PHNG GIO DC& ĐO TO DUY XUYÊN
TRƯNG TRUNG HC CƠ S NGUYN VĂN TRI

SNG KIN KINH NGHIM

Tên đ ti:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHP TÌM GI TRỊ LỚN NHẤT,
GI TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Tác giả: Trần Thị Dung
Ch;c v=: Giáo viên
Tổ Chuyên môn: Toán - Tin

I. TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHP TÌM GI TRỊ LỚN NHẤT,
GI TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
II. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do
Năm học 2012-2013
Thời gian khai mạc
7 giờ 30 ngày 27 tháng 09
năm 2012.
Thành phần đại
biểu tham dự:
*  huyện: - Lãnh
đạo Phòng GD&ĐT.
-
Thường vụ công đoàn
ngành GD&ĐT.
- Bộ
phận Thi đua,Tổng hợp và
Hành chính, Thanh tra.

- Bộ
phận Chuyên môn THCS.
*  xã: Đại biểu
Thường vụ Đảng uỷ,
HĐND, UBND,
UBMTTQVN xã; Ban
văn hoá xã hội, Ban Công
an, Hội phụ nữ, Hội nông
dân, Hội CCB, Ban
thường vụ Đoàn, Ban DS-
GĐ&TE, Hội Khuyến
học, Tram y tế, Hiệu
trưởng trường Tiểu học số
1,2 ; Trung tâm HTCĐ xã
Duy Nghĩa.
Bí thư chi bộ,
Trưởng thôn Thuận An,
Ban thường trực CMHS
trường, anh Hồ Ngọc
Thanh nguyên Trưởng
ban đại diện CMHS nhà
trường.
CHƯƠNG TRÌNH
1. Ổn định tổ chức,
tuyên bố lý do, giới thiệu
đại biểu.
2. Giới thiệu chủ trì
Hội nghị và thư ký Hội
nghị.
3. Báo cáo kết quả

quá trình chuẩn bị Hội
nghị ( CTCĐ).
4. Báo cáo Tổng kết
năm học 2011-2012 và Kế
hoạch năm học 2012-
2013( Hiệu trưởng).
5. Báo cáo kết quả
thực hiện chủ đề năm học
“ Tiếp tục đổi mới quản lý
và nâng cao chất lượng
giáo dục” và kế hoạch
thực hiện năm học mới.
(Phó HT)
6.Báo cáo Kết quả
thực hiện ngân sách năm
học 2011-2012 và Kế
hoạch thực hiện ngân sách
2012-2013. (Kế toán)
7. Báo cáo Tổng kết
hoạt động của Ban thanh
tra nhân dân năm học
2011-2012 và Kế hoạch
hoạt động năm học 2012-
2013. ( Trưởng ban
TTND đã báo cáo trong
phiên họp Hội đồng sư
phạm Kiểm điểm thực
hiện Kế hoạch năm học
2011-2012 ở cuối năm
học)

8. Báo cáo công tác
phối hợp của Công đoàn
với chuyên môn (CTCĐ)
9. Hội nghị thảo
luận
10. Chủ trì Hội nghị
giải trình những ý kiến
của CCVC và đại biểu.
11. Bầu bổ sung
Ban thanh tra nhân dân
nhiệm kỳ 2011-2013
GIAI LAO
12. Ban kiểm phiếu
công bố kết quả bầu Ban
thanh tra nhân dân
13. Phát biểu của
Đại biểu:
- Đại diện
lãnh đạo Đảng, Chính
quyền địa phương.
- Lãnh đạo
Phòng GD&ĐT Huyện.
14. Thư ký Hội
nghị thông qua dự thảo
Nghị quyết Hội nghị.
15. Hiệu trưởng
tổng kết Hội nghị.

BAN TỔ CHỨC HỘI
NGHỊ NG&LĐ

NĂM HC
2012-2013
5 năm 2012
Phần kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức rất
rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và
mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thức rộng, nhiều. Qua việc giảng
dạy thực tế tôi nhận thấy để tiếp thu tốt kiến thức này thì học sinh cần phải
nắm vững một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức; bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc
tổng quát, tư duy lôgic, nên sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến
thức này. Do vậy, với mong muốn được góp phần vào việc nâng cao chất
lượng mũi nhọn và giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và
dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nói riêng nên tôi
đưa ra sáng kiến “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
”. Trong đề tài này, tôi cố gắng trình bày, tổng hợp một số dạng
toán thường gặp khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và phân
tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu
của học sinh để giáo viên có thể định hướng được phương pháp truyền đạt để
giúp học sinh nắm bài tốt hơn.
2. Giới hạn
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số dạng toán thường gặp khi
tìm
giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số, đồng thời
nêu ra các định
hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh
qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ
hiểu. Bên cạnh đó tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ
để học sinh có thể rèn luyện tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, từ đó góp
phần phát triển trí tuệ cho học sinh.

3. Đối tượng v phạm vi nghiên c;u
- Học sinh khá, giỏi khối 8 và khối 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi;
- Sách giáo khoa tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 8, toán 9 .
III. CƠ S LÍ LUẬN
Trong chương trình Toán học ở trường trung học cơ sở hiện nay thì
phần lớn hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn, chọn lọc và sắp xếp
có dụng ý sư phạm là phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của số đông
học sinh. Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng lực học
nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức. Đây là dạng toán có thể giúp học sinh phát triển
năng lực trí tuệ như phân tích tổng hợp, khái quát hoá, đồng thời rèn luyện
cho học sinh kĩ năng tính toán, tính sáng tạo.
IV. CƠ S THỰC TIN
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 8 và lớp 9, đặc biệt khi giảng dạy đội
tuyển học sinh giỏi môn Toán 8 trong những năm qua, tôi nhận thấy hầu hết
khi học sinh gặp phải dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của

2
Năm học 2012-2013
Thời gian khai mạc
7 giờ 30 ngày 27 tháng 09
năm 2012.
Thành phần đại
biểu tham dự:
*  huyện: - Lãnh
đạo Phòng GD&ĐT.
-
Thường vụ công đoàn
ngành GD&ĐT.
- Bộ

phận Thi đua,Tổng hợp và
Hành chính, Thanh tra.
- Bộ
phận Chuyên môn THCS.
*  xã: Đại biểu
Thường vụ Đảng uỷ,
HĐND, UBND,
UBMTTQVN xã; Ban
văn hoá xã hội, Ban Công
an, Hội phụ nữ, Hội nông
dân, Hội CCB, Ban
thường vụ Đoàn, Ban DS-
GĐ&TE, Hội Khuyến
học, Tram y tế, Hiệu
trưởng trường Tiểu học số
1,2 ; Trung tâm HTCĐ xã
Duy Nghĩa.
Bí thư chi bộ,
Trưởng thôn Thuận An,
Ban thường trực CMHS
trường, anh Hồ Ngọc
Thanh nguyên Trưởng
ban đại diện CMHS nhà
trường.
CHƯƠNG TRÌNH
1. Ổn định tổ chức,
tuyên bố lý do, giới thiệu
đại biểu.
2. Giới thiệu chủ trì
Hội nghị và thư ký Hội

nghị.
3. Báo cáo kết quả
quá trình chuẩn bị Hội
nghị ( CTCĐ).
4. Báo cáo Tổng kết
năm học 2011-2012 và Kế
hoạch năm học 2012-
2013( Hiệu trưởng).
5. Báo cáo kết quả
thực hiện chủ đề năm học
“ Tiếp tục đổi mới quản lý
và nâng cao chất lượng
giáo dục” và kế hoạch
thực hiện năm học mới.
(Phó HT)
6.Báo cáo Kết quả
thực hiện ngân sách năm
học 2011-2012 và Kế
hoạch thực hiện ngân sách
2012-2013. (Kế toán)
7. Báo cáo Tổng kết
hoạt động của Ban thanh
tra nhân dân năm học
2011-2012 và Kế hoạch
hoạt động năm học 2012-
2013. ( Trưởng ban
TTND đã báo cáo trong
phiên họp Hội đồng sư
phạm Kiểm điểm thực
hiện Kế hoạch năm học

2011-2012 ở cuối năm
học)
8. Báo cáo công tác
phối hợp của Công đoàn
với chuyên môn (CTCĐ)
9. Hội nghị thảo
luận
10. Chủ trì Hội nghị
giải trình những ý kiến
của CCVC và đại biểu.
11. Bầu bổ sung
Ban thanh tra nhân dân
nhiệm kỳ 2011-2013
GIAI LAO
12. Ban kiểm phiếu
công bố kết quả bầu Ban
thanh tra nhân dân
13. Phát biểu của
Đại biểu:
- Đại diện
lãnh đạo Đảng, Chính
quyền địa phương.
- Lãnh đạo
Phòng GD&ĐT Huyện.
14. Thư ký Hội
nghị thông qua dự thảo
Nghị quyết Hội nghị.
15. Hiệu trưởng
tổng kết Hội nghị.


BAN TỔ CHỨC HỘI
NGHỊ NG&LĐ
NĂM HC
2012-2013
5 năm 2012
biểu thức thì các em rất lúng túng và bỡ ngỡ. Vì chương trình Toán trung học
cơ sở sách giáo khoa chưa đề cập nhiều về cách giải, nên học sinh chưa có
được phương pháp giải những bài toán dạng này. Tuy nhiên, trong các kỳ thi
học sinh giỏi môn Toán 8, các kỳ thi tuyển vào trường chuyên thường hay có
các dạng toán này. Vì vậy trong quá trình dạy học, đặc biệt là dạy lớp chọn và
ôn thi học sinh giỏi thì giáo viên cần trang bị cho học sinh nắm vững một số
phương pháp giải thường gặp nhất trong chương trình Toán trung học cơ sở.
Để từ đó mỗi học sinh tự mình giải được các bài toán dạng này một cách chủ
động sáng tạo. Do thời gian có hạn trên lớp nên hầu như nhiều giáo viên chưa
hệ thống được các dạng toán này. Với mong muốn được đóng góp phần nào
giúp học sinh học tập tốt hơn bộ môn Toán, tôi xin đưa ra một số phương
pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số.
V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở lý thuyết
a) p dụng hằng đẳng thức a
2

±
2ab + b
2
= (a
±
b)
2
để biến đổi biểu

thức về dạng :
A = [ f(x) ]
2
+ a
≥
a, với mọi x
∈
R suy ra min A = a khi f(x) = 0;
B = – [ f(x) ]
2
+a
≤
a, với mọi x
∈
R suy ra max B = a khi f(x) = 0.
b) p dụng bất đẳng thức
a b a b− ≤ −
(a
≥
b
≥
0), để tìm giá trị
lớn nhất
Dấu ‘=’ xảy ra khi b(a – b) = 0
⇔
b = 0 hoặc a = b.
c) p dụng bất đẳng thức
a b a b+ ≥ +
(a,b
≥

0), để tìm giá trị nhỏ
nhất
Dấu ‘=’ xảy ra khi a.b = 0
⇔
a = 0 hoặc b = 0.
d) p dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là
∆

≥
0
hoặc
'
∆

≥
0
Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép
2
b
x
a
= −
hoặc
b
x
a
′
= −
.
e) p dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích đa thức A về dạng:
A=
( ) ( )
2 2
.f x g x a+   
   
≥
a với mọi x
∈
R suy ra min A = a khi f(x) = 0
và g(x) = 0;
A=
( ) ( )
2 2
.f x g x a− +   
   
≤
a với mọi x
∈
R suy ra max A = a khi f(x) = 0
và g(x) = 0.
f) p dụng bất đẳng thức Cauchy
Với a
≥
0, b
≥
0 thì a + b
≥
2

ab
;
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b;
Nếu a.b = k (không đổi) thì min (a + b) =
2 k
khi a = b;

3
Năm học 2012-2013
Thời gian khai mạc
7 giờ 30 ngày 27 tháng 09
năm 2012.
Thành phần đại
biểu tham dự:
*  huyện: - Lãnh
đạo Phòng GD&ĐT.
-
Thường vụ công đoàn
ngành GD&ĐT.
- Bộ
phận Thi đua,Tổng hợp và
Hành chính, Thanh tra.
- Bộ
phận Chuyên môn THCS.
*  xã: Đại biểu
Thường vụ Đảng uỷ,
HĐND, UBND,
UBMTTQVN xã; Ban
văn hoá xã hội, Ban Công
an, Hội phụ nữ, Hội nông

dân, Hội CCB, Ban
thường vụ Đoàn, Ban DS-
GĐ&TE, Hội Khuyến
học, Tram y tế, Hiệu
trưởng trường Tiểu học số
1,2 ; Trung tâm HTCĐ xã
Duy Nghĩa.
Bí thư chi bộ,
Trưởng thôn Thuận An,
Ban thường trực CMHS
trường, anh Hồ Ngọc
Thanh nguyên Trưởng
ban đại diện CMHS nhà
trường.
CHƯƠNG TRÌNH
1. Ổn định tổ chức,
tuyên bố lý do, giới thiệu
đại biểu.
2. Giới thiệu chủ trì
Hội nghị và thư ký Hội
nghị.
3. Báo cáo kết quả
quá trình chuẩn bị Hội
nghị ( CTCĐ).
4. Báo cáo Tổng kết
năm học 2011-2012 và Kế
hoạch năm học 2012-
2013( Hiệu trưởng).
5. Báo cáo kết quả
thực hiện chủ đề năm học

“ Tiếp tục đổi mới quản lý
và nâng cao chất lượng
giáo dục” và kế hoạch
thực hiện năm học mới.
(Phó HT)
6.Báo cáo Kết quả
thực hiện ngân sách năm
học 2011-2012 và Kế
hoạch thực hiện ngân sách
2012-2013. (Kế toán)
7. Báo cáo Tổng kết
hoạt động của Ban thanh
tra nhân dân năm học
2011-2012 và Kế hoạch
hoạt động năm học 2012-
2013. ( Trưởng ban
TTND đã báo cáo trong
phiên họp Hội đồng sư
phạm Kiểm điểm thực
hiện Kế hoạch năm học
2011-2012 ở cuối năm
học)
8. Báo cáo công tác
phối hợp của Công đoàn
với chuyên môn (CTCĐ)
9. Hội nghị thảo
luận
10. Chủ trì Hội nghị
giải trình những ý kiến
của CCVC và đại biểu.

11. Bầu bổ sung
Ban thanh tra nhân dân
nhiệm kỳ 2011-2013
GIAI LAO
12. Ban kiểm phiếu
công bố kết quả bầu Ban
thanh tra nhân dân
13. Phát biểu của
Đại biểu:
- Đại diện
lãnh đạo Đảng, Chính
quyền địa phương.
- Lãnh đạo
Phòng GD&ĐT Huyện.
14. Thư ký Hội
nghị thông qua dự thảo
Nghị quyết Hội nghị.
15. Hiệu trưởng
tổng kết Hội nghị.

BAN TỔ CHỨC HỘI
NGHỊ NG&LĐ
NĂM HC
2012-2013
5 năm 2012
Nếu a + b = k (không đổi) thì max (a . b) =
2
4
k
khi a = b.

2. Nội dung
a) Phương pháp 1
p dụng hằng đẳng thức a
2

±
2ab + b
2
= (a
±
b)
2
để biến đổi biểu thức
về dạng :
A = [ f(x) ]
2
+ a
≥
a, với mọi x
∈
R suy ra min A = a khi f(x) = 0;
B = – [ f(x) ]
2
+a
≤
a, với mọi x
∈
R suy ra max B = a khi f(x) = 0.
Ví d= 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
a) A = 4x

2
+ 12x +10
b) B = x.( x +1)( x
2
+ x - 4)
c) C = 2y + 9x
2
+ y
2
– 6x + 7
Giải
a) Ta có A = (4x
2
+ 12x + 9) + 1
= (2x + 3)
2
+ 1
Nên A
≥
1, với mọi x
∈
R
Vậy min A = 1 khi x =
3
2
−
b) Ta có B = x.( x +1)( x
2
+ x - 4)
= (x

2
+x)( x
2
+ x - 4)
Đặt t = x
2
+ x, ta có:
B = t.(t – 4) = t
2
– 4t = ( t
2
– 4t + 4) – 4 = (t – 2)
2
– 4
Nên B
≥
– 4, với mọi t
∈
R
Vậy min B = – 4 khi t = 2  x
2
+ x = 2  (x – 1)( x + 2 ) = 0
 x =1 hoặc x = – 2
c) Ta có C = (9x
2
– 6x + 1) + ( y
2
+ 2y + 1) + 5
= (3x – 1)
2

+ ( y + 1)
2
+ 5
Nên C
≥
5, với mọi x
∈
R, y
∈
R
Vậy min C = 5 khi x =
1
3
và y = – 1.
Ví d= 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a) A =
2
2 10 8x x− + −
b) B =
2 2
2 2x y xy x y− − + + +
Giải
( )
2
2
a) 2 5 4
5 25 25
2 2. . 4
2 4 4
A x x

x x
= − − +
 
 
= − − + − +
 ÷
 
 
 

4
2
2
5 9
2
2 4
5 9
2
2 2
x
x
 
 
= − − −
 
 ÷
 
 
 
 

= − − +
 ÷
 
Nên
9
2
A ≤
, với mọi x
∈
R
Vậy max A =
9
2
khi x =
5
2
.
b) Ta có :
2 2
-2B = 2x 2 2 4 4y xy x y+ − − −

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
2 4 4 4 4 8
2 2 8
x xy y x x y y
x y x y
= − + + − + + − + −

= − + − + − −
Nên
2 8B− ≥ −

4B⇔ ≤
, với mọi x
∈
R, y
∈
R
Vậy max B = 4 khi x = y = 2.
* Bi tập: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a) A = 6x – x
2
b) B = x
2
– 4xy + 5y
2
+ 2y + 5
c) C = x( x - 2)( x
2
- 2x + 2)
d) D =
2
1
2
2
x x
− + +
e) E =

4 2 2
9 6 ( 2) ( 2) 4x x x x
− + + + +
Giải
a) Ta có A = 6x – x
2
= – ( x
2
- 6x +9) +9 = – (x - 3)
2
+9
Nên A
≤
9, với mọi x
∈
R
Vậy max A = 9 khi x = 3.
b) Ta có B = (x
2
– 4xy +4 y
2
) + (y
2
+ 2y + 1) + 4
= (x – 2y )
2
+ (y +1)
2
+ 4
Nên B

≥
4, với mọi x
∈
R, y
∈
R
Vậy minB = 4 khi x = – 2; y = – 1.
c) Ta có C = (x
2
– 2x)(x
2
– 2x + 2)
Đặt t = x
2
– 2x
Khi đó C = t( t + 2) = t
2
+ 2t = ( t
2
+ 2t + 1) – 1= ( t +1)
2
–1
Nên C
≥
– 1, với mọi t
∈
R
Do đó min C = – 1 khi t = – 1
Khi t = – 1, ta có x
2

– 2x = – 1
⇔
x
2
– 2x + 1 = 0
⇔
(x – 1)
2
= 0
⇔
x = 1
Vậy min C = – 1 khi x = 1.
d) ĐKXĐ :
3 3
1 1
2 2
x
− ≤ ≤ +

5
Ta có D =
2
1
2
2
x x
− + +

( )
( )

( )
2
2
2
1
2 1 1
2
1
1 1
2
3
1
2
x x
x
x
= − − + − +
= − − + +
= − − +
Nên D
3
2
≤
với
3 3
1 1
2 2
x
− ≤ ≤ +
Vậy max D =

3
2
khi x = 1.
f) ĐKXĐ: x
∈
R
Ta có E
( )
( ) ( )
2
2
2 2
3 2.3 . 2 2 4x x x x
 
= − + + + +
 
 
E
2 2
(3 2) 4x x= − − +

Nên E
2≥
, với mọi x
∈
R
Vậy min E = 2 khi 3x
2
–x – 2 = 0
⇔

x = 1 hoặc
2
3
x = −
.
b) Phương pháp 2
p dụng bất đẳng thức
baba
−≤−
(a
≥
b
≥
0), để tìm giá trị
lớn nhất;
Dấu ‘=’ xảy ra khi b(a – b) = 0
⇔
b = 0 hoặc a = b.
Ví d=:
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
72 97x x+ − −
b) Cho x - y = 88. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
20 32x y− − +
Giải
a) ĐKXĐ: x
≥
97
Ta có
72 97 ( 72) ( 97)x x x x+ − − ≤ + − −


72 97 169
72 97 13
x x
x x
⇔ + − − ≤
⇔ + − − ≤
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 97 ( thích hợp) hoặc x + 72 = x - 97 (loại)
Vậy max A = 13 khi x = 97.
b) ĐKXĐ x
≥
20, y
≥
- 32
Ta có :
( ) ( )
20 32 20 32x y x y− − + ≤ − − +

20 32 52
20 32 88 52
x y x y
x y
⇔ − − + ≤ − −
⇔ − − + ≤ −

6

20 32 36
20 32 6
x y
x y

⇔ − − + ≤
⇔ − − + ≤
Dấu ‘=’ xảy ra khi y = - 32 => x = 56 (thích hợp)
hoặc x – 20 = y + 32  x – y = 52 ( loại)
Vậy max B = 6 khi x = 56, y = -32.
c) Phương pháp 3
p dụng bất đẳng thức
a b a b+ ≥ +
(a,b
≥
0), để tìm giá trị nhỏ
nhất
Dấu ‘=’ xảy ra khi a.b = 0
⇔
a = 0 hoặc b = 0.
Ví d=:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2012 2013x x− + −
b) Cho
,x Z y Z∈ ∈
và x + 2y = 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B =
5 2 3x y− + +
Giải
a) ĐKXĐ 2012
≤
x
≤
2013
Ta có

( ) ( )
2012 2013 2012 2013x x x x− + − ≥ − + −


2012 2013 1
2012 2013 1
x x
x x
⇔ − + − ≥
⇔ − + − ≥
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 2012 hoặc x = 2013
Vậy min A = 1 khi x = 2012 hoặc x = 2013
b) ĐKXĐ x
≥
5 và y
≥

3
2
−

Ta có
( ) ( )
5 2 3 5 2 3x y x y− + + ≥ − + +

( )
5 2 3 2 2
5 2 3 27 2
5 2 3 5
x y x y

x y
x y
⇔ − + + ≥ + −
⇔ − + + ≥ −
⇔ − + + ≥
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 5 => y = 11( thích hợp)
hoặc y =
3
2
−
=> x = 30 (loại)
Vậy min B = 5 khi x = 5, y =11.
d) Phương pháp 4
p dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là
∆

≥
0 hoặc
′
∆

≥
0
Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x =
2
b
a
−
hoặc
b

x
a
′
= −
Ví d= 1:
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = -3x
2
+5x + 1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
2
2
2 1
4 4
x x
x x
+ +
− +
Giải

7
a) Gọi a là giá trị của biểu thức A.
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình
-3x
2
+5x + 1 = a có nghiệm
⇔
-3x
2
+5x + 1 – a = 0 (1) có nghiệm
⇔

∆

≥
0
( ) ( )
2
5 4 3 1 0a⇔ − − − ≥
⇔
37 - 12a
≥
0
⇔
a
≤

37
12
Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x =
5
6
Vậy max A =
37
12
khi x =
5
6
.
b) ĐKXĐ : x
≠
2

Gọi a là giá trị của biểu thức B.
Biểu thức B nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình
2
2
2 1
4 4
x x
a
x x
+ +
=
− +
(1)
có nghiệm
Phương trình (1)
⇔
(a - 1)x
2
– 2(2a + 1)x + (4a - 1) = 0 (2)
+ Nếu a = 1 thì
( )
1
2 6 3 0
2
x x⇔ − + = ⇔ =

+ Nếu a
≠
1 thì (2) là phương trình bậc hai


′
∆
= (2a + 1)
2
– (a – 1)(4a – 1) = 9a
Phương trình (2) có nghiệm khi 9a
≥
0
⇔
a
≥
0.
Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x =
( )
2 1
1
1
a
a
 
− − +
 
= −
−

Vậy min B = 0 khi x = - 1.
Ví d= 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức:
2
2
2 3

2
x x
C
x
+ +
=
+
Giải
a) ĐKXĐ : x
∈
R
Gọi a là giá trị của biểu thức C
Biểu thức C nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình
2
2
2 3
2
x x
a
x
+ +
=
+
(1)
có nghiệm
Phương trình (1)
⇔
(a-1)x
2
– 2x +2a - 3 = 0 (2)

+ Nếu a = 1 thì
( )
1
2 2 1 0
2
x x
−
⇔ − − = ⇔ =

+ Nếu a
≠
1 thì (2) là phương trình bậc hai
′
∆
= 1 - (a - 1)(2a - 3) = -
2
2 5 2a a+ −
Phương trình (2) có nghiệm khi
′
∆
≥
0

8

2
2 5 2 0
1
2
2

a a
a
⇔ − + − ≥
⇔ ≤ ≤
Vậy min C =
1
2
khi phương trình (2) có nghiệm kép x =
( )
1
2
1a
− −
= −
−
;
max C = 2 khi phương trình (2) có nghiệm kép x =
( )
1
1a
− −
=
−
1.
Ví d= 3: Tìm cặp số (x , y) thỏa mãn phương trình
2x
2
– 4x - y +7 = 0 (*) sao cho y đạt giá trị lớn nhất .
Giải
Xét phương trình bậc hai 2x

2
– 4x - y +7 = 0 (*) với ẩn x tham số y;
Nếu tồn tại cặp số (x ; y) thỏa mãn phương trình (*) thì phương trình
(*) phải có nghiệm
Do đó
′
∆
≥
0
( )
16 4.2 7 0
8 40 0
5
y
y
y
⇔ − − + ≥
⇔ − ≥
⇔ ≥
Nên max y = 5 khi phương trinh (*) có nghiệm kép x = 1
Vậy cặp số cần tìm là (1 ; 5).
e) Phương pháp 5
p dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích đa thức A về dạng:
A=
( ) ( )
2 2
.f x g x a+   
   

≥
a, với mọi x
∈
R suy ra min A = a khi f(x) = 0
và g(x) = 0;
A=
( ) ( )
2 2
.f x g x a− +   
   
≤
a ,với mọi x
∈
R suy ra max A = a khi f(x) =
0 và g(x) = 0.
Ví d= 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A=
4 3 2
2 3 4 5x x x x− + − +
b) B=
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 6 2013x x x x− + + + −
c) C=
4 3 2
6 10 6 7x x x x− + − + −
Giải
a) A
( ) ( )
4 3 2 2
2 2 4 2 3x x x x x= − + + − + +


( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
2
2 1 2 2 1 3
2 1 3
x x x x x
x x
= − + + − + +
= + − +
Nên
3A ≥
, với mọi x
∈
R
Vậy min A = 3 khi x =1.
b) B
( ) ( ) ( ) ( )
1 6 3 2 2013x x x x= − + + + −

( ) ( )
2 2
5 6 5 6 2013x x x x= + − + + −

9
Đặt a =
2

5x x+
Khi đó B =
( ) ( )
2 2
6 6 2013 36 2013 2049a a a a− + − = − − = −
Nên B
≥
- 2049
Vậy min B = -2049 khi a = 0
( )
2
5 0 5 0 0; 5x x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ = = −
.
c) C
( ) ( )
4 3 2 2
6 9 6 9 2x x x x x= − + − + − + − +

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
2
2
2
6 9 6 9 2
1 3 2

1 3 2
x x x x x
x x
x x
= − − + − − + +
= − − − +
= − + − +
Nên
2C
≤
, với mọi x
∈
R
Vậy max C = 2 khi x =3.
Ví d= 2:
Cho x, y thỏa
( )
2 2
2 8 2 12 0x xy x y y+ + + + + =
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của: S= x+y+1
Giải
Ta có
( )
2 2
2 8 2 12 0x xy x y y+ + + + + =

( )
2 2 2
2 8 12x xy y x y y⇔ + + + + + = −


( ) ( )
2
2. .4 16 4 0x y x y⇔ + + + + − ≤
( vì
2
0y− ≤
)

( )
2
4 4
4 2
2 4 2
5 1 1
5 1
x y
x y
x y
x y
S
⇔ + + ≤
⇔ + + ≤
⇔ − ≤ + + ≤
⇔ − ≤ + + ≤ −
⇔ − ≤ ≤ −
Vậy min S= -5 khi x= -6; y=0;
maxS= -1 khi x=-2; y=0.
e) Phương pháp 6
p dụng bất đẳng thức Cauchy

Với a
≥
0; b
≥
0 thì a + b
≥
2
ab
(1)
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b;
Nếu a.b = k (không đổi) thì min(a + b) = 2
k
, khi a = b;
Nếu a + b = k (không đổi) thì max( a.b) =
4
2
k
, khi a = b.
* Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng
A =
( )f x
+
( )g x
bậc f(x) bằng bậc của g(x);
Phương pháp giải: Tìm ĐKXĐ, bình phương hai vế của biểu thức, sau
đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy: với a
≥
0 ,b
≥
0 thì

2 .a b a b≤ +
.
Ví d= : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
15 6 3 15x x+ + −
Giải

10
ĐKXĐ:
2 1
5 5
x
−
≤ ≤
Ta có : A
2
=
( ) ( )
15 6 2 15 6 3 15 3 15x x x x+ + + − + −
A
2
=
( ) ( )
9 2 15 6 3 15x x+ + −
p dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
15 6x
+
và
3 15x
−
,

ta có :
( ) ( )
2 15 6 3 15 15 6 3 15x x x x+ − ≤ + + −
( ) ( )
2 15 6 3 15 9x x⇔ + − ≤
Do đó : A
2

≤
9 + 9

⇔
A
2

≤
18
Dấu “ = “ xảy ra khi 15x + 6 = 3 -15x
⇔
x=
1
10
−
Vậy max A =
18
khi x =
1
10
−
.

* Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng
A=
( )
( )
f x a
g x
+
bậc f(x) bằng bậc g(x) .
Phương pháp giải:
p dụng bất đẳng thức Cauchy: với a
≥
0 ,b
≥
0 thì
( )
1
2
ab a b≤ +
;
Chọn hai số không âm là
( )
à
f x a
v a
a
+
để áp dụng bất đẳng thức
Cauchy như trên.
Ví d=: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) A =

9
5
x
x
−
b) B =
2
2
4 7
6
x
x
−
Giải
a) ĐKXĐ: x
≥
9
p dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
9
3
x −
và 3, ta có:
9 1 9
.3 3
3 2 3
x x− −
 
≤ +
 ÷
 

1
9 .
2 3
x
x⇔ − ≤
9
6
5 5
x
x
x x
−
⇒ ≤
( Vì
x 9≥
nên
5 0x >
)
9 1
5 30
x
x
−
⇔ ≤

11
Dấu ‘=’ xảy ra khi
9
3 18
3

x
x
−
= ⇔ =

Vậy max A =
1
30
khi x = 18
b) ĐKXĐ : x
7
2
−
≤
và x
7
2
≥
p dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
2
4 7
à 7
7
x
v
−
, ta
có:
2 2
4 7 1 4 7

. 7 . 7
2
7 7
x x
 
− −
≤ +
 ÷
 
2
2
2
2
1 4
4 7 .
2
7
2
4 7
7
x
x
x
x
⇔ − ≤
⇔ − ≤
( )
2
2
2

2 2
2
2
2
4 7
7
ì 6x 0
6 6
4 7 1
6
3 7
x
x
v
x x
x
x
−
⇒ ≤ >
−
⇔ ≤
Dấu ‘=’ xảy ra khi
2
2 2
4 7 7 7 7
7 4 7 7 ;
2 2 2
7
x
x x x x

−
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = = −

Vậy max B =
1
3 7
khi x
7 7
;
2 2
x= = −
* Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng A = f(x).g(x),
bậc f(x) bằng bậc g(x).
Phương pháp giải : Biến đổi f(x) . g(x) = k (k là hằng số) ;
p dụng bất đẳng thức Cauchy
a.b
( )
4
2
ba +
≤
hoặc a + b
ba.2≥
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b.
Ví d= 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=
( )
1 1 1
a b c
a b c

 
+ + + +
 ÷
 
với a, b, c > 0
Giải
A
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . .a b c
a b c a b c a b c
     
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     

1 1 1
3
a a b b c c
b c a c a b
a b a c b c
b a c a c b
= + + + + + + + +
     
= + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     


12
p dụng bất đẳng thức Cauchy


2 . 2 1 2
2 . 2 1 2
2 . 2 1 2
a b a b
b a b a
a c a c
c a c a
b c b c
c b c b
+ ≥ = =
+ ≥ = =
+ ≥ = =
Nên
3 2 2 2A
≥ + + +

9A⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra khi
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
0

2
2 2 0
2
0
2
a b
b a
a b
a b ab
a c
a c ac a c a b c
c a
b c bc
b c
b c
c b

+ =


− =

+ =



 
+ = ⇔ + = ⇔ − = ⇔ = =
  
  

+ =
− =

 

+ =


Vậy min A =9 khi a = b = c.
Ví d= 2:
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=
1 1 1
a b c
+ +
Giải
Ta có: a+b+c = 3
1
3
3 3 3
1
3
1
3
3
a b c
a b c a b c a b c
A
a b c
a b c a b c a b c

A
a b c
b a c a c b
A
a b a c b c
+ +
⇒ =
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
 
= + +
 
 
 
     
= + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
p dụng bất đẳng thức Cauchy

2 . 2 1 2
2 . 2 1 2
a b a b
b a b a
a c a c
c a c a
+ ≥ = =

+ ≥ = =
2 . 2 1 2
b c b c
c b c b
+ ≥ = =
Nên A
≥
( )
1
3 2 2 2
3
+ + +

3A⇔ ≥

13
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy min A= 3 khi a = b = c = 1
VI. KT QUẢ NGHIÊN CỨU
- Sau khi áp dụng các phương pháp trên ở lớp 8 và lớp 9 trường THCS
Nguyễn Văn Trỗi thì phần nhiều học sinh từ khá trở lên đã làm được các dạng
bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức từ mức độ đơn giản
đến khó, và khi gặp dạng toán này học sinh không còn bỡ ngỡ mà tỏ ra rất
thích thú tìm hiểu;
- Sau đây là kết quả nghiên cứu cụ thể khi cho các học sinh khá, giỏi
của hai khối lớp 8 và 9 thực hiện bài khảo sát trước khi thực hiện đề tài và sau
khi thực hiện đề tài :
+ Kết quả thực hiện bài khảo sát của học sinh khá, giỏi của hai khối lớp
8 và 9 trước khi thực hiện đề tài :
Khối

Tổng số
học sinh
Giỏi Khá TB Yếu TB trở lên
8 47
5
( 10,6% )
10
( 21,3% )
12
( 25,5% )
20
(42,6% )
27
( 57,4% )
9 43
6
( 13,9% )
12
( 27,9% )
11
( 25,6% )
14
(32,6% )
29
( 67,4% )
+ Kết quả thực hiện bài khảo sát của học sinh khá, giỏi của hai khối lớp
8 và 9 sau khi thực hiện đề tài :
Khố
i
Tổng số

học sinh
Giỏi Khá TB Yếu TB trở lên
8 47
10
( 21,3% )
19
( 40,4% )
15
( 31,9% )
3
( 6,4% )
44
( 93,6% )
9 43
11
( 25,6% )
15
( 34,9% )
13
( 30,2% )
4
( 9,3% )
39
( 90,7% )
* Hạn chế
Các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức
thường rất đa dạng và đặc sắc nhưng cũng rất khó cho học sinh do tâm lý các
em ngại đi sâu và tìm tòi nếu không hiểu rõ bản chất dạng toán trên. Và sáng
kiến này cũng không thể đưa ra hết những bài tập đặc sắc của dạng toán này.
VII. KT LUẬN

Trên đây là một số phương pháp và dạng bài tập mà bản thân tôi đã
tổng hợp được qua quá trình giảng dạy. Thật ra đây là những bài toán ta có
thể bắt gặp ở các sách và đề thi. Tuy nhiên, với khả năng học hỏi và sức tiếp
thu của các học sinh tại trường THCS Nguyễn Văn Trỗi, thì việc phân chia
các dạng bài tập như trên chỉ mang tính tương đối cho dễ tìm. Trong mỗi bài
toán tùy theo cách nhìn ta sẽ có cách giải tương ứng. Để học sinh có được
cách giải tương ứng của mỗi bài toán thì trước tiên học sinh cần nắm chắc

14
kiến thức cơ bản, nắm được các phương pháp giải các dạng bài tập tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức như đã trình bày ở trên. Với suy nghĩ
như vậy tôi tin tưởng học sinh sẽ không còn bỡ ngỡ lúng túng khi gặp các
dạng toán như thế này.
Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để sáng kiến này được mở
rộng hơn nữa.
VIII. ĐỀ NGHỊ
* Về phía giáo viên :
- Giáo viên cần phải không ngừng rút ra bài học kinh nghiệm từ quá
trình giảng dạy của bản thân, học hỏi và thường xuyên trao đổi kinh nghiệm
dạy học của đồng nghiệp qua các tiết dự giờ, thao giảng, sinh hoạt chuyên
môn;
- Trong quá trình dạy học, giáo viên cần giúp học sinh phát hiện kịp thời
các lỗi sai khi giải bài tập và cần phải uốn nén, khắc phục ngay lỗi sai đó;
- Với môn học khó và khô như môn Toán thì bản thân người thầy phải
không ngừng tìm tòi, đổi mới các phương pháp dạy học để lựa chọn phương
pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh; từ đó có thể truyền cảm
hứng học tập cho học sinh để học sinh cảm thấy say mê và yêu thích việc học.
* Về phía học sinh :
- Để thực hiện tốt việc học tập nói chung và học bộ môn Toán nói riêng
thì học sinh cần phải kiên trì rèn luyện, chịu khó học hỏi, việc học phải đi đôi

với thực hành, đồng thời học sinh cần thường xuyên tìm tòi các dạng toán mới
lạ để rèn luyện tư duy sáng tạo, phát triển trí tuệ;
- Trong quá trình học tập, học sinh cần tham gia xây dựng bài sôi nổi để
tự tạo ra sự hứng thú học tập cho bản thân, cũng cần mạnh dạn đưa ra các câu
hỏi hoặc thắc mắc về những vấn đề mình chưa hiểu để từ đó hoàn thiện kiến
thức cho bản thân;
- Học sinh cần phải dành nhiều thời gian cho việc giải bài tập ở nhà, có
đầy đủ các dụng cụ học tập và không chỉ học tập ở thầy cô mà học sinh cần
phải thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để cùng nhau khám phá
kiến thức, từ đó nâng cao kiến thức cho bản thân.
Duy Nghĩa, ngày 29 tháng 03 năm 2013
TC GIẢ
Trần Thị Dung


15
IX. TÀI LIU THAM KHẢO
STT Tác giả Tên ti liệu
Nh xuất
bản
Năm xuất
bản
1
- Bùi Văn Tuyên. Bài tập nâng cao và
một số chuyên đề
Toán 8
NXB
Giáo dục 2006
2
- Tôn Thân. Bài tập nâng cao

Toán 8
NXB
Giáo dục
2011
3
- Tôn Thân. Bài tập nâng cao
Toán 9
NXB
Giáo dục
2011
4
- Phan Văn Đức;
- Nguyễn Hoàng
Khanh;
- Lê Văn Trường.
Bồi dưỡng và phát
triển Toán 9
NXB
Đà Nẵng
2005
5
- Hà Văn Chương;
- Trần Văn Toàn.
Hướng dẫn luyện
thi vào lớp 10
NXB
Thanh Hóa
2006
6
- Vũ Hữu Bình. Toán nâng cao Đại

số 8
NXB
Giáo dục
2006
7 Một số đề thi học sinh giỏi cấp huyện và đề thi tuyển sinh vào lớp 10

16
X. MỤC LỤC
TT NỘI DUNG Trang
1 I. Tên đề tài 1
2 II. Đặt vấn đề 1
3 1. Lí do chọn đề tài 1
4 2. Giới hạn 1
5 3. Đối tượng 1
6 III. Cơ sở lí luận 1
7 IV. Cơ sở thực tiễn 2
8 V. Nội dung nghiên cứu 2
9 1. Cơ sở lí thuyết 2
10 2. Nội dung 3
11 VI. Kết quả nghiên cứu 16
12 VII. Kết luận 16
13 VIII. Đề nghị 17
14 IX. Tài liệu tham khảo 18
15 X. Mục lục 19
16 XI. Phiếu đánh giá 20
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIT NAM

17
Mẫu SK1
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

PHIU ĐNH GI, XP LOẠI SNG KIN KINH NGHIM
Năm học: 2012 - 2013
I. Đánh giá xếp loại của HĐKH Trường THCS
1. Tên đề tài:

2. Họ và tên tác giả:
3. Chức vụ: Tổ:
4. Nhận xét của Chủ tịch HĐKH về đề tài:
a) Ưu điểm:


b) Hạn chế:


5. Đánh giá, xếp loại:
Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Trường THCS Nguyễn Văn
Trỗi thống nhất xếp loại :
Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH
(Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)



II. Đánh giá, xếp loại của HĐKH Phòng GD&ĐT
Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Phòng GD&ĐT
thống nhất xếp loại:
Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH
(Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)




III. Đánh giá, xếp loại của HĐKH Sở GD&ĐT Quảng Nam
Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Phòng GD&ĐT
thống nhất xếp loại:
Những người thẩm định: Chủ tịch HĐKH
(Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)




18