Tài liệu Bài tập Thuỷ lực

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.51 MB, 223 trang )

LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn bài tập Thủy lực xuất bản lần đầu vào năm 1973. Nội dung của nó tương ứng với
nội dung cuốn Giáo trình thủy lực xuất bản năm 1968 và 1969. Cuốn Bài tập thủy lực đó
được soạn thành 2 tập : tập I do đồng chí Nguyễn Cảnh Cầm và Hoàng Văn Quý biên soạn,
đồng chí Hoàng Văn Quý chủ biên. Tập II do các đồng chí Nguyễn Cảnh Cầm, Lưu Công
Đào, Nguyễn Như Khuê và Hoàng Văn Quý biên soạn, đồng chí Nguyễn Cảnh Cầm chủ
biên.
Năm 1978 cuốn Giáo trình thủy lực đã được tái bản, có sửa chữa và bổ sung. Để
tương ứng với cuốn giáo trình đó hai tập cuốn Bài tập thủy lực cũng được sửa chữa và bổ
sung. Lần tái bản này do đồng chí Nguyễn Cảnh Cầm chịu trách nhiệm chỉnh lý. Trong quá
trình chuẩn bị cho việc tái bản, Bộ môn Thủy lực các trường Đại học Thủy lợi và Đại học
Xây dựng đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các bạn.
Chúng tôi mong nhận được nhiều ý kiến nhận xét của bạn đọc.

NHỮNG NGƯỜI BIÊN SOẠN

02/1983

NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG
VÀ CHẤT KHÍ

I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chất lỏng và chất khí (gọi chung là chất chảy) khác với chất rắn ở chỗ có tính chảy.
Giữa chất lỏng và chất khí cũng có sự khác nhau : chất lỏng hầu như không nén được (thể
tích không thay đổi) và có hệ số giãn vì nhiệt rất bé, còn chất khí có thể tích thay đổi trong
một phạm vi lớn khi áp suất và nhiệt độ thay đổi ; vì thế người ta còn gọi chất lỏng là chất
chảy không nén được. Những kết luận đối với chất lỏng có thể dùng cho cả chất khí chỉ
trong trường hợp : vận tốc chất khí không lớn ( v < 100m/s) và trong phạm vi hiện tượng ta
xét, áp suất và nhiệt độ thay đổi không đáng kể. Trong phạm vi tập sách này ta chỉ xét
những vấn đề về chất lỏng.
Trọng lượng riêng (
γ

) là trọng lượng của 1 đơn vị thể tích chất chảy ; đơn vị là N/m
3
.
Khối lượng riêng (
ρ
) là khối lượng của 1 đơn vị thể tích chất chảy, đơn vị là kg/m
3
.
Giữa 2 đại lượng
γ
và
ρ
có quan hệ :

γ
=
ρ
g hay
ρ
=
g
γ
(1 – 1)
trong đó : g là gia tốc trọng trường (g = 9,81m/s
2
).
Thông thường đối với nước, ta lấy
γ
= = 9810N/m
3

,
ρ
= 1000 kg/m
3
. Trị số của
γ
và
ρ
của nước và không khí cho ở phụ lục 1 – 1.
Hệ số co thể tích (
β
w
) biểu thị sự giảm tương đối của thể tích chất chảy W khi áp suất
p tăng lên 1 đơn vị :
β
w
=
)/(,.
1
2
Nm
dp
dW
W
−
(1 – 2)
Thông thường đối với nước có thể coi
β
w
≈

0, tức coi nước là không nén được. Đại
lượng nghịch đảo K =
w
β
1
,(N/m
2
) gọi là môđun đàn hồi. Trong hiện tượng nước va
(chương VII) phải coi nước là nén được ; lúc đó thường ta lấy :
K
N
mmN
w
/
10,
5;/10.2
210
29 −
≅
≅
β

Hệ số giãn vì nhiệt (
β
t
) biểu thị sự biến đổi tương đối của thể tích chất chảy W khi
nhiệt độ thay đổi 1
0
C :

dt
dW
W
t
.
1
=
β
(1/độ) (1 – 3)
Đối với chất khí, khi nhiệt độ thay đổi từ T
1
đến T
2
(
0
K), áp suất thay đổi từ p
1
đến p
2
;
các đại lượng
γ
và
ρ
có thể dựa vào phương trình trạng thái tĩnh như sau :

γ
2
=
γ

1
.
2
1
1
2
.
T
T
p
p

ρ
2
=
ρ
1
2
1
1
2
.
T
T
p
p
( 1 – 4)
Ở phụ lục 1 – 1 cho trị số trọng lượng riêng của nước và không khí ứng với các nhiệt
độ khác nhau. Đối với chất lỏng

β
t
rất bé và thông thường ta coi chất lỏng không co giãn
dưới tác dụng của nhiệt độ.
Tính nhớt của chất lỏng đóng vai trò rất quan trọng vì nó là nguyên nhân sinh ra tổn
thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động. Do có tính nhớt mà giữa các lớp chất lỏng
chuyển động tương đối với nhau có lực ma sát gọi là ma sát trong T (hay lực nội ma sát) ;
lực này được biểu thị bằng định luật Niutơn (1686) :
T =
µ
S
)(
, N
dn
du
(1 – 5)
trong đó : S – diện tích tiếp xúc giữa các lớp chất lỏng ;
u = f(n) – vận tốc (n là phương thẳng góc với phương chuyển động) ;

dn
du
= f’(n) – gradien vận tốc theo phương n (hình 1 – 1) ;
Hình 1 – 1

µ
- hệ số nhớt động lực, có đơn vị Ns/m
2
hay kg/s.m ;
đơn vị ứng với 0,1N.s/m

2
gọi là poazơ.
Đại lượng :
τ
=
S
T
=
µ

)(, N
dn
du
(1-
6)
gọi là ứng suất tiếp (hay ứng suất ma sát).
Hệ số :
ν
=
)/(
2
sm
ρ
µ
(1
– 7)
trong đó
ρ
- khối lượng riêng ;
ν

được gọi là hệ số nhớt
động học. Đơn vị cm
2
/s được gọi là stốc.
Do cấu tạo nội bộ của chất lỏng và chất khí khác nhau
nên khi nhiệt độ tăng lên, hệ số nhớt của chất khí sẽ tăng lên,
còn của chất lỏng lại giảm xuống :
Đối với khí :

µ
t
=
µ
0

273
1
273
1
T
T
C
C
+
+
(1 – 8)
trong đó :
µ
0
- độ nhớt của khí ở 0

0
C ;
T- nhiệt độ tuyệt đối (
0
K) ;
C – hằng số, lấy như sau : không khí C = 114 ;
khinh khí – 74 ; khí CO
2
– 260 ; hơi nước - 673.
Đối với nước :

ν
=
)/(,
000221,00337,01
01775,0
2
2
scm
tt ++
(1 – 9)
trong đó : t – nhiệt độ nước (
0
C).
Ở phụ lục 1 – 2 cho trị số
ν
của nước và không khí ứng với các nhiệt độ khác nhau.
Trong thực tế, hệ số nhớt
ν
còn biểu thị bằng độ Engle (

0
E), đổi ra đơn vị cm
2
/s theo hệ
thức :
u+du
dn
u=f(n)
du
n

ν
= 0,0731
0
E -
)/
(,
0631,
0
2
0
s
cm
E
(1 – 10)
Các lực tác dụng vào chất chảy có thể chia làm 2 loại : lực khối lượng (hay lực thể
tích) và lực măt.
Lực mặt tác dụng lên các mặt bao quanh khối chất chảy ta xét (ví dụ : áp lực, phản lực
của thành rắn, lực ma sát). Muốn tính lực mặt cần biết luật phân bố của nó trên mặt cần
tính.

Lực khối lượng tác dụng lên từng phần tử chất lỏng (ví dụ : trọng lực, lực quán tính).
Muốn tính lực khối lượng phải biết luật phân bố của gia tốc lực khối trong thể tích chất
lỏng ta xét. Gọi lực khối là
F
thì 3 thành phần của nó tính như sau :
F
x
= mX
F
y
= mY (1 – 11)
F
z
= mZ
trong đó : m – khối lượng ;
X, Y, Z – hình chiếu của gia tốc lực khối lên 3 trục tọa độ.
Hệ thống đơn vị : Theo bảng đơn vị đo lường hợp pháp của nước Cộng hòa xã hội chủ
nghĩa Việt Nam, các đơn vị lấy như sau :
chiều dài : mét (m) ;
thời gian : giây (s) ;
khối lượng : kilogam (kg) ;
lực, áp lực, trọng lượng : Niutơn (N) ; 1N =
kG
81,9
1

áp suất, ứng suất : N/m
2
v.v
II – BÀI TẬP

1. TRỌNG LƯỢNG RIÊNG. KHỐI LƯỢNG RIÊNG
Bài 1-1. Trọng lượng riêng của nước là
γ
= 9810N/m
3
; tính khối lượng riêng của nó :
Giải :
ρ
=
3
/1000
81,9
9810
mkg
g
==
γ

Bài 1-2. Khối lượng riêng của thủy ngân là
ρ
tn
= 13.600 kg/m
3
, tính trọng lượng riêng
của nó :
Giải :
γ
tn
=
ρ

tn
g = 13.600 x 9,81 = 133.500 N/m
3

Bài 1-3. So sánh khối lượng riêng của không khí ở nhiệt độ t = 17
0
C và áp suất p=
760mm cột thủy ngân với khối lượng riêng của nước (lấy
ρ
nước
= 1000kg/m
3
).
Giải : khối lượng riêng của không khí :
ρ
k.k
= 1,217 x
3
0
/192,1
17273
15
273
.
760
760
217,1
273
15273
.

760
m
kg
Ct
p
=
+
+
×=
+
+

tỷ số :

k =
.840
192,1
1000
.
≈
=
k
k
ρ

Bài 1-4 . Tỷ trọng của nước biển là
δ
= 1,03. Tính trọng lượng riêng và khối lượng
riêng của nó :
Đáp số :

γ
n.b
= 10.104,3N/m
3

ρ
n.b
= 1030kg/m
3

Bài 1-5. Xác định khối lượng riêng của một chất khí ở 800
0
C, nếu dưới áp suất
760mm cột thủy ngân và nhiệt độ 0
0
C, trọng lượng riêng nó là
γ
= 12,76N/m
3

Đáp số :
ρ
=0,332 kg/m
3

Bài 1-6. Nhiệt độ của một chất khí ở đầu đường dẫn là 900
0
C. Do được làm nguội cho
nên ở cuối đường dẫn, nhiệt độ khí chỉ còn 500

0
C. Xác định khối lượng riêng của khí ở
đầu và cuối đường dẫn nếu áp suất giữ không đổi và trọng lượng riêng của khí ở 0
0
C là
γ
0

= 12,47N/m
3
.
Đáp số :
ρ
đầu
= 0,298 kg/m
3

ρ
cuối
= 0,451 kg/m
3

2. TÍNH THAY ĐỔI THỂ TÍCH
Bài 1-7. Tính môđun đàn hồi của nước, nếu khi tăng áp suất lên 5at, thể tích nước ban
đầu là W = 4m
3
sẽ giảm đi 1dm
3
.

Giải : K =
2929
4
/10.2/10.962,1
)001,0(
10.81,95
0,4
1
mNmN
dw
dp
W
ß
w
≈=
−
×
×−=−=

Bài 1-8. Thể tích nước sẽ giảm đi một lượng bao nhiêu khi áp suất từ 1at lên 10at, nếu
thể tích ban đầu W = 50dm
3
. Cho biết
β
w
= 5,1.10
-10
m
2
/ N.

Giải :
∆
W =
β
w
W
∆
p = 5,1 .10
- 10

×
0,05
×
(101 – 1)
×
9,81.10
4
= 0,00025m
3
= 0,25dm
3
.
Bài 1-9. Khi đem thí nghiệm thủy lực một ống có đường kính d = 400mm và chiều dài
l = 2000m, áp suất nước trong ống tăng lên đến 45at. Một giờ sau, áp suất giảm xuống chỉ
còn 40at. Cho biết
β
w
= 5,1.10
– 10
m

2
/N.
Bỏ qua sự biến dạng của ống, tính xem thể tích nước đã rỉ ra ngoài là bao nhiêu ?
Đáp số : W = 62,8dm
3

Bài 1-10. Ở một máy dùng kiểm tra các áp kế, một thanh
có ren ngang đường kính d = 4cm và bước răng t = 1,2cm được
cắm vào bình tích năng hình trụ tròn qua một lỗ kín. Hình trụ
chứa đầy nước, đường kính trong D = 30cm, chiều cao H =
20cm. Hệ số co thể tích của nước lấy là
β
w
= 5.10
– 10
m
2
/N.
Coi thành hình trụ là không biến dạng, xác định áp suất của
nước sau 5 vòng của thanh.
Đáp số :
∆
p = 107 at

≈
10,5.10
6
N/m
2

Bài 1- 10
MM
D
H
Bài 1 – 11. Một bể chứa đầy dầu dưới áp suất 5at. Khi tháo ra ngoài 40lít dầu, áp suất
trong bể giảm xuống chỉ còn 1at.
Xác định dung tích của bể chứa, nếu hệ số co thể tích của dầu là
β
w
= 7,55.10
– 10

m/N.
Đáp số : W = 135m
3

3. TÍNH NHỚT
Bài 1 – 12. Xác định hệ số nhớt động của dầu (
γ
= 8829 N/m
3
) ở t = 50
0
C, nếu
µ
=
0,00588 Ns/m
2
.
Giải :

ν
=
scmsm
µgµ
/064,0/10
.
064,
0
8829
81
,9
00588,
0
224
==
×
==
−
γρ

Bài 1 – 13. Tính ứng suất tiếp tại mặt trong của một ống dẫn nhiên liệu, cho biết :
- Hệ số nhớt động
ν
= 7,25 . 10
- 5
m
2
/s
- Khối lượng riêng
ρ

= 932 kg/m
3

- Gradien lưu tốc
sdn
du
1
.
4
=

Giải : Hệ số nhớt động lực của nhiên liệu :

µ
=
ν
p = 7,25 . 10
– 5

×
932 = 6,77 . 10
– 2
Ns/m
2
.
Ứng suất tiếp tại mặt trong của ống ;

τ
=
µ

dn
du
= 6,77 . 10
– 2

×
4 = 0,27 N/m
2

Bài 1 – 14. Xác định ứng suất tiếp trên bề mặt một tàu thủy đang chuyển động, nếu sự
thay đổi lưu tốc dòng nước theo phương pháp tuyến với mặt này được biểu thị bằng
phương trình u = 516 y – 13400y
2
, với y < 1,93 . 10
– 2
m. Nhiệt độ nước t = 15
0
C.
Đáp số :
τ
= 0,588 N/m
2

Bài 1 – 16. Xác định lực ma sát tại mặt trong của một ống dẫn dầu có đường kính d =
80mm, chiều dài l = 10m, nếu lưu tốc trên mặt cắt ngang của ống thay đổi theo luật u = 25y
– 312y
2
, trong đó y là khoảng cách tính từ mặt trong ống (
2
0

d
y ≤≤
; y tính bằng mét, u
tính bằng m/s ). Hệ số nhớt động lực của dầu
µ
= 0,0599 N.s/m
2
. Lưu tốc lớn nhất của
dầu trong ống là bao nhiêu ?
Đáp số : T = 3,768N
u
0
= u






=
2
d
y
= 0,5m/s
Bài 1 – 16

u

-
0
d
2
y
u
u

Chơng II
thủy tĩnh học

I Tóm tắt lý thuyết
Chơng thủy tĩnh nghiên cứu những vấn đề chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức là ở
trạng thái không có sự chuyển động tơng đối giữa các phần tử chất lỏng.
Đ2 1. áp suất thủy tĩnh
Yếu tố thủy lực cơ bản của trạng thái cân bằng của chất lỏng là áp suất thủy tĩnh.
áp suất thủy tĩnh tại một điểm (hay nói gọn hơn : áp suất thủy tĩnh) trong chất lỏng
đợc xác định theo công thức :
p = lim

d
dPP

=

; (2- 1)
trong đó P là áp lực thủy tĩnh tác dụng lên diện tích .
áp suất thuỷ tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hớng vào diện tích ấy ;
trị số của nó tại một điểm bất kỳ trong chất lỏng không phụ thuộc vào hớng đặt của diện
tích chịu lực tại điểm đó.
áp suất thuỷ tĩnh có đơn vị là N/m
2
hoặc kg/m
2
; trong kỹ thuật còn dùng đơn vị là
atmôtphe ( at ) :
1 at = 9,81 . 10
4
N/m
2

áp lực có đơn vị là N ( Niutơn ).
Phơng trình vi phân cơ bản ( tổng quát ) của chất lỏng cân bằng :
dp =

(Xdx + Ydy +Zdz) (2-2)

trong đó

khối lợng riêng của chất lỏng ;
X, Y, Z hình chiếu của gia tốc lực khối lên các trục toạ độ vuông góc x, y, z.
Tích phân phơng trình này ta đợc biểu thức biểu thị luật phân bố áp suất thuỷ tĩnh
trong chất lỏng :
[ ]
CZdzYdyXdxp +++=

)(

(2-3)
Mặt đẳng áp trong chất lỏng là mặt mà tại mọi điểm trên đó có cùng 1 trị số áp suất
(p = const) ; phơng trình vi phân của mặt đẳng áp là dp = 0 hay
Xdx + Ydy + Zdz = 0 (2
4)
Tích phân (2 4) ta đợc phơng trình của mặt đẳng áp :

=+
+ const
Zdz
YdyXdx
)
(
(2
5)
Một trong các mặt đẳng áp là mặt tự do của chất lỏng (mặt thoáng).
áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng trọng lực cân bằng (h.2 1)
Tích phân (2- 2) với điều kiện X = Y = 0, Z = - g,

ta đợc phơng trình cơ bản của thủy tĩnh học :
z +
const
p
=

(2
6)

trong đó : z - độ cao của điểm ta xét (điểm M, có áp suất p) tính đến mặt phẳng so sánh
(mặt phẳng nằm ngang, vị trí tùy ý chọn).

- trọng lợng riêng của chất lỏng.
Hình 2 1 Hình 2 2
Từ ( 2- 6) suy ra công thức áp suất tại 1 điểm trong chất lỏng :
p = p
0
+

h (2
7)
trong đó : p
0
- áp suất tại mặt tự do ;
h - độ sâu của điểm ta xét tính từ mặt tự do có p
d
= 0.
áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng cân bằng, chịu tác dụng của trọng lực và lực quán
tính nằm ngang với gia tốc a không đổi (h. 2-2).
Tích phân (2-2) với điều kiện X = - a , Y = 0 ; Z = - g

ta đợc :
p = p
0
-

(ax + gz) (2- 8)
Z
p
0
M
(p)
h
Z
Mặt phẳng so sánh
Z
0
x
v
g
j

y
a
Phơng trình mặt đẳng áp :
ax + gz = const (29)
Đó là những mặt phẳng nằm nghiêng song song với nhau. Góc nghiêng

đợc xác
định bằng công thức :

tg |

| =
g
a
(2
10)

áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng quay đều quanh trục thẳng đứng (h.2-3).
Tích phân (2 2) với điều kiện : X =

2
x ; Y =

2
y ; Z = - g, ta đợc :
p = p
0
+

z
r

2
22
; (2 11)
trong đó :

- vận tốc quay ;
r bán kính quay của phần tử chất lỏng ta xét.
Mặt đẳng áp là những mặt paraboloit tròn xoay, có phơng trình :

z
r

2
22
= const

z
r

2
22
= C (2 12)
Hình 2 - 3 Hình 2 4
áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng quay đều quanh trục nằm ngang ( h.2 4)
Nếu

khá lớn sao cho

2
r ằ g, tích phân (2-2) với điều kiện bỏ qua g, ta đợc :
z

x
y

2
r
j
r
0

g
r
r
0
p = p
0
+
2
)
(
2
0
22
rr

(2 13)

kể cả g thì : p = p
0
+
2
)
(
2
0
22
r
r

+

(z
0
z)
trong đó : p
0
và p lần lợt là áp suất tại các mặt trụ có bán kính là r
0
và r.
áp suất tuyệt đối, áp suất d, chân không :
áp suất tuyệt đối là áp suất toàn phần tại một điểm ( p
t
).
áp suất d p
d
là áp suất tại 1 điểm không kể đến áp suất không khí (p
n

) :
p
d
= p
t
- p
n
(2 14)
áp suất chân không (p
ck
) gọi tắt là chân không (trờng hợp p
t
< p
n
) là độ thiếu của
áp suất tuyệt đối để bằng áp suất không khí :
p
ck
= p
n
- p
t
(2
15)
Khi p
t
= p
n
(nh trên mặt nớc ở sông, hồ, ao, ), ta có :
p

d
= p
ck
= 0
áp suất không khí đợc lấy chẵn là 1 at :
p
n
= 1at = 98 . 100 N/m
2

Có thể biểu diễn quan hệ giữa p
t
, p
d
và p
ck
( so với p
n
) qua đồ thị hình 2 5.
Hình 2 - 5 Hình 2 6

Hình 2 7
Đo áp suất thủy tĩnh
Dụng cụ đơn giản nhất để đo áp suất d là ống đo áp (h.2 6). áp suất đợc biểu thị
bằng cột chất lỏng có chiều cao h phụ thuộc trị số áp suất ( p ) và trọng lợng riêng của chất

lỏng (

) :
h =

p
(2 16)
M
0
p
p
a
a
a
(h )
ck
M
p > p
t a
p
d
p
a
a
p
p
a
p
ck
p < p

at
0
M
0
p
a
p
h=
d
p

M
Để đo chân không, ngời ta dùng chân không kế (h.2 7). Độ cao chân không (h
ck
)
chính là :
h
ck
=
)
(
, m
p
ck

(2 17)
Ngời ta còn dùng các loại áp kế (đo áp suất d) và chân không kế khác.
Từ chiều cao cột chất lỏng, có thể đổi ra đơn vị của áp suất theo hệ thức :
p =

h ; ( N/m
2
) (2 18)
Nh vậy, 1 at tơng đơng với cột nớc có chiều cao 10m, với cột thủy ngân có chiều
cao 735mm.
Đồ phân bố áp suất thủy tĩnh biểu diễn bằng đồ thị luật phân bố của áp suất thủy
tĩnh theo chiều sâu h (h.2 8a, b).
Hình 2 8

Hình 2 9
Định luật Patscan nói về sự truyền áp suất trong chất lỏng trọng lực cân bằng. ở
hình 2 9, nếu bỏ qua độ chênh h, ta có :
áp suất truyền vào mặt

1
: p
1
=
1
1

P

áp lực thu đợc ở mặt

2
: P
2
= p
1
.

2
= P
1

1
2

ằ P
1
( nếu

2
ằ

1
)
Đ2.2 áp lực thủy tĩnh tác dụng lên thành phẳng
và thành cong

áp lực thủy tĩnh tác dụng lên thành phẳng.
Trị số của áp lực thủy tĩnh lên thành phẳng bằng áp suất thủy tĩnh tại trọng tâm C của
thành nhân với diện tích

của thành đó (h.2 10,a) :
P = p
c

= ( p
0
+

h
c
)

(2 19)
trong đó : p
0
- áp suất tại mặt tự do của chất lỏng ;
h
c
- độ sâu của trọng tâm C tính từ mặt chất lỏng.
H
p
t
a
p
A

B
a)
p
a
a
p

H
d
p
a
p
A
a
p
d
p
t
p
a
p
H

B
H
b)
p
1

1

h
2
p
2

Hình 2 10

Trờng hợp p
ot
= p
n

, tức p
od
= 0 (mặt nớc thông với không khí) (h.2- 10,c) thì áp lực
d tác dụng lên diện tích

sẽ là :
P =

h
c

(2 20)
Trờng hợp p
od

0 (h.2 10,b : p
ot
> p
a
p
od
>0 ), áp lực d vẫn tính theo (2 20)
nhng trong đó h
c
phải kể từ điểm C đến mặt a a có p
t
= p
a

chứ không phải đến mặt
chất lỏng. Trong thực tế ta thờng chỉ cần tính áp lực d vì phần áp lực của không khí tác
dụng lên hai phía của thành phẳng cân bằng nhau.
Điểm đặt của áp lực ( gọi là tâm áp lực). Vị trí của tâm áp lực d - khoảng cách y
D

(điểm D, hình 2 10b, c) xác định theo công thức :
y
D
= y
c
+

c
c
y
I
(2 21)
trong đó : y
c
, y
D
khoảng cách tính theo chiều nghiêng của thành từ điểm C, điểm D đến
mặt a a ( ở hình 2 10, c mặt a a chính là mặt chất lỏng) ;
I
c
mômen quán tính của diện tích thành đối với trục nằm ngang đi qua
trọng tâm C.
Trờng hợp thành phẳng là hình chữ nhật hoặc hình vuông có cạnh nằm ngang, có thể
dùng phơng pháp đồ giải rất thuận tiện (h.2 11) : dựa vào đồ phân bố áp suất thủy tĩnh,

ta có :
c
h
c
D

p
0
0
h

c
D
D
c

c
a
p
D
a)
p
a
p
0d

p >p
0t a
D
C

C
1

b)

a
c)
a
C
D
p
c
h
c

c
D
D
p
a
áp lực d : P = S
biểu đồ
b =
b
H
.
sin.2
2

Tâm áp lực (D) :
y
D
=

sin
.
3
2 H
; h
p
=
H
3
2

Hình 2 11

Hình 2 12
áp lực thủy tĩnh tác dụng lên thành cong.
Ttị số của áp lực P lên thành cong theo một phơng bất kỳ nhng không phải nằm
ngang ; (phơng n n , hình 2 12) xác định theo công thức :

P
n
= p
0

n
+ Gcos (2 22)
trong đó :

n
diện tích của mặt phẳng abcd hình chiếu của thành cong ABCD lên mặt
phẳng đặt thẳng góc với phơng n n ;
G =

W trọng lợng khối chất lỏng hình trụ có thể tích W, đợc giới hạn bởi :
một phía thành cong ABCD, một phía là mặt chất lỏng (có áp suất p
0
), bao quanh là mặt trụ
có đờng sinh song song với phơng n n và tựa lên chu vi thành cong :
- góc lập bởi phơng n n và phơng thẳng đứng.
Đối với thành hình trụ cong hai chiều AB (h.2 13) có đờng sinh nằm ngang, áp lực
P bằng tổng hình học của các thành phần nằm ngang và thẳng đứng :
P =
22
zx
PP +
(2 23)
trong đó : P

y
= 0 vì ta chọn phơng trục y// đờng sinh ;
P
x
=
xcx
h

(2 24)
ở đây :

x
diện tích hình chiếu của thành cong lên mặt phẳng đặt thẳng góc với trục x ;

D
c

c
a
p
h
D
p
D
S
b.đồ
b
H

H

p
0
n
n
A
B
D
c
a
b
d
C
n
p
Mặt cong ABCD

W
h
cx
- độ sâu trọng tâm của

x
;
P
z
=

W (2 25)
là trọng lợng của vật áp lực W. Thể tích W trong trờng hợp này đợc xác định nh sau :
phía dới là thành cong AB tiếp xúc với chất lỏng, phía trên là mặt tự do của chất lỏng, còn

mặt bao quanh là mặt trụ đứng dựa vào chu vi của thành cong ta xét.
Vật áp lực W có thể là dơng (h.2 13), có thể là âm (h.2 14) nếu nó ở về phía
thành cong không tiếp xúc với chất lỏng trờng hợp này P
z
sẽ hớng lên trên.
Hình 2 13

Hình 2 14
Đối với thành cong ba chiều (chẳng hạn một phần của mặt cầu), áp lực P có thể tính
theo công thức :
P =
222
zyx
PPP ++
(2 26)
trong đó :
P
x
=

h
cx

x

P
y
=

h
cy

y
(2 27)

P
z
=

W
Phơng của áp lực P đợc xác định bởi góc

hợp thành giữa véctơ
P
và mặt phẳng
nằm ngang :
tg

=
x
z
P

P
(2 28)
Điểm đặt của lực P : vectơ
P
đi qua giao điểm K (h.2 13) của các đờng tác dụng
của P
x
và P
z
và hợp với mặt phẳng nằm ngang góc

. Giao điểm D giữa
P
và thành cong
chính là tâm áp lực cần tìm.
Đ2 3. định luật ácsimét vật nổi
A B'
W (+)
B
p
x
Z
p =G
D
k
p

M
G
H

h
cx

x

D
p
x
k
B
A
p
M
W (-)
B'
z

h
cx
Định luật ácsimét . Lực ácsimét là hợp lực của tất cả áp lực tác dụng lên mặt bao
quanh của vật rắn nhúng chìm trong chất lỏng trọng lực cân bằng. Nó đợc đặc trng bằng
các tính chất sau đây :
- Hớng từ dới lên trên, đặt tại trọng tâm của khối chất lỏng bị vật choán chỗ.
- Có trị số bằng trọng lợng của khối chất lỏng nói trên (thể tích W)
P =

W ( 2
29)
trong đó :

- trọng lợng riêng của chất lỏng.
Nh vậy, một vật rắn nhúng chìm trong chất lỏng trọng lực cân bằng chịu tác dụng của
hai lực : lực ácsimét P (lực đẩy lên) hớng lên trên, và trọng lợng của vật G ( đặt tạo trọng
tâm vật rắn C) hớng xuống dới. Tùy theo lực P bé hơn, bằng hoặc lớn hơn lực G mà vật
rắn hoặc là chìm xuống đến đáy (bể chứa ), hoặc chìm lơ lửng trong chất lỏng, hoặc nổi
lên trên mặt chất lỏng.
Vật nổi . Trờng hợp P > G, vật rắn sẽ ló một phần ra khỏi mặt chất lỏng ta có vật
nổi (h.2 15). Vật nổi sẽ cân bằng khi thoả mãn điều kiện :
P =

W = G (2 30)
trong đó : W là thể tích khối chất lỏng bị phần ngập của vật choán chỗ (phần gạch gạch).
Điểm đặt của P là D. Từ đó suy ra rằng trọng lợng của vật nổi (tàu, thuyền, phao, ) bằng
trọng lợng khối chất lỏng bị nó choán chỗ. Thể tích W thờng đợc gọi là lợng giãn
nớc.
Ngoài điều kiện (2 30), vật nổi muốn cân bằng phải có thêm điều kiện : 2 điểm C và
D phải cùng nằm trên một đờng thẳng đứng z z tức trục nổi (h.2 16,a).
Hình 2 15

Hình 2 16
Nếu lý do nào đó, trục nổi z z nghiêng đi (h.2 16, b) thì
P
(điểm đặt lúc này là
D) và

G
sẽ tạo thành mômen có khuynh hớng hoặc là làm cho vật quay trở lại trạng thái
ban đầu, hoặc làm cho vật tiếp tục nghiêng đi. Khả năng của vật trở lại vị trí cân bằng ban
đầu khi các lực ngoài ngừng tác dụng đợc gọi là tính ổn định. Ta thấy ngay : vật nổi sẽ cân
P=G
D'
p
C
G
W'
Z
G
C
D'
P'
Z
D'
Z
G
Z
C
1
M
D"
p'
a)
b)
bằng ổn định khi điểm C nằm dới điểm D ; trong trờng hợp điểm C nằm trên điểm D,
vật nổi sẽ cân bằng ổn định nếu điểm M - đợc gọi là tâm định khuynh (giao điểm giữa trục
nổi và phơng của

'P
) nằm cao hơn điểm C (h.2 16, b). Khoảng cách

=
'MD
gọi là
bán kính định khuynh. Đặt e =
'CD
thì khoảng cách h
M
=

- e đợc gọi là độ cao định
khuynh. h
M
càng lớn thì vật càng ổn định ; vật mất ổn định khi h
M
< 0.
Bán kính định khuynh xác định theo công thức :

=
'
1
W
(2 31)
trong đó : I mômen quán tính của mặt nổi (tức mặt phẳng mà mặt chất lỏng cắt vật nổi ở
vị trí cân bằng ban đầu ) đối với trục dọc của nó ;
W lợng giãn nớc.
Trong kỹ thuật đóng tàu thuyền, tùy theo hình dạng, kích thớc và tính chất sử dụng,

thờng lấy h
M
= 0,3
.
5
,1
m
ữ

*
* *

II - Bài tập

1. áp suất thủy tĩnh
Bài 2 1. Tính áp suất tuyệt đối và áp suất d tại độ sâu h = 15m ở dới mặt nớc biển.
Trọng lợng riêng của nớc biển lấy là

= 10
4
N/m
3
.
Giải : áp suất tuyệt đối :
p
t
= p
a
+

h = 98.100 + 10
4

ì
15 = 248.100 N/m
2
.

Bài 2 1

Bài 2 2
P
a
h
()
P
0
0
0
P
a
h
A
áp suất d :
p

d
= p
t
- p
a
=

h = 10
4

ì
15 = 150.000 N/m
2
.
Bài 2 2. Xác định độ cao của cột nớc dâng lên trong ống đo áp (h). Nớc trong bình
kín chịu 1 áp suất tại mặt tự do là p
ot
= 1,06 at. Xác định áp suất p
ot
nếu h = 0,80m.
Giải : Vì mặt O O là mặt đẳng áp nên ta có :
P
At
= P
ot

Mặt khác, từ ống đo áp, ta có :
P
At
= p

n
+

h
Từ 2 đẳng thức trên ta rút ra :
h =

aot
pP

Thay : p
a
= 1at = 98.100 N/m
2
.
p
ot
= 1,06at = 1,06
ì
98.100 N/m
2
.
và

= 9810 N/m
3

ta tính đợc : h = 0,6m
Nếu h = 0,8m, ta có :
p

ot
= p
At
= p
a
+

h = 98.100 + 9810
ì
0,8 = 105.948 N/m
2

Bài 2 3. Xác định độ cao nớc dâng lên trong chân không kế, nếu áp suất tuyệt đối
của khí trong bình cầu là p
ot
= 0,95at.
Bài 2 -3
Giải : Vì mặt a
a là mặt đẳng áp nên ta có :
p
At
= p
a

Mặt khác, từ ống chân không kế :
p
At
= p
ot
+

h
Từ 2 đẳng thức trên ta rút ra :
h+

ota
pp

Thay : p
a
= 98.100 N/m
2

p
ot
= 0,95
ì
98.100 N/m
2

và :

= 9810 N/m
3

ta đợc : h = 0,5m
P
0
h
A

a
P
a a
Ta thấy

h = p
a
p
ot
= p
ock
là áp suất chân không của môi trờng khí trong bình cầu ;
vì vậy, chỉ số của chân không kế (h) cho ta biết áp suất chân không đó.
Bài 2 4. Xác định độ chênh áp suất tại 2 điểm A, B của một ống dẫn nớc bằng áp kế
chữ U. Cho biết : chiều cao cột thủy ngân h
0
= h
1
h
2
= 20cm, trọng lợng riêng của thủy
ngân

tn
= 133.416 N/m
3
= 13,6

n
.

Bài 2 4

Bài 2 5
Giải : Từ bên trái :
p
o o
= p
A
-

n
h
1
Từ bên phải : p
o o
= p
B
-

n
h
2

Ta lại có : p
o o
= p
o o
+

tn
h
o

Nên cuối cùng ta có :
p
B
p
A
=

tn
h
o
-

n
(h
1
h
2
) = (

tn

-

n
)h
o
= ( 133.416 - 9810)0,2 = 2,472.10
4

N/m
2

Bài 2 5. Để đo áp suất, ngời ta nối vào một bình đựng dầu xăng (tỷ trọng
x

= 0,7)
tới độ cao a+ b = 1,9m bằng ba thiết bị khác nhau : 1 áp kế kim loại ở nắp, 1 ống đo áp ở
đáy, và 1 áp kế 3 khuỷu ở thành bên tại độ sâu b = 1,3m dới mực dầu xăng đựng đầy thủy
ngân (

tn
= 13,6), nớc (

n
= 1) và không khí (

n

0).

Xác định chỉ số của áp kế (M) và của ống đo áp (H) nếu mức các chất lỏng trong áp kế
3 khuỷu cho nh ở hình vẽ (cho bằng mét).
Giải :
Chỉ số của áp kế M chính là áp suất d của môi trờng khí trên mặt dầu xăng trong
bình. Dùng cách tính truyền theo áp kế 3 khuỷu ( từ bên phải sang), ta tính lần lợt nh sau
:
A
B
h
h
1
2
0'
0
0
0
Nớc
Thuỷ ngân

)(
)0,26,2(
)0,16,2(
)0,18,2(
1,2) - (3 p p
ndndm
a
pp
pp
pp
tndsdv

ndrds
tndndr

+=
=
+=
==

và M = p
dv
-

x
b (b)
Thay p
dv
ở (b) bằng các đẳng thức (a), ta có :
M = 0,6

tn
1,6

n
+ 1,8

tn
- 1,3

x
=
=

tn
(0,6 + 1,8) +

n
(1,8 1,6) 1,3

x
=
= 2,4

tn
+ 0,2

n
- 1,3

x

=
= ( 2,4
ì
13,6 + 0,2
ì
1 1,3
ì
0,7)9810 =
= 3,193
ì
98.100 = 3,193 at.
Chỉ số của ống đo áp :
H =
mb
a
M
x
50,
47
9,
1
98107,
0
100
.98
193,3
=
+
ì
ì

=+
+

Bài 2 6. Cách mặt biển một độ cao h là bao nhiêu thì áp suất không khí chỉ còn
700mm cột thủy ngân ? Nhiệt độ không khí coi là không đổi và lấy bằng 20
0
C. áp suất
không khí trên mặt biển lấy 735mm cột thủy ngân.
Giải : Chọn trục z hớng thẳng đứng lên trên thì
hình chiếu của gia tốc lực khối ( chỉ có trọng lực) nh
sau:
X = Y = 0 ; Z = - g
Thay vào (2 2) ta đợc :
dp = -

gdz (a)
Từ phơng trình trạng thái đối với khi dới độ không
đổi :

=
gRT
p

Bài 2 6
trong đó : R hằng số chất khí (R = 29,3)
T - nhiệt độ tuyệt đối.
Thay

vào phơng trình (a), ta đợc :
Z
0(x,y)
Mặt biển
P
a
dp =
RT
pdz

hay

RT
dz
p
dp
=

Tích phân lên ta đợc :

C
RT
z
p +=ln
(b)
Hằng số C xác định từ điều kiện : khi z = 0 thì p = p
a
;
do đó : C =

a
pln

Thay trị số C vào (b), ta đợc :

RT
z
p
p
a
=
ln
(c)
hay, cuối cùng ta đợc :
p = p
a
.
RT
z
e

(d)
Biểu thức (d) biểu thị quy luật phân bố của áp suất khí theo độ cao, dới nhiệt độ
không đổi.
Từ (c), ta rút ra :
z = 2,3RT
p
p
a
lg

Vậy :
h = 2,3
ì
29,3 (273 + 20)
700
735
lg
= 2,3
ì
29,3
ì
293
ì
0,021 = 420m.
Bài 2-7. Xác định vị trí của mặt dầu trong một khoang đựng dầu hở của tàu thủy khi nó
chuyển động chậm dần đều trớc lúc dừng hẳn với gia tốc a = 0,30m/s
2
. Kiểm tra xem dầu
có bị tràn ra khỏi thành không, nếu khi tàu chuyển động đều, dầu ở cách mép thành 1
khoảng e = 16cm. Khoang tàu dài l = 8m.
Giải : Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ, ta có :
X = a ; Y = 0 ; Z = - g.
Mặt tự do của dầu là một mặt đẳng áp. Thay giá trị của X, Y, Z vào (2-4), ta có :
adx gdz = 0

Z
x
e
Mực dầu lúc tầu chuyển động đều

Mực dầu lúc tầu chuyển động
chậm dần
o

a
g

v

Bài 2 - 7
Tích phân lên ta đợc :
ax gz = C
Vì mặt tự do của dầu đi qua gốc tọa độ ( x = 0, z = 0) nên C = 0, do đó phơng trình
của mặt tự do sẽ là :
ax gz = 0
hay :
z = xtg

trong đó : tg

=
g
a

Nh vậy, mặc dầu trong khoang là một mặt phẳng nằm nghiêng về phía trớc, đi qua
gốc tọa độ O.
Mức dầu dâng lên thêm ở thành trớc so với lúc chuyển động đều :

x
g
a
z=

x
g
a
x
=
=
2
1

cm
mx
24,124
81,9
30,0
4
=ì=
=

Ta thấy z < e nên dầu không tràn ra ngoài đợc.
Bài 2-8. Một bình hở có đờng kính d = 450mm đựng đầy nớc, quay xung quanh trục
thẳng đứng với số vòng quay không đổi n = 750vg/ph (xem hình 2 3, trang )

Xác định áp suất tại một điểm ở thành bình cách đáy bình một khoảng z = 300mm, nếu
mực nớc tại trục quay của bình nằm cách đáy một độ cao z
o
= 700mm.
Tìm dạng các mặt đẳng áp.
Giải : Lấy gốc tọa độ ở tâm đáy bình và các trục nh hình vẽ, lúc đó hình chiếu của gia
tốc lực khối (gồm trọng lực và lực ly tâm) lên các trục tọa độ sẽ là :
X =

2
x ; Y =

2
y ; Z = - g
trong đó :

- tốc độ quay :

=
srad
n
/5,78
30
75014,3
30
=
ì
=

Thay giá trị của X, Y, Z vào (2- 2), ta đợc :
dp =

(

2
xdx +

2
ydy gdz).
Sau khi tích phân, ta đợc :
p =

(
Cgz
yx
+

+
22
2222

Hằng số C xác định từ điều kiện : khi x = y = 0, z = z
o
thì p
t
= p
a
( áp suất không khí),
dó đó :
C = p
a
+

gz
o

Thay giá trị của C vào phơng trình trên, ta đợc :
p
t
= p
a
+

h +

2
22
r

trong đó : r
2
= x
2
+ y
2

h = z
o
z
Từ đó ta thấy rằng, trong trờng hợp bình quay, áp suất sẽ tăng lên khi tăng bán kính
quay và số vòng quay.
ở điểm có tọa độ đã cho ( r=
2
d
, z = 300mm = 0,3m), áp suất d sẽ là :

p
đ
= p
t
p
a
=
=

h +

620.19
2

225,05,78
1000)3,07,0(9810
2
2222
=
ì
ì+=
r

N/m
2

= 0,20at.
Phơng trình vi phân của các mặt đẳng áp ( phơng trình 2-4) :

2
xdx +

2
ydy gdz = 0
Tích phân lên ta có :

2
22
r

- gz = const
Nh vậy, các mặt đẳng áp ở đây (gồm cả mặt tự do) là những mặt parabôlôit tròn xoay
đối với trục z.

Bài 2-9. Ngời ta đúc ống gang bằng cách quay khuôn quanh một trục nằm ngang với
tốc độ quay không đổi n = 1500vg/ph. Xác định áp suất d tại mặt trong của khuôn, nếu
trọng lợng riêng của gang lỏng là

= 68670 N/m
3
. Cho biết thêm : đờng kính trong của
ống Bài 2-9

d = 200mm, chiều dày thành ống

= 20mm.
Tìm hình dạng của các mặt đẳng
áp.
Giải : Tốc độ góc quay :

=
srad
n
/157
30
150014,3
30
=
ì

=

Do đó, gia tốc của lực li tâm trên
mặt khuôn là :
a =

2
r = 157
2

ì
0,12 = 2950 m/s
2

trong đó : r = r
o
+

=
2
d
+

= 0,10 + 0,02 = 0,12m
là bán kính mặt trong của khuôn.
Vì g = 9,81m/s
2
ô a nên trong tính toán ta bỏ qua gia tốc trọng trờng g (g chỉ bằng
0,33%a). Chọn gốc tọa độ trên trục ống, trục x trùng với trục ống, ta có :