TS. LÝ TRƯỜNG THÀNH








PHAÂN TÍCH ÖÙNG SUAÁT


















NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ
HÀ NỘI - 2010
NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ

18 Hoàng Quốc Việt, Cầu giấy, Hà Nội
ĐT: QLTH. 04.2149041; PH. 04.2149040; Phòng Biên tập. 04.2149034
Fax: 04.7910147 - Email: ;www.vap.ac.vn



PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT

Chịu trách nhiệm xuất bản:
GS. TSKH NGUYỄN KHOA SƠN






Biên tập:
TRẦN PHƯƠNG ĐÔNG
Trình bày bìa:
THUỲ AN
Kỹ thuật vi tính:
QUANG HUY
Sửa bản in:
TRẦN PHƯƠNG ĐÔNG









In 2030 cuốn, khổ A4 tại Công ty In Khuyến học
Giấy phép xuất bản số: 295-2010/CXB/026-02/KHTNCN
In xong và nộp lưu chiểu Quý III năm 2010




MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 6
CHƯƠNG I 7
NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG
HƯỚNG 7
1.1 Lý thuyết ứng suất 7
1.1.1 Khái niệm về ứng suất và ký hiệu 7
1.1.2 Phương trình vi phân cân bằng Navier 7
1.1.3 Ứng suất trên mặt nghiêng - Điều kiện biên về lực 9
1.1.4 Nguyên lý Saint Venant 11
1.1.5 Trạng thái ứng suất tại một điểm 11
1.2 Lý thuyết về biến dạng 13
1.2.1 Khái niệm về chuyển vị, biến dạng và ký hiệu 13
1.2.2 Biến dạng 13
1.2.3 Điều kiện tương thích của biến dạng - phương trình Saint Venant 15
1.2.4 Trạng thái biến dạng tại một điểm 16
1.3 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. định luật Hooke 16
1.4 Các phương pháp giải các bài toán đàn hồi 18
1.4.1 Cách giải theo ứng suất - hệ phương trình Beltrami - Michell 18
1.4.2 Cách giải theo chuyển vị - hệ phương trình Lame’ 19
1.5 Các nguyên lý về công và năng lượng 21

1.5.1 Các nguyên lý công khả dĩ 21
1.5.2 Thế năng biến dạng 22
1.5.3 Các nguyên lý cực tiểu thế năng 23
CHƯƠNG 2 25
BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ VUÔNG GÓC 25
2.1 Các loại bài toán phẳng 25
2.1.1 Bài toán ứng suất phẳng 25
2.1.2 Bài toán biến dạng phẳng 25
2.2 Các phương trình cơ bản của bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc 26
2.2.1 Các phương trình cân bằng tĩnh học 26
2.2.2 Các phương trình hình học
27
2.2.3 Các phương trình vật lý (định luật Hooke)
27
2.3 Giải bài toán phẳng theo ứng suất
28
2.4 Các bài toán tiêu biểu giải theo hàm ứng suất Airy 30
2.4.1 Bài toán dầm
công sôn chịu lực tập trung ở đầu tự do 31
2.4.2 Đập hay tường chắn có mặt cắt tam giác (lêi gi¶i cña LÐvy) 32
2.4.3 Bài toán đập hay tường chắn mặt cắt chữ nhật
34
2.4.4 Bài toán dầm tường - Lời giải của Filon và Ribiere
37
BÀI TẬP 39
CHƯƠNG 3 41
BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC 41
3.1 Hệ toạ độ cực và các ký hiệu 41
3.1.1 Toạ độ cực và phép biến đổi toạ độ 41
3.1.2 Các ký hiệu của bài toán phẳng trong tọa độ cực 42

3.2 Các phương trình cơ bản 43
3.2.1 Phương trình vi phân cân bằng 43
3.2.2 Các phương trình hình học
43
3.2.3 Các phương trình vật lý
45
3.3 Cách giải bài toán phẳng theo ứng suất trong hệ toạ độ cực 46
3.4 Bài toán phẳng ứng suất không phụ thuộc vào góc cực 47
3.4.1 Lời giải tổng quát bài toán ứng suất không phụ thuộc góc cực 47
3.4.2 Thanh cong chịu uốn (Galovin 1881). 50
3.5 Các bài toán ống dày (bài toán Lamé 1852) 51
3.5.1 Ống dày chịu áp lực đều 51
3.5.2 Ống dày có độ dôi 52
3.5.3 Ống dày trong môi trường đàn hồi 52
3.6 Ứng suất cục bộ quanh lỗ khoét tròn nhỏ 54
3.6.1 Lỗ khoét tròn nhỏ trong tấm chữ nhật chịu kéo đều theo một phương có cường độ p
54
3.6.2 Ứng suất quanh lỗ khoét tròn nhỏ trong bài toán phẳng 56
3.7 Nêm phẳng 56
3.7.1 Nêm chịu lực P và m
ô men M ở đỉnh 56
3.7.2 Các trường hợp đặc biệt
58
3.7.3 Nêm chịu áp lực đều ở một mặt bên (hình 3-18). 60
3.8 Bài toán nêm phẳng hình thang 61
3.9 Lát phẳng nửa vô hạn 61
3.9.1 Lát phẳng chịu lực P có phương bất kỳ 61
3.9.2 Lát phẳng chịu lực P vuông góc với mặt phân cách 62
BÀI TẬP 64
CHƯƠNG 4 66

GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 66
4.1 Những khái niệm mở đầu 66
4.1.1 Rời rạc hóa sơ đồ tính. Véc tơ chuyển vị nút, véc tơ ngoại lực nút, véc tơ phản lực
liên kết nút 67
4.1.2 Quan hệ giữa véc tơ phản lực liên kết nút và véc tơ chuyển vị nút. Ma trận độ cứng
của một phần tử 69
4.1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị 70
4.2 Các quan hệ cơ bản trong một phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng phần tử
e
k][ 71
4.2.1 Hàm chuyển vị và hàm dạng 71
4.2.2 Véc tơ biến dạng và véc tơ ứng suất tại một điểm trong phần tử 72
4.2.3 Nguyên lý công khả dĩ của Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi
73
4.2.4 Thế năng toàn phần Φ
e
của một phần tử. Ma trận cứng phần tử
e
k][
, và véc tơ lực
nút qui đổi
{
}
e
q
P
73
4.3 Ma trận độ cứng của phần tử tam giác trong bài toán phẳng 76
4.4 Ma trận cứng và véc tơ lực nút của phần tử thanh chịu kéo nén 79
4.4.1 Biểu thức thế năng toàn phần Φ

e
, các ma trận [∂] và [D] 80
4.4.2 Giả thiết các hàm chuyển vị {u}, [M], lập các ma trận [A], [N], [B] 80
4.4.3 Lập ma trận độ cứng phần tử
e
k][
80
4.4.4 Xác định véc tơ lực nút phần tử
e
q
P ][ do tải trọng tác dụng trong thanh gây nên. 81
4.5 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử thanh chịu uốn phẳng 82
4.5.1 Biểu thức thế năng toàn phần Φ
e
, các ma trận [∂], [D] 82
4.5.2 Giả thiết các hàm chuyển vị {u}, [M], lập các ma trận [A], [N], [B] 83
4.5.3 Lập ma trận độ cứng phần tử
e
k][ 84
4.5.4 Xác định véc tơ lực nút phần tử
e
q
P ][
do tải trọng tác dụng trong thanh gây nên. 84
4.6 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu lực phức tạp 85
4.6.1 Phần tử thanh đồng thời chịu uốn phẳng và kéo nén
85
4.6.2 Phần tử thanh không gian 88
4.7 Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử trong hệ tọa độ chung của kết cấu.
Ma trận biến đổi tọa độ 89

4.8 Phương pháp số mã lập ma trận cứng
[
]
K và véc tơ lực nút
{
}
F của toàn kết cấu 93
4.9 Cách xử lý điều kiện biên 96
4.10 Cách đánh số mã nút để hạn chế bề rộng băng của ma trận
[
]
K 97
4.11 Xác đỊnh nội lực của phần tử thanh 98
4.12 Các ví dụ áp dụng 103
BÀI TẬP 121
PHỤ LỤC 122
TÀI LIỆU THAM KHẢO 124





































MỞ ĐẦU
Phân tích ứng suất là một môn khoa học thuộc ngành cơ học vật rắn biến dạng. Nó nghiên
cứu trạng thái ứng suất, biến dạng của vật thể cân bằng dưới tác dụng của các tác động bên ngoài,
khi mà vật liệu của vật thể chưa vượt quá giới hạn đàn hồi. Tuy có sự giống nhau về mục đích với
môn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu nhưng đối tượng nghiên cứu thì khác nhau. Nếu như
m
ôn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu lấy đối tượng nghiên cứu chỉ là các vật thể dạng

thanh, thì đối tượng nghiên cứu của môn Phân tích ứng suất là các vật thể dạng thanh, dạng tấm,
vỏ và dạng khối, tức là liên quan tới việc giải bài toán 1, 2 hoặc 3 chiều. Môn Phân tích ứng suất
cũng khác với m
ôn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu về tính chặt chẽ của nghiệm. Lời giải của
Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu thì chủ yếu là gần đúng vì không thỏa mãn hết các điều kiện
biên của bài toán. Khi nghiên cứu các bài toán siêu tĩnh, môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu
phải đưa bổ
sung thêm các điều kiện tùy thuộc vào hình dạng và liên kết của vật thể để lập thêm
các phương trình bổ sung, thì môn Phân tích ứng suất chỉ cần sử dụng các giả thiết có liên quan
tới tính chất của vật thể giống như trong các môn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu, đó là
các giả thiết:

- Vật liệu liên tục, đồng chất và đẳng hướng.
- Vật liệu đàn hồi tuyến tính và tuân theo định luật Hooke.
- Biến dạng của vật là bé.
Hai giả thiết sau làm cho các phương trình mô tả trạng thái chịu lực của vật thể là các
phương trình tuyến tính và do đó có thể áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm (nguyên lý cộng
tác dụng của lực).
Môn Phân tích ứng suất không những giải được
các bài toán đã giải được trong môn Sức
bền vật liệu và Cơ học kết cấu mà còn giải được cả những bài toán mà môn Sức bền vật liệu và
Cơ học kết cấu không giải được như: Các bài toán về ứng suất cục bộ, bài toán về ứng suất tập
trung, bài toán tiếp xúc v.v Nó cũng cho khả năng đánh giá độ chính xác và giới hạn áp dụng
nghiệm bài toán giải theo các phương
trình của môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu.
Trong tài liệu này trình bày môn Phân tích ứng suất trên cơ sở kết hợp hai môn học là Lý
thuyết đàn hồi ứng dụng và Phương pháp phần tử hữu hạn để giải một số bài toán thường gặp
trong xây dựng công trình, đặc biệt là trong xây dựng các công trình Thuỷ lợi .
Tác giả xin chân thành cám ơn các bạn đồng nghiệp trong
Bộ môn Sức bền vật liệu-Cơ học

kết cấu Trường Đại học Thủy lợi đã cung cấp tài liệu và đóng góp các ý kiến quý báu để hoàn
thành cuốn sách này. Do lần đầu biên soạn nên không tránh khỏi các khiếm khuyết, tác giả mong
nhận được các ý kiến đóng góp của các bạn đọc để lần xuất bản sau được tốt hơn. Các ý kiến đóng
góp xin gửi về Bộ môn Sức bền vật liệu-Cơ học kết cấu Trường Đại học T
hủy lợi.
TÁC GIẢ


CHƯƠNG I
NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG
1.1 Lý thuyết ứng suất
1.1.1 Khái niệm về ứng
suất và ký hiệu
Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của hệ lực cân bằng đặt trong hệ trục tọa độ xyz như
trên hình 1-1a. Tách ra quanh điểm A trong vật một phân tố hình hộp bởi các mặt phẳng song
song với các mặt toạ độ. Trên các mặt của phân tố có 9 thành phần ứng suất như trên hình 1-1b.











Trong các thành phần này có 3 thành phần ứng suất pháp là
zyx

σ
σ
σ
,, và 6 thành phần
ứng suất tiếp là
yxxy
τ
τ
, ,
zyyz
τ
τ
, ,
zxxz
τ
τ
, . Các mặt cắt được gọi tên bằng pháp tuyến ngoài
của nó, chẳng hạn ta gọi mặt x tức là mặt có pháp tuyến ngoài có phương song song với trục x.
Trong ký hiệu ứng suất pháp, chỉ số biểu thị tên của mặt cắt có ứng suất pháp, cũng là chỉ phương
của ứng suất đó; còn trong ký hiệu ứng suất tiếp, chỉ số thứ nhất biểu thị mặt có ứng suất tiếp, chỉ
số thứ 2 biểu thị phương của ứng suất. Ví dụ
x
σ
là ứng suất pháp trên mặt x, còn
xy
τ
là ứng suất
tiếp trên mặt x có phương song song với trục y.
Dấu của các ứng suất được quy ước như sau: Nếu pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng
theo chiều dương của trục toạ độ, thì các ứng suất có dấu dương khi chúng cùng hướng theo

chiều dương của hệ trục tọa độ, còn trên các mặt có pháp tuyến ngoài ngược chiều với chiều hệ
trục tọa độ, thì các ứng
suất có dấu dương khi chúng có hướng ngược với chiều của hệ trục tọa
độ, các ứng suất vẽ trên hình 1-1 đều có dấu dương.
Các ứng suất không những thay đổi theo từng điểm trong vật (phụ thuộc toạ độ của điểm)
mà còn phụ thuộc vào phương của mặt cắt đi qua điểm đó (phụ thuộc góc nghiêng của mặt cắt đi
qua điểm đó). Nếu ký hiệu chung các ứng suất là S thì ta
có thể viết: S = S(x, y, z, n) , với n là các
côsin chỉ phương của mặt cắt đi qua điểm đó.
1.1.2 Phương trình vi phân cân bằng Navier
Khảo sát một phân tố dxdydz tách ra từ một vật thể cân bằng. Ngoài các ứng suất tác dụng
trên các mặt của phân tố, trong phân tố còn có các lực thể tích với các thành phần hình chiếu của
nó lên các trục toạ độ là X, Y, Z tác dụng lên phân tố nữa.
A
x
y
z
Hình 1-1
a) b)
x
y
z
σ
x
σ
y
σ
z
τ
zx

τ
xz
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
dy
dx
dz
Nếu như trên mặt có tọa độ là x ta có các thành phần ứng suất là:
),,(),,(),,( zyxzyxzyx
xzxyx
τ
τ
σ

thì trên mặt có tọa độ là (x+dx) có các thành phần ứng suất là:
),,(),,(),,( zydxxzydxxzydxx
xzxyx
+
+
+
τ
τ
σ


Dùng khai triển Taylor và bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta được:
dx
x
zyxdzyxzydxx
x
xxxx
∂
∂
+=+=+
σ
σσσσ
),,(),,(),,(
Làm hoàn toàn tương tự đối với các thành phần ứng suất khác được các thành phần ứng suất
trên các mặt của phân tố cho trên hình 1-2.















Phân tố cân bằng dưới tác dụng của các thành phần ứng suất trên các mặt và các thành phần

lực thể tích nên nó thoả mãn các phương trình cân bằng tĩnh học:
∑
= 0x

∑
= 0
x
M

∑
= 0y

∑
= 0
y
M
(1-1)
∑
= 0z
∑
= 0
z
M

Bắt đầu với nhóm thứ nhất của (1-1), chẳng hạn với phương trình
∑
= 0x :
+−
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+ dzdxdzdxdy
y
dydzdydzdx
x
yx
yx
yxx
x
x
τ
τ
τσ
σ
σ


+
0=+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+ Xdxdydzdxdydxdydz
z
zx
zx
zx
τ
τ
τ

x
y
z
σ
x
σ
y
σ
z
τ
zx

τ
xz
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
dx
x
x
x
∂
σ∂
+σ

dz
z
z
z
∂
σ∂
+σ

dy
y
yx
yx

∂
τ∂
+τ

dy
y
yz
yz
∂
τ∂
+τ

dz
z
zx
zx
∂
τ∂
+τ

dz
z
zy
zy
∂
τ∂
+τ

dx
x

xy
xy
∂
τ∂
+τ

dx
x
xz
xz
∂
τ∂
+τ

Hình 1-2
dy
dx
dz
dy
y
y
y
∂
∂
+
σ
σ

Các phương trình hình chiếu theo phương y và phương z làm tương tự. Sau khi rút gọn ta được:
0=+

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
X
zyx
zx
yx
x
τ
τ
σ

0=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Y
zyx
zyyxy
τ

σ
τ
(1-2)
0=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Z
zyx
z
yz
xz
σ
τ
τ

hoặc viết dưới dạng ma trận:
CS + P = 0 (1-3)
Trong đó:
C là ma trận các toán tử vi phân: C =
[
]
zyx ∂
∂
∂

∂
∂
∂

S là ma trận ứng suất:
S =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σττ
τστ
ττσ

P là véc tơ lực thể tích: P =
{}
T
ZYX

(1-2 ), (1-3) là các phương trình cân bằng hay là hệ phương trình vi phân cân bằng Navier.
Nhóm thứ 2 của (1-1) là các phương trình cân bằng mômen đối với các trục. Chẳng hạn

phương trình đầu tiên là:
∑
= 0
x
M được:
0=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+ dxdydzdy
y
dxdydzdz
z
zy
zy
yz

yz
τ
τ
τ
τ

Hay
zyyz
τ
τ
=
Làm tương tự ta được:
yxxy
τ
τ
=

zxxz
τ
τ
=
(1-
4)
(1-4) biểu diễn luật đối ứng của ứng suất tiếp.
1.1.3 Ứng suất trên mặt nghiêng - Điều kiện biên về lực
Ở trên ta đã xét phân tố hình hộp tách ra từ một vật thể cân bằng và các phương trình cân
bằng (1-2) hoàn toàn thoả mãn đối với các phân tố này. Tuy nhiên, nếu ta chia vật thể bằng các
mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ cách nhau những khoảng vô cùng nhỏ thì sẽ chia
vật thể thành vô số các phân tố hình hộp và một số các phân tố tứ diện. Các phân tố tứ diện này
ngoài các mặt song song với các mặt toạ độ chịu tác dụng của các thành phần ứng suất

, còn có
mặt nghiêng với các mặt toạ độ, trên đó có các lực bề mặt tác dụng như trên hình 1-3.
Ta xét một tứ diện tách ra từ vật thể trên hình 1-3. Tứ diện này có các mặt x, y, z và mặt
nghiêng v cho trên hình 1-4. Giả sử lực bề mặt toàn phần trên mặt v có các thành phần hình chiếu
lên các trục toạ độ là X
V
, Y
V
, Z
V
. Pháp tuyến ngoài v của mặt nghiêng hợp với các trục x, y, z các
góc α, β, γ. Đặt:
l = cosα = cos(v,x)
m = cos β = cos(v,y)
n = cosγ = cos(v,z)
l, m, n được gọi là các cosin chỉ phương của pháp tuyến v.













Ký hiệu diện tích của mặt ABC là dF, thì diện tích của các mặt BOC, AOC, AOB lần

lượt là dF.l, dF.m, dF.n . Phân tố tứ diện có thể tích rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua thành phần lực
thể tích.
Phân tố này ở trạng thái cân bằng nên ta có:
∑
= 0x →
yx
0
vx zx
XdF dFl dFm dFn
σ
ττ
−
−−=

∑
= 0y → 0 =
−
−
−
ndFmdFdFdFY
zyyxyv
τ
σ
τ
l
∑
= 0z → 0 =
−
−
−

ndFmdFdFdFZ
zyzxzv
σ
τ
τ
l
Rút gọn ta được:
nmX
zxyxxv

τ
τ
σ
+
+
= l
nmY
zyyxyv

τ
σ
τ
+
+
= l
(1-5)
nmZ
zyzxzv

σ

τ
τ
+
+
= l
hoặc viết dưới dạng ma trận:
LSP
v
.=
(1-5’)
Trong đó:
v
P là vectơ ứng suất toàn phần trên mặt nghiêng:

{}
T
vvvv
ZYXP =

222
vvvv
ZYXP ++=
L là vectơ cosin chỉ phương:
{
}
T
nmL l=

Ph¸p tuyÕn v
x

y
z
Hình 1-3
Lùc bÒ mÆt
P
Hình 1-4
x
y
z
σ
y
τ
yx
τ
yz
σ
x
τ
xz
τ
xy
σ
z
τ
zx
τ
zy
τ
v
Z

v
X
v
Y
v
σ
v
P
v
v

A

O

C

B

S là ma trận ứng suất.
Ta có thể phân
v
P thành 2 thành phần: ứng suất pháp
v
σ
vuông góc với mặt phẳng v và
ứng suất tiếp
v
τ
nằm trong mặt phẳng v.

Thành phần σ
v
được tính bằng công thức:
nZmYX
vvvv
++= l
σ

)(2
222
lll nmnmnm
zxyzxyzyxv
τττσσσσ
+++++= (1-6)
2
2
vvv
P
στ
−=
Nếu phân tố trên được tách ra tại một điểm trên biên vật thể thì
vvv
ZYX ,, là các thành phần
tải trọng phân bố trên mặt nghiêng, nên lúc này biểu thức (1-5) chính là điều kiện biên về lực của
bài toán (các điều kiện biên tĩnh học).
1.1.4 Nguyên lý Saint Venant
Ở nhiều bài toán đàn hồi (như các bài toán về thanh, tấm, vỏ, vv ) hầu như không thể tìm
được nghiệm thoả mãn hết mọi điều kiện biên, đặc biệt là khi trên biên có lực tập trung tác dụng.
Nhằm giảm bớt khó khăn ta có thể làm “mềm hoá” điều kiện biên về lực bằng cách áp dụng
nguyên lý Saint-Venant, nguyên lý này được phát biểu như sau:

Khi miền đặt tải trọng nhỏ hơn mọi kích thước của vật thể, t
hì trạng thái ứng suất và
biến dạng tại những điểm xa nơi đặt lực thay đổi rất ít khi ta thay hệ lực này bằng hệ lực khác
tương đương.
Hệ lực tương đương ở đây được hiểu là hệ lực có cùng vectơ lực chính và vectơ mômen chính.
Ví dụ thanh có mặt cắt ngang F là hằng số, chịu hai hệ lực tương đương như trên hình 1-5,
trạng thái ứng
suất trong hai trường hợp này chỉ khác nhau ở vùng hai đầu thanh gần nơi đặt lực,
càng xa hai đầu thanh, trạng thái ứng suất càng giống nhau.
Ta sẽ áp dụng cụ thể nguyên lý này khi giải một số bài toán ở các chương sau.





1.1.5 Trạng thái ứng suất tại một điểm
Như trên đã nói, ứng suất không những phụ thuộc vào từng điểm mà còn phụ thuộc
vào phương của mặt cắt đi qua điểm đó. Tập hợp tất cả các ứng suất tác động tại một điểm
theo mọi phương gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó. Như vậy, để nghiên cứu trạng thái
ứng suất tại một điểm
M nào đó trong vật thể cân bằng, ta phải biết hết mọi ứng suất tác
động tại điểm M trên tất cả các mặt đi qua điểm đó. Trước tiên, ta biểu thị các ứng suất tại
điểm nào đó bằng các ứng suất trên các mặt của một phân tố bao quanh điểm đó. Như vậy,
trạng thái ứng suất tại một điểm l
à tập hợp tất cả các ứng suất trên các mặt của các phân tố
bao quanh điểm đó.
Như đã chứng minh ở 1.1.4 (công thức 1-6): Nếu biết ứng suất trên 3 mặt cắt vuông góc với
nhau đi qua một điểm thì có thể xác định được ứng suất trên bất cứ mặt cắt nào đi qua điểm đó.
P
P = q.F

qq
Thanh cã
mÆt
a)
b)
Hình 1-5
Một mặt mà trên đó không có ứng suất tiếp được gọi là mặt chính ứng suất. Pháp tuyến
ngoài của mặt chính được gọi là phương chính và ứng suất pháp trên mặt chính được gọi là ứng
suất chính. Người ta cũng chứng minh được là: Qua một điểm nào đó bao giờ cũng tìm được một
phân tố hình hộp mà tất cả các mặt của nó đều là mặt chính. Phân tố đó được gọi là phân tố chính.
Ký hiệu các ứng suất chính của phân
tố này là σ
1
, σ
2
, σ
3
và với quy ước là:
321
σ
σ
σ
≥≥ (kể cả
dấu). Bây giờ hãy xác định các ứng suất chính.
Xét phân tố tứ diện như trên hình 1-4. Giả sử mặt ABC là mặt chính và gọi ứng suất chính
trên mặt này là
K
σ
, còn các cosin chỉ phương của phương chính là
KKK

nm ,,l
Từ hình 1-4 ta có:
KKv
X l.
σ
=


KKv
mY .
σ
=

KKv
nZ
σ
=
Thay trở lại (1-5) được:

0.)(
=
+
+
−
KzxKyxKKx
nm
τ
τ
σ
σ

l

0).(
=
+
−+
KzyKKyKxy
nm
τ
σ
σ
τ
l (1-7)
0)(.
=
−
++
KKzKyzKxz
nm
σ
σ
τ
τ
l
(1-7) là hệ phương trình thuần nhất. Mặt khác l
K
, m
K
, n
K

không thể đồng thời bằng 0 nên
để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ phương trình này phải bằng 0:
(
)
()
()
Kzyzxz
zyKyxy
zxyxKx
D
σσττ
τσστ
ττσσ
−
−
−
=
= 0 (1-8)

Đặt:
zyx
I
σ
σ
σ
+
+
=
1


zxz
zxx
zzy
yzy
yxy
yxx
I
στ
τσ
στ
τσ
στ
τσ
++=
2
(1-9)
zyzxz
zyyxy
zyyxx
I
σττ
τστ
ττσ
=
3

321
,, III gọi là các bất biến của trạng thái ứng suất (vì khi xoay phân tố đi thì các đại lượng
này không thay đổi).
Từ (1-8) và (1-9) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính:

0III
3K2
2
K1
3
K
=−σ+σ−σ (1-10)
Giải phương trình (1-10) ta sẽ được 3 nghiệm đối với σ
K
và người ta cũng chứng minh được
ba nghiệm của (1-10) luôn là thực, đó là các ứng suất chính σ
1
, σ
2
, σ
3
. Thay lần lượt σ
1
, σ
2
, σ
3

vào (1-7) và kết hợp với (*) giải hệ đó sẽ được phương chính.
1nm
2
K
2
K
2

K
=++l

(*)
Như vậy ta đã xác định được các ứng suất chính và phương của chúng. Bây giờ ta tiến hành
xác định các ứng suất tiếp cực trị. Các ứng suất tiếp cực trị nằm trong mặt phẳng chứa một trục
chính và nghiêng một góc 45
o
so với hai mặt chính tương ứng. Các ứng suất tiếp cực trị được tính
bằng công thức sau:
2
21
12
σ
−
σ
=τ

2
32
23
σ
−
σ
=τ
(1-11)
2
13
31
σ

−
σ
=τ

1.2 Lý thuyết về biến dạng
1.2.1 Khái niệm về chuyển vị, biến dạng
và ký
hiệu
Xét một vật thể đàn hồi đủ liên kết (vật không
có chuyển vị cứng) như trên hình 1-6. Khi biến dạng,
điểm M sẽ bị dịch chuyển tới vị trí M
1
, ta nói điểm M
đã thay đổi vị trí. Sự thay đổi vị trí của điểm khi vật
bị biến dạng được gọi là chuyển vị của điểm. Chúng
ta kí hiệu hình chiếu của đoạn MM
1
lên các trục toạ
độ là u, v, w. Trong đó, u, v, w được gọi là các thành phần của chuyển vị.
Vì chuyển vị là sự dịch chuyển từ điểm này đến điểm khác nên các thành phần chuyển vị
cũng là hàm số của toạ độ.
{}
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
=
)z,y,x(w
)z,y,x(v
)z,y,x(u
U
(1-12)
1.2.2 Biến dạng
Một vật thể khi chịu lực thì hình dạng, kích thước hoặc cả hình dạng và kích thước của nó
bị thay đổi. Nếu sự thay đổi này mà không gây ra sự thay đổi khối lượng của vật thì gọi là biến
dạng của vật.
Tách ra một phân tố hình hộp có các cạnh là dx, dy, dz bao quanh một điểm nào đó từ một
vật thể đàn hồi cân bằng như trên hình 1-7a. Khi biến dạng, các cạnh của phân
tố bị co hoặc dãn,
còn các góc vuông sẽ bị méo đi. Nếu các cạnh của phân tố là dx, dy, dz thì sau biến dạng nó sẽ là
dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz, và như vậy biến dạng dài theo các phương x, y, z lần lượt sẽ là:
dx
dx
x
Δ
=
ε
;
dy
dy
y
Δ
=
ε

;
d
z
d
z
z
Δ
=
ε

còn các biến dạng góc giữa các cạnh dx - dy, dy - dz, dz - dx lần lượt là:

zxyzxy
γ
γ
γ
;;




Hình 1-6
x
y
z
M
M
1
v
u

w
x
y
dx
dy
dz
dy
dx
y
u
v
dy
dx
C
1
C

A

B

A
1
B
1
dy
y
u
u
∂

∂
+
dy
y
v
v
∂
∂
+
dx
x
v
v
∂
∂
+
dx
x
u
u
∂
∂
+

β
α

A
B
C







Như vậy có 6 thành phần biến dạng:
{}
[
]
T
zxyzxyzyx
γγγεεεε
=
Giữa biến dạng và chuyển vị có mối liên hệ với nhau. Ta hãy tìm mối liên hệ này. Trước hết
ta xét hình chiếu của phân tố trên mặt phẳng xoy. Hình ABC sau biến dạng sẽ thành hình A
1
B
1
C
1

như trên hình 1-7b.
Điểm A (x, y) sau biến dạng sẽ tới điểm A
1
và đã thực hiện các chuyển vị là u, v.
Điểm B (x + dx,y) sau biến dạng sẽ tới điểm B
1
và đã thực hiện các chuyển vị:


dx
x
u
uxduu
∂
∂
+=+ )(
, dx
x
v
vxdvv
∂
∂
+=+ )(
Điểm C (x, y + dy) sau biến dạng sẽ tới điểm C
1
và đã thực hiện các chuyển vị:

dy
y
u
uyduu
∂
∂
+=+ )( , dy
y
v
vydvv
∂
∂

+=+ )(
Như vậy cạnh AB dài dx sau biến dạng sẽ có chiều dài là dx + Δdx, và
dx
x
u
uxduudx
∂
∂
=−+=Δ )(
Do đó:
x
u
dx
dx
x
∂
∂
=
Δ
=
ε

