Ôn thi TN dành cho HS TB và yếu phần hình học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (341.47 KB, 18 trang )
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:
( )
( )
= =
± = ± ± ±
=
=
= ⇔ =
=
= + +
= + +
=
r r
r r
r
r r
r r
r
r r
r r
ur uur
r
⇔ = ⇔ ∧ = ⇔ = =
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
∧ = =
÷
÷
r r r r r r
r r r r
r r r r
= − − −
uuur
! ! !
! " " # # $ $
11.
r r r
đồng phẳng
( )
. 0a b c⇔ ∧ =
r r r
r r r
không đồng phẳng
( )
. 0a b c⇔ ∧ ≠
r r r
13.M là trung điểm Athì
+++
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M
14. G là trọng tâm tam giác ABC
++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
15. Véctơ đơn vị:
1 2 3
(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e
= = =
ur uur ur
16.
OzzKOyyNOxxM
∈∈∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
17.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
∈∈∈
),0,(;),,0(;)0,,(
18.
!
% ! !
∆
= ∧ = + +
uuur uuur
19.
! &
' ! !!&
= ∧
uuur uuur uuur
20.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD
∧=
2/ Mặt cầu :
2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính r
( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
x a y b z c
Phương trình
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax +2By + 2Cz 0
(
! &
+ + − >
2 2 2
vôùi 0
) là phương
trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và
= + + −
( ! &
2 2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
(S): x a y b z c
và (α): Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,(α)) : khỏang cách từ tâm I của mc(S) đến mp(α ):
d > r : (S) ∩ α = φ
d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, α: tiếp diện)
d < r : α cắt (S) theo đường tròn có pt
( ) ( ) ( )
2
r
α
− + − + − =
+ + + =
2 2 2
(S) : x a y b z c
: Ax By Cz D 0
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
II. MẶT PHẲNG
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
r
≠
r
là véctơ pháp tuyến của α
⇔
Giáủ
r
⊥α
2. Pt tổng qt của mp(
α
): A" + B# + C$ + &) *
α
) có'+,+
r
)!
3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
$
#
"
=++
*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: -#$.")-"$.#) ; -"#.$)
4. Vị trí tương đối của hai mp (
α
1
) và (
α
2
) :
/
. .!. .!01
≠⇔βα
/
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα
/
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡
βα
234561
! !
α ⊥ β ⇔ + + =
.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0
o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
α
+ + +
=
+ +
d(M,( ))
6.Góc gi ữa hai mặt phẳng .
21
21
.
.
nn
nn
rr
rr
=
),cos(
βα
III. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a
r
= (a
1
;a
2
;a
3
)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
∈
+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d)
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
=
−
=
−
3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng d
1
: có véctơ chỉ phương
a
→
và đi qua M
1
, d
2
: có véctơ chỉ phương
→
b
và
đi qua M
2
* d
1
// d
2
⇔
=
≠
r r r
r uuuuur r
7
7* *
*d
1
≡ d
2
⇔
=
=
r r r
r uuuuur r
7
7* *
( với a
1
.a
2.
a
3
≠0)
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
* d
1
cắt d
2
⇔
( )
≠
=
r r r
r r uuuuur
7
7 * *
*d
1
chéo d
2
⇔
( )
≠
r r uuuuur
7 * *
* Đặc biệt d
1
⊥d
2
⇔
→
=
r
a b
4.Góc giữa 2 đường thẳng :
=
r r
r r
8 8
5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d
1
:
( )
1
1
;
;
M M a
d M d
a
=
uuuuur r
r
6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d
1
;d
2
)=d(M
1
;d
2
).
7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
( )
1 2
; .
;
;
a b M M
a b
=
d d d
1 2
r r uuuuuur
r r
B.PHẦN BÀI TẬP:
I/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ MẶT CẦU:
Dạng tốn 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:
&
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0
Phương pháp giải:
• Tìm tâm: hồnh độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số của z
chia (-2)⇒ Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C).
• Tím bán kính
2 2 2
A +B +C -Dr =
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
x y z x y
+ + − − + =
Giải:
a,T©m mỈt cÇu l I(4;1;0)à , B¸n kÝnh cđa mỈt cÇu l : à
+ + − + + − = ⇔ + + − + + − =
b x y z x y z x y z x y z
9
Ta có:T©m mỈt cÇu I(1; -4/3; -5/2), B¸n kÝnh cđa mỈt cÇu :
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A
Phương pháp giải:
• Tìm bán kính mặt cầu là :
2 2 2
( ) ( ) ( )
A I A I A I
r IA x x y y z z= = − + − + −
• Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).
Giải:
B¸n kÝnh mỈt cÇu l : à
2 2 2
2 1 0 5r IA= = + + =
Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)
2
+ (y+3)
2
+ (z-1)
2
= 5
Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
Phương pháp giải:
Tìm trung điểm I của đoạn AB với
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
,
Tính đoạn
2 2 2
AB ( ) ( ) ( )
B A B A B A
x x y y z z
= − + − + −
2 2 2 2 2 2
A +B +C -D ( 4) +(-1) +0 -1 4r = = − =
2 2
2 2 2 2
4 5 19
A +B +C -D ( 1) + + +1
3 2 6
r
= = − =
÷ ÷
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính
2
AB
r =
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).
Giải:
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5),
2 2 2
AB= ( 2) 4 ( 4) 6− + + − =
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính
AB
3
2
r = =
phương trình của mặt cầu là :
Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α)
Phương pháp giải:
• Tìm bán kính mặt cầu là :
+ + +
= α =
+ +
# $ &
: : :
!
A.x
r d(I,( ))
• Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (
α
): 2x+2y+z-1=0
Giải:
Bán kính mặt cầu là :
+ + −
= α = =
+ +
r d(I,( ))
;
Phương trình mặt cầu là :
2 2 2
( 1) ( 2) ( 4) 1x y z− + − + − =
Dạng 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
Phương pháp giải:
Ptr mc có dạng
&
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0
A,B,C,D ∈ mc(S)
⇒
thế toạ độ của
A,B,C,D
vào
phương trình mặt cầu đc hệ pt, giải tìm A, B, C, D
⇒
phương trình mặt cầu.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) <4=><45?@!A A&
Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng:
&
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0
, ta có :
(6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1)
(0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2)
(2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3)
(4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
D S A B D
− ∈ + − + + =
∈ + + + =
⇔
− ∈ + − + =
∈ + + + =
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ:
12 6 6 12 2
4 2 14 32 1 3
4 2 2 12 3
A B C A
A B C B D
A B C C
− − = − = −
− + + = − ⇔ = ⇒ = −
− − − = = −
Vậy phương trình măt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-4x+2y-6z-3=0
Dạng 6:
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P)
Phương pháp giải:
Mc(S) có ptr:
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax+ 2By + 2Cz 0
(2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào pt (P)
Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm I
thuộc mp(P) : x+2y+2z-3=0
Giải:
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9x y z− + + + − =
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Phương mặt cầu (S) có dạng:
&
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0
, ta có :
(6; 2;3) ( ) 12 4 6 49(1)
(0;1;6) ( ) 2 12 37(2)
(2;0; 1) ( ) 4 2 5 (3)
( ; ; ) ( ) 2 2 3 (4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
I A B C P A B C
− ∈ − + + = −
∈ + + = −
⇔
− ∈ − + = −
− − − ∈ − − − =
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ:
7
5
12 6 6 12
11 27
4 2 14 32
5 5
2 2 3
3
A
A B C
A B C B D
A B C
C
= −
− − = −
− + + = − ⇔ = ⇒ = −
− − − =
= −
Vậy phương trình mặt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-
14
5
x +
22
5
y - 6z
27
5
−
=0
Dạng 7: Xét vị trí tương đối của mp(P) và mặt cầu:
Phương pháp giải:
•
Tìm tâm I bán kính r của mặt cầu (S).
•
Tính
+ + +
=
+ +
A.x
d(I,(P))
# $ &
: : :
!
. So sánh r với d(I ;(P)) suy ra vị trí tương đối.
Ví dụ: Cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ y
2
+ (z+2)
2
= 9 và mp(P): x+2y+2z-3=0. chứng minh mặt phẳng cắt
mặt cầu.
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-2) bán kính r=3.
( )
( )
1 2.0 2.( 2) 3
d I ; P 2
1 4 4
+ + − −
= =
+ +
<3= r vậy mặt phẳng cắt mặt cầu.
II/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Chú ý :
- Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến
-Mặt phẳng qua 1 điểm M(x
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến
r
= (A; B; C) phương trình
là: A(x- x
0
) + B(y- y
0
) + C(z- z
0
)= 0.
-Nếu khơng tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp(α) ta đi tìm 2 véctơ
,a b
r r
khơng cùng
phương có giá song song hoặc nằm trong mp(α) khi đó
[ ; ]n a b=
r r r
là một véctơ pháp tuyến của
mặt phẳng(α).
Dạng 1: Viết phương trình mp
( )
α
điểm đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và 1 véctơ pháp tuyến
( ; ; )=
r
n A B C
.
Phương pháp giải:
B1: Nêu rõ đường thẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến
( ; ; )=
r
n A B C
.
B2: Viết phương trình mp(
α
) theo cơng thức: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là
n (2;3;1)=
r
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
Giải:
Mặt phẳng (
α
) đi qua A(2;-1;1) và có 1 véctơ VTPT
n (2; 3;5)
= −
r
⇒ phương trình là:
2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0 ⇔ 2x-3y+5z-12 =0
Dạng 2: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB, AC
uuur uuur
B2: Tìm
n AB;AC
=
r uuur uuur
B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
Giải:
Ta có:
AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)= − = −
uuur uuur
⇒
n AB;AC ( 5;4; 2)
= = − −
r uuur uuur
Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT
n ( 5;4; 2)
= − −
r
⇒ phương trình là:
-5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0 ⇔ -5x+4y-2z =0 ⇔ 5x-4y+2z=0.
Dạng 3: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua điểm M
0
cho trước và song song với mp(
β
) cho trước
(
0
( )M
β
∉
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm VTPT
n
r
của mp
( )β
B2: Mp
( )α
cần tìm đi qua điểm M
0
và nhận
n
r
làm VTPT.
B3: Viết phương trình mp
( )α
đi qua điểm M
0
và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0
Giải:
Mặt phẳng (Q) có 1VTPT
n (2; 1;3)= −
r
. Mặt phẳng (P)//mp(Q)⇒ mp(P) nhận vectơ
n (2; 1;3)= −
r
làm
1VTPT, mặt khác mp(P) đi qua M(1;3;-2) nên phương trình của mp(P) là :
2(x-1)-(y-3)+3(z+2) = 0 ⇔ 2x-y+3z+7=0.
Cách khác:
Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0 (D≠4). Mặt
khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0 ⇔ D=7 (nhận). Vậy phương trình
mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0
Dạng 4: Viết phương trình mp
( )α
song song với mp(
β
) cho trước cách điểm A cho trước một
khoảng k cho trước (k>0).
Phương pháp giải:
B1: Tìm VTPT
n
r
của mp
( )β
B2: Viết dạng phương trình mp
( )α
có VTPT
n
r
.
B3: Giải phương trình d(A;
( )α
)= k tìm được số hạng tự do⇒phương trình mp(
α
).
Ví dụ: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(
β
):5x+y-7z+3=0. Viết phương trình
mp(α) //mp(
β
) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2.
Giải
Mp(β) có một VTPT là
1
(5;1; 7)= −
ur
n
, mp (α) //mp(
β
) ⇒ phương trình mp(α) có dạng:
5x+y-7z+D = 0 (D≠3)
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
Do mp(α) cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2 ⇔ d(A;(α))=2 ⇔
A & &A
&A &A)
D
+ +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ ± ⇔ = ±
+ + −
(nhận)
⇒ phương trình của mp(α) là:
" # $B + − ± =
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD cho
trước. (
AB
uuur
không cùng phương với
CD
uuur
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và
CD
uuur
.
B2: Tìm
n AB,CD
=
r uuur uuur
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1),
C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0). Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng CD và song song với
đường thẳng AB.
Giải
Ta có
( ) ( )
1, 5, 2 ; 2,1,1= − − =
uuur uuur
AB CD
⇒
( )
; 3, 5,11
= = − −
r uuur uuur
n AB CD
là VTPT của mp(Q)
Mặt phẳng
( )
α
đi qua C có 1 VTPT
( )
3, 5,11= − −
r
n
⇒ Phương trình mp
( )
α
là:
-3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0 ⇔ -3x – 5y + 11z + 17 = 0 ⇔ 3x+5y-11z -17 = 0
Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm A, B và song song với đường
thẳng d cho trước. (AB không song song với d).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và véctơ chỉ phương
a
r
của d.
B2: Tìm
n AB,d
=
r uuur r
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận
n
r
làm VTPT.
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước. (
∉A d
)
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ điểm M
0
∈
d và VTCP
u
r
của d. Tìm
0
AM
uuuuur
B2: Tìm
0
n AM ,u
=
r uuuuur r
B3: Viết PT mặt phẳng(
α
) đi qua điểm A và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x.
Giải
Trục 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP
i (1;0;0)=
r
,
0A ( 1;2;3)= −
uuur
⇒
n 0A,i
=
r uuur r
=(0;3;-2). Mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A và nhận
n
r
=(0;3;-2) làm một VTPT, phương
trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0 ⇔ 3y-2z=0.
Cách khác :
Phương trình mặt phẳng(
α
) chứa trục ox có dạng: By+Cz=0. (1)
Do mặt phẳng(
α
) đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 ⇒ C= -2 ⇒ phương trình mặt
phẳng (
α
) là: 3y-2z=0.
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và toạ độ trung điểm I của đoạn AB.
B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận
AB
uuur
làm VTPT ⇒ phương trình mặt phẳng
trung trực
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2)
Giải:
Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1),
AB (2; 4;2)= −
uuur
.
Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là
AB (2; 4;2)= −
uuur
⇒ phương trình mặt phẳng trung
trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ⇔ 2x-4y+2z-2=0
Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
.
B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;0) vuông góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1) và
B(3,-1;2).
Giải:
Ta có
AB (2; 1;1)= −
uuur
.
Mp(P) đi qua M(1;3;0) và có 1VTPT là
AB (2; 1;1)= −
uuur
⇒ phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x-1)-(y-
3)+1(z-0)=0 ⇔ 2x-y+z+1=0
Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm M
0
cho trước và vuông góc với
đường thẳng d cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm VTCP
u
r
của d.
B2: Viết phương trình mặt phẳng
( )α
đi qua điểm M
0
và nhận
u
r
làm VTPT.
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng(
β
)
cho trước. (AB không vuông góc với
( )
β
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và VTPT
n
β
uur
của mặt phẳng(
β
).
B2: Tìm
n AB, n
β
=
r uuur uur
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp (
α
) đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(P):
2x-y+3z-1=0
Giải
Ta có
AB ( 1; 2;5)= − −
uuur
, mp(P) có 1 VTPT là
P
n (2; 1;3)= −
uur
⇒
P
n AB;n ( 1;13;5)
= = −
r uuur uur
Mp(
α
) đi qua A(3;1;-1), có 1 VTPT là
n ( 1;13;5)= −
r
⇒ phương trình mặt phẳng (
α
) là:
-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0 ⇔ -x+13y+5z-5=0 ⇔ x-13y-5z+5=0
Dạng 10: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua điểm A và vuông góc với 2 mặt phẳng(
β
), (
γ
) cắt
nhau cho trước.
Phương pháp giải:
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
B1: Tìm toạ độ VTPT
n
β
uur
,
n
γ
uur
của 2 mặt phẳng(
β
) và (
γ
).
B2: Tìm
n n ;n
β γ
=
r uur uur
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp
( )
α
:5x+y-7z+3=0 và mp(
β
): 2x+2y-
4z+1=0. Viết phương trình mp(P) đi qua A(1;2;3) và vuông góc với 2 mặt phẳng (α), (β).
Giải
Mp(α) có một VTPT là
1
(5;1; 7)= −
ur
n
, mp(β) có một VTPT là
2
(2;2; 4)= −
uur
n
⇒
1 2
, (10;6;8)
= =
r ur uur
n n n
Do mp(P)vuông góc với 2 mặt phẳng (α) và (β) ⇒ mp(P)có một VTPT là
(10;6;8)=
r
n
, mặt khác
mp(P) còn đi qua A(1;2;3) ⇒ Phương trình mp(R) là: 10(x-1) + 6(y-2) + 8(z-3) = 0
⇔ 5(x-1) + 3(y-2) + 4(z-3) = 0 ⇔ 5x+3y+4z-23=0
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm M
0
và song song với hai đường thẳng
phân biệt d
1
, d
2
cắt nhau hoặc chéo nhau cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm các VTCP
1 2
u , u
uur uur
của d
1
và d
2
.
B2: Tìm
1 2
n u ,u
=
r uur uur
B3: Viết phương trình mặt phẳng(
)α
đi qua điểm M
0
và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Cho điểm
( )
0;1;2A
và hai đường thẳng
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
và
2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= +
= − −
= +
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với hai đường thẳng
1
d
và
2
d
HD: .
1
d
có VTCP
( )
1
2;1;1u =
r
.
2
d
có VTCP
( )
2
1; 2;1u = −
r
.
( )
P
có VTPT
( )
1 2
; 3; 1; 5n u u
= = − −
r ur uur
(do
1
d
và
2
d
không song song)
. Phương trình mặt phẳng (P) qua A và có VTPT
n
r
là :
3 5 11 0x y z− − + =
Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
//
( )
β
: Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Phương pháp giải:
B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S).
B2:Do mp(
α
)//mp
( )
β
⇒phương trình mặt phẳng(
α
) có dạng Ax+By+Cz+m=0(*) (m≠D)
B3: Mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d(I,(
α
))=R giải phương trình này tìm được m
thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng(
α
).
Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1) , mặt phẳng (P ) :
2 10 0x y z
+ + + =
và mặt cầu (S) :
2 2 2
2 4 6 8 0
+ + − + − + =
x y z x y z
. Viết phương trình mặt
phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
HD: Mặt cầu (S) có tâm I(1,-2,3) và
6R =
Phương trình mặt phẳng (R) có dạng:
2 0x y z m
+ + + =
( )
1m ≠
Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
( )
( )
,d I R R=
1 2 6
6
1 1 4
m− + +
⇔ =
+ +
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
Giải ra ta được:
1
11
m
m
=
= −
. Vậy phương trình mặt phẳng (R) :
2 1 0
2 11 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + − =
III/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
Chú ý :
- Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm di qua và 1 véctơ chỉ phương
- Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véctơ chỉ phương
( ; ; )u a b c=
r
phương trình
tham số là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
. Nếu a.b.c ≠ 0 thì phương trình chính tắclà:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
-Nếu khơng tìm được ngay véctơ chỉ phương của đường thẳng d ta đi tìm 2 véctơ
,a b
r r
khơng
cùng phương có giá vng góc với d khi đó
[ ; ]u a b=
r r r
là một véctơ chỉ phương của (d).
Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A có một véctơ chỉ phương
u
r
Phương pháp giải:
B1: Chỉ rõ (d) đi qua A(x
0
;y
0;
z
0
) có một véctơ chỉ phương
( ; ; )u a b c=
r
B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo u cầu.
Ví dụ : Viết PTchính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP
a = −
r
.
Giải:
Đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP
a = −
r
. Phương trình chính tắc là :
5 4 1
2 3 1
x y z
− − −
= =
−
. Phương trình tham số là
5 2
4 3
1
x t
y t
z t
= +
= −
= +
Dạng 2: Đường thẳng (d) đi qua A,B
Phương pháp giải:
B1 : Tìm véctơ
AB
uuur
B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
AB
uuur
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3),B(4; 4; 4)
Giải:
Ta có
(3; 2; 1)AB =
uuur
:
Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là
(3; 2; 1)AB =
uuur
Phương trình tham số là
1 3
2 2
3
x t
y t
z t
= +
= +
= +
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆
)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương
r
a
của (d)
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
r
a
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với ∆:
x t
y t
z t
= +
= − +
=
Giải:
Đường thẳng ∆ có 1 VTCP là
(2; 3; 4)a =
r
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
Đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3), có 1 VTCP là
(2; 3; 4)a =
r
⇒ phương trình là:
= +
=
= − +
x t
y t
z t
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(
α
)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến
n
r
của mp(α)
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
n
r
Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc (P):
x y z + − + =
Giải:
Mp(P) có 1 VTPT là:
(1; 1; 1)n
= −
r
Đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3), có 1 VTCP là:
(1; 1; 1)n
= −
r
⇒ phương trình chính tắc là:
2 1 3
1 1 1
x y z
− + −
= =
−
Dạng 4: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
), (d
2
) ( d
1
không song song hoặc trùng d
2
)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương
r
a
của (d
1
),véctơ chỉ phương
b
r
của (d
2
)
B2: Tính
[ ; ]u a b=
r r r
B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng (d
1
):
1 2
3
x t
y t
z t
= −
= +
= −
và (d
2
):
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−
Giải:
Đường thẳng d
1
có 1 VTCP là
( 2; 1; 1)a
= − −
r
.
Đường thẳng d
2
có 1 VTCP là
(2; 1; 3)b = −
r
⇒
[ ; ] (2;4;0)u a b= =
r r r
.
Đường thẳng d có 1 VTCP là
(2;4;0)u =
r
và đi qua M(1;1;4) ⇒ phương trình là:
1 2
3
x t
y t
z t
= −
= +
= −
Dạng 5: Đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là:
;
P Q
n n
uur uur
B2: Tính
[ ; ]
p Q
u n n=
r uur uur
B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt phẳng
thế vào 2 phương trình 2 mặt phẳng giải hệ tìm đượcy
0
; z
0
⇒ toạ độ điểm A(0; y
0
; z
0
)
B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ :
Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P):x-2y+z+5=0,(Q):2x-z+3=0.
Giải:
Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là
1
( 1; 2; 1)n = −
ur
.
Mặt phẳng (Q) có 1 VTPT là
2
(2; 0; 1)n
= −
r
. ⇒
1 2
[ ; ] (2;3;4)u n n= =
r ur uur
.
Giỏo viờn biờn son: Nguyn Nng Sut THPT Quang Trung Goứ Dau Taõy Ninh
Cho x=0 th vo phng trỡnh mp(P) v mp(Q) ta c h :
2 5 4
3 3
y z y
z z
+ = =
= =
d i qua
A(0 ;4 ;3). Mt khỏc d cú 1 VTCP
(2;3;4)u =
r
phng trỡnh l:
4 3
2 3 4
x y z
= =
Dng 6:
Vit phng trỡnh ng thng d i qua im A v song song vi hai mt phng ct nhau (P), (Q).
Phng phỏp gii:
B1:Tỡm vộct phỏp tuyn ca 2 mt phng gi s l:
;
P Q
n n
uur uur
B2: Tớnh
[ ; ]
p Q
u n n=
r uur uur
B3:Vit phng trỡnh ng thng d qua A cú VTCP
u
r
Vớ d :
Vit phng trỡnh ng thng d i qua A(3;-1;2) v song song vi hai mt phng (P): x+2z - 4=0;
(Q): x + y - z + 3= 0
Gii:
Mt phng (P) cú 1 VTPT l
1
( 1; 0; 2)n =
ur
.
Mt phng (Q) cú 1 VTPT l
2
(1; 1; 1)n
=
r
.
1 2
[ ; ] ( 2;3;1)u n n= =
r ur uur
.
ng thng d i qua A(3;-1;2), cú 1 VTCP
( 2;3;1)u =
r
phng trỡnh l:
3 1 2
2 3 1
x y z
+
= =
Dng 7: Vit phng trỡnh ng thng d i qua im A, ct v vuụng gúc vi ng thng .
Phng phỏp gii:
B1:a phng trỡnh ng thng v dng tham s
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
.
B2 :Tỡm vộct ch phng
u
r
ca ng thng .
B3: Gi B= d B(x
0
+at ; y
0
+bt ; z
0
+ct)
AB
uuur
B4: Do d vuụng gúc vi
u
r
.
AB
uuur
= 0 t
AB
uuur
B5:Vit phng trỡnh ng thng d qua A cú VTCP
u
r
Vớ d :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (4; 2; 4) và đờng thẳng d:
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= +
=
= +
Viết phng trình đờng thẳng dđi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d.
Dng 8: Vit phng trỡnh ng thng d nm trong (P), ct v vuụng gúc vi ng thng .
Phng phỏp gii:
B1:Tỡm giao im A ca d v .
B2 :Tỡm vộct ch phng
a
r
ca ng thng .VTPT
n
r
ca mp(P)
B3:
[ ; ]u a n=
r r r
B4: Vit phng trỡnh ng thng d qua A cú VTCP
u
r
Vớ d : Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d:
x 1 y 3 z 3
1 2 1
+
= =
v mp(P): 2x + y 2z + 9 = 0. Vit
phng trỡnh ng thng
nm trong (P) vuụng gúc vi d v ct d.
HD: + Gi A l giao im ca d v (P) : A(0, 1, 4)
+ d cú VTCP
a
r
= (1, 2, 1)
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
+ (P) VTPT
n
r
= ( 1, 1, –2)
+
∆
có VTCP
=
r r r
b n,a
= (5, 0, 5)=5(1 ;0 ;1) ⇒
x t
: y 1
z 4 t
=
∆ = −
= +
IV/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÌM ĐIỂM:
Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp giải:
• Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ
( )
,1( 8
,1(
α
Ví dụ : Cho đường thẳng ∆:
− −
= =
x y z
và mặt phẳng (P) : x+y-z+3=0
Tìm toạ độ giao điểm H của A và mặt phẳng (P)
Giải :
Toạ độ giao điểm H là nghiệm của hệ
−
=
− = = −
−
= ⇔ − = ⇔ = − ⇒ − − −
+ − = − = −
+ − + =
" $
" $ "
# $
# $ # C
" # $ $
" # $
Cách khác :
Đường thẳng ∆có phương trình tham số là:
x t
y t
z t
= +
= +
=
. Do H=∆∩(P)⇒H∈∆⇒H(2+t;1+2t;t). Mặt khác
H∈(P) nên ta có: 2 + t +1+2t – t +3 = 0 ⇔ t = -3 ⇒H(-1;-5;-3)
Dạng 2:Tìm hình chiếu H của M trên mp(P)
Phương pháp giải:
+D@'+,+ủ@,
'45>11(D<1E8=*FFGH@,.1H
α
na
d
=
+I<6CJ456@K1.
( )
,1( 8
,1(,
Ví dụ :
Trong khơng gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu của A(0, 0, 1) trên
mặt phẳng (P)
HD :
+ (P) có VTPT
n
r
= (6, 3, 2)
+ Gọi d là đường thẳng qua A và vng góc với (P), ta có d qua A và có VTCP
n
r
nên d:
x 6t
y 3t
z 1 2t
=
=
= +
+ H là điểm chiếu của A lên (P) là giao điểm của d và (P), ta có H
24 12 57
, ,
49 49 49
÷
Dạng3 : Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua mp(P)
Phương pháp giải:
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh
• +D@'+,+
n
r
ủ@,
• Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vng góc mp(P). ( d có 1 VTCP là
n
r
)
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
• M
/
đối xứng với M qua (P) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :
/
/
/
2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z
= −
= −
= −
Ví dụ :
Trong khơng gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm điểm A’ đối xứng với A(0, 0, 1) qua
mặt phẳng (P)
HD :
+ (P) có VTPT
n
r
= (6, 3, 2)
+ Gọi d là đường thẳng qua A và vng góc với (P), ta có d qua A và có VTCP
n
r
nên phương
trình tham số của d là:
x 6t
y 3t
z 1 2t
=
=
= +
+ H là giao điểm của d và (P), ta có H
24 12 57
, ,
49 49 49
÷
+ A’ đối xứng với A qua (P) ⇒H là trung điểm AA’ nên A’
48 24 65
, ,
49 49 49
÷
Dạng4 : Tìm điểm H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
Phương pháp giải:
+D@'+,
d
a
uur
ủ8
'45>11(D@α=*FFGHFH48.1H
d
an =
α
+I<6CJ456@K1.
( )
,1( 8
,1(
α
Ví dụ :
Cho đường thẳng d:
x 2 y 3 z
1 1 1
− +
= =
− −
và điểm A(1,3,5). Tìm tọa độ điểm chiếu của A lên đường
thẳng d
HD: + d có VTCP
a
r
= (1, –1, –1)
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc với d nên (P) qua A và có VTPT
a
r
⇒ phương trình của mp (P) là: x – y – z + 7 = 0
+ H là hình chiếu của A lên d là giao điểm của d và (P) ta có H (–2, 1, 4)
Cách khác:
+Phương trình tham số của d là
= +
= − −
= −
x 2 t
y 3 t
z t
, d có VTCP
a
r
= (1, –1, –1)
+Do H là hình chiếu của A trên d ⇒ H∈d ⇒ H(2+ t; -3-t ;-t) ⇒
(1 ; 6 ; 5 )AH t t t= + − − − −
uuur
+Mặt khác
. 0 1 6 5 0 4AH a AH a t t t t⊥ ⇔ = ⇔ + + + + + = ⇔ = −
uuur r uuur r
⇒ H(-2 ;1 ; 4)
Dạng5 : Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua đt d
Phương pháp giải:
• +D@'+,
d
a
uur
ủ8
• Lập pt mp (P) đi qua điểm M và vng góc đt d.
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt d và mp(P) .
Giỏo viờn biờn son: Nguyn Nng Sut THPT Quang Trung Goứ Dau Taõy Ninh
M
/
i xng vi M qua d H l trung im ca MM
/
nờn :
/
/
/
2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z
=
=
=
Vớ d : Cho ng thng d:
= +
=
=
x 2 t
y 3 t
z t
v im A(1,3,5). Tỡm ta im A i xng vi A qua
ng thng d
HD: + d cú VTCP
a
r
= (1, 1, 1)
+ Gi (P) l mt phng qua A v vuụng gúc vi d nờn (P) qua A v cú VTPT
a
r
phng trỡnh ca mp (P) l: x y z + 7 = 0
+ H l giao im ca d v (P) ta cú H (2, 1, 4)
+ A i xng vi A qua ng thng d H l trung im AA nờn ta cú A(5, 1, 3)
MT S BI TON TèM IM KHC
a) Trờn trc Oy tỡm im M cỏch u hai im : A(3 ; 1 ; 0) v B(-2 ; 4 ; 1).
HD: MOy M(0 ;y ;0). M cỏch u hai im A, B AM=BM
b) Trờn mt phng Oxz tỡm im M cỏch u ba im: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) v C(3; 1; -1).
HD: MOxz M(x ;0 ;z ). M cỏch u 3 im A, B, C AM=BM=CM
c) Cho ba im: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) v C(3; 1; -1). Tỡm im D t giỏ ABCD l hỡnh
bỡnh hnh.
HD:T giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh
AD BC=
uuur uuur
.
d) Cho ba im: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1) Tỡm im M sao cho
2 3AM AB BC=
uuuur uuur uuur
.
HD: Gi M(x,y,z), tớnh
, 2 3AM AB BC
uuuur uuur uuur
hai vộct bng nhau cỏc to tng ng bng nhau.
MT THI TT NGHIP PHN HèNH HC KHễNG OXYZ
Bi 1) TNTHPT 2007
Cõu 6a Trong khụng gian ta Oxyz cho im E(1;2;3) v mt phng
( )
cú phng trỡnh x + 2y
2z +6 = 0.
1. vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm l gc ta O va tip xỳc vi mt phng
( )
.
2. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng
( )
i qua im E v vuụng gúc vi mt phng
( )
Bi 2) TNTHPT 2007
Cõu 6b Trong khụng gian ta Oxyz cho hai im M(1;0;2) , N(3;1;5) va ng thng (d) cú
phng trỡnh
1 2
3
6
x t
y t
z t
= +
= +
=
1. vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M v vuụng gúc vi ng thng (d)
2. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M v N.
Bi 3) TNTHPT 2007
Cõu 4a Trong khụng gian ta Oxyz cho im M(-1;-1;0) v mt phng (P) cú phng trỡnh x + y
2z 4 = 0.
1) Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua ba im M v song song vi mt phng (P).
2) Vit phng trỡnh tham s ca nt thng (d) i qua im M v vuụng gúc vi mt phng (P).
Tỡm ta giao im H ca ng thng (d) vi mt phng (P).
Bi 4) TNTHPT 2008
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
Câu 4a Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;-1;3) mặt phẳng (P) có phương trình
x – 2y – 2z – 10 = 0
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)
Bài 5) TNTHPT 2009
Câu 4a Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
(S): x 1 y 2 z 2 36 và (P) : x 2y 2z 18 0− + − + − = + + + =
.
1) Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P).
2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm
của d và (P).
Bài 6) TNTHPT 2010
Câu 4.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 7) Đề thi TNTHPT năm 2011
Câu 4.a. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình
2x+2y-z+1=0.
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và
song song với mặt phẳng (P) .
2) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng(P).
Bài 8) Đề thi TNTHPT năm 2012
Câu 4.a. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1), B(0;2;5) và mặt phẳng (P)
có phương trình 2x –y+5 =0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B
2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB
PHẦN III: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V=B.h
. 84561L<H#
. 45M
*Thể tích khối hộp chữ nhật:
V= a.b.c
3. HÌNH TRỤ- KHỐI TRỤ:
"=
1(I
N . HL<H#
% NJFH4
J . <4
N . HL<H#
' N FH4
. <
= π
= π
4. HÌNH NÓN – KHỐI NÓN
"=
H
N . HL<H#
% NJFH4
J . <4
N . HL<H#
' N FH4
. <
= π
= π
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
Bh
. 84561L<H#
. 45M
5. MẶT CẦU – KHỐI CẦU:
"=
1(I
N . HL<H#
% NJFH4
J . <4
N . HL<H#
' N FH4
. <
= π
= π
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
Chú ý:
1/ Hình vuông cạnh a: Đường chéo của là a
2
. Hình lập phương cạnh a: đường chéo là a
3
.
Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c đường chéo là
2 2 2
a b c+ +
.
2/ Tam giác đều cạnh a: đường cao là
3
2
a
, diện tích là
2
3
4
a
3/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC= +
b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
==
c) AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH
+=
e)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =
f) b= a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a=
sin cos
b b
B C
=
, b= c. tanB = c.cot C
4/ Hệ thức lượng trong tam giác thường:
*Định lý hàm số Côsin: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
*Định lý hàm số Sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
5/Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
1
2
S =
a x h
a
=
1 . .
. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = = − − −
trong đó
2
a b c
p
+ +
=
Đặc biệt :
ABC∆
vuông ở A :
1
.
2
S AB AC=
,
ABC∆
đều cạnh a:
2
3
4
a
S =
b/ Diện tích hình vuông : S= cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S= dài x rộng
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
6/ Hình chóp đều : là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy
là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
7/ Lăng trụ đều : là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
8) Xác định góc giữa đường thẳng a và mp (α):
Các bước xác định góc giữa đường thẳng a và mp (α):
+ Xác định hình chiếu a’ của a trên mp (α).
+
·
·
(
)
α
= O
.
9) Xác định góc góc giữa hai mặt phẳng (α) và (
β
):
+ Xác định giao tuyến c của (α) và (
β
)
+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng (α) và (
β
) đồng thời cùng vuông góc với giao tuyến c
+ Xác định góc giữa a và b, góc giữa a và b là góc giữa (α) và (
β
)
MỘT BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP :
a
c
b
B
C
A
H
α
β
a
b
c
a
a'
ϕ
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh
Bài 1. (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC = a
3
, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a
2
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 2. (đề thi TNTHPT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Biết góc BAC = 120
0
, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 3 (đề thi TNTHPT – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy một góc 60
0
,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 4. (đề thi TNTHPT – 2011 )
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD= a, AB=3a. Cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45
0
. Tính thể tích khối chóp SABCD
theo a.
Bài 5. (đề thi TNTHPT hệ BT – 2011)
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABC và
SA=a. Tính thể tích khối chóp SABC theo a.
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, cạnh bên SC hợp với đáy một góc α và hợp với mặt bên (SAB) một góc β. Tính thể tích khối
chóp
Bài 7. (đề thi TNTHPT – 2012)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA= BC = a. Góc giữa
đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Bài 8. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
1
lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh bên AA
1
tạo với mặt đáy một góc
60
0
.
a. Tính thể tích lăng trụ. b. Chứng minh: BCC
1
B
1
là hình chữ nhật
Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
, đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60
0
. Chân đường vuông
góc hạ từ B
1
xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB
1
= a
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy b. Tính thể tích khối hộp
Bài 10.Cho lăng trụ đều ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC
1
và đáy là 60
0
.
Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 11. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Một mp (P) đi qua
đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Xác định thiết diện của
(P) với khối nón và tính diện tích thiết diện đó.
Bài 12. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần
b) Tính thể tích khối nón đó.
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này.
Bài 13. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ được tạo nên.
b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính
khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục của hình trụ.
Bài 14. Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao r
3
. Gọi A và B là hai điểm trên hai đường
tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30
0
. Tính
diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
Bài 15. Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vuông tại B và AB = 6a,
BC = 8a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
Bài 16. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a,
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
