Phạm Minh Hoàng
Maple
và các
bài toán ứng dụng
Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật
Lời nói đầu
T
ôi còn nhớ cách đây không lâu, một học sinh lớp 9 đặt cho tôi một bài toán như sau:
∼∼∼∼∼∼∼
Hai đội công nhân làm chung một công việc trong 2g24'. Nếu mỗi đội chia
nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 5g. Hỏi thời gian mỗi đội
làm xong công việc của mình?
Loay hoay một lúc tôi mới tìm ra phương trình của bài toán và phải khó khăn lắm tôi mới cắt
nghĩa được cho em, rồi lại phải mất thêm một ít thời gian mới có thể tự mình tìm được phương
trình của bài toán. Nhưng đến khi thay số vào em lại làm sai, phải đợi đến khi em dùng máy
tính thì mọi chuyện mới xong.
Bất chợt tôi đặt câu hỏi: tìm ra được phương trình bài toán là co như đã đi được 3/4 đoạn
đường, phần còn lại chỉ là thay số, vậy mà em học sinh này lại làm sai, thật uổng. Nếu là người
chấm điểm, tôi có thể châm chước và cho em 7/10, nhưng nếu chỉ căn cứ vào kết quả hoặc thi
bằng trắc nghiệm có thể em bị 0 điểm. Vậy thì rõ ràng máy tính đã thay đổi tất cả.
Ngày nay, ở Việt Nam tất cả các kỳ thi cấp trung học trở lên đều được phép dùng máy tính
(không lập trình), điều đó có nghĩa là xã hội đã chấp nhận cho các em miễn làm tính bằng tay,
mà chẳng ai đặt vấn đề ''mất tư duy'' Toán học cả. Lên đến bậc đại học, công cụ này còn trở
lên tối cần thiết hơn cho sinh viên khoa học tự nhiên. Bắt sinh viên tính các bước trong phương
pháp Runge-Kutta không máy tính là các em chịu thua ngay mặc dù tất cả đều hiểu bài. Và lên
cao hơn nữa, các nhà nghiên cứu còn phải hoàn toàn dựa vào những máy tính siêu mạnh với
những phần mềm thích ứng để hỗ trợ họ trong các bài toán phức tạp. Như thế, họ đã ''khoán''
tất cả những tính toán tầm thường cho máy tính và để hết tâm trí của mình vào những chủ đề
chuyên sâu của họ.
Vị trí và vai trò của máy tính đã ngày một trở nên quan trọng, nhất là trong lãnh vực giáo
dục. Tin học hầu như là một môn bắt buộc cho các sinh viên ngay từ bước đầu vào đại học, và

càng lên cao, càng đi sâu vào một lãnh vực nào đó, con người bắt buộc phải dùng đến máy tính.
Bước ra ngoài đời, bước vào kỹ nghệ, công nghiệp, vai trò của máy tính lại trở nên quan trọng
hơn, đến nỗi chúng ta có thể khẳng định rằng: ngày nay nếu không có máy tính, con người sẽ
không làm gì được cả.
Không máy tính, ngày hôm nay con người không thể xây dựng những cây cầu hiện đại,
không thể dự đoán được thời tiết, không thể vẽ được các vỏ tàu, cánh máy bay, không thể đo độ
rung của một chiếc tên lửa vốn là những vật dụng, những phương tiện gần gũi với chúng ta.
Lý do là máy tính có một khả năng tính toán và một bộ nhớ gần như vô hạn.
Tuy nhiên, cho dù có mạnh đến đâu đi chăng nữa, tất cả các máy tính đền tính toán trên
các con số. Chúng có thế tính một triệu số lẻ của số π trong nháy mắt nhưng không tai nào tìm
ra
n=0
( 1)
n
2n+1
=
π
4
. Điều này gây ít nhiều khó khăn cho những nhà khoa học vốn đã quen với
các ký hiệu như x,
x
f(x, s), ln[sin(x
2
+ 1)] . . . nên họ vẫn ao ước có một công cụ thích ứng để
làm việc, một phần mềm không chỉ thao tác các con số, mà phải làm được điều này trên các ký
hiệu quen thuộc. Đó là một phần mềm tính toán hình thức
1
. Và phải đợi tới năm 1980 đại học
Waterloo (Canada) mới hoàn tất công trình đồ sộ của mình và cho ra đời Maple.
Maple được viết ra từ mục đích đó.

Vào năm 1867, nhà thiên văn Delaunay đã bỏ ra 20 năm đằng đẵng để thiết lập và tính toán
quĩ đạo của mặt trăng dưới tác dụng của mặt trời. Biểu thức hoàn toàn bằng ký tự (hình thức)
này dài gần 2000 trang giấy. Một thế kỷ sau, năm 1970, nhà toán học A. Deprit chỉ mất 9 tháng
để viết một chương trình để tính toán lại
2
. Ngày nay, có lẽ chúng ta chỉ mất khoảng nửa giờ!
Maple quả là tiết kiệm cho người dùng một khoảng thời gian khổng lồ.
Nhưng Maple có thể còn làm nhiều hơn thế.
Tôi còn nhớ một trong những ''kinh nghiệm xương máu'' của mình hồi học lớp 12. Thầy
dạy chúng tôi tính diện tích hình tròn bán kính r bằng cách chia nhỏ nó ra thành từng mảnh nhỏ
và xem như đó là những hình chữ nhật rồi cộng diện tích chúng lại để có được kết quả là πr
2
.
Nhưng tôi mãi lấn cấn cái chuyện phải xem như đó là những hình chữ nhật. Vì nếu ''xem như''
thì rõ ràng đã có sai số, và nếu cộng hết các hình chữ nhật là cộng hết cả các sai số thì đâu thể
ra một cái gì tròn trịa như πr
2
. Chính cái lấn cấn ấy đã làm điểm toán của tôi sút giảm nghiêm
trọng. Mãi đến khi có được Maple tôi mới nghiệm ra ''chân lý'' của vấn đề khi vẽ thật nhiều hình
chữ nhật để thấy rằng rõ ràng là nó tiến về diện tích hình tròn.
Đến đây , tôi nghĩ có nhiều thầy (thậm chí có cả các bạn sinh viên) phì cười cho rằng tôi
thuộc loại ''chậm tiêu''. Tôi nghĩ điều ấy không sai, nhưng riêng tôi, tôi lại nhìn vấn đề cách
khác. Cái gì đã làm cho mình hiểu ra vấn đề? câu trả lời là hình ảnh. Ngày xưa tôi không ''tiêu''
được chẳng qua là vì thầy không đủ sức vẽ thật nhiều những hình chữ nhật như Maple. Vậy tại
sao chúng ta không tận dụng những khả năng vượt trội của máy tính để tiết kiệm thời gian?.
Tôi nghĩ không cần dài dòng để thuyết phục về ưu điểm của máy tính trong một bài thuyết
trình (chứ không riêng gì việc học). Một diễn giả ngồi đọc lê thê sẽ không cuốn hut bằng chiếu
cùng một nội dung ấy lên màn hình. Mà đã không cuốn hút thì khó đưa nội dung ''vào đầu'' thính
giả. Đặc biệt nếu những nội dung ấy là những trừu tượng như toán thì lại càng phải cụ thể hóa,
sinh động hóa.

Tôi còn nhớ khi dạy toán bằng Maple vào một ngày không có máy chiếu. Sinh viên ngồi
nhìn bảng đen mà tôi cứ nghĩ tâm hồn các bạn đang lượn lờ ở ''chốn bồng lai'' nào (vì các khái
niệm ấy các em đều đã học qua). Nhưng khi có máy chiếu, tôi thấy các em háo hức mừng lộ ra
mặt. Cặp mắt lờ đờ khi nãy bỗng sinh động khác thường, cứ mỗi khi thay slide là khuôn mặt
các em cũng thay đổi theo. Rồi đến khi thực hiện những bài tập lớn cuối học kỳ, rất nhiều bạn
đã làm nhiều hơn những gì chủ đề đòi hỏi. Lý do là các bạn ấy đã hiểu rõ hiện tượng mà không
ngần ngại sử dụng sức mạnh của máy tính để khai triển xa hơn. Điều đó là việc ''xưa nay hiếm''.
Vậy thì rõ ràng Maple đã giúp ích cho việc học toán.
Trên đây tôi vừa nhắc đến những hình chữ nhật xấp xỉ hình tròn. Điều ấy nếu là một người
có ''hoa tay'', thầy tôi có thể vẽ được. Nhưng khi đó là những hình trong không gian, những
hình co-nic 3 chiều thì không dễ dàng đề vẽ. Tôi còn nhớ khi dạy phương pháp đường dốc nhất
(steepest descent) trong môn Tối Ưu hóa hàm nhiều biến, để cắt nghĩa phương pháp, tôi cứ phải
liên tục làm những động tác một người đang lao xuống vực để các bạn hiểu ý nghĩa hình học
của gradient. Nhưng đến khi hiển thị bằng máy tính thì tối chắc chắn các bạn sinh viên đã hiểu
tại sao phương pháp steepest ascent (nghĩa là dốc lên) mà tối không cần phải làm động tác nào
khác.
Maple không chỉ giúp bằng hình ảnh mà còn kích thích óc sáng tạo. Chúng ta đã dạy cho
học sinh làm thế nào để viết phương trình một đường thẳng qua hai điểm; vậy thì các em có thể
1
Tiếng Anh là formal computation tiếng Pháp là calcul formel.
2
và đã tìm thấy chỉ một chỗ sai trong 2000 trang của Delaunay!
ii Phạm Minh Hoàng
dùng Maple xác định được đường cao, đường trung tuyến, sau đó xác định được trực tâm, trọng
tâm rồi viết phương trình đường thẳng Euler. Tất cả các công đoạn ấy làm bằng máy tính đâu
có làm ''nhụt'' tư duy toán học của các em đâu, trái lại nó làm cho các em có cơ hội sử dụng một
vũ khí sắc bén của trí tuệ là trí tưởng tượng
3
. Rồi ở bậc đại học, chúng ta đã dạy cho sinh viên
điều kiện để chéo hóa một ma trận M và áp dụng nó để tính M

n
. Nếu làm bằng tay sẽ rất ''oải'',
dễ chán, thậm chí mới chỉ là ma trận bậc 3; nhưng với Maple, sinh viên có thể ''vui chơi'' và tự
tạo cho mình những trường hợp cực kỳ phức tạp và như thế các bạn sẽ hiểu rõ vấn đề. Các thí
dụ như thế còn rất nhiều và trong mọi lãnh vực như lý, hóa, sinh, kỹ thuật, kiến trúc Rõ ràng
là nó giúp chúng ta học hiệu quả hơn.
Tôi thực sự chưa bao giờ nghĩ rằng Maple có thể thay thế người thầy vì để đánh một lệnh
Maple để tính diện tích hình tròn thì ai cũng có thể làm được, thậm chí là một học sinh cấp II!
nhưng nếu hiểu được ý nghĩa hình học của nguyên hàm (và các vấn đề sau sa hơn) thì không thể
thiếu thầy được. Maple chỉ cung cấp cho chúng ta một công cụ để hiểu rõ vấn đề và khơi nguồn
sáng tạo mà thôi. Nhưng đó lại là yếu tố rất cần trong cuộc đời sinh viên kể cả khi đã ra trường.
Với tất cả những tâm tình đó, tôi đã viết cuốn Maple và các bài toán ứng dụng này. Sau
lần xuất bản thứ nhất tác giả bỏ đi những chủ đề phức tạp đồng thời thêm một số chương ích lợi
hơn cho việc học Maple, trong đó có một chương nói về cú pháp dành cho các độc giả chưa có
kinh nghiệm với phần mềm này. Tác giả cũng chân thành xin lỗi bạn đọc về những sơ sót đã
mắc phải trong lần phát hành đầu tiên.
Mọi ý kiến đóng góp xin chuyển về địa chỉ: Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật, 28 Đồng
Khởi, phường Bến Nghé, quận I, TPHCM. ĐT: 822.50.62-829.66.28
Ước mong của tác giả là cuốn sách nhỏ bé này sẽ giúp bạn đọc có một cái nhìn mới về vũ
trụ vô tận của Toán học.
Sài Gòn Xuân Mậu Tí 2008
Phạm Minh Hoàng
email:
Vài dòng về tác giả:
Sinh năm 1955 tại Sài
Gòn, đậu tú tài và đi du học Pháp
năm 1973, tốt nghiệp Cao học Cơ Học
Ứng Dụng tại Đại học Pierre & Marie
Curie(Paris VI) và đã đi làm nhiều năm
về tịn học quản lý và tin học kỹ nghệ

tại Paris. Năm 2000 trở về Việt Nam
và hiện công tác tại Bộ Môn Toán
Ứng Dụng, Khoa Khoa Học
Ứng Dụng, Trường Đại
học Bách Khoa
TPHCM.
3
Kiến thức không quan trọng bằng trí tưởng tượng. Kiến thức thì giới hạn nhưng trí tưởng tượng có thể vây
quanh nhân loại (Albert Einstein)
Phạm Minh Hoàng iii
Mục lục
Trang
Lời nói đầu i
Chương 1. Cú pháp Maple 1
1.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Các thao tác trên một biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Lệnh simplify: đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Lệnh expand: khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Lệnh factor: thừa số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Lệnh combine: gom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Lệnh convert: biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Mệnh đề và hàm mũi tên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Các thao tác trên một dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Đồ thị hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 Phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Phương trình quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.1 Cách giải giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8.2 Cách giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Lập trình trong Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10.1 Khai thác sau khi biên dịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.12 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.1 Các lệnh cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.2 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12.3 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12.4 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12.5 Lập trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Bài đọc thêm: Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
iv
Mục lục
Chương 2. Bài toán cực trị 33
2.1 Tiết kiệm nhôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Đoạn đường gần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Góc nhìn của phi hành gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Hình nón và hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Tính bằng thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Tính bằng diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Khúc cua gắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Vấn đề 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2 Vấn đề 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.1 Hình vẽ cho bài toán Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7 Cực trị của hàm hai biến: Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Cực trị của hàm ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Bài đọc thêm: Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chương 3. Đồ thị ba chiều 54

3.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Thí dụ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Thí dụ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Bài đọc thêm: Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Chương 4. Hình học giải tích 69
4.1 Tìm và vẽ tiếp tuyến chung của hai vòng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Diện tích phần giao của hai vòng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Quỹ tích 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Quỹ tích 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Quỹ tích 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5.1 Cách giải thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5.2 Cách giải thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6 Giới hạn của Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6.1 Một thí dụ thuần hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6.2 Một khúc mắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6.3 Một thí dụ điển hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7 Bài đọc thêm: Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Chương 5. Bài toán mô phỏng 89
5.1 Cạnh tranh tay đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 Giải bằng hàm tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.2 Gải bằng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Phạm Minh Hoàng v
Mục lục
5.1.3 Giải bằng hàm quy nạp rsolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.4 Biểu diễn trong không gian 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Kinh tế ASEAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Lãi suất ngân hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Lập trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.2 Hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3.3 Dãy truy hồi (quy nạp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.4 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Nuôi tằm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Bồn khuấy nước đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 Bài toán cân bằng môi sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7 S.A.R.S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7.1 Giải với các đại lượng rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7.2 Giải với các đại lượng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8 Bài đọc thêm: Eratosthene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Chương 6. Bài toán kích thước hình xoay 115
6.1 Diện tích, thể tích ellipse và ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.1 Diện tích một ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.2 Thể tích một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.3 Diện tích một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Thể tích sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của một hàm . . . . . . . . . . . 118
6.3 Thể tích sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy của một hàm . . . . . . . . . . . 118
6.4 Trường hợp một hàm nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5 Tìm thể tích sinh ra bởi phép quay của phần giao của hai hàm . . . . . . . . . . 120
6.5.1 Xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5.2 Xoay quanh Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6 Một trường hợp phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.6.1 Xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.6.2 Xoay quanh Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7 Bài đọc thêm: Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Chương 7. Bài toán sức bền vật liệu 127
7.1 Tải trọng đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.1 Hai đầu gối đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.2 Ngàm một đầu, đầu kia tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1.3 Ngàm hai đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1.4 Ngàm một đầu, đầu kia gối đơn (hệ siêu tĩnh) . . . . . . . . . . . . . . 131

7.1.5 Ngàm một đầu, đầu kia gối đơn ở một điểm bất kỳ u . . . . . . . . . . 131
7.2 Tải trọng tập trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.1 Ngàm một đầu, lực tập trung ở đầu kia. [Hình 7.14 (a)] . . . . . . . . . 137
vi Phạm Minh Hoàng
Mục lục
7.2.2 Ngàm một đầu, lực tập trung ở x = u l [Hình 7.14 (b)] . . . . . . . . 138
7.2.3 Hai gối đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3 Bài đọc thêm: Képler - Thái Dương hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Chương 8. Bài toán đạn đạo 145
8.1 Môi trường không có ma sát không khí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.2 Môi trường có ma sát không khí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2.1 Thí dụ 1: nghiệm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2.2 Thí dụ 2 : nghiệm bằng phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2.3 Tìm góc bắn xa nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2.4 Nối dài tầm bắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2.5 Sức cản trong trường hợp phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2.6 Dưỡng Do Cơ thế kỷ XXI! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.3 Bài đọc thêm: Shwerer Gustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Chương 9. Bài toán dao động 1: Lò xo 168
9.1 Lò xo nằm ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.1.1 Trường hợp 1 : Không có lực giảm xóc, λ = 0 . . . . . . . . . . . . . 170
9.1.2 Trường hợp 2 : Lực giảm xóc, λ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.1.3 Khảo sát hiện tượng cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.2 Hệ ba lò xo nằm ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.3 Bài đọc thêm: Cầu Tacoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Chương 10.Bài toán dao động 2: Con lắc toán học 183
10.1 Con lắc đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.1.1 Trường hợp 1: góc quay nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.1.2 Trường hợp 2: góc quay lớn không ma sát . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.1.3 Trương hợp 3: góc quay lớn với ma sát . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10.2 Con lắc kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.2.1 Trường hợp 1: góc quay nhỏ, tính toán hình thức . . . . . . . . . . . . 191
10.2.2 Trường hợp 2: góc quay lớn - Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.2.3 Kiểm chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.3 Con lắc đơn đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.3.1 Vẽ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.3.2 Tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.4 Bài đọc thêm: Lịch sử số π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Chương 11.Số học và ứng dụng 209
11.1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.1.1 Số học mô-đun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.1.2 Phép chia Eculide trong Z /mZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.1.3 Ứng dụng của phép tính đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Phạm Minh Hoàng vii
Mục lục
11.1.4 Định lý Trung Quốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.2 Mật mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.2.1 Mã César . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.2.2 Mã Khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.2.3 Mã RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.3 Bài đọc thêm Bẻ khóa RSA: Con đường chông gai . . . . . . . . . . . . . . . 229
Chương 12.Xử lý hình động 231
12.1 Chuyển động đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.1.1 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.1.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.1.3 Thí dụ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.2 Chuyển động phức tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.2.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.2.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.3 Chuyển động có sự thay đổi vận tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

12.3.1 Thay đổi đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
12.3.2 Thay đổi không đều - Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
12.3.3 Thay đổi không đều - Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.4 Chuyển động với một hay nhiều hình tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12.4.1 Thí dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12.4.2 Thí dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
12.5 Đường lập lên bởi hình động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
12.5.1 Viên bi lăn theo đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
12.5.2 Viên bi lăn theo một đường bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
12.5.3 Cycloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.5.4 Điểm động học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.6 Bài đọc thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Tài liệu tham khảo 278
Chỉ mục 280
viii Phạm Minh Hoàng
Danh mục hình minh họa
Hình Trang
1.1 (a) Ba lời giải và (b) khi vẽ chung với tập hợp các lời giải . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Lời giải phương trình vi phân phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Lời giải phương trình vi phân và phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Sơ đồ tạo và sử dụng tập tin thực thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 (a) Hình nón nội tiếp (b) đương biểu diễn của thể tích theo h khi R = 3. . . . . 38
2.5 (a) hình nón ngoại tiếp (b) đường biểu diễn của thể tích theo h khi R = 3. . . . 39
2.6 Đồ thị của diện tích theo h khi R = 3: (a) trường hợp nội tiếp; (b) ngoại tiếp . . 41
2.7 Hình nón nội tiếp và ngoại tiếp hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.10 Hình hộp nội tiếp trong một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.11 Hình khối cực đại trong một ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Đường đồng mức của hàm f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Cực trị hàm nhiều biến và hình chiếu của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Các điểm dừng của f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Điểm cực đại và cực tiểu của f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Điểm yên ngựa của hàm f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7 Đồ thị gradient, đường đồng mức và chuyển động của P
k
. . . . . . . . . . . . 62
3.8 Chuyển động P
k
trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.9 Biểu diễn tham số của hàm ràng buộc g(x, y) trên f(x, y) . . . . . . . . . . . . 65
3.10 (a) Đường đồng mức và ellips 2D, (b) Véc-tơ gradient tại điểm cực trị . . . . . 67
4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
ix
Danh mục hình minh họa
4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 (a), (b) Vị trí tương đối của H; (c) Quỹ tích H . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.8 Quỹ tích của H với các vị trí M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9 Vòng tròn trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Thương vụ với đồ thị 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Sai biệt giữa phép giải rời rạc và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5 (a), (b) Phát triển ổn định sau 30 tháng và (c) phát triển không ổn định . . . . . 98
5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.8 Đường biểu diễn của lượng muốn (a) trường hợp
1
⃝ và (b) trường hợp
2
⃝ . . . 104
5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.10 Lây lan của bệnh dịch khi không có và khi có thuốc chữa . . . . . . . . . . . . 107
5.11 Lây lan của bệnh dịch với b =
1
10
và b =
1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.12 Lây lan của bệnh dịch trường hợp c) và d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.13 Thuật toán "Sàng Eratosthene" và cách đo chu vi trái đất. . . . . . . . . . . . . 114
6.1 ellipse và ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2 Đồ thị y = f (x) =
1
2
x
3

và hình xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3 Đồ thị x = f
1
(y) và hình xoay quanh Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Đồ thị một hàm nội suy và hình xoay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.6 Phần giao của hai hàm và hình xoay quanh Ox, Oy . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.8 Phần giao của hai hàm trong một trường hợp phức tạp và (b),(c) cách vẽ để tính
thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp hai gối đơn . . . . . . . . . . . . 130
7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.5 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu . . . . . . . . . . . 132
7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.7 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm hai đầu . . . . . . . . . . . 134
x Phạm Minh Hoàng
Danh mục hình minh họa
7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.9 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu, đầu kia gối đơn . . 136
7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.11 Chuyển vị, moment ngàm một đầu và gối đơn ở: (a) x = 8 và (b) x = 7 (cách
giải thứ nhất) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.13 Chuyển vị, moment trường hợp ngàm một đầu và gối đơn ở: (a) x = 8 và (b)
x = 7 (cách giải thứ hai) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.14 Các trường hợp tải trọng tập trung với ngàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.15 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu, lưu tập trung khi:
(a) u = 4 và (b) u = 6 (các tỷ lệ được sửa đổi để dễ nhìn) . . . . . . . . . . . . 139

7.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.17 Lực tập trung, hai nối đơn qua hai cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.18 Thái Dương Hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.2 Quỹ đạo trong trường hợp không ma sát với: (a) v
0
= 300 và (b) v
0
= 900m/s 147
8.3 Đạn đạo với hệ số ma sát bằng : (a) k = 1 (tối đa) và (b) k =
1
10
. . . . . . . . 151
8.4 Đạn đạo 5 góc bắn α

π
10
,
7π
30

với ma sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.6 Nối dài tầm bắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.7 (a), (b): Các hàm sức cản p(h) và (c) tầm bắn tương ứng với α =
π
4
. . . . . . 157
8.8 Đạn đọa của 6 góc bắn với độ gia tăng
π

50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.9 Các hàm nội suy ftd(d), fdt(d) và fad(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.10 Các hàm nội suy ftd(t), fad(a) và fda(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.11 Đạn đạo của 6 góc bắn với độ gia tăng
π
60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.12 Các hàm nội suy spline của fdt(t), fad(a), fda(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.15 Hình 8.14: Đại bác Schwerer Gustav (hình mẫu trưng bày) . . . . . . . . . . . 166
9.1 Lò xo và khối m trên trục hoành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.3 Chuyển động với giảm xóc λ = dfrac120 và
1
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.4 Chuyển động với độ giảm xóc lớn ∆ 0 và (b) giảm xóc tớn hạn (∆ = 0) . . 173
9.5 Chuyển động với ảnh hưởng ngoại lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.6 Chuyển động khi ngoại lực (a) cùng vận tốc góc và (b) không cùng vận tốc góc 176
9.7 Hệ ba lò xo trước và sau khi chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.8 Chuyển động của hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Phạm Minh Hoàng xi
Danh mục hình minh họa
9.9 Cầu Tacoma lúc sụp đổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.2 Con lắc đơn với góc quay nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.3 Con lắc đơn với góc quay lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.4 Con lắc đơn với góc quay lớn và lực ma sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.5 Con lắc kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.6 Chuyển động cùng chiều với góc quay nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.7 Chuyển động ngược chiều với góc quay nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.8 Chuyển động với u
1
(0) = u
2
(0) = 1 radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.9 Chuyển động với u
1
(0) =
π
2
, u
2
(0) = 1radian . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.10Đồ thị của động năng, thế năng và cơ năng của con lắc kép . . . . . . . . . . . 197
10.11Con lắc đơn đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.12Khai báo con lắc đàn hồi và vài chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.13(a) Quỹ đạo con lắc và (b) đồ thị năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.14Con lắc kép đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.17Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.1 Hình tĩnh của hàm sin(x) và 4 chuyển động khác nhau . . . . . . . . . . . . . 232
12.2 (a) Chong chóng ở vị trí đầu, (b) sau khi quay 30
o
và (c) 4 chuyển động 5
o
. . . 233

