Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />Ass Ext
s
s
Ass Ext
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R I R M R
. . .
Ass(R/I
n
) n n R
Z Z
I = aZ a = p
α
1
1
. . . p
α
t
t
a Ass
Z
(Z/I
n
) = {p
1
Z, . . . , p
t
Z} n.
R
Ass
R
(M/I

n
M)
n, n
n
0
Ass
R
(M/I
n
M) = Ass
R
(M/I
n
0
M) n ≥ n
0
.
M/I
n
M
∼
=
Tor
R
0
(R/I
n
, M)
Tor
R

i
(R/I
n
, M)
i ≥ 0. Ass
R
Tor
R
i
(R/I
n
, M) n
n i ≥ 0. Ass
R
Ext
i
R
(R/I
n
, M)
n n
(R, m) 5
x, y ∈ m I = (x, y)R Ass
R
H
2
I
(R)
Ass
R

H
2
I
(R)

n∈N
Ass

Ext
2
R
(R/I
n
, M)


n
Ass
R
(R/(x
n
, y
n
)R)

n∈N
Ass

Ext
2

R
(R/I
n
, M)


n
Ass
R
(R/(x
n
, y
n
)R) Ass
R
Ext
2
R
(R/I
n
, M)
n n
M R I (x
1
, . . . , x
r
)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
n∈N
Ass

R
Ext
i
R
(R/I
n
, M)

n
1
, ,n
r
Ass
R
(M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
)M)
s ≥ −1 T Spec(R),
(T )
≥s
T
s
M s (x
1

, . . . , x
r
) M
s

n
1
, ,n
r

Ass
R
M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
)M

≥s
M s
Ext
Ext
Ext
Ext
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R I
R L R

I
√
I
√
I = {a ∈ R | ∃n ∈ N a
n
∈ I}.
√
I R
I I = R ab ∈ I, a /∈ I
b ∈
√
I a, b ∈ R
I p =
√
I. p
I p
I = Q
1
∩ . . . ∩ Q
n
Q
i
p
i
I
I Q
i
p
i

Số hóa bởi trung tâm học liệu />I
√
I
I
√
I
√
I I
Z
mZ m
36Z 36Z = 4Z ∩ 2Z ∩ 9Z 4Z
2Z 2Z 9Z 3Z
2Z
36Z = 4Z ∩9Z 36Z.
Q
1
, Q
2
p R Q
1
∩ Q
2
p R
I
I = Q
1
∩. . .∩Q
n
= Q


1
∩. . .∩Q

m
I Q
i
p
i
Q

i
p

i
n = m {p
1
, . . . , p
n
} = {p

1
, . . . , p

n
}.
I = Q
1
∩ . . . ∩Q
n
I

Q
i
p
i
{p
1
, . . . , p
n
}
I
{p
1
, . . . , p
n
} I.
Q
i
p
i
Q
i
Số hóa bởi trung tâm học liệu />I = Q
1
∩ . . . ∩ Q
n
= Q

1
∩ . . . ∩ Q


n
I Q
i
, Q

i
p
i
p
i
{p
1
, . . . , p
n
} Q
i
= Q

i
.
Q
i
p
i
I
L
R N L
a ∈ R, ϕ
a
: L → L

ϕ
a
(x) = ax a L ϕ
a
ϕ
a
n ϕ
n
a
= 0
a
n
x = 0 x ∈ L.
I p a R/I
a /∈ p a ∈ p
Ann
R
L = {a ∈ R | aL = 0}. Ann
R
L
R Ann
R
L L
N L N = L
a L/N a ∈ R
N L p =

Ann
R
(L/N)

p N p
N = Q
1
∩ . . . ∩ Q
n
Q
i
p
i
L N
Q
i
p
i
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Q
1
, Q
2
p L Q
1
∩Q
2
p L
N
N = Q
1
∩. . .∩Q
n
= Q


1
∩. . .∩Q

m
N Q
i
p
i
Q

i
p

i
n = m {p
1
, . . . , p
n
} = {p

1
, . . . , p

n
}.
{p
1
, . . . , p
n
}

N Q
i
p
i
{p
1
, . . . , p
n
}
N
N
N
R
M R M
N M
N N = M N
a ∈ R N :
M
a = {m ∈ M | am ∈ N}.
N :
M
a M
N N
N a ∈ R
a M/N M
Số hóa bởi trung tâm học liệu />N :
M
a ⊆ N :
M
a

