ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
…………………………
BÀI TẬP NHÓM
Học phần: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Nhóm 11-Lớp 3A
Đề tài:
“ Discovering Geometry – Hình học là một hệ thống Toán học ”
Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Đăng Minh Phúc Hồ Thị Lan Thuyền
Lê Thị Thu Thảo
Trịnh Thị Hồng Phượng
Kêr Văn Ánh
Huế, tháng 9 năm 2013
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
…………………………
BÀI TẬP NHÓM
Học phần: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3
Nhóm 11-Lớp 3A
Đề tài:
“ Discovering Geometry – Hình học là một hệ thống Toán học ”
Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Đăng Minh Phúc Hồ Thị Lan Thuyền
Lê Thị Thu Thảo
Trịnh Thị Hồng Phượng
Kêr Văn Ánh
2
Huế, tháng 9 năm 2013

3
Lời nói đầu.
Hầu hết các học sinh khi học toán, họ thường thích học đại số và giải tích hơn là
học hình học. Hình học đối với họ rất khó tư duy, “khám phá” và thật cứng nhắc. Tuy
nhiên, các bạn sẽ thay đổi suy nghĩ của mình sau khi đọc cuốn sách này, Discovering
Geometry, một cuốn sách đầy “màu sắc” và thú vị.
Cuốn sách Discovering Geometry (Khám phá hình học) của tác giả Michael Serra
là một cuốn sách hay và hữu ích, mang đến cho người đọc một cách tiếp cận mới trong
các vấn đề của hình học phẳng.
Chúng tôi chọn chương 13 của cuốn sách để giới thiệu đến các bạn. Với chủ đề
“Hình học là một hệ thống toán học”, chương 13 bao gồm 7 bài học, mỗi bài học đều
được dẫn dắt theo một trình tự hợp lí, giúp bạn đọc dễ hiểu và dễ nghiên cứu. Mở đầu là
việc đặt vấn đề cho mỗi chủ đề, tiếp đó chúng tôi đưa ra các nội dung chính, các ví dụ
kèm theo lời giải, và các phần kiến thức kết nối toán học với lịch sử, khoa học giúp bạn
đọc có cơ hội tìm hiểu mối liên hệ giữa toán học và các khoa học khác trong cuộc sống.
Cuối mỗi bài học sẽ là phần bài tập giúp độc giả luyện tập kỹ năng giải toán dựa trên cơ
sở lý thuyết mà chúng tôi đã đưa ra trước đó. Các bài tập được chọn khá cẩn thận, sát với
lý thuyết tương ứng, và được giải hoặc hướng dẫn giải khá chi tiết.
Cuối chương 13 sẽ là phần ôn tập, giúp độc giả hệ thống lại các kiến thức đã học
trong chương này. Hy vọng chương 13 của cuốn sách Discovering Geometry sẽ mang
đến cho bạn độc một cái nhìn mới mẻ, tổng quát và toàn diện về hình học, thấy được mối
liên hệ giữa các giả thuyết hình học. Đặc biệt là rèn luyện kỹ năng thiết lập mối quan hệ
giữa chúng như là một hệ thống, cách suy luận ngược vấn đề thông qua cây sơ đồ.
Đây là lần đầu tiên tài liệu này được chúng tôi chọn để giới thiệu đến bạn đọc nên
chắc chắn rằng vẫn còn nhiều sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được nhiều ý kiến góp ý
của bạn đọc để có thể làm cho chất lượng của tài liệu được tốt hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc đã giới thiệu đến
chúng tôi cuốn sách này.
4
MỤC LỤC

MỤC LỤC 5
Chương I: SƠ LƯỢC VỀ TÁC GIẢ TÁC PHẨM 7
I.Tác giả 7
II.Tác phẩm 7
ChươngII: NỘI DUNG CHƯƠNG 13 –HÌNH HỌC LÀ MỘT HỆ THỐNG
TOÁN HỌC 9
Bài 13.1: CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC 9
I.Đặt vấn đề 9
II.Cơ sở của hình học 10
III.Bài tập 17
Bài 13.2: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 22
I.Đặt vấn đề 22
II.Phương pháp chứng minh hình học 22
III.Bài tập 29
Bài 13.3: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TRONG TAM GIÁC 31
I.Đặt vấn đề 31
II.Các phép chứng minh trong tam giác 31
III.Bài tập 34
Bài 13.4: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TỨ GIÁC 37
I.Đặt vấn đề 37
II.Các phép chứng minh tứ giác 38
III.Bài tập. 39
Bài đọc thêm: CHỨNG MINH NHƯ MỘT THÁCH THỨC VÀ KHÁM PHÁ 42
Bài 13.5: PHÉP CHỨNG MINH GIÁN TIẾP 44
I.Đặt vấn đề 44
5
II.Phép chứng minh gián tiếp 44
III.Bài tập 47
BÀI 13.6: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TRONG ĐƯỜNG TRÒN 49
I.Các phép chứng minh trong đường tròn 49

II.Bài tập: 50
BÀI 13.7: CÁC PHÉP CHỨNG MINH ĐỒNG DẠNG 52
I.Các tính chất và định đề về sự đồng dạng 52
II.Bài tập 56
CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 58
I.Sử dụng các tính chất để chứng minh bằng phương pháp tọa độ 58
II.Bài tập 64
III. Các phép chứng minh đặc biệt của các giả thuyết đặc biệt 65
Bài đọc thêm: HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 66
ÔN TẬP CHƯƠNG 13 69
I.Bài tập 69
II. Đánh giá lại những gì bạn đã học 71
Chương III: KẾT LUẬN 73
I.Ưu điểm 73
II.Nhược điểm 74
III.So sánh với toán hình học THPT ở Việt Nam 74
1.Giống nhau: 74
2.Khác nhau: 74
IV.Bài học kinh nghiệm 74
Tài liệu tham khảo 75
6
Chương I: SƠ LƯỢC VỀ TÁC GIẢ TÁC PHẨM
I. Tác giả.
Michael Serra là một giáo viên dạy toán tại trường
trung học Geogre Washington ở San Francisco trong hơn
40 năm. Ông nghỉ hưu vào năm 2001 và bây giờ ông tham
gia vào các hội nghị toán học trong khư vực và trên thế
giới. Hiện tại, ông cũng đang là tình nguyện viên tại
trường tiểu học Claredon. Kinh ngiệm giảng dạy trong
hơn 40 năm qua đã giúp cho ông hình thành một cách tiếp

cận mới trong hình học. Ông đã viết nhiều tài liệu toán
học để dạy hình học bằng việc sử dụng các đồ vật quen
thuộc như giấy, bóng quần vợt,… Các tài liệu này là cơ sở
để ông viết cuốn sách “Discovering Geometry” đầy sáng
tạo. Ngoài “Discovering Geometry” ông cũng đã cho xuất
bản nhiều cuốn sách khác có giá trị như: “Patty paper
geometry”, “Mathercise Series”, “What’s wrong with this picture” và “Smart moves”.
Ông cũng viết cho nhiều bản tin toán học khác nhau và làm video về giảng dạy toán học.
II. Tác phẩm.
“Discovering Geometry” được Michael Serra viết
năm 2008, cuốn sách dày 833 trang, gồm 14 chương, chủ
yếu trình bày những khái niệm, định lý cơ bản và các ứng
dụng của hình học theo một cách tiếp cận mới_cách “khám
phá hình học”. Nội dung cơ bản của mỗi chương như sau:
• Chương 0: Hình học trong nghệ thuật.
• Chương 1: Giới thiệu về hình học.
• Chương 2: Các nguyên lí trong hình học.
• Chương 3: Sử dụng các công cụ trong hình học.
7
• Chương 4: Khám phá và chứng minh các tính chất trong tam giác.
• Chương 5: Khám phá và chứng minh các tính chất trong đa giác.
• Chương 6: Khám phá và chứng minh các tính chất trong đường tròn.
• Chương 7: Các phép biến hình và khảm đá hoa.
• Chương 8: Diện tích.
• Chương 9: Định lí Pythago
• Chương 10: Thể tích.
• Chương 11: Sự đồng dạng.
• Chương 12: Lượng giác.
• Chương 13: Hình học như một hệ thống toán học.
8

ChươngII: NỘI DUNG CHƯƠNG 13 –HÌNH HỌC
LÀ MỘT HỆ THỐNG TOÁN HỌC.
Bài 13.1: CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC
I. Đặt vấn đề
Như bạn đã học trong các chương trước,
hàng ngàn năm ở Babylon, Ai Cập, Trung Quốc,
các nhà toán học đã khám phá ra nhiều nguyên lý
hình học và phát triển các phương pháp để thực
hiện hình học thực tế.
Khoảng 600 năm TCN, một nền văn minh
mới thịnh vượng đã bắt đầu phát triển trong các thị
trấn buôn bán dọc theo bờ biển vùng Tiểu Á ( Thổ
Nhĩ Kỳ ngày nay) và sau đó ở Hy Lạp, Sicily và Ý.
Người dân đã có thời gian tự do để thảo luận và
tranh luận về các vấn đề của chính phủ và pháp
luật. Họ đã bắt đầu nhấn mạnh những lý do để ủng
hộ cho các tuyên bố đã được thực hiện trong cuộc
tranh luận. Các nhà toán học bắt đầu sử dụng lập
luận mang tính logic để đưa ra các ý tưởng toán
học.
Kết nối Lịch sử
Thales_ nhà toán học Hy Lạp thành Miletus ( khoảng 625-547 TCN ) đã thực hiện
những ý tưởng hình học của ông bằng việc dựa vào những khám phá và lập luận logic
của mình. Hơn 300 năm tiếp theo, phương pháp dựa vào các giả thuyết toán học và các
lập luận logic ngày càng trở nên tinh tế hơn. Các nhà toán học Hy Lạp, gồm Thales, sinh
viên nổi tiếng nhất, Pythagoras đã bắt đầu quan tâm đến các chuỗi suy luận logic. Truyền
thống đó vẫn tiếp tục với Plato và các học trò của ông. Euclide, trong Elments _tác phẩm
nổi tiếng của mình về hình học và lý thuyết số, đã thiết lập một chuỗi duy nhất các lập
luận suy diễn cho hầu hết phần hình học được biết đến sau đó.
Euclide đã sử dụng các công trình xây dựng hình học để nghiên cứu các tính chất

và các dạng đường thẳng. Euclide cũng đã tạo ra một hệ thống suy luận – một bộ cơ sở,
9
hoặc đã chấp nhận các sự kiện, và một bộ quy tắc để tổ chức hợp lý các thuộc tính hình
học. Ông bắt đầu từ một bộ sưu tập các phát biểu đơn giản và hữu ích mà ông gọi là tiên
đề. Sau đó ông ấy đã chứng minh một cách có hệ thống cách mà mỗi khám phá hình học,
hoặc định lý tiếp theo phải được suy ra từ các tiên đề và các giả thuyết đã được chứng
minh trước đó một cách hợp lý.
Cho đến nay, bạn đã khám phá ra tính chất quy nạp trong hình học, cách mà nhiều
nhà toán học đã sử dụng trong nhiều thế kỷ qua. Bạn đã học các hình hình học và đã đưa
ra các phỏng đoán về chúng. Sau đó để giải thích cho giả thuyết của bạn, bạn quay sang
lập luận suy diễn. Bạn sử dụng các chứng minh chính thức để giải thích tại sao một giả
thuyết là đúng. Tuy nhiên, bạn không cần chứng minh tất cả các giả thuyết. Trong thực
tế, đôi khi bạn đưa ra những giả định quan trọng dựa trên các giả thuyết không cần chứng
minh trong các chứng minh của bạn. Một kết luận trong một chứng minh là đúng khi và
chỉ khi cơ sở của bạn là đúng và tất cả lập luận của bạn là hợp lý. Một giả định sai có thể
dẫn đến kết luận sai.
Có phải tất cả các giả định của bạn là đáng tin cậy?
II. Cơ sở của hình học
Trong chương này bạn sẽ xem xét hình học như Euclide đã làm. Bạn sẽ bắt đầu
với các cơ sở: các định nghĩa, các tính chất và các tiên đề. Từ những cơ sở đó, bạn sẽ có
hệ thống chứng minh cho các giả thuyết trước đây của bạn. Các giả thuyết được chứng
minh sẽ trở thành các định lý, cái mà bạn có thể sử dụng để chứng minh các giả thuyết
10
Quá trình lập luận quy nạp Quá trình lập luận suy diễn
khác, biến chúng thành các định lý, như vậy là tốt. Bạn sẽ xây dựng một khung hợp lý để
sử dụng cho những ý tưởng và giả thuyết quan trọng nhất từ hình học.
1. Cơ sở cho lập luận logic trong hình học
• Các định nghĩa và các thuật ngữ chưa được định nghĩa
• Các tính chất của số học , đẳng thức và tương đẳng.
• Các tiên đề hình học

• Các giả thuyết hình học đã được chứng minh trước đây (định lý)
Bạn đã quen thuộc với nhóm đầu tiên của cơ sở trong danh sách trên: các thuật
ngữ chưa được định nghĩa về - điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Ngoài ra, bạn có một
danh sách các định nghĩa cơ bản trong phần bài tập của bạn.
Bạn sử dụng nhóm thứ 2 của tiên đề, các tính chất của số học và đẳng thức, trong
môn đại số của bạn.
2. Tính chất của số học
Cho ba số a, b, c bất kỳ
Tính chất giao hoán của phép cộng
a + b = b + a
Tính chất giao hoán của phép nhân
ab = ba
Tính chất kết hợp của phép cộng
(a + b) + c = a + (b + c)
Tính chất kết hợp của phép nhân
(ab)c = a(bc)
Tính chất phân phối
a(b +c) = ab + ac
3. Tính chất của đẳng thức
Cho các số a, b, c và d bất kỳ:
Tính chất phản xạ
a = a (bất kỳ số nào thì cũng bằng chính nó)
Tính chất bắc cầu
Nếu a = b và b = c thì b = c.(tính chất này thường có dạng của một tính chất thay
thế, tính chất này nói rằng nếu b = c thì bạn có thể thay thế c cho b)
11
Tính chất đối xứng
Nếu a = b thì b = a.b
Tính chất của phép cộng
Nếu a = b, thì a + c = b + c.

(Cũng như, nếu a = b và c = d thì a + c = b + d.)
Tính chất của phép trừ
Nếu a = b, thì a - c = b – c.
(Cũng như, nếu a = b và c = d thì a - c = b – d.)
Tính chất của phép nhân
Nếu a = b, thì ac = bc.
(Cũng như, nếu a = b và c = d thì ac = bd.)
Tính chất của phép chia
Nếu a = b thì = với c ≠ 0.
(Cũng như, nếu a = b và c = d , thì = với c ≠
0 và d ≠ 0.)
Tính chất căn bậc hai
Nếu = b, thì a = .
Tính chất nhân với 0
Nếu ab =0, thì a = 0 hoặc b = 0 hoặc cả a và b = 0
Liệu bạn có nhớ tên của các tính chất trên, bạn đã sử dụng các tính chất đó để giải
các phương trình đại số. Qúa trình giải một phương trình thực chất là một quá trình
chứng minh bằng đại số rằng nghiệm mà bạn đưa ra là đúng. Để đi đến một lời giải đúng,
bạn phải đưa ra trong mỗi bước là một tính chất.Ví dụ như với tính chất cộng của một
phương trình cho phép bạn cộng cùng một số vào cả hai bên của một phương trình tương
đương.
VÍ DỤ: giải tìm x: 5x-12 = 3(x + 2)
GIẢI: 5x-12 = 3(x+2) giả thiết
12
5x-12 = 3x+ 6 tính chất phân phối
5x = 3x + 18 tính chất cộng của đẳng thức
2x = 18 tính chất trừ của đẳng thức
x = 9 tính chất chia của đẳng thức
Tại sao các tính chất của đẳng thức lại quan trọng trong hình học? Độ dài của các
đoạn và số đo của các góc liên quan đến các con số, vì vậy bạn sẽ thường xuyên cần sử

dụng các tính chất đó trong các chứng minh hình học .Và cũng giống như bạn sử dụng
đẳng thức để biểu diễn mối quan hệ giữa các con số, bạn sử dụng sự tương đẳng để biểu
diễn mối quan hệ giữa các hình hình học.
4. Định nghĩa của sự tương đẳng
Nếu AB = CD, thì , và ngược lại, nếu , thì AB=CD.
Nếu sđ A=sđ∠ , thì A∠ B, và ngược lại, nếu A∠ ∠ B, thì ∠ sđ A=sđ∠ .
Đây là một trang dịch từ tiếng Latin của Euclide’s Elements. Định nghĩa nào trong các định
nghĩa sau đây mà bạn công nhận?
Sự tương đẳng được xác định bởi
một đẳng thức, vì vậy bạn có thể mở rộng
các tính chất của đẳng thức với tính chất
phản xạ, tính chất bắc cầu và tính chất đối
xứng của sự tương đẳng. Điều này giúp bạn
trong việc làm các bài tập.
Nhóm thứ 3 trong các cơ sở là đặc
trưng của hình học. Các cơ sở thường được
gọi là các định đề. Các định đề cần phải rất
cơ bản. Như các thuật ngữ chưa được định
nghĩa, chúng sẽ rất có ích và dễ dàng cho
mọi người cùng thống nhất vào đó, với ít
cuộc tranh luận nhỏ.
Như bạn đã thực hiện công trình xây
dựng hình học cơ bản trong lớp học này, bạn đã quan sát thấy một số "sự thật hiển nhiên
". Bất cứ khi nào bạn vẽ một hình hoặc sử dụng một dòng phụ trợ, là bạn đang sử dụng
các định đề
13
14
5. Các định đề của hình học
Định đề về đường thẳng: Bạn có thể vẽ được đúng
một đường thẳng đi qua 2 điểm bất kỳ. Nói cách khác,

2 điểm xác định một đường thẳng.
Định đề về giao điểm của các đường thẳng:
Giao điểm của 2 đường thẳng phân biệt là đúng một
điểm.
Định đề sao chép một phân đoạn: Bạn có
thể xây dựng một đoạn thẳng tương đẳng với đoạn
thẳng đã cho.
Định đề sao chép góc: Bạn có thể xây dựng
một góc tương đẳng với góc đã cho.
Định đề về trung điểm: Bạn có thể xây dựng
được đúng một trung điểm trên một đoạn thẳng bất
kỳ.
Định đề đường phân giác của một góc: Bạn
có thể xây dựng được đúng một đường phân giác
của một góc bất kỳ.
Định đề song song: Qua một điểm không
nằm trên một đường thẳng cho trước, bạn có thể xây
dựng được đúng một đường thẳng song song với
đường thẳng đã cho.
Định đề vuông góc: Qua một điểm không
nằm trên một đường thẳng cho trước, bạn có thể xây
dựng được đúng một đường thẳng vuông góc với
đường thẳng đã cho.
Định đề về tổng của đoạn thẳng: Nếu điểm B
nằm trên và nằm giữa hai điểm A và C, thì
AB + BC = AC.
15
Định đề về tổng của góc: Nếu điểm D nằm
phía trong ∠ABC, thì sđ∠ABD + sđ∠DBC =
sđ∠ABC.

Định đề về cặp tuyến tính: Nếu hai góc là một
cặp tuyến tính, thì chúng bù nhau.
Định đề các góc đồng vị: ( Định đề CA) Nếu hai
đường thẳng song song được cắt bởi một đường ngang,
thì các góc đồng vị bằng nhau. Ngược lại, nếu hai
đường thẳng đồng phẳng được cắt bởi một đường ngang
tạo thành các góc đồng vị bằng nhau, thì các đường
thẳng đó song song.
Định đề tương đẳng SSS (c-c-c): Nếu ba cạnh
của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia, thì hai
tam giác đó bằng nhau.
Định đề tương đẳng SAS (c-g-c): Nếu hai cạnh
và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc
xen giữa của một tam giác kia, thì hai tam giác đó bằng
nhau.
Định đề tương đẳng ASA (g-c-g): Nếu hai góc
và cạnh xen giữa của tam giác này bằng hai góc và cạnh
xen giữa của tam giác kia, thì hai tam giác đó bằng
nhau.
Kết nối Toán học
Euclide đã viết 13 quyển sách về hình học phẳng và hình học không gian trong số
nhiều chủ đề khác nhau. Ông ấy đã bắt đầu với các định nghĩa, định đề và những “khái
niệm chung” về các tính chất của đẳng thức. Sau đó ông ấy viết hàng trăm mệnh đề, mà
chúng ta sẽ gọi là các giả thuyết, và đã sử dụng các phép dựng hình dựa vào các định
nghĩa, các định đề để chỉ ra rằng chúng là hợp lý. Các phát biểu mà chúng ta gọi là định
đề thực chất là các định đề và một vài mệnh đề của Euclide.
Để xây dựng một khung hợp lý cho hình học mà bạn đã học, bạn sẽ bắt đầu với
những cơ sở của hình học. Trong các bài tập, bạn sẽ thấy những tiền đề này là cơ sở cho
16
một số giả định và giả thuyết trước đây của bạn. Bạn cũng sẽ sử dụng các định đề và tính

chất này để cho thấy một số phát biểu trong hình học là những hệ quả hợp lý của các phát
biểu khác.
III. Bài tập
1. Sự khác nhau giữa định đề và định lý là gì?
2. Euclid có thể đã phát biểu tính chất cộng của đẳng thức (dịch từ Hy Lạp) theo
cách này: "Nếu những cái bằng nhau được thêm vào những cái bằng nhau, kết quả là
được những cái bằng nhau ". Các tính chất trừ, nhân, và chia của đẳng thức cũng được
Euclide phát biểu tương tự như trên. (Bạn có thể viết chúng bằng tiếng Anh- phần bổ
sung cho tiếng Hy Lạp cổ!)
3. Viết tính chất phản xạ, bắc cầu, đối xứng của sự tương đẳng. Hãy thêm các tính
chất đó vào vở của bạn. Mỗi tính chất bao gồm một sơ đồ. Minh họa một tính chất với
các tam giác bằng nhau, một tính chất khác với các đoạn bằng nhau, và một tính chất với
các góc bằng nhau. (Các tính chất này dường như hết sức lố bịch. Điều này cho thấy tại
sao chúng được chấp nhận như là cơ sở, mà không cần chứng minh!)
4. Khi bạn nói AC = AC, thì bạn đang sử dụng tính chất gì? Khi bạn nói

, thì bạn đang sử dụng tính chất gì?
5. Tính chất nào dùng để hỗ trợ cho phát biểu này: Nếu ∠ACE ≅ ∠ BDF và
∠BDF ≅ ∠HKM, thì ∠ ACE ≅ ∠ HKM.
6. Tính chất nào dùng để hỗ trợ phát biểu này: Nếu x + 120 = 180, thì x = 60.
7. Tính chất nào dùng để hỗ trợ phát biểu này: Nếu 2 (x + 14) = 36, thì x + 14 =
18.
Trong bài tập 8 và 9, hãy bổ sung các tính chất đã bị mất của đẳng thức hoặc số
học như một lý do cho mỗi bước để giải quyết các phương trình đại số hoặc để chứng
minh cho lập luận đại số.
8. Giải tìm x: 7x - 22 = 4(x+2)
Giải: 7x - 22 = 4(x+2) giả thiết
7x – 22 = 4x + 8 tính chất …
3x – 22 = 8 tính chất … của đẳng thức
3x = 30 tính chất … của đẳng thức

x =10 tính chất … của đẳng thức
17
9. Giả thuyết: Nếu - c = d, thì x = m(c + d), với m≠0.
Chứng minh: - c = d …
= c + d …
x = m(d + c) …
x = m(c + d) …
Trong các bài tập 10-17, hãy xác định mỗi phát biểu là đúng hay sai. Sau đó, phát
biểu các định nghĩa, tính chất của đại số, tính chất của sự tương đẳng, hoặc các định đề
hỗ trợ câu trả lời của bạn.
10. Nếu M là trung điểm của , thì AM = BM.
11. Nếu M là trung điểm của và N là trung điểm của , thì M và N là trùng
nhau.
12. Nếu chia đôi ∠CAD, thì ∠CAB ≅ ∠DAB.
13. Nếu chia đôi ∠CAD và chia đôi ∠CAD, thì và là những tia
trùng nhau.
14. Đường thẳng l và m có thể cắt nhau tại các điểm khác nhau A và B.
15. Nếu đường thẳng l đi qua hai điểm A và B và đường thẳng m cũng đi qua hai
điểm A và B, thì hai đường thẳng l và m không là trùng nhau.
16. Nếu điểm P nằm bên trong của ∠RAT, thì sđ∠RAP + sđ∠PAT = sđ∠RAT.
17. Nếu điểm M nằm trên và giữa các điểm A và C, thì AM + MC = AC.
18. Sao chép và hoàn thành sơ đồ chứng minh sau. Đối với mỗi lý do, nêu rõ định
nghĩa, tính chất của đại số, hoặc tính chất của sự tương đẳng để hỗ trợ cho các phát biểu.
18
Giả thiết: và là bán kính
Kết luận: ΔAOB là cân

19. Giả thiết: ∠1 ≅ ∠2
Kết luận: ∠3 ≅ ∠4


20. Giả thiết: ≅ , ≅
Kết luận: ∠D ≅ ∠C

21. Giả thiết: ABC là tam giác cân với
Kết luận: ∠A ≅ ∠C
19
22. Bạn có thể thấy rằng tổng của hai số nguyên lẻ luôn luôn là một số nguyên
chẵn. 2n được kí hiệu là số nguyên chẵn và 2n - 1 được kí hiệu là số nguyên lẻ. Cho 2n -
1 và 2m - 1 đại diện cho bất kỳ hai số nguyên lẻ, chứng minh rằng tổng của hai số nguyên
lẻ luôn luôn là một số nguyên chẵn.
23. Cho 2n - 1 và 2m - 1 đại diện cho bất kỳ hai số nguyên lẻ, chứng minh rằng
tích của bất kỳ hai số nguyên lẻ luôn luôn là một số nguyên lẻ.
24. Chứng minh rằng tổng của bất kỳ ba số nguyên liên tiếp luôn luôn chia hết cho
3.
25. Shannon và Erin
đang leo lên một ngọn núi. Tất
nhiên, họ được trang bị các
thiết bị đo độ nghiêng mà họ
đã thực hiện trong lớp học
hình học. Tại điểm A dọc theo
một phần bằng phẳng của
đường mòn, Erin nhìn thẳng về phía trước đỉnh núi một góc khoảng 22 °. Tiếp tục đi theo
đường mòn 220m thẳng đến chân núi tại điểm B. Tại điểm đó, Shannon đo góc để nhìn
đỉnh núi là 38 °. Từ B có một đường mòn sau sườn núi thẳng lên đến đỉnh núi. Tại điểm
B, họ cách đỉnh núi một khoảng bao xa?
26. Sắp xếp tên của các vật thể theo thứ tự từ lớn nhất đến bé nhất.
20
Giả thiết
Định nghĩa của…
Thể tích: … … …

Diện tích bề mặt: … … …
Chiều dài của đoạn dài nhất mà sẽ phù hợp với bên trong: … … …
27. Hai tháp truyền thông đứng cách nhau
64 ft. Tháp thứ nhất cao 80 ft và cái thứ hai cao 48
ft. Mỗi tháp có một dây chằng từ đầu của nó được
neo vào chân của tháp còn lại. Chiều cao của
đoạn chéo nhau giữa hai dây chằng là bao nhiêu?
Trong bài tập 28 và 29, tất cả các phép đo chiều dài được lấy đơn vị là mét.
28. Điểm sai trong hình ảnh này là gì? 29. Tìm số đo góc x và y, và chiều dài a.
30. Mỗi cung là một phần của một đường tròn với tâm của nó tại mỗi đỉnh của
hình vuông.
Giả thiết : Mỗi ô vuông có chiều dài bên 1 đơn vị. Tìm: Các diện tích phần bóng
mờ
21
Bài 13.2: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
I. Đặt vấn đề
Một chứng minh trong hình học bao gồm một chuỗi các mệnh đề, bắt đầu với một
bộ cơ sở cho trước và dẫn đến một kết luận hợp lý. Mỗi mệnh đề sau từ một hoặc nhiều
hơn các mệnh đề trước đó và được cung cấp bởi một lập luận. Một lập luận của một
mệnh đề phải từ một tập các cơ sở mà bạn đã xét trong bài học 13.1.
Trong các chương trước, bạn thường chứng minh nhiều giả thuyết. Bây giờ bạn
có thể chứng minh chính thức giả thuyết đó bằng việc sử dụng các cơ sở của hình học .
Trong bài này bạn sẽ xác định cho mình những gì được cho trước và những gì bạn phải
chứng minh để chứng minh một giả thuyết. Bạn cũng sẽ tạo nên các sơ đồ có đính kèm
tên của riêng bạn.
II. Phương pháp chứng minh hình học
Như bạn đã thấy, bạn có thể nêu nhiều giả thuyết hình học như các mệnh đề điều
kiện. Ví dụ, bạn có thể viết giả thuyết: “Các góc thẳng đứng là bằng nhau“ như một mệnh
đề điều kiện: “Nếu hai góc là góc thẳng đứng, thì chúng bằng nhau”. Để chứng minh rằng
một mệnh đề điều kiện là đúng, bạn giả sử rằng phần đầu tiên của câu điều kiện là đúng,

rồi chứng minh một cách hợp lý phần thứ hai của câu điều kiện là đúng. Nói cách khác,
bạn chứng minh phần đầu tiên kéo theo phần thứ hai. Phần thứ nhất là những gì bạn giả
sử đúng trong chứng minh, đó là thông tin đã cho. Phần thứ hai là phần lập luận lôgic
trong chứng minh; đó là những gì bạn phải chỉ ra.
Tiếp theo, hãy vẽ và làm một sơ đồ các ký hiệu để minh họa cho các thông tin đưa
ra. Sau đó sử dụng các ký hiệu trong sơ đồ để xác định lại đường đi của những gì đã được
đưa ra và những gì bạn phải thực hiện.
Một khi bạn đã tạo ra một sơ đồ để minh họa cho giả thuyết của bạn và bạn biết
nơi bắt đầu và nơi đi đến, hãy lập kế hoạch sử dụng các lập luận mang tính chiến lược
bạn đã được phát triển. Sử dụng krrs hoạch của bạn để viết chứng minh. Đây là quá trình
hoàn tất.
1. Viết một chứng minh
Yêu cầu 1: Từ các mệnh đề điều kiện, xác định những gì đưa ra và những gì bạn
phải chứng minh.
22
Yêu cầu 2: Hãy vẽ và làm một sơ đồ ký hiệu cho thông tin đưa ra.
Yêu cầu 3: Hãy xác định những gì được đưa ra và những gì cần phải chứng minh
nhờ vào sơ đồ của bạn.
Yêu cầu 4: Sử dụng hương pháp chứng minh mang tính chiến lược. Sắp xếp các
lập luận của bạn trên tinh thần hoặc trên giấy.
Yêu cầu 5: Từ phương pháp của bạn, hãy viết một chứng minh.
Trong chương 2, bạn đã chứng minh giả thuyết về các góc đối đỉnh mà bây giờ nó
trở thành các định đề.
Vì vậy, giả thuyết các góc đối đỉnh trở thành định lí các góc đối đỉnh (Định lí VA).
Điều đó rất quan trọng khi bạn xây dựng hệ thống toán học mà chỉ sử dụng các cơ sở của
hình học. Chúng bao gồm các định lý, không phải các giả thuyết không được chứng
minh. Bạn có thể sử dụng tất cả các định lý trong danh sách các định lý của bạn như các
cơ sở cho việc chứng minh các định lý khác. Ví dụ, trong ví dụ A bạn có thể sử dụng
định lý VA để chứng minh định lý khác.
Bạn có thể nhận thấy rằng trong các bài trước chúng tôi đã nêu giả thuyết góc

đồng vị như là một định đề, nhưng không phải là giả thuyết AIA và giả thuyết AEA.
Trong ví dụ đầu tiên bạn sẽ thấy cách sử dụng năm yêu cầu của quá trình chứng minh để
chứng minh giả thuyết AIA.
23
Ví dụ A: Chứng minh giả thuyết về góc so le trong: Nếu hai đường thẳng song
song được cắt bởi một đường ngang, thì các góc so le trong bằng nhau.
Giải: Đối với yêu cầu 1, xác định những gì được đưa ra và những gì bạn phải
chứng minh.
Giả thuyết: Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường ngang.
Kết luận: Các góc so le trong được tạo bởi các đường thẳng là bằng nhau.
Đối với yêu cầu 2, hãy vẽ và làm một sơ đồ ký hiệu.
Đối với yêu cầu 3, hãy xác định lại những gì đã đưa ra và những gì bạn cần phải
chứng minh nhờ vào sơ đồ đó.
Giả thiết: Đường thẳng và song song với nhau bị cắt bởi tạo nên các góc so
le trong ∠1và ∠2.
Kết luận : ∠1 ≅ ∠2.
Đối với yêu cầu 4, lập kế hoạch cho một chứng minh. Sắp xếp các lập luận của
bạn trên tinh thần hoặc viết ra giấy.
Kế hoạch
Bạn cần chứng minh rằng ∠1 ≅ ∠2.
Nhìn qua các định lý và định đề, ta thấy định đề về góc đồng vị và định lý về góc
đối đỉnh là hữu ích.
Từ định đề về góc đồng vị, ta biết rằng ∠ 2 ≅ ∠3 và từ định lý về góc đối đỉnh,
∠1 ≅ ∠3.
Nếu ∠2 ≅ ∠3 và ∠1 ≅ ∠3, thì bằng cách thay thế ta được ∠1 ≅ ∠2.
Đối với yêu cầu 5, tạo ra một chứng minh từ kế hoạch của bạn.
24
2. Sơ đồ chứng minh
Vì vậy, giả thuyết AIA trở thành định lý AIA. Hãy bổ sung định lý này vào danh
sách các định lý của bạn.

Trong chương 4, bạn đã chứng minh chính thức về giả thuyết tổng các góc trong
tam giác. Việc chứng minh là dễ dàng, nhưng cũng cần phải khéo léo, bởi vì nó đòi hỏi
phải dựng thêm một đường thẳng phụ. Trong chứng minh, tất cả các bước đều sử dụng
các tính chất mà bây giờ chúng ta chỉ định các tính chất đó như định đề.
Ví dụ B cho thấy một sơ đồ chứng minh. Ví dụ, định đề song song luôn đảm bảo
rằng ta có thể dựng được một đường thẳng phụ đi qua một đỉnh và song song với cạnh
đối diện.
Ví dụ B: Chứng minh giả thuyết tổng các góc
trong một tam giác: Tổng số đo các góc trong một tam
giác bằng 180°.
Giải: Giả thiết: ∠1, ∠2, ∠3 là ba góc của ∆ABC.
Kết luận: sđ∠1 + sđ∠2 + sđ∠3 = 180°.
25