Mở đầu
Trong khi học Toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiều
mức độ khác nhau. Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhng
cũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay áp
dụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ
Có những sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện, ví dụ nh đối với học sinh thì
ký hiệu x,y,z thờng là biểu thị một cái cần tìm, cũng vì thế mà khi giải
những phơng trình có tham số, ta đem đổi vai trò của ẩn và tham số cho nhau
thì học sinh rất khó chấp nhận. Những phơng trình và bất phơng trình có chứa
giá trị tuyệt đối, nhiều khi ta phải phân khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, rốt
cục là tìm cho ra đợc x. Nhng bây giờ trong bài toán tích phân chứa giá trị
tuyệt đối, thì cũng là kí hiệu biến x nhng ta không phải đi tìm x, chính vì vậy
mà giải bài toán ấy theo kiểu xét x <3, x >5cho riêng lẻ từng đáp số là sai.
Có thể nói những sai lầm kiểu ấy là do các em học sinh không hiểu bản chất
của đối tợng có mặt trong bài toán.
Việc học Toán của học sinh không thể tránh khỏi những sai lầm, do đó
nghiên cứu để tìm ra những phơng án giảm thiểu những sai lầm đó là rất cần
thiết. Có nhiều tác giả nổi tiếng có sự nhấn mạnh ý nghĩa của việc làm này,
chẳng hạn A.A.Stolia phát biểu Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên
giờ học các sai lầm của học sinh. Còn G.Pôlia thì phát biểu Con ngời phải
biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình. Viện sĩ Gơn-he-den-
cô trong lúc nêu ra năm phẩm chất của t duy Toán học thì đã đề cập đến ba
phẩm chất liên quan đến việc tránh các sai lầm khi giải Toán.
- Năng lực nhìn thấy đợc tính không rõ ràng của suy luận, thấy sự
thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh.
- Có thói quen lý giải một cách đầy đủ.
1
- Sự chính xác của lý luận.
Theo các ý kiến trên đây của các nhà khoa học thì thừa nhận rằng trong
giải Toán, bất cứ ngời nào cũng từng có lần phạm phải những sai lầm, còn
những vớng mắc và khó khăn thì dĩ nhiên là thờng xuyên. Chức năng của ngời

thầy giáo là phải kịp thời vạch rõ để học sinh thấu hiểu những sai lầm đó sao
cho lần sau không còn tiếp diễn nữa. Tuy nhiên một trong các năng lực cần có
của ngời thầy là phải đánh giá đúng mức của học sinh đã mắc, không nên cào
bằng các mức độ.Tất nhiên sữa sai là phải kịp thời, nếu không thì sai lầm sẽ
nối tiếp sai lầm.
Tuỳ đối tọng học sinh để đánh giá mức độ sai lầm của từng bài toán. Ví
dụ nh một học sinh bậc THPT mà từ hệ thức x+
x
1
= y+
y
1
suy ra x=y là điều
không thể chấp nhận đợc. Hay nh học sinh lớp 11 mà hiểu rằng f
-1
(x)=
)(
1
xf
là sai lầm rất lớn. Tuy nhiên cũng có những sai lầm hoặc thiếu sót mà ta
không nên bé xé ra to, bởi vì theo lý thuyết tình huống thì có những chớng
ngại tránh đợc và cũng có những chớng ngại không tránh đợc. Chẳng hạn học
sinh chứng minh x >sinx với mọi x thuộc (0;+) bằng cách thiết lập hàm số
f(x) = x- sinx, trên khoảng đó f

(x)>0 và nói hàm f(x) đồng biến trên (0;+),
suy ra f(x)> 0 thì kể ra cũng cha chuẩn lắm vì 0 không thuộc (0;+). Nhng
trong tình huống này cũng không nên phân tích quá nhiều để làm rối trí học
sinh.
Đặc biệt ngời thầy giáo phải có một năng lực cảm thụ về mặt Toán học,

có khả năng phỏng đoán và hình dung những điều học sinh sẽ mắc, để có sự
chủ động xử lý các tình huống ấy. Ví dụ nh dạng toán về dấu của tam thức bậc
2 trên một miền; Tìm điều kiện tham số sao cho f(x) = x
2
+mx+1>0

x>3
2
- Nếu

<0 thì đúng

m
- Nếu

>0 f(x) có 2 nghiệm x
1
và x
2
f(x)>0

x thuộc (-;x
1
)

(x
2
; )
Kết luận là x
2

3
Tuy nhiên, nh bài này chẳng hạn, giáo viên chủ động hình dung ra rằng đối
với các học sinh khá, biết đờng lối giải cũng dễ rơi vào sai lầm kết luận x
2
<3,
điều đó rất có lý bởi vì mọi giả thiết đều phản ánh bất đẳng thức ngặt.
Nh vậy, ta thấy rằng đôi khi chỉ là một ký hiệu hay một dấu, nhng nó lại
phản ánh rất sát về trình độ suy luận của ngời học, và điều quan trọng là ở chổ
ngời thầy phải biết trớc đợc cái sai đó của học sinh.
3
Chơng 1
Những sai lầm thờng gặp của học sinh khi giải các bài
tập về phơng trình và bất phơng trình
Trong giáo dục, I.A.Komenski khẳng định: "Bất kì một sai lầm nào
cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay tới
sai lầm đó, bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai
lầm". Các sai lầm của học sinh trong dạy học giải Toán đợc hiểu là: Điều trái
với yêu cầu khách quan (mục đích của giải Toán, yêu cầu của bài toán) hoặc lẽ
phải (các tình huống điển hình trong môn Toán: Khái niệm, định lí, quy tắc, các
nội dung của lôgic toán, phơng pháp suy luận suy diễn ), do đó không đạt đợc
mục đích của dạy học giải Toán.
Các sai lầm trong giải Toán thờng do các nguyên nhân từ các góc độ
khác nhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng. Do vậy biện
pháp này chủ yếu dành cho học sinh bởi lẽ đây là đối tợng đang tập dợt nghiên
cứu sáng tạo, đang làm quen với cách tiếp cận, phát hiện và giải quyết vấn đề.
Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc phục những
sai lầm khi giải Toán.
Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọi
đối tợng học sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm. Do đó để
nâng cao chất lợng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hớng khắc phục

các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phơng trình và
bất phơng trình, học sinh thờng gặp phải các sai lầm sau.
1.1. Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo
Đây thuộc dạng sai lầm thô thiển nhất trong các sai lầm thờng gặp ở
học sinh. Thông thờng các sai lầm này xuất phát từ việc học sinh thông nắm
4
vững bợc bản chất và ý nghĩa của các yếu tố có mặt trong biểu thức, hay nhớ
sai công thức hay định lý.
Ví dụ1. Khi giải các phơng trình lợng giác, học sinh thờng nhầm lẫn giữa hai
đơn vị đo là độ và Rađian.
Giải phơng trình: sin(x+30
o
)=
2
2
, nhiều học sinh giải nh sau:
sin(x+30
o
)=
2
2
=sin
4






+


=+
+

=+
2
4
30
2
4
3
30
kx
kx
o
o
Ví dụ 2. Giải phơng trình 2
x
+2
2x
=20
Lời giải sai: Phơng trình tơng đơng với 2
x
(1+2
2
) =20

2
x
.5=20


2
x
=4

x=2
Tuy nhiên x=2 thử vào phơng trình thấy thỏa mãn, nhng lời giải vẩn sai vì t-
ởng 2
2x
=2
2
.2
x
Nhớ rằng 2
2x
=(2
x
)
2
.
Lời giải đúng là: đặt t=2
x
>0 ta có: t+t
2
=20

t
2
+t-20=0


t=4, t=-5.
Vì t >0 nên t=4

x=2.
1.2. Sai lầm khi áp dụng định lý và mệnh đề toán học
Nhận dạng và thể hiện một định lý hay một khái niệm cũng là một hoạt
động toán học. Ta xét sai lầm của học sinh khi vận dụng định lý cũng có
nghĩa là ta đang xét các sai lầm trên tiêu chí hoạt động toán học.
Cấu trúc thông thờng của một định lý có dạng: A

B. Trong đó A là
giả thiết, B là kết luận. Nhiều sai lầm khi học định lý là do xem thờng ngôn
ngữ và các điều kiện của giả thiết, bởi vậy nhiều lúc học sinh đa ra các kết
luận sai lầm: Không có A vẫn suy ra B, hay không có A suy ra không có B.
Ví dụ 1. Giải phơng trình
x 1
x
x
5 .8 500

=
5
Sai kiểu thứ nhất: Thử một số trờng hợp x=1, x=2, x=3 thấy rằng
5
3
.8
2/3
=125.
3
64

=500, suy ra x=3 là nghiệm của phơng trình.
Khi x3 thì 5
3
.8
2/3
125.
3
64
Kết luận: x=3 là nghiệm duy nhất.
Nếu phân loại mức độ sai lầm qua việc giải bài toán này, ta có thể nhận
ra rằng, đối với học sinh dừng bớc lập luận ngay sau khi thấy x=3 là nghiệm -
là học sinh yếu hơn, đối với học sinh có làm thêm một bớc suy diễn: x3 thì
5
3
.8
2/3
125.
3
64
là học sinh khá hơn học sinh thứ nhất trong khi giải bài toán
này.
Kiểu sai thứ hai:
x 1
x
x
5 .8 500

=



x.Ln5+
x
x 1
Ln8= 3Ln5+2Ln2



(x-3)Ln5+
x
x 3
Ln2=0
Xét hàm số f(x)= (x-3)Ln5+
x
x 3
Ln2, ta có: f

(x)=Ln5+
x
2
3
Ln2 >0

x0. Suy
ra hàm số đồng biến

x0.
Mặt khác ta thấy f(3)=0. Do đó x=3 là nghiệm duy nhất của phơng trình.
Sai lầm mà học sinh mắc phải trong trờng hợp trên là ở chổ: Hàm số
f(x) đồng biến trên (-


;0) và (0;+

) thì phơng trình vẩn có thể có nhiều hơn
một nghiệm trên khoảng đó.
Phân tích: ở lớp 10 học sinh đã đợc học khái niệm về hàm số đồng biến
trên một khoảng, tuy vậy vẩn có sách xét hàm số đồng biến trên một tập, dù
không nói rõ nhng về nguyên tắc thì 1 tập số có thể là hợp của nhiều khoảng.
Trong chơng trình lớp 12, trong phần mối liên hệ giữa đạo hàm và chiều biến
thiên của hàm số, thì có định lý: Nếu đạo hàm dơng trên một khoảng thì hàm
số đồng biến trên khoảng đó. Nhng thực ra kiến thức của học sinh đại trà
không dễ gì có thể nắm vững và sâu sắc để phân biệt đợc phạm vi áp dụng của
6
định lý thật xác đáng. Cụ thể hơn là khi học định lý này thì dờng nh học sinh
chỉ dành sự quan tâm vào chổ: Nếu đạo hàm dơng thì hàm số đồng biến, và
thực tình thì SGK cũng không có một chú ý nào về phạm vi áp dụng của định
lý. Vì vậy khi gặp bài toán mà hoàn cảnh cụ thể không còn là một khoảng thì
học sinh vẩn áp dụng định lý một cách bình thờng.
Lời giải trên đây đã phạm sai lầm ở chổ: Đáng lý phải nói hàm số f(x)
đồng biến trên các khoảng (-

;0) và (0;+

) thì lại nói rằng hàm số đồng
biến trên R\
{ }
0
.
Cần phải là rõ cho học sinh thấy hàm số đồng biến trên
(-


;0)

(0;+

) thì ngoài yêu cầu f(x
1
)

f(x
2
)

x
1

x
2


0
f(x
3
)

f(x
4
)

0


x
3

x
4
còn phải thêm yêu cầu nữa là f(

)

f(

)



0


Có một sai lầm liên đới ngoài sai lầm áp dụng định lý trên đây, đó là sai
lầm áp dụng mệnh đề: Nếu hàm số đơn điệu trên (a;b), x
1
,x
2
cùng thuộc (a;b)
thì f(x
1
)=f(x
2
)


x
1
= x
2
. Nhng trong trờng hợp này thì f(x
1
)=f(3), rỏ ràng 3
thuộc (0;+

), cho nên mới chỉ có kết luận đợc rằng trên (0;+

) thì phơng
trình chỉ có 1 nghiệm, và nh thế ta cần phải xét trờng hợp x

0.
Đối với bài toán trên, ta có lời giải đúng nh sau:
(x-3)(Ln5+
x
1
Ln2) = 0





=
=
3
5
2

x
Ln
Ln
x
Cần nói thêm rằng, đối với các phơng trình siêu việt, đặc biệt là khi thực
hiện trên các logarit, học sinh thờng có tâm lý nặng nề khi nhìn những hằng số
lại không phải là hằng số.
Khái quát sai lầm ở ví dụ này đi đến nhận xét rằng: Giả thiết của một
định lý có thể gồm nhiều ý, và phạm vi áp dụng của nó là chỉ khi nào hội đủ
tất cả các ý trên. Thế nhng nhiều khi các em học sinh lĩnh hội nội dung còn
7
qua quýt, giành sự chú tâm vào một số ý nào đó dẫn tới sự mơ hồ các ý còn
lại. Bên cạng đó, về cách giảng dạy thì giáo viên ít khi làm sáng tỏ những chi
tiết này thông qua các phản ví dụ.
Ví dụ 2. Giải phơng trình
3x
3
-6x
2
-9x=9(x
2
-2x-3) (*)
+Lời giải sai: (*)

3x(x
2
-2x-3) = 9 (x
2
-2x-3)


3x=9

x=3.
Có thể thấy ngay x=-1 cũng là nghiệm của phơng trình, sai lầm ở đây là
học sinh đã chia cả hai vế cho biểu thức x
2
-2x-3. Cần lu ý với học sinh rằng
a.b=c.b

b(a-c)=0
+ Lời giải đúng là: (*)

(x
2
-2x-3)(3x-9)=0




=
=
3
1
x
x

Ví dụ 3. Giải phơng trình
123
3
+++


xx
x
=
2
+Lời giải sai: Điều kiện:



+
+
01
023
3
x
xx





+
1
0)2()1(
2
x
xx







1
2
x
x
Vậy không tồn tại giá trị x thoả mãn điều kiện tập xác định, vậy phơng
trình đã cho vô nghiệm.
Ta có thể nhận ra khi x=1 thì biểu thức có nghĩa và x=1 chính là
nghiệm của phơng trình.Vậy sai lầm của các em học sinh nằm ở chổ nào? Đó
là em đã cho rằng (x-1)
2
(x+2)

0

x+2

0.
+ Lời giải đúng là: Điều kiện có nghĩa



+
+
01
023
3
x

xx





+
1
0)2()1(
2
x
xx











=
1
2
1
x
x
x


x=1
Thử x=1 vào phơng trình ta thấy thoã mãn, vậy phơng trình có nghiệm là x=1.
Ví dụ 4. Giải phơng trình x.e
x
>
e
1
8
+Lời giải sai: Ta có f
1
(x
1
)=x và f
2
(x
2
)= e
x
là các hàm số đồng biến trên R, suy
ra f(x)=x.e
x
là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biển trên R.
Ta có f(-1)=
e
1
. Do đó bất phơng trình tơng đơng f(x) > f(-1)

x>-1.
Sai lầm khi nghĩ rằng tích của hai hàm số đồng biến là hàm số đồng biến,

nếu các hàm số đồng biến chỉ nhận các giá trị dơng thì mới kết luận đợc.
+Lời giải đúng: Xét hàm f(x) = x.e
x
với x

R. Ta có f

(x)=e
x
(x+1) nên ta có:
x -

-1 +

f

(x) - 0 +
f(x)
Từ đó ta có f(x) >
e
1

x -1
Ví dụ 5. Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x
33)1(2)1(
2
++ mxmxm
+Lời giải sai: Biểu thức có nghĩa với mọi x

f(x)=(m+1)x

2
-2(m-1)x+3m-3

0

x





>
0
0
'
a




+
>
0)2)(1(2
1
mm
m


m


1
Ta có kết quả m

1.
* Cần thờng xuyên nhắc các em học sinh khi giải dạng toán này rằng
f(x)=ax
2
+bx+c

0

x khi và chỉ khi











>




==
0

0
0
0
a
c
ba
Và lời giải trên thiếu trờng hợp a=0
9
+

e
1

+

+Lời giải đúng: Biểu thức có nghĩa

x.
Trờng hợp 1:




==
0
0
c
ba









=
=
1
1
1
m
m
m
không có giá trị m thoã mãn.
Trờng hợp 2:




>
0
0a


m

1
Tóm lại m


1.
1.3. Sai lầm liên quan đến đặt điều kiện, biến đổi phơng trình
Ví dụ1: Giải phơng trình: 2cos(2cosx) =
3
Có học sinh đặt: t = 2cosx, đợc phơng trình:
2cost =
3

3
cos t
2
=
t = 30
0
+ k 360
0
Sai lầm ở đây là học sinh không nắm đợc giải phơng trình cost = a với
t = 2cosx là tìm tất cả các số thực t làm cho đề cost = a là đúng, ẩn t
không phải là góc, là cung lợng giác, do đó không có số đo và đơn vị đo bằng
độ.
Hớng giải đúng: Giải phơng trình
3
cos t
2
=
= t


2
6

k+
(1)
Xét phơng trình: 2cosx = t (2) với tham số t lấy giá trị trong tập hợp xác
định bởi (1), có (2)
t
cos x
2
=
.
Phơng trình này có nghiệm
t
1 k 1
2

+
12
. Điều này không
xảy ra với mọi k nguyên khác không
Với k = 0 ta có: cosx =

12
10
Nhiệm vụ quan trọng của ngời giáo viên là hớng dẫn học sinh dự đoán đ-
ợc những sai lầm phân tích để tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp
tích cực để rèn luyện năng lực giải Toán.
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (cos2x - cos4x)
2
= 4 + cos
2
3x

Đây là phơng trình không mẫu mực nên học sinh rất khó khăn khi chọn
phơng pháp giải, vì thế rất dễ mắc sai lầm. Nhiều em nhận thấy vế trái xuất
hiện bình phơng nên khai triển ra, sau đó dẫn đến phơng trình phức tạp hoặc
tìm cách biến đổi đa về các hàm lợng giải của cùng một góc.
Cách giải đúng: (cos2x - cos4x)
2
4 x R
4 + cos
2
3x 4 x R
Vậy (cos2x + cos4x)
2
= 4cos
2
3x
2
2
(cos2x cos4x)
4 cos 3x 4




+ =


(cos2x cos4x) 2 (1)
cos3x 0 (2)
=



=

Giải (1)
(1)
cos2x 1 cos2x 1 (b)
hay
cos4x 1 cos4x 1
= =


= =

Giải (a)
x k
2x k2
4x k2
x k
4
=

=





= +
= +



2
vô nghiệm
Giải (b)
x k
2x k2
2
4x k2
x k


= +

= +




=


=

2

x k

= +
2
(k Z)

Xét (2):
3
3x 3k

= +
2
cos3x = 0 (thoả mãn)
11
Vậy
x k

= +
2
(k Z) là nghiệm phơng trình.
Ví dụ 3: Giải phơng trình tan7x=tan5x
Ta có: tan7x = tan5x

7x=5x+k

x=k
2

(k

Z)
Rõ ràng, nếu k=1 thì x=
2

lại không phải là nghiệm, bởi vì các giá trị này
không thoả mãn điều kiện cos 5x


0, cos7x

0.
Sai lầm ở đây là học sinh đã quên tìm tập xác định của phơng trình. Để
khắc phục sai lầm này giáo viên cần nhắc nhở học sinh rằng:
Nếu

là một số tuỳ ý thì phơng trình tanx = tan

có nghiệm x =

+ k

Kết luận đó bao hàm cả khẳng định rằng các số x =

+k

thoã mãn điều
kiện cosx

0.
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
sinx +
3
cosx =
x2sin3x2cos2 ++
(1)
Ta gặp nhiều học sinh lập luận nh sau:
Tập xác định của (1) là: 2 + cosx +

3
sin2x

0


2+2(
0)x2sin
2
3
x2cos
2
1
+


2+2
)
3
x2cos(


0


Rx
Khi đó vế phải không âm mà vế phải bằng vế trái nên vế trái cũng
không âm. Vì vậy hai vế đều không âm, bình phơng hai vế ta đợc phơng trình t-
ơng đơng:
(sinx +

3
cosx)
2
= 2 + cos2x +
3
sin2x
12
<=>







+=







)
3
x2cos(12)
6
x(cos(2
2
<=> 2

=







+ )
3
x2cos(1
2







+ )
3
x2cos(1
đúng với
Rx
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là với mọi
Rx
.
Đây là một lập luận sai, sai lầm cơ bản nhất là sử dụng các phép biến
đổi không tơng đơng.
Cách lập luận trên đây của học sinh là đúng khi xét trên tập nghiệm của

phơng trình, nhng giải phơng trình lại là đi tìm tập nghiệm. Do đó sau khi tìm
đợc những giá trị cần phải đối chiếu xem những x đó có thuộc tập nghiệm hay
không, tức là phải lần lợt kiểm tra từng giá trị, điều đó nói chung không khả
thi.
+Lời giải đúng: Ta có (1)
zk,2k
3
2
x2k
3
Rx
2k
3
2
2k
3
Rx
0)
6
xcos(2
x2sin3x2cos2)xcos3x(sin
0xcos3xsin
2
+

+









+

+


















++=+
+

Ví dụ 5: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
f(x) =

01)cot(tantan3
sin
3
2
2
=+++
xxmx
x
(5)
Nhiều học sinh lập luận nh sau:
Tacó (5)
01)cot(tan)
sin
1
(tan3
2
2
=+++
xxm
x
x

13

02)cot(tan)cot(tan3
01)cot(tan)cot1(tan3
22
22
=++++
=++++

xxmxx
xxmxx
Đặt tanx + cotx = t

2cottan
222
=+
txx
Khi đó ta có: 3 (t
2
-2) + mt + 2 = 0


3t
2
+ mt - 4 = 0 (5)
Phơng trình (5) có nghiệm

phơng trình (5) có nghiệm, vì phơng
trình (5) có a.c=-12 < 0 nên phơng trình (5) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Do đó phơng trình (5) luôn có nghiệm.
Học sinh đã mắc phải sai lầm trong lập luận ở chỗ đã không quan tâm
gì đến điều kiện của t và cho rằng phơng trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi
phơng trình (5) có nghiệm.
Lời giải đúng cần bổ sung
Điều kiện của t là:
2t
Phơng trình (5) có nghiệm

phơng trình (5) có nghiệm thoả mãn

2t
Phơng trình (5) luôn có hai nghiệm phân biệt t
1
, t
2
Mặt khác, vì
3
4
t.t
21
=
nên phơng trình (5) không thể đồng thời có hai
nghiệm t
1
, t
2
thoả mãn
2t
1

và
2t
2

.
Do đó (5) có nghiệm <=> (5) có một nghiệm trong đoạn
[ ]
2;2
và một
nghiệm ngoài khoảng (-2; 2).

<=>
0)2(f)2(f
<=>
0)m28)(m28( +
<=>
.4m
Học sinh có thể tìm điều kiện để phơng trình (5
,
) có nghiệm thoả mãn
2t
theo cách khác.
1.4. Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán
14
Nhiều khi ta không đi giải bài toán đã cho mà lại đi giải một bài toán t-
ơng đơng với bài toán ban đầu, Tất nhiên không phải bài toán nào cũng là một
mệnh đề mà sẽ có nhiều bài toán nêu ra dới dạng tìm tòi. Những sai lầm liên
quan đến chuyễn đổi bài toán thờng có liên quan đến việc đặt ẩn phụ, thay
biến, Thực hiện các phép biến đổi tơng đơng và chuyển đổi ngôn ngữ. Việc
chuyễn đổi đúng nhiều khi có tác dụng rất rõ rệt vì lúc đó việc giải bài toán đã
cho gặp nhiều khó khăn, nhng khi chuyễn đổi hợp lý thì việc giải bài toán
thuận lợi hơn nhiều. Nhng nếu ta chuyển đổi sai thì hậu quả thờng gặp sẽ là:
Hệ của các điều kiện đặt ra cho bài toán mới cha đủ đáp ứng yêu cầu của bài
toán cũ.
Muốn rèn luyện cho học sinh chuyển đổi bài toán phòng tránh những
thiếu sót và sai lầm thì trớc hết phải rèn luyện cho họ cách nhìn một vấn đề
linh hoạt bằng nhiều góc độ khác nhau. Cần phải rèn luyện nhận thức sự tơng
ứng giữa các đối tợng, tức cần phải trau dồi t duy hàm. Cần phải trang bị cho
học sinh kiến thức về phép biến đổi tơng đơng, nhất là sự tơng đơng giữa các
phơng trình, bất phơng trình.
Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì phơng trình sau có nghiệm:

(1+m)(
2
2
2
)
1+x
x
-3m
1
2
2
+x
x
-4m =0
Những bài toán dạng này thờng thấy học sinh gặp phải những sai lầm và khó
khăn nh sau:
-Vì thấy một quy luật nào đó giữa các hạng tử, cho nên học sinh nhanh
chóng đặt một ẩn phụ, và cũng vì sự nhanh chóng ấy cho nên nhiều khi không
có ý thức đặt một điều kiện tơng xứng cho ẩn phụ. Ta luôn phải làm cho học
sinh nhớ rằng nếu ta đặt ẩn phụ và chuyển đổi yêu cầu của bài toán thì cẩn
thận với việc phát biểu không đủ ý với ẩn vừa đặt.
15
- Dù rằng các em đã có ý thức đặt điều kiện cho ẩn phụ nhng xác định
không rõ về mức độ của điều kiện ấy, tức là nhiều khi mới rút ra đợc một điều
kiện nào đó của ẩn phụ thì đã vội vàng khép lại việc làm này. Cần cho học
sinh thấy rằngvới những bài toán biện luận về sự có nghiệm của phơng trình
chứa tham số thì hầu nh ta không có điều kiện để tìm ra nghiệm cụ thể, mà
thay vào đó là tìm một điều kiện sát thực cho ẩn t, nghĩa là t phải nh thế nào
thì ắt sẽ có x tơng ứng. Bản chất của vấn đề đó là: Hàm f: X


R
x

t=f(x)
thì t phải thuộc miền giá trị của hàm f.
- Đặt t=
1
2
2
+x
x
để dẫn tới điều kiện 0

t<1
Thì có trờng hợp ta diễn đạt đầy đủ theo lối của phơng pháp tìm miền giá trị:
x
2
=t(x
2
+1)

(1-t)x
2
=t
Xét hai khả năng: t=1 và t

1
Nếu t

1 thì

t
t
1
phải không âm, nghĩa là 0

t<1. Còn nếu t=1 thì không
chấp nhận.
Tuy nhiên cũng cần rèn luyện cho học sinh cảm nhận trực giác về việc
tìm điều kiện đối với ẩn t chứ không nhất thiết bài toán nào cũng làm theo ph-
ơng pháp miền giá trị.
Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình (x-3)(x+1)+4(x-3)
3
1

+
x
x
=m (1) có nghiệm.
Giải: điều kiện x

-1, x>3
Đặt t=(x-3)
3
1

+
x
x
, phơng trình trở thành t
2

+4t-m=0 (2)
Đặt ẩn phụ kiểu này sẽ thuận tiện hơn trong khâu biến đổivế trái so với
cách đặt ẩn phụ khác bởi vì không cần xét riêng rẽ các trờng hợp x

-1, x>3.
Tuy nhiên vì nhanh chóng rút ra đợc phơng trình bậc 2 đối với ẩn t nên học
16
sinh có thể quên mất điều kiên cần phải có của t. Sau khi tìm điều kiện một
cách cẩn thận thì thấy rằng bất kỳ t nào trên R cũng có những x tơng ứng, dĩ
nhiên đó là ngẩu nhiên. Vì vậy học sinh không đặt vấn đề tìm điều kiện thì rốt
cuộc đáp số vẩn ắt đúng nhng lời giải cha thể chấp nhận đợc. Để tìm điều kiện
cuả t, ta có các cách sau:
Cách 1: Ta có
+=
+
Limt
x
và
=

Limt
x
Mặt khác hàm số liên tục trên (-;-1] và [3;+ ), do vậy t có thể lấy bất kỳ giá
trị nào.
Cách 2: t= (x-3)
3
1