2
⊆ . . .
k ∈ N N :
M
a
n
= N :
M
a
k
n ≥ k.
N
1
= a
k
M + N N
2
= N :
M
a. N = N
1
∩ N
2
.
a M/N m /∈ N
am ∈ N. m ∈ (N :
M
a) \ N.
N
2

⊃ N N
2
= N a M/N
a
k
(M/N) = 0 a
k
M ⊆ N. N
1
⊃ N N
1
= N. N
M M
M
Γ M
Γ = ∅ M Γ
N
0
Γ
N
0
∈ Γ N
0
N
0
N
0
N
0
M N

0
N
0
= N
1
∩ N
2
N
1
= N
0
N
2
= N
0
N
0
Γ N
1
, N
2
/∈ Γ N
1
, N
2
N
1
= Q
11
∩. . .∩Q

1k
N
2
= Q
21
∩. . .∩Q
2t
N
1
N
2
N
0
= N
1
∩N
2
= Q
11
∩. . .∩Q
1k
∩Q
21
∩. . .∩Q
2t
N
0
N
0
∈ Γ

L R N
L m ∈ L Ann
R
m = {a ∈ R | am = 0}
Ann
R
m R
Số hóa bởi trung tâm học liệu />p R
L m ∈ L p = Ann
R
m
L Ass
R
L
Γ = {Ann
R
m | m ∈ L, m = 0}. p
Γ p ∈ Ass
R
L. R L = 0
Γ L = 0 Ass
R
L = ∅
0 → L

→ L → L

→ 0
R Ass
R

L

⊆ Ass
R
L ⊆ Ass
R
L

∪ Ass
R
L

.
L Supp
R
L
p R L
p
= 0. Var(Ann
R
L)
R Ann
R
L. Supp
R
L ⊆ Var(Ann
R
L) L
Supp
R

L = Var(Ann
R
L). T Spec(R)
min T
T R
Ass
R
L ⊆ Supp
R
L
min Ass
R
L = min Supp
R
L
N Ass
R
L/N
N p Ass
R
(L/N) = {p}.
N = Q
1
∩ . . . ∩ Q
n
Q
i
p
i
N Ass

R
(L/N) = {p
1
, . . . , p
n
}.
M R
0 M
Số hóa bởi trung tâm học liệu />M Ass
R
M
S
R I R S
−1
I = {a/s ∈ S
−1
R | a ∈ I, s ∈ S}.
S
−1
I S
−1
R.
S R
Ass
S
−1
R
S
−1
M = {S

−1
p | p ∈ Ass
R
M, p ∩S = ∅}.
R I
R L R
R L Γ
I
(L) =

n≥0
(0 :
L
I
n
).
Γ
I
(L) L f : L → L

R f
∗
: Γ
I
(L) → Γ
I
(L

) f
∗

(x) = f(x)
Γ
I
(−) R
R Γ
I
(−)
I
n I Γ
I
(−)
L n L I
H
n
I
(L). H
n
I
(L)
0 → L → E
0
u
0
→ E
1
u
1
→ E
2
→ . . .

Số hóa bởi trung tâm học liệu />L, Γ
I
(−)
0 → Γ(E
0
)
u
∗
0
→ Γ(E
1
)
u
∗
1
→ Γ(E
2
) → . . .
H
n
I
(L) = Ker u
∗
n
/ Im u
∗
n−1
n
L
R L I L = Γ

I
(L)
H
0
I
(L)
∼
=
Γ
I
(L).
L H
i
I
(L) = 0 i ≥ 1.
L I H
i
I
(L) = 0 i ≥ 1.
H
i
I
(L) I i.
H
j
I
(H
i
I
(L)) = 0 j > 0.

0 → L

→ L → L

→ 0 R
n δ
n
: H
n
I
(L

) → H
n+1
I
(L

)
0 → Γ
I
(L

) → Γ
I
(L) → Γ
I
(L

)
δ

0
→ H
1
I
(L

)
→ H
1
I
(L) → H
1
I
(L

)
δ
1
→ H
2
I
(L

) → . . .
N, L R
n ≥ 0
n Hom
R
(L, −) N
n L N Ext

n
R
(L, N)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Ext
n
R
(L, N)
0 → N → E
0
d
0
→ E
1
d
1
→ . . .
N Hom
R
(L, −)
0 → Hom
R
(L, E
0
)
d
∗
0
→ Hom
R
(L, E

