Trang 1
Chương 2 : KHÔNG GIAN VECTƠ

2.1. KHÔNG GIAN VECTƠ n CHIỀU :
2.1.1. Vectơ n chiều :

1.Định nghĩa :Một vectơ n chiều là một bộ n số thực x = (x
1
,x
2
,…,x
n
) .
• x
j
: tọa độ thứ j của vectơ x (j =
n,1
)

•
vectơ không : 0 = (0,0,…,0)
•
vectơ đơn vị : e
1
= (1,0,…,0) , e
2
= (0,1,0,…,0) ,…, e
n
= (0,0,…0,1)
• Dạng ma trận cột : X = [x] =
⎥

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
x
x
x
.
.
2
1

2.Phép toán trên các vectơ n chiều:
a. Phép cộng 2 vectơ n chiều :
Cho x = (x
1
,x
2

,…,x
n
) và y = (y
1
,y
2
,…,y
n
) . Tổng của 2 vectơ x và y là vectơ n
chiều :

x + y = (x
1
+y
1
,x
2
+y
2
,…,x
n
+y
n
)
b. Phép nhân một số thực với một vectơ n chiều :
Cho x = (x
1
,x
2
,…,x

n
) và R
∈
α
. Tích của số
α
với vectơ x là vectơ n chiều :


α
x = (
α
x
1
,
α
x
2
,…,
α
x
n
)
Ghi chú :
• Vectơ (-1)x = (-x
1
,-x
2
,…,-x
n

) gọi là vectơ đối của vectơ x ,
ký hiệu
: -x .
• Vectơ x + (-1)y được ký hiệu x – y và gọi là hiệu của vectơ x và y .
3.Tính chất các phép tóan :
Cho x,y,z là các vectơ n chiều và
α
,
β
∈
R .

1)
x + y = y + x
2)
( x + y ) + z = x + ( y + z )
3)
x + 0 = x
4)
x + (-x) = 0
5)

α
( x + y ) =
α
x +
α
y
6)
(

α
+
β
)x =
α
x +
β
x
7)
(
α
β
)x =
α
(
β
x) =
β
(
α
x)
8)
1.x = x

Trang 2
2.1.2. Hệ vectơ n chiều :
1.Tổ hợp tuyến tính :
a. Định nghĩa :
Cho a
1

,a
2
,…,a
m
là m vectơ n chiều và
i
α
∈
R ( mi ,1= ). Vectơ n chiều sau đây
được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a
i
với các hệ số
i
α
(
mi ,1=
).

mm
aaaa
α
α
α
+
+
+
=
2211

Ta còn nói vectơ a được biểu thị tuyến tính qua các vectơ a

i
với các hệ số
i
α
.
b. Ví dụ :
VD1: Cho các vectơ 3 chiều : a
1
=(1,0,1) , a
2
=(1,2,0) và a
3
=(0,-1,1).
a)Tìm tổ hợp tuyến tính của các vectơ a
1
,a
2
,a
3
với các hệ số là 2,-1,3.
b)Cho vectơ v=(5,3,4) . Vectơ v có thể biểu thị tuyến tính qua 3 vectơ
a
1
,a
2
,a
3
hay không ?
VD2
: Cho 3 vectơ 3 chiều a=(1,1,0),b=(0,2,1) và u=(u

1,
u
2,
u
3
).
a)Tìm điều kiện cho các thành phần của u
1,
u
2,
u
3
của vectơ u để u có thể
biểu thị tuyến tính theo a và b .
b)Cho các vectơ v =(2,4,1) và w=(1,2,3) .Vectơ nào biểu thị tuyến tính
được theo 2 vectơ a và b ?
2.Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính :
a. Định nghĩa :
Cho a
1
,a
2
,…,a
m
là m vectơ n chiều .
• Hệ vectơ {a
i
} ( mi ,1= ) độc lập tuyến tính nếu :

mm

aaa
α
α
α
+
+
+
2211
= 0 ⇒
i
α
= 0 (
mi ,1=
)
• Hệ vectơ {a
i
} ( mi ,1= ) phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến
tính ,nghĩa là tồn tại
i
α
≠
0 sao cho
mm
aaa
α
α
α
+
+
+


2211
= 0 .
VD 1
: Chứng tỏ hệ các vectơ đơn vị 3 chiều {e
1
,e
2
,e
3
} độc lập tuyến tính .
VD 2
: Hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : {u
1
,u
2
,u
3
}
với u
1
= (1,1,1) , u
2
= (0,1,1) và u
3
= (1,2,3) .
b. Định lý : Cho n vectơ n chiều :
a
1
= ), ,,(

11211 n
aaa
a
2
= ), ,,(
22221 n
aaa
…………………….
a
n
= ), ,,(
21 nnnn
aaa
Đặt : A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
aaa

aaa
aaa




21
22221
11211

Hệ vectơ {a
i
} ( 1,in= ) độc lập tuyến tính
⇔

A
≠
0
Trang 3
Hệ vectơ {a
i
} ( 1,in= ) phụ thuộc tuyến tính
⇔
A = 0

VD 1:
Chứng minh rằng hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính :
a
1
=(2,1,1) , a

2
=(-1,1,4) và a
3
=(1, 1,-2).
VD 2:
Định m để hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính :
a
1
=(1,0,1) , a
2
=(2,m,-1) và a
3
=(0, 2, 2).
Ghi chú
: Hệ n vectơ đơn vị n chiều {e
i
} ( ni ,1= ) độc lập tuyến tính
3.Tính chất của sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính :
a. Định lý 1: {a

} độc lập tuyến tính
⇔
a
≠
0
b. Định lý 2: Nếu {a
i
} độc lập tuyến tính thì a
i
≠

0 ,
∀

mi ,1=

Hệ quả : Nếu
∃
a
i
= 0

thì {a
i
} phụ thuộc tuyến tính .
c. Định lý 3:
* Nếu {a
i
} ( mi ,1= ) độc lập tuyến tính thì mọi hệ vectơ con của
{a
i
} đều độc lập tuyến tính .
* Nếu {a
i
} ( mi ,1= ) phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa hệ
{a
i
} đều phụ thuộc tuyến tính .
d. Định lý 4: Hệ vectơ {a
i
} (

mi ,1=
)phụ thuộc tuyến tính ⇔∃ a
i
, a
i
biểu thị
tuyến tính theo các vectơ còn lại .
4.Hạng của một hệ vectơ n chiều :
a. Định nghĩa : Cho hệ m vectơ n chiều {a
i
} ( mi ,1= ) .Số vectơ độc lập tuyến
tính lớn nhất chọn được từ hệ này là
hạng của hệ ,ký hiệu : r(a
1
,a
2
,…,a
m
)
b. Cách tìm hạng của một hệ vectơ n chiều :
Cho hệ m vectơ n chiều :
a
1
= ), ,,(
11211 n
aaa
a
2
= ), ,,(
22221 n

aaa
…………………….
a
m
= ), ,,(
21 mnmm
aaa
Đặt : A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa





21
22221
11211

Ta có :
r(a
1
,a
2
,…,a
m
) = r(A)
Kết quả :

Hệ {a
i
} ( mi ,1= ) độc lập tuyến tính
⇔
r(a
1
,a
2
,…,a
m
) = m
Hệ {a
i
} ( mi ,1= ) phụ thuộc tuyến tính
⇔
r(a

1
,a
2
,…,a
m
) < m
Trang 4
VD : Tìm hạng của hệ vectơ 4 chiều sau đây ,từ đó xét tính độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính của chúng :
a) a
1
=(1,-1,5,-1) , a
2
=(1,1,-2,3) và a
3
=(3, -1,8,1).
b) a
1
=(1,2,1, 1) , a
2
=(2,5,1,6) và a
3
=(-1,-4,2,2).
2.1.3. Không gian vectơ n chiều R
n
:
1.Định nghĩa :Tập hợp các vectơ n chiều với 2 phép tóan : cộng 2 vectơ và nhân
vectơ với 1 số thực tạo thành một cấu trúc đại số gọi là “
không gian vectơ n
chiều “ và ký hiệu là R

n
.
2.
Cơ sở của R
n
:
a.
Định nghĩa : Một hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong R
n
được gọi là
một
cơ sở của R
n
.
Ghi chú
:
• Hệ gồm n vectơ đơn vị n chiều { e
i
} ( i = n,1 ) là một cơ sở của
R
n
và được gọi là “ cơ sở chính tắc “ của R
n
.
• Hệ {a
i
} (i = n,1 ) là cơ sở của R
n

⇔

r(a
1
,a
2
,…,a
n
) = n
b.
Ví dụ :
• VD 1: Hệ vectơ nào sau đây là là cơ sở của R
3
:
a)
a
1
= (1,0,1) , a
2
= (1,0,0)
b)
b
1
= (1,1,2) , b
2
= (0,1,3) , b
3
= (-1,1,4) , b
4
= (1,0,1)
c)
c

1
= (1,1,3) , c
2
= (-1,1,-1) , c
3
= (5,-2,8)
d)
d
1
= (1,1,0) , d
2
= (2,2,1) , d
3
= (1,0,1) .
3.
Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở của R
n
:
a.
Định lý : Cho (u) ={ u
i
} (i=
n,1
) là một cơ sở của R
n
.Mọi vectơ x của R
n

đều biểu diễn tuyến tính được theo các vectơ cơ sở , nghĩa là tồn tại bộ n số
thực (x

1
,x
2
,…,x
n
) sao cho : x = x
1
u
1
+ x
2
u
2
+ …+ x
n
u
n
.
b.
Định nghĩa : Bộ n số thực (x
1
,x
2
,…,x
n
) trong định lý trên gọi là tọa độ
của vectơ x đối với cơ sở (u) và ký hiệu :

x/
(u)

= (x
1
,x
2
,…,x
n
)
(u)

Ghi chú : Ta thấy đối với cơ sở chính tắc (e) = { e
i
} :
x = (x
1
,x
2
,…,x
n
) =
11 2 2

nn
x
exe xe
+
++
Vậy : x
/(e)
= x = (x
1

,x
2
,…,x
n
)
Do đó khi thấy x = (1,2,3) ta hiểu đó là tọa độ của x đối với cơ sở chính tắc .
VD : Trong
3
R
các vectơ : u
1
= (1,1,0), u
2
= (0,1,1), u
3
= (1,0,1).
a)Chứng tỏ (u) =
{
}
321
,, uuu là một cơ sở của R
3

b)Tìm toạ độ của vectơ x = (-2,5,-1) đối với cơ sở (u)
4.
Ma trận đổi cơ sở :
a) Định nghĩa: Trong R
n
có hai cơ sở : (u) =
{

}
n
uuu , ,,
21
và (v) =
{}
n
vvv , ,,
21

Trang 5
Ma trận sau đây gọi là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v) :

T=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

u
v
u
v
(u)
v

n
1
)(

)(
2


Ghi chú
:
* Nếu T là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v)thì
1−
T
là ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (u)

VD : Trong
3
R
cho 3 cơ sở : cơ sở chính tắc (e) =
{
}
321
,, eee , (u)=
{}
321
,, uuu và
(v) =
{}
321
,, vvv với :
1
u = (1,0,2)
1
v = (0,0,1)

2
u = (0,1,1)
2
v = (1,-1,0)

3
u = (1,0,1)
3
v = (1,1,1)
Tìm các ma trận đổi cơ sở :

a)
từ (e) sang (u)
b)
từ (u) sang (v)
c)
từ (v) sang (e)
5.Công thức đổi toạ độ : Trong
n
R
cho hai cơ sở (u) =
{
}
i
u , (v) =
{}
i
v (
____
n1, i = )
và T là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v).
Công thức đổi toạ độ từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) :


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)(u

x
= T.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)(v
x


VD1 : Trong
3
R
cho cơ sở (u) =
{
}
321
,, uuu với
1
u
= (1,0,2 ) ;
2
u
= (0,1,1 ) ;
3
u = (1,0,1 )
a)
Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u), từ đó suy ra công thức đổi toạ độ từ cơ sở

chính tắc (e) sang (u).
b)
Tìm toạ độ của vectơ x = (1,2,3) đối với cơ sở (u).
VD2 : Trong
3
R
cho các hệ vectơ (u) =
{
}
321
,, uuu và (v) =
{
}
321
,, vvv
Trong đó :
1
u = (1,1,2 ) ;
2
u = (-1,1,1 ) ;
3
u = (2,-1,0 )

1
v = (1,0,2 ) ;
2
v = (0,1,1 ) ;
3
v = (1,0,1 )
a)

Chứng tỏ rằng các hệ (u) và (v) là các cơ sở của
3
R
.
b)
Tìm ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v).
c) Cho
)(v
x
= ( 2,1,0 )
(v)
,áp dụng công thức đổi tọa độ tìm
)(u
x
.
d)
Cho
)(u
y
= ( 4,2,5 )
(u)
tìm
)(v
y
.
VD3 : Trong
3
R
cho hệ vectơ (u) =
{

}
321
,, uuu và
1
u = (1,1,1 ) ;
2
u = (1,1,0 ) ;
3
u = (1,0,0 )
a)
Chứng tỏ (u) là cơ sở của
3
R
.
Trang 6
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u)
c)
Tìm ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (e)
d)
Tìm toạ độ của vectơ x = ( 3,0,1) đối với cơ sở (u)
e)
Tìm toạ độ của vectơ y khi biết
)(u
y
= (-2,1,0)
(u)

2.2 KHÔNG GIAN VECTƠ :
2.2.1
Định nghĩa không gian vectơ :

Cho V là tập hợp khác rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực có các
phần tử kí hiệu là
γ
β
α
,,…
Trên V cho hai phép toán :
• Phép cộng hai phần tử của V :
V
×V
→
V
(a,b)
a a + b
• Phép nhân một số thực với một phần tử của V :
R
×V → V
(
α
,a) a
α
a
Tập hợp V cùng với hai phép toán trên tạo thành một


«
Không gian vectơ
»
trên R
nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn : a,b,c

∈
V và
α
,
β
∈
R
1)
a + b = b + a
2)
( a + b) +c = a + (b + c)
3)
Tồn tại phần tử không, kí hiệu 0 sao cho : a + 0 = a
4)
Tồn tại phần tử đối của a, kí hiệu – a sao cho : a + (- a) = 0
5)

α
(a + b ) =
α
a +
α
b
6)
(
α
+
β
) a =
α

a +
β
b
7)
(
α
β
)a =
α
(
β
a )
8)
1.a = a
Khi đó các phần tử của V gọi là các
«
vectơ
»
, còn các phần tử của R gọi là các
«
vô hướng
»
VD :
• Không gian

R
n
các vectơ n chiều là một không gian vectơ.
• Tập hợp các vectơ hình học có cùng gốc toạ độ 0 trong mặt phẳng toạ độ với phép cộng
vectơ theo

“
quy tắc hình bình hành
”
, phép nhân vectơ với số thực.
• Tập hợp các ma trận cấp mn
×
với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một
số thực.
2.2.2 Không gian vectơ con :
1)
Định nghĩa :
Cho V là không gian vectơ và W
⊂V, W≠∅. Nếu W cùng với 2 phép toán của V cũng tạo
thành một không gian vectơ thì W được gọi là không gian vectơ con
của V.
2)
Định lý :
Cho V là không gian vectơ và W
⊂V, W≠∅.
Trang 7
W là không gian vectơ con của V ⇔
⎩
⎨
⎧
∈⇒∈∀∈∀
∈+⇒∈∀
WaRW,a
WbaW¦,
αα
ba


VD
: Cho V=R
3
và W={ x∈R
3
/ x=(t,0,0) với t∈R }
CMR W là không gian con của V.
2.2.3 Không gian con W = <u
1
,u
2
,…,u
m
> :
1)
Định nghĩa :
Cho V là không gian vectơ và u
1
,u
2
,…,u
m
∈V. Tập hợp W gồm tất cả các tổ hợp tuyến
tính của các vectơ u
1
,u
2
,…,u
m

được gọi là bao tuyến tính của các vectơ u
1
,u
2
,…,u
m
và ký
hiệu : W = <u
1
,u
2
,…,u
m
> .
Vậy : W = <u
1
,u
2
,…,u
m
> = {α
1
u
1
+α
2
u
2
+…+α
m

u
m
/ α
i
∈R}
2)
Định lý :
Cho u
1
,u
2
,…,u
m
là các vectơ của không gian vectơ V. Bao tuyến tính W = <u
1
,u
2
,…,u
m
>
của các vectơ u
1
,u
2
,…,u
m
là một không gian con của V.
Ghi chú :
• Ta còn nói : W là không gian con sinh bởi hệ vectơ {u
i

}
(
)
mi ,1= hay {u
i
} là hệ
sinh của không gian vectơ W.
3)
Định lý :
• Nếu hệ sinh {u
i
}
(
)
mi ,1= độc lập tuyến tính trong V thì hệ này là cơ sở của không
gian con W. Lúc đó ta nói không gian con W có số chiều là m và ký hiệu :
dimW=m
.
• Nếu hệ sinh {u
i
}
(
)
mi ,1= phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ vectơ độc lập tuyến
tính lớn nhất chọn từ hệ {u
i
} là cơ sở của W và hạng của hệ vectơ này là số chiều
của W.
VD1
: Trong R

4
cho các vectơ : u=(1,1,0,1) và v=(0,1,0,1).
a)
Xác định không gian vectơ con W sinh bởi {u,v}.Tìm cơ sở và số chiều của W.
b)
Các vectơ x=(1,3,0,3) , y=(1,-1,0,1) có thuộc không gian W hay không ?
VD2
: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con W=<u
1
,u
2
,u
3
> trong các trường hợp :
a)
u
1
=(1,1,2), u
2
=(-1,1,1), u
3
=(2,-1,0)
b)
u
1
=(1,1,0), u
2
=(1,2,1), u
3
=(-1,0,1)

Ghi chú :
Tập hợp các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian
con của R
n
( Không gian con này sinh ra từ các vectơ hệ nghiệm cơ bản ).
VD3 : Xác định số chiều và cơ sở của không gian con các nghiệm của hệ phương trình :
a)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
=++
0
0
023
32
21
321
xx
xx
xxx
b)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

=++−
=+−−
=+−+
022
02463
02
321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
c)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−
=−−+
=+−+
=++−
0333
052
042
02
431
4321

4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx