Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
CHỮ CÁI VIẾT TẮT
1. Phương trình: PT
2. Phương trình bậc hai: PTBH
3. Giờ: h
4. Phút: ph
5. Giây:s
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
1
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
I.Cơ sở lý luận:
Dạy và học vật lý ở các trường hiện nay đã và đang được đổi mới tích cực
nhằm góp phần thực hiện thắng lợi các mục tiêu của trường THCS. Ngoài nhiệm
vụ nâng cao chất lượng hiểu biết kiến thức và vận dụng kĩ năng, các nhà trường
còn phải chú trọng đến công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp. Đây
là nhiệm vụ rất quan trọng trong việc phát triển giáo dục ở các địa phương. Đặc
biệt ở các trường THCS của huyện.
Xuất phát từ nhiệm vụ năm học do Phòng GD & ĐT và Trường THCS Yên Lạc
đề ra, với mục tiêu: “ Nâng cao số lượng và chất lượng ở các đội tuyển HSG các
cấp, đặc biệt là HSG cấp tỉnh ”.
Loại bài tập này thường gặp trong sách tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi,
trong các kì thi học sinh giỏi, các kì thi vào các trường chuyên…. Đây là loại bài
tập có liên quan đến nhiều kiến thức, từ đó giúp học sinh phát triển tư duy lôgic, trí
thông minh, óc tổng hợp và đặc biệt là phải nắm vững các kiến thức đã học.
Qua thực tiễn tìm hiểu, tham khảo các tư liệu trong giảng dạy vật lý, tôi đã xây
dựng và áp dụng chuyên đề: “ Quãng đường đi của các vật” nhằm giúp các em
học sinh có kinh nghiệm trong giải toán hoá học, các em có cách giải mới, nhanh
gọn, dễ hiểu và đơn giản cho các bài toán liên quan đến các đại lượng tổng quát.
Giúp các em hứng thú, say mê trong học tập vật lý và đặc biệt ở THCS nói riêng.
II.Mục đích chuyên đề:

Nêu ra phương pháp giải các dạng toán có các đại lượng tổng quát nhằm
giúp học sinh nhận dạng và giải nhanh các bài tập vật lý liên quan đến các
đại lượng tổng quát.
III.Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 8, 9 đội tuyển học sinh giỏi môn vật lý 9 của huyện Yên Lạc dự thi
cấp tỉnh.
IV.Phạm vi chuyên đề:
- Áp dụng với đối tượng học sinh khá, giỏi khối 8, 9.
- Thời gian dự kiến bồi dưỡng: 4 buổi (12 tiết).
PHẦN HAI: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
2
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
A. MỘT SỐ BIỆN PHÁP CẦN LÀM
1. Đối với giáo viên:
- Ôn tập cho học sinh những kiến thức về cơ học
- Tổng hợp các bài tập dạng này trong các tài liệu.
- Phân loại bài tập theo mức độ.
2. Đối với học sinh:
- Phải nắm vững các kiến thức đã học, ôn tập bổ xung các kiến thức còn
thiếu.
- Đọc thêm tài liệu tham khảo, các đề thi học sinh giỏi…
3. Lưu ý sau khi giải bài tập:
- Khắc sâu những vấn đề trọng tâm, những điểm khác biệt.
- Nhắc lại, giảng lại một số phần mà học sinh hay nhầm, khó hiểu .
- Mở rộng tổng quát hóa bài tập.
B. NỘI DUNG:
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Khi vị trí của vật so với vật mốc thay đổi theo thời gian thì vật chuyển động so
với vật mốc. Chuyển động này gọi là chuyển động cơ học( gọi tắt là chuyển động).

Vật mốc: Thường người ta chọn Trái Đất và những vật gắn với Trái Đất như
nhà cửa, cây cối, cột điện, nhà ga,… làm vật mốc.
2. Chuyển động hay đứng yên có tính tương đối
Ví dụ: Hành khách ngồi trên một toa tàu đang rời khỏi nhà ga thì:
So với nhà ga thì hành khách chuyển động nhưng so với toa tàu thì hành khách
đứng yên.
3. Công thức tính vận tốc:
S
v
t
=
(1)
Từ (1)=>
〈
.s v t
s
t
v
=
=
Đơn vị của các đại lượng vật lý trong công thức (1)
Biết cách đổi đơn vị vận tốc từ đơn vị nhỏ ra đơn vị lớn và ngược lại
(
1 60 100 3,6m m cm km
s ph s h
= = =
)
Các trường hợp đặc biệt thường gặp:
- Nếu
1

v
ur
và
2
v
uur
cùng hướng:
1 2
v v v= +

- Nếu
1
v
ur
và
2
v
uur
ngược hướng:
1 2
v v v= +
- Nếu
1
v
ur
và
2
v
uur
vuông góc:

2 2 2
1 2
v v v= +
4. Trong chuyển động thẳng đều vận tốc có giá trị không đổi. Véc tơ vận tốc (
v
r
)
có:
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
3
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
*Gốc đặt tại một điểm trên vật.
*Hướng trùng với hướng chuyển động.
*Độ dài tỉ lệ với độ lớn của vận tốc theo một tỉ lệ xích tuỳ ý chọn trước.
5. Định lý Pitago:Cho ∆ABC vuông tại A.
Ta có:
2 2 2
BC AB AC= +
6. Hàm số lượng giác của góc nhọn:
Theo (H-1):

; ; ;
; ; ;
AC AB AC AB
SinB CosB tgB CotgB
BC BC AB AC
AB AC AB AC
SinC CosC tgC CotgC
BC BC AC AB
= = = =

= = = =
7. Định lý hàm Sin:
Cho ∆ ABC bất kỳ ta có:

in
a b c
S A SinB SinC
= =
(2)
8. Định lý hàm Cos :
Cho
ABC∆
bất kỳ ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b c a ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
(3)
9. Công thức cộng góc:

( ) os . os sin .sin
( ) .

Cos C C
Sin Sin Cos Cos Sin
α β α β α β
α β α β α β
± =
± = ±
m
10. Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Ví dụ:
βα
CosSin =− )90(
0
với
0
90=+
βα
11. Cho PTBH:
2
. 0( 0)a x bx c a+ + = ≠
(*)

2
4b ac∆ = −
Nếu ∆<0 thì PT(*) vô nghiệm
Nếu ∆=0 thì PT(*) có nghiệm kép:
2
b
x
a
= −

Nếu ∆>0 thì PT(*) có 2 nghiệm phân biệt:
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
12. Cho tam thức bậc hai:
2
( ) . .f x a x b x c= + +
Khi a>0 thì f(x) đạt giá trị cực tiểu khi
2.
b
x
a
−
=
và
min
( )
4
f x
a
−∆
=
Khi a<0 thì f(x) đạt giá trị cực đại khi
2
b
x

a
−
=
và
max
4
( )
a
f x
−∆
=
(Với
acb .4
2
−=∆
)
13. Đạo hàm cấp 1 của một số hàm số đơn giản:

Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
4
(H-2)
B
CA
(H-1)
B
CA
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Hàm số Đạo hàm
y C=
1

n
y x
y
x
y x
=
=
=
/
0y =
/ 1
/
2
/
.
1
1
2.
n
y n x
y
x
y
x
−
=
= −
=
.
.

y C u
y u v
y u v
C
y
u
u
y
v
y u
=
= ±
=
=
=
=
/ /
/ / /
/ / /
/
/
2
/ /
/
2
/
/
.
. .
.

. .
2.
y C u
y u v
y u v v u
C v
y
v
u v v u
y
v
u
y
u
=
= ±
= +
= −
−
=
=
* Đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x) là đạo hàm cấp 1 của f
/
(x)
14. Cho hàm số: y=f(x)
Hàm số y có cực trị khi đạo hàm bậc nhất y
/
=0.
Hàm số y có cực đại khi đạo hàm bậc hai y
//

âm ( y
//
<0 ), và có cực tiểu khi đạo
hàm bậc hai dương ( y
//
>0 ).
15. Hệ quả của cấp số cộng:
*
2
)1(
321
+
=++++
nn
n
*
2
)12( 531 nn =−++++
*2+4+6+…+2n=n(1+n)
II.MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP:
A. VẬT CHUYỂN ĐỘNG CÓ VẬN TỐC THAY ĐỔI.
I.VÍ DỤ MINH HOẠ:
VD1: Một học sinh đi xe đạp từ nhà đến trường với vận tốc 20km/h. Sau khi khởi
hành được 1h thì xe hỏng, phải dừng xe lại sửa xe mất 15ph. Sau đó tăng tốc độ
thêm 4km/h thì đến trường kịp giờ. Hãy tính độ dài quãng đường từ nhà đến trường
và thời gian đi hết quãng đường đó.
Bài làm:
Gọi quãng đường từ nhà đến trường là S
Quãng đường người ấy đã đi trong 30ph là:
111

.tvS =
=20.0.5=10km
Quãng đườn còn lại phải đi tiếp của người ấy là:
10
12
−=−= SSSS
Thời gian đi hết quãng đường còn lại với vận tốc mới là:
24
10
420
10
2
2
2
−
=
+
−
==
SS
v
S
t
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
5
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Thời gian dự định đến trường là:
24
10
4

1
2
1
21
1
−
++=++==
S
ttt
v
S
t
n

kmS
SS
40
24
10
4
3
30
=→
−
+=↔
Thời gian đi hết quãng đường đó là:
h
v
S
t 2

20
40
1
===
II.BÀI TẬP VẬN DỤNG:
BÀI 1: Một người đi xe đạp từ A đến B có chiều dài 24km. Nếu đi liên tục không
nghỉ thì sau 2h người đó sẽ đến B. Nhưng khi đi được 30ph, người đó dừng lại nghỉ
15ph rồi mới đi tiếp.
Hỏi ở quãng đường sau người đó phải đi với vận tốc bao nhiêu?
Đáp số: 14,4km/h
BÀI 2: Một người đi mô tô trên quãng đường dài 60km. Lúc đầu, người này dự định
đi với vận tốc 30km/h. Nhưng sau
1
4
quãng đường, người này muốn đến nơi sớm
hơn 30ph. Hỏi ở quãng đường sau người đó phải đi với vận tốc bao nhiêu?
Đáp số: 45km/h
BÀI 3: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc v
1
=12km/h. Nếu người đó tăng
tốc lên 3km/h thì đến nơi sớm hơn 1h.
a.Tìm quãng đường AB và thời gian dự định từ A đến B.
b.Ban đầu người đó đi với vận tốc v
1
=12km/hđược một quãng đường dài S
1
thì xe
ấy bị hỏng phải sửa chữa mất 15ph. Do đó trong quãng đường còn lại người ấy đi
với vận tốc v
2

=15km/h thì đến nơi vẫn sớm hơn dự định 30ph. Tìm quãng đường S
1
.
Đáp số: a, 5h
b. S
1
= 15km
BÀI 4: Một người đi xe đạp từ A đến B với dự định mất t=4h. Do nửa quãng đường
sau người ấy tăng vận tốc thêm 3km/h nên đến sớm hơn dự định 20ph.
a.Tính vận tốc dự định và quãng đường AB.
b.Nếu sau khi đi được 1h, do có việc người ấy phải ghé lại mất 30ph. Hỏi đoạn
đường còn lại người ấy phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến nơi như dự định?
Đáp số: a, 15km/h; 60km
b, 18km/h
1
4
III.PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Tính quãng đường đã đi bằng vận tốc dự định:
1 1 1
.S v t=
Tính quãng đường còn lại phải đi: S
2
=S-S
1
Tính thời gian đi quãng đường còn lại bằng vận tốc đã thay đổi:
2
2
2
S
t

v
=
Tính tổng thời gian đã sử dụng từ lúc xuất phát cho tới khi về đích:
1 2

n
t t t t= + + +
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
6
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Tính tổng quãng đường:
1
.S v t=
B. VẬT CHUYỂN ĐỘNG CÓ VẬN TỐC KHÔNG THAY ĐỔI.
I. DẠNG 1: LẬP CÔNG THỨC ĐƯỜNG ĐI, CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH VỊ
TRÍ CỦA VẬT.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
- Vẽ hình biểu diễn vị trí của các chuyển động ở thời điểm khởi hành và ở thời
điểm t; chọn chiều dương quy ước, sau đó viết phương công thức đường đi của mỗi
chuyển động sau đó suy ra công thức định vị trí của vật so với gốc.
+ Công thức đường đi:
1 1 2 2
. ; . ; S v t S v t= =
(1)
+ Công thức định vị trí:
1 01 1 2 02 2
; ; x x S x x S= ± = ±
(2)
- Thời điểm và vị trí các chuyển động gặp nhau:
Đặt phương trình:

1 2
x x= =
để giải phương trình.
- Đặt điều kiện để tính thời điểm và vị trí các chuyển động cách nhau một đoạn a
là:
1 2
x x a− =
*Chú ý:
+ Trong công thức ở (1) khi vật chuyển động cùng chiều với chiều dương quy ước
thì lấy dấu dương và ngược lại.
+
01 02;
;x x
là khoảng cách từ vật chuyển động khi xuất phát đến gốc chiều dương.
+ Công thức ở (2) chỉ đúng khi các vật chuyển động cùng một lúc.
Ví dụ vật 2 chuyển động sau vật 1 thời gian t
1
giờ thì ta có:

1 01 1
.x x v t= ±
và
2 02 2 1
.( )x x v t t= ± −
2.VÍ DỤ MINH HOẠ:
VD1: Tại hai điểm A, B trên cùng một đường thẳng cách nhau 120km, hai ô tô cùng
khởi hành một lúc chạy ngược chiều nhau. Xe đi từ A có vận tốc v
1
=30km/h. Xe đi
từ B có vận tốc v

2
=50km/h.
a.Lập công thức xác định vị trí của hai xe đối với A vào thời điểm t kể từ lúc hai xe
khởi hành.
b. Xác định thời điểm và vị trí hai xe gặp nhau.
c. Xác định thời điểm và vị trí hai xe cách nhau.
Bài làm:
Gỉa sử hai xe chuyển động trên đường thẳng ABx.
Quãng đường mỗi xe đi được sau thời gian t:
Xe đi từ A:
1
1
. 30S v t t= =
Xe đi từ B:
2 2
. 50S v t t= =
Vị trí của mỗi xe đối với điểm A:
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
7
A
B
x
M
1
M
2
A
M
1
BM

2
x
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Xe đi từ A:
1 1 1 1
30x AM x S t= ⇒ = =
(1)
Xe đi từ B:
2 2 2 2
120 . 120 50x AM AB S v t t= = − = − = −
(2)
b.Thời gian và vị trí hai xe gặp nhau:
Khi hai xe gặp nhau:
1 2
x x=
Từ (1) và (2) suy ra:
30 120 50 1,5t t t h= − ⇒ =
Thay t=1,5h vào (1) ta được:
1 2
30.1,5 45x x km= = =
Vậy sau 1,5h thì hai xe gặp nhau và vị trí gặp nhau cách A là 45km
c.Thời điểm và vị trí hai xe cách nhau L=40km
*Khi chưa gặp nhau:
2 1
120 50 30 40 80 80 1x x L t t t t h− = ⇔ − − = ⇔ = ⇒ =
*Khi đó:
1 2
30 ; 70x km x km= =
Sau khi gặp nhau:
1 2

30 120 50 40 80 160 2 .x x L t t t t h− = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ =
Khi đó:
1 2
60 ; 20x km x km= =
VD 2: Một chiếc xe phải đi từ địa điểm A đến địa điểm B trong một khoảng thời
gian qui định là t. Nếu xe chuyển động từ A đến B với vận tốc v
1
=48km/h, xe sẽ đến
sớm B sớm hơn 18phút so với thời gian qui định. Nếu xe chuyển động từ A đến B
với vận tốc v
2
=12km/h, xe sẽ đến trễ hơn 27phút so với thời gian qui định.
a. Tính chiều dài quãng đường AB và thời gian qui định t.
b. Để chuyển động từ A đến B đúng thời gian qui định t, xe chuyển động từ A đến
C ( trên AB) với vận tốc v
1
=48km/h rồi tiếp tục chuyển động từ C đến B vơíư
vận tốc v
2
=12km/h. Tính chiều dài quãng đường AC.
Bài làm:
a. Gọi chiều dài quãng đường AB và thời gian qui định lần lượt là S và t.
Ta có 18ph=0,3h; 27ph=0,45h nên công thức đừng đi của xe trong hai trường
hợp là:
1 2
.( 0,3) .( 0,45) 48( 0,3) 12( 0,45)
0,55 33 ; 48.(0,55 0,3) 12
S AB v t v t t t
t h ph AB km
= = − = + ⇔ − = +

⇒ = = = − =
Vậy chiều dài quãng đường AB là 12km và thời gian quy định là 33phút.
b. Ta có:
1 2
7,2
AC AB AC
t AC km
v v
−
+ = ⇒ =
.
Vậy chiều dài quãng đường AC là: 7,2km
3. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
BÀI 1: Cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau 20km trên cùng một đường thẳng có
hai xe khởi hành cùng chiều. Sau hai giờ xe chạy nhanh đuổi kịp xe chạy chậm. Biết
một xe có vận tốc 30km/h.
a.Tìm vận tốc xe thứ hai.
b.Tính quãng đường mà mỗi xe đi được cho đến lúc gặp nhau.
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
8
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Đáp số: a, 20km/h hoặc 40km/h
b, 60km hoặc 40km; 80km hoặc 60km
BÀI 2: Lúc 10h hai xe máy cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B cách nhau 96km
đi ngược chiều nhau. Vận tốc của xe đi từ A là 36km/h của xe đi từ B là 28km/h
a.Xác định vị trí và thời điểm hai xe gặp nhau.
b.Sau bao lâu thì hai xe cách nhau 32km.
Đáp số: a, Hai xe gặp nhau sau 1,5h; vị trí gặp nhau cách A là 54km
b, Lúc 11h hoặc 12h
BÀI 3: Hai xe ô tô chuyển động đều ngược chiều nhau từ hai địa điểm cách nhau

150km. Hỏi sau bao lâu thì chúng gặp nhau biết rằng vận tốc xe thứ nhất là 60km/h
và vận tốc xe thứ hai là 40km/h.
Đáp số: 1,5h
BÀI 4: Một ô tô chuyển động đều với vận tốc 60km/h đuổi một xe khách cách nó
50km. Biết xe khách có vận tốc là 40km/h. Hỏi sau bao lâu thì ô tô đuổi kịp xe
khách?
Đáp số: ,5h
BÀI 5:
Ba người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi. Người thứ nhất và người thứ
hai xuất phát cùng một lúc với các vận tốc tương ứng là
10
1
=v
km/h và
12
2
=v
km/h.
Người thứ ba xuất phát sau hai người nói trên 30 phút. Khoảng cách giữa hai lần gặp
của người thứ ba với hai người đi trước là
ht 1=∆
. Tìm vận tốc người thứ ba.
Đáp số: 15km/h
BÀI 6:
Lúc 7h, một người đi bộ khởi hành từ A đi về B với vận tốc v
1
=4km/h. Lúc 9h, một
người đi xe đạp cũng xuất phát từ A đi về B với vận tốc v
2
=12km/h.

a, Hai người gặp nhau lúc mấy giờ? Nơi gặp nhau cách A bao nhiêu?
b, Lúc mấy giờ, hai người đó cách nhau 2km.
Đáp số: a, 10h; 12km; b, 9h45ph hoặc 10h15ph
BÀI 7:
An và Bình cùng đi từ A đến B (AB=6km). An đi với vận tốc v
1
=12km/h, Bình
khởi hành sau An 15ph và đến nơi sau An 30ph.
a, Tìm vận tốc của Bình.
b, Để đến nơi cùng lúc với An, Bình phải đi với vận tốc bao nhiêu?
Đáp số: a, 8km/h
b, 24km/h
BÀI 8:
Lúc 6h một người đi xe đạp xuất phát từ A đi về B với vận tốc v
1
=12km/h. Sau đó
2h, một người đi bộ từ B về A với vận tốc v
2
=4km/h. Biết AB=48km
a, Hai người gặp nhau lúc mấy giờ? Nơi gặp nhau cách A bao nhiêu km?
b, Nếu người đi xe đạp sau khi đi được 2h rồi nghỉ 1h thì hai người gặp nhau lúc
mấy giờ? Nơi gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
9
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Đáp số: a, 9h30ph; 42km
b, 10h15ph; 39km
II.DẠNG 2: MỘT VẬT ĐI THEO NHIỀU CÁCH HOẶC NHIỀU VẬT CÙNG
CHUYỂN ĐỘNG TRÊN CÙNG MỘT QUÃNG ĐƯỜNG.
1. Phương pháp giải:

- Tính tổng thời gian đi theo mỗi cách hoặc của mỗi vật kể từ lúc xuất phát
cho tới khi về đích hoặc tới lúc gặp nhau.
- Căn cứ vào đầu bài lập phương trình về mối quan hệ giữa thời gian của các
cách hoặc các vật.
- Giải hệ phương trình vừa xác lập, để tìm kết quả
Chú ý: Nếu các vật cùng xuất phát và gặp nhau hay cùng về đích thì bao giờ
tổng thời gian của các vật cũng luôn luôn bằng nhau.
2. Ví dụ minh họa:
VD1: Long có việc cần phải ra bưu điện. Long có thể đi bộ với vận tốc 5km/h hoặc
cũng có thể chờ 20phút thì sẽ có xe buýt dừng trước của nhà và đi xe buýt ra bưu
điện với vận tốc 30km/h. Long nên chọn cách nào để đến bưu điện sớm hơn.
Bài làm:
Gọi quãng đường từ nhà đến bưu điện là S
Thời gian Long đi bộ là:
5
1
1
S
v
S
t ==
Thời gian Long đi bằng xe buýt và chờ là:
30
10
303
1
3
1
2
2

+
=+=+=
SS
v
S
t
Xét hiệu:
6
2
21
−
=−=∆
S
ttt
(*)
Từ (*) thấy: S>2 thì t
1
>t
2
nên chọn cách đi xe buýt
S<2 thì t
1
<t
2
nên chọn cách đi bộ.
VD2: Một người đi xe đạp với vận tốc 8km/h và một người đi bộ với vận tốc 4km/h,
khởi hành cùng một lúc, ở cùng một nời và chuyển động ngược chiều nhau. Sau khi
đi được 30ph, người đi xe đạp dừng lại nghỉ 30ph rồi quay trở lại đuổi theo người đi
bộ( với vận tốc như cũ). Hỏi kể từ lúc khởi hành, sau bao lâu người đi xe đạp đuổi
kịp người đi bộ?

