Mục lục
Lời nói đầu 2
1 Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính 4
1.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Ma trận khả nghịch. Phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Một số phương pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 16
1.3.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Không gian vectơ 23
2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Định nghĩa không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Không gian con vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4 Không gian con sinh bởi một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Hạng của hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Cơ sở và chiều của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Cơ sở và chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Cơ sở và chiều của không gian con vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 Tổng của các không gian con vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.4 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . 32

2.4 Tọa độ. Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Ánh xạ tuyến tính 37
3.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Điều kiện xác định ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
3.2 Ảnh, nhân của ánh xạ tuyến tính và đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Ảnh và nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Liên hệ giữa phép toán ma trận và phép toán ánh xạ tuyến tính . . . . . 44
3.4 Các dạng chính tắc của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 Đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Trị riêng và vectơ riêng của một toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . 45
3.4.3 Không gian con riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.4 Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1 Dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Bài tập 57
4.1 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tài liệu tham khảo 70
2
Lời nói đầu

Môn học Toán cao cấp A2 là học phần thứ hai của chương trình Toán dành cho sinh viên
nhóm ngành kĩ thuật. Nội dung chính của môn học này là về ma trận, định thức, hệ phương
trình tuyến tính, không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính.
Nội dung môn học gồm 3 chương:
Chương 1. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính. Chương này trình bày các kiến
thức cơ bản về ma trận như khái niệm về ma trận, các phép toán ma trận, ma trận khả nghịch,
cách tìm ma trận nghịch đảo, các tính chất của nó, phương trình ma trận. Ngoài ra còn bao
gồm một số kiến thức về định thức, hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính cùng
phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.
Chương 2. Không gian vectơ. Chương này bao gồm một số kiến thức cơ bản về không gian
vectơ, không gian con vectơ, không gian sinh, sự độc lập tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính
của một hệ vectơ, cơ sở của không gian, chiều của không gian vectơ, tọa độ của một vectơ đối
với một cơ sở, ma trận chuyển cơ sở.
Chương 3. Ánh xạ tuyến tính. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về
ánh xạ tuyến tính, ma trận của ánh xạ tuyến tính, trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính,
của ma trận, chéo hóa ma trận và dạng toàn phương.
Tài liệu này chỉ lưu hành nội bộ. Mọi đóng góp ý kiến về tài liệu này, vui lòng gửi về địa
chỉ e-mail: Xin cảm ơn!
Bình Dương, tháng 2 năm 2012
Biên soạn
Mai Quang Vinh
3
Chương 1
Ma trận. Định thức. Hệ phương trình
tuyến tính
1.1 Ma trận
1.1.1 Định nghĩa. Các phép toán trên ma trận
* Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Một bảng số gồm m × n số được xếp thành m dòng và n cột được gọi là
ma trận cấp m × n, kí hiệu

A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a

mn
hay A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2

. . . a
mn
hoặc A = (a
ij
)
m×n
,
trong đó a
ij
được gọi là phần tử của ma trận A nằm trên dòng i cột j.
Ví dụ 1.1.2. A =
1 −2 3
−1 0 1
là ma trận cấp 2 × 3 với các phần tử lần lượt là a
11
= 1, a
12
=
−2, a
13
= 3, a
21
= −1, a
22
= 0, a
23
= 1.
Định nghĩa 1.1.3. * Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, kí hiệu θ.
Chẳng hạn,
0 0 0

0 0 0
= (0)
2×3
là ma trận không cấp 2 × 3.
* Khi số dòng và số cột của ma trận A đều bằng n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n.
Kí hiệu A = (a
ij
)
n
. Các phần tử a
11
, a
22
, a
33
, , a
nn
tạo thành đường chéo chính, các phần tử
a
n1
, a
(n−1)2
, , a
1n
tạo thành đường chéo phụ của nó.
* Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dưới của đường
chéo chính bằng 0.
a
11
a

12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
.
* Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía trên của đường
4
chéo chính bằng 0.
a
11
0 . . . 0
a
21

a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
.
* Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều
bằng 0.
diag(a
11
, a
22
, , a
nn

) =
a
11
0 . . . 0
0 a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
.
* Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1.
I
n
=
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
.
* Ma trận dòng là ma trận cấp 1 × n, kí hiệu
A =
a
1
a
2
. . . a
n
,
ma trận cột là ma trận cấp m × 1, kí hiệu
b
1
b
2
.
.
.
b

m
.
* Một ma trận vuông A = (a
ij
)
n
được gọi là đối xứng nếu a
ij
= a
ji
với mọi 1 ≤ i, j ≤ n.
Định nghĩa 1.1.4. Hai ma trận cùng cấp A = (a
ij
)
m×n
, B = (b
ij
)
m×n
được gọi là bằng nhau,
kí hiệu A = B, nếu a
ij
= b
ij
với mọi 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Ví dụ 1.1.5.
1 2
0 −1
=
a b

c d
khi và chỉ khi a = 1, b = 2, c = 0, d = −1.
* Các phép toán trên ma trận
Định nghĩa 1.1.6. Cho hai ma trận cùng cỡ m × n, A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1

a
m2
. . . a
mn
, B =
b
11
b
12
. . . b
1n
b
21
b
22
. . . b
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b

m1
b
m2
. . . b
mn
.
5
Tổng của hai ma trận A, B là một ma trận cấp m × n, kí hiệu A + B, được xác định như
sau
A + B = (a
ij
+ b
ij
)
m×n
=
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
. . . a
1n
+ b
1n
a
21

+ b
21
a
22
+ b
22
. . . a
2n
+ b
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
+ b
m1
a
m2
+ b
m2

. . . a
mn
+ b
mn
.
Tức là, muốn cộng hai ma trận thì ta cộng các phần tử tương ứng. Phép cộng chỉ thực hiện
được khi hai ma trận cùng cấp.
Ví dụ 1.1.7.
1 2
−1 0
3 −2
+
−1 1
2 2
0 3
=
0 3
1 2
3 1
.
Nhận xét 1.1.8. Phép cộng có các tính chất sau:
i) Giao hoán: A + B = B + A;
ii) Kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C);
iii) Có phần tử trung hòa là θ, tức là A + θ = θ + A = A.
Định nghĩa 1.1.9. Tích của một số k với một ma trận A cấp m×n là một ma trận cấp m ×n,
kí hiệu kA, và được xác định như sau
kA = (ka
ij
)
m×n

=
ka
11
ka
12
. . . ka
1n
ka
21
ka
22
. . . ka
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ka
m1
ka
m2
. . . ka

mn
.
Ví dụ 1.1.10. (−2).
1 −2
−3 0
=
−2 4
6 0
.
Nhận xét 1.1.11. Tính chất của phép nhân một số với một ma trận
i) 1.A = A;
ii) 0.A = θ;
iii) k(A + B) = kA + kB;
iv) (k + l)A = kA + lA;
v) k(lA) = (kl)A,
trong đó k, l là các số, còn A, B là các ma trận cùng cấp.
Từ đó, suy ra A − B = A + (−1)B .
Định nghĩa 1.1.12. Tích của hai ma trận A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
ij
)
n×p
là ma trận cấp m ×p,
kí hiệu AB = C = (c
ik
)
m×p

, được xác định như sau
c
ik
=
n
j=1
a
ij
b
jk
, với 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ p.
6
Ví dụ 1.1.13. Cho A =
1 2
−1 1
0 −3
, B =
2 1 −1 0
0 1 −1 −2
. Tính AB? Khi đó tích BA có tồn
tại không?
Ta có AB =
c
11
c
12
c
13
c
14

c
21
c
22
c
23
c
24
c
31
c
32
c
33
c
34
, trong đó
c
11
= 1.2 + 2.0 = 2, c
12
= 1.1 + 2.1 = 3,
c
13
= 1.(−1) + 2.(−1) = −3, c
14
= 1.0 + 2.(−2) = −4
c
21
= (−1).2 + 1.0 = −2, c

22
= (−1).1 + 1.1 = 0,
c
23
= (−1).(−1) + 1.(−1) = 0, c
24
= (−1).0 + 1.(−2) = −2
c
31
= 0.2 + (−3).0 = 0, c
32
= 0.1 + (−3).1 = −3,
c
33
= 0.(−1) + (−3).(−1) = 3, c
34
= 0.0 + (−3)(−2) = 6.
Suy ra AB =
2 3 −3 −4
−2 0 0 −2
0 −3 3 6
.
Tích BA không tồn tại vì số cột của B là 4 trong khi đó số dòng của A là 3.
Nhận xét 1.1.14. Phép nhân hai ma trận có một số tính chất sau:
i) Phép nhân ma trận A với ma trận B thực hiện được khi và chỉ khi số cột của ma trận A
bằng số dòng của ma trận B.
ii) Ma trận tích AB có số dòng bằng số dòng của ma trận A và số cột bằng số cột của ma
trận B.
iii) Kết hợp A(BC) = (AB)C,
iv) Phân phối với phép cộng

A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA,
k(AB) = (kA)B = A(kB) với k ∈ R,
AI = A, BI = B, I là ma trận đơn vị.
v) Nói chung, AB = BA.
Định nghĩa 1.1.15. Cho ma trận cấp m × n, A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a

m1
a
m2
. . . a
mn
. Nếu ta đổi các
dòng của ma trận A thành các cột tương ứng thì sẽ được ma trận cấp n × m và ma trận đó
được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu A
T
,
A
T
= (a
ji
)
n×m
=
a
11
a
21
. . . a
m1
a
12
a
22
. . . a
m2
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1n
a
2n
. . . a
mn
.
7
Ví dụ 1.1.16. A =
1 0 −1
2 1 −1
thì A
T
=
1 2
0 1
−1 −1
.
Nhận xét 1.1.17. Một số tính chất của phép chuyển vị ma trận.

i) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
.
ii) (AB)
T
= B
T
.A
T
.
1.1.2 Ma trận khả nghịch. Phương trình ma trận
* Ma trận khả nghịch
Định nghĩa 1.1.18. Ma trận vuông cấp n, A = (a
ij
)
n
, được gọi là khả nghịch nếu tồn tại
một ma trận vuông cấp n, B = (b
ij
)
n
, sao cho
AB = BA = I
n
, I
n

là ma trận đơn vị cấp n.
Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu B = A
−1
.
Ví dụ 1.1.19. Cho A =
1 −1
0 1
.Ta có
1 −1
0 1
.
1 1
0 1
=
1 1
0 1
.
1 −1
0 1
=
1 0
0 1
Suy ra A
−1
=
1 1
0 1
.
Định nghĩa 1.1.20. Các phép biến đổi sau đây được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
của ma trận.

• Đổi chỗ hai dòng cho nhau: d
i
←→ d
j
,
• Nhân một dòng với một số k khác không: d
i
−→ kd
i
,
• Nhân một dòng với một số k rồi cộng vào một dòng khác: d
i
−→ kd
j
+ d
i
.
Hoàn toàn tương tự, ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên cột (trong các phát biểu ở trên ta
thay chữ dòng bằng chữ cột).
Định nghĩa 1.1.21. Hai ma trận A và B được gọi là tương đương dòng nếu từ A có thể chuyển
thành B nhờ các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Mệnh đề 1.1.22. Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi A tương đương dòng với ma trận đơn
vị I. Trong trường hợp này các phép biến đổi sơ cấp nào chuyển A thành I thì cũng chuyển I
thành A
−1
.
* Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Giả sử ma trận vuông cấp n, A = (a
ij
)

n
, khả nghịch. Để tìm ma trận A
−1
, ta làm như
sau: thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận ghép (A|I
n
) về (I
n
|B). Khi đó
A
−1
= B.
8
Ví dụ 1.1.23. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =
1 −1 2
−1 2 1
0 0 1
.
Ta có
[A|I
3
] =
1 −1 1
−1 2 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
d
1

+d
2
→d
2
−−−−−−→
1 −1 1
0 1 2
0 0 1
1 0 0
1 1 0
0 0 1
(−2)d
3
+d
2
→d
2
−−−−−−−−→
1 −1 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
1 1 −2
0 0 1
d
2
+(−1)d
3
+d
1

→d
1
−−−−−−−−−−−→
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 1 −3
1 1 −2
0 0 1
.
Vậy A
−1
=
2 1 −3
1 1 −2
0 0 1
.
Nhận xét 1.1.24. Tính chất của ma trận khả nghịch.
i) Nếu ma trận A khả nghịch thì (A
−1
)
−1
= A,
ii) Nếu hai ma trận A, B khả nghịch thì ma trận AB cũng khả nghịch và (AB)
−1
= B
−1
A
−1
,

iii) (A
−1
)
T
= (A
T
)
−1
.
* Phương trình ma trận
Cho A là ma trận khả nghịch. Xét các phương trình ma trận
AX = B ⇐⇒ X = A
−1
B
XA = B ⇐⇒ X = BA
−1
.
Ví dụ 1.1.25. 1) Giải phương trình
1 −1
0 1
X =
1 2
−1 0
.
Ta có
1 −1
0 1
−1
=
1 1

0 1
.
Suy ra X =
1 −1
0 1
−1
1 2
−1 0
=
1 1
0 1
1 2
−1 0
=
0 2
−1 0
.
2) Giải phương trình X
1 −1 1
−1 2 1
0 0 1
=
1 2 1
−1 0 1
.
Ta có
1 −1 1
−1 2 1
0 0 1
−1

=
2 1 −3
1 1 −2
0 0 1
.
Do đó
X =
1 2 1
−1 0 1
1 −1 1
−1 2 1
0 0 1
−1
=
1 2 1
−1 0 1
2 1 −3
1 1 −2
0 0 1
=
4 3 −6
−2 −1 4
.
9
1.2 Định thức
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. * Cho ma trận A = (a
ij
)
m×n

. Ma trận con cấp k, 1 ≤ k ≤ min{m, n} của
A là ma trận vuông cấp k lập từ các phần tử nằm trên giao của k dòng, k cột của A.
* Cho ma trận vuông cấp n, A = (a
ij
)
n
. Ma trận con cấp (n − 1) lập từ A bằng cách bỏ đi
dòng i, cột j được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử a
ij
, kí hiệu M
ij
.
Ví dụ 1.2.2. Cho A =
1 2 0
−1 0 1
3 1 2
.
Ta có M
11
=
0 1
1 2
, M
12
=
−1 1
3 2
, M
13
=

−1 0
3 1
, M
22
=
1 0
3 2
, M
31
=
2 0
0 1
,
Định nghĩa 1.2.3. Cho ma trận vuông cấp n, A = (a
ij
)
n
. Định thức cấp n của A, kí hiệu
det A hoặc |A|, được định nghĩa bằng quy nạp như sau:
• Với A cấp 1 (n = 1), A = [a
11
] : det A = a
11
.
• Với A cấp 2 (n = 2), A =
a
11
a
12
a

21
a
22
: det A = a
11
det M
11
−a
12
det M
12
= a
11
a
22
−a
12
a
21
.
(Chú ý. a
11
, a
12
là các phần tử nằm trên dòng 1 của A.)

• Với A cấp n:
det A = a
11
det M

11
− a
12
det M
12
+ · · · + (−1)
1+n
a
1n
det M
1n
.
(Chú ý. a
11
, a
12
, , a
1n
là các phần tử nằm trên dòng 1 của A.)
Từ định nghĩa, bằng chứng minh quy nạp ta cũng có
det A = a
11
det M
11
− a
21
det M
21
+ · · · + (−1)
1+n

a
n1
det M
n1
.
(Chú ý. a
11
, a
21
, , a
n1
là các phần tử nằm trên cột 1 của A.)
Ví dụ 1.2.4. Cho A =
1 2 0
−1 0 1
3 1 2
.
Ta có M
11
=
0 1
1 2
, M
12
=
−1 1
3 2
, M
13
=

−1 0
3 1
.
Do đó, theo định nghĩa
det A = a
11
det M
11
− a
12
det M
12
+ (−1)
1+3
a
13
det M
13
= 1.(−1) − 2.(−5) + 0.(−1) = 9.
1.2.2 Các tính chất của định thức
Tính chất 1
det A
T
= det A.
Chú ý. Từ tính chất 1 suy ra: Một tính chất của định thức đã đúng khi phát biểu về dòng
thì nó vẫn đúng nếu trong phát biểu đó ta thay chữ dòng bằng chữ cột.
10
Tính chất 2
Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu.
Tính chất 3

Thừa số chung của một dòng (một cột) có thể đưa ra ngoài định thức.
a
11
a
12
· · · a
1n
. . . . . . . . . . . .
ka
i1
ka
i2
. . . ka
in
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
= k
a
11
a
12
· · · a
1n
. . . . . . . . . . . .
a

i1
a
i2
. . . a
in
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
.
Tính chất 4
Định thức có một dòng (một cột) gồm toàn số 0 thì bằng 0.
a
11
a
12
· · · a
1n
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn

= 0.
Tính chất 5
Lấy một dòng (một cột) nhân với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác thì định thức không
đổi.
Chú ý. Tính chất 9 được mở rộng như sau: Lấy k dòng tùy ý i
1
, i
2
, , i
k
nhân tương ứng với
các số b
1
, b
2
, , b
k
(tùy ý) rồi cộng vào một dòng khác của định thức thì định thức không đổi.
Tính chất 6
Định thức có hai dòng (hai cột) tỉ lệ thì bằng 0. Suy ra, định thức có hai dòng (hai cột)
giống nhau thì bằng 0.
Tính chất 7 (Định lí Laplace)
Cho A = (a
ij
)
n
. Phần bù đại số của phần tử a
ij
là A
ij

= (−1)
i+j
det M
ij
, trong đó M
ij
là
ma trận con cấp n − 1 của A ứng với phần tử a
ij
. Khi đó, định thức của ma trận A được:
• khai triển theo dòng i : det A = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ · · · + a
in
A
in
.
• khai triển theo cột j : det A = a
1j
A
1j
+ a
2j
A

2j
+ · · · + a
nj
A
nj
.
Tính chất 8
Nếu tất cả các phần tử của một dòng (một cột) là tổng của hai số hạng thì định thức có
thể phân tích thành tổng của hai định thức.
a
11
a
12
· · · a
1n
. . . . . . . . . . . .
a
i1
+ a

i1
a
i2
+ a

i2
. . . a
in
+ a


in
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
=
a
11
a
12
· · · a
1n
. . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
in
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
+

a
11
a
12
· · · a
1n
. . . . . . . . . . . .
a

i1
a

i2
. . . a

in
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
.
11
Tính chất 9
• det(AB) = det A. det B;
• det(A
n
) = (det A)

n
;
• det(A
−1
) =
1
det A
.
1.2.3 Một số phương pháp tính định thức
Quy tắc Sarus tính định thức cấp 3
Ta có
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a

11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
32
a
21
− a
11
a
23
a
32
− a
22
a
31
a
13
− a

33
a
12
a
21
.
Phương pháp hạ bậc
Áp dụng các tính chất của định thức để biến đổi định thức về dạng trong một dòng (hoăc
một cột) nào đó chỉ có một phần tử khác 0 rồi khai triển định thức theo dòng (cột) đó.
Ví dụ 1.2.5.
1 1 2
2 2 1
−1 2 3
(−2)d
1
+d
2
→d
2
=
1 1 2
0 0 −3
−1 2 3
= (−3)(−1)
2+3
1 1
−1 2
= 9.
Phương pháp tam giác hóa
Ta có

a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
= a
11
a
22
. . . a
nn

,
a
11
0 . . . 0
a
21
a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
= a
11
a

22
. . . a
nn
.
Do đó, để tính các định thức cấp cao người ta thường dùng các tính chất của định thức để
đưa định thức về dạng tam giác rồi lấy tích các phần tử trên đường chéo chính.
Ví dụ 1.2.6. 1) Tính định thức cấp n, |A| =
x a a . . . a
a x a . . . a
a a x . . . a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a a a . . . x
.
Giải.
Nhân dòng 1 với (−1) rồi cộng lần lượt vào tất cả các dòng còn lại ta được
|A| =

x a a . . . a
a − x x − a 0 . . . 0
a − x 0 x − a . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a − x 0 0 . . . x − a
,
12
cộng các cột 2, 3, , n vào cột 1 ta được
|A| =
x + (n − 1)a a a . . . a
0 x − a 0 . . . 0
0 0 x − a . . . 0
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . x − a
= [x + (n − 1)a](x − a)
n−1
.
2) Giải phương trình
x a a . . . a
a x a . . . a
a a x . . . a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
a a a . . . x
= 0.
Giải.
Theo ví dụ trên ta có
x a a . . . a
a x a . . . a
a a x . . . a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a a a . . . x
= [x + (n − 1)a](x − a)
n−1
. Do đó phương trình đã

cho tương đương
[x + (n − 1)a](x − a)
n−1
= 0 ⇐⇒ x = (1 − n)a ∨ x = a.
1.2.4 Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 1.2.7. Ma trận vuông A được gọi là không suy biến nếu |A| = 0.
Mệnh đề 1.2.8. Ma trận vuông A = (a
ij
)
n
khả nghịch khi và chỉ khi A không suy biến và
A
−1
=
1
|A|
A
11
A
12
. . . A
1n
A
21
A
22
. . . A
2n
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
n1
A
n2
. . . A
nn
T
=
1
|A|
A
11
A
21
. . . A
n1
A
12
A
22

. . . A
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
1n
A
2n
. . . A
nn
.
Ví dụ 1.2.9. Tìm A
−1
, A =
1 2 0
0 2 −1
0 3 1
.
Giải.
Ta có |A| = 5 = 0, nên A khả nghịch.

Phần bù đại số của các a
ij
là:
A
11
=
2 −1
3 1
= 5; A
12
= −
0 −1
0 1
= 0; A
13
=
0 2
0 3
= 0;
A
21
= −
2 0
3 1
= −2; A
22
=
1 0
0 1
= 1; A

23
= −
1 2
0 3
= −3;
A
31
=
2 0
2 −1
= −2; A
32
= −
1 0
0 −1
= 1; A
33
=
1 2
0 2
= 2.
Do đó
A
−1
=
1
5
5 −2 −2
0 1 1
0 −3 2

.
13
1.2.5 Hạng của ma trận
Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.10. * Cho A = (a
ij
)
m×n
là ma trận cấp m × n. Định thức con cấp k của A là
định thức của ma trận con cấp k của A.
* Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của nó, kí hiệu r(A).
* Quy ước r(θ) = 0, θ là ma trận không.
Từ đó suy ra 0 ≤ r(A) ≤ min{m, n} với A là một ma trận cấp m × n bất kì.
Mệnh đề 1.2.11. Nếu trong ma trận A tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì tất cả
các định thức con cấpk + 1 cũng bằng 0.
Phương pháp tìm hạng của ma trận
Định nghĩa 1.2.12. Ma trận bậc thang dòng là ma trận có hai tính chất:
i) Các dòng khác 0 nằm phía trên các dòng bằng 0 (nếu có);
ii) Phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng nằm bên phải cột chứa phần tử khác
0 đầu tiên của dòng trên.
Ví dụ 1.2.13. A =
1 2 −1 0
0 2 −1 3
0 0 0 −1
, B =
2 −1 0 0
0 0 −1 3
0 0 0 0
, C =
1 −1 1

0 1 1
0 0 −1
là các ma
trận bậc thang dòng.
Mệnh đề 1.2.14. i) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của một ma trận.
ii) Hạng của ma trận bậc thang dòng bằng số dòng khác 0 của nó.
Ví dụ 1.2.15. Theo ví dụ trên, ta có r(A) = 3, r(B) = 2, r(C) = 3.
Ta tìm hạng của ma trận A theo sơ đồ sau
A
các phép biến đổi
−−−−−−−−−−−−−−→
sơ cấp trên dòng hoặc cột
B,
trong đó B là ma trận bậc thang dòng, suy ra r(A) = r(B) = số dòng khác 0 của B.
Ví dụ 1.2.16. Tìm hạng của ma trận
a) A =
1 3 0 1
2 0 1 0
3 3 1 1
.
Giải.
Ta có
A
(−1)d
1
+(−1)d
2
+d
3
→d

3
−−−−−−−−−−−−−→
1 3 0 1
2 0 1 0
0 0 0 0
(−2)d
1
+d
2
→d
2
−−−−−−−−→
1 3 0 1
0 −6 1 −2
0 0 0 0
.
Do đó r(A) = 2.
b) B =
1 2 0 −1 1
−1 0 1 0 −1
0 2 1 −1 0
3 2 −2 −1 3
.
14
Giải.
Ta có
B
d
1
+d

2
→d
2
−−−−−−−−→
(−3)d
1
+d
4
→d
4
1 2 0 −1 1
0 2 1 −1 0
0 2 1 −1 0
0 −4 −2 2 0
(−1)d
2
+d
3
→d
3
−−−−−−−−→
2d
2
+d
4
→d
4
1 2 0 −1 1
0 2 1 −1 0
0 0 0 0 0

0 0 0 0 0
.
Suy ra r(B) = 2.
1.3 Hệ phương trình tuyến tính
1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
2
+ a
22
x
2
+ · · · + a
2n

x
n
= b
2

a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ · · · + a
mn
x
n
= b
m
, (1.1)
trong đó x
j
, j = 1, 2, , n là các ẩn số; a
ij
, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n là hệ số của ẩn x
j
trong
phương trình thứ j; b
i
, 1 ≤ i ≤ m, là hệ số tự do của phương trình thứ i.

Định nghĩa 1.3.2. Một bộ số (k
1
, k
2
, , k
n
) được gọi là nghiệm của hệ (2.1) nếu khi ta thay
x
1
= k
1
, x
2
= k
2
, , x
n
= k
n
vào hệ (1.1) thì tất cả m đẳng thức đều được thỏa mãn.
Ví dụ 1.3.3. Hệ
x + y = 36
x − y = 12
là hệ 2 phương trình 2 ẩn. Bộ số (24, 12) là nghiệm của hệ vì
khi thay x = 24, y = 12 vào hệ thì các đẳng thức đều đúng.
Định nghĩa 1.3.4. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi trên hệ phương trình tuyến
tính mà không làm thay đổi tập nghiệm của hệ.
Từ định nghĩa suy ra 3 phép biến đổi tương đương sau:
i) Đổi chỗ hai phương trình.
ii) Nhân hai vế của phương trình với một số k = 0.

iii) Nhân hai vế của một phương trình với một số k rồi cộng vào một phương trình khác của
hệ.
Định nghĩa 1.3.5. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính.
* Lấy các hệ số của hệ (1.1) sắp thành ma trận
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a

m1
a
m2
. . . a
mn
.
Khi đó A được gọi là ma trận các hệ số của (1.1).
15
* Ma trận cột X =
x
1
x
2
.
.
.
x
n
được gọi là ma trận ẩn số.
* Ma trận cột B =
b
1
b
2
.
.
.
b
n
được gọi là ma trận hệ số tự do.

Khi đó hệ (1.1) có thể viết dưới dạng phương trình ma trận như sau
AX = B.
* Ma trận mở rộng của hệ (1.1), kí hiệu
A, được xác định như sau
A = (A|B) =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a

m1
a
m2
. . . a
mn
b
1
b
2
.
.
.
b
m
.
1.3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Định lý 1.3.6 (Kronecker - Capelli). Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính (1.1)
có nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng
r(A) = r(A).
1.3.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
Phương pháp Gauss
* Trường hợp 1
Nếu hệ phương trình tuyến tính có dạng hình thang
a
11
x
1
+ a
12
x

2
+ · · · + a
1r
x
r
+ a
1(r+1)
x
r+1
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
a
22
x
2
+ · · · + a
2r
x
r
+ a
2(r+1)
x
r+1
+ · · · + a
2n
x

n
= b
2

a
rr
x
r
+ a
r(r+1)
x
r+1
+ · · · + a
rn
x
n
= b
r
,
trong đó a
ii
= 0 và các hệ số đứng trước a
ii
đều bằng 0, tức là a
ij
= 0 với mọi i > j.
Ta chuyển (n − r) ẩn x
r+1
, x
r+2

, , x
n
(nếu có) sang vế phải làm ẩn tự do nhận các giá trị
bất kì, ta được
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1r
x
r
= b
1
− (a
1(r+1)
x
r+1
+ · · · + a
1n
x
n
)
a
22
x

2
+ · · · + a
2r
x
r
= b
2
− (a
2(r+1)
x
r+1
+ · · · + a
2n
x
n
)

a
rr
x
r
= b
n
− (a
r(r+1)
x
r+1
+ · · · + a
rn
x

n
)
.
Từ phương trình cuối rút ra được ẩn số x
r
bằng cách chia hai vế phương trình cuối cho
a
rr
= 0. Sau đó thay x
r
vào phương trình liền kề phía trên ta tìm được x
r−1
, cứ tiếp tục như
vậy ta sẽ tìm được các ẩn số cơ sở còn lại x
r−2
, x
r−3
, , x
1
, các ẩn này phụ thuộc vào các ẩn số
tự do x
r+1
, x
r+2
, , x
n
. Và đó được gọi là công thức nghiệm tổng quát của hệ.
16
Ví dụ 1.3.7. Giải hệ phương trình
x− 2y + z − t = 1

y − z + t = 2
z − t = −1
.
Giải.
Hệ tương đương
x− 2y + z = 1 + t
y − z = 2 − t
z = −1 + t
⇐⇒
x = 4
y = 1
z = −1 + t
.
* Trường hợp tổng quát
Xét hệ phương trình tuyến tính có m phương trình, n ẩn số
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
a

21
x
2
+ a
22
x
2
+ · · · + a
2n
x
n
= b
2

a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ · · · + a
mn
x
n
= b
m
.
Ta áp dụng 3 phép biến đổi tương đương để biến đổi hệ đang xét về trường hợp 1.

Nhận xét 1.3.8. i) Mỗi hệ phương trình tuyến tính có duy nhất một ma trận mở rộng A
tương ứng. Các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình tuyến tính tương ứng với các
phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận mở rộng A. Do đó thay vì thực hiện các phép biến
đổi trên hệ phương trình thì ta áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận mở
rộng A của hệ. Và phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính như trên được gọi là phương
pháp Gauss.
ii) Một số lưu ý khi giải hệ bằng cách biến đổi trên A.
• Nếu có hai dòng tỉ lệ thì xóa đi một dòng.
• Nếu có một dòng bằng 0 ta xóa dòng đó đi.
• Nếu có một dòng có dạng
(0 . . . . . . 0|a) , a = 0,
thì kết luận hệ vô nghiệm.
• Nếu gặp hệ giải ngay được thì chỉ cần giải mà không phải biến đổi về dạng bậc thang
dòng.
Ví dụ 1.3.9. 1) Giải hệ phương trình tuyến tính
2x
1
− 2x
2
+ 4x
3
+ 4x
4
+ 6x
5
= 5
x
1
− x
2

+ 2x
3
+ 3x
4
+ 5x
5
= 5
x
1
− 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 3
2x
1
− 3x
2
+ 5x
3
+ 4x
4
+ 7x
5
= 8
.

Giải.
Ta có ma trận mở rộng của hệ A =
2 −2 4 4 6
1 −1 2 3 5
1 −2 3 1 2
2 −3 5 4 7
5
5
3
8
.
17
và
A
(−1)d
2
+(−1)d
3
+d
4
→d
4
−−−−−−−−−−−−−→
2 −2 4 4 6
1 −1 2 3 5
1 −2 3 1 2
5
5
3
d

1
↔d
2
−−−−→
1 −1 2 3 5
2 −2 4 4 6
1 −2 3 1 2
5
5
3
(−2)d
1
+d
2
→d
2
−−−−−−−−→
(−1)d
1
+d
3
→d
3
1 −1 2 3 5
0 0 0 −2 −4
0 −1 1 −2 −3
5
−5
−2
(−1)d

2
→d
2
−−−−−−→
d
2
↔d
3
1 −1 2 3 5
0 −1 1 −2 −3
0 0 0 2 4
5
−2
5
Do đó hệ đã cho tương đương với
x
1
−x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
+ 5x
5
= 5
−x
2
+ x
3

− 2x
4
− 3x
5
= −2
2x
4
+ 4x
5
= 5
,
suy ra r(A) = r(A). Vậy hệ đã cho có nghiệm.
Hệ có dạng hình thang nên ta chuyển x
3
, x
5
qua vế phải làm ẩn tự do, ta được
x
1
−x
2
+ 3x
4
= 5 − 2x
3
− 5x
5
−x
2
− 2x

4
= −2 − x
3
+ 3x
5
2x
4
= 5 − 4x
5
,
Thay x
4
=
5 − 4x
5
2
vào phương trình 2 ta được x
2
= −3 + x
3
+ x
5
. Tiếp tục thay x
2
, x
4
vào
phương trình 1, ta tìm được x
1
=

−11 − 2x
3
+ 4x
5
2
.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là
x
1
=
−11 − 2x
3
+ 4x
5
2
x
2
= −3 + x
3
+ x
5
x
4
=
5 − 4x
5
2
x
3
, x

5
∈ R
.
2) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
mx + y + z = 1
x + my + z = m
x + y + mz = m
2
.
Giải.
Ta có det A =
m 1 1
1 m 1
1 1 m
= (m + 2)(m − 1)
2
.
* Trường hợp m = −2 và m = 1: hệ là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất và
|A
1
| =
1 1 1
m m 1
m
2
1 m
= −(m − 1)
2
(m + 1) =⇒ x =
|A

1
|
|A|
= −
m + 1
m + 2
,
|A
2
| =
m 1 1
1 m 1
1 m
2
m
= (m − 1)
2
=⇒ x =
|A
2
|
|A|
=
1
m + 2
,
18
|A
3
| =

m 1 1
1 m m
1 1 m
2
= (m − 1)
2
(m + 1)
2
=⇒ x =
|A
1
|
|A|
=
(m + 1)
2
m + 2
.
Trường hợp m = 1: hệ trở thành
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
⇔ x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z,
suy ra nghiệm hệ là (1 − y − z, y, z), y, z ∈ R.
Trường hợp m = −2: hệ trở thành
−2x + y + z = 1
x − 2y + z = −2
x + y − 2z = 4
,
ta có

A =
−2 1 1
1 −2 1
1 1 −2
1
−2
4
d
1
+d
2
+d
3
→d
3
−−−−−−−−→
−2 1 1
1 −2 1
0 0 0
1
−2
3
,
suy ra hệ vô nghiệm.
Hệ Cramer
Định nghĩa 1.3.10. Hệ phương trình tuyến tính (1.1) được gọi là hệ Cramer nếu có số phương
trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0.
Hệ Cramer có n phương trình, n ẩn có dạng
a
11

x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
2
+ a
22
x
2
+ · · · + a
2n
x
n
= b
2

a
n1
x

1
+ a
n2
x
2
+ · · · + a
nn
x
n
= b
n
,
trong đó det A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
= 0.
* Phương pháp giải hệ Cramer
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được xác định theo công thức
x
j
=
|A
j
|
|A|
, j = 1, 2, , n,
trong đó |A
j
| là định thức thu được từ định thức |A| bằng cách thay cột thứ j của |A| bằng
cột hệ số tự do B =
b
1

b
2
.
.
.
b
n
, các cột còn lại giữ nguyên.
19
Ví dụ 1.3.11. Giải hệ phương trình tuyến tính
−2x + y − 3z = 1
3x − 4y + 2z = 3
5x + 2y + z = −2
.
Giải.
Ta có định thức của ma trận của hệ là
|A| =
−2 1 −3
3 −4 2
5 2 1
= −55 = 0.
Thay lần lượt cột tự do của hệ vào cột 1, cột 2, cột 3 của |A|, ta được
|A
1
| =
1 1 −3
3 −4 2
−2 2 1
= −9; |A
2

| =
−2 1 −3
3 3 2
5 −2 1
= 56; |A
3
| =
−2 1 1
3 −4 3
5 2 −2
= 43.
Theo phương pháp Cramer, nghiệm duy nhất của hệ là
x =
|A
1
|
|A|
=
−9
−55
=
9
55
y =
|A
2
|
|A|
=
56

−55
= −
56
55
z =
|A
3
|
|A|
=
43
−55
= −
43
55
.
1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Định nghĩa 1.3.12. * Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn số có
dạng
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1n
x

n
= 0
a
21
x
2
+ a
22
x
2
+ · · · + a
2n
x
n
= 0

a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ · · · + a
mn
x
n
= 0
. (1.2)

Dạng ma trận của hệ (1.2) là AX = θ
m×1
.
* Do r(A) = r(A) nên hệ luôn có nghiệm, và (0, 0, , 0) được gọi là nghiệm tầm thường.
Nghiệm khác (0, 0, , 0) được gọi là nghiệm không tầm thường.
Một vấn đề được đặt ra là với điều kiện gì thì hệ (1.2) sẽ có nghiệm không tầm thường?.
Mệnh đề 1.3.13. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và
chỉ khi hạng của ma trận hệ số của hệ nhỏ hơn số ẩn, tức là
r(A) = r < n.
Hệ quả 1.3.14. Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn thì
hệ sẽ có nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận hệ số bằng 0, tức là |A| = 0.
Mệnh đề 1.3.15. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (*). Khi đó hệ AX = θ (**) được
gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ AX = B.
20
i) Hiệu hai nghiệm bất kì của hệ (*) là nghiệm của hệ (**).
ii) Tổng của một nghiệm bất kì của hệ (*) và một nghiệm bất kì của hệ (**) là một nghiệm
của hệ (*).
Mệnh đề 1.3.16. Nếu X
1
, X
2
là hai nghiệm của hệ (1.2) thì αX
1
+ βX
2
cũng là nghiệm của
nó.
Ví dụ 1.3.17. 1) Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình
x + y + z − t = 0
2x − y − z + t = 0

−x + 2y + 2z − 2t = 0
.
Giải.
Ta có
A
−(2)d
2
+d
2
→d
2
−−−−−−−−→
d
1
+d
3
→d
3
1 1 1 −1
0 −3 −3 3
0 3 3 −3
1
3
d
3
→d
3
−−−−→
1 1 1 −1
0 1 1 −1

(−1)d
2
+d
1
→d
1
−−−−−−−−→
1 0 0 0
0 1 1 −1
.
Hệ tương đương với
x = 0
y + z − t = 0
⇐⇒
x = 0
y = −z + t
.
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là (0, t − z, z, t), z, t ∈ R.
2) Giải và biện luận hệ phương trình
x − y + z = 0
x + 2y − z = 0
mx + my − z = 0
.
Giải.
Ta có |A| = m − 3.
• |A| = 0 ⇔ m = 3: hệ chỉ có nghiệm tầm thường.
• |A| = 0 ⇔ m = 3: hệ có vô số nghiệm. Khi đó, hệ trở thành
x − y + z = 0
x + 2y − z = 0
3x + 3y − z = 0

,
suy ra
A
d
1
−2d
2
+d
3
→d
3
−−−−−−−−−→
(−1)d
1
+d
2
→d
2
1 −1 1
0 3 −2
0 0 0
→
1 −1 1
0 3 −2
.
Hệ đã cho trở thành
x − y + z = 0
3y − 2z = 0
⇔
x − y = −z

3y = 2z
. Nghiệm tổng quát của hệ là
−
z
3
,
2z
3
, z , z ∈ R.
21
Hệ nghiệm cơ bản
Trong tập hợp nghiệm của hệ (1.2) (n − r) ẩn tự do, trong đó n là số ẩn, r = r(A). Giả sử
ta chọn một ẩn tự do nào đó bằng 1 và (n − r − 1) ẩn tự do còn lại bằng 0, sau đó thế vào và
giải được r ẩn còn lại thì ta được một nghiệm cụ thể. Lặp lại cách làm trên cho các ẩn tự do
còn lại, ta sẽ tìm được một tập nghiệm gồm (n − r) nghiệm, được gọi là hệ nghiệm cơ bản của
hệ phương trình (1.2).
Ví dụ 1.3.18. Hệ phương trình
2x
1
− 2x
2
+ 4x
3
+ 4x
4
+ 6x
5
= 0
x
1

− x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
+ 5x
5
= 0
x
1
− 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 0
2x
1
− 3x
2
+ 5x
3
+ 4x
4
+ 7x
5

= 0
có nghiệm tổng quát là
x
1
= −x
3
+ 2x
5
x
2
= x
3
+ x
5
x
4
= −2x
5
x
3
, x
5
∈ R
.
Như vậy, hệ có hai ẩn tự do là x
3
, x
5
. Lần lượt cho x
3

= 1, x
5
= 0 và x
3
= 0, x
5
= 1 thì thu
được 2 hệ nghiệm là
x
1
= −1
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
x
5
= 0
,
x
1
= 2
x
2
= 1

x
3
= 0
x
4
= −2
x
5
= 1
.
Suy ra hệ nghiệm cơ bản là {(−1, 1, 1, 0, 0), (2, 1, 0, −2, 1)}.
22
Chương 2
Không gian vectơ
2.1 Các khái niệm cơ bản
2.1.1 Định nghĩa không gian vectơ
Định nghĩa 2.1.1. Kí hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức C.
Ta gọi V là không gian vectơ trên trường K, nếu mỗi cặp phần tử x, y ∈ V được đặt tương
ứng với một phần tử duy nhất, kí hiệu x + y ∈ V , gọi là tổng của x và y; mỗi λ ∈ K, x ∈ V ,
đặt tương ứng với một phần tử duy nhất, kí hiệu là λx ∈ V , gọi là tích của λ và x, thỏa mãn
các điều kiện sau đây với mọi x, y, z ∈ V, λ, µ ∈ K.
1) (x + y) + z = x + (y + z);
2) x + y = y + x;
3) Tồn tại θ ∈ V , gọi là phần tử không, thỏa mãn x + θ = x;
4) Tồn tại −x ∈ V , gọi là phần tử đối của x, thỏa mãn x + (−x) = θ;
5) (λ + µ)x = λx + µx;
6) λ(x + y) = λx + λy;
7) (λµ)x = λ(µx);
8) 1.x = x.
Mỗi phần tử của một không gian vectơ thường được gọi là một vectơ.

Ta sẽ viết x + (−y) = x − y (đọc là x trừ y).
Phép toán x + y gọi là phép toán cộng vectơ.
Phép toán λx gọi là phép toán nhân với vô hướng, số λ còn gọi là vô hướng.
Không gian vectơ trên R còn gọi là không gian vectơ thực hoặc R-không gian vectơ.
Không gian vectơ trên C còn gọi là không gian vectơ phức hoặc C-không gian vectơ.
Mỗi không gian vectơ phức đều có thể coi là một không gian vectơ thực nếu phép nhân vô
hướng chỉ xét với số thực.
Khi cho một không gian vectơ mà không nói rõ trên trường nào, ta sẽ hiểu đó là trường thực
hoặc phức. Tuy nhiên, đã hiểu là không gian trên trường nào rồi thì phải nhất quán, chẳng hạn
đã hiểu là không gian phức thì các vô hướng trong các khái niệm và tính chất tiếp theo đó đều
phải hiểu là số phức.
Ví dụ 2.1.2. 1) K
n
= {(x
1
, x
2
, , x
n
)|x
1
, x
2
, , x
n
∈ K}, với mọi x = (x
1
, x
2
, , x

n
), y =
(y
1
, y
2
, , y
n
), λ ∈ K ta định nghĩa
x + y := (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
)
λx := (λx
1
, λx
2
, , λx
n
).
Khi đó K

n
cùng với các phép toán trên là một không gian vectơ, gọi là không gian vectơ
K
n
. Đặc biệt, K = K
1
là một không gian vectơ.
23
2) M
m×n
(R) với phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận là không gian vectơ.
3) Tập K[x] các đa thức hệ số trong K là một không gian vectơ trên K với phép cộng và
phép nhân số với đa thức thông thường.
4) Tập K
n
[x] các đa thức bậc ≤ n là không gian vectơ trên K với phép toán trong K[x].
5) Tập C
[a,b]
các hàm số thực (tương ứng: phức) liên tục trên đoạn [a, b] với phép cộng hàm
số và nhân số với hàm số thông thường là không gian vectơ thực (tương ứng: phức).
6) Tập C
1
[a,b]
các hàm số liên tục trên [a, b], khả vi liên tục trên (a, b) là không gian vectơ
với phép toán trong C
[a,b]
.
2.1.2 Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ
1) Phần tử không θ là duy nhất.
2) 0.x = θ với mọi x ∈ V, λθ = θ với mọi λ ∈ K.

3) Phần tử đối −x của mỗi phần tử x ∈ V là duy nhất và −x = (−1).x.
Chú ý. Trong phạm vi học phần này, chúng tôi chỉ nghiên cứu về không gian vectơ thực.
2.1.3 Không gian con vectơ
Định nghĩa 2.1.3. Cho V là không gian vectơ và W là một tập con của V. Nếu phép cộng
và phép nhân với vô hướng trên V cảm sinh ra phép toán tương ứng trên W, và W cùng với
hai phép toán đó cũng là không gian vectơ, thì W được gọi là không gian con vectơ của V.
Định lý 2.1.4. Tập con W của không gian vectơ V là không gian con vectơ của V nếu và chỉ
nếu nó thỏa mãn các điều kiện
1) W = ∅;
2) x + y ∈ W với mọi x, y ∈ W ;
3) λx ∈ W với mọi λ ∈ R, x ∈ W .
Từ định lí 2.1.4 ta có khẳng định sau.
Bổ đề 2.1.5. Tập con W của không gian vectơ V là không gian con vectơ nếu và chỉ nếu nó
thỏa mãn hai điều kiện sau
1) W = ∅;
2) λx + y ∈ W với mọi x, y ∈ W, λ ∈ R.
Ví dụ 2.1.6. a) Theo ví dụ 2.1.2, ta có K
n
[x] là không gian vectơ con vectơ của K[x]; C
1
[a,b]
là
không gian con vectơ của C
[a,b]
.
b) W = {(x
1
, x
2
, x

3
)|x
1
+ x
2
− x
3
= 0} là không gian con vectơ của R
3
.
c) θ ≡ {θ} ⊂ V và V là không gian con vectơ của V.
2.1.4 Không gian con sinh bởi một tập
Định nghĩa 2.1.7. * Cho S là một tập con khác rỗng tùy ý của không gian vectơ V. Ta gọi
một tổng dạng
x = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
m
v
m
, (2.1)
trong đó v
1
, v

2
, , v
m
∈ S, λ
1
, λ
2
, , λ
m
∈ R là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc S.
* Vectơ x viết dưới dạng (2.1) được gọi là biểu diễn tuyến tính được qua v
1
, v
2
, , v
m
.
24
* Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S kí hiệu là S.
S = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
m
v

m
v
1
, v
2
, , v
m
∈ S, λ
1
, λ
2
, , λ
m
∈ R .
* Ta quy ước ∅ = {θ} ≡ θ.
Với mọi tập con S của V, ta có
θ ∈ S, S ⊂ S.
Ví dụ 2.1.8. 1) Trong R
2
cho α
1
= (1, 1), α
2
= (1, 0) và x = (3, −2). Hỏi x có phải là tổ hợp
tuyến tính của α
1
, α
2
không?
Giải.

Ta có
x = k
1
α
1
+ k
2
α
2
⇔ (3, −2) = k
1
(1, 1) + k
2
(1, 0)
⇔ (3, −2) = (k
1
+ k
2
, k
1
)
⇔
3 = k
1
+ k
2
−2 = k
1
⇔
k

1
= −2
k
2
= 5
.
Suy ra x = −2α
1
+ 5α
2
hay x là tổ hợp tuyến tính của α
1
, α
2
.
2) Trong R
3
cho các vectơ α
1
= (1, 1, 1), α
2
= (1, 0, 2), y = (−1, 1, 0). Hỏi y có biểu diễn
tuyến tính qua α
1
, α
2
được không?
Giải.
Ta có
y = k

1
α
1
+ k
2
α
2
⇔ (−1, 1, 0) = k
1
(1, 1, 1) + k
2
(1, 0, 2)
⇔ (−1, 1, 0) = (k
1
+ k
2
, k
1
, k
1
+ 2k
2
)
⇔
−1 = k
1
+ k
2
1 = k
1

0 = k
1
+ 2k
2
( vô nghiệm).
Suy ra không tồn tại k
1
, k
2
để y = k
1
α
1
+ k
2
α
2
, do đó y không biểu diễn tuyến tính qua
α
1
, α
2
được.
* Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với hệ phương trình tuyến tính
Cho ma trận A cấp m × n, có các cột là α
1
, α
2
, , α
m

∈ R
n
. Kí hiệu X =
x
1
x
2
.
.
.
x
m
, α
j
=
a
1j
a
2j
.
.
.
a
nj
, j = 1, n, B =
b
1
b
2
.

.
.
b
n
, ta viết AX = x
1
α
1
+ x
2
α
2
+ · · · + x
m
α
m
thì hệ phương trình tuyến
tính AX = B có dạng x
1
α
1
+ x
2
α
2
+ · · · + x
m
α
m
= B.

Từ đó ta có kết quả sau.
Định lý 2.1.9. Trong R
n
, B là tổ hợp tuyến tính của hệ {α
1
, α
2
, , α
m
} khi và chỉ khi hệ
phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm.
25