BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TÒNG VĂN HẢI
BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Sơn La - Năm 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TÒNG VĂN HẢI
BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành: Giải Tích
Giáo viên hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG
Sơn La - Năm 2014
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành phần lớn là do sự hướng dẫn, chỉ bảo và
giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Thạc sĩ Vũ Việt Hùng. Nhân dịp này em xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy.
Em xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, các thầy cô
trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học
Tây Bắc đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận. Em cũng xin cảm ơn những ý kiến đóng góp, khích lệ, động
viên của các thầy cô và bạn bè trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành khóa luận.
Sơn La, tháng 06 năm 2014
Người thực hiện
Sinh viên: TÒNG VĂN HẢI
KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Giả sử Ω là tập mở không rỗng của R
n

, x = (x
1
, , x
n
) ∈ Ω với n là số nguyên
cố định lớn hơn 1 và hàm u : Ω → C. Khi đó ta ký hiệu:
1.
∂u
∂x
i
(x) là đạo hàm riêng của u theo tọa độ thứ i tại điểm x.
2. Đạo hàm riêng cấp hai của u theo tọa độ thứ i, j tại điểm x là
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
.
3. ∆u =
∂
2
u
∂x
2
i
là toán tử Laplace.
4. x = (x
2

1
+x
2
2
+···+x
2
n
)
1
2
là chuẩn Euclide của x, đôi khi để giản ta thường
dùng ký hiệu là |x|.
5. Với k là số nguyên dương, C
k
(Ω) là ký hiệu của tập tất cả các hàm khả
vi liên tục cấp k trên Ω, C
∞
(Ω) là tập tất cả các hàm thuộc lớp C
k
(Ω) với
mọi k. Với E ⊂ R
n
, C(E) là ký hiệu của tập tất cả các hàm liên tục trên
E.
6. Cho Ω là tập mở bị chặn của R
n
, ký hiệu ∂Ω là biên của Ω,
Ω là bao đóng
của Ω. Độ đo V = V
n

là độ đo thể tích Lesbegue trên R
n
và s là độ đo bề
mặt của ∂Ω.
7.
∂u
∂
−→
l
(x) = lim
t→0
u(x + t
−→
l ) −u(x)
t
,
−→
l =
−→
0 , là đạo hàm theo hướng
−→
l của u
tại x. Nếu u khả vi tại x thì u có đạo hàm mọi hướng tại x và
∂u
∂
−→
l
(x) =
n


i=1
∂u
∂x
i
(x)l
i
,
−→
l = (l
1
, . . . , l
n
).
8. Với u ∈ C(Ω) ta viết: D
n
u =
∂u
∂ν
, với ν = (υ
1
, . . . , υ
n
) là vector pháp tuyến
đợn vị hướng ra ngoài của ∂Ω; u = (D
1
u, . . . , D
n
u) = Du là vector gradient
của u.
Do đó với ξ ∈ ∂Ω ta có (D

n
u)(ξ) = (u)(ξ) · η(ξ), với η = ν.
9. B(a, r) = {x ∈ R
n
: x − a < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r, bao đóng
của nó là hình cầu đóng B(a, r); hình cầu đơn vị B(0, 1) được ký hiệu là
B, còn bao đóng của nó là B. Khi số chiều là quan trọng ta viết B
n
thay
cho B để chỉ hình cầu đơn vị trong không gian có số chiều là n.
Biên của hình cầu đơn vị được ký hiệu bởi S = ∂B, bình thường độ đo bề
mặt S được ký hiệu bởi σ (sao cho σ(S) = 1). Độ đo σ là độ đo xác suất
duy nhất trên S đó là phép quay bất biến (giá trị T(E) = σ(E) với mọi
tập Borel E ⊂ S và với mỗi phép biến đổi tuyến tính trực giao T).
10. Bộ chỉ số α là n số nguyên không âm (α
1
, . . . , α
n
).
Đạo hàm từng phần của toán tử D
α
được xác định bởi D
α
1
1
. . . D
α
n
n
(D

0
j
là
toán tử đồng nhất).
Với x ∈ R
n
và bộ chỉ số α = (α
1
, . . . , α
n
) ta định nghĩa:
x
α
= x
α
1
. . . x
α
n
,
α! = α
1
! . . . α
n
!,
|α| = α
1
+ ··· + α
n
.

11. D
m
u =

∂
α
u
∂x
α
1
1
. . . ∂x
α
n
n
: |α| = α
1
+ ··· + α
n
= m

là tập tất cả các đạo hàm
riêng cấp m của u.
Mục lục
Mở đầu 3
1 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa 5
1.1 Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tính chất bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Nhân Poisson cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Bài toán Dirichlet cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Định lý đảo của Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . 22
1.8 Mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm giải tích . . . . . . . . . . 24
2 Hàm điều hòa bị chặn 28
2.1 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Tính kỳ dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Ước lượng Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Họ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Giới hạn dọc tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
3 Hàm điều hòa dương 37
3.1 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnanck . . . . . . . . . . 39
3.3 Tính kỳ dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 47
2
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hàm điều hòa - nghiệm của phương trình Laplace đóng một vai trò
quan trọng trong nhiều lĩnh vực của Toán học, Vật lý và Kỹ thuật. Lý
thuyết hàm điều hòa, chính xác hơn là các tính chất của nó cho ta rất
nhiều ứng dụng phải kể đến đó là tính chất bất biến qua hình cầu tâm
và bán kính bất kỳ, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực đại (giá
trị cực đại hoặc cực tiểu trên miền đạt được trên biên),
Hiện nay tài liệu tiếng Việt viết và nghiên cứu về hàm điều hòa nói
chung là rất ít. Đặc biệt hơn ở trường Đại học Tây Bắc đề tài nghiên
cứu về hàm điều hòa vẫn còn hạn chế. Ta có thể tìm thấy trong thư

