1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Trương Tích Thiện





LÝ THUYẾT DẺO KỸ THUẬT














NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TP HỒ CHÍ MINH - 2007

2

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 7
KÝ HIỆU 9
Chương 1 GIỚI THIỆU 11
1.1 Giới thiệu 11
1.2 Ứng xử dẻo trong kéo nén đơn trục 13
1.3 Mô hình ứng xử đơn trục trong chảy dẻo 16
1.4 Ký hiệu chỉ số 30
1.5 Một số ứng dụng của lý thuyết dẻo 43
1.6 Tóm tắt 45
1.7 Bài tập 46
Chương 2 TIÊU CHUẨN CHẢY VÀ TIÊU CHUẨN PHÁ HỦY 51
2.1 Ứng suất 51
2.2 Tiêu chuẩn chảy độc lập với ứng suất thủy tónh 78
2.3 Tiêu chuẩn phá hủy cho các vật liệu phụ thuộc áp lực thủy tónh 92
2.4 Tiêu chuẩn phá hủy/chảy dẻo đối với vật liệu bất đẳng hướng 105
2.5 Tóm tắt 109
2.6 Bài tập 110
Chương 3 CÁC QUAN HỆ ỨNG SUẤT−BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 119
3.1 Biến dạng 119
3.2 Quan hệ ứng suất−biến dạng đàn hồi đẳng hướng tuyến tính.
Đònh luật Hooke 140
3.3 Quan hệ ứng suất−biến dạng đẳng hướng đàn hồi phi tuyến 149
3.4 Nguyên lý công ảo 163
3.5 Đònh đề ổn đònh Drucker 165
3.6 Tính pháp tuyến, tính lồi và mối quan hệ một−một

của vật rắn đàn hồi 168
3.7 Mối quan hệ ứng suất−biến dạng gia số 173
3.8 Tóm tắt 174
3.9 Bài tập 176




3
Chương 4 CÁC QUAN HỆ ỨNG SUẤT−BIẾN DẠNG
ĐỐI VỚI VẬT LIỆU CHẢY DẺO LÝ TƯỞNG 179
4.1 Giới thiệu 179
4.2 Thế năng chảy dẻo và đònh luật chảy 182
4.3 Đònh luật chảy kết hợp với hàm chảy von Mises 183
4.4 Đònh luật chảy kết hợp với hàm chảy Tresca 186
4.5 Đònh luật chảy kết hợp với hàm chảy Mohr
−
Coulomb 190
4.6 Tính trực giao, tính lồi và tính đơn trò đối với
vật rắn đàn−dẻo lý tưởng 192
4.7 Bài toán đàn−dẻo đơn giản: sự giãn nở của hình trụ thành dày 197
4.8 Các quan hệ ứng suất−biến dạng gia số 208
4.9 Mô hình vật liệu Prandtl
−
Reuss (lý thuyết J
2
) 212
4.10 Mô hình vật liệu Drucker
−
Prager 218

4.11 Vật liệu đẳng hướng tổng quát 224
4.12 Bài tập 227
Chương 5 CÁC QUAN HỆ ỨNG SUẤT−BIẾN DẠNG ĐỐI VỚI
CÁC VẬT LIỆU BIẾN CỨNG 232
5.1 Giới thiệu 232
5.2 Lý thuyết biến dạng dẻo 233
5.3 Mặt đặt tải và các quy luật biến cứng 240
5.4 Quy luật chảy dẻo và đònh đề ổn đònh của Drucker 251
5.5 Ứng suất tương đương và biến dạng tương đương 259
5.6 Các thí dụ minh họa 264
5.7 Dạng vi phân của quan hệ ứng suất−biến dạng 271
5.8 Bài tập 287
Chương 6 CHẢY DẺO CỦA KIM LOẠI 294
6.1 Giới thiệu 294
6.2 Sự hình thành ma trận đàn−dẻo 295
6.3 Phương pháp phần tử hữu hạn 298
6.4 Các giải thuật số để giải các phương trình phi tuyến 300
6.5 Phương pháp giải số các quan hệ cơ bản gia số đàn−dẻo 309
6.6 Lý thuyết mặt biên 320
6.7 Sự mở rộng trường hợp bất đẳng hướng 328




4

Chương 7 CHẢY DẺO CỦA BÊ TÔNG 344
7.1 Giới thiệu 344
7.2 Các tiêu chuẩn phá hủy 353
7.3 Mô hình chảy dẻo: ứng xử biến cứng 368

7.4 Mô hình chảy dẻo: ứng xử biến mềm 381
PHỤ LỤC 398
BẢNG DỊCH THUẬT NGỮ 404
BẢNG CHUYỂN ĐỔI ĐƠN VỊ 408
TÀI LIỆU THAM KHẢO 403





















5
LỜI NÓI ĐẦU



Khi ứng suất bên trong vật liệu dẻo vượt quá giới hạn đàn hồi, vật liệu sẽ chuyển
sang vùng biến dạng dẻo không hồi phục. Lúc này ứng suất có quan hệ phi tuyến
với biến dạng và phụ thuộc vào lộ trình (lòch sử) biến dạng. Lý thuyết dẻo mô tả
một sự mở rộng cần thiết của lý thuyết đàn hồi và đề cập đến việc tính toán ứng
suất và biến dạng trong kết cấu biến dạng dẻo. Lý thuyết dẻo cung cấp mối quan
hệ toán học đặc trưng cho sự đáp ứng đàn-dẻo của vật liệu và được cấu thành
bởi ba thành phần: tiêu chuẩn chảy, quy luật chảy và quy luật tái bền.
Giáo trình LÝ THUYẾT DẺO KỸ THUẬT nghiên cứu các cơ sở lý thuyết về ứng
xử phi tuyến phức tạp của vật liệu biến dạng dẻo (tính phi tuyến của vật liệu) và
chi tiết về phương pháp tính số được sử dụng trong lónh vực tính toán cơ học vật
rắn biến dạng phi tuyến.
Lý thuyết dẻo kỹ thuật là môn học chuyên ngành quan trọng cho nhiều môn học
chuyên ngành khác như gia công vật liệu bằng biến dạng dẻo, cơ phá hủy Lý
thuyết này là phần then chốt trong chuỗi các lý thuyết cơ học về biến dạng của
vật rắn: Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết dẻo và Cơ phá hủy. Vì thế, lý thuyết của
môn học này được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán vật rắn biến
dạng trong kỹ thuật.
Giáo trình này không những cung cấp cho các kỹ sư các kiến thức cơ bản cần
thiết của lý thuyết dẻo mà còn có ý đònh cung cấp thêm về phương pháp tính số
để giải các bài toán phi tuyến rất phức tạp của kết cấu biến dạng dẻo. Do tài liệu
này được biên soạn với mục tiêu làm giáo trình chính cho môn học cùng tên của
ngành đào tạo kỹ sư Cơ kỹ thuật, Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia
TP Hồ Chí Minh nên giáo trình cũng chỉ cung cấp các nội dung rất cơ bản của
Lý thuyết dẻo kỹ thuật theo chương trình đào tạo này. Giáo trình được trình bày
trong bảy chương được giảng dạy trong 42 tiết (30 tiết lý thuyết và 12 tiết bài
tập) nên phần giảng dạy trên lớp chỉ tập trung vào các chương 4, 5, 6 và 7. Các
chương còn lại là phần tự đọc của học viên.
Trong quá trình biên soạn giáo trình này, tác giả đã nhận được sự hỗ trợ và góp
ý của GS. TSKH Đào Huy Bích - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc gia Hà Nội, GS. TS Ngô Thành Phong - Trường Đại học Khoa học Tự