Làm tương tự với cạnh AC được:
y
v
dy
dy
y
∂
∂

=
Δ
=
ε

Biến dạng góc:
x
v
y
u
dx
dx
x
v
v
dy
udy
y
u
u
tgtg
xy
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂

+
+
−
∂
∂
+
=+=+=
βαβαγ

Làm tương tự với các thành phần biến dạng khác ta được mối liên hệ giữa biến dạng và
chuyển vị, đó cũng chính là các phương trình hình học Cauchy:
x
u
x
∂
∂
=
ε

y
v
y
∂
∂
=ε
z
w
z
∂
∂

=ε
y
u
x
v
xy
∂
∂
+
∂
∂
=γ

z
v
y
w
yz
∂
∂
+
∂
∂
=γ

x
w
z
u
zx

∂
∂
+
∂
∂
=γ (1-13)
Hay viết dưới dạng ma trận:
ε = AU (1-13)’
Với ε là véc tơ biến dạng, A là ma trận các toán tử vi phân, U là véc tơ chuyển vị như sau:
ε =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

γ
γ
γ
ε
ε
ε
zx
yz
xy
z
y
x

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=

x
0
z
yz
0
0
xy
z
00
0
y
0
00
x
A
U =
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
w
v
u


1.2.3 Điều kiện tương thích của biến dạng - phương trình Saint Venant
Như trên đã nói, chuyển vị tại một điểm được xác định bằng 3 thành phần: u,v,w; còn
biến dạng thì được xác định bằng 6 thành phần:
zxyzxyzyx
γ
γ
γ
ε
ε
ε
,,,,, . Từ (1-13) thấy rằng:
Nếu biết 3 thành phần chuyển vị u, v, w thì hoàn toàn xác định được 6 thành phần biến dạng
zxyzxyzyx
γ
γ
γ
ε
ε
ε
,,,,,
vì chúng chỉ là các đạo hàm bậc nhất. Tuy nhiên nếu ta biết 6 thành phần
biến dạng mà cần phải xác định 3 thành phần chuyển vị thì nảy sinh một vấn đề là số phương trình
nhiều hơn số ẩn số, như vậy các thành phần biến dạng không thể độc lập với nhau được mà chúng
phải có mối ràng buộc nhất định.
Từ (1-13) suy ra:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
ε∂
2
2
2
x
2
y
u
x
y

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
∂
∂
=
∂

ε∂
yx
v
x
x
2
2
y
2

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
γ∂
yx
v
y
u

xyx
2
2
2
xy
2

Từ hệ phương trình trên suy ra:

yx
xy
xy
2
2
y
2
2
x
2
∂∂
γ∂
=
∂
ε∂
+
∂
ε∂

Làm tương tự ta được:


zy
yz
yz
z
y
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
γ
ε
ε
2
2
2
2
2

xz
zx
zx
2
2
x
2
2

z
2
∂∂
γ∂
=
∂
ε∂
+
∂
ε∂

Và cũng từ (1-13) có:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂∂
∂
∂
∂
=
∂∂
γ∂
zx
v

zy
u
xzx
22
xy
2

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂∂
∂
∂
∂
=
∂
γ∂
yx
w
zx
v
x
x
22

2
yz
2

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂∂
∂
∂
∂
=
∂∂
γ∂
zy
u
yx
w
xyx
22
zx
2

Từ hệ trên suy ra:

zy
2
xzyx
x
2
yzxy
zx
∂∂
ε∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
γ
∂
−
∂
γ
∂
+
∂
γ∂
∂
∂


xz
2
yxzy
y
2
zx
yzxy
∂∂
ε∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
γ∂
−
∂
γ∂
+
∂
γ∂
∂
∂


yx
2
zyxz
z
2
xy
zx
yz
∂∂
ε∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
γ
∂
−
∂
γ∂
+
∂
γ
∂
∂

∂

Như vậy ta được 6 phương trình biểu diễn sự ràng buộc giữa các biến dạng:
yx
xy
xy
2
2
y
2
2
x
2
∂∂
γ
∂
=
∂
ε
∂
+
∂
ε∂

zy
yz
yz
2
2
z

2
2
y
2
∂∂
γ∂
=
∂
ε∂
+
∂
ε∂

xz
zx
zx
2
2
x
2
2
z
2
∂∂
γ∂
=
∂
ε∂
+
∂

ε∂

zy
2
xzyx
x
2
yzxy
zx
∂∂
ε∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
γ
∂
−
∂
γ
∂
+
∂
γ∂

∂
∂
(1-14)
xz
2
yxzy
y
2
zx
yzxy
∂∂
ε∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
γ∂
−
∂
γ∂
+
∂
γ∂
∂

∂

yx
2
zyxz
z
2
xy
zx
yz
∂∂
ε∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
γ
∂
−
∂
γ∂
+
∂
γ

∂
∂
∂

(1-14) biểu diễn điều kiện liên tục về biến dạng được gọi là là phương trình tương thích của
biến dạng.
Ý nghĩa vật lý của phương trình này là: Nếu ta chia một vật thể thành các phân tố hình hộp,
khi vật bị biến dạng thì các phân tố cũng bị biến dạng, nhưng các biến dạng này không phải là tuỳ
ý mà phải ràng buộc với nhau theo (1-14) thì khi ghép chúng lại ta mới được vật thể biến dạng

liên tục, (1-14 ) còn được gọi phương trình liên tục Saint Venant.
1.2.4 Trạng thái biến dạng tại một điểm
Xét một phân tố đoạn thẳng đi qua một điểm trong một vật thể cân bằng. Khi vật thể bị biến
dạng thì phân tố đoạn thẳng này cũng bị biến dạng. Biến dạng này thay đổi tuỳ thuộc vào phương
của đoạn thẳng. Tập hợp tất cả các biến dạng của phân tố đoạn thẳng đi qua một điểm t
heo mọi
phương được gọi là trạng thái biến dạng tại điểm đó.
Cũng giống như trạng thái ứng suất, nếu ta biết tất cả các biến dạng thẳng và biến dạng góc
của 3 phân tố đoạn thẳng vuông góc với nhau đi qua một điểm nào đó trong một vật thể cân bằng
thì hoàn toàn xác định được trạng thái biến dạng tại điểm đó. Cũng giống như trạng thái ứng suất,
trạng thái biến dạng tại một điểm cũng
có các tính chất là: luôn tồn tại ba phương vuông góc nhau
mà theo các phương đó chỉ có biến dạng thẳng chính tác dụng gọi là trục biến dạng chính, v.v
1.3 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. định luật Hooke
Trong Sức bền vật liệu ta đã có quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - đó là định luật Hooke.
Trong trường hợp tổng quát, quan hệ này có dạng:
(
)
[
]

zyxx
E
σσμσε
+−=
1

(
)
[
]
xzyy
E
σσμσε
+−=
1

(
)
[
]
yxzz
E
σσμσε
+−=
1
(1-15)
xyxy
G
1
τ=γ

;
yzyz
G
1
τ=γ
;
zxzx
G
1
τ=γ

Trong đó E là môđun đàn hồi trong kéo (nén) ,
μ
là hệ số biến dạng ngang của vật liệu hay
còn gọi là hệ số Poát-xông, còn G là mô đun đàn hồi trượt.
)1(2
μ
+
=
E
G
(1-16)
Có thể viết lại (1-15 ) dưới dạng quan hệ ứng suất - biến dạng:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
−
+=
eG
xx
μ
μ
εσ
21
2

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+= eG
yy
μ
μ
εσ
21
2
(1-17)

⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+= eG
zz
μ
μ
εσ
21
2


xyxy
Gγ=τ
yzyz
G
γ
=
τ

zxzx
Gγ
=
τ


Trong đó:
zyx
e ε+ε+
ε
= (1-18)
Có thể viết (1-17) dưới dạng:
eG2
xx
λ+ε=σ
eG2
yy
λ+ε=σ

eG2
zz
λ+ε=σ
xyxy
Gγ=τ
yzyz
G
γ
=
τ
(1-19)

zxzx
G
γ
=
τ


λ gọi là hằng số Lame’:
()()
μμ
μ
λ
+−
=
121
E
(1-
20)
(1-19) được gọi là định luật Hooke viết dưới dạng công thức Lame’.
Ta cũng có thể viết lại các biểu thức của định luật Hooke dưới dạng ma trận:

{}
[
]
{}
σ=ε
−1
D hay
{
}
[
]
{
}
ε
=

σ
D (1-
21)
Trong đó
{}
ε
là véc tơ biến dạng,
{
}
σ
là véc tơ ứng suất, còn
[
]
D
là ma trận các hằng số đàn hồi:
{}
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
γ
γ
γ
ε
ε
ε
=ε
zx
yz
xy
z
y
x

{}
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪

⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
τ
τ
τ
σ
σ
σ
=σ
zx
yz
xy
z
y
x

[]

()
()( )
()
()
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−−
−+
−
=
μ
μ
θ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μμ
μ
12
21

0
12
21
00
12
21
/
0001
000
1
1
000
11
1
211
1
xd
E
D
(1-22)
1.4 Các phương pháp giải các bài toán đàn hồi
Giải bài toán đàn hồi là nhằm mục đích xác định trường ứng suất, trường biến dạng và trường
chuyển vị trong vật thể đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực. Như vậy ẩn số của bài toán
đàn hồi chính là ứng suất, biến dạng và chuyển vị .
Khi giải bài toán đàn hồi ta gặp các đại lượng và các mối quan hệ giữa chúng như trên sơ đồ
hình 1-8.








Giữa các đại lượng nà
y có quan hệ với nhau nên nếu biết được đại lượng này thì có thể xác
định được đại lượng kia.
Tuỳ cách chọn ẩn số mà ta có các cách giải khác nhau. Nếu chọn ẩn số là ứng suất thì ta có
cách giải theo ứng suất, nếu chọn ẩn số là chuyển vị thì ta có cách giải theo chuyển vị, còn nếu
chọn ẩn số vừa là một số thành phần ứng suất vừa là
một số thành phần chuyển vị thì ta có cách
giải hỗn hợp.
Nghiệm của bài toán phải vừa thoả mãn phương trình cân bằng lại vừa phải thoả mãn điều
kiện liên tục về biến dạng và các điều kiện biên. Tuỳ theo cách giải mà điều kiện biên có thể là tải
trọng trên biên hoặc chuyển vị trên miền biên nào đó, hoặc cũng có thể vừa là tải t
rọng trên miền
biên này vừa là chuyển vị trên miền biên khác.
1.4.1 Cách giải theo ứng suất - hệ phương trình Beltrami - Michell
Khi giải theo ứng suất, ta chọn ẩn số là 6 thành phần ứng suất:
zxyzxyzyx
τ
τ
τ
σ
σ
σ
,,,,,
Các ẩn trên cần phải thoả mãn các phương trình cân bằng (1-2) và các phương trình liên tục
(1-14). Để phù hợp với ẩn số là ứng suất, ta phải viết lại (1-14) dưới dạng ứng suất bằng cách đặt
biểu thức của định luật Hooke (1-15) vào (1-14) và sau một số biến đổi được:
Ngoại lực

Ứng suất
Chuyển vị
Biến dạng
Phương trình cân bằng Phương trình hình học
Phương trình vật lý
Hình 1-8
đx
x
X
z
Z
y
Y
x
X
x
J
x
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
−
−=
∂
∂
+
+∇ 2
11
1
2
2
2
μ
μ
μ
σ

y
Y
z
Z
y
Y
x
X
y

J
y
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
−=
∂
∂
+
+∇ 2
11
1
2
2
2

μ
μ
μ
σ

z
Z
z
Z
y
Y
x
X
z
J
z
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂

+
∂
∂
−
−=
∂
∂
+
+∇ 2
11
1
2
2
2
μ
μ
μ
σ

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂

−=
∂∂
∂
+
+∇
y
X
x
Y
yx
J
xy
2
2
1
1
μ
τ
(1-23)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂

−=
∂∂
∂
+
+∇
z
Y
y
Z
zy
J
yz
2
2
1
1
μ
τ

(
)
x
Z
z
X
xz
J
zx
∂
∂

+
∂
∂
−=
∂∂
∂
+
+∇
2
2
1
1
μ
τ


Trong đó toán tử Laplace:
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+

∂
∂
=∇
và
zyx
J
σ
σ
σ
+
+
=
Còn X, Y, Z là các thành phần hình chiếu lên các trục toạ độ của véc tơ lực thể tích. (1-23)
được gọi là hệ phương trình Beltrami - Michell .
Xét trường hợp các thành phần của lực thể tích X, Y, Z bằng hằng số thì từ 3 phương trình
đầu của (1-23) ta được:
∇
2
J = 0 (1-24)
Như vậy J chính là hàm điều hoà.
Các nghiệm trên ngoài việc phải thoả mãn các phương trình cân bằng còn phải thoả mãn
điều kiện biên (1-5):
1.4.2 Cách giải theo chuyển vị - hệ phương trình Lame’
Khi giải theo chuyển vị, ta chọn 3 thành phần chuyển vị: u, v, w làm ẩn số. Các ẩn này cần
thoả mãn 3 phương trình cân bằng và điều kiện biên. Để giải theo chuyển vị, ta viết các phương
trình cân bằng (1-2) theo chuyển vị . Đặt (1-19) và (1-13) vào (1-2) ta được:
()
0XuG
x
e

G
2
=+∇+
∂
∂
+λ
()
0YvG
y
e
G
2
=+∇+
∂
∂
+λ (1-25)
()
0ZwG
z
e
G
2
=+∇+
∂
∂
+λ
(1-25) được gọi là phương trình Lame’.
Viết lại điều kiện biên (1-5) dưới dạng chuyển vị: Cũng đặt (1-19) và (1-13) vào (1-5) được:
(
)

n
x
w
m
x
v
x
u
Gn
z
u
m
y
u
x
u
GeX
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+λ=
lll
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+λ=
n
y
w
m
y
v
y
u
Gn
z
v
m
y
v
x
v
GeY

V
lll (1-26)
(
)
n
z
w
m
z
v
z
u
Gn
z
w
m
y
w
x
w
GeZ
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+λ=
lll
Ta hãy xem xét cách giải theo ứng suất. Có rất nhiều con đường để xác định nghiệm của bài
toán. Nếu biết trước tải trọng, ta có thể giải trực tiếp hệ phương trình vi phân cân bằng (1-2) (tất
nhiên phải kết hợp với phương trình tương thích (1-23) ) để xác định 6 thành phần ứng suất, rồi
buộc các thành phần ứng suất này phải thoả mãn điều kiện biên (1-5). Cách giải này gọi là cách
giải thuận.
Cũng có
thể giả định trước các biểu thức ứng suất (hoặc chuyển vị nếu giải theo chuyển vị),
rồi kiểm tra xem chúng có thoả mãn điều kiện cân bằng (1-2), điều kiện biên (1-5) và điều kiện
tương thích của biến dạng (1-23). Cách giải này được gọi là cách giải ngược.
Phương pháp giải thuận gặp những khó khăn về toán khi giải hệ phương trình vi phân đạo
hàm
riêng nên giải được rất ít bài toán. Phương pháp giải ngược lại rất cồng kềnh vì phải giả thiết
rất nhiều lần mới ra nghiệm của bài toán. Để khắc phục các nhược điểm của hai phương pháp trên

người ta giả định trước hàm ứng suất (hoặc hàm chuyển vị nếu giải theo chuyển vị) dưới dạng
một hàm số nào đó nhưng chưa phải ở dạng tườn
g minh mà còn chứa một số đại lượng chưa biết.
Sau khi buộc các nghiệm này phải thoả mãn các phương trình cơ bản: Phương trình cân bằng,
phương trình tương thích và điều kiện biên của bài toán, ta sẽ xác định nốt các đại lượng chưa
biết, do đó xác định được đầy đủ nghiệm của bài toán. Cách giải này được gọi là cách giải nửa
ngược ha
y còn gọi là phương pháp Saint Venant.
Việc tìm nghiệm của các bài toán dưới dạng các hàm số liên tục bằng các phương pháp nói
trên không phải lúc nào cũng thuận tiện, thậm chí nhiều trường hợp không thể làm được. Trong
khi đó lại có thể xác định được giá trị bằng số của các hàm nghiệm tại một số điểm trong vật thể,
từ đó nội suy cho các điểm còn lại. Lời giải đó được gọi là
lời giải số và là lời giải gần đúng.
Phương pháp tìm ra lời giải số được gọi là phương pháp số. Các phương pháp số thường dùng
hiện nay là: Phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp phần
tử biên. Trong chương 4 của cuốn sách này sẽ trình bày nội dung cơ bản của phương pháp phần tử
hữu hạn ứng dụng vào giải các bài toán phân tích ứng
suất.
Bài toán đàn hồi tuy có nhiều cách giải, nhưng nghiệm của nó là duy nhất. Ta hãy chứng
minh điều này. Để chứng minh ta dùng phương pháp phản chứng.
Giả sử bài toán không phải có nghiệm duy nhất mà có 2 nghiệm là S và S’. Ta phải chứng
minh rằng nếu bài toán có nghiệm duy nhất thì S phải bằng S’. Nếu S và S’ đều là nghiệm của bài
toán thì chúng đều phải thoả mãn phương trình cân bằng và điều k
iện biên của bài toán, có
nghĩa là:
CS + P = 0
CS’+ P = 0 (a)
và P
V
= SL

P
V
= S’L (b)
Lần lượt trừ vế với vế của (a) và (b) ta được:
C(S - S’) = 0 và (S - S’)L = 0 (c)
Nhìn vào (c) ta thấy ngay (S - S’) chính là nghiệm (ứng suất) của bài toán: vật thể đàn hồi
không chịu tải trọng, do đó ứng suất này phải bằng 0:
S - S’= 0
Hay S = S’. Đó là điều cần chứng minh.
1.5 Các nguyên lý về công và năng lượng
Phần trên ta đã xét cách giải bài toán đàn hồi từ các phương trình vi phân cân bằng (1-2).
Tuy nhiên ta cũng có thể giải các bài toán này dựa trên nguyên lý về công và năng lượng. Các
nguyên lý này là cơ sở cho nhiều phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn, phương
pháp phần tử biên.
1.5.1 Các nguyên lý công khả dĩ
Xét một vật thể đàn hồi có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tải trọng là:
+ Lực thể tích: P =
{}
T
ZYX
+ Lực bề mặt trên mặt S
P
:
{
}
T
vvvv
ZYXP =

Vật ở trạng thái cân bằng nên trong vật thể xuất hiện hệ ứng suất:


{}
T
zxyzxyzyx
τττσσσσ
= (1-27)
Với các điều kiện ràng buộc trên biên S
U
có chuyển vị:
{}
T
wvuU =
Chú ý rằng S
P
và S
U
không cắt nhau, có nghĩa là: S = S
P
+ S
U
.
Giả sử tương ứng với các ngoại lực có hệ chuyển vị khả dĩ:

{}
T
wvuU
δδδδ
=
(1-28)
Và tương ứng với các nội lực có hệ các biến dạng khả dĩ


{}
T
zxyzxyzyx
δγδγδγδεδεδεδε
= (1-29)
Khi thỏa mãn các điều kiện ràng buộc trên biên S
U
, tức là trên biên này phải có:
0U =δ (1-30)
Thì biểu thức biểu diễn của nguyên lý công khả dĩ là:
()
∫∫∫
+++++
V
zxzxyzyzxyxyzzyyxx
dV
δγτδγτδγτδεσδεσδεσ

-
()
(
)
∫∫∫ ∫∫
=
δ
+
δ
+
δ

−
δ+δ
+
δ
V
P
S
VVV
0dSwZvYuXdvwZvYuX
(1-31)
hay viết dưới dạng ma trận:
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
=δ−δ−σδε
VVS
V
TTT
P
0dSpupdVudV (1-32)
Trong công thức (1-31), số hạng đầu biểu thị công khả dĩ của nội lực, còn 2 số hạng sau
biểu thị công khả dĩ của ngoại lực. Như vậy với một vật thể cân bằng, khi có chuyển vị khả dĩ như
(1-28) và (1-29) thì tổng công khả dĩ của nội lực và ngoại lực phải bằng không. Đây chính là
nguyên lý công khả dĩ.
Ngoài nguyên lý công khả dĩ, còn có nguyên lý công bù khả dĩ. Xét một vật thể cân bằng

chịu tác dụng của các tải trọng và có trường biến dạng tương thích
zxyzxyzyx
γ
γ
γ
ε

ε
ε
,,,,,
thỏa
mãn các ràng buộc như đã mô tả ở trên. Giả sử có một trường lực khả dĩ:

{}
T
vvvv
ZYXP
δδδδ
= (1-33)
Và tương úng có hệ các ứng suất khả dĩ:
{}
T
zxyzxyzyx
δτδτδτδσδσδσδσ
= (1-34)
Thì biểu thức biểu diễn nguyên lý công bù khả dĩ:
()
∫∫∫
+++++
V
zxzxyzyzxyxyzzyyxx
dV
δτγδτγδτγδσεδσεδσε
+
-
(
)

∫∫
=δ+δ+δ
U
S
VVV
0dSZwYvXu (1-35)
Các nguyên lý công khả dĩ và nguyên lý công bù khả dĩ (1-31) và (1-35) có thể áp dụng đối
với mọi vật rắn biến dạng.
Công sinh ra do lực có thật thực hiện trên những chuyển dời tưởng tượng gọi là công khả dĩ,
còn công sinh ra do lực có tưởng tượng thực hiện trên những chuyển dời có thật gọi là công bù
khả dĩ. Chuyển vị mà ta tưởng tượng ra gọi là chuyển vị khả dĩ, còn lực tưởng
tượng gọi là lực khả
dĩ. Như vậy, trong công khả dĩ, giữa lực và đường đi không liên quan gì với nhau, nên có thể áp
dụng nguyên lý cộng tác dụng khi tính công khả dĩ. Đối với vật rắn biến dạng, ngoài công khả dĩ
ngoại lực còn có công khả dĩ nội lực, là công sinh ra do hệ nội lực ( ứng suất ) thực hiện trên các
biến dạng khả dĩ tương ứng. Tương tự, công bù khả dĩ nội lực là công sinh ra do hệ nội lực (ứng
suất)
khả dĩ thực hiện trên các biến dạng có thật tương ứng.
1.5.2 Thế năng biến dạng
Xét một vật thể cân bằng, trong trường hợp tổng quát, quan hệ ứng suất - biến dạng của
vật thể là phi tuyến như trên hình 1-9.










Hàm thế năng biến dạng là:
W =
∫∫ ∫ ∫∫∫
+++++
z
xy yz
zx
zxzxyzyzxyxyzz
x
y
yyxx
dddddd
ε
γ
γ
γ
γτγτγτεσ
ε
ε
εσεσ
00 0 000
(1-36)
Và hàm thế năng bù:
∫∫∫∫ ∫ ∫
+++++=
z
y
z
xy yz
zx

zxzxyzyzxyxyzzyyxx
ddddddB
σ
σ
σ
τ
τ
τ
τγτγτγσεσεσε
0000 0 0
(1-37)
Lấy đạo hàm các biểu thức trên ta được:
Công thức Green:
Hình 1-9
σ
ε

dσ
d
ε
B
W
O
σ

ε
x
x
W
ε

σ
∂
∂
=
y
y
W
ε
σ
∂
∂
=

z
z
W
ε
σ
∂
∂
=
xy
xy
W
γ
τ
∂
∂
=


yz
yz
W
γ
τ
∂
∂
=

zx
zx
W
γ
τ
∂
∂
= (1-38)
và công thức Castigliano:
x
x
B
σ
ε
∂
∂
=

y
y
B

σ
ε
∂
∂
=

z
z
B
σ
ε
∂
∂
=
xy
xy
B
τ
γ
∂
∂
=

yz
yz
B
τ
γ
∂
∂

=

zx
zx
B
τ
γ
∂
∂
= (1-39)
Nếu quan hệ ứng suất -biến dạng là tuyến tính (định luật Hooke) thì từ (1-33) và (1-34) ta có:
W = B =
2
zxzxyzyzxyxyzzyyxx
γ
τ
γ
τ
γ
τ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
+
+
+
++

(1-40)
Hay:
W
()
()
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++++
++
=
22
222
222
2
zxyzxy
zyx
zyx
G
γγγ
εεε
εεελ
ε

(1-41)
()
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂

∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
++
=
2
2
2
2
2 z
w
y
v
x
u
GuW
zyx
εεε
λ
+
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂

∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
2
22
2 x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
vG

(1-42)
Trong đó W(ε) và W(u) lần lượt là hàm của biến dạng và hàm của chuyển vị.
Hàm thế năng bù sẽ là:

()
()
()
(
)
EE
B
xzzyyxzxyzxyzyx
2
12
2
222
2
σσσσσστττνσσσ
σ
−−−+++
+
++
=
(1-43)
B(σ) là hàm của ứng suất.
1.5.3 Các nguyên lý cực tiểu thế năng
a) Nguyên lý cực tiểu thế năng Lagrange:
Xét vật thể cân bằng như đã mô tả trong mục 1. Giả sử vật có chuyển vị khả dĩ vô cùng bé
δu, δv, δw sử dụng công thức Green thì biểu thức công khả dĩ (1-32) sẽ trở thành:
δJ = 0 (1-44)

Trong đó J là phiếm hàm tổng thế năng của hệ (thế năng biến dạng và thế năng của tải trọng):
(
)( )
(
)
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
++−++−=
VV
P
VVV
S
dSwZvYuXdVZwYvXudVuWJ

(1-44) chính là biểu thức của nguyên lý cực tiểu thế năng Lagrange: Khi vật thể ở trạng thái
cân bằng thì phiếm hàm tổng thế năng của nó nhận giá trị dừng.
b/ Nguyên lý cực tiểu thế năng bù Castigliano:
Cũng xét vật thể cân bằng như trên, giả sử vật có trường ứng suất khả dĩ vô cùng bé
zxyzxyzyx
δ
τ
δ
τ
δ
τ
δ
σ
δ
σ
δ
σ

,,,,, . Theo nguyên lý cực tiểu thế năng bù Castigliano ứng với trường
ứng suất khả dĩ này biểu thức công bù khả dĩ (1-35) trở thành:
δU = 0 (1-45)
Trong đó tổng thế năng bù của vật:
()
(
)
∫∫∫ ∫∫
++−σ=
V
U
VVV
S
dSZwYvXudVBU

(1-45) chính là biểu thức của nguyên lý cực tiểu thế năng bù Castigliano: Khi các biến dạng
phù hợp với điều kiện của liên kết của vật phiếm hàm tổng thế năng bù U của vật nhận giá
trị dừng.
c/ Nguyên lý cực tiểu Reissner - Hellinger:
Nếu vật thể mà hàm chuyển vị thoả mãn điều kiện ràng buộc trên phần biên S
U
, còn hàm
ứng suất lại thoả mãn các điều kiện biên trên phần biên S
P
thì phiếm hàm R sẽ đạt giá trị dừng:
δR = 0 (1-46)
Trong đó:
()( )
+
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
∫∫∫
dVZwYvXuB
x
w
z
u

y
v
x
u
R
V
zxyx
στσσ

()
(
)
(
)
(
)
[
]
∫∫ ∫∫
−+−+−−++
PP
VVVVVV
SS
dSZwwYvvXuudSwZvYuX

















y
z
y
x
X
Y
X
V
Y
v

t
CHƯƠNG 2
BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ VUÔNG GÓC
2.1 Các loại bài toán phẳng
Bài toán phẳng là bài toán về trạng thái ứng suất - biến dạng mà trong đó các đại lượng
nghiên cứu hoặc là ứng suất, hoặc là biến dạng chỉ phụ thuộc hai biến x,y trong hệ tọa độ oxyz.
Trong Lý thuyết đàn hồi ứng dụng người ta phân biệt ra hai loại bài toán phẳng là: Bài toán ứng
suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng.
2.1.1 Bài toán ứng suất phẳng

Bài toán ứng suất phẳng là bài toán mà ứng suất trên tất
cả các mặt song song với mặt xoy bằng không (σ
z
= τ
zy
= τ
zx
= 0).
Xét một vật thể hình lăng trụ có bề dầy t rất nhỏ so với kích
thước của 2 mặt đáy. Vật chỉ chịu lực trên biên, có phương
vuông góc với trục của lăng trụ và phân bố đều trên bề dầy
t còn 2 đáy không chịu tải trọng như trên hình 2-1. Chọn hệ
trục toạ độ Oxyz sao cho mặt phẳng xy song song với mặt
phẳng đáy (xem hình 2-1). Lúc này trên hai mặt phẳng đáy

có các ứng suất: σ
z
= 0, τ
zy
= τ
zx
= 0, vì bề dày t rất bé nên
sự thay đổi của ứng suất theo bề dầy là không đáng kể nên
ta có thể coi các thành phần trên cũng đúng với mọi điểm
trên vật, các ứng suất còn lại chỉ phụ thuộc vào toạ độ x, y
và không phụ thuộc toạ độ z.

σ
x
= σ

x
(x,y) σ
y
= σ
y
(x,y) τ
xy
= τ
xy
(x,y) (2-1)

Trong trường hợp này σ
z
= 0 nhưng biến dạng ε
z
≠ 0, dẫn đến chuyển vị theo phương z cũng
khác không (w ≠ 0) và biến dạng này chỉ phụ thuộc vào hai biến x, y. Do chỉ có ứng suất thỏa mãn
định nghĩa bài toán phẳng nên gọi là bài toán ứng suất phẳng
Thật vậy, theo định luật Hooke ta có:

(
)
[
]
yxzz
E
σσμσε
+−=
1


Do σ
z
= 0 nên:
(
)
yxz
E
σσ
μ
ε
+−= (2-2)
2.1.2 Bài toán biến dạng phẳng
Bài toán biến dạng phẳng là bài toán mà chuyển vị của tất cả các điểm của vật theo phương
song song với một mặt phẳng (xoy) bằng không ( u= u(x,y), v= v(x,y), w= 0).
Nếu vật thể được xét cũng như trường hợp 1 (hình 2-2), nhưng với điều kiện là 2 đáy của
lăng trụ không được biến dạng tự do mà được giữ sao cho không có chuyển vị theo phương z
(w=0), và
0=
z
ε
; còn các thành phần biến dạng còn lại chỉ phụ thuộc vào tọa độ x, y:
()
yx
xx
,
ε
ε
=

(

)
yx
yy
,
ε
ε
=

(
)
yx
xyxy
,
γ
γ
=


(2-3)

Do
(
)
[
]
0
1
=+−=
yxzz
E

σσμσε

nên
),()( yx
zyxz
σ
σ
σ
μ
σ
=
+
=
(2-4)
Trong trường hợp này các biến dạng và chuyển vị chỉ xảy ra trong mặt phẳng x, y, nên ta
có bài toán biến dạng phẳng.
Hình 2-1