viện trường Đại học Tây bắc, lý thuyết hàm điều hòa chủ yếu chỉ được
giới thiệu trong một mục nhỏ thông qua các cuốn Phương trình đạo
hàm riêng [1], [3] và Hàm biến phức [2]. Để tìm hiểu về nó không phải
lúc nào cũng dễ dàng và đôi khi gây rất nhiều chở ngại cho các bạn
sinh viên, nhất là các bạn sinh viên học Toán và Lý.
Xuất phát từ những lý do trên, em chọn hướng nghiên cứu của mình
là: Bước đầu nghiên cứu một số lớp hàm điều hòa.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là nghiên cứu các tính chất cơ bản
của hàm điều hòa và nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều
hòa bị chặn và hàm điều hòa dương.
Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa trên R
n
.
Tìm hiểu các tính chất đặc trưng cho các lớp hàm điều hòa bị chặn
và hàm điều hòa dương trên R
n
.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa R
n
. Khai thác
tính chất đặc trưng chỉ có trong hàm điều hòa, cụ thể có tính chất như:
"Hàm điều hòa là hàm duy nhất có tính chất giá trị trung bình".
Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương. Xét
xem đã có những kết của nào mà ta đã biết trong giải tích phức mà ta
vẫn áp dụng được cho hàm điều hòa. Hơn nữa là nghiên cứu các tính
chất đặc biệt có trong hai lớp hàm này.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và nghiên cứu các tài liệu trong nước cũng như tài liệu nước
ngoài viết về những vấn đề có liên quan đến đề tài. Phân tích, tổng
hợp các kiến thức sao cho có hệ thông, logic và mạch lạc. Qua đó hình
thành ý tưởng và đề cương nghiên cứu đề tài.
Trao đổi với giảng viên hướng dẫn, những người có kinh nghiệm và
nhóm sinh viên có cùng ý tưởng nghiên cứu. Từ đó lập kế hoạch và
hoàn thành đề tài.
6. Những đóng góp của đề tài
Đề tài đã nêu bật được những tính chất cơ bản nhất của hàm điều
hòa và bước đầu nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa
bị chặn và hàm điều hòa dương.
7. Cấu trúc đề tài
Nội dung của đề tài gồm có phần Mở đầu, ba Chương nội dung, phần
Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo:
Chương 1. Trình bày các tính chất cơ bản của hàm điều hòa, bao
gồm: Tính chất bất biến, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực
đại, nhân Poisson cho hình cầu, bài toán Dirichlet cho hình cầu, định
lý đảo của tính chất giá trị trung bình và mối liên hệ giữa hàm điều
hòa và hàm giải tích.
Chương 2. Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn, trong đó trình bày
một số tính chất tương tự của hàm chỉnh hình trong giải tích phức cho
hàm điều hòa dương trên R
n
. Cụ thể là: Định lý Liouville, tính kỳ dị cô
lập, ước lượng Cauchy, họ chuẩn tắc. Hơn nữa là hai tính chất nguyên
lý cực đại và giới hạn dọc tia cho các hàm điều hòa bị chặn.
Chương 3. Nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương thông qua các tính
chất quan trọng đó là: Định lý Liouville, bất đẳng thức Harnack, nguyên
lý Harnack và tính kỳ dị cô lập.

4
Chương 1
Các tính chất cơ bản của hàm điều
hòa
Hàm điều hòa tồn tại trên tập con mở của không gian Euclide thực.
Trước khi đi vào các tính chất ta tìm hiểu định nghĩa về hàm điều hòa.
1.1 Định nghĩa và các ví dụ
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u : Ω → C khả vi liên tục cấp hai được
gọi là hàm điều hòa trên Ω nếu thỏa mãn phương trình Laplace:
∆u = 0.
Ví dụ 1. u(x) = x
1
, với x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
.
Ví dụ 2. Xét hàm u trên R
3
xác định bởi:
u(x) = x
2
1
= x
2
2
− i x
2

.
Dễ thấy hàm này điều hòa trên R
3
.
Ví dụ 3. Cho n > 2, x ∈ R
n
, hàm u(x) = x
2−n
là hàm điều hòa
trên R
n
. Thật vậy:
Giả sử x = (x
1
, . . . , x
n
), khi đó u(x) = (x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
)
2−n
2
.
Ta có:

∂u
∂x
i
= (2 − n)x
i
(x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
)
−n
2
i = 1, n.
∂
2
u
∂x
2
i
= (2 − n)x
−n
[1 − nx
2
i
x

−2
] i = 1, n.
5
Suy ra:
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
= (2 − n)x
−n
[n − n(x
2
1
+ ··· + x
2
n
)x
−2
]
= (2 − n).x
−n
[n − nx
2
.x
−2

]
= 0.
Điều này chứng tỏ u(x) = x
2−n
, n > 2 là hàm điều hòa.
Như chúng ta sẽ thấy sau này, hàm u(x) = x
2−n
là hàm quan trọng
đối với lý thuyết hàm điều hòa khi n > 2. Chúng ta có được ví dụ bổ
sung cho hàm điều hòa bằng cách lấy vi phân.
Lưu ý với hàm điều hòa trơn toán tử Laplace thay đổi với bất kỳ đạo
hàm riêng.
Nói riêng v(x) =
∂u
∂x
i
(x) = x
i
x
−n
là hàm điều hòa trên R
n
\{0} khi
n > 2. Chúng ta sẽ sớm chứng minh rằng mỗi hàm điều hòa là khả vi
vô hạn, do đó mỗi đạo hàm riêng của hàm điều hòa là điều hòa.
Ví dụ 4. Hàm u(x) = ln x là hàm điều hòa trên R
2
\{0}. Thật vây:
Giả sử x = (x
1

, x
2
) ∈ R
2
, ta có u(x) = ln

x
2
1
+ x
2
2
. Khi đó:
∂u
∂x
1
=
x
1
x
2
1
+ x
2
2
⇒
∂
2
u
∂x

2
1
=
x
2
2
− x
2
1
(x
2
1
+ x
2
2
)
2
.
∂u
∂x
2
=
x
2
x
2
1
+ x
2
2

⇒
∂
2
u
∂x
2
2
=
x
2
1
− x
2
2
(x
2
1
+ x
2
2
)
2
.
Vậy ∆u = 0. Và ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 1.1.1. a) x
1
x
−2
là một đạo hàm riêng của ln x. Vậy hàm
v(x) = x

1
x
−n
là hàm điều hòa trên R
n
\{0} cả khi n = 2.
b) Hàm ln x có lim
x→∞
x = +∞, nhưng lim
x→∞
x
2−n
= 0, ∀n > 2.
c) Ta có thể chỉ ra ln x hoặc là bị chặn trên hoặc là bị chặn dưới,
còn x
2−n
là luôn dương.
Đây là một dấu hiệu cho thấy sự tương phản giữa lý thuyết hàm điều
hòa trong mặt phẳng và không gian cao hơn (khi n > 2). Một sự khác
biệt quan trọng xuất phát từ mối quan hệ mật thiết giữa hàm chỉnh
hình và hàm điều hòa trong mặt phẳng.
6
Nhận xét 1.1.1. Hàm lấy giá trị thực trên Ω ⊂ R
2
là hàm điều hòa
khi và chỉ khi nó là phần thực địa phương của hàm chỉnh hình.
Chứng minh. Giả sử u(z) = u(x, y) với z = x + iy ∈ Ω. Ta có:
x =
z + z
2

, y = i
z − z
2
.
Khi đó:
∂u
∂z
=
∂u
∂x
∂x
∂z
+
∂u
∂y
∂y
∂z
=
1
2

∂u
∂x
− i
∂u
∂y

.
Suy ra:
∂

2
u
∂z∂z
=
1
2

∂
2
u
∂x
2
∂x
∂z
+
∂
2
u
∂x∂y
∂y
∂z
− i
∂
2
u
∂y∂x
∂x
∂z
− i
∂

2
u
∂y
2
∂y
∂z

=
1
4

∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2

.
Vì u điều hòa nên
∆u = 0 ⇒
∂
2
u
∂z∂z

= 0
và do đó hàm u chỉnh hình trên Ω. Từ đó ta có thể tìm được hàm chỉnh
hình f trên Ω sao cho
df =
∂u
∂z
dz.
Lấy liên hợp hai vế ta có
df =
∂u
∂z
dz.
Cộng hai đẳng thức trên ta thu được
d(f + f) =
∂u
∂z
dz +
∂u
∂z
dz = du.
Như vậy u là phần thực của hàm chỉnh hình 2f.
1.2 Tính chất bất biến
Trong khắp quyển sách này tất cả các hàm được giả định nhận giá
trị phức trừ khi được phát biểu dưới dạng khác.
Bởi vì toán tử Laplace tuyến tính trên C
2
(Ω) nên phép cộng và nhân
vô hướng của hàm điều hòa là hàm điều hòa.
7
Định nghĩa 1.2.1. 1.Với y ∈ R

n
, và u là hàm điều hòa trên Ω.
Tịnh tiến của u là hàm trên Ω + y, nhận giá trị tại x là u(x − y).
2.Với một số dương r và một hàm u trên Ω.
Mở rộng của u ký hiệu u
r
là một hàm xác định bởi (u
r
)(x) = u(rx),
với x thuộc (1/r)Ω = {(1/r)ω| ω ∈ Ω}.
Nhận xét 1.2.1. i) Tịnh tiến của hàm điều hòa là hàm điều hòa.
ii) Với u ∈ Ω ta thấy ∆(u
r
) = r ·(∆u)
r
. Bởi vậy mở rộng của hàm điều
hòa là hàm điều hòa.
Sự kết hợp giữa hàm điều hòa và hình cầu là quan trọng đối với lý
thuyết hàm điều hòa. Tính chất giá trị trung bình cái mà chúng ta sẽ
xét trong mục tiếp theo là một minh họa cụ thể nhất cho sự kết hợp
này. Các mối liên hệ khác như phép nâng lên lũy thừa, phép biến đổi
tuyên tính trên R
n
là bảo tồn trên hình cầu đơn vị, phép biến đổi như
vậy gọi là trực giao.
Định nghĩa 1.2.2. Một ánh xạ tuyến tính T : R
n
−→ R
n
được gọi là

trực giao khi và chỉ khi T x = x, với mọi x ∈ R
n
.
Trong đại số tuyến tính, T được gọi là trực giao khi và chỉ khi vector
cột của ma trận T cùng với cơ sở trực chuẩn của R
n
tạo thành tập hợp
trực chuẩn.
Bây giờ ta chỉ ra toán tử tuyến tính giao hoán với phép biến đổi tuyến
tính trực giao. Cụ thể:
Nhận xét 1.2.2. Nếu T là là ánh xạ tuyến tính trực giao và u ∈ C
2
(Ω)
thì ∆(u ◦ T) = (∆u) ◦T trên T
−1
(Ω).
Chứng minh. Thật vậy, cho [t
jk
] là ký hiệu của ma trận T ứng với cơ
sở trực chuẩn của R
n
. Khi đó:
D
m
(u ◦ T ) =
n

j=1
t
jm

(D
j
u) ◦ T.
Ở đó D
m
là đạo hàm từng phần thứ m theo tọa độ của biến. Lấy đạo
hàm một lần nữa và lấy tổng trên cho m ta được:
∆(u ◦ T ) =
n

m=1
n

j,k=1
t
km
t
jm
(D
k
D
j
u) ◦ T.
8
Hay ta có
∆(u ◦ T ) =
n

j,k=1


n

m=1
t
km
t
jm

(D
k
D
j
u) ◦ T
= (∆u) ◦ T.
Hàm u ◦ T được gọi là một phép quay của u. Tính toán trên cho thấy
phép quay của hàm điều hòa là điều hòa.
1.3 Tính chất giá trị trung bình
Trước tiên ta xét đồng nhất thức Green, cái mà ta sẽ sử dụng cho
việc chứng minh nhiều tính chất cơ bản của hàm điều hòa trong trường
hợp đặc biệt khi Ω là hình cầu. Ta có:

Ω
(u∆v −v∆u)dV =

∂Ω
(uD
n
v −vD
n
u)ds. (1.3.1)

Trong đó Ω là tập mở, bị chặn của R
n
với ∂Ω trơn nhẵn và u, v là các
hàm khả vi liên tục cấp hai trên Ω.
Từ đồng nhất thức Green (1.3.1), dẫn đến định lý phân kỳ quan trọng
sau:

Ω
divwdV =

∂Ω
w ·nds. (1.3.2)
Trong đó w = (w
1
, . . . , w
n
) là trường vector trơn nhẵn của C
n
(Ω), divw
là một đại lượng vô hướng được gọi là divergence của w và được xác
định bởi:
divw = D
1
w
1
+ ··· + D
n
w
n
.

Để thu được đồng nhất thức Green từ định lý phân kỳ, ta cho
w = uv −vu và tính toán.
9
Biểu thức dưới đây sử dụng đồng nhất thức Green khi u là hàm điều
hòa và v = 1

∂Ω
D
n
uds = 0. (1.3.3)
Đồng nhất thức Green chính là để chứng minh tính chất giá trị trung
bình.
Định lý 1.3.1 (Tính chất giá trị trung bình). Nếu u là hàm điều hòa
trên B(a, r) thì u bằng giá trị trung bình của u trên ∂B(a, r). Cụ thể:
u(a) =

∂B(a,r)
u(a + rξ)dσ(ξ).
Chứng minh. Trước tiên ta xét với n > 2. Không mất tính tổng quát ta
có thể giả sử B(a, r) = B, cố định ε ∈ (0, 1). Áp dụng đồng nhất thức
Green (1.3.1) với Ω = {x ∈ R
n
: ε < x < 1} = B \B
ε
, B
ε
= B
ε
(0) là
hình cầu tâm 0 với bán kính ε đủ nhỏ và v(x) = |x|

2−n
, ta có

B\B
ε
(u∆v −v∆u)dV =

∂B
(uD
n
v −vD
n
u)ds +

∂B
ε
(uD
n
v −vD
n
u)ds.
Do u, v điều hòa nên ta có
0 =

S
(uD
n
v −vD
n
u)ds +


εS
(uD
n
v −vD
n
u)ds
=

S
uD
n
vds +

εS
uD
n
vds −

S
vD
n
uds −

εS
vD
n
uds
=


S
(2 − n)|x|
1−n
uds − v

(ε)

εS
uds −

S
|x|
2−n
D
n
uds −

εS
|x|
2−n
D
n
uds
=(2 − n)

S
uds − (2 − n)ε
1−n

εS

uds −

S
D
n
uds − ε
2−n

εS
D
n
uds.
Từ (1.3.3) hai số hạng sau cùng bằng 0, do dó:

S
uds = ε
1−n

εS
uds.
10
Hay ta có:

S
udσ =

S
u(εξ)dσ(ξ) → u(0)
khi ε → 0 và do tính liên tục của u. Như vậy ta thu được
u(0) =


S
u(ξ)dσ(ξ).
Chứng minh tương tự khi n = 2, bằng cách thay |x|
2−n
bằng ln |x|.
Hàm điều hòa vẫn có tính chất giá trị trung bình theo độ đo thể tích.
Công thức tọa độ cực với phép lấy tích phân trên R
n
là tiền đề quan
trọng ở đây. Công thức được phát biểu với một độ đo Borel và hàm f
khả tích trên R
n
:
1
nV (B)

R
n
fdV =
∞

0
r
n−1

S
f(rξ)dσ(ξ)dr. (1.3.4)
Hằng số nV (B) phát sinh từ pháp tuyến của σ.
Định lý 1.3.2 (Tính chất giá trị trung bình theo độ đo thể tích). Nếu

u là hàm điều hòa trên B(a, r) thì u(a) bằng giá trị trung bình của u
trên B(a, r). Tức là:
u(a) =
1
V (B(a, r))

B(a,r)
udV.
Chứng minh. Ta giả sử B(a, r) = B. Cố định ε ∈ (0, 1), lấy u bằng hàm
f trên B. Áp dụng công thức tọa độ phân cực (1.3.4) kết hợp với Định
lý (1.3.1), ta có:
1
nV (B)

B
udV =
1

0
ε
n−1

S
u(εξ)dσ(ξ)dε
=

S
u(εξ)

1


0
ε
n−1
dε

dσ(ξ)
=
1
n

S
u(εξ)dσ(ξ).
11
Hay
1
nV (B)

B
udV =
1
n
u(0).
Như vậy
u(0) =
1
V (B)

B
udV.

Chúng ta sẽ gặp lại trong Định lý (1.7.1) và Định lý (1.7.2) tính chất
giá trị trung bình đặc trưng của hàm điều hòa.
Ta kết thúc phần này với một ứng dụng của tính chất giá trị trung
bình. Ta biết rằng một hàm điều hòa giá trị thực có một điểm kỳ dị cô
lập, ví dụ hàm x
2−n
có một điểm kỳ dị cô lập tại điểm 0 nếu n > 2.
Hệ quả 1.3.1. Giá trị không của hàm điều hòa nhận giá trị thực không
bao giờ bị cô lập. Tức là, nếu u(a) = 0, a ∈ Ω khi đó a không bị cô lập.
Chứng minh. Giả sử u điều hòa và nhận giá trị thực trên Ω, a ∈ Ω và
u(a) = 0. Cho r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ Ω. Vì giá trị trung bình của
u bằng 0 trên ∂B(a, r) nên hoặc là u đồng nhất bằng 0 trên ∂B(a, r),
hoặc u nhận cả giá trị âm lẫn giá trị dương trên ∂B(a, r). Trong trường
hợp u nhận giá trị âm lẫn giá trị dương bao hàm cả trường hợp u có
giá trị 0 trên ∂B(a, r).
Do vậy u có giá trị không trên biên của mỗi hình cầu có tâm đủ nhỏ
tại a. Điều này chứng tỏ a không là điểm cô lập không của u.
Giả thiết u có giá trị thực là cần thiết trong hệ quả trên. Bởi vì khi
n = 2 hàm chỉnh hình khác hằng số có điểm cô lập không.
Khi n  2, hàm điều hòa:
v(x) = (1 − n)x
2
1
+
n

k=2
x
2
k

+ ix
1
là một ví dụ; nó triệt tiêu tại gốc O.
12
1.4 Nguyên lý cực đại
Một hệ quả quan trọng của tính chất giá trị trung bình là nguyên lý
cực đại cho các hàm điều hòa.
Định lý 1.4.1 (Nguyên lý cực đại). Giả sử Ω liên thông, u là hàm
nhận giá trị thực, điều hòa trên Ω và u đạt cực đại hoặc cực tiểu trên
Ω. Khi đó u là hằng số trên Ω.
Chứng minh. Giả sử u đạt cực đại tại a ∈ Ω, chọn r > 0 sao cho
B(a, r) ⊂ Ω. Khi đó u điều hòa trên B(a, r) ⊂ Ω.
+ Nếu u bé hơn u(a) tại một số điểm của B(a, r) thì từ tính liên tục
của u cho thấy giá trị trung bình của u trên B(a, r) nhỏ hơn u(a) (mâu
thuẫn với Định lý (1.3.2)). Do vậy u = u(a), tức là u là hằng số trên
B(a, r), chứng tỏ tập hợp mà trong đó u đạt cực đại là tập hợp mở
trong Ω. Hơn nữa Ω liên thông nên tập đó cũng đóng trong Ω, lại từ
tính liên tục của u kết hợp với tính liên thông của Ω nó phải thỏa mãn
trên toàn bộ Ω. Như vậy u là hằng số trên Ω.
+ Nếu u đạt giá trị nhỏ nhất trên Ω, áp dụng lập luận trên với −u ta
cũng thu được u là hằng số trên Ω.
Hệ quả 1.4.1. Giả sử Ω bị chặn và u là hàm thực liên tục trên Ω ,
điều hòa trên Ω. Khi đó giá trị cực đại và cực tiểu của u trên Ω đạt
được trên Ω.
Chứng minh. Do u liên tục trên Ω nên u đạt giá trị cực đại (tương ứng
giá trị cực tiểu) trên Ω. Gọi M là giá trị cực đại của u đạt được trên Ω
(nếu M là giá trị cực tiểu của u trên Ω, ta chứng minh tương tự), gọi
a ∈ Ω mà u(a) = M = max
Ω
u. Theo Định lý (1.4.1) thì sup

Ω
u = sup
Ω
u.
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả trên bao hàm cả trường hợp trên miền bị chặn hàm điều hòa
được xác định bằng giá trị biên của nó (chú ý rằng tính liên thông của
Ω ở đây là không cần thiết). Cụ thể, với Ω bị chặn: Nếu u và v là các
hàm liên tục, điều hòa trên Ω và nếu u = v trên ∂Ω thì u = v trên Ω.
Nhưng thật không may kết quả này có thể không đạt được trên miền
không bị chặn. Ví dụ, hàm điều hòa u(x) = 0 và v(x) = x
n
bằng nhau
trên biên của nửa không gian {x ∈ R
n
: x
n
> 0}.
13
Hệ quả tiếp theo của nguyên lý cực đại có thể được ứng dụng ngay cả
khi Ω không bị chặn hoăc khi u không liên tục trên Ω.
Hệ quả 1.4.2. Cho u là hàm thực, điều hòa trên Ω và giả sử
lim
k→∞
sup u(a
k
)  M.
với bất kỳ dãy (a
k
) trong Ω hội tụ tới một điểm trong ∂Ω hoặc tới ∞.

Thì u  M trên Ω.
Chứng minh. Đặt M

= sup{u(x) : x ∈ Ω} và chọn một dãy b
k
trong Ω
sao cho u(b
k
) → M

.
+ Nếu (b
k
) có một dãy con hội tụ tới điển b ∈ Ω thì u(b) = M

bao hàm
u là hàm hằng trên toàn bộ thành phần của Ω chứa b (theo nguyên lý
cực đại (1.4.1)). Bởi vậy trong trường hợp này có một dãy (a
k
) trong
Ω hội tụ tới một điểm biên của Ω hoặc tới ∞ tại đó u = M

. Từ đó ta
có M

 M.
+ Nếu không dãy con nào của (b
k
) hội tụ tới diểm trong Ω thì (b
k

) có
một dãy con hội tụ tới điểm biên của Ω hoặc ∞. Do vậy trong trường
hợp này ta vẫn có M

 M.
Chú ý 1.4.1. Ta nói dãy (a
k
) hội tụ tới ∞ theo nghĩa là |a
k
| → ∞.
Hệ quả (1.4.2) vẫn đúng nếu thay "lim sup" bằng "lim inf" và dấu bất
đẳng thức đặt ngược lại (tức là ).
Định lý (1.4.1), Hệ quả (1.4.1) và Hệ quả (1.4.2) chỉ áp dụng được đối
với các hàm nhận giá trị thực. Hệ quả tiếp theo là phát biểu của nguyên
lý cực đại cho các hàm có giá trị phức.
Hệ quả 1.4.3. Cho Ω liên thông và u là hàm điều hòa trên Ω. Nếu |u|
đạt cực đại trong Ω thì u là hằng số.
Chứng minh. Giả sử u đạt giá trị lớn nhất là M tại diểm a ∈ Ω. Chọn
λ ∈ C sao cho |λ| = 1 và λu(a) = M. Khi đó hàm điều hòa giá trị thực
Reλu đạt giá trị cực đại M tại a, do đó theo Định lý (1.4.1) Reλu = M
trên Ω. Vì |λu|  |λ||u| = |u|  M, ta có Imλu ≡ 0 trên Ω. Từ đó λu
là hằng số và bởi vậy u là hằng số trên Ω.
14
1.5 Nhân Poisson cho hình cầu
Tính chất giá trị trung bình cho thấy, nếu u là hàm điều hòa trên B
thì:
u(0) =

S
u(ξ)dσ(ξ).

Bây giờ đi chứng minh với mỗi x ∈ B, u(x) là một trọng số trung bình
của u trên S, chính xác hơn ta chỉ ra rằng tồn tại một hàm điều hòa
P trên B × S sao cho:
u(x) =

S
u(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ).
Để khám phá những gì P có thể đạt được, ta bắt đầu trong trường hợp
đặc biệt khi n = 2. Giả sử u là hàm điều hòa thực trên hình cầu đóng
đơn vị trong R
2
thì u = Ref với mỗi hàm chỉnh hình f trên lân cận
của hình cầu đóng đơn vị. Vì u =
f + f
2
, khai triển chuỗi Taylor của f
bao hàm u có dạng:
u(rξ) =
j=+∞

j=−∞
a
j
r
|j|
ξ
j
Ở đó 0  r  1 và |ξ| = 1. Trong công thức này lấy r = 1, nhân cả hai
vế với ξ
−k

sau đó tích phân trên hình cầu đơn vị ta được:
a
k
=

S
u(ξ)ξ
−k
dσ(ξ).
Bây giờ cho x là một điểm trong của hình cầu mở đơn vị và viết x = rη
với r ∈ (0, 1) còn |η| = 1. Khi đó:
u(x) = u(rη).
=
+∞

j=−∞


S
u(ξ)ξ
−j
dσ(ξ)

r
|j|
η
j
dσ(ξ).
=


S
u(ξ)

+∞

j=−∞
r
|j|

ηξ
−1

j

dσ(ξ).
15
Vì |rηξ
−1
|  |r||η||ξ
−1
| = |r| < 1 và |rη
−1
ξ|  |r||η
−1
||ξ| = |r| < 1 nên
ta có:
+∞

j=−∞
r

|j|

ηξ
−1

j
=
+∞

j=0

rηξ
−1

j
+
0

j=−∞
r
|j|

ηξ
−1

j
−

rηξ
−1


0
=
+∞

j=0

rηξ
−1

j
+
+∞

j=0

rη
−1
ξ

j
− 1
=
1
1 − rηξ
−1
+
1
1 − rη
−1

ξ
− 1
=
1 − r
2
(1 − rηξ
−1
)(1 − rη
−1
ξ)
=
1 − r
2
(ξ − rη)(ξ
−1
− rη
−1
)
=
1 − r
2
(ξ − rη)(
ξ
ξ
2
− r
η
η
2
)

=
1 − r
2
(ξ − rη)
2
. (Do ξ
2
= 1, η
2
= 1).
Do đó
u(x) =

S
u(ξ)
1 − r
2
|rη − ξ|
2
dσ(ξ).
Đặt P (x, ξ) =
1 − |x|
2
(x − ξ)
2
ta thu được công thức cần tìm với n = 2:
u(x) =

S
u(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ).

Nhưng thật không may trong không gian với số chiều n > 2 việc tính
toán không hề đơn giản. Khi n > 2, ta bắt đầu với một bổ đề quan
trọng mà ta gọi là Bổ đề phép đối xứng.
Bổ đề 1.5.1 (Phép đối xứng). Với mọi số khác không x và y trong R
n




y
|y|
− |y|x




=




x
|x|
− |x|y




.
Chứng minh. Vì x, y = 0. Do đó, bằng cách bình phương hai vế ta sẽ

được một hằng đúng.
16
Để tìm P ta thử phương pháp được sử dụng trong chứng minh Tính
chất giá trị trung bình. Giả sử u là hàm điều hòa trên B. Khi đó ta
chứng minh rằng u(0) là giá trị trung bình của u trên S. Ta áp dụng
đồng nhất thức Green với v(y) = |y|
2−n
, hàm này điều hòa trên B\{0},
có một điểm kỳ dị tại 0 và là hằng số trên S. Bây giờ cố định một diểm
khác không x ∈ B. Ta chứng minh u(x) là trọng khối trung bình của
u trên S, một cách tự nhiên lần này ta thử với v(y) = |y −x|
2−n
, hàm
này điều hòa trên B\{0}, có điểm kỳ dị tại x nhưng rất tiếc không phải
là hằng số. Tuy nhiên theo bổ đề về phép đối xứng (1.5.1) cho thấy với
y ∈ S :
|y −x|
2−n
= |x|
2−n




y −
x
|x|
2





2−n
.
Nhận thấy rằng phía bên phải của phương trình này là hàm điều hòa
(như một hàm của y) trên B. Do đó sự khác biệt của vế phải và vế trái
có tất cả những tính chất mà ta đang tìm kiếm. Do vậy đặt
v(y) = L(y) − R(y), trong đó:
L(y) = |y − x|
2−n
, R(y) = |x|
2−n




y −
x
|x|
2




2−n
.
và chọn ε đủ nhỏ sao cho B(x, ε) ⊂ B. Áp dụng đồng nhất thức Green
(1.3.1) như trong chứng minh của tính chất giá trị trung bình (1.3.1)
với Ω = B\B(x, ε) ta dược:
0 =


S
uD
n
vds − (2 − n)u(x) −

∂B(x,ε)
uD
n
Rds +

∂B(x,ε)
RD
n
uds.
Vì uD
n
R và RD
n
u bị chặn trên B, hai số hạng sau tiến đến 0 khi ε → 0.
Bởi vậy:
u(x) =
1
2 − n

S
uD
n
vdσ.
Đặt P (x, ξ) = (2 −n)

−1
(D
n
v)(ξ), ta có được công thức cần tìm:
u(x) =

S
u(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ). (1.5.5)
17
Với
P (x, ξ) =
1 − |x|
2
(x − ξ)
n
. (1.5.6)
Hàm P ở trên được gọi là nhân Poisson cho hình cầu, nó đóng vai trò
quan trọng trong các phần tiếp theo.
1.6 Bài toán Dirichlet cho hình cầu
Bây giờ ta đi xét một bài toán nổi tiếng trong lý thuyết hàm điều
hòa: "Cho một hàm f liên tục trên S khi đó tồn tại một hàm liên tục
u trên B, với u điều hòa trên B sao cho u = f trên S? Nếu như vậy,
ta tìm u như thế nào?". Đó chính là Bài toán Dirichlet cho hình cầu.
Nhớ lại, theo nguyên lý cực đại nếu nghiệm tồn tại thì đó là duy nhất.
Nếu f là hạn chế trên S của hàm điều hòa u trên B thì:
u(x) =

S
f(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ), ∀x ∈ B, ξ ∈ S.
Ta giải bài toán Dirichlet cho B bằng cách bắt đầu với một hàm số liên

tục trên S và sử dụng công thức trên để xác định một mở rộng của f
vào B.
Sử dụng (1.5.6) như một định nghĩa của P . Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.6.1. Cho tùy ý f ∈ C(S). Tích phân Poisson của f, ký
hiệu P [f] trở thành hàm trên B xác định bởi:
P [f](x) =

S
f(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ). (1.6.7)
Định lý tiếp theo chỉ ra rằng tích phân Poison giải bài toán Dirichlet
cho hình cầu B.
Định lý 1.6.1 (Nghiệm của bài toán Dirichlel cho hình cầu). Giả sử
f liên tục trên S. Hàm u trên B xác định bởi:
u(x) =

P [f](x) nếu x ∈ B
f(x) nếu x ∈ S.
Thì u là hàm liên tục trên B và điều hòa trên B.
18
Để chứng minh định lý (1.6.1). Trước tiên ta có hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6.1. Cho ξ ∈ S. Khi đó P(·, ξ) là hàm điều hòa trên
R
n
\ {ξ}.
Ta viết P (x, ξ) = (1 − |x|
2
)(x − ξ)
−n
. Sau đó tính toán tử Laplace của
P (·, ξ) bằng cách sử dụng công thức tích vô hướng ta có:

(uv) = uv + 2uv + vu. (1.6.8)
với mọi u, v là các hàm thực khả vi liên tục cấp hai.
Mệnh đề 1.6.2. Nhân Poison có những tính chất sau:
a) P(x, ξ) > 0, ∀x ∈ B và ∀ξ ∈ S.
b)

S
P (x, ξ)dσ(ξ) = 1, ∀x ∈ B.
c)

|ξ−η|<δ
P (x, ξ)dσ(ξ) → 0 khi x → η, với mọi η ∈ S và mọi δ > 0.
Chứng minh. Các tính chất a) và c) được suy ra từ công thức của nhân
Poisson (1.5.6). Bây giờ ta đi chứng minh b), lấy u đồng nhất bằng 1
trong (1.5.5). Với x ∈ B\{0}, ta có:

S
P (x, ξ)dσ(ξ) =

S
P (|x|ξ,
ξ
|ξ|
)dσ(ξ)
=

S
P (|x|ξ,
x
|x|

)dσ(ξ).
Ở đó dấu bằng cuối cùng có được từ bổ đề phép đối xứng (1.5.1). Mệnh
đề (1.6.1) nói rằng P (|x|ξ,
x
|x|
) như là hàm của ξ là hàm điều hòa trên
B. Do đó từ Tính chất giá trị trung bình ta có:

S
P (x, ξ)dσ = P (0,
x
|x|
) = 1.
Rõ ràng b) cũng đúng với x = 0. Vậy ta được điều phải chứng minh.
19
Chứng minh của định lý 1.6.1. Toán tử Laplace của u có thể được tính
bằng cách lấy vi phân dưới dấu tích phân trong (1.6.7). Còn Mệnh đề
(1.6.1) thì chỉ ra rằng u là hàm điều hòa trên B.
Để chứng minh u là hàm liên tục trên B, cố định η ∈ S và ε > 0. Chọn
δ > 0 sao cho |f(ξ) − f(η)| < ε với bất cứ |ξ −η| < δ (và ξ ∈ S). Với
x ∈ B, theo các tính chất a) và b) của Mệnh đề (1.6.2) ta có:
|u(x) − u(η)| =




S

f(ξ) −f(η)


P (x, ξ)dσ(ξ)





|ξη|δ
|f(ξ) −f(η)|P (x, ξ)σ(ξ)
 ε + 2f
∞

|ξη|δ
P (x, ξ)dσ(ξ).
Ở đó f = sup
S
|f|.
Phần cuối cùng trong đẳng thức trên bé hơn ξ với x đủ gần η (theo
Mệnh đề (1.6.2) c)). Vậy u liên tục tại η.
Bây giờ ta chứng minh một kết quả mạnh hơn kết quả được viết trong
(1.5.5).
Định lý 1.6.2. Nếu hàm u liên tục trên B là hàm điều hòa trên B thì
u = P [u|
S
] trên B.
Chứng minh. Từ Định lý (1.6.1) ta có: u − P[u|
S
] điều hòa trên B và
mở rộng liên tục tới 0 trên S. Từ Hệ quả (1.4.1) của nguyên lý cực đại
ta suy ra u −P [u|
S

] bằng 0 trên B. Vậy u = P[u|
S
] trên B.
Vì phép tịnh tiến và phép mở rộng bảo tồn tính điều hòa. Kết quả trên
có thể chuyển qua bất kỳ hình cầu B(a, r). Đặc biệt, cho hàm f liên
tục trên ∂B(a, r), khi đó tồn tại duy nhất hàm liên tục u trên B(a, r)
với u điều hòa trên B(a, r) sao cho u = f trên ∂B(a, r). Trong trường
hợp này ta nói u giải bài toán Dirichlet cho B(a, r) với số liệu biên f.
Bây giờ ta chứng minh mỗi hàm điều hòa là khả vi vô hạn. Với mỗi
ξ ∈ S, hàm P (·, ξ) khả vi vô hạn trên B; ta ký hiệu α
th
là đạo hàm
từng phần bởi D
α
P (·, ξ) (với ξ được giữ cố định).
20