nhiên - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, PGS. TS Nguyễn Lương Dũng và các
thầy cô trong Bộ môn Cơ kỹ thuật - Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc
gia TP Hồ Chí Minh. Tác giả chân thành cảm ơn những sự giúp đỡ quý báu này.
Cuối cùng xin trân trọng cảm ơn Nhà Xuất bản Đại học Quốc gia TP Hồ Chí
Minh đã biên tập cuốn sách và tạo mọi điều kiện thuận lợi để cuốn sách được ra
mắt phục vụ bạn đọc.


6

Với sự chủ quan của người viết, giáo trình này không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Chúng tôi rất mong sự đóng góp của quý đồng nghiệp, của các bạn đọc quan
tâm. Mọi đóng góp xin vui lòng chuyển đến:
Bộ môn Cơ kỹ thuật hoặc Phòng Tính toán cơ học
106 B
4
, Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh,
268 Lý Thường Kiệt, P14, Q.10, TP Hồ Chí Minh
Tel : 84-8-8.660.568 hoặc 84-8-8.651.211
Fax : 84-8-8.651.211.

TP Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2007
Tác giả
Trương Tích Thiện



































7
KÝ HIỆU


Ứng suất và biến dạng
σ
1
, σ
2
, σ
3
các ứng suất chính
σ
ij
tenxơ ứng suất
s
ij
tenxơ ứng suất lệch
σ ứng suất pháp
τ ứng suất tiếp
p = (1/3)I
1
áp lực thủy tónh hoặc ứng suất cầu
σ
oct
= (1/3)I
1
ứng suất pháp bát diện
τ
oct
=
2
J

3
2
ứng suất tiếp bát diện
σ
m
= σ
oct
ứng suất pháp trung bình
τ
m
=
2
J
5
2
ứng suất tiếp trung bình
s
1
, s
2
, s
3
các ứng suất lệch chính
ε
1
, ε
2
, ε
3
các biến dạng chính

ε
ij
tenxơ biến dạng
e
ij
tenxơ biến dạng lệch
ε biến dạng pháp
γ biến dạng trượt kỹ thuật
ε
υ
= I’
1
biến dạng thể tích
ε
oct
= (1/3) ’
1
biến dạng pháp bát diện
γ
oct
= 2
,
2
J
3
2
biến dạng trượt kỹ thuật bát diện
e
1
, e

2
, e
3
các biến dạng lệch chính
Các bất biến
I
1
= σ
1
+ σ
2
+ σ
3
= σ
ii
bất biến thứ nhất của tenxơ ứng suất
J
2
= (1/2)s
ij
s
ij
=
(
)
(
)
( )
[
]

2
zx
2
yz
2
xy
2
xz
2
zy
2
yx
6
1
τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ

bất biến thứ hai của tenxơ ứng suất lệch
J
3
= (1/3)s
ij
s
jk
s
ki
= s
ij
 bất biến thứ ba của tenxơ ứng suất lệch



8

cos3θ =
2/3
2
3
J
J
2
33
với θ là góc đồng dạng đònh nghóa trong hình 2.9
I’
1
= ε
1
+ ε
2
+ ε
3
bất biến thứ nhất của tenxơ biến dạng
ρ =
2
J2
chiều dài lệch được đònh nghóa trong hình 2.8
ξ = (1/√3)I
1
chiều dài thủy tónh đònh nghóa trong hình 2.8
J’
2
= (1/2)e

ij
e
ij
=
(
)
(
)
( )
[
]
2
zx
2
yz
2
xy
2
xz
2
zy
2
yx
6
1
ε+ε+ε+ε−ε+ε−ε+ε−ε

bất biến thứ hai của tenxơ biến dạng lệch
Các thông số vật liệu
f’

c
độ bền nén đơn trục (f’
c
> 0)
f’
t
độ bền kéo đơn trục (f’
c
= mf’
t
)
f’
bc
độ bền nén song trục (f’
bc
> 0)
E môđun Young
ν hệ số Poisson
K = E/[3(1 − 2ν) môđun khối
G = E/[2(1 + ν)] môđun trượt
c, φ lực dính kết và góc ma sát trong tiêu chuẩn Mohr
−
Coulomb
α, k các hằng số trong tiêu chuẩn Drucker
−
Prager
k ứng suất chảy (phá hủy) trong trượt thuần túy
Các ký hiệu khác
{} véctơ
[] ma trận

 đònh thức
C
ijk
l
tenxơ độ cứng vật liệu
f() tiêu chuẩn phá hủy hoặc tiêu chuẩn chảy
x, y, z hoặc x
1
, x
2
, x
3
các tọa độ Descartes
δ
ij
ký hiệu Kronecker
W(ε
ij
) mật độ năng lượng biến dạng
Ω(σ
ij
) mật độ năng lượng bù
l
ij
= cos(x’
i
, x
j
) cosine của góc giữa trục x’
i

và x
j



9
C
C
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g


1
1


GIỚI THIỆU
1.1 GIỚI THIỆU
1.1.1 Tầm quan trọng của chảy dẻo trong kết cấu
Việc thiết kế kỹ thuật các kết cấu lớn là một quá trình gồm hai giai đoạn.
Trường nội lực (ứng suất) bên trong vật liệu cấu trúc phải được xác đònh ở giai
đoạn đầu tiên, và giai đoạn thứ hai là xác đònh đáp ứng của vật liệu dưới tác

động của trường ứng suất đó. Giai đoạn một bao gồm một sự phân tích ứng suất
tác động bên trong các phân tố kết cấu; giai đoạn hai liên quan đến các đặc tính
của vật liệu kết cấu. Mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng bên
trong vật liệu lý tưởng hóa đã hình thành cơ sở toán học cho lý thuyết đàn hồi,
lý thuyết này được áp dụng rộng rãi cho những vật liệu thật để đánh giá ứng
suất hoặc biến dạng trong các phân tố kết cấu dưới điều kiện tải làm việc cụ
thể. Các ứng suất này bò giới hạn nhỏ hơn ứng suất cho phép, ứng suất này được
tính như một phần của ứng suất chảy vật liệu. Do đó, một thiết kế an toàn sẽ thu
được không phải do tính toán và sự hiểu biết các đặc tính vật liệu một cách đầy
đủ mà dựa vào kinh nghiệm thu thập được trong vài thập kỷ hay vài thế kỷ.
Một kết cấu thực là một vật thể rất phức tạp với một trạng thái ứng suất cực kỳ
phức tạp. Nhiều ứng suất thứ cấp xuất hiện do chế tạo, lắp ráp và đònh vò chi
tiết. Sự tổ hợp của ứng suất ban đầu chưa biết, các ứng suất thứ cấp, sự tập
trung ứng suất và sự phân bố lại do những sự bất liên tục của kết cấu đã không
tuân theo một tính toán lý tưởng hóa dựa trên lý thuyết đàn hồi. Lý thuyết dẻo
mô tả một sự mở rộng cần thiết của lý thuyết đàn hồi và đề cập đến việc tính
toán ứng suất và biến dạng trong kết cấu biến dạng dẻo cũng như những phạm
vi biến dạng đàn hồi. Nó cung cấp các đánh giá thực tế hơn về các khả năng
mang tải của kết cấu và cung cấp một sự hiểu biết tốt hơn về ứng xử của kết
cấu đối với các lực được gây ra trong vật liệu. Do đó, một sự hiểu biết về vai trò
của các biến số cơ học thích hợp, chúng đònh nghóa sự phản ứng của vật liệu với
lực tác động, là cần thiết cho kỹ sư trong việc thiết kế cấu trúc. Những mối quan


10

hệ ứng suất - biến dạng và các ứng dụng của chúng cho các bài toán kỹ thuật
kết cấu sẽ được bàn luận trong những chương sau. Sự lónh hội kiến thức này
càng nhiều sẽ làm cho bản thiết kế kết cấu càng chính xác và hoàn hảo hơn.
1.1.2 Mục tiêu

Cả hai lý thuyết đàn hồi và lý thuyết dẻo đều là hiện tượng trong tự nhiên.
Chúng là sự chính thức hóa các quan sát thí nghiệm về ứng xử vó mô của vật rắn
biến dạng và không quan tâm sâu sắc đến cơ sở vật lý và hóa học của ứng xử
đó.
Nội dung đầy đủ của lý thuyết và ứng dụng của chảy dẻo là phải xử lý hai khía
cạnh quan trọng như nhau: kỹ thuật tổng quát được dùng trong việc khai triển
các mối quan hệ ứng suất-biến dạng cho những vật liệu đàn-dẻo với sự biến
cứng cũng như biến mềm; và qui trình giải số tổng quát để giải một bài toán kết
cấu đàn-dẻo tổng quát dưới tác động của tải hay chuyển vò cưỡng bức thay đổi
theo qui luật xác đònh.
Nhiệm vụ đầu tiên của lý thuyết dẻo là thiết lập các mối quan hệ giữa ứng suất
và biến dạng dưới trạng thái ứng suất phức tạp để có thể mô tả một cách thỏa
đáng biến dạng dẻo khảo sát được. Đây là nhiệm vụ khó khăn. Tuy nhiên, các
quy luật biến dạng của kim loại, tổng quát, phù hợp tốt với chứng cớ thí nghiệm
đã được thiết lập vững chắc và được dùng thành công trong các ứng dụng kỹ
thuật. Hơn nữa, trong những năm gần đây, các phương pháp chảy dẻo cũng đã
được mở rộng và được ứng dụng để nghiên cứu ứng xử biến dạng của các vật
liệu đòa chất như đá, đất và bê tông. Sự mở rộng của lý thuyết dẻo cho các vật
liệu phi kim loại chắc chắn là vấn đề nghiên cứu tích cực nhất trong lónh vực cơ
học vật liệu hiện nay, và các mô hình vật liệu khác nhau đã được xây dựng.
Nhiệm vụ thứ hai của lý thuyết là xây dựng các kỹ thuật số cho việc thực thi
những mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong tính toán kết cấu. Do bản chất phi
tuyến của các quy luật biến dạng dẻo, các phép giải của các phương trình cơ sở
của cơ học vật rắn chắc chắn sẽ đưa đến những khó khăn đáng kể. Tuy nhiên,
trong những năm gần đây, sự phát triển nhanh chóng của các máy tính tốc độ
cao và các kỹ thuật hiện đại của phương pháp phần tử hữu hạn đã cung cấp cho
kỹ sư một công cụ mạnh mẽ để giải hầu hết các bài toán kết cấu phi tuyến bất
kỳ. Điều này cũng kích thích các phát triển mới hơn và những ứng dụng rộng
hơn của lý thuyết dẻo cổ điển. Hoạt động nghiên cứu trong lónh vực này đã gia
tăng một cách dữ dội trong thập niên cuối.

Tài liệu này cố gắng cung cấp một sự mô tả súc tích về các khái niệm cơ bản


11
của lý thuyết và các tiến triển mới nhất cũng như các thực thi bằng máy tính
của nó.
1.2 ỨNG XỬ DẺO TRONG KÉO NÉN ĐƠN TRỤC
Loại gia tải đơn giản nhất được giới thiệu bởi điều kiện ứng suất đơn trục. Ta
có hai loại thí nghiệm để đạt được điều kiện này: thí nghiệm kéo đơn trục sẽ
cho các ứng suất chính σ
1
> 0, σ
2
= σ
3
= 0, và thí nghiệm nén đơn trục sẽ cho
các ứng suất chính σ
1
= σ
2
= 0, σ
3
< 0. Đồ thò ứng suất-biến dạng đơn trục nổi
tiếng, trong đó ứng suất chính hướng trục σ
1
(hoặc σ
3
) được vẽ theo biến dạng
dài hướng trục ε
1

(hoặc ε
3
) tạo ra một sự mô tả hữu ích ứng xử dẻo cũng như
ứng xử đàn hồi.
1.2.1 Gia tải đều
Hình 1.1a biểu diễn đường cong điển hình cho mẫu kéo đơn trục bằng thép ít
carbon. Miền đàn hồi đầu tiên nói chung xuất hiện như một đường thẳng OA
với điểm A xác đònh giới hạn tỷ lệ. Khi biến dạng tăng thêm, mối quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng không còn tuyến tính nữa nhưng vật liệu vẫn còn đàn
hồi, và theo sự cất tải, mẫu trở lại chiều dài gốc của nó. Điểm ứng suất cực đại
B, ở đó tải có thể được tác động mà không gây ra bất cứ sự biến dạng thường
xuyên nào, xác đònh giới hạn đàn hồi. Điểm B cũng được gọi là điểm chảy, vì
nó biểu thò sự bắt đầu biến dạng dẻo hay biến dạng không hồi phục. Thông
thường, có sự khác nhau nhỏ giữa giới hạn tỉ lệ, A, và giới hạn đàn hồi, B. Thép
ít carbon cho điểm chảy trên B và điểm chảy dưới C. Qua khỏi điểm C, biến
dạng gia tăng trong điều kiện tải hằng. Ứng xử vật liệu trong miền phẳng CD
được xem như chảy dẻo. Tuy nhiên, đối với hầu hết kim loại sẽ không có điểm
chảy nhọn hoặc chảy dẻo được nhận thấy rõ, và ứng suất chảy thường được xác
đònh bởi ứng suất chảy offset, σ
ys
, tương ứng với giá trò 0,1% của biến dạng như
hình 1.1b. Ứng suất chảy qui ước này được xem như ứng suất chảy ban đầu.
Trên điểm chảy, đáp ứng của vật liệu bao gồm cả đàn hồi và chảy dẻo. Độ
dốc của đường cong giảm đều, đơn điệu, và cuối cùng sự phá hủy của mẫu
thử sẽ xảy ra ở điểm E. Vật liệu dẻo như thép ít carbon sẽ chòu biến dạng lớn
mà không bò phá hủy. Mặt khác, gang là vật liệu giòn do nó bò phá hủy sau
biến dạng rất nhỏ. Nói chung, phá hủy của kim loại gồm có hai dạng: dạng
nứt tách như gang và dạng nứt trượt như thép ít carbon. Các đặc trưng phá hủy
của các vật liệu đòa chất thì phức tạp hơn rất nhiều. Chúng cũng phụ thuộc
vào trạng thái tải tác động: thí dụ, bê tông thể hiện ứng xử giòn dưới tác động



12

của tải kéo, nhưng dưới tác động của tải nén, bê tông có thể biểu thò một mức
độ dẻo trước khi bò phá hủy.







Hình 1.1 Biểu đồ ứng suất–biến dạng của thép ít carbon (a)
và của một số kim loại khác
1.2.2 Cất tải và chất tải lại
Bây giờ chúng ta khảo sát thí nghiệm trong đó mẫu đầu tiên được gia tải một
cách đều đặn đến giá trò vượt quá điểm chảy đầu tiên và rồi cất tải hoàn toàn.
Ứng xử này được biểu thò trên hình 1.2. Khi ứng suất được giảm, biến dạng sẽ
giảm theo một đường cất tải gần như đàn hồi AB song song với đường đàn hồi
đầu tiên của đường cong. Khi tải về không ở cuối đường cất tải, biến dạng
không bằng không; vẫn còn biến dạng dư OB. Biến dạng không hồi phục OB
được xem là biến dạng dẻo trong khi biến dạng hồi phục BC là biến dạng đàn
hồi. Bây giờ, nếu mẫu này được gia tải lại, đường cong ứng suất–biến dạng sẽ
theo đường gia tải lại BA, nó trùng với đường cất tải AB. Do đó, vật liệu biến
dạng đàn hồi cho đến khi đạt đến giá trò ứng suất cực đại trước khi cất tải ở
điểm A. Ứng suất σ
A
được xem như là ứng suất chảy tiếp sau, vượt quá ứng suất
này biến dạng dẻo thêm nữa sẽ được gây ra và đường cong ứng suất–biến dạng

lại theo đường cong đối với trường hợp gia tải đơn điệu.
Đối với hầu hết các vật liệu, sau khi đạt đến điểm chảy đầu tiên, đường cong
ứng suất–biến dạng tiếp tục tăng mặc dù độ dốc giảm dần, cho đến khi độ dốc
giảm đến không và phá hủy xảy ra. Do đó, ứng suất chảy tiếp sau tăng với sự
gia tăng biến dạng. Đặc tính này của vật liệu để có thể chòu đựng ứng suất lớn
hơn sau khi vật liệu biến dạng dẻo được gọi là biến cứng do biến dạng hay tái
bền, nghóa là vật liệu trở nên bền hơn với biến dạng dẻo.
Đối với một vài vật liệu, như bê tông hoặc đá trong thí nghiệm nén đơn trục, có
một miền ở phía bên kia của điểm đỉnh (điểm cực đại) trong đó độ dốc của đường
O

σ

ε

B

°

E
b)

σ
ys

0,1%

O

σ


ε

°
°
A

B

C

D

E

a)



13
O

σ

ε

A

σ
A


B

C

O

σ

ε

σ
y
’

σ
y

-σ
y

σ
y
”

cong âm. Ứng xử như thế được gọi biến mềm do biến dạng. Loại vật liệu này trở
nên yếu hơn khi biến dạng tiếp tục vượt quá giới hạn tương ứng với ứng suất đỉnh.







Hình 1.2 Biểu đồ ứng suất–biến dạng khi gia tải, cất tải và gia tải lại
1.2.3 Gia tải đảo ngược
Nếu chúng ta biểu diễn một thí nghiệm nén đơn trục của kim loại, chúng ta sẽ
thu được một đường cong ứng suất–biến dạng hầu như giống hệt như trong thí
nghiệm kéo đơn trục. Tuy nhiên, sau biến dạng dẻo trước trong thí nghiệm
kéo của một mẫu, đường cong ứng suất–biến dạng của mẫu này trong thí
nghiệm nén sẽ khác đáng kể so với đường cong sẽ thu được khi gia tải lại đối
với mẫu này ở trạng thái kéo. Như được minh họa trong hình 1.3, đối với mẫu
được gia tải kéo trước σ
y
’, chảy dẻo nén tương ứng của nó xảy ra ở mức ứng
suất σ
y
” nhỏ hơn ứng suất chảy ban đầu σ
y
và nhỏ hơn nhiều so với ứng suất
chảy tiếp sau σ
y
’. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Bauschinger và thường
xuất hiện khi có sự đảo ngược ứng suất.












14

Hình 1.3 Hiệu ứng Bauschinger
Rõ ràng không có mối quan hệ một-một giữa ứng suất và biến dạng trong vật rắn
biến dạng dẻo. Nói cách khác, biến dạng không là hàm của chỉ riêng ứng suất,
mà còn phụ thuộc vào lòch sử của quá trình gia tải trước đó. Do đó, vật liệu phụ
thuộc vào lộ trình đặt tải. Điều này có thể được minh họa bởi trường hợp đơn giản
của ứng suất zero, khi các biến dạng dư với các độ lớn khác nhau có thể được kiến
lập bằng cách thay đổi lòch sử đặt tải với ứng suất bắt đầu và kết thúc ở zero.
Trong việc bàn luận từ trước đến nay, ta đã giả sử rằng có một đường cong ứng
suất-biến dạng đơn giản cho trường hợp kéo hoặc nén, độc lập với suất biến dạng.
Giả đònh này được xem như độc lập với thời gian. Điều này thì phù hợp với thực
tiễn của các kim loại kết cấu ở nhiệt độ phòng dưới điều kiện đặt tải tónh. Những
ảnh hưởng của suất thì rất quan trọng cho các vật liệu chòu các điều kiện gia tải
động lực và không được khảo sát trong tài liệu này.
1.3 MÔ HÌNH ỨNG XỬ ĐƠN TRỤC TRONG CHẢY DẺO
1.3.1 Các đường cong ứng suất−
−−
−biến dạng kéo đơn trục đơn giản hóa
Để thu được lời giải cho bài toán biến dạng, cần thiết phải lý tưởng hóa ứng xử
ứng suất–biến dạng của vật liệu. Những mô hình lý tưởng hóa sau đây đáng
được lưu ý.
1.3.1.1 Mô hình đàn−
−−
−dẻo lý tưởng (hình 1.4a)
Trong vài trường hợp, việc bỏ qua sự biến cứng của vật liệu là chấp nhận được và

tiện lợi, giả sử rằng chảy dẻo xảy ra khi ứng suất đạt đến ứng suất chảy σ
0
. Do đó,
mối quan hệ ứng suất–biến dạng kéo đơn trục có thể được biểu diễn dưới dạng:

0
0
khi
E
khi
E
σ=σλ+
σ
=ε
σ<σ
σ
=ε
(1.1)
ở đây E là môđun Young, và λ là số vô hướng, xác đònh và lớn hơn không.
1.3.1.2 Mô hình đàn hồi−
−−
−biến cứng tuyến tính (hình 1.4b)
Trong mô hình đàn hồi-biến cứng tuyến tính, đường cong liên tục được xấp xỉ
bởi hai đoạn thẳng, do đó thay thế đường cong chuyển tiếp trơn bằng một điểm
gãy nhọn, tung độ của nó được lấy là ứng suất giới hạn đàn hồi hoặc ứng suất
chảy σ
0
. Nhánh đoạn thẳng đầu của biểu đồ có độ dốc bằng Young’s modulus,
E. Nhánh đoạn thẳng thứ hai, mô tả miền biến cứng được lý tưởng hóa dưới
dạng tuyến tính, có độ dốc E

t
< E. Quan hệ ứng suất-biến dạng đối với trường


15
Hình 1.4

Các đường cong ứng suất
–
biến dạng lý tưởng hóa

O

σ

ε

E

σ
0

1

a)

O

σ


ε

E

σ
0

1

b)
1

E
t

O

σ

ε

σ
0

c)

σ = kε
n

O


σ

ε

d)

b

E

a

1

hợp gia tải kéo đơn điệu có dạng

00
t
0
0
khi)(
E
1
E
khi
E
σ>σσ−σ+
σ
=ε

σ≤σ
σ
=ε
(1.2)
1.3.1.3 Mô hình đàn hồi−
−−
−biến cứng hàm mũ (hình 1.4c)
Quan hệ ứng suất–biến dạng được khảo sát dưới dạng lũy thừa như sau:

0
n
0
khik
khi
E
σ>σε=σ
σ≤σε=σ
(1.3)
trong đó k và n là hai hằng số đặc trưng của vật liệu, chúng được xác đònh sao
cho phù hợp tốt nhất với đường cong thu được từ thí nghiệm. Nếu ε mô tả biến
dạng tổng, đường cong nên đi qua điểm mô tả ứng suất chảy và biến dạng đàn
hồi tương ứng. Biểu thức lũy thừa (1.3) chỉ nên dùng trong miền biến cứng (biến
dạng dẻo).
1.3.1.4 Mô hình Ramberg
−
−−
−
Osgood (hình 1.4d)
Đường cong ứng suất–biến dạng phi tuyến trong hình 1.4d có dạng biểu thức
như sau


n
b
a
E






σ
+
σ
=ε
(1.4)












16


Hình 1.5

Môđun tiếp tuyến và môđun dẻo

O

σ

ε

A

dε
p

dε
e

dε

B

°
°
d
σ

1

E

t
1

E

a)

O

σ

ε
p

dε
p

°
°
d
σ

1

E
p

b)



trong đó a, b và n là những hằng số vật liệu. Độ dốc ban đầu của đường cong
lấy giá trò của môđun Young E ở σ = 0, và giảm đơn điệu theo sự gia tăng của
tải. Do mô hình có ba thông số, nó cho phép mô hình phù hợp tốt hơn với những
đường cong ứng suất–biến dạng thực tế.
1.3.2 Môđun tiếp tuyến E
t
và môđun dẻo E
p

Bởi vì quan hệ ứng suất–biến dạng đàn–dẻo của vật liệu có tính chất phi tuyến,
một qui trình gia tăng nói chung được chọn để giải bài toán biến dạng. Do đó,
chúng ta giả đònh rằng một gia tăng biến dạng, dε, bao gồm hai phần: gia tăng
biến dạng đàn hồi, dε
e
, và gia tăng biến dạng dẻo, dε
p
(xem hình 1.5a)

pe
ddd ε+ε=ε
(1.5)
Lượng gia tăng ứng suất dσ được liên hệ với lượng gia tăng biến dạng dε
theo dạng

ε=σ
d
E
d
t
(1.6)

với E
t
là môđun tiếp tuyến, nó thay đổi trong quá trình biến dạng dẻo. Trong
trường hợp đặt tải đơn trục, E
t
là độ dốc hiện hành của đường cong σ−ε (hình
1.5a). Nếu chúng ta tách biến dạng dẻo ε
p
khỏi biến dạng tổng ε, thì lượng gia
tăng biến dạng dẻo dε
p
và lượng gia tăng ứng suất dσ được liên hệ với nhau
theo biểu thức:

p
p
dEd ε=σ (1.7)
trong đó E
p
được xem là môđun dẻo, nó bằng độ dốc của đường cong σ−ε
p
trong
trường hợp kéo đơn trục (hình 1.5b). Đối với lượng gia tăng biến dạng đàn hồi
dε
e
, ta có mối quan hệ

e
Edd ε=σ
(1.8)

với E là môđun đàn hồi hay môđun Young.










17

Thay dε trong đẳng thức (1.6), dε
p
trong đẳng thức (1.7), và dε
e
trong đẳng thức
(1.8) vào đẳng thức (1.5) ta sẽ có mối quan hệ giữa ba môđun E
t
, E và E
p


pt
E
1
E
1
E

1
+=
(1.9)
1.3.3 Các quy luật biến cứng
Như đã được mô tả trong phần trên, hiện tượng mà nhờ đó ứng suất chảy gia
tăng với sự gia tăng biến dạng dẻo được gọi là biến cứng hay tái bền của vật
liệu. Để mô tả ứng xử này, một thông số biến cứng κ được giới thiệu để đặc
trưng cho các trạng thái biến cứng khác nhau, và môđun dẻo E
p
được cho là một
hàm của thông số biến cứng κ này như

)
(
E
E
pp
κ=
(1.10)
ở đây κ có thể được lấy như là công chảy dẻo W
p


∫
εσ=
p
p
dW (1.11)
hoặc biến dạng dẻo ε
p

hoặc, thực tế hơn, biến dạng dẻo tích lũy

2
/
1
pp
p
)dd(
∫
εε=ε

nó là tổng của các gia tăng biến dạng dẻo tương đương được đònh nghóa bởi:

pp
p
ddd εε=ε
(1.12)
Bởi vì đường cong kéo đơn trục σ−ε đối với một vật liệu nói chung thu được từ
một thí nghiệm đơn giản, dạng hàm của môđun dẻo E
p
trong đẳng thức (1.10) có
thể được xác đònh từ thí nghiệm này dưới dạng đònh nghóa của thông số biến
cứng κ.
Đối với một phân tố vật liệu dưới điều kiện gia tải nghòch đảo, ứng suất chảy
tiếp sau thường được xác đònh theo một trong ba quy luật đơn giản sau đây:
1. Quy luật biến cứng đẳng hướng: độ lớn ứng suất chảy nén nghòch đảo được
giả đònh bằng với ứng suất chảy kéo. Như được minh họa trong hình 1.6a, ở đây
|BC||C'B
|
=

, ứng suất chảy nén nghòch đảo
,
B
σ
thì bằng với ứng suất chảy kéo
B
σ
trước khi nghòch đảo tải. Do đó, quy luật biến cứng đẳng hướng bỏ qua hoàn
toàn hiệu ứng Bauschinger, khi giả đònh rằng ứng suất chảy gia tăng trong lúc
kéo sẽ bằng với độ lớn ứng suất chảy gia tăng trong lúc nén. Quy luật biến cứng
này có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau:

|
)
(
|
|
|
κσ=σ (1.13)
ở đây σ(κ) là một hàm của thông số biến cứng κ và thông số κ là số vô hướng,
xác đònh, không âm, như công chảy dẻo hoặc biến dạng dẻo tích lũy đã được đề


18

O

σ

ε


a)

A

B

C

A’

B’

O

σ

ε

b)

A

B

C

A’

B’


a

a’

O

σ

ε

c)

A

B

C

A’

B’

cập ở trên.








Hình 1.6 Các quy luật biến cứng
2. Quy luật biến cứng động học: miền đàn hồi được cho là không bò thay đổi
trong quá trình biến cứng (biến dạng dẻo). Do đó, quy luật biến cứng động học
khảo sát hiệu ứng Bauschinger tới mức độ đầy đủ của nó. Biến cứng động học
đối với vật liệu biến cứng tuyến tính được biểu thò trong hình 1.6b, với
|
'
AA
|
|
'
BB
|
=
. Tâm của miền đàn hồi được di chuyển dọc theo đường thẳng aa’.
Quy luật biến cứng này có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau

0
|
)
(
c
|
σ=κ−σ
(1.14)
với c(κ) là hàm của thông số biến cứng κ.
3. Quy luật biến cứng độc lập: vật liệu được cho là bò biến cứng một cách độc lập
khi chòu kéo và khi chòu nén. Quy luật biến cứng này được minh họa trong hình
1.6c, với OABC > , nhưng 'OA'CB > ; vật liệu đã biến cứng chỉ trong kéo,

nhưng nó đối xử giống như vật liệu chưa chòu biến dạng (mới nguyên) dưới điều
kiện đặt tải nén nghòch đảo. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau

0nếu)(
0
nếu
)
(
cc
tt
<σκσ=σ
>σκσ=σ

với κ
t
và κ
c
là các thông số biến cứng được tích lũy trong quá trình đặt tải kéo
và nén tương ứng.
1.3.4 Thí dụ
1.3.4.1 Thí dụ 1.1
Ứng xử của vật liệu đa tinh thể bao gồm nhiều đơn tinh thể thì tương tự với một
kết cấu giàn bao gồm nhiều thanh riêng lẻ. Do đó, có thể dùng hệ thống giàn
đơn giản để mô phỏng ứng xử đàn–dẻo của vật liệu kim loại. Trong thí dụ này,


19
O

σ


ε

E

σ
02

1

σ
01

(2)

(1)

(2)

(1)

A
1
2
A
1
2
A
2
2

A
2
2
(2)

(2)

(1)

(1)

P

Cứng

một kết cấu giàn như hình 1.7 được khảo sát. Hiệu ứng Bauschinger sẽ được mô
phỏng bởi mô hình.







Hình 1.7 Mô hình thí dụ 1.1
Trong hình 1.7, hai cặp thanh song song, thẳng đứng và chòu tác động kéo của
tải P. Các thanh này được làm bằng các vật liệu đàn–dẻo lý tưởng với các ứng
suất chảy khác nhau. Hãy phân tích các đặc trưng đặt tải, cất tải và đặt tải lại
của mô hình kết cấu này.
Ứng xử đặt tải: với việc đặt tải P gia tăng từ zero, hai giai đoạn đáng kể đầu tiên

xảy ra khi tiếp theo chảy dẻo của những thanh 1 là chảy dẻo của những thanh 2.
Chú ý rằng cả hai vật liệu có cùng môđun đàn hồi, tải trọng lúc chảy dẻo đầu
được tìm thấy

201101a
A
A
P
σ+σ=
(1.15)
Ứng suất tương đương có thể được tính dưới dạng

01
21
201101
a
AA
A
A
σ=
+
σ
+
σ
=σ
(1.16)
Biến dạng tương ứng là
E
01
a

σ
=ε
(1.17)
Lúc các thanh 2 chảy dẻo, tải trọng, ứng suất, và biến dạng có thể được tính
theo các công thức như sau

202101b
A
A
P
σ+σ=
(1.18)

21
202101
b
AA
A
A
+
σ
+
σ
=σ
(1.19)

E
02
b
σ

=ε
(1.20)
Ứng xử cất tải: sau giai đoạn này, sự giãn dài thêm của các thanh không gây ra


20

sự gia tăng tải trọng. Do đó, sự kiện kế tiếp sẽ là giai đoạn cất tải. Trong quá
trình cất tải, môđun thì tương tự như môđun lúc đầu E. Do đó, tải giảm đến
không khi biến dạng được giảm một lượng

)AA(E
A
A
21
202101
+
σ
+
σ
=ε
(1.21)
Ở điểm này, ứng suất trong các thanh 1, σ
1
, và trong các thanh 2, σ
2
, sẽ được
xác đònh theo các công thức

21

20201
011
AA
A
)
(
E
+
σ
−
σ
=ε−σ=σ
(1.22)

21
10102
022
AA
A
)
(
E
+
σ
−
σ
=ε−σ=σ
(1.23)
Bởi vì σ
02

> σ
01
, ta sẽ có σ
1
< 0, σ
2
> 0, cho thấy rằng tồn tại việc nén dư trong
những thanh có độ bền chảy thấp hơn 1 và kéo dư trong những thanh có độ bền
chảy cao hơn 2 với tải tác động giảm đến zero.
Do chúng ta cho rằng thanh đàn–dẻo lý tưởng, chảy nén sẽ xảy ra trong những
thanh 1 khi biến dạng được giảm một lượng

E
2
01
σ
=ε
(1.24)
Ở trường hợp này, tải trong các thanh 1 là

1011
A
P
σ−=
(1.25)
Tải trong các thanh 2 là

201022
A
)

2
(
P
σ−σ=
(1.26)
Ứng suất tương ứng là

21
10120102
d
AA
A
A
)
2
(
+
σ
−
σ
−
σ
=σ
(1.27)
Chú ý rằng, ứng suất chảy dẻo nghòch đảo trong (1.27) có độ lớn nhỏ hơn ứng
suất chảy ban đầu trong (1.16), do đó các thanh 1 chảy dẻo sớm hơn nhiều so
với giai đoạn đặt tải ban đầu, bởi vì chúng đã bò nén khi tải P = 0 như đã chỉ
ra trong (1.22).
Chảy dẻo nén xảy ra trong những thanh 2 khi biến dạng đã bò giảm một lượng


E
2
02
σ
=ε
(1.28)
Ở điểm này, tải và ứng suất tương ứng có thể được biểu diễn


21
Hình 1.8

Các đặc trưng đặt và cất tải của mô hình

O

σ

ε

σ + σ
σ =
+
01 1 02 2
b
1 2
A A
A A
σ
01


(
)
σ − σ − σ
σ =
+
02 01 2 01 1
d
1 2
2 A A
A A
σ + σ
σ = −
+
01 1 02 2
e
1 2
A A
A A
a

b

c

d

e

f


g

h

i


202101e
A
A
P
σ−σ−=
(1.29)

21
202101
e
AA
A
A
+
σ
−
σ
−
=σ
(1.30)











Đường cong σ–ε cho lộ trình đặt tải này được biểu thò bởi O–a–b–c–d–e trong
hình 1.8. Nếu có càng nhiều các thanh với ứng suất chảy khác nhau trong kết
cấu, thì đường cong σ–ε thu được càng trơn nhẵn.
Ứng xử đặt tải lại: bây giờ chúng ta khảo sát trường hợp trong đó việc đặt tải
nén được kết thúc ở điểm h trước khi chảy dẻo nén trong các thanh 2 bắt đầu.
Việc đặt tải lại của hệ kết cấu trong lúc kéo sẽ theo đáp ứng tuyến tính với
môđun ban đầu E nhưng các thanh 1 cuối cùng sẽ chảy dẻo lần nữa khi chòu kéo
ở điểm i và chảy dẻo của các thanh 2 bắt đầu ở điểm f. Đường cong σ–ε cho
chu trình đặt tải này được biểu thò bởi f–g–h–i trong hình 1.8.
Mô hình kết cấu này với sự lắp ráp các thanh có ứng suất chảy khác nhau có thể
được khảo sát, một cách đònh tính, để mô tả một mẫu thật với các mặt phẳng
trượt của những độ bền khác nhau, và do đó giải thích tại sao một mẫu thật nói
chung biểu hiện hiệu ứng Bauschinger.
1.3.4.2 Thí dụ 1.2
Đáp ứng σ–ε trong kéo đơn giản đối với vật liệu đàn hồi–dẻo biến cứng tuyến
tính được xấp xỉ bởi các biểu thức sau đây

p
0
m
ε+σ=σ
đối với σ ≥ σ

0



22

Hình 1.9
Đường cong ứng suất–biến dạng cho chu trình
O

σ

ε

A

B

C

D

E

0,007

i)
O

σ


ε

A, E

B

C

D

0,007

ii) iii)
O

σ

ε

A

B

C

D

0,007


E


E
e
σ
=ε

ở đây σ
0
= 207.10
6
N/m
2
, E = 207.10
9
N/m
2
, và m = 25,9.10
9
N/m
2
. Mẫu vật liệu
trước tiên được kéo dài đến giá trò biến dạng tổng ε = 0,007, rồi sau đó được trở
về trạng thái không biến dạng ban đầu (ε = 0) bằng cách nén tiếp tục, và rồi
được cất tải và đặt tải kéo lại để đạt tới cùng giá trò biến dạng ε = 0,007 (xem
hình 1.9). Vẽ phác đường cong ứng suất-biến dạng đối với các quy luật biến
cứng sau: (i) biến cứng đẳng hướng, (ii) biến cứng động học, (iii) biến cứng tác
động kéo và nén độc lập.
Giải


Theo đònh nghóa của môđun dẻo E
p
trong (1.7), ta có

9
p
p
10.9,25m
d
d
E ==
ε
σ
=
N/m
2

và môđun tiếp tuyến E
t
được tìm thấy từ (1.9) như

9
99
p
t
10.020,23
10.9,25
1
10.207

1
1
E
1
E
1
1
E =
+
=
+
=
N/m
2

Với mẫu vật liệu chòu kéo, chảy dẻo xảy ra ở thời điểm có biến dạng

001,0
E
o
=
σ
=ε

Sau đó, mẫu được kéo thêm đến điểm A với biến dạng ε = 0,007, ở đó ứng suất
σ
A
được xác đònh theo

2696

t00A
m/N10.345)001,0007,0(10.020,2310.207
E
=−+=
ε∆+σ=σ∆+σ=σ











23



Các ứng suất tiếp sau được xác đònh đối với ba quy luật biến cứng như sau
(i) Trường hợp biến cứng đẳng hướng (hình 1.9(i)): trong quá trình cất tải và đặt
tải nén nghòch đảo, mẫu ứng xử đàn hồi cho đến khi nó chảy dẻo lần nữa trong
trạng thái nén ở điểm B. Theo quy luật biến cứng đẳng hướng, ta có

6
AB
10.345−=σ−=σ
N/m
2



00367,0
10.207
10.345
2007,0
E
2
9
6
A
AB
=








−=
σ
−ε=ε

Bây giờ, mẫu vật liệu tiếp tục chảy dẻo đến lúc sự đảo ngược tải xảy ra ở điểm
C khi ε = 0

2696
tBC

m/N10.429)00367,00(10.020,2310.345
E
−=−+−=
ε∆+σ=σ

Với sự đảo ngược của biến dạng, vật liệu sẽ biến dạng đàn hồi cho tới điểm
D, ở đó

6
D
10.429=σ
N/m
2


004145,0
10.207
10.429
20
E
2
9
6
D
CD
=









+=
σ
+ε=ε

Khi biến dạng ε đạt đến 0,007 ở điểm E, ứng suất là

2696
tDE
m/N10.495)004145,0007,0(10.020,2310.429
E
=−+=
ε∆+σ=σ

(ii) Trường hợp biến cứng động học (hình 1.9(ii)): ứng suất chảy ở điểm B là

2
6
6
6
0AB
m/N10.69)10.207(210.3452 −=−=σ−σ=σ


005,0
10.207
10.207

2007,0
E
2
9
6
0
AB
=








−=
σ
−ε=ε

Ở điểm C, ta có

2
6
9
6
tBC
m/N10.184)005,00(10.020,2310.69E −=−+−=ε∆+σ=σ

Ở điểm D, mẫu chảy dẻo lần nữa trong trạng thái kéo ở ứng suất


2
6
6
6
oCD
m/N10.230)10.207(210.1842 =+−=σ+σ=σ



24


002,0
10.207
10.207
20
E
2
9
6
0
CD
=









+=
σ
+ε=ε

Ở điểm E, ứng suất là

2696
tDE
m/N10.345)002,0007,0(10.020,2310.230
E
=−+=
ε∆+σ=σ

(iii) Trường hợp biến cứng độc lập (hình 1.9(iii)): vì trước đây vật liệu chưa
được chảy dẻo trong trạng thái nén nên ứng suất chảy tại điểm B là

2
6
0B
m/N10.207−=σ−=σ


00433,0
10.207
10.207
10.207
10.345
007,0

EE
9
6
9
6
0
A
AB
=−−=
σ
−
σ
−ε=ε

Ở điểm C, ta có

2696
tBC
m/N10.307)00433,00(10.020,2310.207
E
−=−+−=
ε∆+σ=σ

Ở điểm D, vật liệu chảy dẻo lần nữa trong trạng thái kéo ở ứng suất bằng σ
A
,
nghóa là

2
6

AD
m/N10.345=σ=σ


00315,0
10.207
10.345
10.207
)10.307(
0
EE
9
6
9
6
D
C
CD
=+
−
−=
σ
+
σ
−ε=ε

Ở điểm E, ứng suất là

2696
tDE

m/N10.434)00315,0007,0(10.020,2310.345
E
=−+=
ε∆+σ=σ

Các đường cong ứng suất−biến dạng cho ba trường hợp quy luật biến cứng được
biểu diễn trên hình 1.9.
1.3.4.3 Thí dụ 1.3
Xét một vật liệu biến cứng động học phi tuyến với đường cong σ–ε trong trạng
thái kéo đơn thu được từ thí nghiệm kéo có dạng

np
0
)(m ε+σ=σ
đối với σ ≥ σ
0


e
Eε=σ
đối với σ < σ
0
(1.31)
ở đây m = 5.10
5
N/m
2
, n = 0,3, E = 7.10
7
N/m

2
, và σ
0
= 2.10
5
N/m
2
. Phương trình
(1.31) ứng xử đàn dẻo của vật liệu dưới lộ trình ứng suất kéo đơn. Mối quan hệ
này không thể được dùng một cách trực tiếp cho lộ trình đặt tải tổng quát ngoài
lộ trình ứng suất kéo đơn. Để tổng quát hóa nó, ta sẽ theo sự bàn luận trong


25
Hình 1.10
Các quan hệ
σ
-
ε
p
đối với các đònh nghóa khác nhau của
κ

°
°
°
°
σ
A
=350

300

σ

(MPa)

ε
p

A(0,0181;350)

200

100

O

σ
B
=
-
50

-
100

-
200

B(0,0181;-50)

(0,009;321,69)

(0,009;
-
78,37)

(i)

(ii)

(iii)
°
°
phần 1.3.3 và giới thiệu một thông số biến cứng không âm κ để mô tả biến
dạng dẻo của vật liệu dưới điều kiện đặt tải tổng quát. Mối quan hệ giữa thông
số biến cứng κ và modulus dẻo E
p
, biểu thức (1.10), được giả đònh là tương tự
với dạng (1.31). Chiến lược này mở rộng và tổng quát hóa ứng xử đàn dẻo của
vật liệu được khảo sát trong thí nghiệm đặt tải đơn trục đến trường hợp đặt tải
tổng quát. Đây là chiến lược cơ bản được dùng thường xuyên trong lý thuyết
dẻo.












Một phân tố vật liệu trước hết được đặt tải kéo đến điểm A, ở đó σ
A
= 350N/m
2
,
và rồi được cất tải và đặt tải nén tiếp tục. Trạng thái B là điểm chảy dẻo khi
nén trong quá trình đặt tải nghòch đảo (hình 1.10).
a) Hãy tìm các biểu thức mô tả đường cong σ–ε
p
trong quá trình đặt tải nén
chảy dẻo bắt đầu từ trạng thái B đối với thông số biến cứng κ được đònh
nghóa như: trường hợp (i),
∫
εε=ε=κ
2/1pp
p
)dd(
; trường hợp (ii),
p
ε=κ
.
Hãy vẽ phát đường cong σ–ε
p
.
b) Đối với κ được xác đònh như trường hợp (iii),
∫
εσ==κ

p
p
dW
, hãy vẽ phát
đường cong σ–ε
p
bằng cách dùng quy trình gia số đơn giản.
Giải

a) Trong miền kéo chảy dẻo đầu tiên, dε
p
> 0, ta có

∫∫
ε=ε=εε=κ
pp
s
0
pp2/1
s
0
pp
d)dd(

nó dẫn đến cùng dạng với trường hợp (ii). Từ mối quan hệ σ–ε đã cho (1.31)
ε
p

0,003 0,009



σ
Trong kéo 287,52 321,69

Trường hợp (i)

-79,96 -69,51

Trường hợp
(ii)
-112,54

-78,37

Trường hợp
(iii)
-86,00 -72,14