1
)
d
∗
1
→ . . .
Ker d
∗
n
/ Im d
∗
n−1
N
Ext
n
R
(L, N) = Ker d
∗
n
/ Im d
∗
n−1
.
Ext
n
R
(L, N) M
··· → P
2
.u

2
→ P
1
.u
1
→ P
0
ε
→ M −→ 0.
Hom
R
(−, N)
0 → Hom(P
0
, N)
u
∗
1
→ Hom(P
1
, N)
u
∗
2
→ Hom(P
2
, N) → . . .
Ker u
∗
n

/ Im u
∗
n−1
L
Ext
n
R
(L, N) = Ker u
∗
n
/ Im u
∗
n−1
.
Ext
0
R
(L, N)
∼
=
Hom(L, N)
L N Ext
n
R
(L, N) = 0 n ≥ 1.
0 → N

→ N → N

→ 0 R

Ext
n
R
(L, N

) → Ext
n+1
R
(L, N

) n ≥ 0
0 → Hom(L, N

) → Hom(L, N) → Hom(L, N

)
→ Ext
1
R
(L, N

) → Ext
1
R
(L, N) → Ext
1
R
(L, N

)

→ Ext
2
R
(L, N

) → . . .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />0 → L

→ L → L

→ 0 R
Ext
n
R
(L

, N) → Ext
n+1
R
(L

, N) n ≥ 0
0 → Hom(L

, N) → Hom(L, N) → Hom(L

, N)
→ Ext
1
R

(L

, N) → Ext
1
R
(L, N) → Ext
1
R
(L

, N)
→ Ext
2
R
(M

, N) → . . .
M, N Ext
n
R
(M, N)
n
M
M
M Hom
R
(−, N)
Hom
R
(R

t
, N) t N
Hom
R
(R
t
, N)
∼
=
N
t
Ext
n
R
(M, N)
n
M = 0 R
p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
R p
i
= p
i+1
i
n R R dim R
R

M dim M R/ Ann
R
M.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Z {0} ⊂ 3Z
1 dim Z = 1.
M Supp
R
M = Var(Ann
R
M) R
min Supp
R
M = min Ass
R
M
M
dim M = max{dim(R/p) | p ∈ Ass
R
M}.
dim R[x
1
, . . . , x
n
] = n + dim R.
dim R[[x
1
, . . . , x
n
]] = n + dim R.
R

(R, m) m
M
q m
(M/q
n
M)
dim M = deg (M/q
n
M)
= inf

t | ∃x
1
, . . . , x
t
∈ m, (M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞

.
R m
x
1
, . . . , x
t
∈ m m = (x
1
, . . . , x

t
)R (M/mM) < ∞
(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞.
dim M < ∞ dim M = d.
(x
1
, . . . , x
d
) ⊆ m
M (M/(x
1
, . . . , x
d
)M) < ∞. (x
1
, . . . , x
r
) ⊆ m
Số hóa bởi trung tâm học liệu />r  d M
x
r+1
, . . . , x
d
∈ m (x
1
, . . . , x

d
) M
r  d. dim(M/(x
1
, . . . , x
r
)M) ≥ d − r
x
1
, . . . , x
r
∈ m (x
1
, . . . , x
r
)
M
r r = 1.
x ∈ m. dim(M/xM) = k < d − 1. M
1
= M/xM.
x
1
, . . . , x
k
∈ m (M
1
/(x
1
, . . . , x

k
)M
1
) < ∞.
(M/(x, x
1
, . . . , x
k
)M) < ∞. d = dim M  k + 1.
d −1  k,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Ass
Ext
R
M R
Ext
s
s
s
(R, m)
I R M R
dim M = d. (0 :
M
I) = {m ∈ M | Im = 0} x ∈ R
(0 :
M
x) = {m ∈ M | xm = 0}.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x ∈ R
M (0 :
M
x) = 0, xm = 0 m = 0

m ∈ M.
x ∈ R M (0 :
M
x) = 0
M = xM x M xM = M
(x
1
, . . . , x
k
) R M
M x
i
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M i =
1, . . . , k M = (x
1
, . . . , x
k
)M
((x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i

) = (x
1
, . . . , x
i−1
)M, ∀i = 1, . . . , k.
M = (x
1
, . . . , x
k
)M
(x
1
, . . . , x
k
) R M
i = 1, . . . , k
((x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
) = (x
1
, . . . , x
i−1
)M.
(x

1
, . . . , x
k
) ⊆ m M = (x
1
, . . . , x
n
)M
(x
1
, . . . , x
k
) M M
R = K[[x, y, z]]
x, y, z K
x, y, z R R = (x, y, z)R (0 :
R
x) = 0, (0 :
R/xR
y) = 0
(0 :
R/(x,y)R
z) = 0.
x, y(1 −x), z(1 −x) R
x, x
1
, . . . , x
k
∈ m
x M x /∈ p p ∈ Ass

R
M.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />(x
1
, . . . , x
k
) M i = 1, . . . , k
x
i
/∈ p p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M)
x ∈ m M (0 :
M
x) = 0.
p ∈ Ass
R
M p = Ann
R
m 0 = m ∈ M. pm = 0
x ∈ p xm = 0 0 = m ∈ (0 :
M
x) x /∈ p
x /∈ p p ∈ Ass
R
M. (0 :

M
x) = 0
p ∈ Ass
R
(0 :
M
x) ⊆ Ass
R
M p ⊇ Ann
R
(0 :
M
x) x ∈ p
(0 :
M
x) = 0 x M
x, x
1
, . . . , x
k
∈ m x, x
1
, . . . , x
k
∈ R
x, x
1
, . . . , x
k
∈ R

x M x /∈ p p ∈ Ass
R
M.
(x
1
, . . . , x
k
) M i = 1, . . . , k
x
i
/∈ p p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M)
M m M
x ∈ m M
x /∈ p p ∈ Ass
R
M. q ∈ Ass
R
(M/xM)
dim(R/q) = dim(M/xM). x ∈ q p ∈ min Ass
R
M
p ⊆ q. x /∈ p x ∈ q
dim(M/xM) = dim(R/q)  dim(R/p) −1  dim M −1.
x M

Số hóa bởi trung tâm học liệu />M
I Ext
i
R
(R/I; M)
H
i
I
(M)
r ∈ N
M r I
Ext
i
R
(R/I; M) = 0 i < r
H
i
I
(M) = 0 i < r
⇔ H
i
I
(M) = 0 i < r.
r M (x
1
, . . . , x
r
) I
r = 1. H
0

I
(M) = 0. I ⊆ p p ∈ Ass
R
M.
x
1
∈ I x /∈ p
p ∈ Ass
R
M. x
1
M
r = 1 r > 1 x
1
∈ I M x
1
= x.
(0 :
M
x) = 0. 0 → M
x
→ M → M/xM → 0
H
i
I
(M) → H
i
I
(M/xM) → H
i+1

I
(M) i ≥ 0.
H
i
I
(M) = 0 i < r H
i
I
(M/xM) = 0 i < r − 1.
M/xM (x
2
, . . . , x
r
) I
(x
1
, . . . , x
r
) M I
(x
1
, . . . , x
r
) M I
r H
i
I
(M) = 0 i < r. r = 1 x
1
∈ I

M 0 = (0 :
M
x
1
) ⊇ (0 :
M
I). (0 :
M
I
n
) = 0
n H
0
I
(M) = 0, r = 1. r > 1.
H
0
I
(M) = 0. (x
2
, . . . , x
r
) M/x
1
M
I H
i
I
(M/xM) = 0
i < r − 1. 0 → M

x
1
→ M → M/x
1
M → 0
H
i
I
(M/x
1
M) → H
i+1
I
(M)
x
1
→ H
i+1
I
(M) i ≥ 0. i < r −1
H
i
I
(M/x
1
M) = 0 x
1
x
n
1

H
i+1
I
(M) n
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Γ
x
1
R
(H
i+1
I
(M)) =

n≥0
(0 :
H
i+1
I
(M/(0:
M
x))
x
n
1
) = 0. H
i+1
I
(M) I
x
1

∈ I
H
i+1
I
(M) = Γ
I
(H
i+1
I
(M)) ⊆ Γ
x
1
R
(H
i+1
I
(M)) = 0.
H
i
I
(M) = 0 i < r.
⇔ r
⇔
M (x
1
, . . . , x
k
) I
M I y ∈ I
(x

1
, . . . , x
k
, y) M
M = IM. M I
M I M I
i
H
i
I
(M) = 0 i Ext
i
R
(R/I; M) = 0.
dim M = d M
M M d.
M I M
I
(x
1
, . . . , x
r
) (y
1
, . . . , y
t
) M I r =
t r < t. H
i
I

