Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (547.8 KB, 42 trang )
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
1
Chương 1: CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
§1. PHÉP TOÁN HAI NGÔI
I. Định nghĩa:
1. Định nghĩa:
Ta gọi phép toán hai ngôi (gọi tắt là phép toán) trong tập hợp
X
là một ánh xạ:
:
T X X X
.
Hay một phép toán trong tập hợp
X
là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử
;
x y X X
một phần tử xác định, kí hiệu
;
T x y
của
X
.
Ảnh
;
T x y
của cặp thứ tự
;
x y X X
qua phép toán
T
thường được kí hiệu là
xTy
.
* Chú ý:
- Mỗi phép toán có một kí hiệu xác định.
- Nếu phép toán là phép cộng, kí hiệu
, thì
x y
được gọi là tổng của x và y.
- Nếu phép toán là phép nhân, kí hiệu là . (hoặc
), thì x.y được gọi là tích của x và
y. Để đơn giản, ta kí hiệu tích của x và y là xy.
2. Ví dụ:
1- Trong tập hợp
, phép cộng và phép nhân hai số tự nhiên là hai phép toán.
Hai tương ứng: (a; b)
(a + b)
(a; b)
(a.b)
với a,b
, xác định ánh xạ từ
đến
.
- Phép trừ không phải là phép toán vì tương ứng:
(a; b)
(a - b)
với a, b
, không xác định một ánh xạ từ
đến
vì chẳng hạn:
(1; 6)
1 – 6 = -5
.
2- Trong tập hợp
*
phép nâng lũy thừa a
n
là phép toán nhưng phép chia không phải là
phép toán.
Tương ứng: (a; n)
(a
n
)
với a,n
*
, xác định ánh xạ từ
*
*
đến
*
.
Tương ứng: (a; b)
(a
: b)
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
2
với a,b
*
, không xác định ánh xạ từ
*
*
đến
*
. Vì chẳng hạn:
(4; 10)
(4
: 10) = 0,4
*
.
3- Gọi P là tập hợp các tập con của X. Phép hợp và phép giao tập hợp là hai phép toán
trong P.
Hai tương ứng:
(A,B) A B
(A,B) A B
.
với A,B là hai tập con của X, xác định hai ánh xạ từ P
P đến P.
II. Những tính chất thường gặp của một phép toán.
1. Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X.
1- Ta nói phép toán T có tính chất kết hợp nếu:
xT(yTz) = (xTy)Tz,
x,y,z X
.
2- Ta nói phép toán T có tính chất giao hoán nếu:
xTy = yTx.
x,y X
3- Giả sử ngoài T trong tập hợp X còn có một phép toán * nữa. Ta nói phép toán T có
tính chất phân phối đối với phép toán * nếu:
xT(y*z) = (xTy)*(xTz).
(y*z)Tx = (yTx)*(zTx) ,
x,y,z X
.
2. Ví dụ:
a. Trong tập N, với
, ,
a b c
:
Phép toán
Tính chất
Phép cộng Phép nhân
Kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c)
Giao hoán a + b = b + a a.b = b.a
Phân phối giữa phép nhân
đối với phép cộng
a.(b + c) = a.b + a.c.
(a + b).c = a.c + b.c
b. Trong
*
, phép nâng lên lũy thừa không có tính chất giao hoán, không có tính chất
kết hợp:
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
3
2
3
≠ 3
2
.
4
4
3 (3 )
2 2
.
c. Trong tập các tập con của X,
A,B,C X
:
Phép toán
Tính chất
Phép giao Phép hợp
Kết hợp
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
Giao hoán
A B = B A
A B = B A
Phân phối giữa phép
giao và phép hợp, giữa
phép hợp và phép giao
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
(B C) A = (B A) (C A)
(B C) A = (B A) (C A)
III. Những phần tử đặc biệt của một phép toán.
1. Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X.
a. Ta nói e
X là phần tử trung lập đối với T nếu: eTx = xTe = x,
x X
.
b. Giả sử e là phần tử trung lập đối với phép toán T và
x X
, ta nói x’ là phần tử đối
xứng của x nếu: x’Tx = xTx’ = e.
c. Ta gọi phần tử
a X
là phần tử chính quy hay giản ước được nếu:
aTx = aTy
x = y và xTa = yTa
x = y.
2. Ví dụ:
a. Trong tập
, với
a
ta có:
Phép toán
Phần tử đặc biệt
Phép cộng Phép nhân
Phần tử trung lập 0 (vì 0 + a = a + 0 = a) 1 (vì 1.a = a.1 = a)
Phần tử đối xứng
a
≠0, không có phần tử đối
xứng.
a
≠1, không có phần tử
nghịch đảo.
Phần tử chính quy
a
*
a
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
4
b. Trong N
*
, phép nâng lên lũy thừa không có phần tử trung lập.
c. Tập P là tập gồm tất cả các tập con của X: A
X.
Phép toán
Phần tử đặc biệt
Phép hợp Phép giao
Phần tử trung lập
X X A
IV. Bộ phận ổn định, phép toán cảm sinh.
1. Định nghĩa: Một bộ phận A của tập X được gọi là ổn định đối với phép toán T trong X
khi và chỉ khi aTb
A ,
a, b A
.
Trong trường hợp này, ta sẽ gọi phép toán T xác định trong A là phép toán cảm sinh
hay thu hẹp của phép toán T lên A.
2. Ví dụ:
- Bộ phận m
= {ma | a
}, m
là bộ phận ổn định của
với phép cộng.
- Tập các số tự nhiên chẵn là một tập ổn định của
đối với phép cộng, phép nhân (vì
tổng, tích của hai số chẵn là một số chẵn).
- Tập các số tự nhiên lẻ là một tập không ổn định của
đối với phép cộng (vì tổng của
hai số lẻ là một số chẵn)
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
5
§2. VỊ NHÓM
I. Định nghĩa.
1. Định nghĩa: Một tập hợp X cùng với một phép toán T đã cho trong X được gọi là một
nửa nhóm nếu phép toán T có tính chất kết hợp.
Nửa nhóm X có phần tử trung lập được gọi là vị nhóm.
Nửa nhóm (vị nhóm) X được gọi là giao hoán (hay aben) nếu phép toán T là giao
hoán
2. Ví dụ:
a. Xét tập
, cùng với phép cộng và phép nhân. Với mọi a, b, c
, ta có:
Phép toán
Tính chất
Phép cộng Phép nhân
Kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c)
Phần tử trung lập 0 (vì 0 + a = a + 0 = a) 1 (vì 1.a = a.1 = a)
Tính giao hoán a + b = b + a,
a, b
. a.b = b.a ,
a, b
.
b. Tập P(X) =
gồm các tập con của tập X.
Phép toán
Tính chất
Phép giao Phép hợp
Kết hợp
(A B) C = A (B C)
.
(A B) C = A (B C)
Phần tử trung lập A
X = X
A = A.
A = A
= A.
Giao hoán
A B = B A
A B = B A
c. Tập
*
với phép nâng lên lũy thừa không phải là một vị nhóm.
II. Vị nhóm con.
1. Định nghĩa: Một bộ phận ổn định A của một vị nhóm X được gọi là vị nhóm con của
X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một vị nhóm.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
6
Từ định nghĩa ta rút ra nhận xét: Bộ phận khác rỗng A của vị nhóm (X, T) là một vị
nhóm con của vị nhóm X nếu:
-
a, b
A , aTb
A.
-
a, b, c
A, (aTb)Tc = aT(bTc).
- Với e
A, aTe = eTa = a,
a
A.
Chú ý: Giả sử X là một vị nhóm với phần tử trung lập e. Khi đó X và {e} là những vị
nhóm con tầm thường của X.
2. Ví dụ:
Giả sử m
, bộ phận m
= {ma | a
} là một vị nhóm con của vị nhóm cộng
.
Thật vậy:
-
, :
mx my m mx my m x y m
.
- mx + (my + mz) = (mx + my) + mz;
mx, my, mz m
.
- 0 = m.0
m
, 0 + mx = mx + 0 = mx,
mx m
.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
7
§3. NHÓM
I. Định nghĩa.
1. Định nghĩa:
- Ta gọi nhóm là một vị nhóm trong đó mọi phần tử đều có phần tử đối xứng.
- Một nhóm gọi là giao hoán nếu phép toán đã cho giao hoán.
- Nói cách khác, tập X cùng với phép toán T trong X được gọi là một nhóm nếu và chỉ
nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
1- Phép toán T có tính chất kết hợp: (xTy)Tz = xT(yTz),
x,y,z X
.
2- Có phần tử trung lập e:
e X sao cho xTe = eTx = x, x X
.
3- Mọi phần tử đều có phần tử đối xứng:
x X có x' X: xTx' = x'Tx = e
.
Nhóm
Các điều kiện
(X, +) (X, .)
Có tính chất kết hợp (x + y) + z = x + (y + z) (x.y).z = x.(y.z)
Có phần tử trung lập 0
X: 0 + x = x + 0 = x 1
X: 1.x = x.1 = x
Có phần tử đối xứng -x
X: -x + x = x +(-x) = 0 x
-1
X: x.x
-1
= x
-1
.x = 1
3. Ví dụ:
a. Tập (
, +) là một nhóm giao hoán.
Chứng minh:
- Phép toán cộng có tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z) ,
x,y,z
.
- Có phần tử trung lập: 0
: 0 + x = x + 0 = x,
x
.
-
x
đều có phần tử đối xứng - x
: - x + x = x + (- x) = 0.
- Phép toán cộng có tính chất giao hoán:
x,y
: x + y = y + x.
b. (
, +) không phải là một nhóm vì
x
thì không tồn tại - x
.
c. (
*
, .) là một nhóm giao hoán vì với
*
, ,
a c e
b d f
thì:
- Phép toán nhân có tính chất kết hợp:
a c e a c e
b d f b d f
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
8
- Có phần tử trung lập: 1
*
:
1 1
1 1
a a a
b b b
- Mọi phần tử đều có nghịch đảo:
, sao cho . 1
a b a b
b a b a
.
- Phép toán nhân có tính chất giao hoán:
a c c a
b d d b
d. (
, +) không là một nhóm vì ,
a a
b b
.
e. (
*
, .) và (
, +) là hai nhóm giao hoán.
II. Nhóm con.
1. Định nghĩa:
- Một bộ phận ổn định A của một nhóm X được gọi là nhóm con của X nếu A cùng với
phép toán cảm sinh là một nhóm.
Nhận xét: Với:
A X
, A là nhóm con của X nếu:
-
x,y A, xy A
.
-
e A
, với e là phần tử trung lập của X.
-
1
x A, x A
.
2. Ví dụ:
a. X và {e} là hai nhóm con tầm thường của nhóm X.
b. Xét nhóm (
, +), m
, khi đó m
= {mx | x
} là một nhóm con của
.
Chứng minh: Với
x,y,z,m
thì.
1- Phép toán cộng có tính chất kết hợp: (mx + my) + mz = mx + (my + mz).
2- Có phần tử trung lập m0: mx + m0 = m0 + mx = mx.
3- Mọi phần tử đều có phần tử đối m(- x) : mx + m(- x) = mx + (-mx) = m0.
c. Nhóm (
, +) là nhóm con của nhóm (
, +).
d. Nhóm (
, +) là nhóm con của nhóm (
, +).
e. Nhóm (
, +) là nhóm con của nhóm (
, +).
Bi ging S hc TCSP Tiu hc
9
BI TP
1. Chng t rng cỏc quy tc cho tng ng sau õy l nhng phộp toỏn hai ngụi. Hóy
ch ra cỏc tớnh cht ca mi phộp toỏn ú.
a)
, ,
x y x y xy x y
.
b)
2 , ,
m n m n m n
.
c)
, , \ 1
a b a b ab a b
.
2. Cỏc tp hp sau õy, tp no n nh i vi phộp cng cỏc phõn s.
a)
1,1
A
.
b)
, , laứ soỏ leỷ, 0
a
B a b a b
b
.
c)
laứ soỏ thaọp phaõn
a a
C
b b
.
3. Cng cõu hi nh bi 2, nhng thay phộp cng bng phộp nhõn cỏc phõn s.
4. Gi s
X
l mt tp hp tựy ý. Xột phộp toỏn hai ngụi:
2
:
;
X X
x y x y x
Chng minh
X
l mt na nhúm vi phộp toỏn hai ngụi trờn. Na nhúm ú cú giao
hoỏn khụng? Cú n v khụng?
5. Xột tp hp
*
\ 0
cựng vi phộp cng. ú cú phi l mt na nhúm giao
hoỏn khụng? V nhúm giao hoỏn khụng? Cng cỏc cõu hi ú cho
*
cựng vi phộp nhõn.
6. Cho
X
l tp cỏc s nguyờn chia ht cho 5.
a) Chng minh rng
X
l mt v nhúm vi phộp cng thụng thng cỏc s.
b) Chng minh rng
X
l mt na nhúm nhng khụng phi l mt v nhúm vi phộp nhõn
thụng thng cỏc s.
7. Cho
*
l tp cỏc s t nhiờn khỏc 0. Ta nh ngha:
*
1, ,m n m n m n
a) Tỡm
2 1; 4 5; 5 5
.
b) Chng minh rng
*
l mt v nhúm giao hoỏn vi phộp toỏn
.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
10
8. Cho tập hợp
X
là tập hợp các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng
X
là một vị nhóm con
của vị nhóm nhân các số nguyên
.
9. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên
là một nhóm Abel với phép toán sau:
1, ,
a b a b a b
.
.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
11
Chương 2: SỐ TỰ NHIÊN
§1. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN
I. Sự hình thành số tự nhiên.
Từ xa xưa, khi con người chưa biết khái niệm về số lượng, con người nguyên thủy do
nhu cầu cuộc sống đã biết so sánh số lượng giữa các tập hợp, từ đó đã dần dần nhận thức
được khái niệm ít nhiều.
Chẳng hạn, khi chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng bộ lạc phát cho mỗi chiến binh một
vũ khí.
- Nếu chiến binh nào cũng được phát vũ khí mà vũ khí vẫn còn thừa thì số vũ khí nhiều
hơn số chiến binh.
- Ngược lại, nếu còn chiến binh chưa được phát vũ khí mà số vũ khí đã hết thì số chiến
binh nhiều hơn số vũ khí.
- Nếu tất cả các chiến binh đều được phát vũ khí và số vũ khí trong kho không còn.
Trường hợp này là trường hợp có một song ánh giữa tập các vũ khí và tập các chiến binh.
Sự đụng chạm thường xuyên đến nhu cầu so sánh và sự tiếp xúc hàng ngày với các đối
tượng tự nhiên như ban ngày có 1 mặt trời, ban đêm có 1 mặt trăng, con người có 2 mắt, 2
tai ,… đã làm con người cổ xưa đi dần tới khái niệm về số lượng, về số.
- Các số đầu tiên được hình thành để đánh dấu, phân biệt các tập hợp đó và có thể thiết
lập sự tương ứng 1 – 1 lên các tập hợp đó.
Đó là việc hình thành các số tự nhiên 1; 2; 3 …
II. Tập hợp tương đương.
1. Định nghĩa: Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B và viết A ~ B nếu có một
song ánh từ A lên B.
A ~ B
song ánh f: A → B.
2. Ví dụ:
- Ví dụ 1: Cho A = {cam, táo , xoài}, B = {1; 2; 3}
A ~ B vì có một song ánh: f : A → B
cam
1
táo
2
xoài
3.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
12
3. Định lí: Với các tập A, B, C tùy ý ta có:
1- Tính phản xạ: A ~ A với mọi A.
2- Tính đối xứng: A ~ B thì B ~ A với mọi A, B.
3- Tính bắc cầu: Nếu A ~ B, B ~ C thì A ~ C với mọi A, B, C.
III. Tập hữu hạn và tập vô hạn.
1. Định nghĩa: Một tập hợp tương đương với một bộ phận thực sự của nó gọi là tập vô
hạn. Tập không vô hạn gọi là tập hữu hạn.
2. Ví dụ:
- Tập hợp các điểm của đoạn thẳng AB là tập vô hạn.
- Tập
là hữu hạn vì nó không có một bộ phận thực sự nào.
- Tập đơn tử {a} là hữu hạn vì
là bộ phận thực sự duy nhất của nó nhưng {a} không
tương đương với
.
IV. Bản số của tập hợp số tự nhiên.
1. Bản số: Bản số hay còn gọi là lực lượng của một tập hợp là một khái niệm đặc trưng
về mặt số lượng của tập hợp.
- Mỗi tập hợp có một bản số. Các tập hợp có cùng bản số khi và chỉ khi chúng có cùng
lực lượng.
- Hai tập hợp tương đương thì có cùng một bản số và hai tập hợp có cùng bản số thì
tương đương.
- Bản số của tập hợp A, kí hiệu Card(A).
Card(A) = Card(B)
A ~ B.
2. Số tự nhiên:
a. Định nghĩa:
- Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên.
- Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là
.
Nhận xét: Vậy nếu x là số tự nhiên (x
) thì tồn tại một tập hữu hạn X sao cho
Card(X) = x.
b. Ví dụ:
là một tập hữu hạn, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là không, Card (
) = 0.
Tập A = {a} là một tập đơn tử, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là một, Card(A) = 1.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
13
§2. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TẬP N
I. Quan hệ thứ tự trên N.
1. Định lí Căng-to. Nếu A và B là hai tập hợp bất kì thì:
1- Hoặc A tương đương với một bộ phận bất kì của B, nghĩa là có một đơn ánh từ A đến
B.
2- Hoặc B tương đương với một bộ phận bất kì của A, hay có một đơn ánh từ B đến A.
3- Nếu xảy ra đồng thời cả (1) và (2) thì A tương đương với B.
2. Định nghĩa.
Giả sử x, y là 2 số tự nhiên. X,Y là hai tập hữu hạn sao cho:
x = Card(X); y = Card(Y).
- Ta nói “x nhỏ hơn hoặc bằng y”, kí hiệu x ≤ y khi và chỉ khi X tương đương với một bộ
phận của Y.
- Nếu x ≤ y và x
y, ta viết x < y và đọc là “x thực sự nhỏ hơn y”.
- Khi có x ≤ y ta còn viết y ≥ x và đọc là “y lớn hơn hoặc bằng x”.
Ví dụ: 0 < 1 và 0 ≤ x ,
x N vì A, A
.
3. Chú ý:
- Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp X, Y.
- Khi X tương đương với một bộ phận Y’ của Y ta cũng có Card(Y’) = x, do đó ta có thể
coi x ≤ y
X
Y.
Ta có thể phát biểu lại định nghĩa:
Cho x, y
N. Y là tập hợp hữu hạn mà Card(Y) = y.
Ta nói x ≤ y
có X
Y sao cho Card(X) = x.
4. Định lí:
Quan hệ ≤ vừa định nghĩa là một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập
.
II. Số tự nhiên kề sau.
1. Định nghĩa:
Giả sử
x, y , x y
. X, Y là hai tập hợp hữu hạn sao cho:
x = Car(X), y = Card(Y) và
X Y
.
Ta có y là số kề sau của x nếu Card(Y – X) = 1.
- Số kề sau của x, kí hiệu là
x
.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
14
Ví dụ: 1 là số kề sau của 0.
2. Các tính chất.
1 - Mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số kề sau.
2 - Số 0 không là số kề sau của bất kì số tự nhiên nào, còn mọi số tự nhiên khác không
đều là số kề sau của một số tự nhiên.
3 - Giữa hai số tự nhiên x và số kề sau
x
không có số tự nhiên nào khác.
Hệ quả: Nếu x < y thì
x y
.
Từ tính chất 3, ta thấy tập số tự nhiên là tập sắp thứ tự rời rạc.
3. Dãy số tự nhiên.
Ta có: 1 =
0 , 2 1 , 3 2
, … Ta có dãy số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, …
III. Các tính chất cơ bản khác của số tự nhiên.
1. Tiên đề quy nạp.
Định lí 1: Nếu bộ phận
các số tự nhiên thỏa mãn hai điều kiện:
1- 0
M.
2- Nếu x
M thì x’
M.
thì M = N.
2. Định lí 2: Mọi bộ phận khác
các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
15
§3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN N
I. Định nghĩa
1. Bổ đề: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì A
B và A
B cũng là những tập hợp
hữu hạn.
Hơn nữa, nếu A
B = A’
B’ =
, A ~ A’, B ~ B’ thì ta có:
A
B ~ A’
B’, A
B ~ A’
B’.
2. Định nghĩa: Giả sử a và b là hai số tự nhiên. A, B là các tập hợp hữu hạn sao cho a =
Card(A), b = Card(B), và A
B =
.
1- Số tự nhiên c = Card(A
B) gọi là tổng của hai số tự nhiên a và b.
Kí hiệu: c = a + b.
2- Số tự nhiên d = Card(A
B) gọi là tích của hai số tự nhiên a và b.
Kí hiệu: d = a.b.
II. Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân số tự nhiên.
1. Tính chất của phép cộng:
1- Phép cộng có tính giao hoán: a + b = b + a.
Chứng minh: A
B = B
A
Card(A
B) = Card(B
A)
a + b = b + a.
2- Tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c.
Chứng minh: A
(B
C) = (A
B)
C.
Card(A
(B
C)) = Card((A
B)
C).
a + (b + c) = (a + b) + c.
3- Số 0 gọi là phần tử trung hòa: 0 + a = a + 0 = a.
4- Phép cộng có tính giản ước được: a + b = a + c
b = c.
2. Tính chất của phép nhân:
1- Tính giao hoán: a.b = b.a.
A
B ~ B
A.
Chứng minh: Card(A
B) = Card(B
A)
a.b = b.a.
2- Tính kết hợp: a.(b.c) = (a.b).c
Chứng minh: Card(A
(B
C)) = Card((A
B)
C)
a.(b.c) = (a.b).c.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
16
3- Số 1 là phần tử trung hòa: 1.a = a.1 = a.
4- Tính giản ước được với những số khác 0:
a.b = a.c (a
0)
b = c.
3. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a.(b + c) = a.b + a.c.
4. Tính chất giữa phép cộng và nhân với quan hệ thứ tự:
1- a ≤ a + b; 2- a ≤ b
a + c ≤ b + c và ngược lại.
3- a ≤ a.b (b
0) ; 4- Nếu c
0 thì a ≤ b
a.c ≤ b.c và ngược lại.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
17
§4. QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG N
I. Phép chia hết.
1. Định nghĩa: Cho a, b
, b
0. Nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q thì ta nói
b chia hết a và viết b\a, hay a chia hết cho b và viết a
b.
Nếu a
b ta cũng nói a là bội của b hay b là ước của a.
VD: a
a với mọi số tự nhiên a
0, a
1 , với mọi số tự nhiên a.
2. Tính chất:
- Quan hệ chia hết là quan hệ thứ tự trong
với phần tử nhỏ nhất là 1.
- Nếu a
c, b
c thì a + b
c;
- Nếu a
b thì k.a
b, với k là một số tự nhiên;
- Nếu a
1
b, a
2
b, … , a
n
b thì k
1
a
1
+ k
2
a
2
+…+ k
n
a
n
b, k
i
N, i = 1, 2, …n.
II. Phép chia có dư.
Nhận xét: Với 2 số tự nhiên a, b bất kì không nhất thiết có a\b hoặc b\a.
Quan hệ chia hết không phải là quan hệ thứ tự toàn phần trong N.
1. Định lí: Với hai số tự nhiên a, b bất kì, b
0, tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q và r
sao cho: a = b.q + r, 0 ≤ r < b.
2. Định nghĩa: q được gọi là thương trong phép chia có dư a cho b, r được gọi là số dư.
Tìm q và r gọi là thực hiện phép chia có dư a cho b.
Nhận xét: Trong trường hợp r = 0
a = b.q , ta có phép chia hết.
Vậy phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư với số dư bằng 0.
III. Các dấu hiệu chia hết.
1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.
a. Dấu hiệu chia hết cho 2:
* Định nghĩa: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó chia hết
cho 2.
n n-1 1 0 0
a a a a 2 a 0; 2; 4; 6; 8
.
b. Dấu hiệu chia hết cho 5:
* Định nghĩa: Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó chia hết
cho 5.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
18
n n-1 1 0 0
a a a a 5 a 0; 5
.
2. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25.
a. Dấu hiệu chia hết cho 4:
- Cho a =
n n-1 1 0
a a a a
, tìm điều kiện để a chia hết cho 4.
Giải: Ta có a = a
n
10
n
+ a
n-1
10
n-1
+ … + a
2
10
2
+ a
1
10 + a
0
= 100q + 10a
1
+ a
0
.
1 0 1 0
a 4 (10a + a ) 4 a a 4
.
* Định nghĩa: Số tự nhiên a chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của nó
chia hết cho 4.
* Ví dụ: Cho a =
123xy
. Tìm x,y
để a
4.
Giải:
a
4
a
2
y
{0; 2; 4; 6; 8}.
a
4
xy
4.
- Nếu y = 0 ta có x = 0; 2; 4; 6; 8.
- Nếu y = 2 ta có x = 1; 3; 5; 7; 9.
- Nếu y = 4 ta có x = 0; 2; 4; 6; 8.
- Nếu y = 6 ta có x = 1; 3; 5; 7; 9.
- Nếu y = 8 ta có x = 0; 2; 4; 6; 8.
b. Dấu hiệu chia hết cho 25:
Từ sự phân tích trên ta có định nghĩa:
* Định nghĩa: a =
n n-1 1 0
a a a a
25
1 0
a a 25
.
* Ví dụ: Cho a =
123xy
Tìm x,y
để a
25.
Giải: Vì a
25 nên a
5 nên y
{0; 5}.
Vì a
25 nên
xy
25. Ta có:
- Nếu y = 0 thì x = 0; 5.
- Nếu y = 5 thì x = 2; 7.
3. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9.
* Định nghĩa:
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
19
Cho a =
n n-1 1 0
a a a a
. Tìm điều kiện để a
3 và a
9.
Giải: Ta có: a =
n n-1 1 0
a a a a
= a
n
10
n
+ a
n-1
10
n-1
+ … + a
2
10
2
+ a
1
10 + a
0
= a
n
(9 + 1)
n
+ a
n-1
(9 + 1)
n-1
+ … + a
2
(9 + 1)
2
+ a
1
(9 + 1) + a
0.
= a
n
(9q
n
+ 1) + a
n-1
(9q
n-1
+ 1) + … + a
2
(9q
2
+ 1) + a
1
(9.1 + 1) + a
0
= (9a
n
q
n
+ 9a
n-1
q
n-1
+ … + 9a
2
q
2
+ 9a
1
) + (a
n
+ a
n-1
+ … + a
1
+ a
0
).
Từ đó nếu (a
n
+ a
n-1
+ … + a
1
+ a
0
)
9 thì a
9.
Tương tự nếu (a
n
+ a
n-1
+ … + a
1
+ a
0
)
3 thì a
3.
Định nghĩa: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3
(hoặc 9).
* Ví dụ:
Cho a =
x0123
. Tìm x để a
3, a
9.
Giải: a
3
x + 0 + 1 + 2 + 3
3
(6 + x)
3.
Vì 0 < x ≤ 9 nên x = {3; 6; 9}.
Vậy a là các số 30123; 60123; 90123
Tương tự nếu a
9 thì (6 + x)
9
x = 3.
Vậy a = 30123.
Nhận xét: Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng.
§5. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
I. Định nghĩa và tính chất.
1. Định nghĩa 1: Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0, số tự nhiên c khác 0 được gọi là ước
chung của a và b nếu:
a c
b c
.
* Ví dụ: Ước chung của 18 và 12 là 1, 2, 3, 6.
- Tập hợp các ước chung của hai số tự nhiên khác 0 bất kì a và b khác rỗng và bị chặn
trên.
Chứng minh: Vì 1 chia hết mọi số tự nhiên a, b bất kì nên 1 là ước chung của a và b.
Mặt khác, mọi ước chung của a và b rõ ràng không vượt quá số nhỏ hơn trong 2 số a và b.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
20
- Cho a, b
*
. Số lớn nhất trong tập các ước chung của a và b được gọi là ước chung
lớn nhất của a và b. Kí hiệu ƯCLN(a; b).
* Ví dụ: ƯCLN(18; 12) = 6.
- Nếu ƯCLN(a; b) = 1 ta nói a và b nguyên tố cùng nhau.
* Ví dụ: ƯCLN(2; 5) = 1 nên 2 và 5 nguyên tố cùng nhau;
ƯCLN(8; 15) = 1 nên 8 và 15 nguyên tố cùng nhau.
Nhận xét: 1 và a nguyên tố cùng nhau với a
.
2. Định nghĩa 2: Giả sử a, b
*
.
- Số tự nhiên m chia hết đồng thời cho a và b gọi là bội chung của a và b.
* Ví dụ: a.b là bội chung của a và b.
- Số nhỏ nhất trong các bội chung khác 0 của a và b gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Kí hiệu BCNN(a; b).
* Ví dụ: BCNN(3; 6) = 6 ; BCNN(2; 5) = 10.
3. Tính chất.
a. Ước chung lớn nhất.
1- Ước chung lớn nhất và BCNN của hai số tự nhiên a và b là duy nhất
2- Nếu a là bội của b
a = b.q, q
N thì ƯCLN(a; b) = b.
3- Nếu a = b.q + c thì ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b; c).
4- Nếu d = ƯCLN(a; b) thì d chia hết cho mọi ước chung của a và b. Ngược lại nếu d là
ước chung của a và b và d chia hết cho mọi ước chung của a và b thì d là ƯCLN của a và b.
5- ƯCLN(a.m; b.m) = m.ƯCLN(a; b).
Nếu d là một ước chung của a và b thì: ƯCLN
a b
;
d d
=
1
d
.ƯCLN(a; b).
6- Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì: ƯCLN(a.c + b) = ƯCLN(c; b).
7- Giả sử d là một ước chung của a và b. Điều kiện cần và đủ để d = ƯCLN(a; b) là
a b
và
d d
nguyên tố cùng nhau.
8- Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì: ƯCLN(a.c + b) = ƯCLN(c; b).
9- Nếu ƯCLN(a; b) = 1 và a.c
b
c
b.
b. Bội chung nhỏ nhất.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
21
1- BCNN của a và b là ước của mọi bội chung của a và b.
2- Nếu ƯCLN(a; b) = 1
BCNN(a; b) = a.b.
II. Phương pháp tính UCLN và BCNN.
1. Thuật toán tìm ƯCLN (Thuật toán Euclide).
Thuật toán Euclide: Cho a, b
*
, giả sử a > b. Ta thực hiện liên tiếp các phép chia
có dư sau:
a = b.q
0
+ r
1
(0 < r
1
< b)
b = r
1
.q
1
+ r
2
(0 < r
2
< r
1
)
r
1
= r
2
.q
2
+ r
3
(0 < r
3
< r
2
)
…………………………….
n-2 n-1 n-1 n
r =r .q + r
(0 < r
n
< r
n-1
)
n-1 n n
r = r .q
.
Quá trình dừng lại ở phép chia có số dư bằng 0.
Vì b > r
1
> r
2
> … > r
n
nên thuật toán có nhiều nhất là b bước.
Khi đó ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b; r
1
) = ƯCLN(r
1
; r
2
) = … = ƯCLN(r
n-1
; r
n
) = r
n
.
* Ví dụ: Tìm ƯCLN(725; 195).
Ta có:
725 = 195.3 + 140
195 = 140.1 + 55
140 = 55.2 + 30
55 = 30.1 + 25
30 = 25.1 + 5
25 = 5.5
Vậy ƯCLN(725; 195) = 5.
2. Công thức tìm BCNN.
Cho 2 số tự nhiên khác không bất kì. Khi đó ta có:
BCNN(a; b) =
a.b
UCLN(a; b)
.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
22
§6. SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ
I. Số nguyên tố và hợp số.
1. Số nguyên tố.
Khái niệm: Số tự nhiên p > 1 chỉ có 2 ước là 1 và chính nó gọi là số nguyên tố.
Tập hợp các số nguyên tố kí hiệu P.
Ví dụ: 2; 3; 5; 7; …
2. Hợp số.
Khái niệm: Số tự nhiên n > 1 có nhiều hơn 2 ước được gọi là hợp số.
Hoặc số tự nhiên n > 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Ví dụ: 4; 6; 8; 9; 10; …
Nhận xét: Từ khái niệm suy ra số tự nhiên n > 1 là hợp số nếu n có thể viết thành tích của
hai số tự nhiên lớn hơn 1.
n = p.q, n > p,q > 1.
II. Tập hợp các số nguyên tố.
1. Định lí 1: Ước nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là số nguyên tố.
2. Định lí 2: Mọi hợp số n đều có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá
n
.
Chứng minh: Giả sử n là hợp số, p là ước nhỏ nhất khác 1 của n
p
n. Ta có:
p.q = n, p
n nên q > 1 và q ≥ p do p nhỏ nhất.
Suy ra p
2
≤ p.q = n hay p ≤
n
.
3. Định lí 3: Có vô số số nguyên tố.
4. Sàng Ơ-ra-to-xten.
Để lập nên bảng các số nguyên tố đầu tiên không vượt quá số tự nhiên N cho trước, ta
làm như sau:
- Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến N: 1; 2; 3; …; N.
- Gạch đi số 1 vì số 1 không là số nguyên tố, số 2 là số nguyên tố.
- Gạch đi tất cả các số là bội của 2, số đầu tiên còn lại không bị gạch là 3. Đó là số
nguyên tố.
- Gạch đi tất cả các số là bội của 3, số đầu tiên còn lại không bị gạch là 5, 5 là số nguyên
tố.
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
23
………………………
- Sau khi đã gạch đi các số là bội của các số nguyên tố p
1
= 2; p
2
= 3; p
3
= 5; ;p
n
với p
n
≤
N
< p
n+1
thì tất cả các số còn lại không bị gạch là số nguyên tố.
Cách làm này gọi là sàng Ơ-ra-to-xten.
III. Định lí phân tích duy nhất.
1. Bổ đề 1: Một số tự nhiên n bất kì hoặc chia hết cho số nguyên tố p hoặc nguyên tố
cùng nhau với p.
n
*
n
p hoặc (n, p) = 1.
2. Bổ đề 2: Nếu số nguyên tố p\a.b thì
p\a
p\b
3. Định lí cơ bản của số học:
Mọi số tự nhiên n > 1 đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân
tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số đó.
4. Sự phân tích tiêu chuẩn:
Cho n
, n > 1. Sự phân tích:
1 2 k
α α α
1 2 k
n = p .p p
gọi là sự phân tích tiêu chuẩn của
n thành tích các thừa số nguyên tố. Trong đó p
1
; p
2
; … ;p
k
là các số nguyên tố đôi một khác
nhau. α
i
≥ 1, α
i
N.
Ví dụ: Phân tích 120 ra tích các thừa số nguyên tố.
120 = 2
3
.3
1
.5
1
là sự phân tích tiêu chuẩn.
Ta cũng có thể viết:
120 = 2
3
.3
1
.5
1
.7
0
.11
0
….
5. Một số ứng dụng của sự phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
1- Ứng dụng 1: Nếu
1 2 k
α α α
1 2 k
n = p .p p
là sự phân tích tiêu chuẩn của n thì tất cả các ước
của n có dạng:
1 2 k
β β β
1 2 k
d = p .p p
với 0 ≤ β
i
≤ α
i
.
2- Ứng dụng 2: Giả sử
1 2 n
α α α
1 2 n
a = p .p p
,
1 2 n
β β β
1 2 n
b = p .p p
, p
i
P; α
i
,β
i
≥ 0.
i=1,n
Đặt λ
i
= min(α
i
; β
i
),
i=1,n
;
i
δ
= max(α
i
; β
i
),
i=1,n
.
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
24
Khi đó: ƯCLN(a;b) =
1 2 n
λ λ λ
1 2 n
p .p p
; BCNN(a;b) =
1 2 n
δ δ δ
1 2 n
p .p p
.
Chú ý: Có 2 cách tìm ƯCLN và BCNN của hai số tự nhiên là:
- Cách 1: dùng thuật toán Euclid.
- Cách 2: Sử dụng việc phân tích một số ra tích các thừa số nguyên tố.
Ví dụ: ƯCLN(2940;3500) =
2
2 .5.7
BCNN(2940;3500) =
2 3 2
2 .3.5 .7
Bài giảng Số học TCSP Tiểu học
25
§7. HỆ THỐNG GHI SỐ
I. Hệ ghi số cơ số g.
1. Các cách ghi số:
(?) Các cách ghi số hiện nay được phát minh ở đâu? Vào thời gian nào?
(!) Đồng nghĩa với việc phát minh ra các con số, loài người đã phải nghĩ ngay đến việc ghi
lại chúng. Cách ghi số hiện nay được phát minh ở Ấn Độ vào thế kỉ thứ VIII và IX. Sau đó
được người Ả-rập truyền sang Châu Âu, vì thế gọi là chữ số Ả-rập.
(?) Cách ghi số hiện nay có phải là duy nhất trong lịch sử không ?
(!) Trước cách ghi số hiện nay đã có rất nhiều cách ghi số.
(?) Hệ ghi số ngày nay có đặc điểm gì?
(!) Hệ ghi số hiện nay gồm 10 kí hiệu: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, gọi là hệ ghi số thập phân.
Giá trị của mỗi kí hiệu còn phụ thuộc vào vị trí của nó trong số được ghi.
Ví dụ: Số 3120 và số 2031 thì chữ số 3 ở số thứ nhất có giá trị là 3000, chữ số 3 ở số thứ 2
có giá trị là 30.
Hệ thống ghi số này còn được gọi là hệ thống ghi số vị trí.
(?) Ưu điểm của hệ thống ghi số vị trí?
(!) Nó tỏ ra có ưu điểm tuyệt đối không chỉ ở chỗ thuận tiện trong việc ghi các số, đặc biệt
là các số lớn mà rất thuận tiện cho kĩ thuật tính toán.
Nó trở thành cách ghi số chính thức của mọi dân tộc và có đóng góp rất lớn trong sự
phát triển của Toán học và Khoa học kĩ thuật nói chung.
2. Hệ ghi số g:
- Với g = 10 ta có cách ghi số trong hệ thập phân, chẳng hạn số 5107 ta có thể viết:
5107 = 5.1000 + 1.100 + 0.10 + 7
= 5.10
3
+ 1.10
2
+ 0.10
1
+ 7.10
0
.
a. Định lí: Giả sử g là số tự nhiên lớn hơn 1, mỗi số tự nhiên a > 0 đều biểu diễn duy
nhất dưới dạng.
n n-1 1 0
n n-1 1 0
a = C g + C g + + C g + C g .
Với: 0 ≤ C
i
≤ g – 1; i =
0;n
; và C
n
> 0.
b. Định nghĩa: Giả sử
*
a N
,
g N
; g > 1. Nếu:
