ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
CẤP HAI MỘT CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
CẤP HAI MỘT CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
THÁI NGUYÊN, 2014
Mục lục
Mở đầu 1
1 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville 3
1.1 Chuỗi Fourier thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Một số ví dụ về hàm riêng và giá trị riêng cho toán tử vi phân cấp
hai trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Các ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Các ví dụ phức tạp hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Phương trình sóng thuần nhất 21
2.1 Bài toán Cauchy đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng cấp
hai và định lý Cauchy- Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Phương trình sóng một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất trong R . . . . . . 22
2.4 Công thức d’ Alembert của bài toán Cauchy và của các bài toán
biên giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Công thức d’Alembert cho bài toán Cauchy . . . . . . . . . . 25
2
2.4.2 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên
nửa trục khi một đầu thanh được giữ chặt . . . . . . . . . . 26
2.4.3 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên
nửa trục khi một đầu thanh để tự do . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Công thức d’Alembert của các bài toán biên-giá trị ban đầu trên
nửa trục với các điều kiện biên không thuần nhất . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Dirichlet . . . . . . . . . 30
2.5.2 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Neumann . . . . . . . . . 30
2.6 Năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . 31
2.6.1 Năng lượng của sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Phương pháp tách biến giải phương trình sóng thuần nhất trên
khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.1 Nghiệm hình thức của bài toán dao động của một dây có hai
đầu cố định- Bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.2 Tính đúng đắn của nghiệm bài toán dao động của một dây . 36
2.8 Một số bài toán biên-giá trị ban đầu khác của phương trình sóng
trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.1 Bài toán biên dạng Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.2 Bài toán biên dạng hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9 Bài toán Goursat đối với phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 48
2.9.1 Một bài toán Goursat cho phương trình sóng . . . . . . . . . 48
2.9.2 Bài toán giá trị ban đầu đặc trưng cho phương trình sóng . 49
2.10 Sóng cầu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Phương trình không thuần nhất- Nguyên lý Duhamel 52
3.1 Nguyên lý Duhamel trong các phương trình không thuần nhất . . . 52
3.1.1 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp một . . . . . . 52
3.1.2 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp hai . . . . . . 53
3.1.3 Nguyên lý Duhamel tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Phương trình sóng không thuần nhất trên trục thực . . . . . . . . . 55
3.3 Phương trình sóng không thuần nhất trên nửa trục thực . . . . . . 57
3.4 Phương trình sóng không thuần nhất trên khoảng hữu hạn-Phương
pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.2 Trường hợp điều kiện không biên thuần nhất . . . . . . . . . 64
3
4 Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng 68
4.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Phương pháp sai phân giải phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . 69
Kết luận 75
Tài liệu tham khảo 76
4
Mở đầu

Phương trình sóng là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của
lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng và vật lý toán. Phương trình sóng rất
đa dạng, sóng âm, sóng nước, sóng điện từ, sóng đàn hồi, v.v , và thuộc dạng
hyperbolic. Các bài toán đối với các phương trình thuộc dạng hyperbolic thường
là rất khó, nhất là các phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến. Do tính phức tạp
nói trên, nên nhiều tính chất quan trọng và lý thú của nghiệm các phương trình
sóng chủ yếu được phát hiện đối với phương trình sóng cấp hai và có số chiều thấp.
Trong thực tế có nhiều hiện tượng của cơ học và vật lý được mô tả dưới dạng
phương trình sóng tuyến tính cấp hai một chiều. Do đó việc tìm hiểu sâu hơn về
phương trình sóng thông qua phương trình sóng cấp hai một chiều là cần thiết. Đó
chính là đề tài học tập và nghiên cứu của luận văn này.
Bố cục của luận văn gồm phần Mở đầu, bốn chương nội dung chính, Kết luận
và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouvill
Chương này trình bày các kiến thức bổ trợ cần thiết cho các vấn đề được đề cập tới
trong luận văn, đó là vấn đề về chuỗi Fourier và khai triển vào chuỗi Fourier theo
các hàm riêng của các bài toán Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng trong phương
pháp tách biến giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng.
Chương 2: Phương trình sóng thuần nhất
Chương này trình bày về phương trình sóng cấp hai một chiều thuần nhất. Vấn đề
chính của chương này là trình bày công thức d’ Alambert biểu diễn nghiệm của bài
toán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng cấp
hai trên nửa trục. Tiếp đó, trình bày năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm
của phương trình sóng, trình bày phương pháp tách biến giải các bài toán biên của
phương trình sóng trên khoảng hữu hạn. Vận dụng công thức d’ Alambert, tìm
nghiệm của một số bài toán Goursat đối với phương trình truyền sóng.
Chương 3: Phương trình sóng không thuần nhất-Nguyên lý Duhamel
Chương này trình bày nguyên lý Duhamel giải các phương trình tuyến tính không
thuần nhất trên cơ sở biết công thức nghiệm của phương trình thuần nhất tương
1

ứng. Tiếp đó, trình bày cách giải các phương trình sóng không thuần nhất trên
trục thực, trên nửa trục và trên một khoảng hữu hạn.
Chương 4: Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng
Nội dung của luận văn này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-6] dưới sự
hướng dẫn tận tình và nghiệm khắc của Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học,
Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Em cũng chân thành cảm ơn tới các thầy cô của Trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại học
khoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã
tận tình giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Ngọc Liên
2
Chương 1
Chuỗi Fourier và các bài toán
Sturm-Liouville
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier đối với các hàm lượng
giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng
trong miền hữu hạn. Các kiến thức của chương này chủ yếu được trích ra từ tài
liệu [1].
1.1 Chuỗi Fourier thông thường
1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier
Với hàm f ∈ L
1
[−π, π], nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên [−π, π], ta định nghĩa
chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau
a
0

2
+
∞

k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx), (1.1)
trong đó
a
k
=
1
π
π

−π
f

x


cos kx

dx

, k = 1, 2,
b

k
=
1
π
π

−π
f

x


sin kx

dx

, k = 1, 2, (1.2)
Chuỗi 1.1 được gọi là chuỗi lượng giác của hàm f(x) và mối quan hệ trên đây
được ký hiệu là
f (x) ∼
a
0
2
+
∞

k=1
(a
k
cos kx + b

k
sin kx).
Lưu ý rằng ký hiệu ∼ không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi trên, đơn
giản là nó chỉ mối liên hệ (1.1)- (1.2) mà thôi.
3
Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2π, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tự
như trên. Trong đó các hệ số a
k
, b
k
được tính trên mỗi đoạn tùy ý [a, a + 2π].
Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t =
πx
l
, ta đưa về trường
hợp tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Để ý rằng vì f ∈ L
1
[−π, π] nên các tích phân trong (1.2) tồn tại.
1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier
Ta nói hàm f(x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên một khoảng hữu hạn, nếu
nó có biến phân hữu hạn và có một số hữu hạn các điểm cực trị trên khoảng đó.
Định nghĩa 1.1. ( Điều kiện Dirichlet).Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác
định trên (a, b). Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet
(i) Tồn tại f(a
+
), f(b
−
) và f có biến phân bị chặn trên [a, b].
(ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn[a, b] sao cho khi bỏ đi các lân

cận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại
của đoạn [a, b], hơn nữa f ∈ L
1
(a, b).
Định lý 1.1. Cho f ∈ L
1
[−π, π].
Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong (−π, π) thì chuỗi Fourier của f sẽ
hội tụ về f (x) tại các điểm x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về
1
2

f

x
+

+ f

x
−

nếu x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về
1
2

f

−π
+


+ f

π
−

tại x = ±π nếu f

π
−

và f

−π
+

tồn tại.
1.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin
1.2.1 Khái niệm
Cho f ∈ L
1
[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Ta định nghĩa f
trên (−π, 0) bằng công thức f (x) = f (−x) .
Khi đó, f ∈ L
1
[−π, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π) vì vậy có thể
áp dụng kết quả phần trên. Ngoài ra, do f là hàm chẵn
a
0
=

2
π
π

0
f

x


dx

,
a
k
=
2
π
π

0
f

x


cos kx

dx


,
b
k
= 0, k = 1, 2,
Ta có định lý sau [1]
4
Định lý 1.2. Cho f ∈ L
1
[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Khi đó
ta có chuỗi cosin
1
π
π

0
f

x


dx

+
2
π
∞

k=1
cos kx
π


0
f

x


cos kx

dx

(1.3)
hội tụ về
1
2

f

x
+

+ f

x
−

tại những điểm x ∈ (0, π) mà f

x
+


và f

x
−

tồn tại,
hội tụ về f

0
+

tại x = 0 nếu f

0
+

tồn tại; hội tụ về f

π
−

tại x = π nếu f

π
−

tồn tại.
Định lý 1.3. Cho f ∈ L
1

[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Khi đó,
ta có chuỗi sin
2
π
∞

k=1
sin kx
π

0
f

x


sin kx

dx

(1.4)
hội tụ về
1
2

f

x
+


+ f

x
−

tại những điểm x ∈ (0, π) mà f

x
+

và f

x
−

tồn tại,
hội tụ về 0 tại x = 0 hay x = π.
1.2.2 Sự hội tụ
Định lý 1.4. Cho f ∈ L
1
[0, π]. Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều kiện Dirichlet
trên (−π, π). Giả sử f liên tục trên khoảng (u, v) ⊂ (−π, π). Khi đó, chuỗi Fourier
của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất kỳ [a, b] ⊂ (u, v) .
Ví dụ 1.1. Cho f (x) = x
2
, −π ≤ x ≤ π ta khai triển f thành chuỗi Fourier như
sau
Ta có b
n
= 0, ∀n, do f là hàm chẵn, và

a
0
=
1
π
π

−π
f

x


dx

=
2
π
π

0
x

2
dx

=
2π
2
3

,
a
n
=
1
π
π

−π
f

x


cos nx

dx

=
2
π
π

0
x

2
cos nx

dx


= (−1)
n
4
n
2
, n = 1, 2,
Ngoài ra, f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π), f bị chặn, f (−π) = f (π)
nên do các định lý 1.1 và 1.4, ta có chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f từng điểm
trên [−π, π], sự hội tụ này là đều. Vậy, với x ∈ [−π, π], thì
x
2
=
π
2
3
− 4

cos x −
cos 2x
2
2
+
cos 3x
3
2
− ·· ·

.
5

Ví dụ 1.2. Cho f (x) = x, −π ≤ x ≤ π.
Ta có
a
n
= 0, n = 0, 1, 2, do f lẻ,
b
n
=
2
π
π

0
x

sin nx

dx

=
2(−1)
n+1
n
.
Do định lý 1.1, chuỗi Fourier của f hội tụ về f tại x ∈ (−π, π) và hội tụ về
1
2
[f (π) + f (−π)] = 0 tại x = ±π.
Vậy
x = 2


sin x −
sin 2x
2
+
sin 3x
3
− ·· ·

, ∀x ∈ (−π, π) .
Ví dụ 1.3. Với f (x) = x, 0 ≤ x ≤ 2π thì
a
0
=
1
π
2π

0
x

dx

= 2π,
a
n
=
1
π
2π


0
x

cos nx

dx

= 0, n ≥ 1,
b
n
=
1
π
2π

0
x

sin nx

dx

= −
2
n
, n ≥ 1.
Do định lý 1.1, chuỗi Fourier của f hội tụ về f(x) tại x ∈ (0, 2π) và hội tụ về
1
2

[f (0) + f (2π)] = π tại x = 0; 2π. Vậy
x = π − 2

sin x +
sin 2x
2
+
sin 3x
3
− ·· ·

, ∀x ∈ (0; 2π) .
Ví dụ 1.4. Cho f (x) = x
2
, 0 ≤ x ≤ 2π. Tương tự ví dụ 2.3 ta có
x
2
=
4π
2
3
+ 4
∞

n=1

cos nx
n
2
−

π sin nx
n

, ∀x ∈ (0; 2π) .
tại x = 0; 2π thì chuỗi trên hội tụ về 2π
2
.
6
1.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L
2
1.3.1 Dãy trực giao
Xét không gian L
2
các hàm thực bình phương khả tích trên [−π, π].
Trong L
2
, dãy hàm {ϕ
n
|n ∈ N} được gọi là một hệ trực giao nếu
π

−π
ϕ
m
(x) ϕ
n
(x) dx = 0, ∀m = n
và nếu hệ {ϕ
n
|n ∈ N} có thêm tính chất

π

−π
ϕ
2
n
(x) dx = 1, ∀n
thì ta nói hệ {ϕ
n
} trực chuẩn.
Cho hàm f ∈ L
2
, với hệ trực chuẩn {ϕ
n
}, ta đặt
c
n
=
π

−π
f (x) .ϕ
n
(x) dx, ∀n ∈ N
và gọi
∞

n=0
c
n

ϕ
n
là chuỗi Fourier của hàm f (ứng với hệ trực chuẩn {ϕ
n
} ) và kí hiệu
là f ∼
∞

n=0
c
n
ϕ
n
. Ta xét bài toán khi nào hàm σ
n
có dạng
σ
n
= a
0
ϕ
0
+ a
1
ϕ
1
+ ·· ·+ a
n
ϕ
n

là xấp xỉ của hàm f tốt nhất theo nghĩa đại lượng sau đây đạt cực tiểu
δ
n
= f − σ
n

2
2
=
π

−π
[f (x) −σ
n
(x)]
2
dx.
Ta có định lý sau
Định lý 1.5. σ
n
là xấp xỉ tốt nhất của f khi và chỉ khi
a
k
= c
k
, ∀k = 0, 1, , n.
7
Chứng minh. Ta có
δ
n

=
π

−π
f
2
(x) dx+
π

−π
σ
2
n
(x) dx −2
π

−π
f (x) .σ
n
(x) dx
=
π

−π
f
2
(x) dx +
π

−π


n

k=0
a
k
ϕ
k
(x)

2
dx −2
π

−π
f (x) .
n

k=0
a
k
ϕ
k
(x)dx
=
π

−π
f
2

(x) dx +
π

−π
n

k=0
a
2
k
ϕ
2
k
(x)dx +
π

−π

p = q
0 ≤ p, q ≤ n
a
p
a
q
ϕ
p
(x) ϕ
q
(x)dx
−2

n

k=0
a
k
π

−π
f (x) ϕ
k
(x)dx
=
π

−π
f
2
(x) dx +
n

k=0
a
2
k
− 2
n

k=0
a
k

c
k
=
π

−π
f
2
(x) dx +
n

k=0
(a
k
− c
k
)
2
−
n

k=0
c
2
k
.
Ta có:
π

−π

f
2
(x) dx và
n

k=0
c
2
k
là các hằng số. Do đó, δ
n
đạt cực tiểu khi và chỉ khi
n

k=0
(a
k
− c
k
)
2
= 0, tức là a
k
= c
k
, ∀k = 0, , n.
1.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval
Bất đẳng thức Bessel. Giả sử
∞


k=0
c
k
ϕ
k
là chuỗi Fourier của f ứng với hệ trực
chuẩn {ϕ
n
}. Khi đó
π

−π
f
2
(x) dx ≥
∞

k=0
c
2
k
.
Chứng minh. Trong chứng minh của định lý 1.5, ta có giá trị cực tiểu là δ
n
là
∆
n
=
π


−π
[f (x) −σ
n
(x)]
2
dx =
π

−π
f
2
(x) dx −
n

k=0
c
2
k
≥ 0, ∀n.
Suy ra
n

k=0
c
2
k
≤
π

−π

f
2
(x) dx, do đó chuỗi
n

k=0
c
2
k
hội tụ và ta có điều phải chứng
minh.
Vậy với hệ {ϕ
n
} trực chuẩn thì mọi hàm f ∈ L
2
đều thỏa mãn bất đẳng thức
Bessel. Vấn đề được xét tiếp là khi nào bất đẳng thức Bessel xảy ra dấu bằng.
Định nghĩa 1.2. Hệ trực chuẩn {ϕ
n
} được gọi là đầy đủ trong L
2
nghĩa là
n

k=0
c
2
k
=
π


−π
f
2
(x) dx, ∀f ∈ L
2
.
8
Sau đây ta xét một tiêu chuẩn đơn giản cho biết một hệ trực chuẩn là đầy đủ.
Định lý 1.6. Cho hệ trực chuẩn {ϕ
n
} trong L
2
. Hệ này là đầy đủ nếu và chỉ nếu
∀F ∈ C [−π, π] , ∀ε > 0, ∃σ
n
= a
0
ϕ
0
+ ·· ·+ a
n
ϕ
n
, F −σ
n

2
< ε. (1.5)
Chứng minh. Giả sử (1.5) thỏa mãn. Xét f ∈ L

2
và cho trước ε > 0 tùy ý. Như đã
biết, không gian C [−π, π] trù mật trong L
2
nên có một hàm F ∈ C [−π, π] sao cho
f − F
2
=


π

−π
[f (x) −F (x)]
2
dx


1/2
< ε.
Từ giả thiết (1.5), ta cũng có hàm σ
n
= a
0
ϕ
0
+ ·· ·+ a
n
ϕ
n

sao cho
F −σ
n

2
=


π

−π
[F (x) −δ
n
(x)]
2
dx


1/2
< ε.
Từ hai bất đẳng thức trên, bất đẳng thức Bessel và định lý 1.5 dẫn đến
0 ≤
π

−π
f
2
(x) dx −
∞


k=0
c
2
k
≤
π

−π
f
2
(x) dx −
n

k=0
c
2
k
=
π

−π

f (x) −
n

k=0
c
k
ϕ
k

(x)

2
dx ≤
π

−π
[f (x) −σ
n
(x)]
2
dx
= f − σ
n

2
2
≤ (f − F
2
+ F −σ
n

2
)
2
< 4ε
2
.
Vì ε > 0 là tùy ý nên
π


−π
f
2
(x) dx =
∞

k=0
c
2
k
. Trường hợp ngược lại, nghĩa là hệ
{ϕ
n
} đầy đủ dẫn đến (1.5), bạn đọc tự chứng minh.
Kết hợp tiêu chuẩn trên và định lý Frjér, ta có
Định lý 1.7. (Parseval). Hệ trực chuẩn

1
√
2π
,
cos x
√
π
,
sin x
√
π
, ,

cos nx
√
π
,
sin nx
√
π
,

là đầy đủ nghĩa là với hàm f ∈ L
2
[−π, π] và f ∼
a
0
2
+
∞

n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx) như
định nghĩa trong mục 1.2 thì
1
π
π

−π

f
2
(x) dx =
a
2
0
2
+
∞

k=1

a
2
k
+ b
2
k

.
Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức Parseval.
9
Chứng minh. Cho f là hàm số bất kỳ liên tục trên đoạn [−π, π] và cho trước ε > 0,
khi đó f bị chặn bởi M > 0. Đặt
δ = min

ε
2
/32M
2

, π

> 0.
Đặt g là hàm số liên tục trên đoạn [−π, π] sao cho g bằng f trên đoạn [−π + δ, π − δ],
g (−π) = g (π) =
1
2
[f (−π) + f (π)] và g tuyến tính trên hai đoạn [−π, −π + δ] và
[π − δ, π].
Suy ra g bị chặn bởi M và |f − g| < 2M.
Ngoài ra ta xem như g tuần hoàn với chu kì 2π và liên tục trên R nghĩa là g thỏa
mãn giả thiết của định lý Fejér, nên ta có một đa thức lượng giác tổng quát (tổng
Fejér-Césaro của g) σ
n
thỏa mãn
sup
x∈[−π,π]
[g (x) −σ
n
(x)] < ε/(8π)
1/2
,
và dĩ nhiên σ
n
có dạng tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm trong họ trực chuẩn
đang xét. Vậy
f − σ
n

2

≤ f − g
2
+ g − σ
n

2
=




π−δ≤|x|≤π
|f (x) −g (x)|
2
dx



1
2
+


π

−π
|g (x) −σ
n
(x)|
2

dx


1
2
<
ε
2
+
ε
2
= ε,
tức là tiêu chuẩn (1.5) thỏa mãn.
Do đó hệ trực chuẩn đang xét là đầy đủ.
Định lý 1.8. Chuỗi Fourier của hàm f ∈ L
2
[−π, π] sẽ hội tụ trung bình về f theo
định nghĩa
lim
n→∞
π

−π

f (x) −

a
0
2
+

n

k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx)

2
dx = 0.
10
Chứng minh. Ta có
π

−π
[f (x) −

a
0
2
+
n

k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx)


2
dx
=
π

−π
f
2
(x) dx −π

a
2
0
2
+
n

k=1

a
2
k
+ b
2
k


dẫn đến điều phải chứng minh, do bất đẳng thức Parseval.
1.4 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville

1.4.1 Khái niệm
Cho L là một toán tử tuyến tính được xác định trên một không gian tuyến tính
đã biết của các phần tử. Một phần tử y = 0 được gọi là một vectơ riêng của L nếu
Ly = λy, và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng của L .
Một trong những toán tử đơn giản nhất thường được sử dụng trong ứng dụng
là
L = −
d
2
dx
2
+ q (x) .
Giả sử rằng q (x) là một hàm giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, b].
Những điều kiện giá trị biên quan trọng nhất cho toán tử là
1. y (a) cosα + y

(a) sin α = 0, y (b) cosβ + y

(b) sin β = 0, ở đó α và β là hai số thực
tùy ý, và
2. y (a) = y (b), y

(a) = y

(b).
Khi đó, chúng ta nghiên cứu bài toán giá trị biên
Ly (x) = −y

+ q (x) y = λy, (1.6)
y (a) cosα + y


(a) sin α = 0,
y (b) cosβ + y

(b) sin β = 0,
(1.7)
được biết đến như là bài toán Sturm-Liouville. Bài toán Sturm-Liouville được gọi
là chính quy nếu đoạn [a, b] là hữu hạn và hàm q (x) là khả tổng trên đoạn đó.
Ngược lại, nếu đoạn [a, b] là vô hạn, hoặc nếu q (x) là không khả tổng trên đoạn đó,
hoặc cả hai thì bài toán Sturm-Liouville được gọi là kì dị.
Chú ý rằng phương trình cấp hai tổng quát hơn
y