+
x

x











+=




+=
>>
)3)(1(
0,2
)1)(3(
0,3
2
2
xxt
tx
xxt
tx
Dể thấy rằng phơng trình x

2
-2x-3-t=0 trong trờng hợp t >0 luôn có ít nhất 1
nghiệm lớn hơn 3.
Nhiều tình huống chuyển đổi bài toán thông qua một số phép biến đổi,
vì vậy có thể mắc sai lầm trong chuyển đổi, đặc biệt là các phép biến đổi hệ
quả và tơng đơng.
Ví dụ 3: Phơng trình có dạng
3
)(xf
+
3
)(xg
=
3
)(xh
(1)
Thờng đợc học sinh biến đổi nh sau:
(1)

(
3
)(xf
+
3
)(xg
)
3
=h(x)

f(x)+g(x)+3

3
)().( xgxf
(
3
)(xf
+
3
)(xg
)=h(x)

f(x)+g(x)+3
3
)().( xgxf
.
3
)(xh
= h(x)

27f(x).g(x).h(x)=(h(x)-f(x)-g(x))
3
Và đã đa phơng trình về không chứa dấu căn.
Thông thờng, giáo viên căn dặn học sinh cẩn thận khi luỷ thừa lên bậc
chẳn, và nói chung khi luỹ thừa bậc lẻ thì không gặp vấn đề gì, bởi vậy đã có
17
thể nhập tâm với sự căn dặn ấy cho nên trong tình huống này việc dùng các
phép tơng đơng là không có khúc mắc gì. Tuy nhiên cần làm cho học sinh
thấy đối với phơng trình dạng
A+B=C

A

3
+B
3
+3AB(A+B)=C
3


A
3
+B
3
+(-C)
3
=-3AB(A+B)
Nếu ta khẳng định nó cũng tơng đơng với A
3
+B
3
+3AB(A+B)=C
3
thì có
nghĩa là ta cho rằng A
3
+B
3
+(-C)
3
=-3ABC là tơng đơng với A+B=C
Tuy nhiên, A
3

+B
3
+(-C)
3
=-3ABC

A
3
+B
3
+(-C)
3
-3AB(-C)=0


[A+B+(-C)](A
2
+B
2
+(-C)
2
-AB-AC-BC)=0
Nếu ta muốn khẳng định A+B=C thì ta phải khẳng định
A
2
+B
2
+(-C)
2
-AB-A(-C)-B(-C)


0
Nói cách khác, ta phải chắc chắn đợc không xẩy ra đồng thời A=-C và
B=-C, thì khi ấy mới chắc chắn có sự tơng đơng nh đã biến đổi.
Cách giải thích này sẽ giải quyết tận gốc bản chất của vấn đề, còn nếu
không sử dụng cách này thì ta có thể chỉ ra các phản ví dụ cụ thể theo tinh
thần là lựa chon 3 hàm f(x), g(x), h(x mà hệ f(x)-g(x)=-h(x) có nghiệm.
Ví dụ 4: Cho hàm số y=
mx
mxmmx

+ 12)2(
2
a, Tìm m để hàm số có cực trị.
b, CMR với những giá trị m vừa tìm đợc, thì trên đồ thị luôn tìm đợc 2
điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Giải:
a, Hàm số đạt cực đại

pt y
,
=0 có 2 nghiệm phân biệt, việc chuyển từ yêu
cầu có cực trị thành yêu cầu phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đó cũng chính
là việc chuyển đổi bài toán. Kiến thức này cũng có thể coi là t duy thuật giải
bởi vì đối với hàm số bậc hai trên bậc nhất thì sau một số lần thao tác, học
sinh sẽ nhớ đợc quy tắc: Có cực trị tơng đơng với đạo hàm có 2 nghiệm phân
biệt. Tuy nhiên khi dạy về cực trị của hàm số thì không nên cho học sinh nhớ
một cách máy móc về điều kiện đạt cực trị của hàm phân thức bậc hai trên
18
bậc nhất, cần phải xuất phát từ cái gốc của vấn đề để học sinh nắm vững kiến

thức hơn: Vì y là hàm số bậc hai trên bậc nhất nên nên y
,
là hàm số bậc hai
trên bậc hai, sự có nghiệm của y
,
phụ thuộc vào sự có nghiệm của tử số. Nếu


0 thì đạo hàm không đổi dấu cho nên hàm số giữ nguyên một chiều biến
thiên, vì vậy nó không thể có cực trị; nếu

>0 thì đạo hàm sẽ có 2 nghiệm
phân biệt và đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó, nghĩa là hàm số đạt cực đại
tại các điểm đó.
b, Ta có y
,
=
2
322
)(
12
mx
mxmmx

++
=1+
2
)(
1
mx

Ta chuyển đổi về bài toán: CMR nếu m<0 thì tồn tại x
1
,x
2
sao cho (m+
2
1
)(
1
mx
)(m+
2
2
)(
1
mx
) = -1
Đến đây rất dể phạm phải một sai lầm, đó là biến đổi để dùng định lý
Viet. Thực ra x
1
,x
2
chỉ là hoành độ các tiếp điểm chứ không phải là hoành độ
các điểm cực trị. Nếu học sinh sa vào tính toán hay biến đổi thì sẽ gặp lấy
phức tạp, trong khi đó nếu có khả năng trừu tợng hoá thì nhận thấy rằng
2
1
)(
1
mx

và
2
2
)(
1
mx
không bị hạn chế bởi điều kiên nào khác ngoài điều
kiện phải dơng. Do đó ta có bài toán tơng đơng: CMR

m<0 thì tồn tại X
1
và
X
2
dơng sao cho:
(m+X
1
)(m+X
2
)=-1

(m+X
1
)=
2
1
XM +




X
1
=
2
1
XM +

-m

X
1
=
2
2
2
1
Xm
mXm
+

Để đảm bảo X
1
và X
2
dơng, ta chọn



<
>

mmX
mX
1
2
2








>
>
m
m
X
mX
2
2
2
1
Ví dụ 5: Cho phơng trình (x3)(x+1)+4(x-3)
3
1


x
x

=m (1)
19
a, Giải phơng trình khi m=-3
b, Tìm m để phơng trình có nghiệm.
Giải:
điều kiện
3
1

+
x
x

0





>
1
3
x
x
(*)
Đặt t= (x-3)
3
1



x
x
, suy ra (x3)(x+1)=t
2
Khi đó phơng trình có dạng t
2
+4t-m=0(2)
Với m=-3, phơng trình (2) trở thành t
2
+4t+3=0

t=-3, t=-1
*Với t=-3, ta đợc (x-3)
3
1


x
x
=-3

x=1-
13
*Với t=-1, ta đợc (x-3)
3
1


x
x

=-1

x=1-
5
b, Phơng trình (1) có nghiệm, suy ra (2) có nghiệm

0


m

-4
Giử sử khi đó (2) có nghiệm t
0
thì t
o
=(x-3)
3
1


x
x
Với t
o
=0 thì x=-1
Với t
o

>

0 suy ra



=+
>
o
txx
x
2
)1)(3(
03






+=
>
+

2
0
41
3
tx
x

x=1+

2
0
4 t+
Với t
o

>
0 suy ra



=+
>
o
txx
x
2
)1)(3(
03






+=
<
+

2

0
41
3
tx
x

x=1-
2
0
4 t+
Vậy với m

-4 thì phơng trình (1) có nghiệm.
Trong bài toán trên, học sinh dể mắc sai lầm từ phép biến đổi
(x-3)
3
1


x
x
=
)1)(3( + xx
, đó dĩ nhiên không phải là phép biến
đổi tơng đơng, bởi vì (x-3)
3
1


x

x
=





<+
>+
03)1)(3(
03)1)(3(
xxx
xxx
20
Chơng 2
Các biện pháp s phạm nhằm hạn chế và sửa chữa
các sai lầm của học sinh khi giảI toán phơng trình và
bất phơng trình
2.1. Các phơng châm chỉ đạo
Trong quá trình dạy học Toán, để học sinh hạn chế các sai lầm khi giải
toán phơng trình và bất phơng trình, giái viên cần tuân thủ các phơng châm
sau:
- Phơng châm thứ nhất: Tính kịp thời
Các biện pháp phải chú ý thích ứng với thời điểm thích hợp. Biện pháp
chỉ phát huy hiệu quả nếu đợc áp dụng đúng lúc, không thể tuỳ tiện trong việc
phân tích và sửa chữa, cũng nh hạn chế sai lầm của học sinh. Đặc biệt là thời
gian mà giáo viên tiếp xúc trực tiếp với học sinh là có hạn, do đó sự không kịp
thời sẽ là sự lãng phí thời gian và giáo viên khó có có điều kiện lấy lại thời
gián đã mất. tính kịp thời của phơng pháp đòi hỏi giáo viên phải có sự nhanh
nhạy trớc các tình huống điển hình nhằm tác động đến hoạt động của học

sinh, tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu và dự đoán trớc các tình
huống có thể mắc sai lầm của học sinh, đòi hỏi giáo viên phải luôn ở vị trí th-
ờng trực với mục tiêu dạy học. Các sai lầm càng sửa muộn bao nhiêu thì sự vất
vả của thầy và trò càng tăng thêm bấy nhiêu.
- Phơng châm thứ hai: Tính chính xác
Đòi hỏi giáo viên phải đảm bảo độ chính xác từ ngôn ngữ thông thờng
đến ngôn ngữ Toán học, đòi hỏi phải chỉ ra chính xác nguyên nhân dẩn tới sai
lầm của học sinh trong lời giải. Giáo viên không đợc phủ nhận lời giải sai một
cách chung chung, đòi hỏi sự đánh giá mức độ sai lầm của học sinh. Tính
21
chính xác đòi hỏi giáo viên đánh giá lời giải của họ sinh qua sổ điểm một cách
công bằng, phải biết hớng dẫn điều chỉnh sửa chữa sai lầm bằng các biện pháp
tối u.
- Phơng châm thứ ba: Tính giáo dục
Tính giáo dục giúp học sinh thấy đợc tầm quan trọng trong sự chính xác
của lời giải, giúp học sinh tránh đợc các sai lầm khi sai lầm cha xuất hiện.
Tính giáo dục còn giúp cho có ý chí trong học Toán và giải Toán. Các em có
sự kiên trì và cẩn thận để đi tới lời giải đúng, tạo ra thói quen kiểm tra lời giải
và biết cách phủ định các sai lầm trong lập luận. Tính giáo dục còn giúp học
sinh không dấu dốt, dám hỏi khi cha hiểu và không bao giờ tự thoả mãn với
kết quả đã đạt đợc.
2.2. Các biện pháp s phạm chủ yếu:
2.2.1. Nắm vững các kiến thức về môn Toán
R.AAxnop nói: "Việc tiếp thu tri thức cách có ý thức đợc kích thích bởi
việc học sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà
mình phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lý luận về bản
chất của các sai lầm". Một trong những nguyên nhân chủ yếu của các sai lầm
là do trình độ còn yếu. Trong đó có thể là học sinh không nắm vững kiến thức
cơ bản về môn Toán. Khi truyền thụ giáo viên cần lu ý:
Nắm vững nội dung môn Toán phổ thông trung học: Đặc biệt là các tình

huống điển hình trong môn Toán ( Dạy học khái niệm môn Toán, định lý Toán
học, quy tắc, phơng pháp và đặc biệt là dạy học giải bài tập Toán học ). Khi dạy
khái niệm cần chú ý đến nội hàm, ngoại diên và mối quan hệ giữa các khái niệm,
khi dạy định lý cần chú ý đến cấu trúc lôgic và giả thiết của định lý.
Trong giải Toán để tránh các sai lầm, học sinh cần đặc biệt chú ý tới
các hoạt động nhằm tích cực hóa hoạt động học tập. Học sinh chủ động nắm
22
kiến thức bằng "Lao động" của mình. Đó là các hoạt động nhận dạng, thể hiện
hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ và hoạt động ngôn ngữ, thông
qua các hoạt động này học sinh mới bộc lộ những sai lầm, từ đó mà dự đoán,
phòng tránh và sửa chữa sai lầm.
* Đặc biệt phơng pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc
phòng ngừa các sai lầm cho học sinh. Nếu học sinh đợc làm quen với các hệ
thống phơng pháp dạy học mới, khêu gợi trí sáng tạo, biết phát hiện và giải
quyết vấn đề sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc mắc sai
lầm trong dạy học giải Toán.
2.2.2. Nắm vững các kiến thức về lôgic
Rèn luyện t duy lôgic cho học sinh là nhiệm vụ hàng đầu của việc dạy
học môn Toán ở trờng phổ thông. Nhiệm vụ đó đòi hỏi ở ngời giáo viên có
kiến thức về lôgic học- khoa học về suy luận, về t duy, vận dụng kiến thức vào
môn Toán (Hoàng Chúng ).
Toán học hiện đại đợc xây dựng trên nền tảng của lý thuyết tập hợp và
lôgic Toán. Lôgic Toán đóng vai trò quan trọng trong dạy học giải Toán; giúp
cho tiến trình giải Toán đợc chính xác, rõ ràng và nhất quán. Đó là năng lực
nhìn thấy tính không rõ ràng của suy luận, sự thiếu các mắt xích cần thiết khi
chứng minh; Có thói quen lí giải lôgic một cách đầy đủ; có sự chính xác của
suy luận. Một trong các nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi giải
Toán là trình độ hiểu biết các kiến thức cần thiết về lôgic còn yếu. Học sinh
thờng khó nhận thấy các sai lầm về lôgic.
Trong dạy học phơng trình có thể hiểu: " Phơng trình là một hàm mệnh

đề, nghiệm của phơng trình là giá trị của biến làm cho hàm mệnh đề đó trở
thành mệnh đề đúng" sẽ giúp cho học sinh dễ tránh đợc những sai lầm.
Chẳng hạn: Phơng trình sin x = a có tập xác định R đợc hiểu là hàm
mệnh đề "Số trị của hàm f(x) = sin x bằng a". Giải phơng trình sin x = a là
tìm tất cả các số thực x làm cho mệnh đề sin x = a là đúng.
23
Ví dụ: Phơng trình sin x( 3x + 1 )= sin ( x - 2 ) nhất thiết phải hiểu theo
nghĩa hàm mệnh đề. Có nh vậy mới tránh đợc các sai lầm đáng tiếc trong ví
dụ trên.
- Dựa vào tiền đề sai, hoặc tiền đề cha đợc chứng minh.
- Không nắm vững cấu trúc của định lý, không xét toàn diện giả thiết
của định lý, suy luận sai dẫn đến nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận.
2.2.3. Nắm vững những nội dung về năng lực giải Toán
Khi giải các bài toán về phừơng trình và bất phơng trình, giáo viên cần
cho học sinh nắm vững bản chất, các thành phần và đặc trng, cơ chế lôgic và
các điều kiện hình thành năng lực giải toán; Khai thác đợc tiềm năng sáng tạo
qua con đờng phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học giải
Toán, cung cấp thêm tri thức cho học sinh, giúp phòng tránh và xử lý các sai
lầm trong giải Toán, giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và toàn
diện về giải Toán
2.2.4. Nắm vững một số phơng pháp giải Toán cơ bản
Việc xác định hớng giải một bài tập có liên quan mật thiết với việc lựa
chọn phơng pháp và công cụ thích hợp để giải một bài tập. Theo Nguyễn Thái
Hoè trong [4] " Một bài tập chỉ có thể có lời giải tốt khi chọn đợc phơng pháp
và công cụ thích hợp với hớng giải đã có ". Không tìm đợc phơng pháp giải
phù hợp với bài tập có thể đa đến các sai lầm: Đặt điều kiện sai, biện luận
không hết các trờng hợp, không theo trình tự lôgic, không có cách giải tối u
Muốn giải đợc bài tập, ngoài các kiến thức cơ bản của môn Toán, các kiến thức
cần thiết của lôgic học, cần phải căn cứ vào hớng đã vạch ra, vào quá trình tiếp
nhận và đặc điểm của bài tập. Từ đó mới xây dựng đợc kế hoạch giải cụ thể và

lựa chọn các phơng pháp thích hợp. Điều đó phụ thuộc vào khả năng sáng tạo,
cách phát hiện vấn đề cần giải quyết của học sinh.
24
Vài lời kết luận
Sửa chữa các sai lầm khi giải toán là việc làm cấp thiết và cần tiến hành
thờng xuyên trong quá trình giải toán. Nếu một sai lầm không đợc sửa chữa
kịp thời sẽ dẩn tới nhiều sai lầm khác cho học sinh. Kiến thức về phơng trình
và bất phơng trình chiếm một vị trí quan trọng trong chơng trình toán học phổ
thông, và trong quá trình giải loại toán này thì học sinh có thể mắc sai lầm
trong nhiều tình huống. Trong phạm vi đề tài này, tác giả chỉ đề cập đến
những sai lầm học sinh thờng mắc phải khi giải toán, rất mong đợc sự đóng
góp để đề tài có nhiều ứng dụng sâu sát hơn.
25