Phương pháp giải phương trình vô tỉ độc đáo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (146.06 KB, 4 trang )
Phan Hoàng Ninh – GV THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang
Chuẩn bị thi vào đại học
Tôi Giải Phương Trình chứa căn như thế nào?
Khi các bạn giải phương trình (PT) dạng
dcxbax
, chúng ta đều biết
bình phương 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT
edxcxbax
2
có giải được
bằng phương pháp đó được nữa không? Xin trả lời trừ một số trường hợp đặc
biệt. Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn
đọc chưa trả lời được, Ví dụ khi giải PT sau:
32359
2
xxx
,ta đặt
3
1
,1359 yyx
, rồi khi giải
PT: 20041603212004
2
xxx , ta đặt
2
1
,12160321 ttx .
Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy( Đã có một chuyên
đề được đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phương pháp giải). Đặc biệt với
các bạn đã học về đạo hàm thì phương pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt
nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể:
Dạng 1:
)0(,
1
2
adcxx
a
bax
và thỏa mãn
2
1
2
2
cca
adb (*). Xét hàm
số
dcxx
a
y
2
1
=>
2
0
2
)('
ac
xcx
a
xf
, khi đó bằng phép đặt
2
ac
ybax
, ta sẽ đưa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc.
Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn. Do vậy ta cũng không phải
kiểm tra điều kiện đó.
Ví dụ: Giải PT sau:
36
6112
6
29
3
2
x
xx
Làm nháp:
6
29
3)(
2
xxxf
=>
6
1
016)(' xxxf
.
Giải: Đặt
6
1
36
6112
y
x
,
6
1
y
<=>
36
1
3
1
36
6112
2
yy
x
<=> 12x+61 = 36y
2
+12y +1 <=> 3y
2
+ y = x +5 (1)
Mà theo cách đặt ta có:
6
1
6
29
3
2
yxx
<=> 3x
2
+ x = y +5 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
53
53
2
2
yxx
xyy
=> 3(y
2
– x
2
) + ( y – x) = x – y
<=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoặc
3
23
x
y
.
* Với y = x => 3y
2
= 5 =>y = x =
3
5
,(
6
1
y
).
Phan Hoàng Ninh – GV THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang
* Với
3
23
x
y
=> 3x
2
+ x =
3
23
x
+5 <=> 9x
2
+6x - 13 = 0
=>
9
1263
2,1
x . Từ đây ta tìm được y và kết luận được nghiệm của PT đã cho.
Dạng 2:
)
1
,0,0(,
2
c
acaedxcxbax
Xét f(x) = cx
2
+ dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 =>
c
d
x
2
, khi đó bằng phép đặt
dcybax 2
.
Ví dụ1: Giải PT sau:
32359
2
xxx
Làm nháp: f(x) = 3x
2
+ 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3.
Giải: Đặt
3
1
,1359 yyx
=> 9x – 5 = 9y
2
+6y + 1 <=> 9y
2
+ 6y = 9x – 6 <=> 3y
2
+ 2y = 3x – 2 (1)
Mặt khác ta có: 3x
2
+ 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x
2
+ 2x = 3y – 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
2323
2323
2
2
yxx
xyy
đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải như
ví dụ trên.
Ví dụ 2: Giải PT sau: 20041603212004
2
xxx
(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004).
Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x
2
– x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x =
2
1
Do
c
a
1
, nên ta sử dụng phương pháp đặt:
Giải: Đặt
2
1
,12160321 ttx => t
2
– t = 4008x, (1)
Mặt khác do từ PT ta có: x
2
– x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x
2
– x = 4008t,(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau:
txx
xtt
4008
4008
2
2
=> (t
2
– x
2
) – (t – x) = 4008(x – t)
<=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0
<=> t = x hoặc t = - x – 4007.
* Với t = x ta có: x
2
– 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009. Ta có x = 0 không thỏa
mãn.
* Với t = - x – 4007=> x
2
– x = 4008(- x- 4007) <=> x
2
+4007x – 4007.4008 = 0
=> PT vô nghiệm.
KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009.
Dạng 3:
)
1
,0,0(,
23
3
c
acamexdxcxbax
Xét hàm số f(x) =
mexdxcx
23
=> f’(x) = 3cx
2
+ 2dx + e
Phan Hoàng Ninh – GV THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang
=> f’’(x) = 6cx + 2d = 0 =>
c
d
x
3
, Khi đó bằng phép đặt:
c
d
ybax
3
3
Ví dụ: Giải PT sau:
xx
x
x
4
9
2
3
38
63
3
2
3
3
Làm nháp: Xét hàm số f(x) = xx
x
4
9
2
3
3
2
3
=> f’(x) = x
2
- 3x +9/4 =>
f’’(x) = 2x – 3 = 0 <=>
2
3
x
.
Giải: Đặt
2
3
8
63
3
3
yx =>
8
27
4
27
2
9
8
63
3
23
yyyx
<=>
yyyx
4
27
2
9
2
9
3
23
<=> 12x – 18 = 4y
3
– 18y
2
+ 27y, (1).
Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có:
xx
x
y
4
9
2
3
3
2
3
2
3
<=>12y – 18 = 4x
3
– 18x
2
+ 27x, (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ:
xxxy
yyyx
271841812
271841812
23
23
( việc giải hệ này xin dành cho
độc giả)
Dạng 4:
)
1
,0,0(,
23
3
c
acamexdxcxbax
Xét hàm số f(x) =
mexdxcx
23
=> f’(x) = 3cx
2
+ 2dx + e
=> f’’(x) = 6cx + 2d = 0 =>
c
d
x
3
, Khi đó bằng phép đặt:
dcybax 3
3
Ví dụ: ( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau:
2
3
4
2881
23
3
xxxx
Làm nháp: Xét hàm số f(x) =
2
3
4
2
23
xxx
=> f’(x) = 3x
2
– 4x + 4/3
=> f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=>
3
2
x
do
c
a
1
.
Giải: Đặt
23881
3
yx
=> 3x = y
3
– 2y
2
+ y
3
4
,( Biến đổi tương tự ta có hệ)
yyyx
xxxy
3
4
23
3
4
23
23
23
=> (x – y)( x
2
+ xy +y
2
- 2x – 2y +
3
13
) = 0(*),
Phan Hoàng Ninh – GV THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang
Do x
2
+ xy +y
2
- 2x – 2y +
3
13
=
0
3
1
)2(
2
1
)2(
2
1
)(
2
1
222
yxyx
, nên từ (*)
ta có x = y => 3x = x
3
– 2x
2
+
x
3
4
=> x
1
= 0 ; x
2,3
=
3
623
Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua
một số ví dụ dưới đây. Hy vọng rằng phương pháp trên đem lại cho bạn thành
công khi giải phương trình chứa căn. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học
tập !
Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
1)
22
2
xx
2)
534
2
xxx
3)
3
3
2332 xx
4)
513413
2
xxx
5)
541
2
xxx
6) xx
x
77
28
94
2
Phan Hoàng Ninh
GV Trường THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang
