LỜI CẢM ƠN

“Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ và kiến thức
môn Toán phổ thông” 
 Lý  
 T.S Hoàng Ngọc Anh, khoa Toán  Lý  


 Lý 


 




Sơn La, tháng 5 năm 2014
Tác giả
Đinh Thị Hƣơng
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
 1
 1
3. N 1
 1
 2
 2
 2
 2
Chƣơng 1. TẬP HỢP VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG 3

 3

- 3

 5
.  9
 11
1.2.T 11
1.2.2. KiT 14
1T 18
Chƣơng 2: ÁNH XẠ VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG 19
 19
 19
2.1.2. 















 22

 26
 26
2.2.2.  30
 35
 36
 37
CHƢƠNG 3: QUAN HỆ VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG . 41
 39
 39
 40
 41
 42
 45
 46
 quaT 46
 50
 49
KẾT LUẬN 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO 52












1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

  môn T
 
 



,
              


 : 
chúng tôi  sinh viên

T
.
chúng 
 oán


chúng 
 
2. Mục đích nghiên cứu
-  
liên oán  .
- 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- 
 oán .
4. Giả thuyết khoa học
-  
                

2


5. Đối tƣợng nghiên cứu
- 

-  án
.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- 
- 
- .
7. Đóng góp của khoá luận
              

8. Cấu trúc của khoá luận

















3
Chƣơng 1. TẬP HỢP VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG

1.1. Tập hợp
 

Cantor.
c:



 

1.1.1. Giới thiệu sơ lƣợc về lí thuyết tập hợp đƣợc xây dựng theo tiên đề
(Tiên đề Decmelo-Phơranken)

, 
-
1.1.1.1. Tiên đề E (Tiên đề về ngoại diên)
 
x y z(((z x)) (x y)) x y .       





1.1.1.2. Tiên đề N (Tiên đề về sự tồn tại tập rỗng)

x y((y x)).  




.
1.1.1.2. Tiên đề P (Tiên đề về cặp không kể thứ tự)
     
 
x y z u u z u x u y        
.



 và khái


4
 (
 


 

 

x, y f 
và
 
x, z f
suy r thì t hàm.
+ T               
 
 
y x, y f
 f o
 
 
x x, y f
.
1.1.1.4. Tiên đề U (Tiên đề hợp)
x y z((z y) t((z t) (t x))).        


1.1.1.5. Tiên đề I (Tiên đề vô hạn)
 
x(( x) y(y x) (y y x)).      


c nó. Vì
x; { { }} x; {{ { }} { { }}} x;           


1.1.1.6. Tiên đề W (Tiên đề lũy thừa hay tiên đề về tập hợp tất cả các tập
con của một tập hợp)
x y z((z y) t((t z) (t x))).        


 
t((t z) (t x))   
 
zx
.     
m  

x y z((z y) (z x)).     


1.1.1.7. Tiên đề R (Tiên đề chính quy)

x y((x ) ((y x ) z((z x) (z y)).         

Tiên 

xx
.

5
1.1.1.8. Tiên đề C (Tiên đề chọn)
 
x y((y ) !z((z x) y, z x))      
.

!z


       

 
xf x f u f v u v    
.
1.1.1.9. Tiên đề
n
S
(Tiên đề thay thế)
   
x y a(x S x, y b y(y b x(x A S x, y ).          



1.1.2. Tập hợp, phần tử, tập hợp con của một tập hợp, số phần tử của một
tập hợp, tập hợp các tập con của một tập hợp
1.1.2.1. Khái niệm về tập hợp và phần tử


- 
 
- 
: sinh


2: 
.

- 
xA
.
- 

là:
xA
.


- 


6
+ 


   


:  = 
 = {0; 2; 4; 
-          tr   
 tr
 B = {n





1.1.2.2. Tập hợp con
: C

AB



BA
.
: 
CD
.
- Khi
AB
và
A B


AB
hay
BA
.
- B
 
AB
.

A
,

A.
1.1.2.3. Sự bằng nhau của hai tập hợp
 
 
AB
và

BA
.

 
AB

x



B.
 Ch
BA

y



A.


7
1.1.2.4. Số phần tử của một tập hợp


(hay 

 




1.1.2.5. Tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp cho trƣớc


 (A).
: Khi A =

ta có (A) = {

}.
Khi A = {a} ta có (A) = {

, {a}}.
Khi A = {a, b} ta có (A) = {

, {a}, {b}, {a, b}}.
 
n
2

  
on

 (A) luôn
 
A
2
.
1.1.3. Phép toán tập hợp. Tích Đềcác
1.1.3.1. Các phép toán tập hợp

a) Phép giao
 

A B
.

x A B x A   
và
xB
.
 
1 2 n
A ,A , A



1 2 n
A ,A , A

1 2 n
A ,A , A

1 2 n
A A A

hay
n
i
i1
A


.

8
* : 
i
{A ,i I}


i
{x|x A , i I}  

i
{A , i I}

i
iI
A


ii
iI
x A x A , i I

    

 

A B B A  


A, B
.

   
A B C A B C    

A, B, C
.

A A A

A
.
+
A   

A
.
+
A B A A B   

+ 
A B   
.
    
i
{A ,i I}
   
i
iI

A


  
i
{A ,i I}

ij
AA 

không giao nhau.

g A 
     
i
{A ,i I}
  
J
=
i
{A ,i I}
  
     
i
A 
 
i, j I
    ta có
ij
AA 

và
i
iI
AA


.

J
i
={A ,i I}

i
A


J
.
    
  :
J
= -1]}.


Khi n = 3 ta có
J
= {[0], [1], [2]}.


9



C
J



 
 

AB

x A B x A   

xB
.
 
 
i
A ,i I


 
i
x | i I,x A  

 
i
A ,i I



i
iI
A

. 
i
iI
xA


iI

i
xA
.
 :

A B B A  
,
A, B
.

(A B) C A (B C)    
,
A, B, C
.

A A A
,

A
.
+
A A 
,
A
.
+
A B A B B   
,
A, B
.

   
A (B C) A B A C     
.

 
A B C (A B) (A C)     
.

 

A \ B hay A  

x A \ B x A  
và
xB
.
Khi

BA
\ 

A
CB

A
C (B)
.


10
* Tính chất: Cho A, B
+ A \ A =

,
A
.
+
 
B A \ B
=

,

A, B.

BA
thì
 

B A \ B A
,

A.
+
   
A B \ A A B B A \ B    
,

A, B.
+
     
X \ A B X \ A X \ B  
, 

X X B
C (A B) C A C  
và
X X X
C (A B) C A C B  
.

                
   
A \ B B \ A

   
A B A \ B B \ A .  

Vì

   
A \ B B \ A 
=
 
(A B) \ A B
nên :
 
A B (A B) \ A B .   

 

A B B A  
, 
A, B
.

   
A B C A B C    
,
A, B, C

+ 

, 

A.

BA
thì \ B.


AB
.
1.1.3.2. Tích Đềcác
 




1 2 n
A ,A , ,A


1 2 n
(a ,a , ,a )

ii
aA
n

1 2 n
A ,A , ,A

1 2 n
A A A  
hay
n
i
i1
A



.

11
  
1 2 n
A A A  
có
1 2 n
A A A A   
  

n
A
.

 B × A 
+ A × B =



+
   
(A B) C A C B C .      

+
       
(A B) (C D) A C B C A D B D .          

+

     
A B C A C B C .     


1.2. Kiến thức tập hợp trong môn Toán phổ thông
1.2.1. Quan điểm tập hợp trong trình bày kiến thức môn Toán Tiểu học



T
1.2.1.1. Tuyến kiến thức thứ nhất – Các yếu tố số học
T





 

 
 .
  


+    và


12
  




- 
 .
- 

- 

- 
   





1.2.1.2. Tuyến kiến thức thứ hai - Các yếu tố Đại số
- T

 .
 
 
 nhiên

 

  

-    





13
, 

ác

1.2.1.3. Tuyến kiến thức thứ ba – Các yếu tố hình học
-  

-           

- 
a

 ,             
             



1.2.1.4. Tuyến kiến thức thứ tƣ – Đo đại lƣợng
- 

- Các  


- 




  tâm.
- 

- 
 


14
1.2.2. Kiến thức tập hợp trong môn Toán Trung học cơ sở
Toán T




1.2.2.1. Khái niệm về tập hợp và phần tử của tập hợp
- 
nh .
-  là:
+  

+ 
, , ,   
.
+  
+ 
+ 

c tr
- 



con c

1.2.2.2. Kiến thức tập hợp liên quan đến tập hợp số
-   

- 



.


15




  





.
1.2.2.3. Kiến thức tập hợp liên quan đến các chủ đề kiến thức Đại số
- 




- 


           



 



1.2.2.4. Kiến thức tập hợp liên quan đến các chủ đề kiến thức hình học
- 


,, 
.
- Các hình hình 
- 

- 



16

- 

 


- 

1.2.3. Kiến thức tập hợp trong môn Toán Trung học phổ thông





1.2.3.1. Tập hợp và phần tử của tập hợp
- 

- 


.
- 



1.2.3.2. Cách xác định tập hợp
- 
;
 



1.2.3.3. Tập hợp rỗng




1.2.3.4. Biểu đồ Ven
- 


17
- 


1.2.3.5. Tập hợp con
 

AB

B). Thay cho
AB

BA


A B x((x A) (x B))     
.

AB
.
 
+
AA
,
A.


+
AB
và
BC
thì
AC
.
+
A
,
A
.
           
AB
  


1.2.3.6. Tập hợp bằng nhau
 Khi
AB
và
BA


A B x((x A) (x B))     
.
1.2.3.7. Giao của hai tập hợp
   

AB


A B {x | x A  
và
x B}
;
xA
x A B
xB


  



.
1.2.3.8. Hợp của hai tập hợp
       

AB

A B {x | x A  

x B}
;
xA
x A B
xB


  




.


18
1.2.3.9. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
  
\ 
A \ B {x | x A
và
x B}
;
x A\ B
xA
xB





.
Khi
BA
\ 

A
CB
.


xA
xB





và
xA
xB






 

xA
xB







1.2.3.10. Các tập hợp số


   

 
a;
,
 
;b
, [a; b], [a; b), (a; b],


a;
,


;b


ng

T

 

   và sách giáo
T
 T

 
 



19
Chƣơng 2: ÁNH XẠ VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG

2.1. Kiến thức cơ sở về ánh xạ
 

 

2.1.1. Định nghĩa ánh xạ, các khái niệm liên quan và tính chất
2.1.1.1. Định nghĩa ánh xạ
                 X
 

f: X Y
x y = f(x)






 Y

và Y








2.1.1.2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

f :X Y


20
-  
a,b X
 
a b f(a) f(b)  

a,b X
: f(a) = f(b)

a = b) thì ta nó.
- 
bY
,
x X:f(x) b  
 ánh.
- 
- 

Y 



f(x) = b có không quá mt nghim trong X.

+ f là mt toàn án


f(x) = b luôn có nghim trong X.
+ f là m


f(x) = b luôn có nghim duy nh trong X.







f :X Y
luôn










YX







yY
 (x) = y. 
 





























1
f

.
2.1.1.3. Ảnh và tạo ảnh của tập hợp qua ánh xạ

f :X Y

- 


- 

X | f(x)


Tổng quát:




A
 
  X | f(x) 
toàn p

1
f

(B). Khi B = {b

1
f

(b) thay cho
1
f

{(b)}.
* Tính cht: Cho A, B là các tp hp con ca X; C, D là các tp hp con
ca Y ta có:
(i)
 
f A B f(A) f(B)  
;
(ii)
 
f A B f(A) f(B)  
;
(iii)
 
1 1 1
f C D f (C) f (D)
  
  
;


21
(4i)
 
1 1 1
f C D f (C) f (D)
  
  
;
(5i)
 
 
1
f f B B


;
(6i)
1
A f (f(A))



* Chú ý: Trong (ii), (5i), (6
=.

f: 

x
và 

A = [0; 1], 
AB  

f(A B) 

= 

2.1.1.4. Tích các ánh xạ







f :X Y

g:Y Z
. 








h:X Z




(x) = g(f(x)), 



X,  










gf
hay g.f.
* : 






f(X) Y
.
* 








f :X Y

g:Y Z
. 

:
+ 










gf
;
+ 








 
gf
;
+ 










gf
;
+ 
gf
;
+ 
gf
;

XX
. 








xx

này 
x
id
.


, 


xX



x
id (x) x
. 









f :X Y
ta



Y
id f f

X
f id f
.
* 


,
1
f
















 , 



22




 :
1
Y
f f id


;
1
X
f f id




f :X Y

g:Y Z



:
1 1 1
(g f) f g
  

.
2.1.2. Mô
̣
t sô
́
loa
̣
i a
́
nh xa
̣
thƣơ
̀
ng gă
̣
p trong toa
́
n ho
̣
c
2.1.2.1. Dy phần tử, họ phần tử
* : 








 f 







 





*

( , , , , )
.
 
n
f




 (n) 

.
 







 
, , , , .
 ; 






.
 
 . 



 , 















, 

















. 















{0, 1, 2, , m} hay {1, 2, , m} 
( , , , , )
.
 ,






 





 , 



































.
: 
01
x x 1
,
n 2 n n 1
x x x


.
* 









: 





, 




 


 ( 






*
) 
X. 

(n)























n
f
.
* 









: 














. 







f :I X
 . 




 , 














 
i
f ,i I
.
































 





)