(M) = 0 i < t
H
i
I
(M) = 0 i  r.
k H
i
I
(M/(x
1
, . . . , x
k
)M) = 0
i  r − k k  r. H
0
I
(M/(x
1
, . . . , x
r
)M)) = 0.
I M/(x
1
, . . . , x
r
)M
M (x
1
, . . . , x
r

) M
I
i H
i
I
(M) = 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />M = IM
H
i
I
(M) = 0 i ∈ N
Ext
i
R
(R/I; M) = 0 i ∈ N.
M I
M I depth(I; M).
M = IM
depth(I, M) = inf{i | H
i
I
(M) = 0}
= inf{i | Ext
i
R
(R/I; M) = 0}.
s
(R, m) M R
dim M = d s ≥ −1
Spec R R.

T Spec R i ∈ N
(T )
i
= {p ∈ T | dim R/p = i};
(T )
≥i
= {p ∈ T | dim R/p ≥ i}.
x ∈ R p ∈ Spec(R).
x ∈ R
p
x/1 ∈ R
p
.
x ∈ m M
s x /∈ p p ∈ (Ass
R
M)
>s
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />(x
1
, . . . , x
r
) m M
s x
i
M/(x
1
, . . . , x
i−1

)M
s i = 1, . . . , r.
(x
1
, . . . , x
r
) ⊆ m M
i
= M/(x
1
, . . . , x
i
)M
x
1
, . . . , x
r
M > s
(x
1
, . . . , x
r
) M
p
p ∈ Spec(R)
dim(R/p) > s.
dim(0 :
M
i
x

i+1
)  s i = 0, 1, . . . , r −1.
(i) ⇒ (iii).
r = 1 x
1
M s
dim(0 :
M
x
1
)  s dim(0 :
M
x
1
) > s.
p ∈ Ass
R
(0 :
M
x
1
) dim(R/p) > s. p ∈ Ass
R
(0 :
M
x
1
)
p ∈ Supp
R

(0 :
M
x
1
) = Var(Ann(0 :
M
x
1
)).
x
1
∈ Ann(0 :
M
x
1
) x
1
∈ p. Ass
R
(0 :
M
x
1
) ⊆ Ass
R
M
p ∈ Ass
R
M.
(iii) ⇒ (ii). r

dim(0 :
M
x
1
)  s x
1
M
p
p ∈ Spec(R)
dim(R/p) > s. p ∈ Ass
R
M
dim(R/p) > s x
1
M
p
qR
p
∈ Ass
R
p
M
p
x
1
∈ qR
p
.
q ⊆ p, x
1

∈ q q ∈ Ass
R
M dim(R/q) ≥ dim(R/p) > s.
q ∈ Ass
R
M m ∈ M q = Ann
R
m
dim(Rm) = dim(R/q) > s. x
1
∈ q x
1
m = 0.
Rm ⊆ (0 :
M
x
1
). dim(0 :
M
x
1
) ≥ dim(Rm) > s,
(ii) ⇒ (i). r = 1
x
1
∈ m M
p
p ∈ Spec(R)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />dim(R/p) > s. x
1

M s
p ∈

Ass
R
M

>s
x
1
∈ p.
x
1
∈ pR
p
∈ Ass
R
p
(M
p
) dim(R/p) > s. x
1
M
p
(x
1
, . . . , x
r
) m
(x

1
, . . . , x
k
) M
i = 1, . . . , k x
i
/∈ p p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M)
(x
1
, . . . , x
r
) M M
−1
(x
1
, . . . , x
r
)
M x
i
/∈ p
p ∈ Ass
R
(M/(x

1
, . . . , x
i−1
)M) \{m}, ∀i  r.
(x
1
, . . . , x
r
) M M
0
(x
1
, . . . , x
r
) M
x
i
/∈ p p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M))
dim(R/p) > 1 i  r. (x
1
, . . . , x
r
) M
M 1

K d ≥ 2
s 0  s  d − 2
R = K[[x
1
, . . . , x
d
]] d K R
m = (x
1
, . . . , x
d
).
p
1
= (x
1
) p
2
= (x
1
, . . . , x
d−s
). I = p
1
∩ p
2
. M = R/I.
s  d − 2 p
1
= p

2
Ass
R
M = {p
1
, p
2
}. x
2
M s M
k k  s − 1. s = 0 x
2
M M −1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />