PH N I : NG HC CHT IM.
I. Chuyn ng thng u, thng bin i u
Bài mẫu 1: Hai ôtô chuyển động đều cùng một lúc từ A đến B, AB=S. Ôtô thứ nhất đi nửa quãng đờng
đầu với vận tốc v
1
, nửa quãng đờng sau với vận tốc v
2
. Ôtô thứ hai đi với vận tốc v
1
trong nửa thời gian đầu
và với vận tốc v
2
trong nửa thời gian còn lại.
a)Tính v
tb
của mỗi ôtô trên cả quãng đờng.
b) Hỏi ôtô nào đến B trớc và đến trớc bao nhiêu?
c) Khi một trong hai ôtô đã đến B thì ôtô còn lại cách B một khoảng bao nhiêu?
Giải
a) + Ôtô 1:
2
S
=v
1
.t
1
t
1
=
1
2v

S
.

2
S
=v
2
.t
2
t
2
=
2
2v
S
Thời gian đi cả quãng đờng là: t=t
1
+t
2
=
21
21
2
)(
vv
vvS +
.
v
tb1
=

21
21
2
vv
vv
t
S
+
=
.
+ Ôtô 2:
v
tb2
=
2
22 21
21
vv
t
v
t
v
t
t
S
+
=
+
=
b)+ Ôtô 1 đi hết AB trong khoảng thời gian là: t

A
=
21
21
2
)(
vv
vvS +
.
+ Ôtô 2 đi hết AB trong khoảng thời gian là: t
B
=
21
2
vv
S
+
.
t
B
-t
A
=
)(2
)(
2121
2
21
vvvv
vvS

+

<0 chứng tỏ t
B
<t
A
nên xe 2 đến B trớc.
c)+ Trờng hợp 1: Ôtô thứ 2 đến B thì ôtô thứ nhất đang trên nửa quãng đờng sau:
S
0
=v
2
.(t
A
-t
B
)=
)(2
)(
211
2
21
vvv
vvS
+

; điều kiện: S
0
<


2
S
v
2
<3v
1
.
+ Trờng hợp 2: Ôtô thứ 2 đến B thì ôtô thứ nhất đang trên nửa quãng đờng đầu:
S
0
=v
tb1
(t
B
-t
A
)=
21
12
)(
vv
vvS
+

; điều kiện: S
0
>

2
S

v
2
>3v
1
.
+ Trờng hợp 3: S
0
=
2
S
khi v
2
=3v
1
.
Bài mẫu 2: Một chiếc xe chạy lên đồi với vận tốc 40km/h rồi chạy xuống dốc với vận tốc 60 km/h. Tính
vận tốc trung bình cho toàn bộ đờng đi.
Giải:
Ta có v
tb
=
21
21
2
v
S
v
S
S
tt

SS
+
=
+
+
. Thay số: v
tb
=48 km/h.
Bài mẫu 3: Một ngời chạy đợc bao xa trong 16s, nếu đồ thị vận tốc - thời gian của anh ta đợc trình bày
nh hình 1
Giải:
Quãng đờng S có số đo bằng số đo diện tích của hình đa giác giới hạn bởi đờng biểu diễn v, trục Ot, đờng
tung Ov và đờng hoành t=16. Đếm các ô trên đồ thị thì diện tích đa giác là 25 ô. Vậy S=25.4=100m.

Hình 1
Bài mẫu 4: Một hạt có vận tốc 18m/s và sau 2,4 s nó có vận tốc 30m/s theo chiều ngợc lại.
a)Gia tốc trung bình của hạt trong khoảng thời gian 2,4s là bao nhiêu?
b) Vẽ đồ thị v theo t và chỉ ra cách tìm tốc độ trung bình trên đồ thị.
Giải:
a)

4,2
1830
12
12

=


=

tt
vv
a
=-20m/s
b)
Biểu thức v theo t có dạng nh hình 2.
v=v
0
+at=18-20t.
v=0 lúc t=0,9s.
Trên đồ thị biểu diễn v theo t thì quãng đờng S
1
vật đi dợc từ 0 đến 0,9s có giá trị bằng diện tích hình tam
giác OAB và quãng đờng S
2
vật đi đợc từ 0,9s đến 2,4s-bằng diện tích hình tam giác BCD.
S
1
=
2
1
(OAxOB)=0,5(18.0,9)=8,1m
S
2
=0,5(DCxBD)=0,5[30(2,4-0,9)]=22,5m.
Quãng đờng đi đợc từ 0 đến 2,4s là
S=S
1
+S
2

=8,1+22,5=30,6m.
Tốc độ trung bình là: v
tb
=
4,2
6,30
=
t
S
=12,75m/s.
Bài mẫu 5: Một vật có gia tốc không đổi là +3,2m/s
2
. Tại một thời điểm nào đó vận tốc của nó là
+9,6m/s. Hỏi vận tốc của nó tại thời điểm:
a)Sớm hơn thời điểm trên là 2,5s.
b)Muộn hơn thời điểm trên 2,5s
là bao nhiêu?
Giải:
a) v=v
0
+at=v
0
+3,2t
9,6 =v
0
+3,2t (1)
v
-
=v
0

+ 3,2(t-2,5) (2)
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta đợc: v
-
=9,6-3,2.2.5=1,6m /s.
b) v
+
=v
0
+3,2(t+2,5) (3).
Trừ vế với vế của (3) cho (1) ta đợc: v
+
=9,6+3,2.2,5=17,6m/s.
Bài mẫu 6: Một ngời đứng ở sân ga nhìn đoàn tầu chuyển bánh nhanh dần đều. Toa (1) đi qua trớc mặt
ngời ấy trong t(s). Hỏi toa thứ n đi qua trớc mặt ngời ấy trong bao lâu?
v(m/s)
8
4
t
0 2 4
6 8 10 12 14 16
v(m/s)
18 A

0.9 2,4
0 B D t(s)
-30 C
Hình 2
áp dụng bằng số:t=6, n=7.
Giải:
Gọi chiều dài mỗi toa tầu là l. Theo bài ra ta có:

l =
2
1
at
2
(1)
nl =
2
1
at
2
(2) với t

là thời gian đoàn tầu đi hết qua trớc mặt ngời ấy.
Từ (1) và (2) suy ra t

=t
n
. (3)
Tơng tự: (n-1)l=
2
1
at
2
(4) với t

là thời gian (n-1) toa tầu đi hết qua trớc mặt ngời ấy.
Do đó, thời gian toa thứ n đi qua là:
=
t

1
)1( tnn

Bài mẫu 7: Một ngời đứng tại điểm M cách một con đờng thẳng một khoảng h=50m để chờ ôtô; khi thấy
ôtô còn cách mình một khoảng a= 200m thì ngời ấy bắt đầu chạy ra đờng để gặp ôtô (hình 1). Biết ôtô
chạy với vận tốc v
1
= 36km/giờ. Hỏi:
a) Ngời ấy phải chạy theo hớng nào để gặp đúng ôtô? Biết rằng ngời chạy với vận tốc v
2
=10,8
km/giờ.
b) Ngời phải chạy với vận tốc nhỏ nhất bằng bao nhiêu để có thể gặp đợc ôtô?
Giải:
a) Muốn gặp đúng ôtô tại B thì thời gian
ngời chạy từ M tới B phải bằng thời gian ôtô
chạy từ A tới B:
12
v
AB
v
MB
=
. (1
Trong tam giác AMB có:

sinsin
ABMB
=
. (2)

Với sin
a
h
=

. Từ (1) và (2) ta rút ra
2
1
.sin
v
v
a
h
=

=0,833


=56
0
30 hoặc

=123
0
30
b) Để có thể gặp đợc Ôtô thì phải có
12
v
AB
v

MB


v
2min
=
.
a
h
v
1
=2,5m/s
Bài mẫu 8: Môt chiếc ca nô xuất phát từ điểm A trên đờng cái, ô tô này
cần đến điểm D (trên đồng cỏ) trong thời
gian ngắn nhất. Biết
lCDdAC == ;
.
Vận tốc ô tô chạy trên đờng cái (v
1
)lớn hơn vận tốc ô tô trên
đồng cỏ (v
2
) n lần.
Hỏi ô tô phải rời đờng cái tại một điểm B cách C một đoạn
x là bao nhiêu?
Giải:
Thời gian ô tô chạy trên đờng cái từ A đến B:
1
1
v

xd
t

=

M
h
H
a
Hỡnh 1
M
h
H
a
Hỡnh 1


A
B
Thời gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D:
2
22
2
v
lx
t
+
=
.
Tổng thời gian chạy từ A đến D của ô tô :

21
ttt +=
=
1
v
xd
2
22
v
lx +
+
.

+

=
1
v
xd
1
22
.
v
lx
n
+
.
Đặt:
( )
1

22
v
lxnxd
xf
++
=


( )
1
1
'
v
xf =
22
1
lxv
nx
+
+
22
1
22
. lxv
lxnx
+
+
=
.
f(x) = 0


x=
1
2
n
l
.
Bảng biến thiên:

Vậy ô tô phải rời đờng cái tại B cách C một đoạn
=x

1
2

n
l
, lúc đó thời gian ngắn nhất cần thiết của
ô tô sẽ là:
1
2
min
1
v
nld
t
+
=
.
Bài mẫu 9: Có hai vật m

1
và m
2
chuyển động thẳng đều với vận tốc lần lợt là
1
v

và
2
v

. Vật m
2
xuất phát
từ B.
Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá trình
chuyển động và thời gian đạt đợc khoảng cách đó? Biết
khoảng cách ban đầu giữa chúng là
l
và góc giữa hai đờng
thẳng là

.
Giải:
Giả sử sau thời gian
t
khoảng cách giữa hai vật là ngắn nhất.
Khoảng cách đó sẽ là:



cos' '2''
22
BBBABBBAd +=




cos)(2)()(
21
2
2
2
1
tvtvltvtvld +=
=
2
21
2
2
221
2
1
)cos(2)cos2( ltvvltvvvv ++++

Ta xem biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai ẩn số
t
, với

22
2

2
sin4 vl=
, d sẽ đạt giá trị
nhỏ nhất khi tam thức đó nhận giá trị nhỏ nhất,
hay

=
min
dd

2
221
2
1
21
cos2
)cos(
vvvv
vvl
t
++
+
=


Và khoảng cách bé nhất giữa chúng lúc đó sẽ là:
a
d
4
min


=




=
min
d
2
221
2
1
2
cos2
sin
vvvv
lv
++


Bài mẫu 10: Một ngời đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một đoàn tàu bắt đầu chuyển
động nhanh dần đều. Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian
1
t
.
Hỏi toa thứ n đi qua ngời ấy trong thời gian bao lâu?
Biết các toa có cùng độ dài là S, bỏ qua khoảng nối các toa.
Giải:
Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian t

1
:

2
2
1
at
s =
a
S
t
2
1
=
n toa đầu tiên vợt qua ngời ấy mất thời gian
n
t
:

2
.
2
n
ta
ns =

a
nS
t
n

2
=
;

1n
toa đầu tiên vợt qua ngời ấy mất thời gian
1n
t
:

( )
2
1
2
1
=
n
at
sn


a
Sn
t
n
)1(2
1

=


Toa thứ n vợt qua ngời ấy trong thời gian
t

:

)1(
2
1
==

nn
a
S
ttt
nn
.

=t
1
)1( tnn

II. Các bài toán về chuyển động tơng đối
Bài mẫu 1:
Hai chiếc tầu chuyển động với cùng vận tốc đều v hớng đến O theo quỹ đạo là những đờng thẳng hợp với
nhau góc

=60
0
. Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa các tầu. Cho biết ban đầu chúng cách O những
khoảng l

1
=20km và l
2
=30 km.
Giải
Gia s khoang cach nho nhõt gia 2 tõu khi chung a i c thi gian la t. Võy AO=20-vt, BO = 30
vt, y
2
= AO
2
+BO
2
-2AO.BO.cos60
Hàm y
2
đạt cực tiểu tại (-b/a ; -

/a). Vậy (y
2
)
Min
=75 hay y
Min
=5
3
(km)
Bài mẫu 2
Hai tầu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l. Chúng chuyển đông thẳng
đều cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn lần lợt là v
1

và v
2
.
Tầu A chuyển động theo hớng AC tạo với AB một góc

nh hình vẽ.
a)Hỏi tầu B phải đi theo hớng nào để có thể gặp đợc tầu A. Sau bao lâu kể từ
lúc chúng ở các vị trí A và B thì 2 tầu gặp nhau?
b)Muốn 2 tầu gặp nhau ở H (xem hình)thì các độ lớn vận tốc v
1
và v
2
phải thoả
mãn điều kiện gì?
Giải
a)Để gặp đơc tầu A thì tầu B phải đi theo hớng hợp với AB một góc

nh hình
vẽ:

=(
2
v

,
AB

).
A


l
H B

C
A

l
H B
C
Giả sử 2 tầu gặp nhau ở C. Gọi t là thời gian 2 tầu đi để gặp nhau.
Theo định lý hàm số sin ta có:



sinsin
sinsin
2
112
v
vtvtv
==
Theo định lý hàm số cos ta có:
AC
2
=BC
2
+AB
2
-2BC.AB.cos


và BC
2
=AC
2
+AB
2
-2AC.AB.cos

Tức là v
1
2
t
2
=v
2
2
t
2
+l
2
-2.v
2
.t.l.cos

(1)
và v
2
2
t
2

=v
1
2
t
2
+l
2
-2.v
1
.t.l.cos

(2)
Từ (1) và (2) ta đợc t=

coscos
21
vv
l
+
.
b)Để 2 tầu gặp nhau tại H tức là tan

=
1
2
á v
v
HA
HB
=

III. Công thức cộng vận tốc
Bài mẫu 1:
Một ngời muốn chèo thuyền qua sông có dòng nớc chảy. Nếu ngời ấy chèo
thuyền theo hớng từ vị trí A sang vị trí B (AB

với dòng sông, hình3.1) thì sau
thời gian t
1
=10min thuyền sẽ tới vị trí C cách B một khoảng s=120m. Nếu ngời
ấy chèo thuyền về hớng ngợc dòng thì sau thời gian t
2
=12,5 min thuyền sẽ tới
đúng vị trí B. Coi vận tốc của thuyền đối với dòng nớc không đổi. Tính:
a) Bề rộng l của con sông.
b) Vận tốc v của thuyền đối với dòng nớc.
c) Vận tốc u của dòng nớc đối với bờ.
d) Góc

Giải:
- Thuyền tham gia đồng thời 2 chuyển động: chuyển động cùng với dòng nớcc với vận tốc
u

và chuyển
động so với dòng nớc với vận tốc
v

. Chuyển động tổng hợp chính là chuyển động của thuyền đối với bờ
sông với vận tốc:

V


=
v

+
u

a) Trờng hợp 1 ứng với hình 3.1.a; trờng hợp 2 ứng với hình 3.1.b:
Theo các hình vẽ ta có các phờng trình sau:
s=ut
1
; l=vt
1
; u=vsin

; l=(vcos

)t
2
.
Từ 4 phơng trình trên ta tính đợc
a)l=200m; b) v=0,33m/s; c) u=0,2m/s; d)

=336
0
52
Bài mẫu 2:
Ngời ta chèo một con thuyền qua sông theo hớng vuông góc với bờ với vận tốc 7,2km/h. Nớc chảy đã đem
con thuyền về phía xuôi dòng một đoạn 150m. Tìm:
a) Vận tốc của dòng nớc đối với bờ sông.

b) Thời gian cần để thuyền qua đợc sông. Cho biết chiều rộng của dòng sông bằng l=0,5km .
Giải: Ta có v=7,2km/h=2m/s.
B C
M

A
Hình 3.1
B s C



A
Hình 3.1.a
B



A
Hình 3.1.b
Thời gian cần thiết để qua sông là t
1
=
2
500
=
v
l
=250s.
Vận tốc của dòng nớc đối với bờ là: u=
250

150
1
=
t
s
=0,6m/s.
Bài mẫu 3:
Một xe du lịch đang chạy theo hớng Đông-Tây với vận tốc v
1
=40km/h; ngời lái xe cảm thấy gió thổi theo
hớng Bắc-Nam với vận tốc 40km/h.
1) Xác định vận tốc và hớng gió.
2) Sau đó xe đổi hớng, chạy theo hớng Tây-Bắc nhng ngời lái xe vẫn cảm thấy gió vẫn giữ nguyên hớng
nh trớc. Hỏi khi đó vận tốc của xe bằng bao nhiêu và ngời lái xe cảm thấy gió có vận tốc là bao nhiêu?
cho biết gió không đổi hớng và vận tốc.
Giải:
1) Vận tốc của xe so vứi đất
v
xd
=40km/h. Vận tốc của đất so với xe
dx
v

=-
xd
v

. vận tốc của gió so với
xe v
gx

=40km/h và
xd
v


gx
v

;
Ta có
gx
v

=
gd
v

+
dx
v

, và giản đồ vectơ nh hình vẽ. Vì v
xd
=v
gx
nên gió có hớng Tây-Nam và có vận tốc
v
gd
=40
2

km/h.
2) Khi xe chuyển hớng mà gió không chuyển hớng thì
'
xd
v


gd
v

, với
'
xd
v

là vận tốc mới của xe đối với
đất. Ta cũng có
'
dx
v


gd
v

. Theo bài ra
gx
v'

giữ nguyên hớng cũ, nghĩa là

gx
v'

hợp với
gd
v

một góc 45
0
nh
ở hình trên đây. Theo hình này ta có:
gx
v'

=
gd
v

+
'
dx
v

; từ đó suy ra v
gx
=v
gd
2
=80km/h và
v

dx
=v
xd
=v
gd
=40
2
km/h: xe chạy với tốc độ 40
2
km/h và ngời lái xe cảm thấy gió coa vận tốc 80km/h.
IV. Chuyển động rơi tự do
IV.I-Tính thời gian rơi, quãng đờng rơi và vận tốc rơi
Ph ơng pháp
- Thờng chọn chiều dơng hớng xuống
- áp dụng các công thức:
s=
2
1
gt
2
; v=gt ; v
2
=2gs
Bài tập 1. Một vật đợc buông rơi tự do tại nơi có g=9,8m/s
2
.
a) Tính quãng đờng vật rơi đợc trong 3 s và trong giây thứ 3.
b) Lập biểu thức quãng đờng vật rơi trong n giây và trong giây thứ n.
Giải:
a)

b)Quãng đờng vật rơi trong n giây và trong giây thứ n:
s
n
=
2
1
gn
2
=
2
2
n
g; s
n-1
=
2
1
g(n-1)
2
Suy ra

s
n
=s
n
-s
n-1
=
2
g

[n
2
-(n-1)
2
]=
2
)12( n
g.


45
0
B
T Đ

N

v

45
0


Bài tập 2 Một vật rơi tự do tại nơi có g=10m/s
2
. Thời gian rơi là 10s. Hãy tính:
a) Thời gian rơi một mét đầu tiên.
b) Thời gian rơi một mét cuối cùng
Giải:
a) Quãng đờng rơi trong thời gian t: s=

2
1
gt
2
. Suy ra s
1
=1m thì t
1
=
g
2
=0,45s.
b) Thời gian rơi (s-1) mét cuối cùng là:
s=s-1=
2
1
gt
2

g
s
t
)1(2
'

=
Thời gian rơi mét cuối cùng:


t=t-t=10-

5
1
10
2

=0,01s.
Bài tập 3: Vật A đặt trên mặt phẳng nghiêng của một cái nêm nh hình vẽ. Hỏi phải truyền cho nêm một
gia tốc bao nhiêu theo phơng nằm ngang để vật A rơi xuống dới theo phơng thẳng đứng?
Giải
Trong khoảng thời gian t nêm dời: s=
2
1
at
2
.
Khoảng trống tạo ra ở phía dới vật: h=s.tan

.
Quãng đờng rơi của vật trong khoảng thời
gian t là: s=
2
1
gt
2
.
Ta phải có: h > s suy ra

tan
g
a

Bài tập 4. Một bán cầu có bán kính R trợt đều theo một đờng nằm ngang. Một quả cầu nhỏ cách mặt
phẳng ngang một khoảng bằng R. Ngay khi đỉnh bán cầu đi qua quả cầu nhỏ thì nó đợc buông rơi tự do.
Tìm vận tốc nhỏ nhất của bán cầu để nó không cản trở chuyển động rơi tự do của quả cầu nhỏ. Cho
R=40cm.
Giải
Gọi v là vận tốc trợt của bán cầu
Quãng dờng dịch chuyển của bán cầu trong thời gian t là : s
1
= vt.
Trong thời gian đó, vật rơi dợc là: s
2
=
2
1
gt
2
.
Để quả cầu không bị vớng vào bán cầu thì: s
1
> s
2
hay s
1
>
22
OBOA


s
2

1
>OA
2
-OB
2
(1)
Với OA=R, OB=OA-AB=(R-s
2
)
(1)

s
2
1
> R
2
-(R-s
2
)
2


s
2
1
> 2Rs
2
-s
2
2



s
1
2
+s
2
2
-2Rs
2
>0


(s
1
2
-2Rs
2
)+s
1
2
> 0 (2)
Để (2) luôn đúng ta phải có (s
1
2
-2Rs
2
)> 0



s
1
2
> 2Rs
2


v
2
t
2
> 2R
2
1
gt
2


v
Rg
.
Vậy, để vật rơi tự do mà không bị cản trở bởi bán cầu thì vận tốc nhỏ nhất của bán cầu là v
min
=
Rg
IV.2.Liên hệ giữa quãng đờng, thời gian, vận tốc của 2 vật rơi tự do

h



A
S
2
B C
R
O
Ph ơng pháp
-áp dụng các công thức về sự rơi tự do cho mỗi vật và suy ra sự liên hệ về đại lợng cần xác định.
Nếu gốc thời gian không trùng với lúc buông vật, phơng trình quãng đờng rơi là: s=
2
1
(t-t
0
)
2
-Có thể coi một vật là hệ quy chiếu và nghiên cứu cứu chuyển động tơng đối của vật kia.
Ta luôn có:
0
21
== gga

.
Hai vật rơi tự do luôn chuyển động thẳng đều đối với nhau.
Bài tập 1 Hai giọt nớc rơi từ cùng một vị trí, giọt nọ sau giọt kia 0,5s.
a)Tính khoảng cách giữa 2 giọt nớc sau khi giọt trớc rơi đợc 0,5s, 1s, 1,5s.
Hai giọt nớc rơi tới đất cách nhau một khoảng thời gian bao nhiêu? (g=10m/s
2
)
Giải
Chọn gốc thời gian lúc giọt thứ nhất rơi.

Các quãng đờng rơi: s
1
=
2
1
gt
2
; s
2
=
2
1
g(t-0,5)
2
.
a) Khoảng cách d=s
1
-s
2
=
4
g
(2t-0,5).
b) Thời gian rơi bằng nhau nên thời diểm chạm đất cách nhau 0,5s.
IV.3 Chuyển động của vật đợc ném thẳng đứng hớng xuống
Phơng pháp
- Chuyển động có: *gia tốc:
ga

=

*vân tốc đầu:
0
v

cùng hớng với
a

Chuyển động nhanh dần đều.
Phơng trình:
s =
2
1
gt
2
+ v
0
t
( Chiều dơng hớng xuống )
Nội dung bài toán đợc giải quyết bằng cách
*Thiết lập các phơng trình và thực hiện tính toán theo đề bài.
* Xét chuyển động tơng đối nếu có nhiều vật chuyển động
Bài tập 1. Từ một tầng tháp cách mặt đất 45m, một ngời thả rơi một vật. Một giây sau, ngời đó ném vật
thứ hai xuống theo hớng thẳng đứng. Hai vật chạm đất cùng lúc. Tính vận tốc ném vật thứ hai (g =
10m/s
2
).
Giải
Ta có các phơng trình chuyển động:
S
1

=
2
1
gt
2
=5t
2

(1)
S
2
=
2
1
g(t-1)
2
+v
02
(t-1) (2)
Với S
1
=45m suy ra t=
g
S
1
2
=3s.
Vì S
1
=S

2
nên ta dợc v
02
=12,5m/s.
Bài tập 2
Phải ném một vật theo phơng thẳng đứng từ độ cao h=40m với vận tốc v
0
bằng bao nhiêu để nó rơi tới mặt
đất:
a) Trớc 1s so với trờng hợp rơi tự do.
b) Sau 1s so với trờng hợp rơt tự do.
Lấy g=10m/s
2
.
Giải
Chọn trục toạ độ Ox hớng xuống dới
Các phơng trình đờng đi:
S=
2
1
gt
2
(rơi tự do) (1)
S=
2
1
gt
2
+v
0

t (2)
a) Theo bài ra S=S=h suy ra t<t nên v
0
>0: phải ném hớng xuống.
Khi chạm đất t=
g
h2
=
8
. Với t-t=1, Thay vào (2) ta đợc v
0
=12,7m.
c) t>t nên v
0
<0: phải ném vật thẳng đứng lên trên.
Với t=
8
và t-t=1, thay vào (2) ta đợc v
0
=-8,7m/s
Bài tập 3
Một vật đợc buông rơi tự do từ độ cao h. Một giây sau, cũng tại đó, một vật khác đợc ném thẳng đứng
xuống dới với vận tốc v
0
. hai vật chạm đất cùng một lúc. Tính h theo v
0
và g.
Giải
Các phơng trình đờng đi:
S

1
=
2
1
gt
2
=5t
2

(1)
S
2
=
2
1
g(t-1)
2
+v
0
(t-1) (2)
Hai vật chạm đất khi S
1
=S
2
suy ra t=
)(2
2
0
0
gv

gv


.
Độ cao h=
2
1
gt
2
=
2
0
0
)
2
(
8 gv
gv
g


.
Bài tập 4
Từ 3 điểm A, B, C trên một vòng tròn, ngời ta đồng thời thả rơi 3 vật. Vật thứ
nhất rơi theo phơng thẳng đứng AM qua tâm vòng tròn, vật thứ hai theo dây
BM, vật thứ 3 theo dây CM. Hỏi vật nào tới m trớc tiên, nếu bỏ qua ma sát?
Giải
Quãng đờng đi và gia tốc của vật thứ nhất: S
1
=2R, a

1
=g.
Quãng đờng đi và gia tốc của vật thứ hai: S
2
=2Rcos(AMB), a
2
=gcos(AMB).
Quãng đờng đi và gia tốc của vật thứ ba: S
3
=2Rcos(AMC), a
3
=gcos(AMC).
áp dụng phơng trình đờng đi của chuyển động biến đổi đều ta suy ra thời gian rơi của mỗi vật đều bằng t=
g
R4
.
Bi tp luyn tp
Cõu 1. Mt vt i mt phn ng trong thi gian t
1
vi vn tc trung bỡnh v
1
, i phn cũn li trong thi
gian t
2
vi vn tc trung bỡnh v
2
.
a.Tỡm vn tc trung bỡnh ca vt trờn c on ng trờn?
b.Trong iu kin no vn tc trung bỡnh bng trung bỡnh cng ca hai vn tc trung bỡnh v
1

, v
2
?
Cõu 2.Vt i na on ng u vi vn tc trung bỡnh v
1,
v i na an ng sau vi vn tc trung
bỡnh v
2
.
a.Tớnh vn tc trung bỡnh trờn c on ng?
b.Vn tc trung bỡnh trờn cú bng trung bỡnh cng cỏc vn tc v
1
, v
2
hay khụng (gii thớch)? Tỡm
iu kin chỳng bng nhau?
Cõu 3.Mt on vn ng viờn chy u vi vn tc v
1
= 1m/s, h cỏch u nhau.Chiu di ca on l L
= 20m. Hun luyn viờn chy ngc li . Khi gp hun luyn viờn thỡ vn ng viờn chy quay li chy
A
B
C



M

theo vận tốc của huấn luyện viên v
2

= 2/3 (m/s).Sau đó tất cả cùng chạy về với huấn luyện viên thì chiều
dài của đoàn là L’. Tính L’?
Giải:
Gọi n là số vận động viên(VĐV). Khoảng cách giữa 2 vận động viên liên tiếp là : ∆L = L / (n-1)
Sau khi VĐV thứ nhất gặp HVL thì thời gian VĐV thứ hai gặp HVL là:
t = ∆L / (vHLV/VĐV)
=> t = ∆L / (v1 + v2)
=> t = L / [(n -1) *(v1 + v2) ]
với (vHLV/VĐV) là vận tốc giữa HLV so VĐV.
(v1 + v2) là vì 2 người chạy ngược chiều nên gặp nhau nhanh hơn. Hay nếu dùng công thức cộng vận tốc
thì có nghĩa là:
vHLV/VĐV = vHLV/đất + vđất/VĐV ( dấu vector)
=> vHLV/VĐV = vHLV/đất - vVĐV/đất ( dấu vector)
=> vHLV/VĐV = v1 + v2 ( hết dấu vector lấy +v2 vì chạy ngược chiều ).
Khi gặp huấn luyện viên thì từng vận động viên sẽ quay lại chạy theo chiều của huấn luyện viên nhưng
khác vận tốc vì nếu cùng vận tốc thì tất cả HVL và VĐV sẽ là một cục về đích một lúc.
Vậy sau sau khi VĐV thứ nhất gặp HVL và quay lại chạy thì tới lượt VĐV thứ hai gặp HVL và quay lại
thì trong khoảng thời gian VĐV thứ hai tới gặp HVL thì khoảng cách giữa VĐV thứ nhất chạy nhanh hơn
HLV và VĐV thứ hai một quãng là :
∆L' = (v2 - v1) * t
Vậy khi VĐV cuối cùng gặp HLV và chạy ngược lại thì chiều dài của đoàn là :
L' = (n - 1) * ∆L'
=> L' = (n - 1) * (v2 - v1) * t
=> L' = (n - 1) * (v2 - v1) * L / [ (n -1) *(v1 + v2) ]
=> L' = (v2 - v1) * L / ( v1 + v2)
=>L' = (1 - 2/3) * 20 / ( 1 + 2/3)
=>L' = 4 m
Câu 4.Hai xe ô tô đi theo hai con đường vuông góc nhau, xe A đi về hướng Tây với vận tốc 50km/h, xe B
đi về hướng Nam với vận tốc 30km/h. Lúc 8h, A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt là
4,4km và 4km và tiến về phía giao điểm. Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe là:

a. Nhỏ nhất.
b. Bằng khoảng cách lúc 8h.
Giải:
Lấy trục toạ độ Ox và Oy trùng với hai con đường
Chọn gốc toạ độ là giao điểm của hai cong đường, chiều dương trên hai trục toạ độ ngược hướng với
chiều chuyển động của hai xe và gốc thời gian là lúc 8h.
Phương trình chuyển động của xe A là: (1)
và của xe B là: (2)
Gọi là khoảng cách hai xe ta có:
. (3)
Khoảng cách ban đầu của hai xe: (có thể tìm từ (3) bằng cách đặt ).
a) Ta viết lại biểu thức của
.
Ta thấy khoảng cách hai xe nhỏ nhất, tức là nhỏ nhất, khi phút.
Vậy khoảng cách hai xe là nhỏ nhất lúc 8h 06 phút.
b) Khoảng cách hai xe bằng khoảng cách ban đầu khi
.
Vậy khoảng cách hai xe bằng khoảng cách ban đầu lúc 8h 12 phút.
Câu 5. Ba người đi xe đạp từ cùng một điểm và cùng chiều, trên cùng một đường thẳng. Người thứ nhất
có vận tốc v
1
= 8km/h.Người thứ hai xuất phát muộn hơn 15 phút và có vận tốc v
2
=10km/h. Người thứ ba
xuất phát muộn hơn người thứ hai 30 phút và đuổi kịp hai người đi trước tại hai nơi cách nhau 5km.Tính
vận tốc của người thứ ba?
Giải:
Gọi t1 là thời gian xe thứ 3 gặp người thứ nhất
=> v3t1 = 6 + 8t1
tương tự

=> v3t2 = 5 + 10t2
=> thời gian để người thứ 3 gặp người thứ nhất và thứ hai lần lượt là :
t1 = 6 / (v3 - 8)
t2 = 5 / (v3 - 10)
=> quãng đường người thứ ba gặp người thứ nhất và thứ hai lần lượt là:
S1 = 6v3 / (v3 - 8)
S2 = 5v3 / (v3 - 10)
từ đề bài => |S1 - S2| = 5
=> 2 TH:
S1 - S2 = 5 và S1 - S2 = -5
=> đáp án đúng là V3 = 13,33 km/h
Câu 6.Một ô tô thứ nhất chuyển động từ A về B mất 2 giờ. Trong nửa đoạn đường đầu vận tốc v
1
=
40km/h, trong nửa đoạn đường còn lại vận tốc của ô tô là v
2
=60 km/h( trên mỗi đoạn coi như chuyển
động thẳng nhanh đều).Cùng lúc ô tô thứ nhất qua A, ô tô thứ hai chuyển động nhanh dần đều khởi hành
tại A cũng đi về B.
a.gia tốc a của xe hai bằng bao nhiêu để trên đoạn đường AB không có lúc nào chúng có cùng vận
tốc.
b. gia tốc a của xe thứ hai bằng bao nhiêu thì hai xe có cùng vận tốc trung bình .Trong trường hợp
này, thời điểm nào hai xe có cùng vận tốc?
Câu 7.
Từ một mái nhà cao h = 16m, các giọt nước rơi liên tiếp sau những khoảng thời gian bằng nhau. Khi giọt
thứ nhất chạm đất thì giọt thứ 5 bắt đầu rơi.Tìm khoảng cách giữa hai giọt liên tiếp khi giọt đầu tiên rơi
tới đất đs: 7m; 5m; 3m; 1m
Giải:
Giả sử t là khoảng thời gian giữa 2 giọt nước rơi. Khi giọt thứ 5 bắt đầu rơi
S5= 0,

Giọt thứ 4 rơi được:
S4 = g.t^2/2
Giọt thứ 3 rơi:
S3 = g.(2t)^2/2
giọt thứ 2 rơi:
S2 = g.(3t)^2/2
giọt đầu tiên rơi được:
S1 = g.(4t)^2/2
mặt khác: S1 = H = 16 m
=> t = căn (0,2) = ~ 0,447 s
Khoảng cách giữa các giọt nước:
4vs5:
L45 = S4 - S5 = g.t^2/2 = 1m
3vs4
L34 = S3-S4 = 3.g.t^2/2 = 3 m
2vs3
L23 = S2-S3 = 5.g.t^2/2 = 5 m
1VS2
L21 = S1-S2 = 7.g.t^2/2 = 7 m
Câu 8.
Từ một khí cầu cách mặt đất một khoảng 15m đang hạ thấp với tốc độ đều 2m/s, người ta phóng một vật
thẳng đứng hướng lên với vận tốc 18m/s đối với mặt đất.
a. Tìm khoảng cách lớn nhất giữa khí cầu và vật trong quá trình rơi, cho g = 10m/s
2
.
b. Thời gian vật rơi gặp lại khí cầu
Giải:
Trọn trục Oy hướng lên, gốc toạ độ tại điểm ném vật. Khoảng cách lớn nhất giữa vật và khí cầu là khi vật
đạt độ cao cực đại. Khi vật đạt độ cao cực đại thì vận tốc của nó v1 = 0
Ta có 0 = v0 + gt<=> 0 = 18 - 10t <=> t = 1.8 s

Sau 1.8 s vật bay lên đc độ cao là: v1^2 - v0^2 = 2gS <=> 0 - 18^2 = 2.(-10).S <=> S = 16,2 m
đồng thời trong 1.8 s khí cầu đi xuống đc: S' = v.t = 2.1.8 = 3,6 m
Vậy khoảng cách là 16,2 + 3,6 = 19,8 m
Xét lúc vật đạt độ cao cực đại. Khi đó:
pt cđ của khí cầu là: x1 = x01 + v.t = -3.6 - 2t
vật là: x2 = x02 + v02.t + 1/2.a.t^2 = 16.2 + 1/2.(-10).t^2 = 16.2 - 5.t^2
khi gặp nhau: -3,6 - 2.t = 16,2 - 5.t^2 <=> t = 2,2 s
Vậy sau khi đạt độ cao cực đại thì vật rơi xuống, khi đó nó mất thêm 2,2 s cđ nữa để lại gặp khí cầu
Câu 9.
Một vật chuyển động trên một đừờng thẳng, lúc đầu vật chuyển động thẳng nhanh dần đều với gia tốc a =
0,5m/s
2
và vận tốc ban đầu bằng không, sau đó vật chuyển động đều, cuối cùng vật chuyển động chậm
dần đều với gia tốc có độ lớn như lúc đầu và dừng lại.Thời gian tổng cộng của chuyển động là 25s, vận
tốc trung bình trong thời gian đó là 2m/s.
a. Tính thời gian vật chuyển động đều.
b. Vẽ đồ thị vận tốc của vật theo thời gian. đs: 15s
Câu 10.
Hai người đứng trên một cánh đồng tại hai điểm A và B cách nhau một đoạn a =20m và cùng cách con
đường thẳng một đoạn d = 60m. Hãy tìm trên đường thẳng đó một điểm M để hai người đi đến M trong
cùng một thời gian. Biết rằng hai người đi với cùng vận tốc, nhưng trên đường đi của người A có một
đoạn lầy c = 10m phải đi với vận tốc giảm một nửa so với bình thường.
Đs: 25m.
Câu 11.
Con mèo đang đùa cùng một quả bóng đàn hồi nhỏ trên mặt bàn nằm ngang cách sàn h =1m thì quả bóng
lăn rơi xuống sàn và va chạm hoàn toàn đàn hồi với sân. Đứng ở mép bàn, sau thời gian quan sát nhiều va
chạm cùa bóng với sàn, con mèo nhảy khỏi bàn theo phương ngang và bắt được bóng trước khi mèo chạm
đất.Hỏi con mèo bắt được quả bóng cách sàn bao nhiêu? Biết rằng khi mèo nhảy khỏi bàn đúng lúc bóng
va chạm với sàn. Bỏ qua lực cản không khí? Đs:0,75m
Câu 12.Hai chiếc tàu biển chuyển động đều với cùng vận tốc hướng tới điểm O trên hai đường thẳng hợp

nhau góc 60
0
. Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 con tàu và lúc đó chúng đã vượt qua O chưa?
Biết rằng lúc đầu chúng cách O những khoảng cách là d
1
= 60km và d
2
= 40km.
Đs: 10km
Câu 13.
Một người muốn qua một con sông rộng 750m.Vận tốc bơi của anh ta đối với nước 1,5m/s.Nước chảy
với vận tốc 1m/s.Vận tốc chạy bộ trên bờ của anh ta là 2,5m/s.Tìm đường đi ( kết hợp giữa bơi và chạy
bộ) để người này tới điểm bên kia sông đối diện với điểm xuất phát trong thời gian ngắn nhất, cho
cos25,4
0
= 0,9; tan25,4
0
= 0,475. Đs: 556s; 198m
Câu 14.
Cần đẩy AB chuyển động nhanh dần đều sau 4s
trượt từ vị trí cao nhất xuống một đọan 4cm
làm cho bán cầu bán kính R = 10cm trượt trên
nền ngang.Tìm vận tốc và gia tốc của bán cầu đó.
Đs:1,5cm/s; 0,40625cm/s
2
Câu 15.
Trên dốc nghiêng 30
0
, buông một vật nhỏ từ A. Vật nhỏ trượt xuống dốc không ma sát. Sau khi buông vật
này 1s, cũng từ A, bắn một bi nhỏ theo phương ngang với vận tốc đầu v

0
. Xác định v
0
để bi trúng vào vật
trượt trên dốc nghiêng. Bỏ qua lực cản của không khí. Gia tốc trọng lực là g.
Đs: 8,7m/s.
Câu 16.
Một tàu ngầm đang xuống sâu theo phương thẳng đứng. Máy thủy âm định vị trí trên tàu phát tín hiệu âm
kéo dài trong thời gian t
0
theo phương thẳng đứng xuống đáy biển. Tín hiệu âm phản hồi mà tàu nhận
được kéo dài trong thời gian t.Hỏi tàu đang xuống sâu với vận tốc bằng bao nhiêu? Biết vận tốc của âm
trong nước là u và đáy biển nằm ngang?
Đs: v =
( )
0
0
u t t
t t
−
+

Câu 17.
Một vật chuyển động nhanh dần đều theo đường thẳng MN.Đánh dấu điểm A trên MN; đo quãng đường
vật đi tiếp từ A, người ta thấy: đoạn đường AB dài 9,9cm vật đi mất thời gian 3s, đoạn đường AC dài
17,5cm vật đi mất thời gian 5s. Xác định gia tốc của vật và thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động khi
vật tới điểm A? ĐS: 15s; 0,2m/s
2
Câu 18.
Hai máng rất nhẵn AB và CD cùng nằm trong

mặt phẳng thẳng và cùng hợp với phương ngang
góc như nhau (CD = CB). Hai vật nhỏ được thả
đồng thời không vận tốc đầu từ A và C.Thời gian để vật
trượt từ A đến B là t
1
và thời gian để vật trượt
từ C đến D là t
2
.Sau bao lâu kể từ khi thả,
khoảng cách giữa hai vật là ngắn nhất.
ĐS: t =
2 2
1 2
2
t t−

Câu 19.
Một tàu thủy chuyển động thẳng ra xa bờ theo
phương hợp với bờ một góc
β
, gió thổi với vận tốc
u hướng ra xa bờ và vuông góc với bờ.Người ta
thấy lá cờ treo trên tàu bay theo hướng hợp với hướng
chuyển động của tàu một góc
α
.Xác định vận tốc của tàu đối với bờ.
ĐS:
( )
cos
sin

u
v
α β
α
− +
=

Câu 20.
Hai con tàu chuyển động trên cùng đường thẳng theo hướng đến gặp nhau có cùng tốc độ 30km/h.Một
con chim có tốc độ bay 60km/h.Khi hai tàu cách nhau 60km thì con chim rời đầu con tàu nọ để bay sang
đầu con tàu kia, khi tới đầu con tàu kia nó bay trở lại đầu con tàu nọ, và cứ tiếp tục như thế.
a.Hỏi cho đến khi hai tàu va vào nhau thì con chim bay được bao nhiêu lượt?
b.Đường bay toàn bộ của con chim là nao nhiêu? ĐS: 60km
Câu 21
Tàu A đi theo đường AC với vận tốc v
1
.
Ban đầu tàu B cách tàu A một khoảng AB =l. Đoạn AB
làm với đường BH vuông góc với AC một góc
α
HÌNH VẼ ). Mô đun vận tốc của tàu B là v
2
.
a.Tàu B phải đ theo hướng nào để đến gặp
tàu A và sau thời gian bao lâu thì gặp?
b.Tìm điều kiện để hai tàu gặp nhau ở H.
ĐS:
Câu 22. Ô Tô A chạy trên đường AX với vận tốc v
1
= 8m/s.

Tại thời điểm bắt đầu quan sát một người đứng ở
cách đường một khoảng d = 20m và cách ô tô
một khoảng l =160m (hình vẽ).Người ấy phải
chạy theo hướng nào để đến gặp ô tô
và chạy bao lâu thì gặp? .Vận tốc chạy của người v
2
=2m/s.
Đs:
Câu 23. Một vật chuyển động chậm dần đều.Xét ba đoạn đường liên tiếp bằng nhau trước khi dừng lại thì
đoạn ở giữa vật đi trong thời gian 1s. Tìm tổng thời gian vật đi ba đoạn đường bằng nhau.
ĐS:
Câu 24. Một xe tải cần chuyển hàng giữa hai điểm A,B cách nhau một khoảng L =800m. Chuyển động
của xe gồm hai gia đoạn: khởi hành tại A chuyển động nhanh dần đều va sau đó tiếp tục chuyển động
chậm dần đều dừng lại ở B.Biết rằng độ lớn gia tốc của xe trong suốt quá trình chuyển động không vượt
quá 2m/s
2
.Hỏi phải mất ít nhất bao nhiêu thời gian để xe đi được quãng đường trên?
ĐS:
Câu 25.
Hai chất điểm M
1
, M
2
đồng thời chuyển động đều trên hai
đường thẳng đồng quy hợp với nhau một góc
α
với vận tốc v
1
, v
2

.
Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng và khoảng thời gian
đạt khoảng cách đó, biết lúc đầu khoảng cách
giữa hai chất điểm là l và chất điểm M
2

xuất phát từ giao điểm của hai đường thẳng.
ĐS:
Câu 26.
Một xe con đang chuyển động thẳng đều với vận tốc v
0
thì người lái xe nhìn thấy một xe tải đang chuyển
động cùng chiều, thẳng đều phía trước với vận tốc v
1
( v
1
< v
0
). Nếu thời gian phản ứng của người lái xe
con là t (tức là thời gian vẫn còn giữ nguyên vận tốc v
0
) và sau đó hãm phanh, xe con chuyển động chậm
dần đều với gia tốc a.Hỏi khoảng cách tối thiểu của hai xe kể từ lúc người lái xe con nhìn thấy xe tải phải
là bao nhiêu để không xảy ra tai nạn? ĐS:
Câu 27.
Một hòn bi rất nhẵn nhỏ lăn ra khỏi cầu thang theo phương ngang với vận tốc v
0
= 4m/s.Mỗi bậc cầu
thang cao h =20cm và rộng d = 30cm.Hỏi hòn bi sẽ rơi xuống bậc cầu thang nào đầu tiên.Coi đầu cầu
thang là bậc thang thứ 0.Lấy g =9,8m/s

2
. Bỏ qua lực cản của không khí.
Đs: Bậc thang thứ 8.
Câu 28.
Hai chiếc ca nô xuất phát đồng thời từ một cái phao neo chặt ở giữa một dòng sông rộng.Các ca nô
chuyển động sao cho quỹ đạo của chúng là hai đường thẳng vuông góc nhau, ca nô A đi dọc theo bờ
sông.Sau khi đi được quãng đường L đối với phao, hai ca nô lập tức quay trở về phao.Cho biết độ lớn vận
tốc của mỗi ca nô đối với nước luôn gấp n lần vận tốc u của dòng nước so với bờ.Gọi thời gian chuyển
động đi và về của mỗi canô A và B lần lượt là t
A
và t
B
.Hãy xác định tỉ số
A
B
t
t
.
Đs:
2
1
n
n −

Câu 29. Hai chất điểm chuyển động trên cùng một đường thẳng với các vận tốc đầu v
1
; v
2
ngược chiều
nhau, hướng đến với nhau.Gia tốc của chúng không thay đổi và ngược chiều với các vận tốc đầu tương

ứng.Độ lớn các gia tốc a
1
, a
2
.Khoảng cách ban đầu giữa hai chất điểm có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu
để chúng không gặp nhau khi chuyển động? Đs:
( )
( )
2
1 2
1 2
2
v v
a a
+
+

Câu 30.Hai người đấu súng ở trên một bàn quay đều với tốc độ góc
ω
.Một ở tâm và một ở cách tâm
một đoạn R, giả sử hai người dùng cùng một loại súng, đạn được coi là thẳng đều.
a.Mỗi người phải ngắm như thế nào để bắn trúng đối thủ.
b.Ai có lợi thế hơn ? giải thích? ĐS:
Câu 31. Máy bay từ A đến B rồi trở lại A.Vận tốc của máy bay khi không có gió là v. Chuyến khứ hối
đầu gió thổi từ A đến B, chuyến khứ hồi thứ hai gió thổi vuông góc với AB.Vận tốc mà gió truyền thêm
cho máy bay theo hướng gió thổi là v.Bỏ qua thời gian đỗ ở B,Tính tỉ lệ các thời gian thực hiện hai
chuyến bay.Máy bay phỉa luôn bay theo đúng đường AB.
ĐS:
Câu 32.
Thanh AB dài l =2m chuyển động sao cho hai đầu A, B

của nó luôn tựa trên hai giá vuông góc nhau OX và OY .
Hãy xác định vận tốc của các điểm A và D của thanh
tại thời điểm mà thanh hợp với giá oy góc OBA=60
0

.Cho biết AD = 0,5m; vận tốc đầu B của thanh tại
thời điểm đó là v
B
= 2m/s và có chiều như hình vẽ.
đs:
Câu 33.
Hai vành tròn mảnh bán kính R, một vành đứng yên, vành còn
lại chuyển động tịnh tiến sát vành kia với vận tốc v
0
.
Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vành khi khoảng
cách giữa hai tâm OO
2
= d.
đs:
Câu 34.
Thanh dài AB có thể trượt dọc theo hai trục ox và
oy vuông góc nhau.Cho đầu B của thanh trượt đều
với vận tốc v
0
.Tìm độ lớn và hướng gia tốc của
trung điểm C của thanh tại thời điểm thanh hợp
với ox một góc
α
.

Câu 35.
Một em học sinh cầm hai quả bóng nhỏ trên tay .
Lỳc u em ú tung qu búng th nht thng ng, lờn cao vi vn tc v
0
.
a.Hi sau ú bao lõu em ú phi tỳng tip qu búng th hai thng ng lờn cao vi vn tc u l v
0
/2
hai qu búng p vo nhau sau khong thi gian ngn nht( k t lỳc u).
b.Hi ni qu búng p vo nhau cỏch v trớ tung búng khong bao nhiờu? Ly g = 10m/s
2
. v
0
= 10m/s, b
qua sc cn ca khụng khớ? s:a.1,365s ; b.1,25m
Cõu 36.
Mt canụ qua sụng luụn theo phng AB. Hi canụ phi hng theo hng no ( hp vi AB mt gúc?)
thi gian i t A n B ri t B v A mt 5 phỳt. Bit rng vn tc nc l 1,9m/s v hp vi AB mt
gúc 60
0
; AB =1200m. S: 11
0
25

Cõu 37.
Trờn mt phng ti ba nh ca tam giỏc u , cnh di L cú ba con rựa nh.Theo hiu lnh chỳng bt u
chuyn ng vi vn tc cú ln v
0
khụng i. Bit rng ti thi im bt kỡ, mi con rựa u chuyn
ng hng ỳng v phớa con rựa bờn cnh theo chiu kim ng h.Tỡm gia tc ca rựa ph thuc vo

thi gian?
S:
( )
2
0
0
3
2 1,5
v
a
L v t
=


Cõu 38.Hai ụ tụ chuyn ng u tin li gn nhau: Trong trng hp th nht trờn cựng mt con ng
v trng hp th hai cựng tin n mt ngó t ca hai con ng vuụng gúc nhau. Hi vn tc tin li
gn ca hai xe trong trng hp th nht ln gp ti a bao nhiờu ln vn tc ny trong trng hp th
hai? S:
2

Cõu 39. Con mốo Tom ngi trờn mỏi nh, sỏt mộp ca mỏi nh. Con chut Jerry di t dựng sỳng cao
su bn nú. Hũn ỏ t lỳc ri sỳng bay theo ng cong ó ri trỳng chõn con mốo sau thi gian 1s.Hi
mốo nm cỏch chut mt khong bng bao nhiờu nu bit rng cỏc vộct vn tc ca hũn ỏ lỳc u v
lỳc ri trỳng con mốo vuụng gúc nhau? S: 5m
Cõu 40.
Mt ngi bc ra khi toa tu v i v phớa u tu vi vn tc 5,4km/h.Hai giõy sau, bt u chuyn
ng vi gia tc khụng i v 6s na tu i ngang qua ngi ú .Ti thi im ny vn tc ca tu gp 10
ln vn tc ca ngi. Hi ngi ú bc ra khi toa tu cỏch uụi tu bao nhiờu một?
s: 27,5m.
PHN II: NG LC HC CHT IM.

I.Chuyn ng ca vt b nộm xiờn, nộm ngang.
Bài 1: Ném một viên đá từ điểm A trên mặt phẳng nghiêng với vận tốc
0
v

hợp với mặt phẳng ngang một
góc

=60
0
, biết
0
30=

. Bỏ qua sức cản của không khí.
a. Tính khoảng cách AB từ điểm ném đến điểm viên đá rơi.
b. Tìm góc

hợp bởi phơng véc tơ vận tốc và phơng ngang ngay sau viên đá chạm mặt phăng
nghiêng và bán kính quỹ đạo của viên đá tại B.
Giải:
a. Chọn hệ trục oxy gắn o vào điểm A và trục ox song song với phơng ngang Trong quá trình chuyển
động lực tác dụng duy nhất là trọng lực
P

.
Theo định luật II Newton:

amP



=
Chiếu lên:
0x:
x
ma=0

0=
x
a
0y:
y
maP =

ga
y
=
Phơng trình chuyển động của vật theo hai trục ox và oy:






=
=
)2(
2
1
.sin

)1(.cos
2
0
0
gttvy
tvx



Khi viên đá rơi xuống mặt phẳng nghiêng:




=
=
)4(sin
)3(cos


ly
lx
T hế (3) vào (1) ta rút ra t thế vào (2) và đồng thời thế (4) vào (2) ta rút ra :



2
2
0
cos.

)cos.sincos (sincos2
g
v
l

=



2
2
0
cos
)sin(.cos2
g
v
l

=



=
l
g
v
3
2
2
0

a. Tại B vận tốc của vật theo phơng ox là:


cos
0
vv
x
=
2
0
v
=
Khi vật chạm mặt phẳng nghiêng :


cos
3
2
cos
2
0
g
v
lx ==
hay

cos
3
2
.cos

2
0
0
g
v
tv =
;
Suy ra thời gian chuyển động trên không của viên đá:



cos3
cos2
0
g
v
t =
=
3
2
0
g
v
Vận tốc theo phơng oy tại B:

gtvv
y
−=
β
sin

0


323
2
sin
00
0
vv
vv
y
−=−=
β

⇒
ϕ
tan
=
3
1
2
32
0
0
=
−
=
v
v
v

v
x
y
⇒

0
30
=
ϕ
do
<−=
32
0
V
v
y
0 nªn lóc ch¹m mÆt ph¼ng nghiªng
v

híng xuèng.
Lùc híng t©m t¹i B:

R
v
mmgF
ht
2
cos ==
ϕ


ϕ
cos
2
g
v
R =⇒
Víi:
3124
2
0
22
222
v
vv
vvv
yx
=+=+=

⇒
=R

g
v
.33
2
2
0
Câu 2:
Một quả cầu nhỏ nằm ở chân nêm AOB
vuông cân, cố định cạnh l (hình vẽ).

Cần truyền cho quả cầu vận tốc
0
v

bằng
bao nhiêu hướng dọc mặt nêm để quả cầu
rơi đúng điểm B trên nêm. Bỏ qua mọi ma
sát, coi mọi va chạm tuyệt đối đàn hồi.
Giải
Chọn mốc thế năng ở mặt phẳng chứa AB
Gọi
v

là vận tốc của quả cầu khi
lên đến đỉnh nêm
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng
2
2
2
22
2
0
22
0
glvv
l
mg
mvmv
−=⇒==
Sau khi rời O, quả cầu chuyển động

như vật ném xiên với
v

tạo với phương
ngang một góc 45
0
.
+ Theo trục OY:
a
y
= -
const
g
=
2
2
; v
y
= v -
t
g
2
2
; y = vt -
2
4
2
gt
g
Khi chạm B: y = 0 ⇒ t =

g
v22
Vận tốc quả cầu ngay trước va chạm: v
y
= v -
=⋅
g
vg 22
2
2
-v
Do va chạm đàn hồi, nên sau va chạm vận tốc quả cầu dọc theo OY là
v

nên bi lại chuyển động như trên.
Khoảng cách giữa hai lần va chạm liên tiếp giữa bi và mặt nêm OB là t =
g
v22
A
O
B
X

A
O
B
0
v

X

Y
X
g

+ Theo trc OX:
a
x
=
const
g
=
2
2
; v
0x
= 0 : qu cu chuyn ng nhanh dn u
Quóng ng i c dc theo Ox sau cỏc va chm liờn tip:
x
1
: x
2
: x
3
: = 1 : 3 : 5 :: (2n-1)
x
1
=
2
1
a

x
t
2
=
g
glv )2(22
2
0

qu cu ri ỳng im B:
x
1
+ x
2
+ + x
n
= [1 + 3 + 5 + + (2n - 1)]x
1
= n
2
x
1
= l

g
glv )2(22
2
0

n

2
= l
v
0
=
( )
2
2
22
14
n
gln +
Bài 3: Ngời ta đặt một súng cối dới một căn hầm có độ sâu h. Hỏi phải đặt súng cách vách hầm một
khoảng l bao nhiêu so với phơng ngang để tầm xa S của đạn trên mặt đất là lớn nhất? Tính tầm xa này
biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng là
0
v
.
Giải:
Phơng trình vận tốc của vật theo phơng ox :


cos
0
vv
x
=
Phơng trình vận tốc của vật theo phơng oy:

gtvv

y
=

sin
0

Phơng trình chuyển động:

tvx =

cos
0
;

2
sin
2
0
gt
tvy =

Phơng trình vận tốc:


cos
0
vv
x
=
;


gtvv
y
=

sin
0
Để tầm xa x là lớn nhất thì tại A vận tốc của vật phải hợp với mặt ngang một góc 45
0
có nghĩa là
tại A:

0
cossin
v
g
tvv
yx


==

(1)
Hơn nữa ta phải có sau thời gian này:







=
=




=
=
)3(
2
sin
)2(cos
2
0
0
h
gt
tv
ltv
hy
lx



Từ (2)

cos
0
v
l

t
=
(3) kết hợp với (1)
)cos.(sincos
2
0

=
g
v
l
(4)
Thay t từ (1) vào (3) ta đợc:

2
1
sin
2
0
2
+=
v
gh

;
2
0
2
2
1

cos
v
gh
=

Thế vào (4):

)coscos(sin
2
2
0

=
g
v
l

=l

)
2
1
4
1
(
2
0
4
0
22

2
0
v
gh
v
hg
g
v
+
Từ (1) :








++=
+
=
2
0
2
0
2
0
00
2
0

2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
v
gh
v
gh
v
gh
vvv
g
v
gh
v
gh
t
y
2
0
2
1

v
gh
v
y
=
)1()
2
1
()
2
1
()
2
1
(
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
+=+=
v
v
gh
v

gh
v
gh
vv
A

=
max
S

( )
g
v
v
gh
g
v
A
1.
2
1
2
0
2
0
2
+










=
Vậy phải đặt súng cách vách hầm một khoảng:
)
2
1
4
1
(
2
0
4
0
22
2
0
v
gh
v
hg
g
v
l +=
thì tầm xa của đạn trên mặt đất là lớn nhất và
tầm xa này bằng

( )
g
v
v
gh
1.
2
1
2
0
2
0
+









.
Bài 4: ở mép của một chiếc bàn chiều cao h, có một quả
cầu đồng chất bán kính R = 1(cm)
)( hR

. Đẩy cho tâm 0
của quả cầu lệch khỏi đờng thẳng đứng đi qua A, quả cầu
rơi xuống đất vận tốc ban đầu bằng 0. Tính thời gian rơi và

tầm xa của quả cầu(g = 10m/s
2
).
Giải:
Ban đầu quả cầu xoay quanh trục quay tức thời A. Lúc bắt đầu rơi khỏi bàn vận tốc của nó là v, phản
lực N bằng 0, lực làm cho quả cầu quay tròn quanh A là trọng lực

cosp
:


cos9cos
2
2
Rv
R
v
mp ==
(1)
Theo định luật bảo toàn năng lợng:

2
2
1
cos mvmgRmgR
+=

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:


3
5
sin
3
2
cos
==

Thay
3
2
cos
=

vào phơng trình (1) ta đợc vận tốc của vật lúc đó:

gRv
3
2
=
Giai đoạn tiếp theo vật nh một vật bị ném xiên với góc

và với vận tốc ban đầu:

gRv
3
2
=
Theo đề bài
hR

<<
do vậy ban đầu ta xem
A

0
.
Chọn trục
xy'0
nh hình vẽ
A

'0
.






+=
=
2
2
1
.sin
.cos
gttvy
tvx



Khi chạm đất
hy
=
, nên:

hgttv
=+
2
2
1
.sin

Thay







=
=
3
5
sin
3
2

gRv
vào phơng trình trên ta tìm đợc:









<
+
=
++
=
)(0
.33
541010
.33
541010
2
1
loai
g
ghgRgR
t
g
ghgRgR
t
Vậy sau
=
t


g
ghgRgR
.33
541010
++
thì vật sẽ rơi xuống đất.
Tầm bay xa của vật:

.
3
2
.
3
2
.cos gRtvxS
===

g
ghgRgR
.33
541010 ++

=
S
( )
ghgRgR
g
R
541010

2
27
2
++
.
Bi 5: Hai vt nh c nộm ng thi t cựng mt im: mt vt c nộm thng lờn, v vt kia nộm
gúc
0
60

=
so vi phng ngang. Vn tc ban u ca mi vt l v
0
= 25 m/s. B qua nh hng ca
khụng khớ. Tỡm khong cỏch gia hai vt sau thi gian 1,7s?
Gii
Chn h trc to Oxy : gc O v trớ nộm hai vt. Gc thi gian lỳc nộm hai vt
Vt 1:
1
x 0=


2
1 0
g
y v .t t
2
=
Vt 2:
2 0

x v cos .t=


2
2 0
g
y v sin .t t
2
=

Khong cỏch gia hai vt
2 2
2 1 2 1
d (x x ) (y y )= +
2 2
0 0 0
d (v cos .t) (v sin .t v .t) = +

2 2 2 2
o
d v .t cos (sin 1) 25.1,7 0,5 ( 3 / 2 1) 22(m)⇒ = α + α − = + − =

Bài 6: Từ đñỉnh A của một mặt baøn phaúng nghieâng người ta thả
một vật nhỏ có khối lượng m = 0,2kg trượt không ma sát, không vận
tốc đầu. Cho AB=50cm; BC = 100cm; AD = 130cm; g = 10m/s
2
.
a) Tính vận tốc của vật tại điểm B.
b) Viết phương trình quỹ đạo của vật sau khi rời khỏi bàn. (Lấy
gốc toạ độ tại C)

c) Vật rơi cách chân bàn một đoạn CE bằng bao nhiêu?
a. v
B
=
AD BC 30
gsin g. 10.
AB 50
−
α = =
= 6 m/s;
b.
2
2 2
tan .
2 os
B
g
y h x x
v c
α
α
= − −
c. CE = 0,635 m.
Câu 1. Một người đứng ở đỉnh dốc bở biển ném một hòn đá ra biển. Hỏi người ấy phải ném hòn đá dưới
một góc bằng bao nhiêu so với phương nằm ngang để nó rơi xa chân bờ biển nhất.Khoảng cách xa nhất
ấy là bao nhiêu?Cho biết bờ dốc thẳng đứng, hòn đá được ném từ độ cao H =20m so với mặt nước và có
vận tốc v
0
= 14m/s.Lấy g = 9,8m/s
2

. ĐS: 34,63( m )
Câu 2. Một chất điểm được ném từ điểm O trên mặt đất tới một điểm B cách O một đoạn a theo phương
nằm ngang vá cách mặt đất một đoạn
3
4
a
.Bỏ qua lực cản của không khí.
a.Nếu vận tốc ban đầu của chất điểm là v
0
= 2
ag
thì góc ném so với phương nằm ngang là bao
nhiêu để nó trúng vào điểm B.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của v
0
để chất điểm tới được điểm B và tìm góc ném ứng với giá trị v
0min
.
Đs: tan = 7 và tan =1; v
0
= 2
ag
và tan = 2
Câu 3. Một bánh xe có bán kính R, đặt cách mặt đất một đoạn H, quay đếu với vận tốc góc
ω
.Từ bánh
xe bắn ra một giọt nước và nó rơi chạm đất tại điểm B, ngay dưới tâm cảu bánh xe ( hình vẽ).Tính thời
gian rơi của gọt nước và xác định điểm A trên bánh xe, nơi giọt nước từ đó bắn ra?
ĐS:
2 2 4 2 2

2
2
cos
2
R R gH g
g H
ω ω ω
α
ω
+ + +
=
+
;
tan
t
α
ω
=

Câu 4. Cần ném bóng rổ dưới một góc nhỏ nhất so với phương nằm ngang là bao nhiêu để nó bay qua
vòng bóng rổ từ phía trên xuống mà không chạm vào vòng?Bán kính quả bóng là r, bán kính vòng bóng
rổ là R, độ cao của vòng tính từ mặt đất là H. Cầu thủ ném bóng từ độ cao h ( h <H) khi cách vòng một
khoảng l theo phương ngang.Sự thay đổi vận tốc của quả bóng trong thời gian bay qua vòng có thể bỏ
qua.Tính
min
α
khi H =2r; H =3m; h =2m; l = 5m.
ĐS:
0
45

α
=

Câu 5. Một người đứng trên đỉnh tháp cao H phải ném hòn đá với vận tốc tối thiểu bằng bao nhiêu để hòn
đá rơi cách chân tháp một khoảng L cho trước? Tính góc ném ứng với vận tốc tối thiểu đó?
ĐS:
2
0
tan
v
gL
α
=

Câu 6.Một hòn bi rơi từ độ cao h xuống mặt phẳng nghiêng
góc
α
so với mặt phẳng ngang.Tính tỉ số các khoảng cách giữa các điểm
va chạm của hòn bi với mặt phẳng nghiêng.Va chạm là hoàn toàn đàn hồi.
ĐS: 1:2:3:4….
Câu 7. Một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v
0
= 20m/s hợp vớí phương ngang một góc
0
60
α
=

a.Tại thời điểm nào vận tốc của vật tạo với phương ngang một góc 30
0

b. Tính bán kính quỹ đạo của vật tại những thời điểm trên và thời điểm bắt đầu ném.Lấy g =10m/s
2
.
ĐS:
2 4
;
3 3
s s
; R= 80m
Câu 8. Cho mặt phẳng nghiêng hoàn toàn nhẵn, góc nghiêng
α
( 0<
α
<90
0

) .Từ một điểm O trên mặt
phẳng nghiêng bắn lên một vật nhỏ với vận tốc ban đầu v
0
hợp với mặt phẳng nghiêng góc
β
, xác định
β
sao cho khi vật đến va chạm vào mặt phẳng nghiêng lại nảy về điểm O.Coi va chạm là hoàn toàn đàn
hồi. ĐS:
cot 2tang
β α
=

Câu 9. Một hòn bi nhỏ bằng kim loại được thả không

vận tốc đầu từ điểm A, cách mặt phẳng nghiêng góc
nghiêng
α
một đọan h =AB =1m theo phương thẳng đứng.
Bi va chạm với mặt phẳng nghiêng lần đầu tại B và lần ngay
sau đó tại C. Biết S = BC = 4m.bỏ qua lực cản, xem
va chạm là đàn hồi.Lấy g = 10m/s
2
.Tính bán kính quỹ đạo
của hòn bi tại điểm cao nhất giữa hai lần va chạm đó.
ĐS: 1,5cm.
Câu 10. Em bé ngồi dưới sàn nhà ném một viên bi lên bàn cao h =1m với vận tốc v
0
= 2
10
m/s. Để viên
bi có thể rơi xuống mặt bàn ở B xa mép bàn A nhất thì vận tốc v
0
phải nghiêng với phương ngang một
góc bằng bao nhiêu? Tính khoảng cách AB và khoảng cách từ chỗ ném O đến chân bàn H. Lấy g =
10m/s
2
. ĐS: AB= 1m; OH = 0,732m.
Câu 11. Từ A ( độ cao AC = H =3,6m) người ta thả một vật rơi tự do.
Cùng lúc đó, từ B cách C đoạn BC = l =H người ta ném một vật khác
với vận tốc đầu v
0
hợp với phương ngang một vật góc
α
.

Tính góc
α
và vận tốc v
0
để hai vật có thể gặp nhau khi
chúng đang chuyển động.
ĐS: 45
0
; V
0

≥
6m/s
Câu 12. Từ A cách mặt đất khoảng AH =45m người ta ném vật với vận tốc v
01
= 30m/s theo phương
ngang.Cho g = 10m/s
2
.
a.Trong hệ quy chiếu nào vật chuyển động với gia tốc g?Trong hệ quy chiếu nào vật chuyển động
thẳng đều?Viết phương trình chuyển động của vật trong từng hệ quy chiếu?
b.Cùng lúc ném vật từ A,tại B trên mặt đất ( với AH =BH) người ta ném lên vật khác với vận tốc
v
02
. Định v
02
để hai vật gặp được nhau.
ĐS : 45
0
<

α
< 135
0
; V
02
=
01
sin cos
v
α α
−
Câu 13. Hai vật được ném đồng thời từ cùng một điểm trên mặt đất .Vận tốc đầu của chúng có cùng độ
lớn v
0
nhưng hợp với phương ngang các góc
,
α β
như hình vẽ.
a. Tìm vận tốc tương đối của vật II so với vật I.
b. Tìm khoàng cách giữa hai vật sau khi phóng đi T giây.
ĐS: V
21
= 2v
0
.cos
2
α β
+
; d = 2v
0

. cos(
2
α β
+
).T
Câu 14. Từ cùng một điểm ở trên cao , hai vật được đồng thời ném ngang với các vận tốc đầu ngược
chiều nhau. Gia tốc trọng lực là g .Sau khoảng thời gian nào kể từ lúc ném thì các vectơ vận tốc của hai
vật trở thành vuông góc nhau.
ĐS: t =
1 2
v v
g

Câu 15. Một quả bom nổ ở độ cao H so với mặt đất.Gỉa sử các mảnh văng ra theo mọi phương ly tâm ,
đối xứng nhau với cùng độ lớn vận tốc v
0
.Tính khoảng thời gian từ lúc nổ cho đến khi:
a. Mảnh đầu tiên và mảnh cuối cùng chạm đất.
b. Một nửa số mảnh văng ra chạm đất.
ĐS: a.
2 2
0 0 0 0
2 2
;
v gH v v gH v
g g
+ + + −
; b.
2H
g


CHUYN NG CA CC VT NI VI NHAU QUA RềNG RC NG.
Cõu 1. Cho h nh hỡnh v: m
1
= 3kg; m
2
= 2kg, m
3
= 5kg.Tỡm gia tc ca mi vt v lc cng dõy ca dõy
ni.Ly g = 10m/s
2
. S: 1,8m/s
2
; 2,2m/s
2
; 0,2m/s
2
; 24,5N; 49N
Cõu 2. Cho h nh hỡnh v: m
1
= 1kg; m
2
= 2kg; m
3
= 4kg.B qua ma sỏt.Tỡm gia tc ca m
1
.Cho g
=10m/s
2
. S: 2m/s

2
.
Cõu 3. Cho h nh hỡnh v: m
1
= 3kg; m
2
= 2kg;
0
30

=
; g =10m/s
2
.B qua ma sỏt.Tớnh gia tc ca mi
vt. S: a
1
= 1,43m/s
2
; a
2
= 0,71 m/s
2
.
Cõu 4.Cho h nh hỡnh v m
1
= 3kg; m
2
= 4kg.B qua khi lng rũng rc v dõy ni.Cho g = 10m/s
2
.

Tớnh gia tc chuyn ng ca mi vt v lc cng ca dõy treo cỏc vt.B qua ma sỏt.
S: a
1
= -2,5m/s
2
; a
2
= -1,25m/s
2
; T
1
= 22,5N; T
2
= 45N.
(Hỡnh cõu 1) (hỡnh cõu 2) ( hỡnh cõu 3 ) ( hỡnh cõu 4)
Cõu 5.
Cho h nh hỡnh v: m
1
=3kg. Ban u vt A c
gi ng yờn cỏch sn l h = 70cm, sau ú buụng vt A.
Tỡm lc cng ca on dõy ni vi B v ca on dõy
but vo trn nh. V tỡm cao cc i t c ca
vt B khi vt A chm t. Xột hai trng hp:
m
2
=1,5kg ; m
2
= 1kg.B qua ma sỏt v khi lng
rũng rc.Ly g =10m/s
2

.
S: Th1: T
1
= 30N; T
2
=T
3
=15N ; B ng yờn.
Th2: T
3
=T
2
= 12,86N; T
1
= 25,72N; h
max
= 1,1m
CHUYN NG CA CC VT CHNG LấN NHAU.
Bài 1: Cho cơ hệ nh hình vẽ. Lúc đầu hệ cân bằng, bàn nhận đợc
gia tốc
a

theo phơng ngang nh hình vẽ. Tính gia tốc
của M đối với mặt đất, biết hệ số ma sát trợt giữa M và sàn là
à
.