Bài làm:

→
1
V
→
2
V
Giả sử cùng xuất phát tại A người đi xe về B là nơi nghỉ; người đi bộ về nơi C là nơi
gặp.
Gọi thời gian từ khởi hành đến nơi gặp là t.
Thời gian người đi bộ từ A đến C là t
1
=t (1)
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
10
A
C B
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Thời gian người đi xe từ lúc khởi hành tới C là:
ttvAC
AC
v
AC
t 4.;
82
3
2
1
2

1
2
1
2
1
2
==+=+++=
. Nên
22
3
2
t
t +=
(2)
Do cùng xuất phát lại cùng gặp nhau tại C nên:
21
tt =
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:t=3h
Vậy sau khởi hành 3h thì người đi xe đuổi kịp người đi bộ.
VD3: Hai chị em Vinh và Tôn ở cách trường 27km mà chỉ có một xe đạp không chở
được hai người. Vận tốc của Vinh khi đi bộ và khi đi xe đạp lần lượt là 5km/h và
15km/h, còn Tôn là 4km/h và 12km/h. Nếu muốn xuất phát và đến nơi cùng lúc thì
hai chị em phải thay nhau dùng xe như thế nào? Xe đạp có thể dựng bên đường và
thời gian lên xuống xe không đáng kể.
Bài làm:
Giả sử Vinh đi xe trên đoạn x và đi bộ trên đoạn 27-x thì suy ra Tôn đi bộ trên đoạn
x và đi xe trên đoạn 27-x.
Thời gian Vinh bằng thời gian Tôn đi:
5,10

12
27
45
27
15
=→
−
+=
−
+ x
xxxx
km
Vậy: Vinh đi xe 10,5km rồi để xe bên đường, đi bộ tiếp 16,5km để đến trường. Tôn
xuất phát cùng lúc với Vinh, đi bộ 10,5km thì gặp xe Tôn đạp xe trên quãng đường
16,5km và đến trường cùng với Vinh.
Hoặc ngược lại: Tôn đạp xe 16,5km rồi đi bộ 10,5km. Vinh đi bộ 16,5km rồi đạp xe
10,5km.
III. DẠNG 3: TÌM PHƯƠNG CHUYỂN ĐỘNG ĐỂ NGƯỜI VÀ XE ĐẾN CÙNG
MỘT LÚC.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Cách 1:Dựa vào các căn cứ sau:
+ Định lý làm Sin: Cho ∆ ABC bất kỳ ta có:
in
a b c
S A SinB SinC
= =
+ Định lý hàm cos: Cho ∆ABC bất kỳ ta có:
Abccba cos.2
222
−+=


Bcaacb cos.2
222
−+=

( Với BC=a; AC=b; AB=c )
+ Công thức lượng giác trong tam giác vuông.
+ Công thức hợp vận tốc theo quy tắc hình bình hành.
+ Hướng của véc tơ vận tốc cho biết hướng chuyển động của vật.
+ Biến đồi đại lượng cần tìm dưới dạng phân số sao cho tử không đổi.
+ Đại lượng vật lý đó cực tiểu khi mẫu đạt giá trị cực đại và ngược lại.
Cách 2: Dựa vào đạo hàm:
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
11
Cabbac cos.2
222
−+=
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Cho hàm số: y=f(x).Hàm số y có cực trị khi đạo hàm bậc nhất y
/
=0. Hàm số y có
cực đại khi đạo hàm bậc hai y
//
âm ( y
//
<0 ), và có cực tiểu khi đạo hàm bậc hai
dương ( y
//
>0 ).
2. VÍ DỤ MINH HỌA:

VD1: Một người đứng ở A cách đường quốc lộ h=100m nhìn thấy một xe ô tô vừa
đến B cách mình d=500m đang chạy trên đường với vận tốc v
1
=50km/h (hình vẽ).
Đúng lúc nhìn thấy xe thì người ấy chạy theo hướng AC (
BAC
α
∠ =
) với vận tốc v
2
.
a. Biết
3
20
2
=v
km/h. Tính
α
b.
α
bằng bao nhiêu thì
2
v
cực tiểu? Tính vận tốc cực tiểu đó.
Bài làm:
Gọi t là thời gian để ô tô và người đi đến C. Ta có:

2 1
. ; .AC v t BC v t= =
Theo định lý hàm sin có:

Mặt khác:
sin (2)
h
d
β
=
Từ (1) và (2) suy ra:
1
2
.
sin
.
v h
v d
α
=
(3)
=>
0 0
3
sin 60 ; 120
2
α α α
= ⇒ = =
b. Từ (3) =>
1
2
.
(*)
.sin

v h
v
d
α
=
Ta thấy v
1
, h, d không đổi nên v
2
min khi
0
901sin =→=
αα
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
12
A
2 1
1
2
sin sin
. .
sin sin
sin .sin (1)
AC BC
v t v t
v
v
β α
β α
α β

=
⇔ =
⇒ =
2
v
uur
C
H
B
h
d
1
v
ur
∝
β
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Lúc đó:
1
2(min)
.
10 /
h v
v km h
h
= =
VD 2: Hai người ban đầu ở các vị trí A và B trên hai con đoạn đường song song
với nhau và cách nhau L=540m, AB vuông góc với hai con đường.
Giữa hai con đường là một cánh đồng. Người I chuyển động trên đường từ A với
vận tốc v

1
=4m/s. Người II khởi hành từ B cùng lúc với người I và muốn chuyển
động đến gặp người này. Vận tốc chuyển động của người II đi trên cánh đồng là
v
2
=5m/s và khi đi trên đường là v
3
=13m/s.
a.Người II đi trên cánh đồng từ B đến C và gặp người I tại C như (H-1). Tính thời
gian chuyển động của hai người khi đến C và khoảng cách AC.
b. Người hai đi trên đường từ B đến M, đi trên cánh đồng từ M đến D và gặp người
I tại D như ( H-2), sao cho thời gian chuyển động của hai người đến lúc gặp nhau là
ngắn nhất. Tìm thời gian chuyển động này và các khoảng cách BM, AD.
Bài giải:
a.
Gọi t là thời gian chuyển động.
Theo (H-1): AC=v
1
.t (1)
BC=v
2
.t (2)
Mặt khác:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
. .AB AC BC L v t v t+ = ⇔ + =
2 2
2 1
180
L

t s
v v
⇒ = =
−
Từ (1) có : AC=v
1
.t
1
=4.140=720m
b.
Người I đi trên AD hết t
1
(s); người II đi
trênBM hết t
2
(s) và đi trên MD hết t
3
(s)
Ta có:
1 2 3
t t t= +
(3)
Trong tam giác vuông MND có:
2 2 2
MD MN ND= +
2 2 2 2 2 2 2
2 3 1 1 3 2 3 1 2
. ( . . ) 25. 540 (4. 13 )v t L v t v t t t t⇔ = + − ⇔ = + −
(4)
Từ (3) suy ra:

3 1 2
t t t= −
(5)
Từ (4) và (5) suy ra:
2 2
1 2 1 2
6 . 16. 32400 0t t t t+ − − =
(*)
PT(*) có ∆=
2 2 2 2
2 2 2 2 2
(6 ) 4(16 32400) 36 64 129600 129600 100t t t t t+ + = + + = +
2 2
2
10 ( 1296)t= +
PT(*) có 2 nghiệm:
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
13
AA C
B M
D
B
H-2H-1
D
M
N
A
B
v
2

v
1
V
3
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật

2 2
2 2 2
1 2 2
6 10 ( 1296)
5. ( 1296) 3
2
t t
t t t
− + +
= = + −
(6)
2 2
2 2/ 2
1 2 2
6 10 ( 1296)
5 ( 1296) 3
2
t t
t t t
− − +
= = − + −
< 0 (Loại vì t

> 0)

Đặt f(t
1
)
2
2 2
5 1296 3t t= + −
=>
1
/
2
( )
2
2
5
3
1296
t
t
f
t
= −
+
Ta thấy f(t
1
) đạt cực tiểu khi
1
/
( )
0
t

f =
2
2
2
5
3 0
1296
t
t
⇔ − =
+
2 2
2 2
2
2
2
25 9 11664
16. 11664
27
t t
t
t s
⇔ = +
⇔ =
⇒ =
Thay vào (6) ta được: t
1
=144s
Quãng đường BM có độ dài là: BM=v
3

.t
2
=13.27=351m.
Quãng đường AD có độ dài là: AD=v
1
.t
1
=4.144=576m.
2.BÀI TẬP VẬN DỤNG:
BÀI 1:
Một người A đi xe đạp trên đường thẳng Ox theo
chiều từ trái sang phải, xuất phát từ M cách O là
OM=800m, với vận tốc không đổi V=4,2m/s.
Một người B đi bộ trên cánh đồng xuất phát từ điểm H cách O là OH=173,2m
( 100 3 )m=
vận tốc không đổi v=1,2m/s theo một
đường thẳng HN để gặp được A tại N. Hãy xác định vị trí của N nếu 2 người đến
cùng một lúc.
Bài làm:
Gọi t là thời gian người đi xe đạp từ M đến N và người đi bộ đi từ H đến N.
Đặt : NO=x (mét)
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
14
M
N O
H
∝
M
V
O

H
∝
N
v
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Ta có: MN= 800-x;
2 2 2 2
173,2HN NO HO x= + = +
Theo bài có:
2 2
800 173,2
4,2 1,2
MN HN x x
t
V v
− +
= = ⇔ =

242,2x m⇒ =
Vậy vị trí của N cách O là 242,2m
BÀI 2: Một ô tô đang chạy trên đường AX với vận tốc
v
1
=8m/s. Tại thời điểm bắt đầu quan sát một người đứng cách
đường một khoảng d= 20m và cách ô tô một khoảng L=160m
( Hình vẽ). Người ấy phải chạy theo hướng nào để đến gặp ô tô
và chạy bao lâu thì gặp? Vận tốc chạy của người là v
2
=2m/s
Bài làm:

Gọi α là góc cần tìm, C là vị trí ô tô và người gặp nhau,
t là thời gian ô tô và người đi.
Độ dài quãng đường AC;CB lần lượt là:
AC= v
1
.t; CB=v
2
.t
Theo định lý hàm sin ta có:
βα
sinsin
LAC
=
(1)
Mặt khác: sinβ=sin(BCH)
2
1
2
1
===
Lv
dV
BC
BH
(2)
=> α=30
0
hoặc 150
0
.

Vậy có 2 cách chạy:
a. Khi α=30
0
có nghĩa là người đó chạy theo hướng BC
Theo hình vẽ có: sinγ
8
1
==
L
d
=>γ=7
0
10
/
và β=142
0
50
/
. Sinβ
CB
L
=
=>CB
m
Sin
L
1,33
604,0
20
===

β
Thời gian ô tô và người đó gặp nhau là: t
s
v
BC
5,16
2
==
b. α =150
0
có nghĩa là người đó chạy theo hướng BD
Theo trên γ=7
0
10
/
.Nên β
/
=22
0
50
/.
Ta có: Sinβ
/
m
d
BD
BD
d
53,51
sin

/
===>=
β
Vậy thời gian ô tô và người đó chạy gặp nhau là:
t
s
v
BD
8,25
2
53,51
2
===
BÀI 3:
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
15
B
L
d
A
H
A γ
B
C H D
β
∝
β
/
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Một người đứng cách con đường thẳng một khoảng h. Trên đường một ô tô đang

chạy với vận tốc v
1
. Khi người ấy thấy xe cách mình một khoảng a thì bắt đầu chạy
ra đường để đón ô tô.
a.Nếu vận tốc chạy của của người ấy là v
2
thì người ấy phải chạy theo hướng nào để
gặp được ô tô.
b.Tính vận tốc tối thiểu và hướng chạy của người để gặp được ô tô.
Áp dụng: v
1
=10m/s; h=50m; a=200m; v
2
=3m/s
Bài giải:
a.Hướng người chạy đến gặp ô tô:
Thời gian người chạy ít hơn hoặc bằng thời gian xe chạy đến chỗ gặp:
2 1
2 1
BD AD
t t
v v
= ≤ =
1
2
vAD
BD v
⇒ ≥
(1)
Ta có:

AD BD
SinB SinA
=
AD SinB a
SinB
BD SinA h
⇒ = =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
1
2
va
SinB
h v
≥
(3)
1
2
. 50.10
0,833333333
. 200.3
h v
SinB
a v
⇒ ≥ = =

0 / 0 /
56 30 123 30B⇒ ≤ ≤
b.Vận tốc tối thiểu và hướng chạy:
Từ (3)

1
2 2 min
.
;
.
h v
v v v
a SinB
⇒ ≥ =
khi Sin B=1=> B=90
0
. Vậy :
2min 1
2,5 /
h
v v m s
a
= =
Vậy người chạy theo hướng vuông góc với AB
BÀI 4:
Tàu A đi theo đường thẳng AC với vận tốc v
1
.
Ban đầu, tàu B cách tàu A một khoảng AB=L.
Đoạn AB làm với BH một góc
α
(như hình vẽ).
Độ lớn vận tốc của tàu B là v
2
.

a. Tàu B phải đi theo hướng nào để đến gặp tàu A
và sau thời gian bao lâu thì gặp nhau?
b.Tìm điều kiện để hai tàu gặp nhau tại H.
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
16
A
B
H DC
a
h
v
2
v
1
v
1
H
B
A
L
∝
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Bài làm:
Ta có:
1
2
v AD
v DB
=
. Theo định lý hàm sin:

1 2 1 2
(90 )
v v v v
Sin Sin Sin Cos
α α α α
= ↔ =
−
(1)
Mặt khác:
αβ
α
β
Cos
v
v
Sin
Sin
v
Sin
v
.
)90(
2
1
0
21
=⇔
−
=
( với

21
cos. vv ≤
α
vì
1≤
β
Sin
)
Các hình chiếu vận tốc của hai tàu xuống AB là
α
sin.
1
v
và
β
cos.
2
v
Thời gian để hai tàu gặp nhau là:
1 2
.sin .cos
L
t
v v
α β
=
+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
1

.sin
.cos( )
L
t
v
β
α β
=
−
b.
1
1 2 2
.sin .cos vL L
t tg
v v v
α α
α
= = ⇒ =
IV.DẠNG 4: HAI XE CHUYỂN ĐỘNG THEO HAI PHƯƠNG VUÔNG GÓC
VÀ CÁC YẾU TỐ KHÁC LIÊN QUAN
1.PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Dựa vào các căn cứ:
- Biểu diễn các véc tơ vận tốc theo quy tắc hình bình hành trên hình vẽ ( tuỳ bài
toán).
- Dựa vào hướng của véc tơ ta xác định được hướng chạy của vật chuyển động.
- Tìm độ lớn vận tốc theo quy tắc hình học.
- Sử dụng định lý Pitgo.
- Sử dụng tam thức bậc hai.
- Sử dụng tính chất không âm của một bình phương:
2 2

min
0 0A A≥ ⇒ =
- Sử dụng BĐT Cô si.
2.VÍ DỤ MINH HOẠ:
VD 1: Một người đứng cách một đường thẳng một đoạn h = 50m. Ở trên đường có
một ô tô đang chạy lại gần anh ta với vận tốc V
1
=10m/s. Khi người ấy thấy ô tô còn
cách mình 130m thì bắt đầu chạy ra đường để đón ô tô theo hướng vuông góc với
mặt đường. Hỏi người ấy phải chạy với vận tốc bao nhiêu để có thể gặp được ô tô?
Bài làm:
Theo định lý Pitago thì chiều dài đoạn AB là:
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
17
A
B
130m
H=50m
m
C
v
1
v
2
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
2 2 2 2 2
120AB AC CB AB AB CB m= − ⇒ = − =
Thời gian ô tô đi từ A đến B là:
1
120

12
10
AB
t s
v
= = =
Người ấy chạy từ C đến B và gặp ô tô thì cần có vận tốc là:
2
50
4,2 /
12
CB
v m s
t
= = =
VD 2: Trong hệ trục toạ độ xOy (như hình vẽ), có hai vật nhỏ A và B chuyển động
thẳng đều. Lúc bắt đầu chuyển động, vật A cách vật B một đoạn L=100m.
Biết vận tốc của vật A là v
1
=10m/s theo hướng Ox , vận tốc
của vật B là v
2
=15m/s theo hướng Oy.
a.Sau thời gian bao lâu kể từ lúc bắt đầu chuyển động, hai vật
A và B lại cách nhau 100m.
b.Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B.
Bài làm:
a. Tìm thời gian hai vật từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi cách nhau 100m
Quãng đường mà vật A, B đi được sau thời gian t giây lần lượt là:
AC=S

1
= v
1
.t ; AD=v
2
.t
Công thức xác định vị trí của hai vật A, B so với gốc toạ độ O lần lượt là:
S
A
=S
1
=v
1
.t ; S
B
=S
2
= L- v
2
.t
Khoảng cách giữa hai vật A và B sau thời gian t là:
2 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 2
. ( . )
( ). 2. . . 0
S S S v t L v t
v v t L v t L S
= + = + −

⇔ + − + − =
02100100.15.100.2).1510(
22222
=−+−+⇔ tt
030003250)3000325( =−⇔=−⇔ ttt
( vì t
0≠
)

9,23t s⇒ ≈
Vậy sau 9,23 s kể từ lúc bắt đầu chuyển động, hai vật A và B lại cách nhau 100m
b.Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B
Cách 1: Dùng tam thức bậc hai.
Xét tam thức hậc hai:
2 2 2 2 2
1 2 2
( ). 2 . . ( )v v t L v t L S f t+ − + = =
Dễ thấy:

2 2
1
min
2 2
1 2
1
min
2 2
1 2
min
.

( )
4.
.
55,47
L v
f t
a v v
L v
S
v v
S m
∆
= − =
+
⇒ =
+
⇒ ≈
Cách 2: Sử dụng tính chất không âm của một bình phương:
00
min
2
=⇒≥ AA
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
18
x
y
A
O
1
v

ur
B
2
v
uur
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Theo phần (a), ta có:
22
2
22
2
2
1
2).( SLtvLtvv =+−+
100003000325
22
+−=⇔ ttS
325
=








+







−
2
2
2
325
1000
325
1500
t
325
1000
2
≥
Nên
mS 47,55
325
1000
min
≈=
2.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
BÀI 1: Hai xe đạp đi theo hai đường vuông góc, xe A đi về hướng tây với vận tốc
25km/h, xe B đi về hướng Nam với vận tốc 15km/h. Lúc t=0, A và B còn cách giao
điểm hai đường lần lượt là 2,2km và 2km và tiến lại về phía giao điểm. Tìm thời
điểm mà khoảng cách giữa hai xe:
a. Nhỏ nhất.
b. Bằng khoảng cách ban đầu.

Hướng dẫn:
Cách 1:
a.Lấy trục toạ độ trùng với hai đường ( hình vẽ)
Công thức xác định vị trí của 2 xe A và B là:
2,2 25.
2 15
x t
y t
= −
= −
2 2 2 2
850 170 8,84 ( )S x y t t f t= + = − + =
b.Gọi S
0
là khoảng cách ban đầu:
2
0
8,84S m=
2 2
0
0,2 12S S t h ph= ⇒ = =

Cách 2:
Sau thời gian t xe đi từ A và B đi được quãng đường là:

1
.AC v t=
;
2
.BD v t=

Khi đó xe đi từ A, B cách O lần lượt là:
1 2
0 . ; 2 .OC A v t OD OB BD v t= − = − = −
Ta có:
2 2 2
S OC OD t= + ⇒
*
2 2 2 2 2
0
2,2 2S OA OB= + = +
*Theo giả thiết:
2 2
0 min
S S S= ⇒
BÀI 2:
Một xe ô tô đua xuất phát từ A
muốn đến điểm C trong thời gian
dự định t=1h. Xe đi theo quãng
đường AB rồi BC, đi trên quãng đường AB
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
19
B
∝=30
0
A
C
A
B
x
y

O
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
với vận tốc gấp đôi vận tốc trên quãng đường BC. Biết khoảng cách từ A đến C là
60km v à g óc
0
30=
α
. Tính vận tốc của trên quãng đường AB v à AC. Lấy
73,13 =
.
Hướng dẫn:
0
.cos30 51,9AB AC km= =
;
0
.sin 30 30BC AC km= =
.
Gọi v
1
, v
2
là vận tốc của xe trên AB,BC
v
1
=2v
2
; t
1
, t
2

là thời gian xe chuyển động trên các quãng đường AB, BC
1
1
AB
t
v
=
;
2
2 1
60BC
t
v v
= =
. Mà:
1 2
1t t+ =
=> v
1
=111,9km/h và v
2
=55,95km/h
D. BÀI TẬP TỔNG HỢP:
BÀI 1:
Hai tàu A và B chuyển động đều với cùng vận tốc v. Chúng khởi hành cùng lúc tại
hai địa điểm cách nhau là 3km trên một bờ biển thẳng. Tàu A ra khơi theo hướng
vuông góc với bờ. Tàu B thì luôn hướng về phía tàu A. Sau một thời gian chuyển
động giữa hai tàu có một khoảng cách không đổi. Tính khoảng cách không đổi đó.
Đáp số: 1,5km
BÀI 2:

Một chiếc xe phải đi từ địa điểm A đến địa điểm B trong một khoảng thời gian qui
định là t. Nếu xe chuyển động từ A đến B với vận tốc v
1
=48km/h, xe sẽ đến sớm B
sớm hơn 18phút so với thời gian qui định. Nếu xe chuyển động từ A đến B với vận
tốc v
2
=12km/h, xe sẽ đến trễ hơn 27ph so với thời gian qui định.
a.Tính chiều dài quãng đường AB và thời gian qui định t.
b.Để chuyển động từ A đến B đúng thời gian qui định t, xe chuyển động từ A đến
C ( trên AB) với vận tốc v
1
=48km/h rồi tiếp tục chuyển động từ C đến B với vận tốc
v
2
=12km/h. Tính chiều dài quãng đường AC.
Đáp số: a.12km; b. 7,2km
BÀI 3:
Minh và Nam đứng ở hai điểm cách nhau 750m trên một bãi sông. Khoảng cách từ
M đến sông là 150m, từ N đến sông là 600m. Tính thời gian ngắn nhất để minh chạy
ra sông múc một thùng nước mang đến chỗ Nam. Cho biết đoạn sông thẳng, vận tốc
chạy của Minh không đổi v=2m/s; bỏ qua thời gian múc nước.
Đáp số: 480,2 giây
BÀI 4:
Một ô tô xuất phát từ điểm A trên đường cái để đi đến điểm B trên bãi đỗ xe.
Khoảng cách từ B đến đường cái là BC=h.
Vận tốc của ô tô trên đường cái là v
1
và trên
bãi xe là v

2
(v
1
>v
2
). Hỏi ô tô phải rời đường
cái từ D cách điểm C một khoảng bao nhiêu
để thời gian từ A đến B là ngắn nhất.
BÀI 5:
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
20
A
B
B
A D
C
h
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
Từ 2 bến A, B trên cùng một bờ sông có hai ca nô cùng khởi hành. Khi nước chảy,
do sức đẩy của động cơ, chiếc ca nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ A đến
B có vận tốc; còn chiếc ca nô từ B chạy vuông góc với bờ có vận
tốc 18km/h. Quãng đường AB là 1km.
Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao
nhiêu nếu nước chảy từ A đến B với vận tốc 6km/h.( Biết rằng sức đẩy của các động
cơ không thay đổi) .
Đáp số:0,6km
BÀI 6:
Một người A đi xe đạp trên đường thẳng Ox theo chiều từ trái sang phải,
xuất phát từ M cách O là OM=800m, với vận tốc
không đổi V=4,2m/s. Một người B đi bộ trên cánh

đồng xuất phát từ điểm H cách O là OH=173,2m
( 100 3 )m=
vận tốc không đổi v=1,2m/s theo một
đường thẳng HN để gặp được A tại N. Hãy xác định góc
α
để hai người đến cùng một lúc.
BÀI 7:
Hai con tàu chuyển động trên cùng một đường thẳng với cùng vận tốc vận tốc
không đổi v, hướng tới gặp nhau. Kích thước các con tàu rất nhỏ so với khoảng cách
giữa chúng. Khi hai tàu cách nhau một khoảng L thì một con Hải Âu từ tàu A bay
với vận tốc u (u>v) đến gặp tàu B ( lần 1), khi tới tàu B nó bay ngay lại tàu A
( lần gặp hai), khi tới tàu A nó bay ngay lại tàu B( lần gặp 3),…
a. Tính tổng quãng đường con Hải Âu bay được khi hai tàu còn cách nhau một
khoảng l < L.
b. Tổng quãng đường con Hải Âu bay được.
Đáp số: a,
v
lL
uS
2
.
−
=
b,















+
−
++
+
−
+
+
=
−1
1
n
vu
vu
vu
vu
vu
L
uS
BÀI 8:
Hai địa điểm A và B cách nhau 700m. Xe I khởi hành từ Achuyển động thẳng đều
đến B với vận tốc v
1

. Xe II khởi hành từ B cùng lúc với xe I, chuyển động thẳng đều
với vận tốc v
2
. Cho biết:
- Khi xe II chuyển động trên đường AB về phía A, hai xe gặp nhau sau khi
chuyển động được 50s.
- Khi xe II chuyển động trên đường AB ra xa A, hai xe gặp nhau sau khi chuyển
động được 350s.
a.Tìm v
1
; v
2
.
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
21
M
O
∝
N
H
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
b.Nếu xe II di chuyển động trên đường vuông góc với AB thì sau bao lâu khi chuyển
động khoảng cách giữa hai xe là ngắn nhất, khoảng cách ngắn nhất này là bao
nhiêu?
Đáp số:a, 8m/s và 6m/s
b, 56s; 420m
BÀI 9:
Mèo Tôm và Jerny đồng thời xuất phát đuổi nhau trên một đường thẳng, khoảng
cách ban đầu giữa chúng là S=36m. Jerny chạy ra xa khỏi Tôm, còn vận tốc ban đầu
c ủa của Tôm là v

0
=14m/s. Do mệt nên cứ sau mỗi khoảng thời gian ∆t=10s, vận tốc
của Tom giảm đi một lượng ∆v=1m/s. Je rny cần chạy với vận tốc như thế nào để
Tôm không bắt được?
Đáp số:Jerry phải chạy với vận tốc lớn hơn 11,8m/s
BÀI 10:
Trên một đường đua thẳng, hai bên lề đường có hai hàng dọc các vận động viên
chuyển động theo cùng một hướng: một hàng là các vận động viên chạy việt dã và
hàng kia là các vận động viên đua xe đạp. Biết rằng các vận động viên chạy việt dã
chạy đều với vận tốc 20km/h và khoảng cách giữa hai người liền kề nhau trong hàng
là 20m; những con số tương ứng đối với các hàng vận động viên đua xe đạp là
40km/h và 30m. Hỏi những người quan sát cần phải chuyển động trên đường với
vận tốc bằng bao nhiêu để mỗi lần khi một vận dộng viên đua xe đạp đuổi kịp anh ta
thì chính lúc đó anh ta lại đuổi kịp vận động viên chạy việt dã tiếp theo?
Đáp số: 28km/h
BÀI 11:
Lúc 6h một người đi xe đạp xuất phát từ A đi về B với vận tốc không đổi
v
1
=12km/h, cùng lúc đó một người đi bộ từ B về A với vận tốc không đổi v
2
=4km/h,
biết quãng đường AB dài 48km.
a.Hai người gặp nhau lúc mấy giờ.
b.Nơi gặp nhau cách A bao nhiêu?
Đáp số: a, 9h
b, 36km
BÀI 12:
Trong một buổi tập thể lực, hai vận động viên
A và B chạy vòng trên một con đường

MNPQ có dạng một hình chữ nhật. Họ đồng
thời xuất phát tại hai vị trí A và B cách nhau
Hai người chạy đuổi nhau theo cùng chiều
và có cùng một cách chạy. Khi chạy trên MN
hoặc PQ thì chạy với vận tốc có độ lớn v
1
, khi
chạy trên NP và MQ thì chạy với vận tốc v
2
.
Thời gian chạy trên MN, trên NP, trên PQ
và trên QM là như nhau. Cho MQ=2MN
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
22
v
1
v
1
A
B
M Q
PN
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
a.Tính tỉ số
2
1
v
v
và khoảng cách giữa hai vận động viên A và B khi hai người cùng
chạy trên cạnh NP.

b. Tính khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai vận động viên A và B trong quá
trình chạy trên.
Đáp số: a,
=
2
1
v
v
2; 2L
b, Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai người là
5
4
.L
; Khoảng cách cực đại
giữa hai người là 2L
BÀI 13:
Long có việc cần phải ra bưu điện. Long có thể đi bộ với vận tốc 5km/h hoặc cũng
có thể chờ 20phút thì sẽ có xe buýt dừng trước của nhà và đi xe buýt ra bưu điện với
vận tốc 30km/h. Long nên chọn cách nào để đến bưu điện sớm hơn.
BÀI 14:
Ông Bình định đi xe máy từ nhà đến cơ quan, nhưng xe không nổ được máy, nên
đành đi bộ. Ở nhà, con ông sửa được xe, liền lấy xe đuổi theo để đèo ông đi tiếp.
Nhờ đó, thời gian tổng cộng để ông đến cơ quan bằng nửa thời gian nếu ông phải đi
bộ suốt quãng đường, nhưng cũng vẫn gấp ba thời gian nếu ông đi xe máy ngay từ
nhà. Hỏi ông đã đi bộ được mấy phần quãng đường thì con ông đuổi kịp?
Đáp số: Ông Bình đã đi được 2/5 quãng đường
BÀI 15:
Tâm đi thăm một người bạn cách nhà mình 22km bằng xe đạp. Chú Tâm bảo Tâm
chờ 10ph và dùng xe mô tô đèo Tâm với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 15ph xe
hư phải chờ sửa xe trong 30ph. Sau đó chú Tâm và Tâm tiếp tục đi với vận tốc là

10m/s. Tâm đến nhà sớm hơn dự định đi xe đạp là 25ph. Hỏi nếu đi xe đạp thì Tâm
phải đi với vận tốc bao nhiêu?
Đáp số: 13,2km/h
BÀI 16:
Một viên bi được thả lăn từ đỉnh một cái dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh
dần và quãng đường mà bi đi được trong giây thứ i là
24 −= iS
i
(m); i=1;2;3…;n.
a. Tính quãng đường mà bi đi được: trong giây thứ hai; sau hai giây
b. Chứng minh rằng quãng đường tổng cộng mà bi đi được sau n giây (i và n là các
số tự nhiên) là:
2
)(
.2 nL
n
=
(mét)
Đáp số: a,
mSSLmSmS 8;622.4;221.4
21221
=+==−==−=
b.
2
21
22) 21(4 nnnSSSL
nn
=−+++=+++=
BÀI 17:
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc

23
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
I.Một người ngồi trên tàu hỏa đang chuyển động thẳng đều, cứ 40 giây thì nghe
thấy 62 tiếng đập của bánh xe xuống chỗ nối 2 thanh ray. Tính vận tốc của tàu
hỏa ra cm/s; km/h. Biết mỗi thanh ray có độ dài l
0
=10m. Bỏ qua kích thước khe
hở giữa hai thanh ray.
II. Một người khác ngồi trong toa tàu nói trên, nhìn thẳng qua cửa sổ thấy cứ 44,2
giây lại có 14 cột điện lướt qua mình. Tìm khoảng cách giữa 2 cột điện kế tiếp.
Biết rằng các cột điện cách đều nhau và thẳng hàng theo đường thẳng song song
với đường ray.
Đáp số: I)1525cm/s=54,9km/h
II) 51,85m
BÀI 18:
Ba bạn Minh, Toàn và Thắng cùng khởi hành từ A vào lúc 7h30ph để đi đến B, theo
cùng một đường thẳng. Quãng đường AB=9km. Do chỉ có một xe đạp nên Minh trở
Toàn đến B với vận tốc v
1
=15km/h rồi ngay lập tức quay lại đón thắng.Trong lúc đó,
Thắng đi bộ với vận tiốc v
3
=5km/h.
a. Thắng đến B lúc mấy giờ? Quãng đường mà Thắng phải đi bộ là bao nhiêu km?
b. Để Minh và Thắng đến B vào lúc 8h30phút thì Minh thả Toàn tại một địa điểm
nào đó để đi bộ, còn Minh ngay lập tức quay lại đón Thắng. Tìm quãng đường đi
bộ của Toàn và Thắng. Toàn đến B lúc mấy giờ? Biết vận tốc đi bộ của Toàn là
v
2
=6km/h và vận tốc đi xe đạp của Minh không đổi.

Đáp số: a, 8h42phút; 4,5km
b, 3km; 8h24phút
BÀI 19:
Hai xe cùng khởi hành từ một nơi và cùng đi quãng đường 60km. Xe một đi với vận
tốc 30km/h, đi liên tục khônbg nghỉ và đến nơi sớm hơn xe hai 30ph. Xe hai khởi
hành sớm hơn 1h, nhưng nghỉ giữa đường 45ph. Hỏi:
a, Vận tốc của xe hai.
b, Muốn đến nơi cùng lúc với xe một, thì xe hai phải đi với vận tốc là bao nhiêu?
Đáp số: a. 21,8km/h
b, 26,6km/h
BÀI 20:
Một người đến bến xe buýt chậm 20ph sau khi xe buýt đã rời bến A, người đó bèn
đi taxi đuổi theo để kịp xe buýt ở bến B kế tiếp. Taxi đuổi kịp xe buýt khi nó đã đi
được
3
2
quãng đường từ A đến B. Hỏi người này phải đợi xe buýtbở bến B bao lâu?
Coi chuyển động của các xe là chuyển động đều.
Đáp số:10ph
BÀI 21:
Hai chị em Vinh và Tôn ở cách trường 27km mà chỉ có một xe đạp không chở
được hai người. Vận tốc của Vinh khi đi bộ và khi đi xe đạp lần lượt là 5km/h và
15km/h, còn Tôn là 4km/h và 12km/h. Nếu muốn xuất phát và đến nơi cùng lúc thì
Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
24
Chuyên đề: Quãng đường đi của các vật
hai chị em phải thay nhau dùng xe như thế nào? )Xe đạp có thể dựng bên đường và
thời gian lên xuống xe không đáng kể). Mỗi người chỉ đi xe đạp một lần.
Đáp số: Vinh đi xe 10,5km rồi để xe bên đường, đi bộ tiếp 16,5km để đến
trường. Tôn xuất phát cùng lúc với Vinh, đi bộ 10,5km thì gặp xe Tônđạp xe

trên quãng đường 16,5km và đến trường cùng với Vinh.
Hoặc ngược lại: Tôn đạp xe 16,5km rồi đi bộ 10,5km. Vinh đi bộ 16,5km rồi
đạp xe 10,5km.
BÀI 22:
Hai xe máy đồng thời xuất phát, chuyển động đều về phía nhau. Một xe đi từ thành
phố A đến thành phố B và xe đi từ B đến A. Sau khi gặp nhau tại nơi cách B là
20km, hai xe đi tiếp với vận tốc như cũ. Khi đã tới thành phố định đến, cả hai xe đều
quay ngay trở về và gặp nhau lần thứ hai ở nơi cách A là 12km. Tìm khoảng cách
AB và tỉ số vận tốc của hai xe.
Đáp số: AB=48km;
4,1
2
1
=
v
v
BÀI 23:
Ba người đi xe đạp từ A đến B. Người thứ (1) có vận tốc v
1
=8km/h, người thứ (2)
có vận tốc v
2
=10km/h và xuất phát muộn hơn người thứ nhất là 15ph. Người thứ (3)
có vận tốc là v
3
, xuất phát muộn hơn người thứ hai là 30ph và đuổi kịp người đi
trước tại hai nơi cách nhau 5km. Tính v
3
.
Đáp số:

3,13≈
km/h

Người thực hiện: Đỗ Mạnh Đại- Gv Trường THCS Yên Lạc- Vĩnh Phúc
25