ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 1
A. LÍ DO CHỌN ðỀ TÀI:

Trong xu thế ñổi mới phương pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và ñào tạo trong
những năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài toán
ñể từ ñó có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo ñược các giáo viên chú ý và ñược Bộ khuyến
khích nhất. Vì thế hầu hết các giáo viên ñều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên
ñề về một mảng kiến thức nào ñó trong trường phổ thông.
Bài toán ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
trong chương trình lớp 11 là một trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa ñựng nhiều tính
tư duy logic phù hợp nhiều ñối tượng học sinh từ Trung bình cho ñến học sinh Khá giỏi. ðể
làm bài toán dạng này ñòi hỏi phải nắm vững một số công thức liên quan ñến tổ hợp và các
tính chất của nhị thức Newton. ðây là một trong những dạng toán chiếm tỷ lệ không nhiều
trong chương trình nhưng có rất nhiều dạng toán liên quan. Do ñó, tôi chỉ trình bày trong
chuyên ñề một phần ứng dụng là tính tổng của biểu thức mà trong một số ñề thi tuyển sinh
ñại học, cao ñẳng thường gặp.
Là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung ñối tượng học sinh ở
mức Trung bình khá (một số ít là HSG). Do ñó, chuyên ñề này chỉ ñược viết ở mức ñộ tư
duy vừa phải, phân loại bài tập từ dễ ñến khó ñể học sinh tiếp cận một cách ñơn giản nhằm
từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn ñề. Qua ñó các em có thể hoàn
thành tốt bài kiểm tra, ñề thi học kỳ cũng như ñề thi tuyển sinh ðHCð.

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 2
B. NỘI DUNG CHUYÊN ðỀ:
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
1. Công thức:


n N*
∈
( )

2. Các tính chất:
2.1. Trong khai triển (a + b)
n
có n + 1 số hạng.
Nếu n là số chẵn thì có 1 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ
n
+1
2
.
Nếu n là số lẻ thì có 2 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ
n +1
2
và
n +1
+1

2

2.2. Mỗi số hạng có tổng số mũ của a và b là n.
2.3. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là:
k n-k k
k+1 n
T = C a b

2.4.
0 1 2 3 n n n
n n n n n
C + C + C + C + + C = (1+1) = 2

2.5.
0 1 2 3 n n n
C - C + C - C + + (-1) C = (1-1) = 0
n n n n n

II. CÁC DẠNG TÍNH TỔNG CỦA MỘT BIỂU THỨC:
1. Dạng 1:
VD1: Khai triển (1 + x)
n
. Từ ñó tính:
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
7 7 7 7 7 7 7
S =1- 2C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C

Giải:
Ta có:
(

)
n
0 1 2 2 n n
n n n n
1 + x = C + C x + C x + + C x

Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược:
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
7 7 7 7 7 7 7
7
S =1- 2C + 2 C -2 C + 2 C -2 C + 2 C -2 C
= (-1) = -1

VD2: Tìm số tự nhiên n thỏa:
n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n 6021
n n n n
5 C + 5 3C + 5 3 C + +3 C = 2

Giải
Ta có:
(
)
n
0 n 1 n 2 n - 2 2 n n
n n n n
a + b = C a + C a b + C a b + + C b

Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên:
n n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n
n n n n

8 = 5 C +5 3C +5 3 C + +3 C
⇒
⇒⇒
⇒

n 6021 n 2007
8 = 2 8 =8 n = 2007
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔

(
)
n
0 n 1 n-1 k n-k k n-1 n-1 n n
n n n n n
a +b =C a +C a b+ +C a b + +C ab +C b

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 3
Vậy n =2007.
VD3: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006) (HS tự giải)
Chứng minh:
0 n 1 n-1 2 n-2 n n 0 1 2 n
n n n n n n n n
C 3 -C 3 + C 3 + (-1) C = C +C + C + + C

VD4: (ðề ðH - Khối D - 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho:
0 1 2 n n

n n n n
C + 2C + 4C + + 2 C = 243

(Hs tự giải VD3)
2. Dạng 2:
VD5: CMR:
0 2 4 2n 1 3 5 2n-1 2n-1
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
C + C + C + +C = C + C +C + + C = 2

Giải
Ta có:
0 1 2 3 2n-1 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
C - C + C - C + -C + C = 0


0 2 2n 1 3 2n-1
2n 2n 2n 2n 2n 2n
C +C + +C = C +C + +C
⇔
(1)
Ta có:
0 1 2 3 2n-1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
0 1 2 3 2n-1 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
0 2 2n 2n
2n 2n 2n
0 2 2n 2n-1

2n 2n 2n
C + C + C + C + + C + C = 2

C - C + C - C + - C + C = 0
2(C + C + + C ) = 2
C + C + + C = 2 (2)






⇒
⇔

(1), (2) suy ra:
0 2 4 2n 1 3 5 2n-1 2n-1
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
C + C + C + +C = C + C +C + + C = 2

VD6: Tính tổng:
a)
0 2 4 2008
2008 2008 2008 2008
S = C +C +C + +C

b)
0 2 2 4 4 2010 2010
2011 2011 2011 2011
S = C + 3 C + 3 C + +3 C


c)
1 3 3 5 5 2009 2009
2010 2010 2010 2010
S = 3.C +3 .C +3 .C + +3 .C

Giải
a) Ta có:
( )
0 1 2 3 2007 2008 2008
2008 2008 2008 2008 2008 2008
0 1 2 3 2007 2008
2008 2008 2008 2008 2008 2008
0 2 2008 2008
2008 2008 2008
0 2 2008 2007
2008 2008 2008
C + C + C + C + + C + C = 2

C - C + C - C + - C + C = 0
2 C + C + + C = 2
C + C + + C = 2






⇒
⇔


Vậy
2007
S = 2

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 4
b) Ta có:
0 1 2 2 3 3 2010 2010 2011 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011 2011
0 1 2 2 3 3 2010 2010 2011 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011 2011
0 2 2 2010
2011 2011 201
C + 3C + 3 C + 3 C + + 3 C + 3 C = 4

C - 3C - 3 C - 3 C - + 3 C - 3 C = -2
2 C + 3 C + + 3 C






⇒
( )
( ) ( )
( )
2010 2011 2011
1

0 2 2 2010 2010 2011 2011
2011 2011 2011
0 2 2 2010 2010 2010 2011
2011 2011 2011
= 4 - 2
2 C + 3 C + + 3 C = 2 2 -1
C + 3 C + + 3 C = 2 2 -1
⇔
⇔

Vậy
(
)
2010 2011
2 2 -1

c) Tương tự (HS tự giải)
VD7: (ðH Vinh – D-2001)
CMR:
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001
C + C 3 + C 3 + +C 3 = 2 (2 -1)

Giải
Ta có:
(
)
2001
0 1 2 2 3 3 2000 2000 2001 2001
2001 2001 2001 2001 2001 2001

1+3 =C +C 3+C 3 +C 3 + +C 3 +C 3

(
)
2001
0 1 2 2 3 3 2000 2000 2001 2001
2001 2001 2001 2001 2001 2001
1-3 = C -C 3+C 3 -C 3 + +C 3 -C 3

Cộng vế theo vế ta ñược:

(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
)
2001 2001 0 2 2 4 4 2000 2000
2001 2001 2001 2001
2001 2001 0 2 2 4 4 2000 2000
2001 2001 2001 2001
2000 2001 0 2 2 4 4 2000 2000
2001 2001 2001 2001
4 - 2 = 2 C + C 3 + C 3 + + C 3
2 (2 -1) = 2 C + C 3 +C 3 + + C 3

2 (2 -1) = C + C 3 + C 3 + + C 3

⇔
⇔⇔
⇔
⇔
⇔⇔
⇔

Vậy:
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001
C + C 3 + C 3 + +C 3 = 2 (2 -1)
(ñpcm)
VD8: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006) (HS tự giải)
Tìm số tự nhiên thỏa mãn hệ thức sau:
(
((
(
)
))
)
0 2 2 2k 2k 2n-2 2n-2 2n 2n 15 16
2n 2n 2n 2n 2n
C + C 3 + + C 3 + +C 3 + C 3 = 2 2 +1

3. Dạng 3:
VD9: Tính tổng:
0 1 3 n
2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1

S = C + C + C + + C

Giải
Ta có:
k n-k
n n
C = C

Suy ra:
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 5

0 2n+1
2n+1 2n +1
1 2n
2n+1 2n +1
n n+1
2n+1 2n +1
0 1 n n+1 2n 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1 2n +1 2n +1 2n+1
C = C
C = C


C = C
C + C + + C = C + + C + C























⇒
⇒⇒
⇒

Mà:
0 1 n n+1 2n 2n +1 2n +1
2n+1 2n+1 2n+1 2n +1 2n+1 2n+1
C + C + + C + C + + C + C = 2

(
((
(

)
))
)
0 1 n 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1
0 1 n 2n
2n+1 2n+1 2n+1
2 C + C + + C = 2
C + C + + C = 2
⇒
⇒⇒
⇒
⇔
⇔⇔
⇔

Vậy
2n
S = 2

VD10: Tính tổng:
0 1 3 1005
201 1 201 1 201 1 201 1
S = C + C + C + + C

(HS tự giải)
VD11: (ðề ðH - Khối A - 2006)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niutơn của

n
7
4
1
+ x
x
 
  
 
 
  
 
 
  
 
, biết
rằng
1 2 n 20
2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1
C + C + + C = 2 -1
.
4. Dạng 4:
VD12: (ðH Luật TPHCM – A-2001)
CMR:
1 n-1 2 n-2 3 n-3 n n-1
n n n n
C 3 + 2.C 3 + 3.C 3 + + n.C = n.4

Giải
Ta có:

(
)
n
0 n 1 n-1 2 n-2 2 3 n-3 3 n n
n n n n n
3 + x = C 3 + C 3 x + C 3 x + C 3 x + + C x

Lấy ñạo hàm hai vế:

(
)
n-1
n-1 1 n-2 2 n-3 2 3 n-1 n
n n n n
n 3 + x = 3 C + 2.3 C + 3.3 x C + + nx C
⇒

Thế x = 1 vào khai triển trên:
(
)
n-1
n-1 1 n-2 2 n-3 3 n
n n n n
n 3+1 = 3 C + 2.3 C +3.3 C + + nC
⇒

Vậy:
1 n-1 2 n-2 3 n-3 n n-1
n n n n
C 3 + 2.C 3 + 3.C 3 + + n.C = n.4

(ðpcm)
VD13: Giải bất phương trình:
1 2 3 n
n n n n
C + 2C +3C + + nC n(7-n)
≤
≤≤
≤

n *
∈
ℕ
( )

Giải
Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 + x = C + C x + C x + C x + + C x

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 6
Lấy ñạo hàm hai vế:
(
)
n-1
1 2 2 2 n-1 n

n n n n
n 1 + x = C + 2xC + 3x C + + nx C
⇒

Thế x = 1 vào khai triển trên:
n-1 1 2 2 n
n n n n
n.2 = C + 2C + 3C + + nC
⇒

n-1
n-1
n.2 n.(7 - n)
2 + n 7 n 3
⇔ ≤
⇔ ≤ ⇔ ≤
.
Do
n *
∈
ℕ
nên
{
}
n 1;2;3
∈

VD14: (ðH Tiền Giang – 2003)
CMR:
1 3 2n-1 2 4 2n

2n 2n 2n 2n 2n 2n
C + 3C + +(2n -1)C = 2C + 4C + + 2nC

Giải
Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 3 3 4 4 2n-1 2n-1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
1- x = C - C x + C x - C x + C x - - C x + C x

Lấy ñạo hàm hai vế ta ñược:
(
)
n-1
1 2 3 2 4 3 2n-1 2n-2 2n 2n-1
2n 2n 2n 2n 2n 2n
n 1-x = -C + 2C x -3C x + 4C x - - (2n-1)C x + 2nC
x
⇒

Thế x = 1 ta ñược:
1 2 3 4 2n -1 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
1 3 2n-1 2 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
- C + 2C - 3C + 4C - - (2n -1)C + 2nC = 0
C + 3C + + (2n -1)C = 2C + 4C - + 2nC


⇔

Vậy:
1 3 2n-1 2 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
C + 3C + +(2n -1)C = 2C + 4C + + 2nC

VD15: Tính tổng:
0 2 2 4 4 2010 2010
2010 2010 2010 2010
S = 2010.C + 2008.C 2 + 2006.C 2 + + C 2

Giải: Ta có:
(
)
2010
0 2010 1 2009 2 2008 2 3 2007 3 2009 2009 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010
x+2 =C x +C x 2+C x 2 +C x 2 + +C x2 +C 2

(
)
2010
0 2010 1 2009 2 2008 2 3 2007 3 2009 2009 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010
x-2 =C x -C x 2+C x 2 -C x 2 + -C x2 +C 2

Cộng vế theo vế ta ñược:
(
)

(
)
2010 2010
0 2010 2 2008 2 2010 2010
2010 2010 2010
x + 2 + x - 2 = 2(C x + C x 2 + + C 2 )

Lấy ñạo hàm 2 vế ta ñược:
(
)
(
)
2009 2009
0 2009 2 2007 2 2010 2010
2010 2010 2010
2010. x+2 +2010. x-2 = 2(2010C x +2008C x 2 + +C
2 )

Thế x = 1 ta ñược:
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 7
2009 0 2 2 2010 2010
2010 2010 2010
2009 0 2 2 2010 2010
2010 2010 2010
2010.3 - 2010 = 2(2010C +2008C 2 + +C 2 )
1005.(3 -1) = 2010C + 2008C 2 + +C 2⇔

Vậy:
2009

S =1005.(3 -1)

5. Dạng 5:
VD16: Tính tổng:
2 3 2010
2010 2010 2010
S =1.2.C - 2.3.C + + 2009.2010.C

Giải
Ta có:
(
)
2010
0 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
1- x = C - C x + C x - C x + + C x
(1)
Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược:
(
)
2009
1 2 3 2 2010 2009
2010 2010 2010 2010
-2010 1-x =-C +2.C x-3.C x + + 2010.C x
⇒
(2)
Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược:
(
)
2008

2 3 2010 2008
2010 2010 2010
2009.2010. 1-x =1.2.C -2.3.C x+ + 2009.
2010.C x
⇒
(3)
Thế x = 1 vào hai vế của (3) ta ñược:
2 3 2010
2010 2010 2010
0 =1.2.C - 2.3.C + + 2009.2010.C

Vậy
S = 0

VD17: Tính tổng:
2 1 2 2 2 2011
2011 2011 2011
S =1 C + 2 C + + 2011 C

Giải
Ta có:
(
)
2011
0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1+ x = C + C x + C x + C x + + C x
(1)
Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược:
(

)
2010
1 2 3 2 2011 2010
2011 2011 2011 2011
2011 1+x =C +2.C x+3.C x + + 2011.C x
⇒
(2)
Nhân x vào hai vế của (2) ta ñược:
(
)
2010
1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011
2011x 1+x =C x+2.C x +3.C x + + 2011.C x
⇒
(3)
Lấy ñạo hàm hai vế của (3) ta ñược:
(
)
(
)
2009
1 2 2 2 3 2 2 2011 2010
2011 2011 2011 2011
2011 1+2011x 1+x =C +2 .C x+3.C x + + 2011.
C x
⇒
(4)
Thế x = 1 vào hai vế của (4) ta ñược:
Vậy

2009
S = 2011.2012.2

6. Dạng 6:
VD18: CMR:
(
((
( )
))
)
0 1 2 n n+1
n n n n
1 1 1 1
C + C + C + + C = 2 -1
2 3 n +1 n +1

Giải
Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 + x = C + C x + C x + C x + + C x

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 8

( )
( )

( )
( )
1 1
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
2 3 n+1
n+1
0 1 2 n
n n n n
n+1 0 1 2 n
n n n n
1+ x dx = C + C x + C x + C x + + C x dx
1 1
1 x x x
1+ x = xC + C + C + + C
0 0
n +1 2 3 n +1
1 1 1 1
2 -1 = C + C + C + + C (dpcm)
n +1 2 3 n +1
⇒
 
⇔
 
 
⇔
∫ ∫


VD19: (ðH ðà Nẵng – A-2001)
Tính tổng:
0 1 2 2 3 n n+1
n n n n
1 1 1
S = C 2 + C 2 + C 2 + + C 2
2 3 n +1

Giải
Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1+ x = C + C x +C x + C x + + C x


( )
( )
( )
( )
2 2
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
2 3 n+1
n+1
0 1 2 n

n n n n
n+1 0 1 2 2 3 n n+1
n n n n
1+ x dx = C + C x + C x + C x + + C x dx
2 2
1 x x x
1+ x = xC + C + C + + C
0 0
n +1 2 3 n +1
1 1 1 1
3 -1 = C 2 + C 2 + C 2 + + C 2
n +1 2 3 n +1
⇒
 
⇔
 
 
⇔
∫ ∫

Vậy:
( )
n+1
1
S = 3 -1
n +1

VD20: (B-2003) Cho n là số nguyên dương.
Tính tổng:
2 3 n+1

0 1 2 n
n n n n
2 -1 2 -1 2 -1
S = C + C + C + + C
2 3 n +1

Giải
Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1+ x = C + C x +C x + C x + + C x


( )
( )
( )
( )
2 2
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 1
2 3 n+1
n+1
0 1 2 n
n n n n
2 3 n+1

n+1 n+1 0 1 2 n
n n n n
1+ x dx = C + C x + C x + C x + + C x dx
2 2
1 x x x
1+ x = xC + C + C + + C
1 1
n +1 2 3 n +1
1 2 -1 2 -1 2 -1
3 - 2 = C + C + C + + C
n +1 2 3 n +1
⇒
 
⇔
 
 
⇔
∫ ∫

Vậy:
( )
n+1 n+1
1
S = 3 - 2
n +1

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 9
7. Dạng 7:
VD21: Tìm 4 chữ số cuối cùng của 11

211
.
Giải
Ta có: 11
211
= (10 + 1)
211
=
0 211 1 210 208 3 209 2 210 211
211 211 211 211 211 211
C 10 +C 10 + +C 10 +C 10 +C 10+C

Bốn chữ số cuối của 11
200
phụ thuộc vào tổng của bốn chữ cuối của bốn số hạng cuối trong
khai triển: 5000 + 5500 + 2110 + 1 = 12.611
Vậy 4 chữ số cuối là 2611
VD22: Tìm 3 chữ số cuối cùng của
3
15
9
. (HS tự giải)
8. Dạng 8: Một số dạng khác:
VD23: Tính tổng sau:
0 2006 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 0
2007 2007 2007 2006 2007 2005 2007 2007-k 2007 1
S=C C +C C +C C + +C C + +C C

Giải
Ta có:

(
((
( )
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
k 2006-k
2007 2007-k
2007 - k !
2007! 2007!
C C = =
k! 2007 -k ! 2006 -k ! k! 2006 - k !


(
((

( )
))
)
k
2006
2006!
= 2007 = 2007C
k! 2006 - k !

Suy ra:
(
)
=
0 1 2006 2006
2006 2006 2006
S = 2007 C + C + + C 2007.2

VD24: (ðH Kinh tế TPHCM – 2006)
Tìm số tự nhiên n thỏa:
0 2 4 2n
4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2
C + C + C + + C = 256

Giải
Ta có:
0 1 2n 2n +1 2n +2 4n +1 4n + 2 4n +2
4n +2 4n +2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n +2 4n +2
C + C + + C + C + C + + C + C = 2



0 1 2n 2n +1 2n + 2 4n +1 4n + 2
4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2
C - C + + C - C + C - - C + C = 0

Cộng vế theo vế ta ñược:
0 2 2n 2n + 2 4n + 2 4n + 2
4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2
0 2 2n 2n + 2 4n 4n + 2 4n +1
4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2
2(C + C + + C + C + + C ) = 2
C + C + + C + C + + C + C = 2 (1)

⇔
⇔⇔
⇔
Mà:
k m -k
m m
C = C

Do ñó:
0 4n + 2
4n + 2 4n + 2
C = C

2 4n
4n + 2 4n + 2
C = C

…

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 10
2n 2n + 2
4n + 2 4n + 2
C = C


0 2 2n 4n +1
4n + 2 4n + 2 4n + 2
0 2 2n 4n
4n + 2 4n + 2 4n + 2
4n 4n 8
(1) 2(C + C + + C ) = 2
C + C + + C = 2
2 = 256 2 = 2 n = 2
⇔
⇔⇔
⇔
⇔
⇔⇔
⇔
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔

Vậy: n = 2
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:
a) Trong khai triển
102

)
1
2(
x
x −
. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8

b) Tìm 2 số hạng ñứng giữa trong khai triển
153
)( xyx −

c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển
(
)
6
12
3
xx +
bằng 200
d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển
(
)
6
12
3
2
xx +
bằng 150
e) Khai triển: (1 + x)

5
. Từ ñó tính tổng sau:
S
1 2 3 4 5
5 5 5 5 5
2 3 4 5
1 1 1 1 1
=1+ C + C + C + C + C
2 2 2 2 2

f) Tìm hệ số của số hạng thứ tám trong khai triển của (x
2
– )
12
. Và tìm số hạng
không chứa x trong khai triển của biểu thức trên.
g) Khai triển: (1 + x)
5
. Từ ñó tính tổng S
1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5
=1-3C +3 C -3 C +3 C -3 C

h) Tìm hệ số của x
25
y
10
trong khai triển (x
3
+ xy)

15

i) Tìm hệ số của x
35
y
10
trong khai triển (x + x
3
y)
15

j) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y )
6
.
k) Cho nhị thức (2x – 3x
2
)
7
. Tìm hệ số của x
10
.
Bài 2: Khai triển (1 + x)
n
. Từ ñó tính
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
7 7 7 7 7 7 7
S =1- 2C + 2 C -2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C

Bài 3: Giải phương trình:
n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n 6021

n n n n
5 C + 5 3C +5 3 C + +3 C = 2

Bài 4: Giải bất phương trình:
1 2 3 n
n n n n
C + 2C +3C + + nC n(7- n)
≤
≤≤
≤

Bài 5: CMR:
(
((
( )
))
)
0 1 2 n n+1
n n n n
1 1 1 1
C + C + C + + C = 2 -1
2 3 n +1 n +1

Bài 6:
Trong khai triển
(
)
16
4 3
2 + 3

có bao nhiêu số hạng nguyên ?
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 11
Bài 7: Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển
(
)
6
12
3
2
xx +
bằng 150.
Bài 8: Tính tổng
2 2 3 3 n+1 n+1
0 1 2 n
n n n n
5 -3 5 -3 5 -3
S = 2C + C + C + + C
2 3 n +1

Bài 9: Biết tổng hệ số của 3 số hạng ñầu tiên trong khai triển
n
3
15
28
1
x x +
x
 
 

 
bằng 79. Hãy
tìm số hạng không chứa x.
Bài 10: Trong khai triển của nhị thức
4
n
1
P = x +
2 x
 
 
 
, ba hệ số ñầu theo thứ tự lập thành
cấp số cộng. Tìm các số hạng có lũy thừa của x là số nguyên.
Bài 11: Chứng minh rằng:
a)
0 1 2 2 n n n
n n n n
C +9C +9 C + +9 C = 10

b)
n 0 1 2 n n
n n n n
2 n
1 1 1
5 C + C + C + + C = 6
5 5 5
 
  
 

 
  
 
 
  
 

c)
0 2 4 2n 1 3 5 2n-1 2n-1
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
C + C + C + +C = C + C +C + + C = 2

d)
0 2 4 2008 2007
2008 2008 2008 2008
C +C +C + +C = 2

e)
(
((
(
)
))
)
0 2 2 4 4 2006 2006 2006 2007
2007 2007 2007 2007
C +3 C +3 C + +3 C = 2 2 -1

f)
1 3 3 5 5 2009 2009 2009 2010

2010 2010 2010 2010
3.C + 3 .C +3 .C + +3 .C = 2 .(2 -1)

Bài 12: Chứng minh rằng:
a)
1 2 3 n n-1
n n n n
C + 2C +3C + + nC = n.2

b)
1 2 3 n n
n n n n
C - 2C +3C - + (-1) nC = 0

c)
0 1 2 3 n n-1
n n n n n
n.C -(n -1)C + (n -2)C - (n -3)C + + (-1) C = 0

d)
1 3 2n-1 2 4 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
C + 3C + +(2n -1)C = 2C + 4C + + 2nC

Bài 13: Chứng minh rằng:
n
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 (-1) 1
C - C + C - C + + C =

2 3 4 n +1 n +1

Bài 14: (ðề ðH - Khối A - 2002)
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 12

Bài 15: (ðề ðH - Khối D - 2002)

Bài 16: (ðề ðH - Khối A - 2003)

Bài 17: (ðề ðH - Khối B - 2003)

Bài 18: (ðề ðH - Khối D - 2003)

Bài 19: (ðề ðH - Khối A - 2004)

Bài 20: (ðề ðH - Khối D - 2004)

Bài 21: (ðề ðH - Khối A - 2006)


ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 13
Bài 22: (ðề Cð ðiện lực TPHCM - 2006)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
2
3
1
x +

x
 
 
 
, biết rằng
1 3
n n
C +C =13n
(n là số tự
nhiên lớn hơn 2 và x là số thực khác 0).
Bài 23: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006)

Bài 24: (ðề Cð kinh tế ñối ngoại - 2006)

Bài 25: (ðề Cð kinh tế - 2006)

Bài 26: (ðề CðSP TPHCM – Khối A - 2006)


Bài 27: (ðề CðSP TPHCM – Khối B - 2006)

Bài 28: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006)

Bài 29: (ðề Cð Cao Thắng - 2005)

Bài 30: (ðề Cð Giao thông vận tải 3 - 2005)

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 14
Bài 31: (ðề Cð Kinh tế Kỹ thuật công nghiệp II - 2005)


Bài 32: (ðề CðSP TPHCM - Khối A - 2005)

Bài 33: (ðề CðSP TPHCM - Khối B-D - 2005)

Bài 34: (ðề ðH - Khối A - 2007)

Bài 35: (ðề ðH - Khối B - 2007)

Bài 36: (ðề ðH - Khối D - 2007)

Hướng dẫn:
Bài 1:
a) Trong khai triển
2 10
1
(2x - )
x
, ta có số hạng thứ (k +1) là :
k k
2 10-k k k 20-3k
k+1
10 10
1
T = (x ) (- ) = (-1) x
x
C C
. Nên : 20 – 3k = 8 ⇔ x = 4
Vậy hệ số của số hạng chứa x
8

là:
4
4
10
10!
( 1) 210
4!6!
C
− = =

b) Trong khai tri
ể
n
153
)( xyx −
2 s
ố
h
ạ
ng
ñứ
ng gi
ữ
a là :
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 15

7 7
7 3 8 7 31 7 31 7
8

15 15
8 8
8 3 7 8 29 8 29 8
9
15 15
T = (-1) (x ) (xy) = - x y = -6435x y
T = (-1) (x ) (xy) = x y = 6435x y
C C
C C

c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển
(
)
6
12
3
xx +
bằng 200
T
4
= C
3
6
(
)
(
)
3
12
3

3
xx

= 200 
4
19
x
=10  x =
19 4
10


d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển
(
)
6
12
3
2
xx +
bằng 150
T
5
= C
4
6
(
)
(
)

4
12
2
3
2
xx

= 150 
3
5
x
=10  x =
5 3
10

e) Khai triển: (1+x)
5
=
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
C + Cx + C x + Cx + Cx + C x

= 1+5x + 10x
2
+ 10x
3
+ 5x
4
+ x
5


Thay = ½ ta ñược: (3/2)
5

1 2 3
5 5 5
2 3
1 1 1
=1+ C + C + C
2 2 2
4 5
5 5
4 5
1 1 243
+ C + C =
2 2 32

f) Trong khai triển (x
2
– )
12
. Số hạng thứ tám:
7 2 5 7
8 12
2
T = C (x ) (- )
x

Suy ra hệ số là:
7

12
-128.C

Gọi số hạng không chứa x:
− −
− −− −
− −
+
++
+
−
−−
−
= − =
= − == − =
= − =

T
k+1
không chứa x khi 2(12 – k) = k hay k = 8.
Vậy số hạng không chứa x là: 256.
8
12
C

g) (1 + x)
5
=
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5

C +Cx+C x +C x +C x +Cx
= 1 + 5x + 10x
2
+ 10x
3
+ 5x
4
+ x
5

Thay = - 3 ta ñược: (- 2)
5
1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5
=1-3C +3 C -3 C +3 C -3 C = -32


h) Trong khai triển (x
3
+ xy)
15
có số hạng tổng quát:
3(15 ) 45 2
1 15 15
( )
k k k k k k
k
T C x xy C x y
− −
+

= =

Ta có
45- 2k = 25
k =10
k =10

⇔



i) Trong khai triển (x + x
3
y)
15
có số hạng tổng quát
15 3 15 2
1 15 15
( )
k k k k k k
k
T C x x y C x y
− +
+
= =

Ta có
15 2 35
10
10

k
k
k
+ =

⇔ =

=


j) Số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y )
6
là số hạng thứ 4.
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 16
T
4
=
33
3
6
ba
C
= 20.8x
3
.(-27y
3
) = - 4320x
3
y

3

k) Nhị thức
2 7 7 7
(2x -3x ) = x (2-3x)
. Suy ra số hạng chứa x
10
là số hạng thứ 4
Nên hệ số chứa x
10

15120
− = −
3 4 3
7
C .2 .3

Bài 2: Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 n n
n n n n
1+ x = C + C x + C x + + C x

Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược:
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7
7 7 7 7 7 7 7
S =1- 2C + 2 C -2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C = (-1) = -1


Bài 3: Ta có:
(
)
n
0 n 1 n 2 n -2 2 n n
n n n n
a + b = C a + C a b + C a b + + C b

Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên:
n n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n n 6021 n 2007
n n n n
8 =5 C +5 3C +5 3 C + +3 C Û8 =2 8 =8 n=2007
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒

Bài 4: Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1+ x = C + C x +C x + C x + + C x

Lấy ñạo hàm hai vế:
(
)
n-1
1 2 2 2 n-1 n
n n n n

n 1+ x = C + 2xC +3x C + + nx C
⇒

Thế x = 1 vào khai triển trên:
n-1 1 2 2 n
n n n n
n.2 =C +2C +3C + +nC
⇒

n-1 n-1
n.2 n.(7-n) 2 + n 7 n 3
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
. Vậy
{
}
n 1;2;3
∈

Bài 5: Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1+ x = C + C x +C x + C x + + C x


( )
( )
( )

1 1
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
2 3 n+1
n+1
0 1 2 n
n n n n
n+1 0 1 2 n
n n n n
dx = C + C x + C x + C x + + C x dx
1 1
1 x x x
1+ x = xC + C + C + + C
0 0
n +1 2 3 n +1
1 1 1 1
2 -1 = C + C + C + + C (dpcm)
n +1 2 3 n +1
⇒
 
⇔
 
 
⇔
∫ ∫

Bài 6:

(

)
(
)
16-k k
k
4
3
k+1 16
T = C 2 3
=
k
16-k
k
3
4
16
C 2 .3

T
k + 1
là s
ố
nguyên
{ }
{ }
{ }
0 k 16
0 k 16
(16-k) 4 k 0;4;8;12;16 k 0;12
k 3

k 0;3;6;9;12;15

≤ ≤
≤ ≤



⇔ ⇔ ∈ ⇔ ∈
 
 
∈


⋮
⋮

V
ậ
y có 2 s
ố
h
ạ
ng là s
ố
nguyên:
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 17

(
)

(
)
16 0
0
4
3
1 16
T = C 2 3 = 32
;
(
)
(
)
4 12
12
4
3
13 16
T = C 2 3 = 294840

Bài 7: Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển
(
)
6
12
3
2
xx +
bằng 150
T

5
=
(
)
(
)
2
4
3
4 2
12
6
C x x

= 150 ⇔
5
3
x
=10 ⇔ x =
5
3
10

Bài 8: Tính tổng
2 2 3 3 n+1 n+1
0 1 2 n
n n n n
5 -3 5 -3 5 -3
S = 2C + C + C + + C
2 3 n +1


Ta có:
(
)
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1+ x = C +C x + C x + C x + + C x


( )
( )
( )
( )
5 5
3 3
5 5
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
3 3
2 3 n +1
n+1
0 1 2 n
n n n n
2 2 3 3 n+1 n +1
n+1 n +1 0 1 2 n
n n n n
1 + x dx = C + C x + C x + C x + + C x dx
1 x x x

1 + x = xC + C + C + + C
n +1 2 3 n + 1
1 5 - 3 5 - 3 5 - 3
6 - 4 = 2C + C + C + + C
n +1 2 3 n +1
⇒
 
⇔
 
 
⇔
∫ ∫

Vậy S =
1 1
6 4
1
n n
n
+ +
−
+

Bài 9: Tổng hệ số của 3 số hạng trong khai triển trên là
0 1 2
n n n
C +C +C = 79 n =12
⇔

Khi ñó:

12-k12
4 -28k 28k
12 12
16-
k k
3 3
3 15 15
12 12
15 15
28 28
k=0 k=0
= = C x = C
n
1 1
x x + x x + x x
x x
 
   
    
     
∑ ∑

Theo ñề:
48
16 - k = 0 k = 5
15
⇔

Vậy số hạng không chứa x là
5

C = 495
12
.
Bài 10: n = 8 ⇒ các số hạng có lũy thừa nguyên là T
o
, T
4
, T
8

Bài 14: (ðề ðH - Khối A - 2002)



ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 18
Bài 15: (ðề ðH - Khối D - 2002)

Bài 16: (ðề ðH - Khối A - 2003)


Bài 17: (ðề ðH - Khối B - 2003)

Bài 18: (ðề ðH - Khối D - 2003)
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 19



Bài 19: (ðề ðH - Khối A - 2004)

ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 20

Bài 20: (ðề ðH - Khối D - 2004)


Bài 21: (ðề ðH - Khối A - 2006)


Bài 22:
(ðề Cð ðiện lực TPHCM - 2006)
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 21

Bài 23: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006)

Bài 24: (ðề Cð kinh tế ñối ngoại - 2006)

Bài 26: (ðề CðSP TPHCM – Khối A - 2006)
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 22

Bài 27: (ðề CðSP TPHCM – Khối B - 2006)


Bài 28: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006)

Bài 29: (ðề Cð Cao Thắng - 2005)



ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 23
Bài 30: (ðề Cð Giao thông vận tải 3 - 2005)


Bài 31: (ðề Cð Kinh tế Kỹ thuật công nghiệp II - 2005)

Bài 32: (ðề CðSP TPHCM - Khối A - 2005)



ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 24
Bài 33: (ðề CðSP TPHCM - Khối B-D - 2005)

Bài 34: (ðề ðH - Khối A - 2007)

Bài 35: (ðề ðH - Khối B - 2007)






ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 25
Bài 36: (ðề ðH - Khối D - 2007)

Hết