Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
1
NỘI DUNG ÔN TẬP HÈ TOÁN 8 LÊN 9
A ĐẠI SỐ :
CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

Phần 1 : PHÉP NHÂN VÀ CHIA CÁC ĐA THỨC

1) Nhân đơn thức với đa thức : ( áp dụng tính chất nhân một số với một tổng )
Quy tắc : Muôn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi
cộng các tích với nhau .
Bài tập :
1 . Làm tính nhân :
a) 2x ( x
2
– 7x – 3 ) ; b)
223
4.7
4
3
2 xyxyyx






 ;c) ( -5x
3
)(2x

2
+ 3x -5 ) ; d)
 
322
3
3
1
2 xyxyx 







2. Rút gọn các biểu thức sau :
a) 3x
2
– 2x ( 5 + 1,5x ) + 10 b) 7x( 4y –x ) + 4y ( y -7x ) – 2 ( 2y
2
– 3,5x )
c) { 2x – 3 ( x – 1 ) – 5 [ x – 4 ( 3 – 2x) + 10 ]}. ( -2x )
3 . Tìm x biết :
a) 3 ( 2x – 1 ) – 5( x – 3 ) + 6 ( 3x – 4 ) = 24 b) 2x
2
+ 3( x
2
-1 ) = 5x( x + 1)
c) 2x ( 5 – 3x) + 2x(3x – 5 ) – 3 ( x – 7 ) = 3 d) 3x ( x + 1 ) – 2x( x + 2 ) = -1 – x
4. Tính các gía trị biểu thức sau :

a) A = x
2
( x + y ) – y ( x
2
– y ) + 2002 với x = 1 ; y = -1
b) B = 5x ( x – 4y ) – 4y ( y – 5x ) -
20
11
Với x = - 0,6 ; y = - 0,75
c) C = x( x – y + 1) – y ( y +1 – x ) Với
3
1
;
3
2
 yx
2 )Nhân đa thức với đa thức ( Áp dụng tính chất nhân một tổng với một tổng )
Quy tắc : Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng
tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau .
Bài tập :
1.Thực hiện phép tính :
a) ( x
2
– 2x + 3 )( x – 4 ) b) (2x – 3x – 1)(5x +2 )
c) ( 25x
2
+10y + 4y
2
)(5x – 2y) d) (5x
3

– x
2
+ 2x – 3)(4x
2
– x + 2)
2. Tìm x biết :
a) (3x – 1)(2x +7) – (x + 1)(6x -5 ) = 16 b) (10x + 9)x – (5x – 1 )(2x + 3) = 8
c) (3x – 5)(7 – 5x ) + (5x + 2)(3x – 2 ) – 2 = 0 d) x(x + 1)(x + 6 ) – x
3
= 5x
3. Chứng minh các đẳng thức sau :
a) (x + y)(x
4
– x
3
y + x
2
y2 – xy
3
+ y
4
) = x
5
+ y
5
b) (x – y)(x
4
+ x
3
y +x

2
y
2
+xy
3
+ y
4
) = x
5
– y
5

4 . Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
a) n(n + 5) – (n – 3)(n + 2) 6 b) 12)5)(7()1)(1(  nnnn

Phần 2 : NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Kiến thức cần nhớ :
1. Bình phương một tổng : ( A + B )
2
= A
2
+ 2AB + B
2

2. Bình phương một hiệu : ( A - B )
2
= A
2
- 2AB + B
2


3 . Hiệu hai bình phương : A
2
– B
2
= ( A + B)(A – B)
4.Lập phương một tổng : ( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

5.Lập phương một hiệu : ( A - B )
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3

6 Tổng hai lập phương : A
3

+ B
3
= (A + B)(A
2
–AB + B
2
)
7. Hiệu hai lập phương : A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+AB + B
2
)
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
2
Bài tập :
1.Tính : a) (2x + 3y)
2
b) ( 5x – y)
2
c) (3x + 1)( 3x – 1)
d)
2
4
1







x
e)
2
2
1
3
1






 yx
d)














 yxyx
5
2
5
2
22

2.Rút gọn các biểu thức :
a) (x + 1)
2
– (x – 1)
2
– 3(x +1)(x -1 ) b) 5(x + 2)(x – 2) -
17)86(
2
1
2
 x

3. Tìm x biết :
a) 25x
2
– 9 = 0 ; b) (x + 4)
2
– (x + 1)(x – 1) = 16 ; c) (2x – 1)
2
+ (x + 3)

2
– 5(x +7)(x – 7) = 0
4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a) A = x
2
+ 5x + 7 ; b) x
2
– x + 1 ; c) x ( x – 1) ; d) x( x -2 ) + 5
5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a) A = 6x – x
2
– 5 b) x – 1 – x
2
c) - x ( x – 1 ) d) x( 2 – x ) +1
6. Rút gọn các biểu thức :
a) (a + b)
3
+ (a – b)
3
– 6a
2
b ; b) (a + b)
3
– (a –b)
3
– 6a
2
b ; c) ( x
2
– 1)

3
– ( x
4
+x
2
+1)(x
2
– 1)
d) (x
4
– 3x
2
+ 9 )(x
2
+ 3) – (3 + x
2
) e) (x – 3)
2
– (x – 3)(x
2
+ 3x + 9) + 6(x + 1)
2

7. Tìm x biết :
a) (x + 2)(x
2
– 2x + 4) – x(x
2
+ 2) = 15 ; b) (x +3)
3

– x(3x + 1)
2
+ ( 2x + 1)(4x
2
– 2x + 1) = 28
8 . Cho biểu thức A = (x
2
+ 2)
2
– (x + 2)(x - 2)(x
2
+ 4)
a) Rút gọn A ;
b) Tính giá trị của A khi x = -2 ; x = 0 ; x = 2
c) Chứng minh rằng A luôn luôn dương với mọi giá trị của x

Phần 3 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Kiến thức : Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số ) là biến đổi đa thức đó thành một tích của
những đơn thức và đa thức . Để phân tích một đa thức thành nhân tử , ta thường dùng các phương
pháp sau đây :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ
- Nhóm các hạng tử
- Phối hợp các phương pháp trên
Ngoài ra còn sử dụng : Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử , Thêm bớt cùng một hạng tử , tìm
nghiệm của đa thức v. .v.
Bài tập :
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x

3
y
2
– 6x
2
y
3
+ 9x
2
y
3
b) 5x
2
y
3
– 25x
3
y
4
+ 10x
3
y
3
c) 12x
2
y – 18xy
2
- 30y
2


d) 36 – 12x + x
2
e) 4x
2
+ 12x + 9 f) – 25x
6
– y
8
+ 10x
3
y
4

g)
22
255
4
1
yxyx  h) (x – 5)
2
– 16 i) 25 – (3 – x)
2
k) 125 – x
6

l) (7x – 4)
2
– (2x + 1)
2
n) 49(y – 4)

2
– 9(y + 2)
2
m )
27
1
8
3
x


2. Phân tích thành nhân tử :
a) xy + xz + 3x + 3y ; b) xy – xz + y – z ; c) 11x + 11y – x
2
– xy ; d) x
2
– xy – 8x + 8y
e) x
2
– 6x – y
2
+ 9 ; f) 25 – 4x
2
– 4xy – y
2
; g) x
2
+ 2xy +y
2
– xz – yz ; h) x

2
– 4xy + 4y
2
– z
2
+ 4xt – 4t
2

3. Phân tích thành nhân tử :
a) x
5
+ x
3
– x
2
– 1 ; b) x
4
– 3x
3
– x + 3 ; c) x
3
– x
2
y – xy
2
+ y
3
; d) 3x + 3y – x
2
– 2xy – y

2

e) x
2
+ 4x + 3 ; f) 4x
2
+ 4x – 3 ; g) x
2
– x – 12 ; h) 4x
4
+ 4x
2
y
2
– 8y
4
4. Tìm x biết :
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
3
a) 5(x + 3) – 2x(3 + x ) = 0 ;b) 4x(x – 2012) – x + 2012 = 0 ; c) (x + 1)
2
= x + 1 d) (x + 8)
2
= 121
e) (x – 4)
2
– 36 = 0 f) x(x – 5)
2
– 4x + 20 = 0 g) x

2
+ 8x + 16 = 0 h)4x
2
– 12x = 9
i) x(x + 6) – 7x – 42 = 0 k) x
3
– 5x
2
+ x – 5 = 0 l) x
4
– 2x
3
+ 10x
2
– 20x = 0
5. Tìm x biết :
a) x
2
(x – 1) – 4x
2
+ 8x – 4 = 0 ; b) x
4
– 2x
3
+ 10x
2
– 20x = 0 ; c) (2x – 3)
2
= (x + 5)
2

d) x
3
– 16x = 0
6.Chứng minh với mọi số nguyên n thì :
a) n
2
(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6 b) (2n – 1)
3
– (2n – 1) chia hết cho 8
c) (n + 2)
2
– (n – 2)
2
chia hết cho 8 d) (n + 7)
2
– (n – 5)
2
chia hết cho 24

e) Hiệu các bình phương hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8

Phần 4 CHIA ĐƠN THỨC – CHIA ĐA THỨC
Kiến thức cần nhớ :
* Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B là biến của A với số mũ không lớn hơn số
mũ của nó trong A
* Muốn chia một đơn thức A cho một đơn thức B ta làm như sau :
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B .
- Chia từng lũy thừa của biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B
- Nhân các kết quả tìm được với nhau .
* Muốn chia một đa thức A cho một đơn thức B , ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết

quả với nhau .
* Người ta chứng minh được rằng với hai đa thức tùy ý A và B của một biến ( B khác 0) , tồn tại hai
đa thức duy nhất Q và R sao cho A = B.Q + R
R = 0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B.
Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết .
Bài tập :
1. Làm tính chia :
a)













 yxyxyxyx
353463
5
3
:
10
9
5
6

4
3
b)
 







2234
3
1
:32 xxxx
c) ( 8x
4
– 4x
3
+ x
2
) : 2x
2
; d) [5(x – y)
4
– 3(x – y)
3
+ 4(x – y)
2
] : (y – x)

2
;

e) ( 8.5
7
– 5
5
+ 5
6
): 5
5

2. Tìm x biết :
a) ( 4x
4
+ 3x
3
) : ( - x
3
) + (15x
2
+ 6x) : 3x = 0 ; b)
   
013:132:
2
1
2
2








 xxxxx
3. Làm phép chia :
a) ( -3x
3
+ 5x
2
– 9x + 15): (-3x + 5) b) (x
4
– 2x
3
+ 2x – 1 ) : (x
2
– 1)
c) ( 5x
4
+ 9x
3
– 2x
2
– 4x – 8 ) : ( x – 1) d) ( 5x
3
+ 14x
2
+ 12x + 8 ) : ( x + 2)
4. Với giá trị nào của x thì đa thức dư trong mỗi phép chia sau có giá trị bằng 0 :

a) ( 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
+ 1) : ( x
2
– 1 ) b) ( x
5
+ 2x
4
+ 3x
2
+ x

- 3 ) : ( x
2
+ 1)
5 . Tìm giá trị nguyên của x để .
a) Giá trị của đa thức 4x
3
+ 11x
2
+ 5x + 5 chia hết cho giá trị của đa thức x + 2
b) Giá trị của đa thức x
3
– 4x
2
+ 5x – 1 chia hết cho giá trị của đa thức x – 3

c) Giá trị của đa thức n
3
– 2n
2
+ 3n + 3 chia hết cho đa thức n – 1

PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I
1. Rút gọn các biểu thức :
a) (x – 3)(x + 7 ) – (x + 5)(x – 1) b) (x + 8)
2
– 2(x + 8)(x – 2) + (x – 2)
2

c) x(x – 4)(x + 4) – (x
2
+ 1)(x
2
– 1) d) (x + 1)(x
2
– x + 1) – (x – 1)(x
2
+ x + 1)
e) (a + b + c )
2
+ (a + b – c)
2
– 2(a + b) f) (a + b + c)
2
+ (a – b + c)
2

+ (a + b - c)
2
+ (b + c - a)
2

2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) A = (2x
2
+ 5x

+ 3) : (x + 1) - (4x – 5 ) với x = -2
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
4
b) B = [ (3x – 2)(x + 1) – (2x + 5)(x
2
– 1)] : ( x + 1) Với x = 2,5
c) C = (2x + 3y)(2x – 3y) – (2x – 1)
2
+ (3y – 1)
2
với x = 1 và y = - 1
3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
3
– x
2
– 4x
2
+ 8x – 4 ; b) 4x

2
– 25 – (2x – 5)(2x + 7 ) ; c) 4x
2
y
2
– (x
2
+y
2
– z
2
)
d) (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x – 12 ; e) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 ;
f) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
4. Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần rồi làm phép chia :
a) (5x
4
– 3x
5
+ 3x – 1): (x + 1 – x
2
) b) (2 – 4x + 3x
4
+ 7x

2
– 5x
3
) : ( 1 + x
2
– x )
5. Tìm x biết
a) x
2
– 25 – (x +5) = 0 b) (2x – 1)
2
– (4x
2
– 1) = 0 c) x
2
(x
2
+ 4) – x
2
– 4 = 0
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = (x – 1)(x – 3) + 11 ; b) B = (x
2
– 3x + 1)(x
2
– 3x – 1) ; c) C = (x – 1)(x + 5)(x
2
+ 4x + 5)
7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a) D = 5 – 4x

2
+ 4x ; b) E = - 4 – x
2
+ 6x ;
c) F = |x – 3|(2 - |x – 3|) ; d) G = - x
2
– 4x – y
2
+ 2y
8. a) Chứng minh đẳng thức : (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
) = (ac + bd)
2
+ (ad – bc)
2

b) Nếu a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + ac + bc thì a = b = c
c) Nếu a + b + c = 0 thì a

3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = 0
9. Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp , biết rằng tích của chúng bằng 24
10. Xác định các số nguyên n để :
a) Giá trị của biểu thức 10n
2
+ n – 10 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 1
b) Giá trị của biểu thức 25n
2
– 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4

CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Phần 1 TÍNH CHẤT CƠ BẢN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Kiến thức :
1.* Một phân thức đại số ( hay nói gọn là phân thức ) là một biểu thức có dạng
B
A
, trong đó A , B là
những đa thức và B khác 0 . A được gọi là tử thức ( hay tử ) ; B được gọi là mẫu thức ( hay mẫu ) .
Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức có mẫu thức bằng 1
2.* Với hai phân thức
B
A
và
D

C
Ta nói
D
C
B
A

nếu A.D = B.C
3 . * Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức
bằng phân thức đã cho
M
B
MA
B
A
.
.
 ( M là một đa thức khác 0)
4. * Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân
thức bằng phân thức đã cho
N
B
NA
B
A
:
:

( N là một nhân tử chung)
5. * Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho

B
A
B
A



6 .* Muốn rút gọn một phân thức ta có thể :
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần ) để tìm nhân tử chung ;
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Bài tập :

1. Rút gọn các phân thức sau :
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
5
a)
yzxyyx
yx


22
22
; b)
xzyzx
xyzyx
2
2
222

222


; c)
323
22
)2(35
)2(15
yxyx
yxyx


; d)
)21(12
)12(10
3
32
xyx
xxy



e)
3
9
4
12
6384
23
23





x
x
x
xxx
; f)
23
22
)2()23(
x
x
xx


; g)
1
1
23
235




x
x
x
xxx

h)
6
5
127
2
2



x
x
xx

i)
1
1
4
246810



x
xxxxx
P
;
1

1
510354045
10203040









x
x
x
x
x
xxxx
Q

2.Chứng minh các đẳng thức :
a)




 
 
2
2
41
222
3
2






x
xxx
xxx
; b)
yx
yx
xyx
xyyx





1
1
21
12
22
22
; c)
 
223
1
23
331

2323
x
y
xxx
xxyy








3. Tìm x biết : a) a
2
x + 4x = 3a
2
– 48 b) a
2
x + 5ax + 25 = a
2


Phần II QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC
Kiến thức cần nhớ :
1.Muốn tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức ta làm như sau :
- Phân tích các mẫu thành nhân tử ( nếu cần )
- Chọn một tích gồm một số chia hết cho các nhân tử bằng số ở các mẫu thức ( nếu các nhân tử này
là những số nguyên thì số đó là BCNN của chúng ) , với mỗi cơ số của lũy thừa có mặt trong các mẫu
số ta lấy lũy thừa với số mũ cao nhất .

2. Muốn quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức ta làm như sau :
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức ;
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng .
Bài tập
1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau :
a)
yz
x
yx
z
xz
y
222
6
5
;
18
11
;
12
7

; b)
zy
x
zx
x
yx
x

33423
20
1
;
10
6
;
15
2


; c)
)3(
2
;
)2(
1
;
1 



 xx
x
xx
x
x
x

d) 1

2
;
1
;
1
223






x
x
x
x
x
x
x
x
; e)
   
2223
1
;
1
;
yxyx
xyx
x



; f) 5;
10
7
32
;
6
5
5
22
2






x
x
x
x
x
x


Phần III CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ NHÂN CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Kiến thức cần nhớ :
1. * Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau , giữ nguyên mẫu thức rồi

rút gọn phân thức vừa tìm được .
* Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức
cùng mẫu vừa tìm được .
2. *
B
A

là phân thức đối của
B
A
; ngược lại
B
A
là phân thức đối của
B
A

;
Phân thức đối của phân thức
B
A
được kí hiệu là
B
A

; Ta có :
B
A
B
A



và
B
A
B
A




* Muốn trừ phân thức
B
A
cho phân thức
D
C
, ta cộng
B
A
với phân thức đối của
D
C
:
)(
D
C
B
A
D

C
B
A

Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
6
3. * Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân các tử số với nhau , các mẫu số với nhau , rồi rút gọn
phân thức vừa tìm được :
D
B
CA
D
C
B
A
.
.
. 

* Phép nhân các phân thức đại số có các tính chất :
a) Giao hoán :
B
A
D
C
D
C
B
A


b) Kết hợp :













F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A

c) Phân phối đối với phép cộng :
F

E
B
A
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A








4. * Nếu
B
A
là một phân thức khác 0 thì 1. 
A
B
B
A
. Do đó

A
B
là phân thức nghịch đảo của
B
A
và ngược
lại ;
* Muốn chia phân thức
B
A
cho phân thức
D
C
khác 0 ta nhân
B
A
với phân thức nghịch đảo của
D
C


C
D
B
A
D
C
B
A
.:  với 0

D
C

Bài tập :

1. Cộng các phân thức :
a)
222
2
4
3
25
yzzyyz
x
 ; b)
3
3
5
9
6
2





x
x
x
x

x
x
; c)
2222
4
4
22
2
yxyxy
y
xyx
x






d)
))(())(())(( yzxz
z
zyxy
y
zxyx
x






; e)
))(())(())((
222
yzxz
z
zyxy
y
zxyx
x






2. Thực hiện các phép tính sau :
a)
1
2
1
2
1
2





x
x

x
x
; b)
1
6
1
21
1
534
23
2








x
x
x
x
x
xx
; c)
1
15
1
10

1
5
32






x
x
x
x

d)
1
3
1
2
1
1
2






x
x

x
x
x
; e)
1
4
2
1
2
1
1
2
2
2





x
x
x
; f)
6
4
1
3
2
1
18

8
7
22





x
x
x
x

3. a) Chứng minh rằng :
)1(
1
1
11




xxxx

b) Áp dụng tính :
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)2)(1(

1
)1(
1






 xxxxxxxx

c) Tính :
5
1
20
9
1
12
7
1
6
5
1
2
3
11
22222
















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

4.Rút gọn biểu thức :
a)
)1)(3(
.
1
.

