1
Bài 2
Đường thẳng
Đồ họa kỹ thuật
2
I- Đồ thức của một đường thẳng
Vì một đường thẳng đươc xác định bởi
hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một
đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt
thuộc đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;
- l
1
đi qua A
1
B
1
gọi là hình chiếu đứng
của đường thẳng l
- l
2
đi qua A
2
B
2
gọi là hình chiếu bằng
của đường thẳng l
Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng
A
1
B

1
l
1
l
2
B
2
A
2
)B,B(B
)A,A(A
B AAB
21
21
≠∈
,l
B
A
1
B
2
Π
1
Π
2
A
x
A
2
B

1
l
1
l
2
l
Chú ý: Nếu từ hình chiếu l
1
và l
2
của đường
thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất
trong không gian thì đồ thức đường thẳng có
tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần
cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l
3
II- Các đường thẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)
1- Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)
a) Đường bằng
* Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П
2
.
B
A
1
Π
1
A
x
B

1
B
2
x
A
1
B
1
h
1
h
A
2
h
1
h
2
α
α
* Tính chất :
- Hình chiếu đứng h
1
//x
- Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A
2
B
2
=AB
- Góc h
2

,x = h, П
1
= α
Hình 2.2. Đường bằng
Π
2
A
2
h
2
α
B
2
4
b) Đường mặt
* Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П
1
.
Ví dụ: CD// П
1
* Tính chất :
- Hình chiếu bằng f
2
//x
- Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C
1
D
1
=CD
- Góc f

1
,x = f, П
2
= β

Hình 2.3. Đường mặt
D
C
1
Π
1
x
D
1
D
2
x
C
1
D
1
f
1
f
C
2
f
1
f
2

β
Π
2
C
2
f
2
β
D
2
β
C
5
c) Đường cạnh
* Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П
3
.
* Tính chất :
- p
1
và p
2
cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x
- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E
3
F
3
=EF
- Góc p
3

,z = p, П
1
= α
- Góc p
3
,y = p, П
2
= β

Hình 2.4. Đường cạnh
A
2
Π
2
x
E
F
2
F
1
F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y

O
F
α
β
x
F
2
E
3
z
y
F
3
E
1
y
p
1
p
p
2
E
2
E
1
A
x
O
F
1

p
1
p
2
E
2
α
β
p
3
p
3
α
β
6
Hình 2.4. Đường cạnh
A
2
x
F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y
O

F
α
β
x
F
2
E
3
z
y
F
3
E
1
y
A
x
O
F
1
p
1
p
2
E2
1
α
β
p
3

p
3
Π
2
E
F
2
F
1
p
1
p
p
2
E
2
E
1
Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p
1
, p
2
ta không xác định được đường
thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.
Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất.
(Hình 2.4)
7
xBA 22
⊥
2- Các đường thẳng chiếu (là các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)

a) Đường thẳng chiếu đứng
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П
1
.
Ví dụ:
B
A
1
Π
1
A
x
≡ B
1
B
2
x
A
1
=B
1
A
2
* Tính chất :
- Hình chiếu đứng của AB là một điểm A
1
≡ B
1
- Hình chiếu bằng
- A

2
B
2
=AB
Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng
Π
2
A
2
B
2
xBA
22
⊥
1
AB ∏⊥
8
xDC 11
⊥
2
CD ∏⊥
b) Đường thẳng chiếu bằng
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П
2
.
Ví dụ:
D
C
1
Π

1
C
x
≡D
2
D
1
x
C
2
D
1
C
1
* Tính chất :
- Hình chiếu bằng của CD là một điểm C
2
≡ D
2
- Hình chiếu đứng
- C
1
D
1
=CD
Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng
Π
2
C
2

≡D
2
xDC
11
⊥
9
c) Đường thẳng chiếu cạnh
* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П
3
.
* Tính chất :
- Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E
3
≡

F
3
- E
2
F
2
//E
1
F
1
//x
- E
1
F
1

=E
2
F
2
=EF
Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh
Π
2
x
E
F
2
F
1
≡F
3
E
3
Π
1
Π
3
z
y
O
F
x
F
2
E

3
z
y
≡F
3
E
1
E
2
E
1
O
F
1
E
2
10
III- Điểm thuộc đường thẳng
1- Đường thẳng đã cho không phải là đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh
là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu
bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.
Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng
A
1
l
1
l
2
A

2
A
1
Π
1
Π
2
A
x
A
2
l
1
l
2
l
x



∈
∈
⇔



∏
∈
22
11

3
A
A
)//(
A
l
l
l
l
11
* Áp dụng: Tìm trên đường thẳng a (a
1
,a
2
) một điểm K sao cho K có độ cao
bằng hai lần độ xa.(Hình 2.10)
Hình 2.9. Tìm trên a điểm K có độ cao
bằng 2 lần độ xa.
K
1
a
1
a
2
K
2
x
a’
1
≡ a’

2
Giải:
-
Lấy một điểm I sao cho điểm I
có độ cao bằng độ xa = 0 và I
2

thuộc a2. => Ta có I ≡ I
1
≡

I
2
= a
2
∩x.
-
Lấy điểm J sao cho J
2
∈ a
2
và
J có độ cao bằng hai lần độ xa.
-
Xét đường thẳng a’ có a’
1
đi
qua I
1
J

1
và a’
2
≡ a
2
.
Ta có K
1
≡ a’
1
∩ a
1
.
Từ K
1
suy ra K
2
.
K là điểm cần tìm.
I ≡ I
1
≡ I
2
J
2
J
1
12
PQIQPI
PQIQPI

333
333
∉⇔∉
∈⇔∈
2- Đường thẳng đã cho là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện
Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)
Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:
Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh
y
x
Q
2
P
3
z
y
Q
3
P
1
O
P
2



∈
∈
222

111
QPI
QPI
I
1
I
3
I
2
Q
1
13
PQI
QI
PI
QI
PI
PQI
QI
PI
QI
PI
22
22
11
11
22
22
11
11

∉⇔≠
∈⇔=
Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
Nếu:
Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh
- Qua P
1
kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với
P
1
Q
1
một góc α tùy ý (nên lấy α<90
o
).
- Trên t lấy:
- Vẽ


22
221
QPQI
IPIP
=
=
I
Q
x
Q
2

P
1
P
2
I
1
I
2
I’
1
Q
1
t
α
11
Q Q//I' I
PQI
∉⇔
- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau
11
I'I ≠
PQI∈⇔
- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau
11
I'I ≡
14
IV- Vết của đường thẳng
Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu
(Hình 2.12)
- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П

1
⇒ M
1
∈l
1
, M
2
∈x
- Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П
2
⇒ N
1
∈x

, N
2
∈l
2
Hình 2.12. Vết của đường thẳng
N
1
M
2
Π
1
Π
2
x
N
2

M
1
l
1
l
2
l
N
1
l
1
l
2
x
M
1
N
2
M
2
15
Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l
1
,l
2
) được cho như trên đồ thức và
xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13)
Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng
Giải:
* Tìm vết M, N của đường thẳng l:

M
2
∈x ⇒ M
2
≡ l
2
∩x ⇒ M
1
∈l
1
N
1
∈x ⇒ N
1
≡ l
1
∩x ⇒ N
2
∈l
2
* Xét l đi qua góc phần tư nào?
- Xét A∈MN: A có độ cao dương, độ xa âm
⇒ A thuộc góc phần tư thứ II
⇒ l đi qua góc phần tư thứ II.
- Xét B∈MN: B có độ cao âm, độ xa âm;
⇒ B thuộc góc phần tư thứ III
⇒ l đi qua góc phần tư thứ III
- Xét C∈MN : C có độ cao dương, độ xa dương;
⇒ C thuộc góc phần tư thứ I
⇒ l đi qua góc phần tư thứ I.

Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III
N
1
l
1
l
2
x
M
1
N
2
M
2
B
1
B
2
Góc(I)
Góc (II)
Góc (III)
A
2
A
1
C
2
C
1
16

V- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
1- Hai đường thẳng cắt nhau
a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng
không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức:
các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình
chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng
nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14)
Hình 2.14. Hai đường thẳng không
phải là đường cạnh cắt nhau
I
1
a
1
a
2
I
2
x
b
1
b
2





⊥
≡

≡
⇔



∏
≡
xII
Iba
Iba
)//b,a(
Iba
21
222
111
3



17
b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và
đường thẳng l thỏa mãn:
l
1
∩P
1
Q
1
≡ I

1
l
2
∩P
2
Q
2
≡ I
2
Xét xem l và PQ có cắt nhau không?
(Hình 2.15)
Giải:
Ta có: I∈l ⇒ PQ∩l ⇔ I∈PQ
Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay
không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường
cạnh đã xét ở trên
Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau
(một trong hai đường thẳng là đường cạnh)
I
x
Q
2
P
1
P
2
I
1
I
2

I’
1
Q
1
t
Q
α
l
1
l
2
18



⇔



∏
22
11
3
b//a
b//a
)//b,a(
b//a
2- Hai đường thẳng song song
a) Định nghĩa:
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng

cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm
chung nào.
b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên
đồ thức
* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không
phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ
thức các hình chiếu đứng của chúng song song và
các hình chiếu bằng của chúng cũng song song.
(Hình 2.16)
Hình 2.16. Hai đường thẳng song
song không phải là đường cạnh
a
1
a
2
x
b
1
b
2
19
* Cả hai đường thẳng là đường cạnh
Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường
cạnh RS. Ta có: P
1
Q
1
//R
1

S
1
P
2
Q
2
//R
2
S
2
Xét xem PQ có song song với RS không?
(Hình 2.17)
Giải:
- Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh.
Nếu:
- Cách 2: Dùng định nghĩa.
Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không?

Hình 2.17. Xét xem hai đường cạnh có
song song hay không?
RS//PQ
xII
IRQSP
IRQSP
21
22222
11111
⇔






⊥
≡
≡


RS//PQSR//QP
3333
⇒
x
Q
2
P
1
P
2
I
1
I
2
Q
1
S
2
R
2
S
1

R
1
20
3- Hai đường thẳng chéo nhau
a) Định nghĩa
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường
thẳng không thuộc một mặt phẳng và không có
điểm chung nào.
b) Điều kiện hai đường thẳng chéo nhau trên
đồ thức (Hình 2.18)
Hình 2.18. Hai đường thẳng chéo nhau
K
1
a
1
a
2
I
2
x
b
1
b
2





⊥/

≡
≡
⇔
xIK
Iba
Kba
nhau chéo b vàa
21
222
1
11


21
c) Khái niệm cặp điểm đồng tia chiếu (Hình 2.19)
*Cặp điểm đồng tia chiếu bằng
- Cặp điểm I
a
(I
1
a
,I
2
a
) ; I
b
(I
1
b
,I

2
b
) gọi là cặp điểm
đồng tia chiếu bằng.
- I
1
a
cao hơn I
1
b
nên: I
2
a
thấy, I
2
b
khuất.

*Cặp điểm đồng tia chiếu đứng
-Cặp điểm K
a
(K
1
a
,K
2
a
); K
b
(K

1
b
,K
2
b
) gọi là cặp
điểm đồng tia chiếu đứng.
- K
2
a
xa hơn K
2
b
nên: K
1
a
thấy, K
1
b
khuất.
Hình 2.19.
Các cặp điểm đồng tia chiếu
b
2
a
2
II
≡
b
1

a
2
x
a
1
b
2
b
1
I
b
1
a
1
KK
≡
a
2
K
b
2
K





∈
∈
⇒≡

1
b
1
1
a
1
b
2
a
2
bI
aI
II





∈
∈
⇒≡
2
b
2
2
a
2
b
1
a

1
bK
aK
KK
a
1
I
22
VI- Hai đường thẳng vuông góc
1- Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu
thành một góc vuông (Hình 2.20)
- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình
chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П.
- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa
mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:
Hình 2.20. Định lý về điều kiện một
góc vuông được chiếu thành một
góc vuông
∏∏⊥/
°=
°=
Oy// ,Ox 3)
90y'O' x'2)
90 xOy)1
O’
y’
O
x’
x
y

a)
П
23
2- Chuyển sang đồ thức
- Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì
một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt,
đường cạnh)
Hình 2.21. Ví dụ 1
I
1
a
1
a
2
I
2
x
h
1
h
2
I
1
b
1
b
2
I
2
x

f
1
f
2
Hình 2.22. Ví dụ 2
Ví dụ 1: (Hình 2.21)
Ví dụ 2: (Hình 2.22)
°=⇔



∏
°=
90hIa
//h
90aIh
222
2
°=⇔



∏
°=
90fKb
//f
90bKf
111
1
24

Hình 2.23. Ví dụ 3
a
1
a
2
x
h
1
h
2
b
1
b
2
x
f
1
f
2
Hình 2.24. Ví dụ 4
Ví dụ 3: (Hình 2.23)
(a và h chéo nhau)
Ví dụ 4: (Hình 2.24)
(b và f chéo nhau)
22
2
ha
//h
ha
⊥⇔




∏
⊥
11
1
fb
//f
fb
⊥⇔



∏
⊥
25
B
Hình 2.25. Xác định độ dài thật và
góc nghiêng của AB so với П
2
B
A
1
Π
1
x
B
1
Δz

α
Π
2
A
2
B
2
A
A
1
B
1
B
2
x
A
2
Δz
Δz
α
B
VII- Độ dài thật và góc nghiêng của một đoạn
thẳng đối với các mặt phẳng hình chiếu.
Bài toán: Cho đồ thức của đoạn thẳng AB
Hãy xác định độ dài thật đoạn thẳng AB và góc nghiêng
đoạn thẳng AB đối với mặt phẳng П
1
, П
2
.

Giải:
* Xác định độ dài thật và góc nghiêng của AB với П
2
(Hình 2.25).
- Trong không gian: kẻ AB//A
2
B
2
Xét ∆ vuông ABB có:
+ Một cạnh góc vuông AB = A
2
B
2
+ Một cạnh góc vuông BB = BB
2
-AA
2
= B
1
B
x
-A
1
A
x
= ∆z
(∆z được gọi là hiệu độ cao)
+Cạnh huyền AB là độ dài thật
+ α :góc đối diện hiệu độ cao là góc tạo bởi AB và mặt
phẳng hình chiếu bằng П

2
- Trên đồ thức: Dựng ∆ vuông A
2
B
2
B
*
sao cho:
A
2
B
2
⊥B
2
B
*

B
2
B
*
= ∆z
Ta có: A
2
B
*
=AB là độ dài thật
B
2
A

2
B
*
= AB, П
2
= α
B
*
Đ
D
T
:

A
B
A
x
B
x
A
x
B
x