Giaựo vieõn: Phaùm Minh Taứi
Tr ng THCS Thanh Bỡnh

KIEÅM TRA BAØI CUÕ
Giải phương trình -5x
2
+ 3x + 2 = 0
Giải
(a = -5; b = 3; c = 2)
∆ = b
2
– 4ac = 9 – 4.(-5).2 = 49 > 0 ⇒
∆ 7=
∆
1
b 3 7 2
x
2a 2 ( 5) 5
− + − + −
= = =
× −
∆
2
b 3 7
x 1
2a 2 ( 5)
− − − −
= = =
× −
Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:

Tieát 57:

BAØI 6: H TH C Ệ Ứ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. Hệ thức Vi-ét
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) với ∆ ≥ 0
1
,
2
b
x
a
− + ∆
=
2
2
b
x
a
− − ∆
=
?1
Hãy tính x
1
+ x
2
, x
1

x
2
.
1 2
2 2
x
b b
a a
x
− + ∆ − − ∆
= ++
1 2
( ) ( )
2 2
b b
a a
x x
− + ∆ − − ∆
= ×
2
2
b
a
−
=
b
a
−
=
2

2
( )
4
b
a
− − ∆
=
2 2
2
( 4 )
4
b b ac
a
− −
=
2 2
2
4
4
b b ac
a
− +
=
2
4
4
ac
a
=
c

a
=

Tieát 57:

BAØI 6: H TH C Ệ Ứ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. Hệ thức Vi-ét
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠ 0) thì



1 2
.
c
x x
a
× =
1 2
b
x x
a
+ = −
1) ĐỊNH LÍ VI-ÉT

?2
Cho phương trình 2x
2
– 5x + 3 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b) Chứng tỏ rằng x
1
= 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x
2.
2) Ứng dụng
* Chú ý: vận dụng định lí Vi-ét khi phương trình ax
2
+ bx + c = 0
(a ≠ 0) có nghiệm, tức là ∆ ≥ 0 hoặc ∆’ ≥ 0.

?2
Cho phương trình 2x
2
– 5x + 3 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x
2
.
b) Chứng tỏ rằng x
1
= 1 là một nghiệm của phương trình.
Giải
a) Ta có: a = 2, b = -5, c = 3
a + b + c = 2 + (-5) +3 = 0

b) Thay x
1
= 1 vào vế trái của phương trình ta được:
2.1
2
- 5.1+ 3 = 0 nên x
1
= 1 là nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Vi-ét ta có:
1 2
c
x x
a
× =
hay
2
3
1
2
x× =
2
3
2
x⇔ =
2
c
x
a
 
=

 ÷
 

Tieát 57:

BAØI 6: H TH C Ệ Ứ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. Hệ thức Vi-ét
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠ 0) thì



1 2
.
c
x x
a
× =
1 2
b
x x
a
+ = −
1) ĐỊNH LÍ VI-ÉT

2) Ứng dụng
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x
1
= 1, còn nghiệm kia là x
2
= .

c
a
a) Tổng quát 1

?2
Cho phương trình 2x
2
– 5x + 3 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x
2.
b) Chứng tỏ rằng x
1
= 1 là một nghiệm của phương trình.
Giải
a) Ta có: a = 2, b = -5, c = 3
a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0
b) Thay x
1
= 1 vào vế trái của phương trình ta được:

2.1
2
- 5.1+ 3 = 0 nên x
1
= 1 là nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Vi-ét ta có:
1 2
c
x x
a
× =
hay
2
3
1
2
x× =
2
3
2
x⇔ =
2
c
x
a
 
=
 ÷
 
?3

Cho phương trình: 3x
2
+ 7x + 4 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b) Chứng tỏ rằng x
1
= -1là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x
2
.

?3
Cho phương trình: 3x
2
+ 7x + 4 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b) Chứng tỏ rằng x
1
= -1là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x
2
.
a) Ta có: a = 3, b = 7, c = 4
a - b + c = 3 – 7 + 4 = 0
b) Thay x
1
= -1vào vế trái của phương trình ta được: 3.
(-1)
2
+ 7.(-1) + 4 = 0 nên x

1
= -1 là nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Vi-ét ta có:
1 2
c
x x
a
× =
hay
2
4
( 1)
3
x− × =
2
4
3
x⇔ = −
2
c
x
a
 
= −
 ÷
 
Giải

Tieát 57:


BAØI 6: H TH C Ệ Ứ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. Hệ thức Vi-ét
1) ĐỊNH LÍ VI-ÉT
2) Ứng dụng
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x
1
= 1, còn nghiệm kia là .

2
c
x
a
=
a) Tổng quát 1
b) Tổng quát 2
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x
1
= -1, còn nghiệm kia là

2
.
c
x
a

= −
2
c
x
a
=
2
.
c
x
a
= −
a + b + c = 0
a - b + c = 0
x
1
= 1
x
1
= -1

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình :
a) -5x
2
+ 3x + 2 = 0;
b) 2004x
2
+ 2005x +1 = 0; c) 2010x
2
– 2011x + 1 = 0.

a + b + c =
a - b + c = 2004 - 2005 + 1= 0
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
?4
1
1;x =
2
c
x
a
= =
Giải
1
1;x = −
2
1
2004
c
x
a
= − = −
b) Ta có: a = 2004; b = 2005; c = 1
a) Ta có: a = ; b = ; c = .
-5
3 2
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
-5 + 3 + 2 = 0
2 2
5 5
−

=
−
a + b + c = 2010 + (-2011) + 1= 0
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
1
1;x =
2
1
2010
c
x
a
= =
c) Ta có: a = 2010; b = -2011; c = 1

Tieát 57:

BAØI 6: H TH C Ệ Ứ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. Hệ thức Vi-ét
1) ĐỊNH LÍ VI-ÉT
2) Ứng dụng
a) Tổng quát 1
b) Tổng quát 2
II. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P.
Gọi số thứ nhất là x
x(S - x) = P
Theo giả thiết ta có phương trình
Nếu ∆ = S
2

– 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm.
thì số thứ hai là S - x.
hay x
2
– Sx + P = 0 (1)
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là
nghiệm của phương trình
x
2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0.
Các nghiệm
này chính là hai số cần tìm.

II. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là
nghiệm của phương trình
x
2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0.
* Áp dụng:
Ví dụ 1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của
chúng bằng 180.
Giải
Hai số cần tìm là hai nghiệm của pt:

Ta có: ∆ = (-27)
2
– 4.1.180 = 729 – 720 = 9;
9 3;∆ = =
1
27 3
15,
2
x
+
= =
2
27 3
12.
2
x
−
= =
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
?5
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
x
2
– 27x + 180 = 0

?5
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Giải
Vì S
2

– 4P = 1
2
– 4.5 = -19 < 0.
Vậy không có 2 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 2.Tính nhẩm nghiệm của pt: x
2
- 5x + 6 = 0.
Vì S = 5 = và P = 6 =
Vậy x
1
= 2, x
2
= 3 là hai nghiệm của pt đã cho.
Giải
2 + 3 2.3

Tieát 57:

BAØI 6: H TH C Ệ Ứ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. Hệ thức Vi-ét
1) ĐỊNH LÍ VI-ÉT
2) Ứng dụng:
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x
1
= 1, còn nghiệm kia là x
2
= .


c
a
a) Tổng quát 1:
b) Tổng quát 2:
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x
1
= -1, còn nghiệm kia là x
2
=

c
a
−
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠ 0) thì



1 2
.

c
x x
a
× =
1 2
b
x x
a
+ = −
II. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là
nghiệm của phương trình
x
2
– Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S
2
– 4P ≥ 0.

2. x
2
- 7x + 12 = 0 cã
nghiÖm lµ x
1
= 3, x
2
= 4
3 . x
2
- 3 x - 4 = 0 cã nghiÖm lµ

x
1
= - 1, x
2
= 4
4. 2 x
2
- 3 x + 1 = 0 cã nghiÖm
lµ x
1
= 1, x
2
=
- 1
2
Bài tập. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
1 2
43
V
I E
T
A.
2
x
2
- (
2
+1) x+ 1 = 0
cã nghiÖm x
1

= 1,
x
2
=
2
2
1.
Đ
Đ
Đ
S

Phrăng-xoa Vi-ét (F. Viète) là một nhà Toán học – một luật sư
và là một nhà chính trị gia nổi tiếng người Pháp ( 1540 – 1603 ).
Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số
của phương trình bậc hai.

Höôùng daãn veà nhaø:
•
Học định lí Vi – ét và các công thức tính nhẩm
nghiệm.
•
Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
•
Làm các bài tập 25, 26, 27, 28 Tr. 53 SGK.
•
Đọc mục “có thể em chưa biết” Tr. 53 SGK.
•
Xem trước các bài tập 29, 30, 31, 32, 33 Tr. 54
SGK chuẩn bị tiết sau luyện tập.


Bài tập 25. (Tr.52-53 sgk) Đối với mỗi ph ơng trình sau, kí hiệu x
1

và x
2
là hai nghiệm (nếu có). Không giải ph ơng trình, hãy điền vào
những chỗ trống ( )
a) 2x
2
- 17x+1= 0, = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
b) 5x
2
- x- 35 = 0, = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=

c) 8x
2
- x+1=0, = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
d) 25x
2
+ 10x+1= 0, = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=

KÍNH CHAØO QUYÙ THAÀY COÂ