : m
2

10.Cho phương trình x
4
– 2ax
2
– x + a
2
– a = 0. Đònh tham số a để

a)Phương trình có 4 nghiệm ? b) có 3 nghiệm ?
c) có 2 nghiệm ? d) có 1 nghiệm ?
e) vô nghiệm ? ĐS: a) a >
4
3
b) a =
4
3
c) –
4
1
< a <
4
3
d) a = –
4
1
e) a < –
4
1
11.Cho phương trình 2x
4
– 17x
3
+ 51x
2
– (36 + k)x + k = 0 (1)
a)Chứng minh phương trình có một nghiệm không phụ thuộc vào k ?
b) Biện luận theo k số nghiệm phương trình (1) ĐS: a) x = 1 b) 27 < k < 28 : 4 nghiệm
12.Cho phương trình x

4
– 4x
3
+ 8x = k.
a) Giải phương trình khi k = 5 ? b) Đònh tham số k để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ?
ĐS: a) 1 ; 1  6 b) –4 < k < 5
13. Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :
5 2
x x 2x 1 0
   
14.Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành CSC ?
a)x
4
- 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 = 0 . b)x
4
- 2m.x
2
- 1 + 2m = 0.
ĐS:a) m = 4; S ={-3; - 1; 1; 3} ; m = -
4
3
S= {-1; -
3
1
;
3
1
;1} b)m = -

3
7
; m = 3
15.Tìm a để phương trình
2n 2 n 2 2
x x x
a 0
2n 2 n 2 2
 
   
 
có nghiệm ? ĐS: a  0
16.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n chẵn và a > 3 thì phương trình
n 2 n 1 n 2
(n 1)x 3(n 2)x a 0
  
    
vô nghiệm ?
17.Tìm m để phương trình
4 3 2
x mx (m 1)x 2x 1 0
     
không có nghiệm ?
ĐS: t = x
2
/(x – 1) đk t  m