Toán cao cấp : Giải tích 3

Chương 0 TẬP HP VÀ ÁNH XẠ
A. TẬP HP
I. Khái niệm
Tập hợp là một ý niệm nguyên thủy của toán học, không đònh
nghóa.
Ta mô tả: một số vật thể hợp thành tập hợp; mỗi vật thể là
một phần tử.
+ Cho một tập hợp
A
và phần tử
x
. Nếu
x
là phần tử của
A

ta viết
x A
∈
.
Ngược lại, ta viết
x A
∈
hay
x A
∉
(x không thuộc A).
Ví dụ: Tất cả học sinh của trường Đại học Kinh tế là một tập

hợp, mỗi học sinh là một phần tử.
+ Hộp phấn là một tập hợp, mỗi viên phấn là một phần tử.
II. Cách diễn tả
Có nhiều cách:
1) Liệt kê: liệt kê tất cả các phần tử trong 2 dấu { }
Ví dụ: Tập hợp các nguyên âm
A
= {a, e, i, u, o, y}.
Ví dụ:
T
= {bàn, ghế, con mèo, con gái, ô mai}.
2) Trưng tính : (nêu tính chất đặc trưng)
Nếu mọi phần tử
x
của tập
A
đều có tính chất
b
, ta viết:
A
= {
x x
có tính chất
b
}.
Ví dụ:
M
= {
x x
là số nguyên dương nhỏ hơn 5}

→
M
= {1, 2, 3, 4}.
3) Giản đồ Venn

a A
∈
.

b A
∈
,
2 A
∈
.

, 3,5
c A
− ∈
.

III. Vài tập hợp thông dụng
1)

ℕ
= {0, 1, 2, 3, …};
∗
ℕ
=
ℕ


\
{0}.
2)

ℤ
= {0, ± 1, ± 2, …}.
X
a

X
b

X
2

A

X
c

X
5

X

-
3



Toán cao cấp : Giải tích 4

3)
*
{ , }
m
x m n
n
= = ∈ ∈ℚ
Z Z
là tập các số hữu tỷ.
4)
ℝ
là tập các số thực.

(
)
{
}
,
a b x a x b
= ∈ < <
ℝ .
[
]
{
}
,
a b x a x b
= ∈ ≤ ≤

ℝ .
(
{
}
2,15 2 15
x x

− = ∈ − < ≤

ℝ .
IV. Chính số, tập trống, tập hữu hạn, tập vô hạn

1.

Tập hữu hạn:
là tập hợp có số phần tử hữu hạn.
2. Chính số:
Giả sử
A
có số phần tử hữu hạn. Số phần tử của
tập
A
còn được gọi là chính số của
A
(hay card
A
).

Ký hiệu: ch.s
A

hay card
A
hay
A
.
Ví dụ:
{ 3,5, , }
A a b
= −

→ card
A
= 4.
3.Tập trống: là tập hợp không có phần tử nào cả.
Ký hiệu:
∅
hay
{

}
.
Ghi chú:
{ }
∅ ≠ ∅
.
{0}
≠ ∅
.
4.Tập vô hạn: tập không hữu hạn được gọi là tập vô hạn.
Ví dụ:

ℕ
,
ℤ
,
ℚ
,
ℝ
,
(
)
0,1
là những tập hợp vô hạn.
V. Tập hợp con, tập hợp bằng nhau
1. Tập hợp con:
A
là tập hợp con của
B
nếu mọi phần tử của
A
đều là phần tử của
B
.
Ký hiệu:
A B
⊂
(
A
chứa trong
B
).


" , "
A B x x A x B
⊂ ⇔ ∀ ∈
⇒
∈
.
Ví dụ:
A
=
{
1, -5, 0
}
;
B
=
{
2, 3, 1, 8, 0, -5
}
;

C
=
{
1, -5, 0, 7, 3
}


A B
⊂

và
C B
⊄
(
7
C
∈
và
7
B
∉
).
Nhận xét:
A
∀
, ta có
A
∅ ⊂
và
A A
⊂
.
2. Tập hợp bằng nhau:
A B A B
= ⇔ ⊂
và
B A
⊂

⇔

" , "
x x A x B
∀ ∈ ⇔ ∈
.
3. Tập hợp tất cả tập hợp con của E gọi là tập hợp các phần
của E

Toán cao cấp : Giải tích 5

Ký hiệu:
( ) { }
P E A A E
= ⊂
.
Ví dụ:
{ , , }
E a b c
=


( ) { ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , , }}
P E a b c a b b c c a a b c
= ∅
.
Hệ quả:
Nếu card
E n
=
→ card
( ) 2

n
P E
=
(chứng minh bằng truy
chứng).
VI. Các phép toán trên tập hợp
1. Phép giao
{
A B x x A
∩ = ∈
và
}
x B
∈
.
Ví dụ:
A
=
{
-3, 5, -
2
}
,

B
=
{
0, -3, 8, -
2
}

,

C
=
{
1, 2, 3
}
.
→

A B
∩
=
{
-3, -
2
}
và
{ }
A C
∩ = ∅
.
Tính chất:
A A
∩∅ = ∅ ∩ = ∅


A A A
∩ =



A B B A
∩ = ∩


(
)
(
)
A B C A B C
∩ ∩ = ∩ ∩


A B A
∩ ⊂
;
A B B
∩ ⊂

2. Phép hội
{
A B x x A
∪ = ∈
hay
}
x B
∈
.
Ví dụ:
{ , , , }

A a b c d
=
;
{ , , , }
B a c e f
=

→
{ , , , , , }
A B a b c d e f
∪ =
.
Tính chất :
A B B A
∪ = ∪


(
)
(
)
A B C A B C
∪ ∪ = ∪ ∪


A A A
∪∅ = ∅ ∪ =

A A A
∪ =

;
A A B
⊂ ∪
;
B A B
⊂ ∪
.
Tính phân bố của phép giao và phép hội

(
)
(
)
( )
A B C A B A C
∩ ∪ = ∩ ∪ ∩


(
)
(
)
( )
A B C A B A C
∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

3. Phép hiệu:
\ {
A B x x A
= ∈


và
}
x B
∉
.

Toán cao cấp : Giải tích 6

Ví dụ:
{ , , , }
A a b c d
=
;
{5, , , , 3}
B a c f
= −
;
{ , ,7, }
C a f d
=


\ { , }
A B b d
=
;
\ {5, , 3}
B A f
= −

.

( \ )\ { } \ ( \ ) { , , }
A B C b A B C a b d
= ≠ =
.
Tính chất: Nếu
A B
≠
thì
\ \
A B B A
≠
.
Thông thường
( \ )\ \ ( \ )
A B C A B C
≠
.

\
A A
∅ =
;
\
A A
= ∅
;
\
A B A

⊂
.
Bài tập : Chứng minh
\ ( ) ( \ ) ( \ )
A B C A B A C
∪ = ∩


\ ( ) ( \ ) ( \ )
A B C A B A C
∩ = ∪


4. Phần bù:
Cho
A E
⊂
, phần bù của
A
đối với
E
là:
\ {
c
E
A A C A E A x x E
= = = = ∈
và
}
x A

∉
.
Tính chất :

E
C E
∅ =
;
E
C E
= ∅
;
E
C A A E
∪ =


E
C A A
∩ = ∅


(
)
E E
C C A A
=
(
A A
=

)

(
)
E E E
C A B C A C B
∪ = ∩


(
)
E E E
C A B C A C B
∩ = ∪

Ví dụ:
{ , , , , , }
E a b c d e f
=
;
{ , }
A a d
=
;
{ , , }
B a e f
=


{ , , , }

E
C A b c e f
=
;
E
C B={b,c,d}


E
C (A B)={b,c}
∪
;
E
C (A )={b,c,d,e,f}
B
∩

5. Tập hợp tích:

(
)
{ ,
A B x y x A
× = ∈
và
}
y B
∈
.
Ví dụ:

{1,2,3}
A
=
;
{ , }
B a b
=

→
{(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, )}
A B a b a b a b
× =

và
{( ,1),( ,1),( ,2),( ,2),( ,3),( ,3)}
B A a b a b a b
× =
.
Ghi chú: Nếu
A B
≠
và
A
,
B
≠ ∅
thì
A B B A
× ≠ ×
.

Ví dụ: (1, 4) ≠ (4, 1)
-
A A
×∅ = ∅× = ∅
.
-
Nếu
A
,
B
hữu hạn, ta có Card
(
)
A B
×
= Card
A
.Card
B

Nếu
A B
=
ta viết:
2
A B A A A
× = × =
.
Ví dụ: Mặt phẳng tọa độ là
(

)
2
{ , , }
x y x y= × = ∈
ℝ ℝ ℝ ℝ
.
A

E


Toán cao cấp : Giải tích 7

Tương tự ta có :
1 2 1 2
{( , , , ) , 1, }
n n i i
A A A x x x x A i n
× × × = ∈ ∀ =


1 2 1 1 2 2
{( , , , ) , , , }
n n n
x x x x A x A x A
= ∈ ∈ ∈

1 2
{( , , , ) , 1, }
n

n i
A A A A x x x x A i n
nlần
× × × = = ∈ ∀ =


Ví dụ:
1 2
{( , , , ) , 1, }
n
n i
x x x x i n
= ∈ ∀ =
ℝ ℝ

(-5, 2,
7
, -8) ∈
4
ℝ

(-2, 1, 0, 3, 7) ∈
5 5 5
⊂ ⊂
ℤ ℚ ℝ

B. ÁNH XẠ
I. Đònh nghóa:
Cho 2 tập hợp
X

,
Y
khác trống, một phép
liên kết
f
tương ứng mỗi phần tử
x X
∈
với duy nhất
phần tử
y Y
∈
được gọi là một ánh xạ từ
X
vào
Y
.

Ký hiệu:
:
f X Y
→


( )
x y f x
=
֏

Khi đó,

X
: tập hợp nguồn (miền xác đònh)

Y
: tập hợp đích (miền ảnh)
Nhận xét:
:
f X Y
→
là một ánh xạ nếu mọi phần tử của
X

đều có ảnh duy nhất (
Y
∈
).
Ánh xạ
:
f X
→
ℝ
với
X
⊂
ℝ
được gọi là m
ột hàm số thực
với biến số thực.
Ví dụ :
:

f
→
ℝ ℝ


2
( ) 5 3
f x x x
= −
là một ánh xạ và là một hàm số thực
với biến số thực.
II. Nghòch ảnh: (ảnh ngược, tiền ảnh)
Cho ánh xạ:
:
f X Y
→

A X
⊂
, ảnh của tập
A
là
( ) { ( ) }
f A f x Y x A
= ∈ ∈
.
nh ngược của
B Y
⊂
là

1
( ) { ( ) }
f B x X f x B
−
= ∈ ∈

Đặc biệt khi
{ }
B y Y
= ⊂
ta viết

1 1
({ }) ( ) { ( ) }
f y f y x X f x y
− −
= = ∈ =
.

Toán cao cấp : Giải tích 8


1
( )
x f y
−
∈
được gọi là ảnh ngược của
y
.

Ví dụ:
:
f
→
ℝ ℝ

f(x) = x
2

B = {-5, 2, 4, 9, 0}
1
( )
f B
−
= {±
2
, ± 2, ± 3, 0}
1
(169)
f
−
= {±13};
1
( 3)
f
−
−
=
∅


1
(2)
f
−
=
{±
2

}
;
1
( 5)
f
−
−
=
∅

III. Toàn ánh: Cho ánh xạ
:
f X Y
→
, ta nói

f
là toàn ánh khi và chỉ khi
( )
f X Y
=
. Ta có:


( ) , : ( )
f X Y y Y x X f x y
= ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =


y Y
⇔ ∀ ∈
, phương trình
( )
y f x
=
có ít nhất 1 nghiệm

1
, ( )y Y f y
−
⇔ ∀ ∈ ≠ ∅
.
Ví dụ : i)
:
f
→
ℝ ℝ


2
( )
f x x
=

không là toàn ánh vì
1
( 2)f
−
− = ∅

(phương trình
2
2
x
= −
vô nghiệm).
ii)
f
:
ℝ
→
ℝ
+


2
( )
f x x
=
là toàn ánh vì y
+
∀ ∈
ℝ
, ta có phương

trình
2
( )
f x y x y
= ⇔ =
luôn có nghiệm
x
=
±

y

Nhận xét: Giả sử
:
f X Y
→
là toàn ánh và
X
,
Y
là tập hợp
hữu hạn thì card
X

≥
card
Y
.
Ghi chú: Để chứng minh
f

là toàn ánh ta chứng minh
y Y
∀ ∈
phương trình
( )
f x y
=
có nghiệm.
IV. Đơn ánh: Cho ánh xạ
:
f X Y
→


f
là đơn ánh
1 2
,
x x X
⇔ ∀ ∈
và
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
≠
⇒
≠


1 2

,
x x X
⇔ ∀ ∈
và
1 2 1 2
( ) ( )
f x f x x x
=
⇒
=

⇔

y Y
∀ ∈
, phương trình
( )
y f x
=
có nhiều nhất là một
nghiệm.

⇔

1
, ( )y Y f Y
−
∀ ∈ = ∅
hay
1

( )
f y
−
có đúng 1 phần tử .
Ví dụ:
*
f
:
ℝ

→

ℝ


Toán cao cấp : Giải tích 9


2
( )
f x x
=

không là đơn ánh vì
( 2) (2) 4
f f
− = =
.
*
f

:
+
ℝ

→
ℝ
hay
−
ℝ
→
ℝ


2
( )
f x x
=
là đơn ánh
*
f
:
ℝ
→
ℝ


3 5
( )
7
x

f x
−
=
là đơn ánh vì
1 2
,
x x
∀ ∈
ℝ
và
1 2
( ) ( )
f x f x
=
⇔
1
3 5
7
x
−
=
2
3 5
7
x
−
⇔
1 2
x x
=

.
V. Song ánh :
Cho ánh xạ
:
f X Y
→
.

f
là song ánh ⇔
f
là đơn ánh và
f
là toàn ánh
⇔ ∀
y Y
∈
, phương trình
( )
f x y
=
có duy nhất nghiệm
⇔ ∀
y Y
∈
,
1
( )
f y
−

có duy nhất một phần tử.
Ví dụ :
f
:
ℝ
→
ℝ
;
3 5
( )
7
x
f x
−
= là song ánh
Vì
y
∀ ∈
ℝ
, phương trình
3 5
7
x
y
−
= có duy nhất nghiệm

7 5
3
y

x
+
=
f
:
ℝ
→
ℝ
,
2
( )
f x x
=
không là đơn ánh, không là toàn ánh
f
:
ℝ
+
→
ℝ
,

2
( )
f x x
=

là đơn ánh, không là toàn ánh

f

:
ℝ
→
+
ℝ
,

2
( )
f x x
=

không là đơn ánh, là toàn ánh

⇒
không song ánh

f
:
+
ℝ
→
+
ℝ
,
2
( )
f x x
=


là song ánh

f
:
−
ℝ
→
+
ℝ
,
2
( )
f x x
=

là song ánh
VI. Ánh xạ ngược:
Nếu
:
f X Y
→


( )
x f x
֏
là song ánh
thì ánh xạï
1
:

f Y X
−
→

Toán cao cấp : Giải tích 10


( )
y f x
=
֏
1
( )
x f y
−
=
được gọi là ánh xạ
ngược của
f
.
Ví dụ:
f
:
ℝ
+

→

ℝ
+



2
( )
f x x
=
(
2
y x x y
= ⇔ =
,
, 0
≥
x y
)

1
( )
f y y
−
=

( , 0)
x y
≥

hay
1
( )
f x

−
=
x

f
:
−
ℝ

→

+
ℝ
;
2
( )
f x x
=

1
( )
f y y
−
= −
;
1
( )
f x x
−
= −

f
:
ℝ
→
{
}
\ 0
+
ℝ
;
( ) 3
x
f x
=

1
f
−
:
{
}
\ 0
+
ℝ
→
ℝ
;
1
3
( ) log

f x x
−
=
*
f
:
,
2 2
π π
 
−
 
 
→ [-1, 1];
( ) sin
f x x
=


1
f
−
: [-1, 1] →
,
2 2
π π
 
−
 
 

;
1
( ) arcsin
f x x
−
=
*
f
:
[
]
0,
π
→ [-1, 1]; f(x) = cosx

1
f
−
: [-1, 1] →
[
]
0,
π
;
1
( ) arccos
f x x
−
=
*

f
:
,
2 2
π π
 
−
 
 
→
ℝ
;
( ) tg
f x x
=


1
f
−
:
ℝ
→
,
2 2
π π
 
−
 
 

;
1
( ) arctg
f x x
−
=
*
f
:
(
)
0,
π
→
ℝ
;
( ) cotg
f x x
=


1
f
−
:
ℝ
→
(
)
0,

π
;
1
( ) cotg
f x arc x
−
=
*
f
:
ℝ
→
ℝ
;
3 7
( )
5
x
f x
+
=

3 7
5
x
y
+
=

⇔

⇔⇔
⇔
5 7
3
y
x
−
=

1
f
−
:
ℝ
→
ℝ


1
5 7
( )
3
x
f x
−
−
=

Toán cao cấp : Giải tích 11


* Cho
X
⊂

ℝ
,
Y
⊂
ℝ
, xác đònh
X
,
Y
để
f
là song
ánh
với
:
f X Y
→
;
5 3
( )
2 1
x
f x
x
−
=

+
;
X
=
\
ℝ
1
2
−
 
 
 


5 3
2 1
x
y
x
−
= ⇔
+
(2 1) 5 3
y x x
+ = −

⇔
2 5 3 (2 5) 3
xy y x x y y
+ = − ⇔ − = − −

(*)
Phương trình (*) có duy nhất nghiệm ⇔
y
≠
5
2
. Ta có
(*)
⇔
3
5 2
y
x
y
+
=
−

Vậy với
X
=
\
ℝ
1
2
−
 
 
 
và

Y
\
=
ℝ
5
2
 
 
 
thì
:
f X Y
→


5 3
( )
2 1
x
f x
x
−
=
+
là m
ột
song ánh
và
1
:

f Y X
−
→

1
:
f
−
ℝ
\
5
2
 
 
 
→
ℝ
\
1
2
 
−
 
 


1
( )
f x
−

=
3
5 2
x
x
+
−

Ghi chú:
i)

:
f X Y
→
là đơn ánh và
X
,
Y
là 2 tập hữu hạn thì
card
X
≤ card
Y
.
ii)

:
f X Y
→
là song ánh và

X
,
Y
là hữu hạn thì
X Y
=
.
iii)

Ánh xạ ngược
1
f
−
của
f
chỉ tồn tại khi
f
là song
ánh.
VII. Ánh xạ hợp:
(Ánh xạ tích)
Cho 2 ánh xạ
:
f X Y
→
, và
:
g Y Z
→
.

Ánh xạ
:
h X Z
→
được đònh nghóa:
(
)
(
)
h x g f x
=
 
 
,
x X
∀ ∈
.

Toán cao cấp : Giải tích 12

Ký hiệu:
h g f
=

được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích)
của
f
và
g
.

Ví dụ 1:
[
)
: 5,f
→ +∞
ℝ


2
( ) 5
f x x
= +

[
)
: 5,g
−
+∞ →
ℝ


( ) 2
g x x
= − +


(
)
(
)

2
5
g f x g x
= +

= -
2
5 2
x
+ +
= -
2
7
x
+

Ví du 2ï:
, :
f g
ℝ
→

ℝ
;
2
( ) 3
f x x x
= −
;
2 5

( )
4
x
g x
+
=

(
)
2
(3 )
g f x g x x
= − =

2 2
2(3 ) 5 6 2 5
4 4
x x x x
− + − +
=
(
)
f g x
=

2 5
4
x
f
+

 
 
 

=
2
2
2 5 2 5 12 52 55
3
4 4 16
x x x x
+ + + +
 
− =
 
 


Nhận xét :
i) Thông thường,
f g g f
≠
 
.
ii)
( )
1
g f
−


=
1 1
f g
− −

(giả sử
f
,
g
là song ánh).
iii)
1
( )
f f y y
−
=

,
∀
y Y
∈
(
:
f X Y
→
là song ánh).
1
( )
f f x x
−

=

,
∀
x X
∈
(
:
f X Y
→
là song ánh).
iv) Giả sử
(
)
f g h
 
tồn tại, ta có
(
)
(
)
f g h f g h
=
   
.
VIII Đònh nghóa :
1) Một tập
A
được nói là hữu hạn và có
n

phần tử nếu tồn
tại một song ánh giữa
A
và tập con
{
}
1,2,3, ,
n của
ℕ
.
Khi đó, ta viết Card
A n
=
hay
A n
=
.
2) Nếu tập
A
không hữu hạn, ta nói
A
vô hạn.

Toán cao cấp : Giải tích 13

3) Hai tập
A
và
B
được nói là đồng lực lượng nếu tồn tại

một song ánh từ
A
vào
B
.
4) Một tập
A
được nói là đếm được nếu tồn tại một song
ánh giữa
A
và tập con
N
của
ℕ
. Khi đó, nếu
N
=
ℕ

thì ta nói
A
là tập vô hạn đếm được. Nói cách khác, ta
nói
A
là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh
giữa
A
và tập
ℕ
.