ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
Môn : Toán – Khối 11 (2012 – 2013)
A. Cấu trúc đề thi HKII:
I. Chung
1. Tìm giới hạn dãy số, sử dụng tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
2. Tìm giới hạn hàm số.
3. Tính đạo hàm, phương trình tiếp tuyến.
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp, chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng, 2mp.
II. Riêng
B. Chuẩn:
5a. Xét tính liên tục hay tìm tham số để liên tục. Chứng minh phương trình có nghiệm.
6a. Đạo hàm (giải pt, bpt, …).
2. NC:
5b. Tìm các đại lượng còn lại khi biết 3 trong 5 đại lượng (u1, q, un, n, Sn) hay Tìm các đại lượng
còn lại khi biết 3 trong 5 đại lượng (u1, d, un, n, Sn)), PP qui nạp toán học.
6b. Đạo hàm (giải pt, bpt, …).
B. Bài tập tham khảo:
A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 1: Tính các giới hạn sau
2 2 5
2 2 3 5
3 2 2 2 4
4 2 2
4 2
3n 5n 4 6 3n 4n 3n 7 2n 6n 9
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim
2 n 3n 5 n 7n 5 1 3n
n n sin n 1 1 4n 9n 2n n 4 n 2n 3
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim
2n n 7 1 2n 2n 3

2n n 1
+ + + + + − +
− + − + −
− − + + − + − +
− + − − +
− +
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
n 2 n n n n n n 1 n n n n
n n n n 1 n 1 2n n n n n n
1 7 7.2 4 5.2 3 3 4 2 3 3.5 2.3
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; 5)lim ; 6)lim
3 7 2.3 4 2 3 2 10.3 7 2.3 5.2 5 5.3
+ +
+ +
+ + − − + −
− + + + + + +
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
3n 1 n 1 2n 1 n 1
1)lim n n n ; 2)lim ; 3)lim ; 4.lim 3n n 3n
n n 1
+ − − + − +
+ − + −
+
B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. Giới hạn của hàm số
1-Tìm giới hạn bằmg phương pháp thế trực tiếp
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1)
2
1
lim( 2 1)
x
x x
→−
+ +
2)
1
lim( 2 1)
x
x x
→
+ +
3)
( )
2
3
lim 3 4
→
−
x
x
4)
1
1

lim
2 1
x
x
x
→
+
−
; 5)
2
5
1
1
lim ;
2 3
→−
+ +
+
x
x x
x
3 4
2
4 2
x 0 x 0 x 1 x 2
x 3
1
1
1 x x x 3x 1
x

6) lim x 1 ; 7)lim ; 8)lim ; 9) lim x 4 ; 10)lim .
1
x (2x 1)(x 3) 2x 1
1
x
→ → → →
→
−
− + +
 
− −
 ÷
− − −
 
+
2-Tìm giới hạn dạng
0
0
;
∞
∞
;
∞ − ∞
bằmg phương pháp khử nhân tử chung, nhân lượng liên hợp.
Bài 1: Tính các giới hạn sau
1)
1
23
lim
2

1
−
+−
→
x
xx
x
2)
103
6
lim
2
2
2
−+
−+
→
xx
xx
x
3)
34
253
lim
2
23
1
+−
+−
→

xx
xx
x
4)
2
3
2
4
8
lim
x
x
x
−
+
−→
5)
23
6116
lim
2
23
1
+−
−+−
→
xx
xxx
x
6)

98
935
lim
24
23
3
−−
++−
→
xx
xxx
x
1
7)
33
276
lim
23
24
3
+++
−−
−→
xxx
xx
x
8)
23
1
lim

3
2
1
++
−
−→
xx
x
x
9)
9
623
lim
2
23
3
−
+++
−→
x
xxx
x
10)
9
21
lim
2
3
−
−+

→
x
x
x
11)
x
xx
x
−−+
→
22
lim
0
12)
1
132
lim
2
1
−
+−
→
x
x
x
13)
314
2
lim
2

−+
+−
→
x
xx
x
14)
1
1
lim
3
1
+
+
−→
x
x
x
15)
31
2
lim
3
8
−+
−
→
x
x
x

16)
( )
1)1(
)1)(23(
lim
2
3
+−
+−
∞→
xx
xx
x
17)
( )
1)1(
)1)(23(
lim
22
3
+−
+−
∞→
xx
xx
x
18)
( )
4 2
2

1
lim
( 1) 4 1
x
x x
x x
→∞
− +
− +
19)
2
2
2 1
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ −
−
20)
143
)12
lim
2
2
−+
+−
∞→

xx
xx
x
21)
63
)13
lim
2
23
++
+−
∞→
xx
xx
x
22)
64
)1
lim
3
2
+−
+−
∞→
xx
xx
x
23)
53
1

lim
2
+
++
+∞→
x
xx
x
24)
x
xx
x
−
−+
−∞→
1
12
lim
25)
( )
xx
x
−+
+∞→
1lim
26)
(
)
xxx
x

−−
+∞→
23
lim
27)
(
)
3612lim
22
+−−+−
+ ∞→
xxxx
x
( )
( )
2 2 4
2
2 2
x 1 x 3 x 2 x 1
3
2 3
3 2
1
x 1 x 1 x 0
x
2
x 1 x 3 x 3x 2 x 1
28)lim ; 29)lim ; 30)lim ; 31)lim ;
x 1 x 2x 15 x 2x 3
x 2

x 2 8
x x 1 3 8x 1
32)lim ; 33)lim ; 34)lim ; 35)lim ;
1 x 1 x x 6x 5x 1
x 1
→ → → →
→ → →
→
− − − + −
− + − + −
−
− +
− −
 
−
 ÷
− − − +
−
 
Bài 2: Tính các giới hạn sau
x 0 x 1
x 4 2 x 3 2
1)lim ; 2)lim ;
x x 1
→ →
+ − + −
−

2
x 7 x 6

2 x 3 x 2 x 4
3)lim ; 4)lim ;
x 49 x 6
→ →
− − − − +
− −
2
2 2
x 5 x 2 x x
x 4 x 2 x 5 x 1 4x 1 5x 3 1 x
5)lim ; 6)lim 7) lim ; 8) lim
x 25 x 2 4x 3 1 x
→ → →−∞ →−∞
+ − − + − − − + −
− − + −
( )
(
)
(
)
2 2
x x x
9) lim x 1 x ; 10) lim 4x x 1 2x ; 11) lim x 1 x 1 ;
→+∞ →+∞ →−∞
+ − + + − + + −
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
1)
12
3
lim

−
+−
−∞→
x
x
x
2)
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ −
− − +
3)
12
5
lim
2
−
+−
−∞→
x
xx
x
4)

2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→−∞
− +
−
5)
)32(lim
2
xxx
x
−++
∞+→
6)
)342(lim
2
+−−
∞+→
xxx
x
7)
)11(lim
22
−−−−+
∞−→
xxxx

x
8)
3 2
lim ( 1)
x
x x x
→−∞
− + − +
9)
)32(lim
24
−−
∞−→
xx
x
10
)322(lim
23
−+−−
+∞→
xxx
x
II. Giới hạn một bên
Bài 1: Tìm các giới hạn sau
( )
x 1 x 5 x 3 x 1
x 5 2x 1
a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim .
x 3 x 1
+ − + −

→ → → →
− +
− − +
− −
e)
3
2 1
lim
3
x
x
x
−
→
−
−
f)
2
33
lim
2
2
−
+−
+
→
x
xx
x
g)

2
2
1
)1(
35
lim
−
+−
→
x
xx
x
h)
+
>− 0
lim
x
xx
xx
−
+
Bài 2: Cho hàm số
( )
3
2
; -1
2 3 ; 1
x x
f x
x x


<

=

− ≥ −


. Tìm
( ) ( )
1 1
lim , lim
x x
f x f x
− +
→ →
và
( )
1
lim
x
f x
→
(nếu có).
C. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
2
( )
2
3 2

; x 2
1)
2
1 ; x=2
x x
f x
x

− +
≠

=
−



tại x = 2 ;
( )
3
1
; 1
2)
1
2 ; 1
x
x
f x
x
x


−
≠

=
−


=

tại
1;x =
( )
1 1
; 0
3)
1
; 0
2
x
x
x
f x
x

− −
≠


=



=


tại điểm x = 0 ;
( )
2
4
; -2
4)
2
4 ; -2
x
x
f x
x
x

−
≠

=
+


− =

tại x = -2
Bài 2: Tìm a để các hàm số sau liên tục của tại điểm x=1
( ) ( )

3 2
2
; 1
2 2
; 1
1) ; 2) .
1
1
; 1
3 ; 1
1
x a x
x x x
x
f x f x
x
x
x
x a x
x
+ ≥
 
− + −
≠
 
= =
−
 
−
<

 
+ =
−
 
Bài 3 Chứng minh rằng phương trình:
7 5
3 2 0x x+ − =
có ít nhất một nghiệm .
Bài 4 Chứng minh rằng phương trình:
2
sin 1 0x x xcox+ + =
thuộc
( )
0;
π
.
Bài 5. Chứng minh rằng phương trình:
3
3 1 0x x− + =
có 3 nghiệm phân biệt.
D. ĐẠO HÀM
Bài 1 : Cho hàm số
( )

− −
≠


=



=


x
neáu x
x
f x
neáu x
1 1
0
1
0
2
a. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x
0
= 0
b. Tính f’(x
0
) nếu có .
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số
a)
5 4 3 2
1 2 3
4 5
2 3 2
y x x x x x= + − − + −
; b)
2 4
1 1

0,5
4 3
y x x x= − + −
c)
4 3
1
y 2x x 2 x 5
3
= − + −
; d)
4 3 2
3
4 3 2
x x x
y x a= − + − +
(a là hằng số)
e)
2
3 2
y x x x.
3
x
= − +
; f)
4 3
1
y 2x x 2 x 5
3
= − + −
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)
2
y (x 3x)(2 x)= + −
; b)
2 2
( 2 3).(2 3)y x x x= − + +
; c)
2 4
2
x
y
x
−
=
−

d)
2 1
4 3
x
y
x
−
=
−
; e)
63
45
2
−

−+−
=
x
xx
y
; f)
2
x 3x 3
y
x 1
− +
=
−
g)
( )
1
y x 1 1
x
 
= + −
 ÷
 
; h)
2
2
1 x x
y
1 x x
+ −
=

− +
; i)
2
2
1
x
y
x
=
−
; k)
2
1
1
y x
x
= + −
−
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
7 2
( )y x x= +
; b)
3 2 2
(2 3 6 1)y x x x= − − +
; c)
2 3
(1 2 )y x= −
d)
2 3

( )= −y x x
; e)
3
2 4
y
x
−
=
−
; f)
2 4
y (x x 1)= + +
g)
2 5
y (1 2x )= −
; h)
3
2x 1
y
x 1
 
+
=
 ÷
−
 
; i)
2
1
1

=
− +
y
x x
j)
2 2
1
y
(x 2x 5)
=
− +
; k)
( )
4
2
y 3 2x= −
; l)
x
x
y
+
−
=
2
1

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
a)
2

1= +y x
b)
2
1 2y x x= + −
c)
1 1= + − −y x x
d)
1
2 1
=
+
y
x
e)
2
3 2= − +y x x
f)
4 6= − + −y x x
g)
1
2 3
=
−
y
x
h)
1
1
x
y

x
+
=
−
j)
152
2
+−= xxy
Bài 6 Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)
12
3
+−= xxy
2)
xxxy 322
24
+−=
3)
)35)((
22
xxxy −+=
4)
)1)(2(
3
++= tty
5)
(2 1)(3 2)y x x x= − +
6)
32
)3()2)(1( +++= xxxy

7)
32
)5( += xy
8) y = (1- 2t)
10

9) y = (x
3
+3x-2)
20

10)
7 2
y (x x)= +
11)
2
y x 3x 2
= − +
12)
76
24
++= xxy
13)
2
32
−
−
=
x
x

y
14)
42
562
2
+
+−
=
x
xx
y
15)
1
2
2
−
=
x
x
y
16)
32
)1(
3
++
=
xx
y
2
3 2 1

17.
2 3
− +
=
−
x x
y
x
18) y =
2
3 2
2
x
x x
-
- +
19) y= x
2
1 x+

20)
21 ++−= xxy
21)
x
x
y 6
3
−=
22)
432

6543
xxx
x
y −+−=
23)
32
43
2
2
++
+−
=
xx
xx
y
24)
3
3
6
1






−+= x
x
xy
25)

1 x
y
1 x
+
=
−
26)
xxy =
27)
1
y
x x
=
28)
1)1(
2
+++= xxxy
29)
22
2
ax
x
y
+
=
, ( a là hằng số)
Bài 7 Tìm đạo hàm các hàm số sau:
30) y =
aaxx 23
2

+−
, ( a là hằng số)

1)y=sin2x– cos2x 2) y = sin5x – 2cos(4x +1)
3)
xxy 3cos.2sin2=
4)
12sin += xy
5)
xy 2sin=
6)
xxy
32
cossin +=
7)
2
)cot1( xy +=
xxy
2
sin.cos=
y= sin(sinx) y = cos( x
3
+ x -2

)
2
y sin (cos3x)=
y = x.cotx
x
x

y
sin2
sin1

−
+
=

3
y cot (2x )
4
π
= +

x 1
y tan
2
+
=

sinx x
y
x sinx
= +

Bài 8: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:
1)
593
23
+−−= xxxy

2)
52
24
+−= xxy
3)
34
34
+−= xxy
4)
2
1 xxy −=
5)
2
155
2
−
+−
=
x
xx
y
6)
x
xy
4
+=
7)
4
2
+

=
x
x
y
8)
3sin2sin
2
1
−+= xxy
9)
xsin x x cosy ++=
10)
xxxy +−= cossin3
11)
xxxy 4cos155cos123cos20 −+=
12)
f(x) 3cosx 4sinx 5x= − +
13)
= + + −
f(x) cosx 3sinx 2x 1
14)
3 x
f(x) 1 sin( x) 2cos
2
π +
= − π + +
15)
cos4x cos6x
f(x) sinx
4 6

= − −
16)
2
f(x) sin x 2cosx
= +
17)
= − + −
f(x) sin3x 3 cos3x 3(cosx 3sinx)
Bài 9: Giải của bất phương trình sau:
1) y’ > 0 với
3 2
y x 3x 2= − +
2) y’ < 4 với
32
2
1
3
1
23
+−+= xxxy
3) y’ ≥ 0 với
1
2
2
−
++
=
x
xx
y

4) y’>0 với
24
2xxy −=

5) y’≤ 0 với
2
2 xxy −=
6) y’ > 0 với
( )
2
3 2f x x x= − −
4
7) y’ < 0 với
( )
2
8f x x x= + −
Bài 10: Cho hàm số:
2)1(3)1(
3
2
23
++++−= xmxmxy
.
1) Tìm m để phương trình y’ = 0:
a) Có 2 nghiệm. b) Có 2 nghiệm trái dấu.
c) Có 2 nghiệm dương. d) Có 2 nghiệm âm phân biệt.
2) Tìm m để y’ > 0 với mọi x.
E. TIẾP TUYẾN
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
Dạng 1 : Tiếp tuyến tại điểm M( x

0
; y
0
)
∈
( C )
Phương pháp : Xác định x
0
, y
0
, f’( x
0
) và sử dụng công thức y = f’( x
0
).(x – x
0
) + y
0
Dạng 2 : Tiếp tuyến qua điểm A( x
A
; y
A
)
Phương pháp :
B1 :Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
⇒
phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k.(x – x
A
) + y
A

= g(x)
B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc :
( ) ( )
( )
'
f x g x
f x k
=


=



( nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến )
Giải hệ phương trình trên ta tìm được x
⇒
k
⇒
PTTT
Dạng 3 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
( song song hoặc vuông góc đường thẳng cho trước )
Phương pháp : Gọi (x
0
, y
0
) là tiếp điểm

⇒
f’(x

0
) = k với x
0
là hoành độ tiếp điểm.
Giải phương trình trên ta tìm được x
0

⇒
y
0
.
⇒
PTTT y = k.(x – x
0
) + y
0
Chú ý :
1. Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x
2. Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x
3. Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau .
4. Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 .
Tức là nếu đường thẳng
∆
có hệ số góc a thì
+ Đường thẳng d song song với
∆
y = ax + b
⇒
d có hệ số góc k = a
+ Đường thẳng d vuông góc với

∆

⇒
d có hệ số góc k =
1
a
−

⇒
d có hệ số góc k =
1
a
−
Bài 1: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3x 1
y f(x)
1 x
+
= =
−
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d:
1
y x 100
2
= +
.

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0.
Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3 2
y x 3x .= −
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
2
y 1 x x .= − −
Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x
0
=
1
.
2

b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
Bài 6: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3 2
5 2y x x= − +
5
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
a) Song song với đường thẳng
3 1y x= − +

b) Vuông góc với đường thẳng
1
4
7

y x= −
Bài 7. Gọi (C) là đồ thị của hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) tại điểm có tung độ bằng
1
3
; c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là
4−
Bài 8: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3
3 2y x x= − +
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
a) Nhận điểm
(2;4)A
làm tiếp điểm
b) Song song với đường thẳng
9 2y x= +
Bài 9 : Cho hàm số
2 4
3
x

y
x
−
=
−
có đồ thị ( C ) .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục hoành .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) vuông góc đường thẳng x - 2y -1 = 0 .
Bài 10: Cho hàm số: y = x
3
+ 4x +1. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong của trường hợp sau:
a) Tại điểm có hoành độ x
0
= 1;
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;
c) Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;
d) Vuông góc với đường thẳng ∆: y = -
1
5
16
x
−
.
F. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN:
1) Cho CSC gồm 2006 số hạng, biết u
3
= 5 , u
7
= -23 .Tính u
1

, d , u
2006
và S
2006
2) Cho ÷10 , 7 ; 4 ; … ; -77 . CSC này có bao nhiêu số hạng , tính tổng các số hạng của CSC .
3) cho CSC biết



=+
=+
23
32
63
52
uu
uu
Tìm u
1
, d , S
15
4) Xác định số hạng đầu tiên và công bội của một CSN , biết
a) u
5
= 96 , u
6
=192 b)




=−
=−
144
72
35
24
uu
uu
5) Xác định một CSN gồm 6 số hạng , biết tổng 3 số hạng đầu bằng 168 và tổng 3 số hạng cuối bằng 21
6) Cho ÷
;
27
4
;
9
2
;
3
1
Tính u
8
, S
8
7 .Cho cấp số cộng thoả mãn a
10
= 15 ; a
5
= 5 .Tính a
7
8) Cho cấp số cộng thoả mãn




=
=−
75a.a
8aa
72
37
Tính a
10
;S
100
9) Tìm cấp số cộng biết a)



=+
=−+
26aa
10aaa
64
352
b)



=+
=+
1170aa

60aa
2
12
2
4
157
10. Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400.Hỏi
cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó
11. Ba số a, b, c lập thành một CSC có tổng = 27 và tổng bình phương của chúng là 293.Tìm 3 số đó
12. Ba số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 12, tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó
13.Cho cấp số nhân có u
2
= – 8; u
5
= 64.Tính u
4
; S
5
6
14.Cho cấp số nhân thoả: a)



=+
=+
180aa
60aa
35
24
tìm a

6
; S
4
b)



=++
=−
91aaa
728aa
531
17
tìm a
4
; S
5
15. Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc vào N
*
.
1) 2+5+8+…+(3n-1)=
(3 1)
2
n n +
. ; 2/ 3+9+27+…+3
n
=
1
3 3
2

n+
−
;
3) 1
2
+2
2
+3
2
+…+(2n-1)
2
=
2
(4 1)
3
n n −
; 4/ 1
3
+2
3
+3
3
+…+m
3
=
2 2
( 1)
4
n n +
;

5) 1+2+3+…+n=
( 1)
2
n n+
; 6/ 2
2
+4
2
+…+(2n)
2
=
2 ( 1)(2 1)
3
n n n+ +
7) 1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
; 8/
1 1 1 1 2 1

2 4 8 2 2

n
n n
−
+ + + + =
.
16. Chứng minh rằng với mọi
*
n N∈
ta có :
1/ n
3
-n chia hết cho 3 . 2/ n
3
+3n
2
+5n chia hết cho 3 .
3/ 11
n+1
+12
2n -1
chia hết cho 133 . 4/ 2n
3
-3n
2

+n chia hết cho 6 .
5/ 4
n
+15n-1 chia hết cho 9 . 6/ 13
n

-1 chia hết cho 6 .
7/ 3
2n+1
+2
n+2
chia hết cho 7 8/ 3
2n+2
+2
6n+1

chia hết cho 11 .
G. PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA
⊥
(ABCD);
SA =
6a
. AM, AN là các đường cao của tam giác SAB và SAD;
1) CMR: Các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam giác đó.
2) Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OP
⊥
(ABCD).
3) CMR: BD
⊥
(SAC) , MN
⊥
(SAC).
4) Chứng minh: AN
⊥
(SCD); AM

⊥
SC
5) SC
⊥
(AMN)
6) Dùng định lí 3 đường vuông góc chứng minh BN
⊥
SD
7) Tính góc giữa SC và (ABCD)
8) Hạ AD là đường cao của tam giác SAC, chứng minh AM,AN,AP đồng phẳng.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có (ABD)
⊥
(BCD), tam giác ABD cân tại A; M , N là trung điểm của BD và
BC
a) Chứng minh AM
⊥
(BCD)
b) (ABC)
⊥
(BCD)
c) Kẻ MH
⊥
AN, cm MH
⊥
(ABC)
Bài 3: Chi tứ diện ABCD , tam giác ABC và ACD cân tại A và B; M là trung điểm của CD
a) Cm (ACD)
⊥
(BCD)
b) Kẻ MH

⊥
BM chứng minh AH
⊥
(BCD)
c) Kẻ HK
⊥
(AM), cm HK
⊥
(ACD)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình thang vuông có BC là đáy bé và góc
·
0
90ACD =
a) Tam giác SCD, SBC vuông
b)Kẻ AH
⊥
SB, chứng minh AH
⊥
(SBC)
c)Kẻ AK
⊥
SC, chứng minh AK
⊥
(SCD)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
SA = a
2
.
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
b) CMR (SAC)

⊥
(SBD) .
c) Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) .
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD)
e) Tính d(A, (SCD)) .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA=SB=SC=SD=a
2
; O là tâm
của hình vuông ABCD.
7
a) cm (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD). b) cm (SAC)
⊥
(SBD)
c) Tính khoảg cách từ S đến (ABCD)
d) Tính góc giữa đường SB và (ABCD).
e) Gọi M là trung điểm của CD, hạ OH
⊥
SM, chứng minh H là trực tâm tam giác SCD
f) tính góc giưa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
g) Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD) và SA=a; đáy ABCD là hình thang vuông có đáy bé là
BC, biết AB=BC=a, AD=2a.
1)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2)Tính khoảng cách giữa AB và SD
3)M, H là trung điểm của AD, SM cm AH
⊥
(SCM)
4)Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (ABCD)

5)Tính góc giữa SC và (SAD)
6)Tính tổng diện tích các mặt của chóp.
Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB. OC đôi một vuông góc nhau và OA=OB=OC=a
a)Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc
b)M là trung điểm của BC, chứng minh (ABC) vuông góc với (OAM)
c)Tính khoảng cách giữa OA và BC
d)Tính góc giữa (OBC) và (ABC)
e)Tính d(O, (ABC) )
Bài 9 : Cho chóp OABC có OA=OB=OC=a;
·
·
·
0 0 0
120 ; 60 ; 90AOC BOA BOC= = =
. CM:
a)ABC là tam giác vuông
b)M là trung điểm của AC; chứng minh tam giác BOM vuông
c)cm (OAC)
⊥
(ABC)
d)Tính góc giữa (OAB) và (OBC)
Bài 10 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA=CB=2a, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA=a. Gọi D là trung điểm của AB.
a)Cm: (SCD)
⊥
(SAB)
b)Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Bài 11 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

b)Tính góc giữa các cạnh bên và mặt đáy
c)Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy
d)Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau.
Bài 12 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=BC=a; AC=a
2
a)cmr: BC vuông góc với AB’
b)Gọi M là trung điểm của AC, cm (BC’M)
⊥
(ACC’A’)
c)Tính khoảng cách giữa BB’ và AC.
Bài 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có
·
0
BAD 60=
và SA=SB = SD = a
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)
b) Chứng minh tam giác SAC vuông
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
Bài 14 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại C, CA=a; CB=b, mặt bên AA’B’B
là hình vuông. Từ C kẻ đường thẳng CH
⊥
AB, kẻ HK
⊥
AA’
a) CMR: BC
⊥
CK , AB’
⊥
(CHK)
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (CHK)

c) Tính khoảng cách từ C đến (AA’B’B).
CHÚC CÁC EM THI TỐT!
8