Trang 1
GIảI TOáN TRÊN MáY TíNH CầM TAY
Phần I: Giới thiệu chung về máy tính
Casio
1/ Giới thiệu chung về dòng máy tính Casio:
Trong dòng máy tính do hãng BITEX cung cấp gồm nhiều loại từ fx 220, fx 500A
đến fx 500MS, fx 570 MS, fx 500 ES, fx 570 ES hay fx 500 plus v.vđa số với hệ THCS
th-ờng dùng loại fx 500MS vì chất l-ợng, tính năng và giá cả phù hợp với mặt bằng kinh tế
chung của xã hội.
Loại fx 220 và fx 500A đã dừng sản xuất từ lâu với lý do là màn hình một dòng,
không phù hợp với cách nhập dữ liệu trên giấy của học sinh.
Máy tính fx 500A có 140 chức năng, màn hình 1 dòng.
Máy tính fx 500 MS có 244 chức năng, màn hình 2 dòng.
Máy tính fx 570 MS có 401 chức năng, màn hình 2 dòng.
Từ thế dòng máy tính fx 500 MS trở đi đều có màn hình 2 dòng, việc nhập dữ liệu
thuận nh- ghi chép trong vở nên rất tiện lợi cho học sinh trong quá trình tính toán.
Khi mua máy tính của Công ty Cổ phần Xuất nhập khẩu Bình Tây các bạn
đ-ợc cung cấp bộ tài liệu h-ớng dẫn sử dụng máy kèm theo, tuy nhiên nếu bạn mua phải
hàng nhái thì có thể không đ-ợc cung cấp tài liệu này. Khi mua máy tính bạn cần chú ý
kiểm tra tem chống hàng giả do Bộ Công an cấp.
2/ Riêng với dòng máy tính Casio fx 500 MS
Chú ý: Máy tính fx 500 MS có 244 chức năng, màn hình 2 dòng. Máy chỉ nhận ra
các số nguyên có không quá 10 chữ số, nếu bạn nhập quá thì tất cả các chữ số nhập sau
đều đ-ợc coi là số 0 và không nhập liên tục quá 73 b-ớc.
a/ Mở máy, tắt máy và cách ấn phím:
Mở máy : ấn ON
Tắt máy: ấn SHIFT OFF
Xoá màn hình: AC (xoá hết các dữ liệu).
Xoá số vừa nhập: DEL

Các phím chữ màu trắng và DT : ấn trực tiếp.
Các phím chữ màu vàng: ấn sau SHIFT
Các phím màu đỏ: ấn sau ALPHA
Khi tính toán trên máy, nên thực hiện các phép tính một cách liên tục cho đến kết
quả cuối cùng, hạn chế việc ghi chép kết quả ra ngoài giấy nháp vì có thể dẫn đến sai số
lớn trong kết quả. Máy sẽ tự động tắt sau khảng 6 phút nếu bạn không ấn phím.
b/ Các loại phím trên máy:
Phím
Chức năng
ON
Mở máy
SHIFT OFF
Tắt máy


Trang 2

Các phím di chuyển con trỏ trên màn hình
0 1 2 3 . . .
Các phím số, nhập trực tiếp từ bàn phím
.
Dấu ngăn cách giữa phần nguyên và phần thập phân
+ - x


Dấu của các phép tính cộng, trừ, nhân và chia
AC
Xoá hết màn hình đang thực hiện
DEL
Xoá ký tự hay số vừa nhập

( - )
Dấu âm
SHIFT CLR 1 =
Xoá ô nhớ
SHIFT CLR 2 =
Xoá cài đặt
SHIFT CLR 3 =
Xoá tất cả
A B C D E F
X Y M
Là các ô nhớ, mỗi ô chỉ chứa đ-ợc 1 số trừ ô M dùng để l-u kết
quả với chức năng M+, M- để gán thêm hay bớt
M+
Thêm vào số đã nhớ trong M
M-
Bớt đi số đã nhớ trong M
SHIFT
Phím điều khiển dùng kênh chữ màu vàng
ALPHA
Phím điều khiển dùng kênh chữ màu đỏ ( ô nhớ)
MODE
Phím điều khiển chọn kiểu tính toán
( )
Phím dấu ngoặc
EXP
Nhân với luỹ thừa của 10 với số mũ nguyên


Lấy ra số pi
0



Nhập hoặc đọc độ , phút, giây ( Số đo độ của góc)
,,,
o

Đọc số đo của góc
DRG
Chuyển đổi đơn vị giữa độ, rađian, grad
Rnd
Làm tròn giá trị
nCr
Tính tổ hợp chập r của n phần tử
nPr
Tính chỉnh hợp chập r của n phần tử
Ans
L-u kết quả khi bấm phím dấu =
SHIFT INS
Chèn số vào vị trí con trỏ đang hiển thị
Phím hàm
Phím
Chức năng
Sin cos tan
Hàm số l-ợng giác sin, cosin, tang
Sin
-1
cos
-1
tan
-1

Nghich đảo của sin, cosin, tang (tan
-1
= cotang)
log ln
Logarit thập phân, logarit tự nhiên
e
x
10
x
Hàm mũ cơ số e, cơ số 10


Trang 3
x
2
x
3

Bình ph-ơng, lập ph-ơng cơ số x

3

x

Căn bậc 2, bậc 3, bậc x
x
-1

Nghịch đảo của x
^

Luỹ thừa
x!
x giai thừa
%
Phần trăm
a
b
c

Nhập phân số hoặc hỗn số, hoặc đổi ra phân số, hỗn số
d/c
Đổi hỗn số ra phân số và ng-ợc lại
ENG
Chuyển ra dạng a x 10
n
với n giảm
ENG

Chuyển ra dạng a x 10
n
với n tăng
Pol(
Đổi toạ độ Đề Các ra toạ độ cực
Rec(
Đổi toạ độ cực ra toạ độ Đề Các
RAN#
Nhập số ngẫu nhiên
Phần thống kê
Phím
Chức năng

DT
Nhập dữ liệu, xem kết quả
S-SUM
Gọi
2
x

,
x

, n
S-VAR
Gọi
x
,
n

,
1n



n
Tổng tần số
x

Giá trị trung bình cộng của các biến l-ợng
n



Độ lệch tiêu chuẩn theo n
1n



Độ lệch tiêu chuẩn theo n 1
x


Tổng các biến l-ợng
2
x


Tổng bình ph-ơng các biến l-ợng
Các kiểu tính toán
Nhóm phím
Chức năng
MODE 1
Kiểu COMP : Màn hình hiện D ở góc trên bên phải, thông báo
máy ở trạng thái tính toán cơ bản
MODE 2
Kiểu SD : Màn hình hiện SD ở góc trên bên phải, thông báo
máy ở trạng thái giải toán thông kê 1 biến


Kiểu EQN : Màn hình hiện EQN ở góc trên bên phải, thông báo
máy ở trạng thái giải ph-ơng trình:



Trang 4

MODE MODE 1
Unknowns ? ( số ẩn của hệ ph-ơng trình ) Nếu
+ ấn tiếp 2 : Giải hệ bậc nhất 2 ẩn
+ ấn tiếp 3 : Giải hệ bậc nhất 3 ẩn.
Degree ? ( số bậc của ph-ơng trình ) Nếu
+ ấn tiếp 2 : Giải ph-ơng trình bậc 2 một ẩn
+ ấn tiếp 3 : Giải ph-ơng trình bậc 3 một ẩn
MODE MODE
MODE 1
Kiểu Deg : Màn hình hiện D ở phía trên, thông báo máy ở trạng
thái tính toán với đơn vị đo góc là độ.
MODE MODE
MODE 2
Kiểu Rad : Màn hình hiện R ở phía trên, thông báo máy ở trạng
thái tính toán với đơn vị đo góc là radian.
MODE MODE
MODE MODE 1
Kiểu Fix: Màn hình hiện Fix ở phía trên, chọn ấn tiếp 1 số bất
kỳ để quy định làm tròn đến mấy chữ số ở phần thập phân
MODE MODE
MODE MODE 2
Kiểu Sci : Màn hình hiện Sci ở phía trên, chọn ấn tiếp 1 số bất
kỳ để quy định số chữ số có nghĩa của số a trong cách ghi kết
quả tính toán ở dạng khoa học a.10
n
MODE MODE
MODE MODE 3
Kiểu Norm : ấn tiếp số 1 hoặc 2 để thay đổi giữa hai cách ghi

số dạng thông th-ờng và xoá cách ghi kết quả tính toán ở dạng
khoa học a.10
n
MODE MODE
MODE MODE
MODE 1
Chọn cách hiện kết quả ở dạng phân số hoặc hỗn số hoặc chỉ ở
dạng phân số
MODE MODE
MODE MODE
MODE 1
Kiểu Dot (dấu .), Comma (dấu ,): Dùng để đổi dấu ngăn cách
giữa phần nguyên và phần thập phân và dấu phân định nhóm 3
chữ số ở phần nguyên
Các dòng máy tính khác, các bạn tự tìm hiểu thông qua tài liệu h-ớng dẫn sử
dụng riêng gửi kèm theo máy; tuy nhiên nên định h-ớng đi sâu vào một loại nhất định
để khai thác tốt các chức năng đã đ-ợc cài đặt trong máy
Các dòng máy tính của Công ty Điện tử Việt Nhật đ-ợc cài đặt nhiều phím
chức năng có thể cao hơn dòng máy tính cùng ký hiệu của hãng Casio tuy nhiên độ
nhạy của các phím không cao, khi dùng th-ờng phải bấm mạnh tay hơn. Vì vậy nếu
bạn dùng cần chú ý điều này.
Tất cả các loại máy tính tr-ớc khi dùng bạn đều phải kiểm tra nguồn (pin) và xoá
mọi cài đặt tr-ớc khi lựa chọn kiểu tính toán riêng để đảm bảo không nhầm lẫn khi làm
tính.
Cuối cùng tất cả vẫn là con ng-ời ! Nhân tố quyết định quan trọng nhất ! Chúc
các bạn thành công !



Trang 5

Phần II: Một số dạng bài tập phổ biến cơ bản
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức:
Bài tập 1:
Tính giá trị của biểu thức sau:
a/ A =
3 3 3
1 1 4
( ): ( ).( )
2 4 7 3 7 5
7 3 3 5 3
2
( ). ( ):( )
8 5 9 5 6 4









GII:
Cỏch 1: Bin i biu thc v dng biu thc hu t ri tớnh toỏn trờn mỏy:
A =
1 3 3 1 3 4 7 3 2 3 5 3
: . : . :
2 4 7 3 7 5 8 5 9 5 6 4












Cỏch 2: Tớnh toỏn bỡnh thng biu thc trờn t v biu thc di mu theo cỏch
t B =
1 3 3 1 3 4
:.
2 4 7 3 7 5







Tớnh c B =
3675
344

; C=
7 3 2 3 5 3
.:
8 5 9 5 6 4








Tớnh c C =
2183
150

=> A =
B
C
3675/344
0,734068222
2183/150


b/ B =
0303
4
3
03020302
20cot.5,0:42sin
25401520cos.35sin
g
tgtg

GII: Quy trỡnh bm trờn mỏy tớnh casio fx 500 MS nh sau :
Tớnh t s: ( sin 35 ) x

2
( cos 20 ) x
3
- 15 ( tan 40 ) x
2
( tan
25 ) x
3
= SHIFT STO A
Tớnh mu s: 3 a
b
c
4 ( sin 42 ) x
3
ữ 0,5 ( 1 ữ ( tan 20 ) x
3
=
Tip tc tớnh: ALPHA A ữ Ans = (kq:

- 36,82283812 )
Bài tập 2:
Tính kết quả đúng của các tích sau:
a/ M = 2222255555 . 2222266666
b/ N = 20032003 . 20042004
GII: a/ t A = 22222; B = 55555 ; C = 66666 ta cú :
M = (A.10
5
+ B)(A.10
5
+ C) = A

2
.10
10
+ A.B.10
5
+ A.C.10
5
+ B.C
Tớnh bng mỏy c: A
2
= 493817284 ; A.B = 1234543210 ; A.C = 1481451852
B.C = 3703629630 ; Tớnh trờn nhỏp c M = 4938444443209829630
b/ Lm tng t tớnh c N = 401481484254012
õy l loi bi tp tớnh toỏn trờn mỏy kt hp dựng giy nhỏp vỡ b
nh trờn mỏy khụng cho tớnh toỏn ton b bng mỏy tớnh cỏ nhõn.


Trang 6
Bài tập 3:
Tính giá trị của biểu thức:
a/ P = 3 +
3
5
2
4
2
5
2
4
2

5




ỏp s P =
233 1761
4 4,609947644
382 382


b/ Q = 7 +
4
1
3
1
3
1
3
1



ỏp s Q =
43 1037
7 7,302816901
142 142


Cỏch 1: S dng cỏc du ngoc a v dng phộp chia cho mt tng.

Cỏch 2: Dựng phng phỏp tớnh ngc t cui
Bài tập 4 :
Tính giá trị của biểu thức:
a/ Cho sin

= 0,3456 ; ( 0 <

< 90
0
).
Tính M =


333
233
cot)sin(cos
)sin1(cos
g
tg



b/ Cho cos
2

= 0,5678 ; ( 0 <

< 90
0
).

Tính N =


433
3232
cos1).cot1).(1(
)sin1.(cos)cos1.(sin


gtg

GII: a/ SHIFT sin
-1
0,3456 = ( ( cos Ans ) x
3
( 1 + ( sin Ans
) x
3
) + ( tan Ans ) x
2
) ữ ( ( ( cos Ans ) x
3

+ ( sin Ans ) x
3
) ( 1 ữ ( tan Ans ) x
3
) ) =
ỏp s 0,057352712
b/ Lm tng t cõu a ỏp s 0,280749911

Dạng 2 : Khai thác khả năng tính toán tìm số d-:
Bài tập :
a/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tìm số d- khi chia số 18901969 cho số
2382001. ( ỏp s d 2227962 )
b/ Viết quy trình ấn phím để tìm số d- trong phép chia 3523127 cho 2047.
( ỏp s d 240 )
c/ áp dụng tìm số d- trong phép chia số 1234567890987654321 cho số 123456
GII: Do mỏy Casio fx 500 MS ch nhn ra s ỳng khi ta nhp khụng quỏ 10 ch s
vo mỏy nờn ta chia ra nh sau: B qua nhúm ch s 123456; bt du chn nhp vo
mỏy tớnh t 7890987654 chia cho 123456 sau ú dựng phớm REPLAY sa du chia
thnh du tr khi ú trờn mn hỡnh ta cú phộp tớnh mi l 789098765- 123456.


Trang 7
63917=50502 (S 63917 l phn nguyờn ca phộp chia ban u). Sau ú ta ghộp
thng tỡm c vi nhng ch s cũn li ca s b chia chia tip nh trờn ta tỡm
c s d l 8817
d/ Tìm số d- trong phép chia số 200620062006 cho số 2001.
(Lm nh trờn ta cú s d l 105 )
e/ Tỡm s d khi chia s 9
19
cho 2007.
Gi ý: Tỏch 9
19
= 9
10
.9
9
sau ú tỡm s d ca mi th s khi chi cho 2007, ly tớch ca
2 s d ú tip tc chia cho 2007 ta tỡm c s d ca phộp chia ban u

( ỏp s d 1890 )
Tuy nhiờn hin nay hóng in t Vit - Nht ó ci t phn mm ng d thc
trờn mỏy tớnh vinacal 500 MS nờn dng bi tp ny ớt s dng
Dạng 3: Giải ph-ơng trình bậc nhất một ẩn số:
Bài tập :
Giải các ph-ơng trình sau:
a/
3
1
1
(0,3 ).1
(x 4 ):0,003
20 2
21
:62 17,81:0,0137 1301
1 1 3 20
1
(3 2,65).4:
(1,88 2 ).
25
25 8












( ỏp s x= 7,6875 )
b/
13 5
2 1 1
( :2 ).1
15,2.0,25 48,51:14,7
44 11 66 2 5
x1
3,2 0,8.(5 3,25)
2





( ỏp s x= 25 )
c/
3
4 4 1
(0,5 1 . ).x 1,25.1,8 :( 3 )
7 5 7 2
3
5,2:(2,5 )
3 3 4
1
15,2.3,15 :(2 .4 1,5.0,8)
4 2 4








( ỏp s x= - 903,4765135 )
d/
22
3
24
(0,15 0,35 ):(3x 4,2) .( . )
4 3 5
1
3 :(1,2 3,15)
2
3
2 12
12,5 . : (0,5 0,3.0,75):
7 5 17











( ỏp s x= - 1,393363825 )
Dng bi tp ny gn ging dng tớnh ngc t cui.
Dạng 4: Giải bài toán bằng ph-ơng pháp thử chọn.
Bài tập :
a/ Tìm các chữ số a , b , c , d , e biết
a8
.
bcde
= 96252
b/ Tìm các chữ số a , b , c , d để ta có
a5
.
bcd
= 7850
c/ Tìm các chữ số a , b và số tự nhiên y biết
a7b
. y = 217167


Trang 8
GII: a/ T iu kin
a8
.
bcde
= 96252 => 96252 chia ht cho
a8

Dựng mỏy th chn vi a ln lt t 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ch cú a = 7
tha món 96252 chia ht cho 78. Vi a = 7 ta cú 96252 : 78 = 1234.
Vy a = 7; b = 1; c = 2 ; d = 3; e = 4

b/ Lm nh trờn tỡm c a = 2; b = 3; c = 1; d = 4
c/ Vỡ tớch ca 2 s cú tn cựng l 7 nờn b ch cú th l cỏc s 1; 3; 7; 9 cũn a cú
th ln lt nhn cỏc giỏ tr t 0 n 9.
Dựng mỏy th chn thy ch cú b = 3 c s 573 v b = 9 c s 379 tha
món
+ b = 3 ta cú 217167 : 573 = 379 => a = 5; b = 3 v y = 379
+ b = 9 ta cú 217167 : 379 = 573 => a = 3; b = 9 v y = 573
Dạng 5 : Các bài toán về đa thức.
Định lý Bơdu: D- trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x a) là một hằng
số và bằng f(a).
Hệ quả : Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x a).
ứng dụng của định lý Bơdu:
Định lý: Nếu đa thức với các hệ số nguyên f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có
nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là -ớc của hạng tử tự do a
0

Tng quỏt: Nếu đa thức với các hệ số nguyên f(x) = a
n

x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có
nghiệm hữu tỷ dạng p/q thì p phải là -ớc của a
0
và q là -ớc của a
n
nếu a
n
= 1 thì mọi
nghiệm hữu tỷ đều là nghiệm nguyên
CC DNG BI TP V A THC
Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức f(x) tại x = a
Bài tập 5.1:
Cho đa thức f(x) = 2x
5
+ 3x
4
4x
3
5x
2

+ 3x + 1
Tính giá trị của đa thức đã cho tại x=
2
; x =


GII: Ta tớnh giỏ tr ca a thc f(x) ti x =
2
; x =

bng cỏch khai bỏo giỏ
tr ca bin nhp vo phớm Ans ri tớnh toỏn
ỏp s f(
2
)

7,242640687; f(
)


741,3182919
Dạng 5.2: Tìm số d- trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x a)
Bài tập 5.2:
Cho đa thức f(x) = x
4
+ 3x
3
2x
2
x + 5 . Hãy tìm số d- khi chia đa thức trên cho

nhị thức (x -

)
GII: Ta tớnh giỏ tr ca a thc f(x) ti x =

bng cỏch khai bỏo giỏ tr ca bin
nhp vo phớm Ans ri tớnh toỏn nh va lm trờn
ỏp s f(
)


172,5471196
Dạng 5.3 : Tìm giá trị của chữ ch-a biết để hai đa thức chia hết cho nhau
Bài tập 5.3: Cho đa thức P(x) = 6x
3
- 7x
2
- 16x + m ( m là tham số)


Trang 9
a/ Tìm m để P(x) chia hết cho nhị thức 2x + 3.
b/ Với giá trị vừa tìm đ-ợc của m ở trên , tìm số d- khi chia đa thức P(x) cho nhị
thức 3x - 2
c/ Với m tìm đ-ợc ở trên. Hãy phân tích P(x) thành tích các đa thức bậc 1.
GII: a/ t Q(x) = 6x
3
7x
2
16x ta cú P(x) chia hết cho nhị thức 2x + 3 khi v

ch khi Q(-3/2) + m = P(-3/2) = 0 => m = - Q(-3/2)
Tớnh trờn mỏy ta tỡm c Q(-3/2) = - 12 vy m = 12.
b/ Vi m = 12 ta tớnh P(2/3) = 0 vy s d bng 0.
c/Dựng phộp chia a thc 1 bin cho hai nh thc ó bit trờn tỡm nh thc
th 3 l x 2 ta c P(x) = 6x
3
7x
2
16x + 12 = (2x + 3)(3x 2)(x 2)
Nu khụng s dng phộp chia thỡ cú th lm nh sau: Ta d dng nhn thy tớch ca 2
nh thc 2x + 3 v 3x 2 ó cha h s cao nht ca a thc P(x) vỡ vy nghim th 3
ca P(x) ch cú th l nghim nguyờn v l mt trong cỏc c ca 12, t ú ta dựng
nh lý v nghim ca a thc tỡm nghim cũn li sau ú thay th vo nh thc th 3
Dạng 5.4: Đa thức với các hệ số bằng chữ
Bài tập 5.4: 5.4a/ Cho đa thức F(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e
Biết F(1) = 2 ; F(2) = 5 ; F(3) = 10 ; F(4) = 17 ; F(5) = 26
Hãy tính F(7) ; F(8) ; F(9) ; F(10) .
GII : Phõn tớch dóy s 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ta thy rng :
2 = 1
2
+ 1 ; 5 = 2
2

+ 1 ; 10 = 3
2
+ 1 ; 17 = 4
2
+ 1 ; 26 = 5
2
+ 1
=> 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 l cỏc giỏ tr ca a thc H(x) = x
2
+ 1 khi x = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
Vy ta cú F(1) = H(1) ; F(2) = H(2) ; F(3) = H(3) ; F(4) = H(4) ; F(5) = H(5)
Chng t tn ti a thc bc 5 G(x) = F(x) H(x) (1)
Cú 5 nghim l 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. Vỡ h s cao nht ca F(x) v H(x) u bng 1
nờn ta cú
G(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) (2)
T (1) v (2) => F(x) = G(x) + H(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) + x
2
+ 1
T ú ta tớnh c F(7) = 770 ; F(8) = 2585 ; F(9) = 6802 ; F(10) = 15221
5.4b/ Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e
Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ; P(5) = 25
Hãy tính P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) .

GII : Tng t nh trờn ta cú P(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) + x
2

T ú tớnh c P(6) = 156 ; P(7) = 769 ; P(8) = 2584 ;
P(9) = 6801 ; P(10) = 15220
5.4c/ Cho đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q
Biết Q(1) = 5 ; Q(2) = 7 ; Q(3) = 9 ; Q(4) = 11
Hãy tính Q(10) ; Q(11) ; Q(12) ; Q(13) ; Q(14) ; Q(15) .
GII : Tng t nh trờn ta cú Q(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) + 2x + 3
T ú tớnh c Q(10) = 3047 ; Q(11) = 5065 ; Q(12) = 7947 ;
Q(13) = 11909 ; Q(14) = 17191 ; Q(15) = 24057.


Trang 10
5.4d/ Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + 132005.
Biết rằng khi cho x lần lượt bằng 1 ; 2 ; 3 ; 4 thì giá trị của P(x) lần lượt bằng 8 ;

11 ; 14 và 17.
Tính giá trị của P(x) với x = 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15.
GIẢI : Phân tích dãy số 8 ; 11 ; 14 ; 17 ta thấy rằng :
8 = 3+5=3.1+5 ; 11 = 6+5 = 3.2+5 ; 14 = 9+5=3.3+5 ; 17=12+5=3.4+5
=> 8 ; 11 ; 14 ; 17 là các giá trị của đa thức 3x+5 khi x = 1 ; 2 ; 3 ; 4.
Xét đa thức H(x) = P(x) – (3x +5) ; ta có H(1) = H(2) = H(3) = H(4) = 0
Vậy đa thức H(x) có các nghiệm là 1 ; 2 ; 3 ; 4 và có dạng :
H(x) = P(x) – (3x +5) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).Q(x)
Vì đa thức có bậc 5 nên Q(x) chỉ có bậc 1 do đó Q(x) = x + n.
Ta có H(0) = 0 + 132005 - (0 + 5) = (-1)(-2)(-3)(-4)(0+n)
Hay 132000 = 24n => n = 5500 từ đó suy ra
P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x + 5500) + (3x + 5)
Với x = 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ta có
P(11) = 27775478 ; P(12) = 43655081 ; P(13) = 65494484
P(14) = 94620287 ; P(15) = 132492410.
5.4e/ Tìm các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax
3
+ bx
2
+cx – 2008 biết rằng khi
chia P(x) cho nhị thức ( x – 25) thì dư 29542 và khi chia cho tam thức (x
2
– 12x + 25) thì
có đa thức dư là: 431x – 2933.
GIẢI : - Vì P(x) chia cho (x – 25) dư 29542 => P(25) = 29542
Hay thay x = 25 ta có 15625a + 625b + 25c = 31550 (1)
- Vì P(x) có bậc 3 còn đa thức chia (x
2
– 12x + 25) có bậc 2 nên thương của
phép chia P(x) cho (x

2
– 12x + 25) phải có bậc là 1;
Gọi thương của phép chia trên là (mx + n)
Ta có ax
3
+ bx
2
+cx – 2008 = (x
2
– 12x + 25)(mx + n) + (431x – 2933)
= mx
3
+ (n – 12m)x
2
+(25m- 12n + 431)x + 25n – 2933
Đồng nhất hệ số tương ứng của hai đa thức trên ta có hệ phương trình:

12
25 12 431
2008 25 2933
am
b n m
c m n
n







  


  

từ phương trình – 2008 = 25n – 2933 => n = 37
Thay n = 37 vào hệ ta có : b = 37 – 12m ; c = 25m – 13 ; a = m
tiếp tục thay các giá trị của a ; b ; c ; theo m vào (1) được phương trình:
15625m + 625(37 – 12m) + 25(25m – 13) = 31550 => m = 1
Với m = 1 => a = 1 ; b = 25 và c = 12 => P(x) = x
3
+ 25x
2
+12x – 2008



Trang 11
Dạng 6 : Dãy số viết theo quy luật.
Bài tập 1 :
Cho dãy số U
1
= 2 ; U
2
= 10 ; , U
n+1
= 3U
n
+ U
n-1

a/ Tính U
3
; U
4
; U
5
; U
6

b/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tính U
n
với U
1
= 2 ; U
2
= 10.
c/ Dùng quy trình đó để tính U
15
; U
16
; U
17
; U
18
; U
19
; U
20
; U
21


GII :
a/ Dựng mỏy tớnh c U
3
= 32 ; U
4
= 106 ; U
5
= 350 ; U
6
= 1156 ; U
7
= 3818
b/ Bm 10 SHIFT STO A x 3 + 2 SHIFT STO B
ri lp li dóy phớm x 3 + ALPHA A SHIFT STO A
x 3 + ALPHA B SHIFT STO B
Tip tc n REPLAY SHIFT REPLAY sau ú n liờn tip =
c/ p dng quy trỡnh trờn ta tớnh c cỏc s hng ca dóy l
U
15
= 54059072 ; U
16
= 178544986 ; U
17
= 589694030 ; U
18
= 1947627076 ;
U
19
= 6432575258 ; U

20
= 21245352850 ; U
21
= 70168633808.
Bài tập 2 :
Cho dãy số xác định bởi công thức :
U
n+1
=
2
4U 5
n
2
U1
n


n là số tự nhiên ; n

1.
a/ Cho biết U
1
= 0,25 . Viết quy trình ấn phím liên tục để tính đ-ợc các giá trị
của U
n
.
b/ Tính U
100
.
GII : a/ Ta cú U

n+1
=
2
4U 5
n
2
U1
n


= 4 +
1
2
U1
n

t ú ta cú quy trỡnh tớnh nh sau :
Khai bỏo 0,25 = v lp li dóy phớm 4 + 1 ữ ( Ans x
2
+ 1 ) =
Sau ú nhn liờn tip phớm = tỡm cỏc giỏ tr ca U
n
.
b/ Sau 7 ln n phớm = ta nhn thy giỏ tr ca U
n
khụng thay i
Vy U
100
= 4,057269071
Bài tập 3 :

Cho dãy số : U
n
=
72
)75()75(
n
n

với n = 0 , 1 , 2 , 3
a/ Tính 5 số hạng đầu của dãy số U
0
, U
1
, U
2
, U
3
, U
4
.
b/ Chứng minh rằng : U
n+2
= 10U
n+1
18U
n

c/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tính U
n+2


GII : a/ Dựng mỏy tớnh bm theo qui trỡnh sau tớnh :
- 2 SHIFT STO A ALPHA A + 1 SHIFT STO A ALPHA :


Trang 12
( ( 5 + 7 ) ^ ALPHA A - ( 5 - 7 ) ^ ALPHA A
) ữ 2 7 sau ú nhn phớm = liờn tip tớnh cỏc s hng ca dóy.
Hoc s dng phớm Ans nhp cho s m nh sau:
Khai bỏo: 0 = ri nhp biu thc tớnh U
0
vi s m l Ans, tip tc khai bỏo 1
= Replay

ri n = c thay s m liờn tc nh vy ta s tỡm c ln lt tng s
hng ca dóy. Quy trỡnh ny nh sau:
0 = ( ( 5 + 7 ) ^ Ans - ( 5 - 7 ) ^ Ans ) ữ 2 7 =
tip tc n 1 = Replay

= ; 2 = Replay

= n ln lt tỡm cỏc
s hng tip theo ca dóy
U
0
= 0 ; U
1
= 1 ; U
2
= 10 ; U
3

= 82 ; U
4
= 640
U
5
= 4924 ; U
6
= 37720 ; U
7
= 288568.
b/ Chng minh : U
n+2
= 10U
n+1
18U
n

t
nn
(5 7) (5 7)
a ;b
nn
2 7 2 7


vi n N
Ta cú U
n
= a
n

- b
n

=>

U
n+1
= (5+
7
)a
n
(5 -
7
)b
n


U
n+2
= (5+
7
)
2
a
n
(5 -
7
)
2
b

n

= (32+
10 7
)a
n
(32 - 10
7
)b
n

= (50+
10 7
)a
n
(50 - 10
7
)b
n
18(a
n
b
n
)
= 10(5+
7
)a
n
10(5 -
7

)b
n
18(a
n
b
n
)
= 10[(5+
7
)a
n
(5 -
7
)b
n
] 18(a
n
b
n
)
= 10U
n+1
18U
n

c/ Quy trỡnh : 1 SHIFT STO A x 10 - 18 x 0 SHIFT STO B
Lp li dóy phớm sau
x 10 - 18 x ALPHA A SHIFT STO A
x 10 - 18 x ALPHA B SHIFT STO B
Tip tc n REPLAY SHIFT REPLAY sau ú n liờn tip =

Bài tập 4 :
Cho dãy số : U
n
=
22
)23()23(
nn

với n = 1 , 2 , 3
a/ Tính 5 số hạng đầu của dãy số U
1
, U
2
, U
3
, U
4
, U
5

b/ Chứng minh rằng : U
n+2
= 6U
n+1
7U
n

c/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tính U
n+2


GII : a/ Dựng mỏy tớnh c U
1
= 1 ; U
2
= 6 ; U
3
= 29 ; U
4
= 132 ; U
5
= 589.
b/ Chng minh nh bi trờn.


Trang 13
c/ Quy trình : 6 SHIFT STO A x 6 - 7 x 1 SHIFT STO B
Lặp lại dãy phím sau
x 6 - 7 x ALPHA A SHIFT STO A
x 6 - 7 x ALPHA B SHIFT STO B
Tiếp tục ấn REPLAY  SHIFT REPLAY  sau đó ấn liên tiếp =
Bµi tËp 5 :
Cho hai dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức

11
1
1
1; 2
22 15
17 12
n n n

n n n
uv
u v u
v v u










với n

N*
a/ Tính u
5
; u
10
; u
15
; u
18
; u
19
; v
5
; v

10
; v
15
; v
18
; v
19
;
b/ Viết quy trình ấn phím liên tục tính
1n
u

và
1n
v

theo u
n
và v
n

GIẢI : a/ Các số hạng cần tìm là :
U
5
= -
767
U
10
= -192547
U

15
= -
47517071
U
18
=
1055662493
U
19
= - 1016278991
V
5
= -
526
V
10
= -135434
V
15
= -
34219414
V
18
= 673575382
V
19
= - 1217168422
b/ Quy trình ấn phím là :
1 SHIFT STO A
2 SHIFT STO B

22 ALPHA B - 15 ALPHA A SHIFT STO C
17 ALPHA B - 12 ALPHA A SHIFT STO D
22 ALPHA D - 15 ALPHA C SHIFT STO A
17 ALPHA D - 12 ALPHA C SHIFT STO B
   SHIFT  ấn phím = liên tiếp để tính các số hạng của dãy.
Bµi tËp 6 :
Cho d·y sè U
1
= 1 ; U
2
= 5 ; U
3
= 9 ; , U
n+3
= U
n+2
+ 2U
n+1
+ 3U
n
với n

N ; n ≥ 4.
a/ TÝnh U
9
®Õn U
20

b/ ViÕt quy tr×nh Ên phÝm liªn tôc ®Ó tÝnh U
n+3

theo U
n+2
; U
n+1
và U
n

GIẢI : a/ Các số hạng cần tìm là
U
9
=
1701
U
11
=
9604
U
13
= 54140
U
15
= 305217
U
17
=
1720801
U
19
= 9701699
U

10
=
4045
U
12
=
22797
U
14
=128546
U
16
=
724729
U
18
=
4085910
U
20
= 23035922
b/ Quy trình ấn phím là :


Trang 14
1 SHIFT STO A
5 SHIFT STO B
9 SHIFT STO C
ALPHA C + 2 ALPHA B + 3 ALPHA A SHIFT STO A
ALPHA A + 2 ALPHA C + 3 ALPHA B SHIFT STO B

ALPHA B + 2 ALPHA A + 3 ALPHA C SHIFT STO C
SHIFT sau ú n phớm = liờn tip tớnh cỏc s hng ca dóy.

Dạng 7 : Bài toán lãi xuất tiết kiệm :
Bài tập 1:
a/ Một ng-ời gửi vào ngân hàng một số tiền gốc là a đồng với lãi xuất hàng tháng
là m%. Biết rằng ng-ời đó không rút tiền lãi ra. Hỏi sau n tháng ng-ời ấy nhận đ-ợc bao
nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ? (xây dựng công thức tổng quát để tính liên tục trên máy ).
b/ áp dụng với a = 10 000 000 đồng , m = 0,8% và n = 12 tháng.
GII : a/ S tin cú sau 1 thỏng l : a + a.m% = a(1+ m%)
Sau 2 thỏng cú s tin l : a(1+ m%)+ a(1+ m%).m%= a(1+ m%)
2

C nh vy thỡ sau n thỏng ngi ú cú tng s tin c gc ln lói l :
a(1+ m%)
n

b/p dng cụng thc trờn ta cú kt qu
10(1+0,8%)
12
= 11,003386 triu ng
a = 75 tr ; m = ? n 20 n m
75000000( 1 + m%)
20
= 95000000

Bài tập 2:
a/ Dân số n-ớc ta tính đến năm 2000 giả sử là 75 triệu ng-ời ; dự kiến đến năm 2020
dân số n-ớc ta là 95 triệu ng-ời. Hỏi trung bình hàng năm dân số n-ớc ta tăng bao nhiêu %
?

b/ Với tỷ lệ tăng dân số nh- trên và tổng số dân tính đến năm 2000 là 75 triệu ng-ời
thì đến năm 2050 dân số n-ớc ta sẽ là bao nhiêu ?; m = 1,188956448 ; a=75000000; n = 50

c/ Cũng hỏi nh- câu b, hãy tính xem năm 1950 dân số n-ớc ta có bao nhiêu triệu
ng-ời ?
a = ? m = 1,1188956448 n = 50
a( 1 + 1,188956448%)
50
= 75000000

GII : a/ p dng cụng thc trờn ta cú 75(1+ x%)
20
= 95
=>
95
20
x ( 1).100 1,188956448
75

%


Trang 15
Ấn phím liên tục: ( 20 SHIFT
y
( 95 ÷ 75 ) - 1 ) x 100 =
( Đọc kết quả trên màn hình 1,188956448 )
Vậy trung bình hàng năm dân số nước ta tăng 1,188956448 %
b/ Từ năm 2000 đến năm 2050 có thời gian là 2050 – 2000 = 50 ( năm )
Áp dụng công thức ta có 75(1+1,188956448%)

50
=135,430698 triệu người.
c/ Tương tự : Gọi x là dân số nước ta năm 1950 thì đến năm 2000 dân số nước ta
là 75 triệu người. Áp dụng công thức ta có : x(1+1,188956448%)
50
=75000000

50
x 75000000:(1 1,188956448%) 41534157  
(người)
Ghi chú: Khi nhập trên máy, ký hiệu % thực hiện theo cách chia cho 100
Một số công thức tính lãi xuất tiết kiệm:
a/ Có a đồng, gửi không kỳ hạn, lãi xuất m% mỗi tháng, sau n tháng sẽ có tổng số
tiền cả gốc lẫn lãi là:
Nhập a = sau đó ấn Ans + Ans x m% = ấn n lần dấu =
b/ Có a đồng, gửi kỳ hạn p tháng, lãi xuất m% mỗi tháng, sau n tháng ( n là bội của p) sẽ
có tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là:
Nhập a = sau đó ấn Ans + Ans x p x m% = ấn (n:p) lần dấu =
Chú ý: ( n : p ) là số chu kỳ được hưởng lãi
c/Một người gửi góp tiết kiệm, mỗi tháng đều đặn gửi vào a đồng với lãi suất m%
mỗi tháng. Hỏi sau n tháng người đó rút ra thì được tất cả bao nhiêu tiền (n
N
)
Lời giải: Số tiền có đến hết tháng thứ nhất là a + a.m% = a(1+m%)
Số tiền gốc của đầu tháng thứ 2 sẽ là:
a(1+m%) + a = a[(1+m%)+1] =
   
22
1 % 1 1 % 1
(1 %) 1 %

aa
mm
mm
   
    
   

đồng
Số tiền có đến cuối tháng thứ 2 là
       
23
1 % 1 1 % 1 % 1 %
%%
aa
m m m m
mm
   
      
   

Số tiền gốc của đầu tháng thứ 3 sẽ là:

         
3 3 3
1 % 1 % 1 % 1 % % 1 % 1
% % %
a a a
m m a m m m m
m m m
     

           
     

Số tiền có đến cuối tháng thứ 3 là
       
34
1 % 1 1 % 1 % 1 %
%%
aa
m m m m
mm
   
      
   

Cứ tiếp tục như vậy đến đầu tháng thứ n người đó sẽ có số tiền là:

         
1 % 1 % 1 % 1 % % 1 % 1
% % %
n n n
a a a
m m a m m m m
m m m
     
           
     

Cuối tháng thứ n người đó rút ra và được tổng số tiền là:
       

1 % 1 1 % 1 . % 1 % 1 1 %
% % %
n n n
a a a
m m m m m
m m m
     
        
     



Trang 16
Quy trỡnh bm phớm l:
a SHIFT STO A = sau ú n tip
Ans + Ans x m% + ALPHA A = sau n ln n liờn tip du =
n tip - ALPHA A = ta cú kt qu cn tỡm
Ngoi ra cng cú th n phớm theo cụng thc ca phn li gii
d/ Cú a ng, gi p thỏng, lói xut m% mi thỏng, sau b chu k, ly ra c ng, s
cũn li gi tip q thỏng theo lói xut n%, sau d chu k cú tt c bao nhiờu tin ?
a = n tip Ans + Ans x b x m% = n liờn tip b chu k ( b ln)
n tip - c n tip Ans + Ans x q x n% = n liờn tip d ln sau ú
cng c ng vo l c kt qu cn tỡm
Dạng 8 : Các bài tập về hình học:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có góc A = 90
0
, AB = 4,6892 cm , BC = 5,8516
cm , AH là đ-ờng cao , CI là phân giác của góc C .Tính:
a/ Độ lớn góc B bằng độ và phút.
b/ Tính AH và CI chính xác đến 9 chữ số thập phân.


GII : a/ Cú cosB=AB:BC=4,6892 : 5,8516
n phớm: SHIFT COS
-1
( 4,6892 ữ 5,8516 ) =

0
( c kq trờn mn hỡnh 36
0
4425,64 )
Vy gúc B
0
36 44

b/

ABH vuụng ti H cú sinB = AH:AB
=> AH=AB.sinB
Tớnh tip: 4,6892 x sin Ans =


5,8516
4,6892
I
H
C
B
A

(kq:AH


2,805037763 cm)

tớnh di CI cú 2 cỏch l
Cỏch 1: Dựng nh lý Pitago tớnh c AC

3,500375111

0
C 90 B
t ú ta cú
cos
C AC
2 CI

=> CI = AC: cos
C
2

n phớm: ( 5,8516 x
2
- 4,6892 x
2
) SHIFT STO A 90 - SHIFT
COS
-1


( 4,6892 ữ 5,8516 ) = ữ 2 = ALPHA A ữ COS Ans =
( kq CI


3,91575246 cm)
Cỏch 2: p dng cụng thc tớnh phõn giỏc h t nh C
2
CI BC.AC.p(p AB)
BC AC


;
BK =
2
. . ( )BC AB p p AC
BC AB



vi p=(AB+BC+ CA):2 ( kq CI

3,91575246 cm)



Trang 17
Bài tập 2:
Cho tam giác ABC có BC = 8,751 cm , AC = 6,318 cm , AB = 7,624 cm ; đ-ờng
cao AH , phân giác trong AD của góc A và bán kính đ-ờng tròn nội tiếp r . Hãy tính:
AH , AD , r chính xác đến 9 chữ số thập phân.
(a=8,751; b=6,318; c = 7,624 Tính AH, m
a
= ? ; r = ?)

GII :
+ Tớnh AH : p dng cụng thc tớnh ng cao

2. p(p a)(p b)(p c)
AH
BC


(p l na chu vi tam giỏc)
n phớm: 8,751SHIFT STO A 6,318 SHIFT STO B
7,624 SHIFT STO C ( ALPHA A + ALPHA
B + ALPHA C ) ữ 2 SHIFT STO D 2 x
6,318cm
7,624cm
8,751cm
D
H
C
B
A

( ALPHA D ( ALPHA D - ALPHA A ) ( ALPHA D -
ALPHA B ) ( ALPHA D - ALPHA C ) ) ữ ALPHA A =
(kq: AH

5,365996284 cm)
+ Tớnh AD : p dng cụng thc tớnh phõn giỏc

2
AD AC.AB.p(p BC)

AC AB


(kq: AD

5,402908929 cm)
+ Tớnh r : p dng cụng thc S = p.r => r = S : p (kq: r

2,069265125 cm)
Chỳ ý: i vi cỏc bi tp hỡnh hc, ta cn cú cỏi nhỡn tng quỏt tỡm ra mi
liờn h gia tng phn, sau ú s thit k qui trỡnh n phớm tớnh toỏn m bo
tớnh liờn tc, hp lý cht ch, khụng ghi cỏc s ra giy ri nhp tr li mỏy trỏnh
xy ra sai s !
Bài tập 3:
Cho hình thang vuông ABCD có AB = a = 2,25 cm, góc ADB =

= 50
0
, diện tích
hình thang ABCD là S = 9,92 cm
2
( góc A và góc B là góc vuông ). Hãy tính độ dài các
đoạn thẳng AD , DC , BC và độ lớn các góc ABC , BCD .( AD= 1,88797417;DC =
5,521099898 ; BC = 6,929803608 góc BCD = 24
0
)
Bài tập 4:
Cho tam giác ABC có góc A = 90
0
, AB = a = 7,5 cm , góc B =


= 58
0
25 , CD là
phân giác của góc C , CM là trung tuyến thuộc cạnh AB. Hãy tính độ dài đoạn AC , BC ,
diện tích S của tam giác ABC , diện tích S của tam giác CDM.
Bài tập 5:
Cho tam giác ABC có góc A =

= 63
0
25 , AB = c = 32,25 cm , AC = b = 35,75
cm . Hãy tính diện tích S , cạnh BC và các góc B , C của tam giác ABC.
Dạng 9: Mt s dng bi tp khỏc:
Bài tập 9.1: Tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp lặp:
Cho ph-ơng trình f(x) = 0 ta biến đổi t-ơng đ-ơng để có x = g(x) sau đó
chọn giá trị x
1
và tính x
2
= g(x
1
)
x
3
= g(x
2
)

x

n
= g(x
n-1
).


Trang 18
Nếu sau một số hữu hạn b-ớc ta có giá trị x
n
là hằng số ; tức là ta tìm đ-ợc
nghiệm gần đúng của ph-ơng trình f(x) = 0.
Bài tập 1: Tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình x
3
+ x 1000 = 0 (1)
GII : T phng trỡnh ó cho ta cú 2 la chn l
(1) x = 1000 x
3
(2) hoc x
3
= 1000 x (3)
Dựng mỏy tớnh ta thy dng (2) khụng th gii bng phng phỏp lp c ta xột
dng (3) =>
3
x 1000 x
ta n phớm gii nh sau : Chn x
1
= 10 tớnh
10 = 3 SHIFT
x
( 1000 - Ans ) = n liờn tip phớm = cho n khi

thy kt qu trờn mn hỡnh khụng thay i thỡ ú chớnh l nghim gn ỳng ca phng
trỡnh cn tỡm ( bi ny sau 4 ln bm ta cú kq 9,966666791 )
Bài tập 2: Tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình 5x -
x
- 3 = 0 (I)
GII : Tng t phng trỡnh (I) cng cú 2 la chn l : ( x 0 )

x 5x 3
(II) hoc 5x =
x3
x 3 x
5


(III)
Ta thy ngay phng trỡnh (II) khụng dựng phng phỏp lp gii c m phi
dựng phng trỡnh (III). Cỏc bn chn x
1
= 1 thay vo gii v sau 10 ln n phớm = ta
tỡm c giỏ tr ú l x = 0,776204993
Bài tập 9.2: Tìm các số tự nhiên có không quá 10 chữ số biết rằng khi chuyển
chữ số hàng đơn vị lên đầu thì số đó tăng lên gấp 5 lần so với số đã cho.
GII : Gi s cỏc s cn tỡm l
1 2 n 1 n
a a a a

theo bi ra ta cú :

n 1 2 n 1
a a a a


= 5.
1 2 n 1 n
a a a a


=>
n1
n 1 2 n 1 1 2 n 1 n
a .10 a a a 5(10.a a a a )




=>
n1
n n 1 2 n 1 1 2 n 1
a .10 5.a 50.a a a a a a




=>
n1
n 1 2 n 1
a (10 5) 49.a a a



(*)

Ta cú 10
n-1
5 = 99 95 ( cú n 2 ch s 9 ). Thay vo (*) ta cú:
9995.a
n
= 49.
1 2 n 1
a a a

vỡ cỏc s cn tỡm cú khụng quỏ 10 ch s nờn
n 2 8 m a
n
l s cú 1 ch s nờn a
n
khụng chia ht cho 49.
Cú 49 = 7.7 do ú ớt nht s 99 95 phi chia ht cho 7. Dựng mỏy th chn
trong cỏc s 95 ; 995 ; 9995 ; 99995 ; 999995 ; 9999995 ; 99999995 ; 999999995
khi chia cho 7 thỡ ch cú s 99995 tha món 99995 = 7.14285 => n 2 = 4 => n = 6
vy cỏc s cn tỡm cú 6 ch s => a
6
.99995 = 7.7.
1 2 3 4 5
a a a a a

Hay a
6
.14285= 7.
1 2 3 4 5
a a a a a
( cựng chia ht cho 7)

M 14285 khụng chia ht cho 7 => a
6
chia ht cho 7 => a
6
= 7
Vy ta cú 7.14285 = 7.
1 2 3 4 5
a a a a a
=>
1 2 3 4 5
a a a a a
= 14285
=> s cn tỡm l
1 2 3 4 5 6
a a a a a a 142857
v ch cú 1 s tha món bi.




Trang 19
Bµi tËp 9.3.1: Tìm số tự nhiên n ( 1010 ≤ n ≤ 2010 ) sao cho

n
a 20203 21n
cũng là số tự nhiên.
GIẢI : Cách 1 :
Với 1010 ≤ n ≤ 2010 ta có

n

203,5 20203 21.1010 a 20203 21.n 20203 21.2010 249,8       

Có
2
n
a
= 20203 + 21.n = 21.962 + 21.n + 1
=>
2
n
a
- 1 = 21(962 + n) =>
2
n
a
- 1 phải chia hết cho 3.7 (chia hết cho 21 = 3.7)
=>
2
n
a
- 1 = (a
n
+ 1)(a
n
- 1) = 7.k.3.q (k; q € N* )
=>
nn
nn
a 1 7k a 7k 1
a 1 7k a 7k 1

    


    


* Nếu a
n
= 7k – 1 => 203 ≤ a
n
= 7k – 1 ≤ 249 => 30 ≤ k ≤ 35
Dùng máy để chọn
2
n
a
- 1= (7k – 1)
2
– 1 với 30 ≤ k ≤ 35 và phải chia hết cho 3 ta
có các giá trị:
k
n
a
n

k
n
a
n
30
1118

209

33
1557
230
32
1406
223

35
1873
244
* Tương tự a
n
= 7k + 1 => 203 ≤ a
n
= 7k + 1 ≤ 249 => 29 ≤ k ≤ 35 ta cũng tìm
được 4 giá trị thỏa mãn là
k
n
a
n

k
n
a
n
30
1158
211


33
1601
232
31
1301
218

34
1758
239
Cách 2 :
n
a 20203 21n
=>
2
n
a
= 20203 + 21.n => n = (
2
n
a
- 20203) : 21
Với 1010 ≤ n ≤ 2010 => 204 ≤ a
n
≤ 249
Dùng máy thử chọn với 204 ≤ a
n
≤ 249 qua 45 phép thử ta cũng tìm được các giá
trị như trên

Chú ý: Cách 2 nhanh hơn vì giảm thiểu phần lý luận và phù hợp với việc khai thác
sử dụng máy tính cá nhân
Bµi tËp 9.3.2: Tìm số tự nhiên n ( 1500 ≤ n ≤ 3000 ) sao cho

n
a 52741 45n
cũng là số tự nhiên.
GIẢI : Tương tự cách làm của bài trên ta có

n
345 52741 45.1500 a 52741 45.3000 433     

=>
2
n
a 52741
n
45


từ đó ta có quy trình bấm phím để thử chọn như sau:


Trang 20
343 SHIFT STO A ALPHA A + 1 SHIFT STO A  ALPHA :
( ALPHA A x
2
- 52741 ) ÷ 45 sau đó ấn liên tiếp phím = cho đến khi
A = 433 thì dừng lại, Chú ý chọn ra những giá trị thỏa mãn đề bài.
CHỨNG MINH MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC

1/ Tính diện tích tam giác biết độ dài 3 cạnh a, b, c và bán
kính đường tròn ngoại tiếp R :
abc
S
4R


C/m: ∆AHB ∆ACE (g.g) => AB.AC = AH.AE
Hay b.c = 2R.AH <=> a.b.c = 2R.a.AH
Mà 2S
ABC
= a.AH =>
abc
S
4R


Hình 1
O
H
E
C
B
A

2/ Tính diện tích tam giác biết nửa chu vi p = (a+b+c):2 và
bán kính đường tròn nội tiếp r : S = p.r
C/m: S
ABC
= S

AOB
+ S
BOC
+ S
AOC

Hay S
ABC
=
1 1 1
AB.OE BC.OD AC.0F
2 2 2


=
1
(c a b).r
2

= p.r (OE = OD = OF = r )
Hình 2
O
F
E
D
C
B
A



3/ Tính diện tích tam giác biết độ dài 3 cạnh a, b, c
Công thức Hê rông
S p(p a)(p b)(p c)   

p = (a+b+c) : 2
C/m: Giả sử a ≥ b ≥ c ,(a là cạnh lớn nhất -> B, C là 2 góc
nhọn) Ta có AB
2
– BH
2
= AC
2
– CH
2
(cùng bằng AH
2
)
Do đó c
2
– (a – x)
2
= b
2
– x
2
=> 2ax = a
2
+ b
2
– c

2

=>
2 2 2
a b c
x
2a



Hình 3
x
a
c
b
H
C
B
A

ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
4a b (a b c )
AH AC CH b x
4a
  
    
;

22
2 2 2 2
aa
b HM AH ;c HM AH
22
   
     
   
   
( M là trung điểm của BC)
=>
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
1 1 4a b (a b c ) (a b c)(a b c)(a c b)(b c a)
S ( BC.AH) a
2 4 4a 16
          
  


2p(2p 2c)(2p 2b)(2p 2a) 16p(p a)(p b)(p c)
16 16
     
  
p(p-a)(p-b)(p-c)
Vậy
S p(p a)(p b)(p c)   
(đpcm)



Trang 21

4/ Tính diện tích tam giác biết độ dài 2 cạnh và góc xen giữa

ABC
1 1 1
S bc.sinA ac.sinB ab.sinC
2 2 2

  

Giải: Ta có
ABC
1
S BC.AH
2


=>
ABC
2.S BC.AH



Mà AH = AC.sinC =>
ABC
2.S BC.AH



=BC.AC.sinC
Hay
ABC
11
S BC.AC.sinC ab.sinC
22



Hình 4
C
H
B
A

5/ Tính độ dài đường trung tuyến AM trong tam giác:

22
2 2 2 2
aa
b HM AH ;c HM AH
22
   
     
   
   

=>
2
2 2 2

a
a
b c 2m
2
  
=>
2 2 2
2
a
2b 2c a
m
4




Hình 5
a
m
a
h
b
c
M
H
C
B
A

6/ Tính độ dài đường phân giác AD trong tam giác:


ABD AEC
(g.g) (AE là phân giác góc BAC) nên :
AD.AE = AB.AC => AD.(AD + DE) = AB.AC
Hay AD
2
= AB.AC – AD.DE = b.c – AD.DE

ABD CED
(g.g) => AD.DE = BD.CD
=> AD
2
= b.c – AD.DE = b.c – BD.CD
Mà AE là phân giác của góc BAC nên ta có:

BD CD BD CD BC a
k
AB AC AB AC AB AC b c

    
  

Vì
 
2
2
2
BD CD BD.CD BD.CD a
kk
AB AC AB.AC b.c

bc
     


=>
 
2
2
a bc
BD.CD
bc


Vậy
 
2
2
2
bc(b c a)(a b c)
a bc
AD bc AD
bc
bc
   
   


2 b.c.p(p a)
bc





Hình 6
O
D
H
I
E
C
B
A