5
3
2



xx
x
x
xx
; b)
5
2
1
.
1
2
.
1
52
34
2
3
34








x
x
xx
x
x
x
xx
; c)
4
3
33
.
2
.
2
2
43
25
3
3
5






x
x

x
x
x
x
xx

d)
44
22
22
22
2
:
yx
yxyx
yx
yx




; e)
yx
xxyx



2
2
: y) -y(xy ; f)

2
1
::
2
222




x
x
yxy
xyx
y
xyx

g)










yx
xy
x

z
y
yx
22
2
::
; h)
y
yx
yx
xy
x
z 









2
22
::
k)
1
12
:
1

:
1
1
:
3
1
2
2
2
322







x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x

5. Cho biểu thức
2

1
3
6
6
4
3
2






x
x
x
x
x
A
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định ;
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
7
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A bằng 2 ? bằng 1
e ) Tìm các giá trị của x để A > 0
6. Cho biểu thức
32
168

.
4
4
4
4
2











xx
xx
M
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức M được xác định ;
b) Tìm giá trị của x để giá trị của M bằng
3
1

c) Tìm giá trị của x để giá trị của M bằng 1
d) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên
7. Tìm giá trị nguyên của x để giá trị củamỗi biểu thức sau là một số nguyên :
a)
3

1



x
x
N b)
1
2
822
23



x
xxx
Q c)
3
53
4



x
xx
P
8 . Chứng minh các đẳng thức :
a)
 
22

1
4
1
2
11
1
:
1
1
1
1

























x
x
x
x
x
xx
x
x
x
; b)
xx
xx
x
x
xx
x
x
x
2
1
2
24
.
8
4

2
2
.
44
4
:
2
2
2
32
2




















CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Kiến thức cần nhớ
1 . * Một phương trình ẩn x luôn có dạng A(x) = B(x) , trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai
biểu thức của cùng một biến x
* Giá trị của biến nghiệm đúng phương trình đã cho gọi là nghiệm của phương trình đó .
* Một phương trình có thể có một , hai , ba … nghiệm , nhưng cũng có thể không có nghiệm nào
hoặc vô số nghiệm . Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm .
* Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm ( hay tập nghiệm ) của phương trình .
* Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm
2. * Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử
đó .
* Trong một phương trình ta có thể nhân ( hay chia ) cả hai vế với cùng một số khác 0
* Từ một phương trình , dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân ta được một phương trình mới
tương đương với phương trình đó .
* Phương trình dạng ax + b = 0 , với a,b là hai số tùy ý và 0

a được gọi là phương trình bậc nhất
một ẩn
* Phương trình )0(0



abax được giải như sau :
a
b
xbaxbax

 0

* Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có một nghiệm day nhất

a
b
x


2.*Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0 ,trong đó A(x), B(x) là các đa thức biến x.
* Muốn giải phương trình A(x).B(x) = 0 , ta giải hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 , rồi lấy tất
cả các nghiệm thu được .
3. * Muốn giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình .
Bước 2 : Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu
Bước 3 : Giải phương trình vừa nhận được
Bước 5 : ( Kết luận ) . Trong các giá trị tìm được của ẩn ở bước 3 , loại các giá trị không thỏa mãn
điều kiện xác định , còn các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình
đã cho.
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
8
4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm ba bước sau :
Bước 1 : ( Lập phương trình ): Bao gồm :
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số .
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng
Bước 2 : ( Giải phương trình ) . Giải phương trình vừa thu được
Bước 3 : ( Trả lời ) . Kiểm tra xem các nghiệm của phương trình , nghiệm nào thỏa mãn điều kiện
của ẩn , nghiệm nào không , rồi trả lời .
Bài tập :
1. Giải phương trình :
a)
7

5
)32(3
8
1)3(4
3
)4(2








xxxx
b)
9
2)1(3
2
1
6
710 xxxx
x








c)
4
7,09
7
55,1
3
1,17
3
15







xxxx
d)
6
2
3
52
10
23
5
4








xxxx

2. Giải các phương trình :
a) 3(x – 1)(2x – 1) = 5(x + 8)(x – 1) ;b) 9x
2
-1 = (3x + 1)(4x + 1) ; c) x
3
– 5x
2
+ 6x = 0
d) (x
2
+ x )
2
+ 4(x
2
+ x) = 12 ; e) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72 ; f) x(x -1)(x + 1)(x + 2) = 24
3. Giải phương trình :
a)
24
3
10213
8
1
8
203
16

2
3







x
x
x
x
x
; b)
x
x
x
x
x
4
4
112
4
4
18
5
1
6
2








;c)
9
16
7104
12
9
73
9
12
56
2
2








x
xx
x

x
x
x

d)
0
3
2
6
5
63
9
8
66
3
13
24
2














x
x
x
x
x
x
x
x
x
e)
32
3
)3)(1(
8
3
1
2






xx
x
xxx

f)
1

4
8
1
2
12
1
2
12
2







x
x
x
x
x
;g)
1
)1)(2(
1
)2)(3(
1
)3)(4(
1
)4)(5(

1
22222222







 xxxxxxxx

4. Cho phương trình ẩn x : 9x
2
– 25 –k
2
– 2kx = 0
a) Giải phương trình với k = 0
b) Tìm các giá trị của k sao cho phương trình nhận x = - 1 làm nghiệm .
5. Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi
còn 60km nữa thì được một nửa quãng đường AB , ô tô tăng thêm vận tốc 10 km/h trên quãng đường
còn lại , do đó đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đường AB.
6 . Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axít , loại I chứa 30% axít , loại II chứa 5% axít . Muốn
có 50 lít dung dịch chứa 10% axít thì cần phải trộn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại.
7.Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km , cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc của
tàu thủy khi nước yên lặng , biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h

CHƯƠNG IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Kiến thức cần nhớ :
1. Với ba số thực a, b, c ta có :
Nếu a < b thì a + c < b + c ; Nếu ba


thì cbca




Nếu a > b thì a + c > b + c ; Nếu
ba

thì
cbca




2. * Với ba số a , b, c mà c > 0 ta có :
Nếu a < b thì a.c < b.c ; Nếu ba

thì cbca


Nếu a > b thì a.c > b.c ; Nếu ba

thì cbca


* * Với ba số a , b, c mà c < 0 ta có :
Nếu a < b thì a.c > b.c ; Nếu
ba


thì
cbca


Nếu a > b thì a.c < b.c ; Nếu ba

thì cbca


* Với ba số a , b và c nếu có :
a < b và b < c thì a < c ; ba

và cb

thì
c
a


Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
9
a > b và b > c thì a > c ; ba

và cb

thì
c
a



3. Trong một bất phương trình dạng A(x) < B(x) , người ta gọi A(x) là vế trái và B(x) là vế phải của
bất phương trình .Có thể dùng kí hiệu tập hợp hoặc dùng trục số để biểu diển các nghiệm của bất
phương trình .
4 . Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương . kí hiệu “  “.
5. Khi nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số khác 0 , ta phải :
+ Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương
+ Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm .
6 . Ta gọi bất phương trình dạng ax + b > 0 ( hoặc ax + b < 0 ; ax + b 0;0



bax ) trong đó x là ẩn ,
a và b là các số đã cho
0

a
là bất phương trình bậc nhất một ẩn .
7 .* Giá trị tuyệt đối của một số thực a được xác định






)0(
)0(
aa
aa
a


* Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có thể sử dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối ,
hoặc tìm điều kiện của ẩn để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình tìm được . Kiểm tra nghiệm
theo điều kiện của ẩn rồi rút ra kết luận về nghiệm của phương trình đã cho .
Bài Tập :
1 . Cho m < n chứng minh :
a) m + 3 < n + 3 ; b ) – 3m > - 3n ; c ) 4m – 7 < 4n – 7 ; d ) 10 – 5m > 10 -5n
2 . Giải các bất phương trình và biểu diển nghiệm trên trục số :
a) x + 3 > 5 ; b) 3x – 2 < 7 ; c) – 5 + 3x > 10 – 2x ; d) 2,4x – 17,2 > 14,8 – 5,6x
3 . Giải các bất phương trình :
a)
3
3
5
4
1




x
x
x
; b)
10
4
4
3
9,3
x

xx


; c)
3
2
32
3
1
2
xxx
x 





4.a) x(2x – 1) – 8 < 5 – 2x(1 – x) ; b) (2x + 1)
2
+ (1 – x)3x

(x + 2)
2
; c) (x – 4)(x + 4)

(x + 3)
2
+ 5
5. Giải phương trình :
a) | 3,5x | = 1,5x + 10 ; b) | -5,5x | = 4,5x – 10 ; c) | 5 – x | = 4x ; d) | x + 3 | = 3x + 6

6 . a) Tìm x sao cho giá trị của
4
23

x
không nhỏ hơn giá trị của biểu thức
6
33

x

b) Tìm x để giá trị của biểu thức
2
43

x
không lớn hơn giá trị của biểu thức
3
32

x

7.Chứng minh rằng với ba số a , b ,c tùy ý ta có :
a) a
2
+ b
2
+ 1

a.b + a + b ; b ) )(23

222
cbacba  ; c) (a – 1)(a – 3)(a – 4)(a – 6) + 9

0
8 . Cho a , b ,c là các số dương , chứng minh :
a)
2
a
b
b
a
; b) 4
11
).( 







ba
ba ; c) 9
111
).( 








cba
cba
9. Giải các bất phương trình :
a) (x – 3)(1 – x) > 0 ; b) (x + 2)(x – 3)(x
2
+ x + 1) > 0 ; c) x
2
– 5x + 6 < 0 ;
d) x
3
– 2x
2
– x – 2 > 0 ; e) 0
1
)53(2
2



x
xx
; f ) 2
2
2





x
x
x
x

10. Giải phương trình :
a) 2| x | - | x + 1 | = 2 ; b ) | x – 1 | + | x – 2 | = 1 ; c) | x
2
– x + 2 | - 3x – 7 = 0

B-HÌNH HỌC
CHƯƠNG I – TỨ GIÁC
Phần I - HÌNH THANG VÀ CÁC TÍNH CHẤT
Kiến thức cần nhớ :
1. * Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
* Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy ( Hình thang có một góc vuông )
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
10
* Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
- Trong hình thang cân : + Hai cạnh bên bằng nhau
+ Hai đường chéo bằng nhau
-Dấu hiệu nhận biết + Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân .
2. * Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
* Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy .
Hình thang ABCD (AB//CD) có AE = ED ; BF = FC => EF // AB , EF // CD và
2
CDAB
EF



Bài tập :
1. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , phân giác BD , CE .
a) Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh BE = ED = DC
c) Biết Â=50
0
. Tính các góc của tứ giác BEDC
2.Cho hình thang vuông ABCD ,
0
90
ˆ
ˆ
 DA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD
. Chứng minh :
a) Tam giác MAD là tam giác cân
b ) CD
ˆ
M BA
ˆ
M 
3. Cho tam giác vuông cân ABC , Â = 90
0
. Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao
cho
AE
AD