12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.4 (a) Chuyển động tịnh tiến của bánh xe và (b) chuyển động quay của van . . . . 235
12.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.6 Chuyển động của van xe trong 3 vòng quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.7 4 chuyển động với khoảng cách thời gian (a) đều và (b) không đều . . . . . . . 238
12.8 (a) Cả hai xe ngừng cùng lúc và (b) lần lượt ngừng . . . . . . . . . . . . . . . 240
12.9 (a) Chuyển động với thay đổi đều và (b) thay đổi không đều . . . . . . . . . . 241
12.10Chuyển động theo định luật Képler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.11Chuyển động của mặt trăng quanh trái đất theo định luật Képler . . . . . . . . 244
12.12Tiếp tuyến của hàm f(x) = e
x
2
sin(
x
2
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
12.13Sự hội tụ của
k
n=1
[
1
n
cos(x)
n
cos(nx)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.14Chuyển động thẳng của viên bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.15Đồ thị của hàm (a),
sin x
x
, (b)f (x) và (c)f (

x
3
) nhân lên 30 lần . . . . . . . . . 250
12.16Chuyển động của viên bi (a) trước và (b) sau khi chỉnh vận tốc . . . . . . . . . 251
12.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
12.19Biểu diễn của vận tốc và gia tốc ở hình (a) cardiod và (b) hình ốc sên . . . . . . 256
xii Phạm Minh Hoàng
Danh mục hình minh họa
12.20Babylone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
12.21Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.22Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.23Hippocrates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.24Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.25Aristote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.26Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.27Eratosthene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.28Apollonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.29Ptoleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.30Liu Hui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.31Diophante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.32Hệ Thập Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.33Abu-bin-Musa-al-Khwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.34Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.35Qin Jinshao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.36Nicolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.37Copernic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.38Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.39Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.40Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

12.41Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.42Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.43Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.44Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.45Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.46Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.47Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.48Seki Kowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
12.49Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
12.50Jacques Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
12.51Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.52Jean Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.53De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.54Jacapo Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.55Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.56Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.57D'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.58Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.59Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Phạm Minh Hoàng xiii
Danh mục hình minh họa
12.60Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.61Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.62Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.63Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.64Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.65Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.66Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.67Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.68Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

12.69Lobachevsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.70Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.71Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.72Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.73Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.74Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.75Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.76Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.77Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.78Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.79Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.80Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.81RungeKutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.82Carmichael . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.83Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.84Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.85Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.86George Dantzig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.87Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.88Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.89Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.90Edward Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.91Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.92Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.93Adleman, Rivest, and Shamir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.94Wiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
xiv Phạm Minh Hoàng
Danh mục bảng biểu
Bảng biểu Trang
1.1 Sắp xếp một dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Sử dụng worksheet với tập tin thực thi là pgm1.m . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Sử dụng worksheet với tập tin thực thi là pgm2.m . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Kết quả theo V và theo S của hình nón nội tiếp hình cầu . . . . . . . . . . . . . 42
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1 Thái Dương hệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1 Chương trình của 5 góc bắn với độ gia tăng
π
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.1 Các lệnh tạo hình động cho hệ ba lò xo có một đầu tự do . . . . . . . . . . . . 180
10.1 Các lệnh để tạo hình tĩnh chuyển động con lắc đơn. . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.2 Các lệnh để tạo hình tĩnh chuyển động con lắc đơn với ma sát. . . . . . . . . . 188
10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.1 Bảng hoán chuyển mẫu tự số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.2 Chương trình mã César . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.3 Kết quả mã khối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.4 Chương trình mã khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.5 Chương trình mã RSA và phép bình phương liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . 224
11.6 Chương trình mã RSA có ký tên và liên kết với phép bình phương liên tiếp. . . 228
12.1 Chương trình cine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.2 Lịch sử các ký hiệu Toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
xv
Chương1
Cú pháp Maple
Chương này tóm tắt một số lệnh Maple cơ bản[

1
] và được dùng nhiều trong cuốn sách này.
Để có thêm chi tiết cách hay nhất vẫn là tham khảo phần trợ giúp.
1.1 Tổng quan
Khi khởi động maple chúng ta sẽ có một màn hình đơn giản:
Ở trên cùng chúng ta có một menu với những chức năng quen thuộc của một phần mềm
Windows: File,Edit,View,Insert Cách sử dụng những chức năng này cũng khá dễ
dàng. Phần lớn nhất của màn hình là một trang trắng, đó là nơi người sử dụng đánh các lệnh
Maple và nhận kết quả. Một lệnh Maple được đánh sau dấu ">" và mặc định có nét chữ courier
màu đỏ, một kết quả có màu xanh và nét chữ times. Thí dụ:
> p:=x+3;
p := x + 3
Trước khi vào từng câu lệnh Maple, một vài quy tắc chung cần nhớ:
Lệnh đầu tiên là restart (không bắt buộc), để xoá sạch bộ nhớ và chuẩn bị cho những
điều kiện làm việc tốt nhất cho Maple.
> restart:
Maple phân biệt chữ thường và chữ hoa: thí dụ simplify khác với Simplify. Trong
Maple đại đa số các câu lệnh đều là chữ thường những có một số rất ít có cả chữ thường
lẫn chữ hoa (và dĩ nhiên chức năng cũng khác). Thí dụ expand và Exphand, thậm chí
có những option toàn viết bằng chữ in.
Trong Maple, để gán giá trị vào một biến phải dùng dấu := Nếu ta đánh dấu =, Maple sẽ
không thông báo sai. Thí dụ:
> x:=Pi;
x := π
> y=sin(x);
1
Phiên bản Maple được dùng trong sách là phiên bản 8
Chương 1. Cú pháp Maple
y = 0
Maple hiển thị y = 0 vì nó lập lại những gì ta đánh nhưng trong biến y vẫn còn trống

(người ta gọi biến y là biến tự do, trong khi x đã được gán cho giá trị π, x được gọi là biến
ràng buộc). Kiểm chứng:
> x,y;
π, y
Để giải phóng một biến ràng buộc, (ta lấy thí dụ ở trên, x đang ràng buộc vì nó bằng π):
> x:='x';
> x;
x
Một lệnh của Maple được chấm dứt bằng dấu (;) hoặc dấu hai chấm (:). Nếu chấm phẩy,
kết quả sẽ hiện ra ; nếu là hai chấm, lệnh sẽ được thực hiện nhưng kết quả không hiện ra
(xem thí dụ trên).
Dấu %: Đây là một ký hiệu quan trọng trong Maple. Dấu % biểu tượng cho kết quả vừa
thực hiện. Thí dụ khi ta lấy nguyên hàm của 3sin(x):
> int(3*sin(x),x);
3 cos(x)
Ở đây, % biểu tượng cho 3 cos(x). Nếu lấy đạo hàm của nó ta sẽ tìm lại được 3 sin(x).
Trong trường hợp này ta sẽ dùng dấu %:
> diff(%,x);
3 sin(x)
Mapple cho phép đánh nhiều lệnh trên một dòng. Lấy lại thí dụ trên:
> int(3*sin(x),x): diff(%,x)
3 sin(x)
Dòng trên gồm 2 lệnh. Lệnh nguyên hàm 3 sin(x)d(x) chấm dứt bằng dấu hai chấm, kết
quả (-3cos(x)) không được hiển thị nhưng nó đã gán vào biến %. Lệnh đạo hàm chấm
dứt bằng dấu chấm phẩy, kết quả được hiện ra.
Maple cho phép kết hợp nhiều lệnh vào một lệnh:
> diff(int(3*sin(x),x),x);
3 sin(x)
Hãy quan sát lệnh sau:
> Int(3*sin(x),x):=value(%);

Lệnh Int (với chữ I được viết hoa) sẽ cho ra kết quả là ký hiệu nguyên hàm 3 sin(x)d(x),
nhưng vì lệnh này chấm dứt bằng dấu hai chấm nên ký hiệu này ẩn và được gán vào biến
%.
2 Phạm Minh Hoàng
1.2. Các thao tác trên một biểu thức
Lệnh tiếp theo bắt đầu bằng dấu %= có nghĩa là 3 sin(x)d(x) =, tiếp theo value(%)
có tác dụng tính giá trị của biến %. Và vì lệnh này chấm dứt bằng dấu chấm phẩy nên kết
quả của nó sẽ được in ra:
3 sin(x)d(x) = 3 cos(x)
Ở đây % biểu tượng cho kết quả của cả dòng trên. Để có được phần bên trái dấu bằng, ta
dùng hàm lhs và bên phải bằng rhs[
2
]:
> lhs(%); rhs(%%);[
3
]
3 sin(x)d(x), 3 cos(x)
Một vài quy tắc cần nhớ khi khai báo các hàm toán học: sin(x)
2
chứ không phải sin
2
(x), tan(x)
chứ không phải tg(x). Hàm mũ của x là exp(x) chứ không phải là e
x
. Ký hiệu π là Pi,
số phức là I
Dòng thuyết minh: Để đánh dòng thuyết minh (có thể dùng font tiếng Việt), nhấp chuột
vào nơi muốn đánh thuyết minh sau đó nhấp vào nút T nằm dưới hàng menu. Dấu > sẽ
biến mất và tất cả những gì bạn đánh sẽ mang màu đen và đều là những dòng chữ không
được biên dịch bởi Maple. Sau khi hoàn tất, dùng chuột hoặc mũi tên (trên bàn phím)

để ra khỏi dòng thuyết minh, nhấp vào nút > để trở lại với các lệnh Maple.
Lưu vào ổ cứng: Tất cả các câu lệnh Maple và kết quả được gọi là một worksheet và được
lưu lại dưới 2 dạng: dạng cũ (MWS) và dạng mới (MW, kể từ phiên bản 9). Trong phạm
vi cuốn sách này, chúng ta chỉ làm việc với dạng MWS.
Maple có trên 1500 lệnh (phiên bản 8), trong đó có những lệnh ít được dung. Để tránh
phải nhập tất cả các lệnh vào RAM của máy một cách vô ích, người ta gom những lệnh
có cùng một ứng dụng voà những package (tạm dịch là gói). Những gói thường gặp là
plots,linalg,geometry,plottools Khi cần sử dụng, dùng hàm with để
nhập:
> with(plots):
Ta cũng có thể dùng lệnh mà không cần nhập package bằng cách đánh
(thí dụ lệnh display trong gói plots):
> plots[display]( );
1.2 Các thao tác trên một biểu thức
Lệnh simplify: đơn giản
Đơn giản một biểu thức (expression) đại số. Đây có thể là một đa thức, một biểu thức lượng
giác, logarithm, hàm mũ, hàm hữu tỷ
> p:=1/(a*(a-b)*(a-c))+1/(b*(b-a)*(b-c))+1/(c*(c-a)*(c-b)):
> %=simplify(%);
2
right hand side
3
Hàm rhs được dùng với 2 dấu %, vì sau khi thực hiện lệnh lhs(%);,biến % đã trở thành.phải thêm một dấu %
thứ hai để có được đúng giá trị bên phải dấu bằng.
Phạm Minh Hoàng 3
Chương 1. Cú pháp Maple
1
a(a b)(a c)
+
1

b(b a)(b c)
+
1
c(c a)(c b)
=
1
cab
> 2*cos(x)ˆ3+sin(x)*sin(2*x):=simplify(%);
2(cos(x))
3
+ sin(x) sin(2x) = cos(2x)
> (x-2)ˆ3/(xˆ2-4*x+4):%=simplify(%);
(x 2)
3
x
2
4x + 4
= x 2
Tuy nhiên có những trường hợp không "suôn sẻ" như ta nghĩ:
> sqrt(xˆ2):%=simplify(%);
x
2
= csgn(x)x
csgn(x) là hàm cho ra 1 nếu Re(x) 0[
4
],và cho -1 nếu Re(x) 0.
Tại sao? Trước khi trả lời, chúng ta đừng bao giờ quên rằng đây là môi trường tính toán
hình thức, điều đó có nghĩa là Maple phải làm việc trên các ký tự chứ không phải những con số.
Khi ta viết ký tự x, trong đầu mình đã nghĩ ngay đến một con số (thậm chí là số dương). Nhưng
Maple không nghĩ như thế, nó sẽ hiểu đây là một biến bất kỳ, có thể là một số phức, một ma

trận, hay một đồ thị Và trong tất cả những "giả thuyết" này, số phức là hợp lý hơn cả và câu trả
lời của Maple (csgn(x)x) là hoàn toàn chính xác. Để kiểm chứng, ta có thể "bảo" cho Maple
rằng x là một số thực bằng cách dùng hàm assume:
> assume(x,real):
> sqrt(xˆ2):%=simplify(%);
x
2
= x
Dấu
˜
được thêm khi một biến được assume. Tuy nhiên kể từ bây giờ để dễ đọc chúng ta sẽ
bỏ qua và không hiển thị ký tự này. Và khi x 0:
> assume(x,real):
> sqrt(xˆ2):%=simplify(%);
x
2
= x
Nói tóm lại, trước khi áp dụng một quy tắc đơn giản, Maple phải xét đến bản chất của biến.
Nhưng trước khi đi vào các thí dụ, chúng ta sẽ giải phóng x trở lại tình trạng ban đầu đồng thời
để tránh lặp đi lặp lại chữ simplify, ta sẽ viết tắt thành Sp qua lệnh alias:
> s:='x': alias(Sp=Simplify): p:=(x-2)ˆ3/ sqrt(xˆ2-4*x+4)
> p:%=Sp(%)
(x 2)
3
x
2
4x + 4
= (x 2)
2
csgn(x 2)

Maple đã đơn giản tử và mẫu cho (x 2) nhưng vẫn đặt dấu hỏi về dấu của x 2. Và khi
x 2 mọi chuyện sẽ tốt đẹp.
> assume (x>2): p:%=Sp(%);
(x 2)
3
x
2
4x + 4
= (x 2)
2
Tương tự với hàm ln:
> x:='x':p:=ln(xˆ3) - 2*ln(x): p=Sp(p);
ln(x
3
) 2 ln(x) = ln(x
3
) 2 ln(x)
> assume (x>0): 'ln(xˆ3)-2*ln(x)'=Sp(p);[
5
]
4
Trong Maple, phần thực của x ký hiệu là Re(x), phần phức là Im(x)
5
Dấu nháy đơn để tránh Maple tự động đơn giản khi x>0
4 Phạm Minh Hoàng
1.2. Các thao tác trên một biểu thức
ln(x
3
) 2 ln(x) = ln(x)
Ta có thể đơn giản hơn bằng cách:

> Sp(p,assume=positive;
Tuy nhiên, Maple có option symbolic cho phép đơn giản mà không cần assume nhưng
vẫn bảo toàn các quy tắc toán học thông thường:
> x:='x': (x-2)ˆ3/sqrt(xˆ2-4*x+4):%=Sp(%,Symbolic);
(x 2)
3
x
2
4x + 4
= (x 2)
2
> ln(xˆ3)-2*ln(x):%=Sp(%,Symbolic);
ln(x
3
) 2 ln(x) = ln(x)
Lệnh expand: khai triển
Hàm expand có mục đích:
Khai triển đa thức (phá dấu ngoặc, hiểu theo nghĩa rộng)
Biểu diễn các hàm lượng giác theo nx thành hàm theo x
> sqrt((4+sqrt(3))*(4-sqrt(3))):%=expand(%);
(4 + 3(4 3)) = 13
> cos(3*x):%=expand(%);
cos 3x = cos(x)
3
3 cos(x)
> (a+b)/(a-b):%=expand(%);
a + b
a b
=
a

a b
+
b
a b
Trong trường hợp phân số hữu tỷ, expand không khai triển mẫu số, phải dùng hàm nor-
mal, expanded:
> (x+1)/((x+3)*(x+2)):%=expand(%);
x + 1
(x + 3)(x + 2)
=
x
(x + 3)(x + 2)
+
1
(x + 3)(x + 2)
> expand(normal(lhs(%),expanded));
x
x
2
+ 5x + 6
+
1
x
2
+ 5x + 6
Trái với simplify, expand không có symbolic:
> ln(a*b):%=expand(%,symbolic);
ln(ab) = ln(ab)
> assume(a>0, b>0): ln(a*b):%=expand(%);
ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Lệnh factor: thừa số
Lệnh này được xem như ngược lại với lệnh expand
> p:=xˆ4-3*xˆ2+2: p=factor(p);
x
4
3
2
+ 2 = (x 1)(x + 1)(x
2
2)
> factor(rhs(%))=expand(lhs(%));
Phạm Minh Hoàng 5
Chương 1. Cú pháp Maple
x 1)(x + 1)(x
2
2) = x
4
3
2
+ 2
Qua kết quả trên, ta thấy đa thức x
2
2 đã không được khai triển trong Q . Người ta nói đa
thức này tối giản trong Q :
> irreduc(xˆ2-2);
true
Hãy quan sát các lệnh sau:
> factor(xˆ2-4);
(x 2)(x + 2)
> factor(xˆ2-2);

x
2
2
> factor(xˆ2-2,sqrt(2));
(x 2)(x + 2)
> factor(xˆ2+2,sqrt(2),I);
(x I 2)(x + I 2)
Qua 4 lệnh này ta có thể kết luận là hàm factor chỉ thừa số hoá một đa thức trong trường
hợp các số hữu tỷ. Khi nghiệm không thuộc Q , phải khai báo phần tử này. Và khi có trên một
phần tử khai bapf, phải để tất cả trong ngoặc nhọn( ).
Trong trường hợp các đa thức bậc cao ( 2) thường phải dùng lệnh solve (giải phương
trình) để tìm nghiệm trước khi thừa số hoá:
> solve(xˆ3+9);
3
2/3
, 1/23
2/3
3/2I
6
3, 1/23
2/3
+ 3/2I
6
3
Có tất cả ba nghiệm, trong đó có hai nghiệm phức và đều là vô tỷ (3
2/3
,
6
3). Chúng ta thử
với lệnh sau:

> factor(xˆ3+9,3ˆ(1/6),I);
1
4
(2x 3
2/3
3I
6
3)(2x 3
2/3
+ 3I
6
3)(x + 3
2/3
)
Qua kết quả này chúng ta thấy Maple rất "thông minh". Chỉ có
6
3 được khai báo nhưng
trong quá trình thừa số hoá, Maple cũng tìm ra được 3
2/3
. Một chi tiết quan trọng cần lưu ý là
nghiệm của đa thức là 3/2
6
3 nhưng ta chỉ khai báo
6
3 và phải bỏ qua thừa số 3/2:
> factor(xˆ3+9,3/2*3ˆ(1/6),I);
Error, (in factor) 2nd argument, 3/2*3ˆ(1/6), I, is not a valid algebraric extension
Lệnh combine: gom
"Gom" những hàm toán giống nhau (exp,ln, hàm lượng giác ) và biến đổi tích các hàm
lượng giác thành tổng (ngược lại với expand).

> exp(x)*exp(y):%=combine(%);
e
x
e
y
= e
x+y
> sqrt(x)*sqrt(y):%=combine(%,sqrt,symbolic);
x y = xy
> (xˆa)ˆb:%=combine(%, power, symbolic);
x
a
)
b
= x
ab
6 Phạm Minh Hoàng
1.2. Các thao tác trên một biểu thức
> ln(x)+ln(y):%=combine(%, ln, symbolic);[
6
]
ln(x) + ln(y) = ln(xy)
> sin(x)*cos(y):%=combine(%);[
7
]
sin(x) cos(y) =
1
2
sin(x + y) +
1

2
sin(x y)
> Int(f,x)+Int(g,x):%=combine(%,Int);[
8
]
fdx + gdx = (f + g)dx
Lưu ý là khi dùng với symbolic, cần thiết phải xác định hàm toán học nào cần phải gom.
Lệnh convert: biến đổi
Biến đổi một biểu thức toán học sang dạng khác. Đây là lệnh phức tạp nhất(gần 100 cách
biến đổi khác nhau):
> convert(12,binary);
1100
> exp(I*x):%=convert(%,trig);
e
Ix
= cos(x) + I sin(x)
> arcsinh(x):%=convert(%, ln);
arcsinh(x) = ln(x + x
2
+ 1)
> A:=matrix([[1,2],[3,4]]): convert(A,listlist);
[[1, 2], [3, 4]]
Một trong những chức năng quan trọng của hàm convert là phân tích một phần số hửu tỷ
thành tổng các phần tử đơn giản:
> 1/(xˆ2-4):%=convert(%,parfrac,x);
1
x
2
4
=

1
4(x + 2)
+
1
4(x 2)
Giống như trường hợp factor, nếu đa thức có nghiệm vô tỷ hoặc phức, cần phải khai báo
các nghiệm này. Giả sử muốn phân tích đa thức p = x
2
+ 8, phải thừa số hoá
1
p
với I 2 trước
khi phân tích:
> p:=xˆ2+8:
> factor(1/p,I,sqrt(2)):%=convert(%,parfrac,x);
1
(x 2I 2)(x + 2I 2)
=
I
8(x + 2I 2)
I
8(x 2I 2)
convert cũng được dùng để tính tổng hoặc tích các phần tử trong một dãy:
> convert([1,2,3],`+`);
6
6
Ngược với Simplify
7
Giống factor, ngược với expand
8

Ngược với expand
Phạm Minh Hoàng 7
Chương 1. Cú pháp Maple
1.3 Mệnh đề và hàm mũi tên
Cho biểu thức toán học:
> p:=xˆ2-3*x+2;
p := x
2
3x + 2
Để biết giá trị tại điểm x = 2, dùng hàm subs. Trong Maple, p được gọi là một mệnh đề
expression:
> subs(x=2,p);
0
Cho hàm số f (x) = sin(x), giá trị tại x =
π
3
được viết như một ký hiệu quen thuộc: f(
π
3
).
Trong Maple, f được gọi là một hàm (function hay hàm mũi tên):
> f:=x sin(x): f(Pi/3);
3
2
Để biến một mệnh đề sang một hàm mũi tên:
> g:=unapply(p,x): g(2);
0
Đây là một lệnh quan trọng vì nó cho phép khai báo một hàm (mũi tên) từ một kết quả
phức tạp.
1.4 Các thao tác trên một dãy

Một dãy có thể được khai báo bằng cách khai báo từng phần tử hoặc bằng hàm seq. Nó
có thể có hoặc không có dấu ngoặc vuông:
> p:=seq(2*i+1,i=0 8); q:=[sin(-Pi/3),6,-2,Piˆ2];
p := 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

3
2
, 6, 2, π
2

Các phần tử của dãy và số phần tử của dãy:
> p[3],q[4];
5, π
2
> nops([p]),nops([q]);
9, 4
Lưu ý cách sử dụng khi dãy khai báo với ngoặc vuông hoặc không ngoặc vuông.
Khai báo dãy bất kỳ bằng hàm rand(random):
> k:=rand(-15 15):
> X:=seq(k(),i=1 20); Y:=[seq(k(),i=1 17)];
8 Phạm Minh Hoàng
1.4. Các thao tác trên một dãy
X := 8, 14, 11, 0, 14, 14, 6, 9, 4, 2, 2, 10, 0, 13, 15, 14, 8, , 5, 5, 6
Y := [13, 15, 12, 13, 2, 9, 9, 7, 6, 7, 6, 10, 5, 11, 9, 14, 9]
Tìm các phần tử x
i
4 và chia chẵn cho 3, các số nguyên tố trong Y :
> select(i i>4 and i mod 3 = 0, [X]); select(i isprime(i),Y);
[15, 6]
[13, 7]

Ghép hai kết quả này vào một dãy s. Lệnh op dùng để bỏ ngoặc vuông:
> s:=op(%),op(%%);
s := 13, 7, 15, 6
Khi dãy có số vô tỷ phải dùng lệnh is (dùng lại dãy q ở trên):
> select(i>0,q);
Error,selecting function must return true or false
> select(i is(i>0),q);
[6, π
2
]
Lệnh map: Đây là một lệnh quan trọng. Lệnh này áp dụng một hàm (có thể hàm Maple
hoặc hàm mũi tên) cho tất cả các phần tử trong một dãy.
> map(i iˆ2,[s]);
[169, 49, 225, 36]
> map(i i-3*I,[s]);
[13 3I, 7 3I, 15 3I, 6 3I]
> u:=[seq(sin(i*x),i=1 3)];
u := [sin(x), sin(2x), sin(3x)]
> map(diff,u,x);
[cos(x), 2 cos(2x), 3 cos(3x)]
option has:
> p:=x=sin(t),y=cos(t)ˆ2,z=1+cos(u);
p := x = sin(t), y = cos(t)
2
, z = 1 + cos(u)
Tìm những phần tử trong p không có cos(t):
> remove(has,[p],cos(t));
[x = sin(t), z = 1 + cos(u)]
Phạm Minh Hoàng 9