1


LÝ THUYẾT THẾ TRONG ĐỊA VẬT LÝ





LỜI GIỚI THIỆU


Thế có bản chất là thế năng, chỉ khác thế năng một dấu trừ và gắn liền với
một số trường lực dẫn suất từ thế mà ngành Đòa vật lý thường gặp như điện trường, từ
trường, trọng trường Trái đất. Dựa vào các số liệu đo đạc các trường lực này mà người ta
phân tích, giải đoán các cấu trúc đòa chất, tìm kiếm khoáng mỏ hữu ích tiềm ẩn dưới đất.
Muốn giải đoán có hiệu qủa, cần phải nghiên cứu, nắm vững lý thuyết thế liên quan chặt
chẽ tới các trường lực và các đối tượng Đia chất gây ra các trường lực đó.
Giáo trình “ Lý thuyết thế trong đòa vật lý “ hiện hữu là kết qủa biên soạn
lại, bổ sung, sửa chữa của giáo trình trước : “ Lý thuyết thế và trường trong đòa vật lý “ do
tác giả biên soạn Tập I năm1997 và đã được Ban xuất bản “ Tủ sách Đại học Khoa học
Tự nhiên TPHCM “ in thành sách 117 trang, được sử dụng giảng dạy liên tục từ đó đến
nay ( Tập II liên quan đến trường điện từ do tác giả Nguyễn Thành Vấn biên soạn, nhưng
hai người cùng đứng tên trên bìa sách).
Đối tượng sử dụng là sinh viên năm thứ 3 của Khoa vật lý bắt đầu vào học
giai đoạn 2 ( chuyên ngành ), học viên cao học, nghiên cứu sinh của Bộ môn Vật lý Trái
đất thuộc Khoa vật lý, Trường ĐHKHTN TPHCM và các trường ĐHKHTN khác, ĐH
Bách khoa, ĐH Mỏ đòa chất, là tài liệu tham khảo cho cán bộ cơ quan nghiên cứu, sản
xuất có chuyên ngành liên quan đến Đòa vật lý. Để sử dụng giáo trình này được thuận lợi,
hiệu quả, người đọc cần nắm kiến thức trước của các môn học như toán cao cấp, phương

trình toán lý, phương trình tích phân, cơ học.
Nội dung, chương trình giảng dạy được Nhà trường sắp xếp là môn học cơ
sở của chuyên ngành Đia vật lý với số tiết học lý thuyết và bài tập là 45 tiết ( 3 học trình
).
Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng hoàn thành giáo trình này trong một
thời gian ngắn, nhằm hưởng ứng chủ trương phát triển, đa dạng hóa và nâng cao chất
lượng giáo trình của Đại học Quốc gia Tp.HCM bằng cách chuyển đổi sang giáo trình
điện tử, giáo trình không tránh khỏi còn thiếu sót. Mong bạn đọc tha thứ và góp ý kiến.


Tác giả







2

CHƯƠNG I

THẾ VÀ CÁC TÍNH CHẤT

§1. Khái niệm về thế. Các dạng chủ yếu của thế.

Thế là hàm vô hướng mà đạo hàm riêng của nó theo các trục tọa độ bằng
hình chiếu của vectơ lực trên các tọa độ đó. Việc đưa ra các khái niệm thế có
nhiều thuận lợi. Thay vì khảo sát 3 thành phần của lực theo 3 trục tọa độ, ta chỉ
cần khảo sát một hàm số vô hướng. Khi cần biết lực tác dụng theo một phương nào

đó, ta chỉ việc lấy đạo hàm của thế theo phương đó.

1. Thế tỉ lệ nghòch với khoảng cách quan sát.

Hãy xét nguồn lực đơn giản nhất là nguồn điểm :
Trường lực hấp dẫn Newton, trường lực tónh điện Coulomb đều là những
trường lực có thế tỉ lệ nghòch với khoảng cách kể từ nguồn điểm gây ra các trường
lực đó đến người quan sát.
Nếu người quan sát tại điểm P có tọa độ không gian là x, y, z và nguồn
điểm là một đơn vò khối lượng hay một đơn vò điện tích tại điểm M (ξ,η,ζ), thì hàm
số :


2 2 2
1 1
( ) ( ) ( )
r
x y z
=
− ξ + − η + − ζ
(1.1)

tỷ lệ với thế của trường lực gây ra bởi đơn vò khối lượng hoặc đơn vò điện
tích. Trong đó :


2 2 2
( ) ( ) ( )
r x y z
= − ξ + − η + − ζ

(1.1a)

là khoảng cách MP từ nguồn điểm đến điểm quan sát. Thế hay hàm thế
như trên hoàn toàn thỏa mãn phương trình Laplace :


2 2 2
2 2 2
1 1 1
0
r r r
x y z
     
∂ ∂ ∂
     
     
+ + =
∂ ∂ ∂
(1.2)

Ta có thể kiểm chứng (1.2) bằng cách lấy đạo hàm bậc 2 của hàm số 1/r
theo x, y, z, còn ξ,η,ζ được xem như là những tham số.

3


Lấy ví dụ cho trường hợp lực hấp dẫn Newton :
Giả sử nguồn là khối lượng m đặt tại M(ξ,η,ζ), còn tại điểm quan sát
P(x,y,z) đặt một chất điểm khối lượng m
0

. Theo đònh luật vạn vật hấp dẫn của
Newton, lực tác dụng của nguồn lên chất điểm là:


0
0
2
.m m
F f
r
= − τ
ur uur
(1.3)
Trong đó
0
r
r
τ =
r
uur
là vectơ đơn vò hướng theo MP mà vectơ
MP r
=
uuur r
, f là hằng
số hấp dẫn, chọn m
0
= 1, ta có:
0
2

m
F f
r
= − τ
ur uur
(1.4)

Hình chiếu (đại số) trên 3 trục toạ độ x, y, z của lực
F
tác dụng vào chất
điểm là :


3
cos( , ) ( )
x
m
F F F x f x
r
= = − − ξ


)(),cos(
3
η
−−== y
r
m
fyFFF
y

(1.5)



)(),cos(
3
ζ
−−== z
r
m
fzFFF
z


Chúng ta đưa ra thế V của trường lực, xác đònh bởi hệ thức sau :


k
z
V
j
y
V
i
x
V
gradVF
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
==
(1.6)

Như vậy có nghóa V là một hàm vô hướng mà đạo hàm riêng của nó theo
tọa độ nào đó thì bằng hình chiếu của vectơ lực trên trục tọa độ đó :

F
x
=
V
x
∂
∂
F
y
=
V
y
∂
∂
F
z
=
V
z

∂
∂
(1.7)

Suy ra hàm V trong trường hợp này phải có dạng:

V = f
m
r
(1.8)


4
Ta có thể kiểm chứng (1.7) bằng cách lấy đạo hàm riêng của V theo x.


2
V V r m r
f
x r x r x
∂ ∂ ∂ ∂
= = −
∂ ∂ ∂ ∂

Tính tiếp đạo hàm
x
r
∂
∂
, và tương tự , theo y và z nữa, ta có :



r x
x r
∂ − ξ
=
∂
= cos(r,x) ;
r y
y r
∂ − η
=
∂
= cos(r,y) ;
r z
z r
∂ − ζ
=
∂
= cos(r,z).
là các cosin chỉ phương của vectơ
r
:
Kết quả :

3
.( )
x
V m x
f F

x r
∂ − ξ
= − =
∂


3
.( )
y
V m y
f F
y r
∂ − η
= − =
∂
(1.9)

3
.( )
z
V m z
f F
z r
∂ − ζ
= − =
∂


Như vậy biểu thức (1.9) thỏa mãn (1.7) – đònh nghóa của thế.
Trong trường hợp trường lực do nhiều nguồn điểm với các khối lượng ví dụ

là m
1
, m
2
, m
3
tương ứng gây ra thì thế của chúng có tính chồng chất.
Thế tổng hợp là tổng các thế của từng chất điểm :


1
( , , )
n
k
k
k
m
V x y z f
r
=
=
∑
(1.10)

Các thành phần của lực hấp dẫn trên 3 trục x, y, z là :


∑
−
−=

=
n
k
k
kk
x
r
xm
fF
1
3
)(
ξ


∑
−
−=
=
n
k
k
kk
y
r
ym
fF
1
3
)(

η
(1.11)

∑
−
−=
=
n
k
k
kk
z
r
xm
fF
1
3
)(
ζ


Lực thành phần của tổng hợp lực theo một trục bằng tổng của tất cả các
thành phần lực trên cùng trục ấy.

Chú ý:


5
• Biểu thức (1.8) và (1.10) sẽ vô nghóa khi điểm quan sát trùng với một
điểm gây ra trường, vì khi đó (1/r) → ∞.

• Thế là hàm số của toạ độ điểm quan sát giới nội và liên tục nếu điểm
quan sát không trùng với một trong những nguồn điểm là những chất điểm nói
trên.
• Tính giới nội và liên tục cùng thỏa mãn với lực (đạo hàm của thế) khi
điểm quan sát không trùng với một trong các nguồn điểm.

2. Thế khối.

Trong trường hợp nguồn không phải là những chất điểm rời rạc, mà là một
vât thể kết cấu bởi vô số các chất điểm liên tục, thì thế hấp dẫn Newton của vật
thể đối với một đơn vò khối lượng được xác đònh bằng tích phân khối.
Do tính chất cộng vô hướng của thế, ta có thể xác đònh thế của một vật thể
có dạng tuỳ ý bằng cách chia nhỏ khối lượng của vật thể thành vô số những khối
lượng nguyên tố dm và coi nó như chất diểm.
Giả sử thể tích của từng nguyên tố ấy là: dτ = dξdηdζ và sử dụng mật độ
khối là đại lượng :
δ =
dm
d
τ
(1.12)
ta có : dm = δdτ
Thế của chất điểm áp dụng cho khối lượng nguyên tố ở đây có dạng :


( , , )
dm d
dV x y z f f
r r
δ τ

= =
(1.13)

r : khoảng cách từ khối lượng nguyên tố đến điểm quan sát P.
Thế của cả vật thể có thể tích τ, quan sát tại điểm P được xác đònh bằng
cách lấy tích phân hai vế (1.13), trong đó có thể mật độ δ ≠ const :

( , , )
t
dm
V x y z f
r
=
∫∫∫
(1.13a)

( , , )
d
V x y z f
r
τ
δ τ
=
∫∫∫
(1.13b)


Biểu thức (1.13b) cũng thỏa đònh nghóa của thế. Ta hãy kiểm chứng bằng
cách lấy đạo hàm và chứng minh rằng các đạo hàm ấy bằng hình chiếu của lực
trên các trục tọa độ :


6


∫∫∫






∂
∂
=
∂
∂
τ
ζηξδ
ddd
rx
f
x
V 1

Do :
),cos(
1
),cos(
1111
2222

xF
r
xr
r
r
x
r
x
r
r
rx
=−=
−
−=
∂
∂
−=






∂
∂
ξ
(1.14)

nên
:

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫
===−=
∂
∂
τ ττ
τ
δ
xx
FdFdm
r
xF
fd
r
xr
f
x
V
22
),cos(),cos(
(1.14a)


Ở đây dF
x
= f
2
cos( , )
F x
r
dm là thành phần lực hấp dẫn của khối lượng

nguyên tố dm theo trục x. Như vậy (1.13b) thỏa mãn đònh nghóa của thế.
Tương tự, ta cũng chứng minh được :


y
V
F
y
∂
=
∂
,
z
V
F
z
∂
=
∂


Tích phân (1.13a) và (1.13b) có thể lấy được nếu biết chính xác dạng, kích
thước của vật, mật độ δ phân bố trong và trên bề mặt vật như hàm số của ξ,η,ζ.

3. Thế lớp đơn:

Lớp đơn là sự phân bố khối lượng dàn mỏng trên mặt σ nào đó. Tức là coi
toàn bộ khối lượng được nén mỏng vô cùng trên bề mặt σ ( không nhất thiết mặt
phẳng ). Khái niệm về lớp đơn được sử dụng trong tónh điện khi các điện tích phân
bố mỏng trên bề mặt của vật dẫn. Điện lượng xác đònh trên một đơn vò diện tích

gọi là mật độ điện bề mặt.
Khái niệm về lớp kép có xuất xứ trong nghiên cứu từ tính, vì yếu tố từ
không phải là một chất điểm, mà một lưỡng cực, tức một đoạn thẳng vô cùng nhỏ
có từ lượng âm và dương phân bố trên hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Trong đòa vật lý, thế lớp đơn cũng như thế lớp kép có ý nghóa quan trọng,
bởi vì thế khối của một khối vật chất có thể biểu diễn bằng một trong hai loại thế
ấy, hoặc bằng một tổ hợp của cả hai loại thế.
Cách biểu diễn thế khối như vậy đơn giản hóa rất nhiều. Thay vì lấy tích
phân khối, ta chỉ lấy tích phân mặt. Trong đòa vật lý, thường ta đo trường trên mặt
quan sát gắn liền với mặt đất mà không biết khối lượng phân bố ra sao.
Để rút ra công thức cho thế lớp đơn, ta làm như sau :
Giả sử trong một thể tích τ giới hạn bởi hai mặt rất sát nhau là σ và σ
’
, bên
trong chứa đầy khối lượng với mật độ δ. Thế khối của khối lượng này, ta đã biết :


7

( , , )
dm d
V x y z f f
r r
τ τ
δ τ
= =
∫∫∫ ∫∫∫


Ở đây tích phân lấy trong phạm vi thể tích τ, còn r là khoảng cách từ điểm

chạy M(ξ,η,ζ) cho đến điểm quan sát P(x,y,z), là đại lượng biến thiên.
Nếu h là khoảng cách giữa hai mặt σ và σ
’
theo pháp tuyến (bề dầy) đủ
nhỏ đến bậc cao, thì thể tích nguyên tố có thể biểu diễn như sau :

dτ = hdσ (1.15)

dσ là diện tích nguyên tố. Còn khối lượng nguyên tố là :

dm = hδdσ (1.16)

Công thức thế của khối lượng hấp dẫn có thể viết lại là :


( , , )
h d
V x y z f
r
σ
δ σ
=
∫∫
(1.17)

r - khoảng cách từ diện tích nguyên tố dσ đến điểm P.
Nếu cho 2 mặt σ và σ
’
tiến sát lại vô cùng, thì h tiến tới 0, nhưng khối lượng
dm trong mỗi thể tích nguyên tố dτ sẽ không đổi.




x

y

z

M
′


n

r

r
′

M

P(x,y,z)

σ

σ
′

H.1


h

O




Đặt điều kiện sao cho:

8
ε
δ
=
→
h
h
.lim
0
(1.18)

Hệ thức giới hạn trên đây có một ý nghóa vật lý đơn giản, vì từ biểu thức
(1.16) và (1.18), ta suy ra:

σ
ε
d
dm
=
(1.19)


Rõ ràng ε là khối lượng trên một đơn vò diện tích.
Đại lượng ε có tên gọi là mật độ mặt hay mật độ lớp đơn.
Ta quan niệm khối lượng dm trong thể tích dτ bò nén mỏng trên diện tích
nguyên tố dσ.
Kết hợp hai đẳng thức (1.16) và (1.19), ta có mối liên hệ giữa mật độ khối
và mật độ mặt. Thật vậy :
dm = δhdσ = ε dσ

Ta suy ra mối liên hệ giữa hai mật độ : ε = δh (1.20)












Sự tiến tới giới hạn trình bày ở (1.18) được áp dụng cho toàn bộ khối lượng
của lớp đơn, kết quả toàn bộ khối lượng được xem như bò nén mỏng trên mặt σ.
Nhờ (1-20), biểu thức cho thế lớp đơn (1.17) có thể viết :


∫∫
=
σ

σ
ε
r
d
fzyxV
.
),,(
(1.21)
Tích phân giờ đây là tích phân mặt.

4.Thế lớp kép:

Bây giờ, ta hãy rút ra công thức cho thế lớp kép.
P

r
d
σ

d
τ

M
σ
′

σ

δ



9
Giả sử có hai mặt σ và σ
’

mà khoảng cách h giữa hai mặt tính theo phương
pháp tuyến ngoại rất gần nhau. Trên mặt σ
’
lớp đơn phân bố với mật độ µ > 0
(thay đổi), còn trên mặt σ, lớp đơn phân bố với mật độ -µ, âm. Trong đó, mật độ
của hai lớp trên đoạn thẳng h tại cùng một pháp tuyến có trò số tuyệt đối như nhau.
Lấy điểm P với toạ độ x, y,z và khoảng cách từ đó đến hai điểm chạy trên
hai mặt σ và σ’

là r và r’. Khi đó, tổng thế của hai lớp đơn trên các mặt σ và σ’ là :


∫∫∫
−=+
σσ
σ
ε
σ
ε
r
d
f
r
d
fVV

'
'
'


Do h bé, nên xem dσ = dσ’, vậy :


σε
σ
d
rr
fVV
∫∫






−=+
1
'
1
'


Đại lượng 1/r’ có thể khai triển thành chuỗi Taylor :




1
!2
1
!1
1
'
1
2
22
+






+






++=
r
dn
dh
rdn
dh

rr


Bỏ qua những đại lượng bé bậc cao, chúng ta sẽ có hiệu :








=−
′
rdn
d
h
rr
111


Vậy:
σε
σ
d
rdn
d
hfVV
∫∫







=+
1
.'


Hãy tưởng tượng rằng nếu hai mặt
σ
và
σ
’ sẽ tiến tới sát nhau vô cùng. Khi
đó, đặt điều kiện sao cho giới hạn của tích số εh vẫn là giới nội.


ν
ε
=
→
h
h
.
lim
0


ν

–
mật độ thế lớp kép.

Hai lớp đơn sẽ tiến tới một vò trí giới hạn gọi là lớp
kép. Khối lượng chung của lớp kép bằng 0. Giới hạn của tổng hai thế :


σν
σ
d
rdn
d
fVV
h
∫∫






=+
→
1
)'(lim
0

là thế lớp kép W(x,y,z) :

10



σν
σ
d
rdn
d
fzyxW
∫∫






=
1
),,(
(1.22)

Công thức (1.22) còn có thể viết dưới dạng khác. Khoảng cách r phụ thuộc
vào tọa độ
ξ
,
η
,
ζ
lẫn tọa độ x,y,z, nhưng trong tích phân, tọa độ điểm chạy là biến,
cho nên đạo hàm theo pháp tuyến ngoài







rdn
d
1

phải lấy theo tọa độ điểm chạy
ξ
,
η
,
ζ
. Còn tọa độ x, y, z giờ là tham số.








∂
∂
+
∂
∂
+

∂
∂
−=−=






dn
dr
dn
dr
dn
dr
r
dn
dr
r
rdn
d
ζ
ζ
η
η
ξ
ξ
22
111
(1.23)


Trong đó :
);,cos( xn
dn
d
=
ξ

),cos( yn
dn
d
=
η
;
),cos( xn
dn
d
=
ξ


Và lấy đạo hàm riêng biểu thức của r ở ( 1.1a ) theo ξ, ta có :


cos( , )
r r x
r x
x r
∂ ∂ − ξ
= − = − = −

∂ξ ∂
(1.23a)

Tiến hành tương tự như vậy, đối với toạ độ
η
và
ξ
. Kết quả (1.23) có dạng :

[ ]
22
r
)n,rcos(
)z,ncos()z,rcos()y,ncos()y,rcos()x,ncos()x,rcos(
r
1
r
1
dn
d
=++=








(1.24)

Hay :
2
r
)n,rcos(
r
1
dn
d
=







(1.24a)
Biểu thức (1.24) cho phép ta nhận được công thức khác cho thế lớp kép :


σν
σ
d
r
nr
fzyxW
∫∫
=
2
),cos(

),,(
(1.25)


Cuối cùng, thế lớp kép còn có thể viết dưới dạng thứ 3. Nhờ (1.24), ta viết :

2 2 2
( , , ) cos( , )cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , )cos( , )
v v v
W x y z f r x n x d f r y n y d f r z n z d
r r r
σ σ σ
= σ+ σ+ σ
∫∫ ∫∫ ∫∫

(1.26)

11
Theo (1.14) ta có :


2
),cos(1
r
xr
rx
−=







∂
∂
;
2
),cos(1
r
yr
ry
−=






∂
∂
;
2
),cos(1
r
zr
rz
−=







∂
∂
(1.27)
Nhờ (1.27), loại
2
cos( , )
r x
r
,
2
cos( , )
r y
r
,
2
cos( , )
r z
r
ra khỏi (1.26), ta có :

cos( , ) cos( , ) cos( , )
( , , )
v n x v n y v n z
W x y z f d f d f d
x r y r z r
σ σ σ
∂ ∂ ∂

= − σ − σ − σ
∂ ∂ ∂
∫∫ ∫∫ ∫∫
(1.27a)

5. Thế từ của một lưỡng cực:

Trái với khối lượng hấp dẫn, chỉ mang một dấu dương, khối lượng từ không
bao giờ mang một dấu. Ứng với một khối lượng từ dương +m, bao giờ cũng có một
khối lượng từ âm –m cùng trò số. Chỉ khi nào có một cực (âm hoặc dương) nằm tại
vô cực, thì ta mới có thể xem như chỉ có một cực duy nhất mà thôi. Hai khối lượng
từ khác dấu ở cách nhau một đoạn d tạo thành một lưỡng cực giống như một thanh
nam châm vónh cữu. Mômen từ của một lưỡng cực như vậy là một đại lượng vectơ
µ
được đònh nghóa như sau :


qmd
d
)(lim
0→
=
µ
(1.28)

q
là vectơ đơn vò hướng từ -m sang +m. Chiều này quy ước là chiều dương.
Giả sử khối lượng +m ở tại vò trí M
1
và -m ở tại vò trí M

2
. Và M là vò trí chính giữa
hai khối lượng. Khoảng d = M
1
M
2
gọi là độ dài của lưỡng cực.
Trục l trùng với đoạn d gọi là trục lưỡng cực và hướng theo chiều dương.
M gọi là tâm của lưỡng cực.
M
1
, M
2
là hai cực của lưỡng cực.

P

r
1
r
2

M
2

M
1
H.3




Mặt phẳng vuông góc với l tại M gọi là mặt phẳng xích đạo của lưỡng cực.

12
Vectơ
µ
luôn luôn hướng theo chiều +, tức về phía khối lượng +m. Còn giá
trò tuyệt đối của mômen lưỡng cực bằng tích số md. Trong đó m > 0.
Tổng thế từ của hai chất điểm như vậy quan sát tại một điểm P nào đó, gọi
là thế từ của lưỡng cực. Ký hiệu khoảng cách PM = r, PM
1
= r
1
, PM
2
= r
2
, M
1
M
2
= d
Áp dụng công thức thế của một chất điểm cho từng chất điểm có khối lượng
từ m và -m, biết rằng thế từ không có hằng số hấp dẫn :


( )
1 2 1 2
1 1
m m

U p m
r r r r
   
≈ − = −
   
   


Nhân và chia đồng thời vế phải của đẳng thức trên với d, ta có gần đúng :


( )
1 2
1 1
r r
U p md
d
 
−
 
 
≈


Cho d
→
0 ta sẽ có giới hạn là thế từ. Coi d = ∆l, xét riêng giới hạn :








=
∆






∆
=








−
→∆→
rdl
d
l
r
d
rr

ld
1
1
lim
11
lim
0
21
0



Nhưng :
θ
cos
1
),cos(
11
22
r
lr
r
rdl
d
−=−=







(1.29)

với
θ
- góc giữa phương của r và l. Khoảng r không còn là hằng nữa.
Sử dụng (1.29), biết rằng theo (1.28) lim(md) = µ là trò số tuyệt đối của
mômen từ lưỡng cực, ta có :


(1.30)



Hoặc :
(1.30a)








=
rdl
d
pU
1
)(

µ

θµ
cos
1
)(
2
r
pU −=


13

Thế từ khác với thế hấp dẫn là nó tỉ lệ nghòch với bình phương khoảng cách.


Biểu thức (1.30) cho U(p) còn có thể viết dưới dạng tích vectơ vô hướng.
Đạo hàm






rdl
d
1
trong (1.30), mà r là hàm của x,y,z có dạng :

dl

dz
rzdl
dy
rydl
dx
rxrdl
d






∂
∂
+






∂
∂
+







∂
∂
=






1111


Vế phải của biểu thức trên chính là tích vô hướng của 2 vectơ :














∂
∂

+






∂
∂
+






∂
∂
k
rz
j
ry
i
rx
111
.
[
]
q
r

gradkji
.
1
coscoscos






=++
γβα


vì
cos
dx
dl
= α
,
cos
dy
dl
= β
,
cos
dz
dl
= γ
, là các cosin chỉ phương của 1 vectơ.


Vectơ đơn vò
q
đã được biểu diễn qua 3 cosin chỉ phương và các vectơ đơn
vò
, ,
i j k
r r r
trên 3 trục tọa độ x, y, z. Vậy cuối cùng (1.30) có dạng :


q
r
gradpU .
1
)(






=
µ



Hoặc : (1.30b)




Hãy xem xét các trường hợp đặc biệt của (1.30a) :

1. Giả sử θ = 0, tức r hướng dọc theo l. U(p) = µ/r
2
. U(p) đạt giá trò cực đại.
2. Giả sử θ = 90° tức r⊥ l . Ta thấy U(p) = 0.
Tức trong mặt phẳng xích đạo, thế từ lưỡng cực bằng 0.
Để xác đònh từ lực, tức cường độ từ trường của lưỡng cực, ta chọn hệ tọa độ
x, y,z với trục x trùng với l. Lúc đó cosθ = cos(r,x) = x/r ta có thế :

3
r
x
U
µ
−=

và từ lực :
5
2
3
3
1
r
x
r
F
x
µ

µ
+−=







=
r
gradpU
1
.)(
µ


14

5
r
xy
F
y
µ
−=


5
r

xz
F
y
µ
−=

Trong mặt phẳng xích đạo x = 0, từ lực của lưỡng cực tỉ lệ nghòch với lập
phương khoảng cách và hướng ngược trục x ( tức l ) :


3
1
r
F
x
µ
−=
,
0
=
y
F
,
0
=
z
F


6. Thế từ của các vật thể bò từ hóa :


Dưới tác dụng của từ trường Trái đất, đất đá các loại khác nhau sẽ bò nhiễm
từ và bò từ hóa. Mức độ từ hóa khác nhau, tùy thuộc độ từ thẩm của từng loại đất
đá. Một vật thể bò từ hóa có thể được coi như gồm vô số các lưỡng cực từ
µ
rời
rạc, với
các trục lưỡng cực từ đònh hướng khác nhau.
Xét thể tích nguyên tố dτ của vật thể có mômen từ nguyên tố là
d M
uur
.

Đại lượng :
τ
d
Md
J
r
r
=
(1.31)

được gọi là vectơ từ hóa của vật thể. Nó là một hàm vectơ liên tục tại khắp mọi
điểm trong vật, cho tới bề mặt của vật và các vectơ
J
hướng trùng với
µ
.
Nếu vật bò từ hóa đồng nhất (

constJ
=
), thì mômen từ của cả vật thể là :


τ
JM
r
r
=

với τ là thể tích vật.
Mômen từ nguyên tố d
M
ứng với từng thể tích nguyên tố dτ của vật thể có
thể coi đồng nhất với mômen từ lưỡng cực
µ
:


τµ
dJMd
r
r
==
(1.31a)

Thay
µ
ở (1.30b) bằng

τ
dJ
và ký hiệu lại U là dU ta có :


τ
d
r
gradJdU












=
1
.
r


Lấy tích phân theo toàn thể tích của vật ta có thế từ của vật thể :



15


(1.32)

Tương tự , công thức (1.30) và (1.30a) viết cho toàn vật thể ta có :

(1.32a)


(1.32b)


Ta hãy thiết lập mối liên hệ giữa thế từ và thế hấp dẫn của cùng một vật
thể. Hãy xét trường hợp vật thể đồng chất bò từ hóa đồng nhất. Vectơ
J
là hằng về
trò số và hướng xác đònh trong toàn vật thể. Theo (1.32a), ta có :


∫ ∫
=






=
τ τ

τ
τ
r
d
dl
d
Jd
rdl
d
JpU
1
)(


Vật thể đồng chất nên mật độ là hằng số, ta có :











==
∫
τ
τδ

δ
r
d
f
dl
d
f
J
pU )(

Kết qủa :

(1.32c)



Ở đây thế hấp dẫn là :
∫
=
τ
τ
δ
r
d
fV

Như vậy thế từ của một vật thể đồng chất bò từ hóa đồng nhất bằng đạo
hàm của thế hấp dẫn theo hướng l hay vectơ từ hóa
→
J

, nhân với nhóm hệ số
δ
f
J
.
§2. Ý nghóa vật lý của thế, các mặt đẳng thế, đường sức.
Đònh nghóa toán học về thế, đã xác đònh thế như một hàm số của tọa độ của
điểm quan sát P. Song thực ra, thế có một ý nghóa vật lý hoàn toàn xác đònh.
τ
θ
τ
d
r
JU
2
cos
∫
−=

dl
dV
f
J
pU
δ
=)(

∫







=
τ
τ
d
rdl
d
JU
1

∫












=
τ
τ
d

r
gradJU
1
.
r


16
Trước tiên ta hãy xác đònh ý nghóa vật lý của số gia vô cùng nhỏ của thế,
sau đó đến số gia hữu hạn, và sau cùng là ý nghóa vật lý của bản thân thế.
Hãy xem thế thay đổi ra sao khi di chuyển một đơn vò khối lượng từ một
điểm P (x, y, z) đến một điểm P’(x + dx, y +dy, z+dz) ở lân cận. Hãy ký hiệu đoạn
dòch chuyển PP’ ấy là ds.
Thế sẽ có một số gia nào đó ∆V. Với độ chính xác đến các số hạng bậc cao,
ta dùng vi phân dV thay cho ∆V. Vi phân toàn phần của một hàm số được xác đònh
trong toán học :

dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
=

Đạo hàm của thế V theo phương s sẽ là :

ds
dz
z
V
ds
dy
y
V
ds
dx
x
V
ds
dV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂

∂
=

trong đó :
),cos( xs
ds
dx
=

),cos( ys
ds
dy
=

),cos( zs
ds
dz
=

),cos( xFFF
x
V
x
==
∂
∂

),cos(
yFFF
y

V
y
==
∂
∂

),cos(
zFFF
z
V
z
==
∂
∂

[ ]
),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(
sFFzszFysyFxsxFF
ds
dV
=++=

Kết qủa :
dsFdssFFdV
s
== ),cos(
= dA (1.33)

Với F
s

là hình chiếu đại số của lực F trên phương s.
Như vậy, một gia số vô cùng nhỏ của thế bằng tích của lực tác dụng theo
phương s với quãng đường đi là ds, tức bằng công dA của lực tác dụng vào một
đơn vò khối lượng trên khoảng dòch chuyển ds vô cùng nhỏ. Công thức (1.33) cho
ta công thức xác đònh thành phần lực theo một phương s bất kỳ :

ds
dV
F
s
=

(1.33a)
Như vậy, một khi biết thế V, ta có thể xác đònh lực theo một phương s tùy
ý.
Chúng ta hãy tìm hiểu ý nghóa vật lý của hiệu số thế giữa hai điểm P và P
0

cách nhau một khoảng hữu hạn. Lấy tích phân hai vế của biểu thức (1.33) ta được
công A của lực hấp dẫn khi di chuyển một đơn vò khối lượng từ P
0
đến P :

17

dm
rr
fPVPVdVA
P
P

∫∫∫∫








−=−==
τ
0
0
11
)()(
0


r : khoảng cách từ dm đến điểm P, còn r
0
- khoảng cách từ dm đến điểm P
o
.


Như vậy thế giữa hai điểm bằng công của lực hấp dẫn thực hiện được khi
một đơn vò khối lượng di chuyển từ điểm này sang điểm nọ và không phụ thuộc
vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào giá trò thế ở điểm đầu và điểm cuối. Nếu r < r
0
,

di chuyển thực hiện về phía khối lượng hấp dẫn thì công dương, ngược lại công là
âm ; và bằng không nếu đường đi khép kín ( P và P
0
trùng nhau ).
Bây giờ cho điểm P
0
nằm ở vô cực, tức là : r
0
→ ∞ , khi đó :


0)(lim
0
0
=
∞→
PV
r


Ta có : A = V(P)
Vậy, thế tại điểm quan sát P bằng công mà trường lực thực hiện được khi di
chuyển một đơn vò khối lượng từ vò trí không của thế (V = 0) đến điểm P nói trên.
Đó là ý nghóa vật lý của thế tại điểm quan sát P. Thứ nguyên của thế là thứ
nguyên của công.
Thế V là đại lượng ngược dấu với thế năng : V = - U. Như vậy, có nghóa thế
năng bằng công của trường lực khi di chuyển một khối lượng đơn vò từ điểm quan
sát về vò trí không của thế năng.
Chúng ta hãy xét hai trường hợp đặc biệt của công thức (1.33) :
* Thứ nhất là phương di chuyển của khối lượng đơn vò vuông góc với

phương của lực, lúc đó:
Góc ( = 90
0
, cos(F,s) = 0, từ (1.33) ta có : dV = 0

suy ra : V(x,y,z) = const (1.34)

Đây là phương trình của một mặt mà trên đó, thế có giá trò không đổi, lực
có phương vuông góc với mặt đó tại mọi điểm trên mặt (trùng với phương của
pháp tuyến). Mặt này có tên là mặt mức hay mặt đẳng thế. Công thực hiện được
khi di chuyển một chất điểm trên mặt đẳng thế luôn luôn bằng không. Thay đổi
giá trò hằng số trong (1.34), ta sẽ nhận được một họ các mặt đẳng thế khác nhau.
Các mặt đẳng thế không thể cắt nhau hay tiếp xúc với nhau, bởi vì nếu như
vậy hóa ra thế là một hàm đa trò.
* Thứ hai là cho khối lượng đơn vò di chuyển dọc theo phương và theo chiều
tác dụng của lực ( trùng với chiều của pháp tuyến trong n’).
Lúc đó :

18
Góc (F,s) = 0
0
, cos(F,x) =1, dV= Fds = Fdn’ với dn’ là một đoạn của pháp
tuyến trong (ds = dn’).

'
dn
dV
F
=


(1.35)

Nếu di chuyển ngược theo phương của lực (ds = dn) thì :
Góc (F,s) = 180
0
,
cos (F,s) = -1
ta suy ra :
dn
dV
F
−=
(1.36)
Như vậy chỉ có lấy đạo hàm theo phương của pháp tuyến ta mới nhận được
toàn phần của lực tác dụng.
Biểu thức (1.36) ứng với phương của pháp tuyến ngoài, còn (1.35) ứng với
phương của pháp tuyến trong.
Thông thường, trong lý thuyết thế, người ta sử dụng pháp tuyến ngoài, vì
vậy cho nên lực sẽ được biểu diễn bằng (1.36).
Từ (1.36), ta có :

F
dV
dn
−=

(1.37)


Qua (1.37), ta rút ra rằng : khoảng cách theo phương pháp tuyến giữa hai

mức vô cùng sát nhau không phải hằng số cho mọi vò trí mà tỉ lệ nghòch với lực.
Ký hiệu h là khoảng cách hữu hạn tính dọc theo phương đường sức giữa hai
mặt mức V = C
1
và V = C
2
nào đó không sát nhau, trong đó chiều dương của h
trùng với chiều pháp tuyến ngoài n.
Ta có :
F
dV
dh
−=



Lấy tích phân dọc theo đường sức của lực :


∫∫
−=
2
1
1
0
C
C
m
h
dV

F
dh


ta có :
m
F
CC
h
21
−
=


Trong đó F
m
là trò giá trung bình của lực trên đoạn h của đường sức.
Như vậy, nếu biết hiệu thế giữa hai mặt đẳng thế, ta có thể xác đònh được
đoạn đường sức nói trên. Mặc dù đoạn này có thể cong, nhưng luôn vuông góc với
cả hai mặt đẳng thế và được xem là độ cao của mặt này so với mặt nọ.


19
§.3. Thế và trường lực của một số vật thể có dạng đơn giản.

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp xác đònh thế và trường
lực của một số vật thể có dạng đơn giản. Qua đó, chúng ta sẽ rút ra kết luận có
tính chất đặc trưng, đúng cho trường hợp tổng quát.
Chúng ta sẽ xác đònh các loại trường thế, vì biết được trường thế, chúng ta
sẽ biết được giá trò của lực và hướng của lực tại một điểm bất kỳ và biết được

phương trình các mặt đẳng thế nữa.
Việc xác đònh thế chung quy là chọn một hệ tọa độ thích hợp sau đó tiến
hành lấy tích phân.

1.Thế lớp cầu :

Đây là trường hợp đặc biệt của lớp đơn với mật độ ε, có dạng hình cầu. Như
vậy quả cầu ở đây vô cùng mỏng và rỗng ở bên trong.
Chúng ta hãy xét các trường hợp :

a/ Điểm quan sát P nằm ở không gian ngoài quả cầu.

Chọn góc tọa độ O trùng với tâm quả cầu bán kính R. Khối lượng hấp
dẫn được dàn mỏng vô cùng trên mặt quả cầu σ với mật độ mặt đều ε, còn
điểm quan sát P ở ngoài quả cầu cách tâm O một khoảng là ρ.
Điểm chạy M trên mặt cầu được xác đònh bằng tọa độ cầu ρ, θ, λ.
Trục xuyên tâm mặt cầu qua hai cực N và S được chọn trùng với OP là
trục tính tọa độ góc θ (hình 4). Thế của lớp đơn được áp dụng là :


∫∫
=
σ
σ
ε
r
d
fV



Ở đây r = MP, dσ = R
2
sinθdθdλ

Trong tam giác OMP (hình 5), ta có :

r
2
= R
2
+ρ
2
– 2Rρcosθ (1.38)

Lấy vi phân hai vế (1.38), ta có :

rdr = Rρsinθdθ

Từ đây, ta rút ra :
dR
rR
dR
ρ
θθ
=sin
2
(1.39)

20


Vậy :
λ
ρ
σ
drd
rR
d =

(1.40)

σ

H.4

S
N

λ

O

dσ

R

ρ

P(ρ,θ,λ)

dλ


r

θ

dθ


M


Thay (1,40) vào tích phân và coi mật độ mặt ε = const, sau khi lấy tích phân
theo λ ta có:

∫
+
−
=
R
R
dr
R
fV
ρ
ρ
ρ
επ
2

(1.41)


ρ
επ
2
4
R
fV =

(1.42)


Theo công thức hình học sơ cấp thì 4πR
2
ε chính là khối lượng của mặt cầu σ
có mật độ mặt là ε, ký hiệu là M, ta có :

ρ
fM
V =
(1.43)


So sánh với thế của một chất điểm, ta có nhận xét rằng môt lớp cầu vô cùng
mỏng có thế giống trường hợp giá như dồn hết khối lượng lớp cầu vào tâm quả
cầu. Thế giảm tỷ lệ nghòch với khoảng cách.
Lực hấp dẫn của lớp cầu này đối với một khối lượng đơn vò đặt tại P cách
tâm một khoảng ρ bằng :
σ

H.5

ρ

θ


21


2
ρρ
M
f
V
F −=
∂
∂
=
(1.44)
Như vậy, lực tác dụng không khác lực hấp dẫn của chất điểm có khối lượng
bằng khối lượng của lớp cầu đặt tại tâm cầu, và hướng ngược với ρ vào tâm O.
Ta có thể nhận được lực bằng cách lấy đạo hàm của (1.42) :

F =
2
2
4
ρ
επ
ρ
R

f
V
−=
∂
∂
(1.44a)

b/ Điểm quan sát P nằm bên trong lớp cầu :

Hãy lấy tích phân theo r, có sự thay đổi so với trường hợp thứ nhất. Ở đây :


ρ
+
=
Rr
max

còn

ρ
−
=
Rr
min
,
hiệu số : r
max
- r
min

= 2ρ
Công thức (1.41) sau khi thay giá trò trên đây vào sẽ có dạng :

V = 4πfεR (1.45)

Hay :
const
R
fM
V ==
(1.46)

Trong đó M là khối lượng của lớp cầu.
Như vậy thế của lớp cầu đối với điểm bên trong không phụ thuộc vào vò trí
của điểm đó bên trong lớp cầu. Lực hấp dẫn :


0
=
∂
∂
=
ρ
V
F
(1.47)

Nghóa là điểm nằm bên trong lớp cầu không chòu lực hấp dẫn của lớp cầu.



22

V

ρ

ρ
=R

O

R
fM

ρ
fM
V
=

H.6


c/ Điểm quan sát P ở trên mặt lớp cầu :

Thay ρ = R vào (1.42) và (1.43), ta có thế trên và trong lớp cầu :

R
fM
RfV ==
επ

4
là hằng số. (1.48)
- Thế là hàm đơn trò, liên tục khi đi qua lớp cầu.
Chúng ta hãy khảo sát xem khi xuyên qua mặt cầu thì lực diễn biến ra sao.
Xét giá trò giới hạn khi chúng ta tiến từ bên ngoài đến cận một điểm P
0
trên
mặt cầu.
Dùng ký hiệu sau :
ρρ
∂
∂
=
∂
∂
→
e
PP
VV
0
lim


Còn từ bên trong tiến đến điểm P
0
trên mặt cầu :


ρρ
∂

∂
=
∂
∂
→
i
PP
VV
0
lim


Theo (1.44a) khi cho ρ = R và (1.47), ta có :

επ
ρ
f
V
e
4
−=
∂
∂

0
=
∂
∂
ρ
i

V


Bây giờ ta sẽ tính đạo hàm
ρ
∂
∂
V
tại điểm P
o
ở ngay trên lớp cầu.
Thành phần lực theo một trục bằng đạo hàm của (1.21) :
σ

O
R
R
P
M
r
z
H.7


23


σε
σ
d

r
zr
f
z
V
F
z
∫∫
−=
∂
∂
=
2
),cos(


Hướng trục z trùng với ρ, theo hình 7, ta có :
R
r
zr
2
),cos(
=

( trên mặt cầu ), kết qủa :


∫∫ ∫∫
−=−=
∂

∂
=
∂
∂
=
σ σ
σ
ε
σ
ε
ρ
r
d
R
f
r
d
R
r
f
V
z
V
F
z
22
2


Sử dụng biểu thức (1.40) và cho ρ = R, ta có tích phân :



∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
====
σ σ
π
ππλλ
σ
max
min
2
0
2
0
42
r
r
R
Rdrdrddrd
r
d


Vậy,

trên mặt σ :

επ
ρ
f

V
2
−=
∂
∂


Tóm lại môđun lực F
=











=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂

∂
−
επ
ρ
ρ
επ
ρ
f
V
V
f
V
i
e
2
0
4
0















Ngoài

σ


Trong σ

Trên σ

ρ

4
π
f
ε

2
π
f
ε

H.8
F =
f


24
Đường cong biểu diễn đạo hàm của thế của lớp cầu.



Khi đi qua lớp cầu, hàm số này bò gián đoạn và biến đổi một lượng bằng

± 4πfε, dấu tùy thuộc vào chiều đi từ trong ra ngoài hay từ ngoài vào trong.

2. Thế khối cầu

Chúng ta xét quả cầu đặc và đồng chất và cũng phân biệt hai trường hợp
điểm quan sát ở trong và ngoài quả cầu.

a/ Trường hợp điểm quan sát P ở ngoài và cách tâm quả cầu một khoảng
ρ
:

Hãy tưởng tượng quả cầu này là một tập hợp của vô số những lớp cầu đồng
chất vô cùng mỏng. Khi đó, thế của toàn thể khối cầu có thể xem bằng tổng các
thế của các lớp cầu. Nói chính xác là lấy tích phân thế lớp cầu theo công thức
(1.42). Ta sẽ thay ε bằng mật độ khối như sau, gọi khoảng cách giữa hai lớp cầu
vô cùng gần nhau là h = dR thì (1.20) sẽ có dạng :

ε = δdR (1.49)

với δ là một hằng số cho mọi lớp cầu.

Ký hiệu lại V bằng dV, công thức (1.42) cho thế lớp cầu sẽ có dạng:


dR
R

fdV
ρ
δπ
2
4=

Để có thế của khối cầu, ta lấy tích phân từ 0 đến R
0
theo bán kính :


∫
==
0
0
3
0
2
3
4
4
R
R
fdRRfV
ρ
δπ
ρ
δ
π


(1.50)
δπ
3
0
3
4
RM =

là khối lượng của khối cầu. Ta có :

ρ
fM
V =
(1.51)

Như vậy, thế của khối cầu đặc có dạng giống trường hợp giá như toàn bộ
khối cầu đó được dồn hết vào tâm thành chất điểm. Lực hấp dẫn đối với điểm
quan sát có khối lượng đơn vò đặt tại P bằng :


25

2
ρρ
fMV
F −=
∂
∂
=


(1.52)

Lực hấp dẫn cũng tỷ lệ nghòch với bình phương khoảng cách đến tâm quả
cầu, tỷ lệ thuận với khối lượng M, hướng vào tâm quả cầu, ngược chiều với ρ.

b/ Trường hợp điểm quan sát P ở trong khối cầu, cách tâm một khoảng
ρ
.

Dựng một mặt cầu bán kính ρ, chia đôi khối cầu làm hai phần. Phần trong
là một quả cầu có bán kính ρ cho ta thế ký hiệu là V
1
. Phần thứ hai là một lớp cầu
bò giới hạn giữa hai bán kính ρ và R
0
có thế bằng V
2
. Vì thế có tính chất chồng
chất, nên thế của khối cầu có thể coi bằng tổng của V
1
và V
2
:

V = V
1
+ V
2



Điểm P là điểm ngoài so với quả cầu bán kính ρ, vậy áp dụng (1.50), thay
R
0
= ρ, ta có:

2
1
3
4
δρπ
fV =


Điểm P là điểm trong so với lớp cầu còn lại vậy áp dụng công thức (1.45)
cho một điểm quan sát ở bên trong lớp cầu vô cùng mỏng và sau khi thay đổi mật
độ mặt ε bằng mật độ khối theo (1.49), ký hiệu lại V bằng dV ta có :

dV = 4πfδRdR

Thế của lớp cầu dầy bằng thế của vô số lớp cầu mỏng là tích phân :


∫
−==
0
)(24
22
02
R
RfRdRfV

ρ
ρδπδπ


Thế của khối cầu kết quả cuối cùng là:

(1.53)


2
0max
2 RfVV
δπ
==

khi ρ = 0

)3(
3
2
22
021
ρδπ
−=+= RfVVV