. Từ C kẻ đường vuông góc với BE cắt BA ở I .

a) Chứng minh BE = BI
b) Qua D và A kẻ đường vuông góc với BE cắt BC lần lượt ở M và N . Chứng minh rằng MN = NC
4. Cho hình thang ABCD ( AB // CD) . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Phân giác của
góc A và góc B cắt EF theo thứ tự ở I và K .
a) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BKF là các tam giác cân
b) Chứng minh tam giác AID và tam giác BKC là các tam giác vuông .
c) Chứng minh
ADIE
2
1

và
BCKF
2
1


d) Cho AB = 5cm , CD = 18cm , AD = 6cm , BC = 7cm . Tính độ dài đoạn thẳng IK

Phần II HÌNH BÌNH HÀNH

Kiến thức cần nhớ :
1 * Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
2 * Trong hình bình hành :
* Các cạnh đối bằng nhau
* Các góc đối bằng nhau
* Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
3. Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành ta có thể chứng minh rằng tứ giác đó thỏa mãn một
trong các tính chất sau :
* Các cạnh đối song song

* Các cạnh đối bằng nhau
* Các góc đối bằng nhau
* Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
* Hai cạnh đối song song và bằng nhau.
Bài tập :
1. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và AD , O là
giao điểm của AC và BD . Chứng minh :
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
11
b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng
2. Cho hình bình hành ABCD . Kẻ BDCFBDAE


,
a) Tứ giác AECF là hình gì ? Vì sao ?
b) AE cắt CD ở I , CF cắt AB ở K . Chứng minh AI = CK
c) Chứng minh BE = DF .
Phần III HÌNH CHỮ NHẬT
Kiến thức cần nhớ :
1. Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông . Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành , một hình
thang cân.
2. Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành , của hình thang cân .
3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình chữ nhật :
* Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
* Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật
* Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
* Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
4. Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền .Ngược lại nếu một

tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông .

Bài tập :

1. Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ), đường cao AH . Gọi M , P , Q lần lượt là trung điểm của BC
, CA , AB .Chứng minh :
a) PQ là đường trung trực của AH
b) Tứ giác MPQH là hình thang cân .
2. Cho tam giác ABC vuông ở A . đường cao AH . Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ
H đến AB , AC .
a) Tứ giác EAFH là hình gì ?
b) Qua A kẻ đường vuông góc với EF cắt BC ở I . Chứng minh I là trung điểm của BC.
3.Cho tam giác ABC , các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi P là điểm đối xứng của M qua
G , gọi Q là điểm đối xứng của N qua G .
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
b) Nếu tam giác ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?


Phần IV HÌNH THOI
Kiến thức cần nhớ :
1. Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau . Hình thoi cũng là một hình bình hành
2. Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành .
* Trong hình thoi : + Hai đường chéo vuông góc với nhau
+ Hai đường chéo là đường phân giác các góc của hình thoi .
3. Dấu hiệu nhận biết :
* Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi .
* Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi .
* Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi .
* Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
Bài tâp :

1.Cho hình thoi ABCD , góc B = 60
0
. Kẻ CDAFBCAE


, . Chứng minh:
a) AE = AF
b) Tam giác AEF là tam giác đều .
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
12
c) Biết BD = 16cm . Tính chu vi của tam giác AEF .
2.Cho hình thang ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DA .
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh nếu ABCD là hình thang cân thì MP là tia phân giác của góc QMN.
3. Cho hình thoi ABCD . Trên các cạnh AB , BC , CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M , N , P ,Q sao
cho QACPCNAM



. Chứng minh .
a) Ba điểm M , O , P thẳng hàng và ba điểm N , O , Q thẳng hàng .
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Phần V HÌNH VUÔNG
Kiến thức cần nhớ :
1. Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau . Hình vuông là hình chữ nhật có
bốn cạnh bằng nhau . Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông . Hình vuông vừa là hình chữ nhật
vừa là hình thoi .
2. Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết :
* Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
* Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
* Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của góc là hình vuông
* Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
* Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông .
Bài tập :
1.Cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của các tia AB , BC , CD, DA lấy theo thứ tự các điểm A’ ,
B’ , C’ , D’ sao cho
'''' DDCCBBAA



. Chứng minh :
a)
'''' CCBBBA




b) Tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông .
2.Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E .qua M
kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F.
a) Tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEMF là hình chữ nhật
c) Nếu tam giác ABC vuông cân ở A thì tứ giác AEMF là hình gì ? Vì sao ?
3. Cho tam giác nhọn ABC , vẽ ra phía ngoài của tam giác hai hình vuông ABDE và ACFH . Gọi U
và K lần lượt là tâm của hai hình vuông nói trên . M là trung điểm cạnh BC .
a) Chứng minh EC = BH và BHEC



b) Gọi N là trung điểm của EH , Tứ giác MINK là hình gì ? Vì sao ?
4. Cho tam giác ABC , các trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm
của BG và CG.
a) Tứ giác MNEF là hình gì ? Vì sao ?
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNEF là hình chữ nhật ? Hình thoi ?
5. Cho hình bình hành ABCD có Â = 60
0
, AD = 2AB . Gọi M là trung điểm của AD , N là trung điểm
của BC . Từ C kẻ đường vuông góc với MN ở E cắt AB ở F . Chứng minh :
a) Tứ giác MNCD là hình thoi .
b) E là trung điểm của CF
c) Tam giác MCF là tam giác đều
d) Ba điểm F , N , D thẳng hàng .

CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Phần I ĐỊNH LÍ TA LET – HỆ QUẢ - TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
Kiến thức cần nhớ :
Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
13
1.* Định lí ta lét trong tam giác : Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt
hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ .
* Định lý đảo : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này
những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác .
* Hệ quả : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó
tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho .
2. Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai
cạnh kề với hai đoạn ấy . ( Định lý vẫn đúng với đường phân giác ngoài của tam giác .)
Bài tập :

1. Cho tam giác ABC , trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N . Biết AM = 3cm , MB =
2cm ,
AN = 7,5cm , NC = 5cm .
a) Chứng minh MN // BC
b) Gọi I là trung điểm của BC , K là giao điểm của AI với MN . Chứng minh K là trung điểm của
MN.
2. Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có AB = 7,5cm , CD = 12cm . Gọi M là trung điểm của CD , E
là giao điểm của MA và BD , F là giao điểm của MB và AC .
a) Chứng minh rằng EF song song với AB
b) Tính độ dài đoạn EF .
3. Cho tam giác ABC có AB = 14cm , AC = 10cm , BC = 12cm . Đường phân giác của góc BAC cắt
cạnh BC ở D.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB , DC
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD
4. Cho tam giác vuông ABC vuông ở A . Biết AB = 20cm , AC = 21cm
a) Tính độ dài cạnh BC
b) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D . Tính DB , DC
c) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E ,qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt
AC ở F . Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác đó .

Phần II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Kiến thức cần nhớ :
1 * Tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu








CA
AC
BC
CB
AB
BA
CCBBAA
''''''
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ

* Hai tam giác đồng dạng có các tính chất :
+ Mỗi tam giác thì đồng dạng với chính nó .
+ Nếu ABCCBA



''' thì ''' CBAABC





+ Nếu """''' CBACBA



và ABCCBA



""" thì ABCCBA



'''
+ Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại sẽ tạo
thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho MN // BC =>
ABCAMN




2 . Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác :
* Nếu ba cạch của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng .

) ('''
'
'
'
'
'

'
cccCBAABC
A
C
CA
C
B
BC
B
A
AB


* Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh
đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng . ) ('''
ˆ
'
ˆ
''''
cgcABCCBA
AA
AC
BA
AB
BA










Kiến thức trọng tâm lớp 8
Hãy học tập bằng tất cả trách nhiệm cùng niềm đam mê của bản thân mình để ngày mai tiến thân và lập nghiệp !
14

* Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

).('''
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
ggABCCBACCBB 

3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông .
* Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia hoặc
*Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia
thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau
* Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một
cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau .
4. Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng
5 . Tỉ số hai diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Bài tập :
1. Cho tam giác ABC cân ở A , có AB = AC = 100cm , BC = 120cm , hai đường cao AD , BE cắt

nhau tại H .
a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH;
b) Tính độ dài các đoạn thẳng HD , AH , BH. HE
2. Cho tam giác ABC vuông ở A , AB = 6cm , AC = 8cm , đường cao AH , đường phân giác BD .
a) Tính độ dài các đoạn AD , DC
b) Gọi I là giao điểm của AH và BD . Chứng minh AB.BI = BD.HB
c) Chứng minh tam giác AID là tam giác cân .
3. Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD , AB < CD ) . Đường cao BH chia cạnh CD thành hai đoạn
cmHCcmDH 9;16


. Biết
BCBD

.
a) Tính đường chéo AC và BD của hình thang ;
b) Tính diện tích của hình thang ;
c) Tính chu vi hình thang
4. Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8cm , AC = 15cm , đường cao AH .
a) Tính BC , AH
b) Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của H trên AB , AC . Tứ giác AMNH là hình gì ? Tính độ dài
MN.
c) Chứng minh rằng AM.AB = AN. AC
5 . Cho tam giác ABC vuông ở A , trung tuyến BD . Phân giác của góc BAD và góc BDC lần lượt cắt
AB , BC ở M và N . Biết AB = 8cm , AD = 6cm.
a) Tính độ dài các đoạn BD , BM ;
b) Chứng minh MN // AC ;
c) Tứ giác MNCA là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác đó .
6. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm , AD = 24cm . E là trung điểm của AB . Tia DE cắt AC ở
F cắt CB ở G .

a) Tính độ dài các đoạn DE , DG , DF
b) Chứng minh rằng FD
2
= FE.FG
7. Gọi I và G lần lượt là giao điểm các đường phân giác , đường trung tuyến của tam giác ABC , có
BC = 3 , AC = 4 , AB = 5 ; Chứng minh :
a) IG // AC
b) Tính IG
8.Cho tam giác ABC ( AB < AC ) . Đường thẳng kẻ qua trọng tâm G của tam giác cắt AB , AC lần
lượt ở D và E . Chứng minh 3
AE
AC
AD
AB