+ p (x) y

+ [l (x) + λr (x)] y = 0, (1.8)
ở đó hàm r (x) dương trên đoạn [a, b], có thể rút gọn được về dạng (1.6). Nếu chúng
ta giả sử rằng đạo hàm cấp một của p (x) và đạo hàm cấp hai của r (x) là liên tục,
11
khi đó (1.8) có thể được rút gọn về dạng chính tắc
d
2
η
dζ
2
+ [λ + q (ζ)] η = 0,
thông qua phép thay thế
ζ =
x


a

r (t)dt, η (ζ) = Φ (x) y (x) , Φ (x) =
4

r (x) exp


1
2
x

a
p (t) dt


,
(1.9)
ánh xạ đoạn [a, b] vào đoạn [0, π], trong khi điều kiện biên (1.7) không thay đổi
dạng của nó.
Phép biến đổi như (1.9) được gọi là phép biến đổi Liouville.
1.4.2 Tính chất
Chúng ta xét bài toán giá trị biên (1.6), (1.7). Không mất tổng quát, có thể giả
sử rằng a = 0 và b = π.
Thực tế đoạn [a, b] được ánh xạ vào đoạn [0, π] bởi phép thế t =
x−a
b−a
π, phép thế
này không làm thay đổi dạng của (1.6), (1.7).
Nếu bài toán giá trị biên có một nghiệm không tầm thường y (x, λ

1
) = 0 với λ
1
đã biết, thì khi đó λ
1
được gọi là một giá trị riêng, và y (x, λ
1
) = 0 được gọi là hàm
riêng của (1.6), (1.7).
Bổ đề 1.1. Hai hàm riêng y (x, λ
1
) = 0 và y (x, λ
2
) = 0 tương ứng với những giá trị
riêng khác nhau là trực giao, tức là
π

0
y (x, λ
1
)y (x, λ
2
) dx = 0, λ
1
= λ
2
.
Chứng minh. Lấy f (x) và g (x) là các hàm liên tục và khả vi hai lần. Đặt
Lf = −f


(x) + q (x) f (x) .
Tích phân từng phần hai lần, chúng ta có
π

0
Lf.g (x)dx = W
π
{f, g} −W
0
{f, g} +
π

0
Lg.f (x)dx, (1.10)
ở đó
W
x
{f, g} =




f (x) g (x)
f

(x) g

(x)





.
12
Lấy f (x) = y (x, λ
1
) và g (x) = y (x, λ
2
) . Từ điều kiện biên (1.7) ta có W
0
{f, g} =
W
π
{f, g} = 0. Do đó, từ (1.10), ta có
(λ
1
− λ
2
)
π

0
y (x, λ
1
)y (x, λ
2
) dx = 0.
Vì λ
1
= λ

2
nên ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.2. Các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.6), (1.7) là thực.
Chứng minh. Lấy λ
1
= u + iv là một giá trị riêng phức. Vì q (x) có giá trị thực và
α, β là thực, nên λ
2
= λ
1
= u − iv cũng là một giá trị riêng, tương ứng với hàm
riêng y (x, λ
1
). Khi đó, từ bổ đề trước ta có
π

0
|y (x, λ
1
)|
2
dx = 0,
do đó, y (x, λ
1
) ≡ 0, mâu thuẫn với y (x, λ
1
) là một hàm riêng. Vậy ta có điều phải
chứng minh.
Định lý 1.9. Nếu q (x) là một hàm liên tục trên đoạn [a, b], khi đó với bất kì α,
tồn tại duy nhất một nghiệm ϕ (x, λ) , a ≤ x ≤ b, của phương trình (1.6), sao cho

ϕ (a, λ) = sin α và ϕ

(a, λ) = −cosα. Với bất kì x cố định thuộc đoạn [a, b], ϕ (x, λ) là
một hàm nguyên của λ.
1.5 Một số ví dụ về hàm riêng và giá trị riêng cho toán tử vi
phân cấp hai trên khoảng hữu hạn
1.5.1 Các ví dụ đơn giản
Ví dụ 1.5. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y (0) = 0 và y (L) = 0.
Lời giải. Nghiệm tổng quát là
y (x) = a cos λx + b sin λx.
Khi đó, từ điều kiện y (0) = 0, ta có a = 0. Từ điều kiện y (L) = 0 và cùng với
a = 0, ta có 0 = b sin λL.
Chúng ta giả sử rằng b = 0, khi đó 0 = sin λL. Từ đó, chúng ta có
λL = πn,
13
và do đó
λ =
πn
L
.
Chúng ta viết λ
n
thay cho λ, tức là
λ

n
=
πn
L
.
Vì a = 0 nên các hàm riêng là
y
n
= sin (λ
n
x)
với các giá trị riêng
λ
n
=
πn
L
, n = 1, 2, 3,
Chúng ta không xét n = 0 vì khi n = 0, ta có λ
0
= 0, và khi đó một hàm riêng sẽ là
y
0
= sin (0) = 0. Tuy nhiên, theo định nghĩa thì hàm riêng không đồng nhất bằng
0, vì vậy đây không phải là hàm riêng.
Ví dụ 1.6. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2

y = 0
với các giá trị biên y

(0) = 0 và y

(L) = 0.
Lời giải. Nghiệm tổng quát là
y (x) = a cos λx + b sin λx.
Khi đó, từ điều kiện biên y

(0) = 0, ta có b = 0. Từ điều kiện biên y

(L) = 0 và
cùng với b = 0, ta có 0 = aλ sin λL. Giả sử a = 0, khi đó 0 = sin λL. Từ đó, chúng ta
có
λL = πn.
Chúng ta viết λ
n
thay cho λ, tức là
λ
n
=
πn
L
.
Vì b = 0 nên các hàm riêng là
y
n
= cos (λ
n

x) ,
với các giá trị riêng
λ
n
=
πn
L
, n = 0, 1, 2, 3,
Ở đây, chúng ta xét cả n = 0, vì khi đó λ
0
= 0 và ta có một hàm riêng là
y
0
= cos (0) = 1.
14
Ví dụ 1.7. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y (0) = 0 và y

(L) = 0.
Lời giải. Nghiệm tổng quát là
y (x) = a cos λx + b sin λx.
Khi đó, từ điều kiện y (0) = 0, ta có a = 0. Từ y

(L) = 0 và cùng với a = 0, ta có
0 = bλcos (λL).

Vì cos x = 0 tại x =
2n+1
2
π, nên ta có
λL =
2n + 1
2
π,
và do đó
λ =
2n + 1
2L
π.
Chúng ta viết λ
n
thay cho λ, tức là
λ
n
=
2n + 1
2L
π.
Khi đó, các hàm riêng là
y
n
= sin (λ
n
x) ,
với các giá trị riêng
λ =

2n + 1
2L
π, n = 0, 1, 2, 3,
hoặc chúng ta cũng có thể viết
λ =
2n −1
2L
π, n = 1, 2, 3,
Ví dụ 1.8. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y (0) = y (L), y

(0) = y

(L).
Lời giải. Nghiệm tổng quát là
y (x) = a cos λx + b sin λx.
Từ điều kiện y (0) = y (L) và y

(0) = y

(L), ta có

a = a cos λL + b sin λL,
bλ = −aλ sin λL + bλ cos λL.
15

Hay

(cos λL −1) a + (sin λL) b = 0,
(sin λL) a + (1 −cos λL) b = 0.
Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên ta có




cos λL −1 sin λL,
sin λL 1 −cos λL




= 0.
Từ đó, ta có
−(cos λL −1)
2
− sin
2
λL = 0.
Điều này tương đương với
2 cos λL −2 = 0,
hay
cosλL = 1.
Do đó
λL = 2nπ.
Như vậy, các giá trị riêng là
λ

n
=
2nπ
L
, n = 0, 1, 2, 3,
Các hàm riêng là
y
n
= 1, cosλ
n
x, sin λ
n
x.
1.5.2 Các ví dụ phức tạp hơn
Ví dụ 1.9. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y

+ λ
2
y = 0
với các giá trị biên y (0) = 0 và y (L) + y

(L) = 0.
Lời giải. Nghiệm tổng quát của phương trình là
y (x) = acosλx+bsinλx.
Khi đó
y

(x) = −aλ sin λx+bλcosλx.
Từ điều kiện y (0) = 0, ta có a = 0.

Do đó
y (x) = bsinλx,
16
y

(x) = bλcosλx.
Từ điều kiện y (L) + y

(L) = 0, ta có
b sin λL + bλcosλL = 0.
Do a và b không đồng thời bằng 0, nên b = 0. Từ đó, ta có
sin λL + λcosλL = 0.
Tức là
λ = −tan λL.
Như vậy, các hàm riêng là
y
n
(x) = sin λ
n
x,
trong đó, các giá trị riêng λ
n
, n = 1, 2, , được xác định bởi công thức
λ
n
= −tan λ
n
L.
Ví dụ 1.10. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình
y


− 2x
−1
y

+

λ + 2x
−2

y = 0
với các giá trị biên y (1) = 0 và y (2) = 0.
Lời giải. Lấy y = xu (x). Các đạo hàm của nó là
y

= xu

+ u,
y

= xu

+ 2u

.
Thay thế chúng vào phương trình, ta được
xu

+ 2u


− 2x
−1

xu

+ u

+

λ + 2x
−2

xu = 0,
phương trình này được rút về
xu

+ λxu = 0,
hay
u

+ λu = 0.
Khi đó, nghiệm tổng quát đối với phương trình trên là u (x) = a cos

√
λx

+
b sin

√

λx

.
Vì chúng ta lấy y = xu (x), nên chúng ta sẽ thu được
y (x) = ax cos

√
λx

+ bx sin

√
λx

,
17
đó là nghiệm tổng quát cho phương trình đầu tiên.
Từ điều kiện y (1) = 0, ta có
0 = a cos

√
λ

+ b sin

√
λ

.
Từ điều kiện y (2) = 0, ta có

0 = 2a cos

2
√
λ

+ 2b sin

2
√
λ

,
bỏ 2 ở vế phải, ta được
0 = a cos

2
√
λ

+ b sin

2
√
λ

.
Viết chúng dưới dạng ma trận

cos


√
λ

sin

√
λ

cos

2
√
λ

sin

2
√
λ


a
b

= 0.
Lập định thức của ma trận, vì a và b không đồng thời bằng 0 nên





cos

√
λ

sin

√
λ

cos

2
√
λ

sin

2
√
λ





= sin

2

√
λ

cos

√
λ

− cos

2
√
λ

sin

√
λ

= 0.
Sử dụng công thức sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y, chúng ta nhận được
sin

√
λ (2 −1)

= sin

2
√

λ

cos

√
λ

− cos

2
√
λ

sin

√
λ

= 0.
Chúng ta có
sin

√
λ

= 0.
Khi đó,
√
λ = nπ,
λ

n
= (nπ)
2
.
Thay λ
n
= (nπ)
2
vào 0 = a cos

√
λ

+ b sin

√
λ

, và khi đó, ta tìm được
0 = a cos (nπ) + b sin (nπ) ,
suy ra
0 = a.
Hệ số a bằng 0. Do đó, các hàm riêng là
y
n
= x sin


λ
n

x

,
với các giá trị riêng
λ
n
= (nπ)
2
, n = 1, 2,
18
Ví dụ 1.11. Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của bài toán
y

+ µ
2
y = 0,
y

(0) = h
1
y (0) , y

(l) = −h
2
y (l) ,
trong đó h
1
≥ 0 và h
2
≥ 0.

Lời giải. Phương trình có nghiệm dạng
y (x) = A cos µx + B sin µx.
Khi đó,
y

(x) = −Aµ sin µx + Bµ cos µx.
Từ điều kiện biên thứ nhất, ta có
y

(0) = Bµ = h
1
y (0) = h
1
A.
Từ đó, ta có
A =
Bµ
h
1
.
Từ điều kiện biên thứ hai, ta có
y

(l) = −Aµ sin (µl) + Bµcos (µl) = −h
2
y (l) = −h
2
[Acos (µl) + B sin (µl)] .
Do đó,
B


−
µ
2
h
1
sin (µl) + µcos (µl)

= −Bh
2

µ
h
1
cos (µl) + sin (µl)

.
Hay
B

−
µ
2
h
1
+ h
2

sin (µl) +


µ +
h
2
h
1
µ

cos (µl)

= 0.
Từ đó, ta có
tan (µl) =

µ (h
1
+ h
2
)
µ
2
− h
1
h
2

.
Trường hợp 1. h
1
= 0 và h
2

= 0.
Khi đó
y
n
=
µ
n
h
1
cos µ
n
x + sin µ
n
x,
µ
n
∼ nπ/l, n → ∞.
Trường hợp 2. h
1
= 0 và h
2
= 0.
Khi đó
y
n
=
µ
n
h
1

cos µ
n
x + sin µ
n
x
=
cosµ
n
(l − x)
sin µ
n
l
.
19
Trường hợp 3. h
1
→ ∞ và h
2
= 0.
Khi đó
y
n
= sin µ
n
x,
µ
n
∼

2n + 1

2

π
l

, n → ∞.
20