www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT


1
CHUYÊN ĐỀ

SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán:
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực
xX
.

Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của .

Các bước giải tổng quát:

i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X.
ii) Bước 2:
minf(x) g(m) maxf(x)
.

Chú ý:
i) Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem
f(x)
XD
(miền xác định của f(x)).

ii) Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng
bảng biến thiên (BBT) của f(x).
iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải
dùng BBT.
4i) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t).

II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
x 2x m 2x 1
(1)
1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt.

HƯỚNG DẪN GIẢI
(1)
2 2 2
11
xx
22
x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1.

Đặt
2
y 3x 6x 1
, với
1
x
2
ta có:

Bảng biến thiên
x
1
2
1
y 2

5
4

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1)
m2
, 2)
5
m m 2
4
, 3)
5
m2
4
.
Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình
11
x x x m
24
(2) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT



2
Đặt
2
11
t x 0 x t
44
, (2) trở thành:
2
2 2 2
1 1 1 1
t t t m t t m t m
4 4 4 2
.
Do
2
11
t 0 t
24
nên (2) có nghiệm
1
m
4
.
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
2
m
16 x 4 0
16 x

(3) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt
2
t 16 x t (0; 4]
, (3) trở thành
2
m
t 4 0 t 4t m
t
.
Lập BBT của hàm số y = t
2
– 4t, ta có
4 m 0
.

Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0. Do đó nên lập BBT để tránh sai sót.

Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình
x 1 x 2
m 2 0
x 2 x 1
(4) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt
x1
t t (0; ) \ {1}
x2
, (4) trở thành

2
m
t 2 0 t 2t m
t
.
Lập BBT của hàm số y = t
2
+ 2t, ta có
0 m 3
.

Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình
4
2
x 1 m x 1 2 x 1 0
(5) có nghiệm
thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện:
x1
.
+ x = 1: (5) vô nghiệm.
+ x > 1:
4
4
x 1 x 1
(5) m 2 0
x 1 x 1
.
Đặt

44
x 1 2
t 1 t (1; )
x 1 x 1
, (5) trở thành
2
m
t 2 0 t 2t m
t
.
Lập BBT của hàm số y = t
2
+ 2t, ta có m > 3.

Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
x 2x 3 x m
(6)
1) có nghiệm thực, 2) có 2 nghiệm phân biệt.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có (6)
2
x 2x 3 x m.

Đặt
2
y x 2x 3 x, x 1 x 3

2

22
x 1 x 1 x 2x 3
y ' 1
x 2x 3 x 2x 3
.
Bảng biến thiên
x –1 3
y’ – +
y
1

1 –3
Dựa vào bảng biến thiên:
www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT


3
1)
3 m 1 m 1
, 2) không có m.

Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
x 1 1 x m
(7).

HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số
/
2
1 x 1 x

f(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x)
2 1 x
.
Bảng biến thiên
x –1 0 1
f’(x) + 0 –
f(x) 2

2

2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
+
m 2 m 2
: (7) vô nghiệm.
+ m = 2: (7) có 1 nghiệm.
+
2 m 2
: (7) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình
2
x 9 x x 9x m
(8) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
22
22
0 x 9
x 9 x 0

(8)
(9x x ) 2 9x x 9 m.
9 2 9x x 9x x m

Đặt
2
x (9 x) 9
t 9x x 0 t , x [0; 9]
22
, ta có (8) trở thành:
2
t 2t 9 m
.
Lập BBT của hàm số
2
y t 2t 9
trên [0 ; 9/2] ta có
9
m 10
4
.

Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình
x 4 x 4 x x 4 m
(9) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt
2
t x 4 0 x t 4.
Ta có (9) trở thành:

2 2 2
t 4t 4 t 4 t m t 2t 6 m.

Lập BBT của hàm số
2
y t 2t 6, t 0
ta có
m6
.

Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình
xm
x 6 x 9 x 6 x 9
6
(10) có
nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt
2
t x 9 0 x t 9
. Ta có (10) trở thành:
2
22
t 9 m
t 6t 9 t 6t 9
6
2
6 t 3 t 3 t 9 m

2

2
t 12t 9 m, t 3 (*)
t 27 m, 0 t 3 (**)

+ Lập BBT của hàm số
2
y t 12t 9,t 3
ta suy ra (*) có nghiệm thực
m 27
.
+ Do
2
18 t 27 27, t [0; 3)
nên (**) có nghiệm thực
18 m 27
.
Vậy với
m 27
thì (10) có nghiệm thực.

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT


4
Bài 11. Tìm m để phương trình
x 1 3 x (x 1)(3 x) m
(11) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt
t x 1 3 x 0


2
t 2 2 x 1. 3 x 2 t 2.

Mặt khác
2
t 2 2 x 1. 3 x 2 [(x 1) (3 x)] 4 2 t 2.

Ta có (11) trở thành:
2
2
t 2 1
t m t t 1 m.
22

Lập BBT của hàm số
2
1
y t t 1, t 2; 2
2
ta có
1 m 2
.
Chú ý: Nên lập BBT của
t x 1 3 x
để tìm miền giá trị t.

Bài 12. Tìm m để phương trình
1 x 8 x (1 x)(8 x) m
có nghiệm thực.

Đáp số:
9 6 2
3m
2
.

Bài 13. Tìm m để phương trình
4
44
x 4x m x 4x m 6
(13) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt
4
4
t x 4x m 0.
Ta có:
(13)
4
2 4 4
t t 6 0 t 2 x 4x m 2 x 4x 16 m
.
Lập BBT của hàm số
4
y x 4x 16
trên ta có
m 19
.

Bài 14. Tìm điều kiện của m để phương trình

3
22
1 x 2 1 x m
(14)
1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
1) Nhận thấy nếu x
0
là nghiệm của (14) thì – x
0
cũng là nghiệm của (14).
Suy ra
0 0 0
x x x 0
là nghiệm duy nhất của (14).
Thế x
0
= 0 vào (14) ta được m = 3. Thử lại ta thấy (14) có nghiệm duy nhất.
Vậy m = 3.
2) Đặt
6
2
t 1 x 0 t 1
. Ta có (14) trở thành
32
t 2t m
.
Lập BBT của hàm số
32
y t 2t

trên [0 ; 1] ta suy ra
0 m 3
.

Bài 15. Chứng tỏ rằng phương trình
2
3x 1
2x 1 mx
2x 1
(15) luôn có nghiệm thực với mọi
giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
2
1
1
2x 1 0
x
x
2
2
(15)
3x 1
3x 2
3x 2x
2x 1 mx
m
mx
2x 1
2x 1

2x 1
.
Xét hàm số
/
3x 2 1 3x 1
f(x) , x f (x)
2
2x 1 (2x 1) 2x 1
.
Mặt khác
x
3x 2
lim
2x 1
,
1
x
2
3x 2
lim
2x 1
.
Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là . Vậy (15) luôn có nghiệm thực với mọi m.

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT


5
Bài 16. Tìm m để phương trình
x1

(x 3)(x 1) 4(x 3) m
x3
(16) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện
x1
0 x 1 x 3
x3
.
+ Với
x1
:
(16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m
.
Đặt
t (x 3)(x 1) 0, x 1
, (16) trở thành
2
t 4t m
m4
.
+ Với
x3
:
(16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m m 0
.
Vậy
m4
.


Bài 17. Tìm m để phương trình
3
3
1 x 1 x m
(17) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số
3
3
/
22
33
1 1 1
f(x) 1 x 1 x f (x)
3
(1 x) (1 x)

/ 2 2
33
f (x) 0 (1 x) (1 x) x 0 f(0) 2
.
3
3
3
2 2 2
33
3
2 2 2
xx
33

1 x 1 x (1 x) 1 x (1 x)
lim f(x) lim
(1 x) 1 x (1 x)

22
x
3
33
2
2
lim 0
1 1 1
x 1 1 1
xx
x
.
Suy ra tập giá trị của f(x) là (0; 2]. Vậy
0 m 2
.

Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x
(18) có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt
22
t 1 x 1 x , 1 x 1


22
22
x 1 x 1 x
t' 0 x 0
1 x . 1 x

t( 1) 2, t(0) 0 t 0; 2 , x 1; 1 .

(18) trở thành
2
2
t t 2
m(t 2) 2 t t m
t2
.
Xét hàm số
22
2
t t 2 t 4t
y y ' 0, t 0; 2
t2
(t 2)
.
Bảng biến thiên
x 0
2

y’ 0 –
y 1


21

Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực
2 1 m 1.


Bài 19. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
2
m x 2 x m
(19).
www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT


6
HƯỚNG DẪN GIẢI
(19)
22
2
x
m x 2 1 x m do x 2 1 0, x
x 2 1
.
Xét hàm số
2
x
y
x 2 1

2
2

2
2
2
x
x 2 1
x2
y'
x 2 1
2
2
22
2 x 2
0 x 2
x 2 x 2 1
.
Giới hạn
x x x
2
x
lim y lim lim y 1.
21
x1
x
x

Bảng biến thiên
x
2

2


y’ – 0 + 0 –
y –1
2


2
1
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
+
m 2 m 2
: (19) vô nghiệm.
+
1 m 1 m 2
: (19) có 1 nghiệm.
+
2 m 1 1 m 2
: (19) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài toán 20. Tìm m để phương trình
2
2x x 3 mx m
(20) có nghiệm thực
x1
.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện
2
3

2x x 3 0 x 1 x (x 1)
2
.
Ta có (20)
2
2x x 3
m
x1
.
Lập BBT của hàm số
2
2x x 3
y
x1
ta suy ra
m 2 0 m 2
.


Bài 21. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
3
4
x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m
(21).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Nhận thấy x
0
là nghiệm của (21) thì 1 – x
0
cũng là nghiệm của (21). Từ đó, để (21) có nghiệm duy

nhất thì
3
0 0 0
1
x 1 x x m m m 0 m 1
2
.
Đặt
2
4
t1
t x 1 x 0, 0 x 1 x(1 x)
2
.
(21) trở thành
2 2 3
2(t 1) mt t m m
.
+ m = 0:
22
11
(21) 2(t 1) t t 2 x(1 x) x
22
(nhận).
+ m = 1:
2 2 2
(21) 2(t 1) t t 2 2(t 1) (t 1)(t 2)

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT



7
22
32
t1
t1
t1
2(t 1)(t 1) (t 1) (t 2)
t 3t 2t 6 0

2
x0
t1
x(1 x) 0
t1
1
t1
x
1
t2
2
x(1 x)
(t 3)(t 2) 0
2
x1
(loại).
+
m1
:
2

(21) 2(t 1) (t 1)(2 t)

32
0 t 2
1
t 2 x
t 3t 2t 6 0
2
(nhận).
Vậy
m 0 m 1
.

Bài 22. Tìm m để phương trình
2
x x x 1 m
(22) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện
22
x x x 1 0 x x 1 x x
.
Xét hàm số
2
2/
2
2 x x 1 2x 1
f(x) x x x 1 f (x) 0, x
2 x x 1
.

Giới hạn
2
xx
lim f(x) lim x x x 1

2
x x x
2
x 1 x 1
lim f(x) lim lim
11
x x x 1
x x 1
x
x

xx
22
1
x(1 )
x 1 1
x
lim lim
2
1 1 1 1
x x 1 x 1 1
xx
xx

2

12
f(x) , x x x x 1 , x
22
.
Vậy (22) có nghiệm thực
2
m.
2

Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất :

22
2x m mx
(1)
Giải
Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm
o
xx
, suy ra
o
x
cũng là nghiệm của (1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi:

0
o o o
x x x   

Thay
0

o
x 
vào (1), ta được : m = 0
Điều kiện đủ: Giả sử m = 0, khi đó (1) có dạng :

2
00xx  
là nghiệm duy nhất của bất phương trình
Vậy với m = 0 bất phương trình có nghiệm duy nhất
III.BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài tập 1: Cho bất phương trình:

2
27m x x m

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT


8
a.Giải bất phương trình với
1
2
m 

b.Xác đònh m để bất phương trình nghiệm đúng với

x