ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ DUNG
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 36
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
THÁI NGUYÊN, 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa Học,
Đại học Thái Nguyên.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài
giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ, chỉ bảo tận
tình và những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo trong
trường Đại học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên, các giáo sư của
Viện Toán học. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết
hơn đến các thầy cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào
tạo khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đại
học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã quan tâm và giúp đỡ tác
giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà Tiến
Ngoạn, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt
thời gian tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tác
giả hoàn thành luận văn này.

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã
cảm thông, luôn theo sát động viên, ủng hộ và chia sẻ những khó
khăn trong suốt thời gian tác giả học tập và làm luận văn, giúp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
tác giả có điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập và làm luận
văn.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 7 năm 2012
Tác giả
Lương Thị Dung
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Mở đầu 6
Một số ký hiệu và chữ viết tắt 8
1 Phép tính biến phân 9
1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Không gian L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Không gian H
1,2
(Ω) . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Không gian H
1,2
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Phiếm hàm toàn phương trong H
1,2

0
(Ω) . . . . . . 19
1.3 Phiếm hàm trong H
1,2
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Phương pháp biến phân đối với bài toán biên Dirich-
let cho phương trình elliptic cấp 2 33
2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . 33
2.1.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
2.1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng . . . . 34
2.2 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần đúng . . . 37
2.3.1 Trường hợp g ≡ 0 trên ∂Ω . . . . . . . . . 37
2.3.2 Trường hợp g = 0 trên ∂Ω . . . . . . . . . 39
Kết luận 41
Tài liệu tham khảo 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Mở đầu
Nghiệm suy rộng của bài toán biên Drichlet của phương trình
elliptic cấp 2 trong miền Ω được định nghĩa trong không gian
H
1,2
(Ω) là hàm số gồm những hàm số mà các đạo hàm riêng đến
cấp 1 là bình phương khả tích trong Ω. Người ta đã chứng minh

rằng nghiệm suy rộng này có liên quan chặt chẽ đến cực tiểu hóa
của phiếm hàm năng lượng tương ứng.
Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối với bài toán biên
thứ nhất cho phương trình elliptic tuyến tính cấp 2. Các vấn đề
được đề cập trong luận văn được tập hợp từ [1].
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận
văn gồm có hai chương.
Phần đầu chương 1 Luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn
bị như không gian H
1,2
(Ω) và H
1,2
0
(Ω) các phiếm hàm trong các
không gian này. Phần tiếp theo, Luận văn trình bày sự tồn tại
và duy nhất phần tử cực tiểu hóa của phiếm hàm. Phần cuối của
chương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để một phần
tử là cực tiểu hóa.
Trong chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối
với bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2. Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
lý Dirichlet được phát biểu như sau: Hàm u(x) ∈ H
1,2
(Ω), u(x) =
g(x) trên ∂Ω là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet khi và chỉ
khi nó là cực tiểu hóa của phiếm hàm năng lượng tương ứng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Một số ký hiệu và chữ viết tắt

R Tập các số thực.
R
n
Không gian Euclidean n chiều.
R
d
Không gian Euclidean d chiều.
W
d
Thể tích của hình cầu đơn vị trong R
d
.
W
1
2
(Ω) Không gian sinh ra bởi tích vô hướng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Chương 1
Phép tính biến phân
1.1 Một số không gian hàm
1.1.1 Không gian L
p
(Ω)
Cho Ω ∈ R
n
là một miền trong R
n
. Không gian L
p

(Ω), 1 ≤ p <
+∞ là tập hợp tất cả các hàm f(x) đo được trong Ω và |f(x)|
p
khả tích trong Ω, tức là

Ω
|f(x)|
p
dx < +∞.
Trong L
p
(Ω) ta đưa vào chuẩn
||f(x)||
L
p
(Ω)
=



Ω
|f(x)|
p
dx


1
p
. (1.1)
Khi đó L

p
(Ω) là không gian Banach.
Không gian L
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng sau
(f, g)
L
2
(Ω)
=

Ω
f(x)g(x)dx. (1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Giả sử các số p và q thỏa mãn các điều kiện
p ≥ 1, q ≥ 1,
1
p
+
1
q
= 1.
Khi đó ta có bất đẳng thức Holder sau đây

Ω
|f(x)g(x)|dx ≤ ||f||
L
p
(Ω)

||g||
L
q
(Ω)
. (1.3)
1.1.2 Không gian H
1,2
(Ω)
Không gian C
1
(
¯
Ω) là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng
và chuẩn sau
< u, v >
C
1
(
¯
Ω)
=

Ω


n

j=1
D
j

(u)D
j
(v) + u(x)v(x)


dx, (1.4)
||u||
2
C
1
(
¯
Ω)
=

Ω


u
2
+
n

j=1
(D
j
u)
2



dx. (1.5)
Trong đó D
j
u =
∂u
∂x
j
.
Ta kí hiệu H
1,2
(Ω) là bao đóng của C
1
(
¯
Ω) theo chuẩn (1.5).
1.1.3 Không gian H
1,2
0
(Ω)
Không gian H
1,2
0
(Ω) là không gian con của không gian H
1,2
(Ω)
H
1,2
0
(Ω) = {u(x) ∈ H
1,2

(Ω), u|
∂Ω
= 0}.
Ta có thể định nghĩa H
1,2
0
(Ω) là bao đóng của C
∞
0
(Ω) đối với
chuẩn (1.5), trong đó C
∞
0
(Ω) là không gian tất cả các hàm số khả
vi vô hạn và có giá compact trong Ω.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Ω ⊂ R
d
là miền bị chặn và u ∈ L
1
loc
(Ω).
Hàm v ∈ L
1
loc
(Ω) gọi là đạo hàm yếu của u theo biến x
j
nếu


Ω
φv = −

Ω
u
∂φ
∂x
j
dx, (1.6)
∀φ ∈ C
1
0
(Ω). Ta viết v = D
j
u.
Hàm u được gọi là khả vi yếu nếu nó đạo hàm yếu theo x
i
, ∀i ∈
{1, , d}.
Ta kí hiệu B
1
(0) là hình cầu đơn vị trong R
d
. Giả sử ρ(x) ∈
C
∞
0
(B
1
(0)) sao cho


R
d
ρ(x)dx = 1.
Với u(x) ∈ L
1
loc
(Ω) và h > 0 đủ nhỏ, ta đặt
u
h
(x) =
1
h
d

R
d
u(y)ρ

x − y
h

dy.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử u ∈ L
1
loc
(Ω) và giả sử v = D
i
u tồn tại. Nếu
điều kiện sau về khoảng cách được thỏa mãn

dist(x, ∂Ω) > h
thì chúng ta có
D
i
(u
h
(x)) = (D
i
u)
h
(x).
Chứng minh. Từ định nghĩa ta thu được
D
i
(u
h
(x)) =
1
h
d

∂
∂x
i
ρ

x − y
h

u(y)dy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
=
−1
h
d

∂
∂y
i
ρ

x − y
h

u(y)dy
=
1
h
d

ρ

x − y
h

D
i
u(y)dy = (D
i

u)
h
(x).
Định lý 1.1.3. Giả sử u, v ∈ L
2
(Ω), v = D
i
u. Khi đó tồn tại dãy
(u
n
) ⊂ C
∞
(Ω) với u
n
→ u,
∂
∂x
i
u
n
→ v trong L
2
(Ω

) với bất kì
Ω

⊂ Ω.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian W
1,2

(Ω) được định nghĩa như
không gian của u ∈ L
2
(Ω) mà có đạo hàm yếu của lớp L
2
(Ω) theo
các biến x
i
(i = 1, , d).
Trong W
1,2
(Ω) ta định nghĩa tích vô hướng
(u, v)
W
1,2
(Ω)
:=

Ω
uv +
d

i=1

Ω
D
i
u.D
i
v

và chuẩn
||u||
W
1,2
(Ω)
:= (u, u)
1
2
W
1,2
(Ω)
.
Hệ quả 1.1.5. W
1,2
(Ω) là đầy đủ với chuẩn || · ||
W
1,2
(Ω)
và do đó
W
1,2
(Ω) = H
1,2
(Ω).
Chứng minh. Giả sử (u
n
)
n∈N
là dãy Cauchy trong W
1,2

(Ω), khi
đó (u
n
)
n∈N
, (D
i
u
n
)
n∈N
, (i = 1, , d) là dãy Cauchy trong L
2
(Ω).
Vì L
2
(Ω) là đầy đủ, tồn tại u, v
i
∈ L
2
(Ω) với u
n
→ u, D
i
u
n
→ v
i
trong L
2

(Ω), (i = 1, , d).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Cho φ ∈ C
1
0
(Ω ta có

D
i
u
n
φ = −

u
n
D
i
φ
và bên trái hội tụ đến

v
i
φ, bên phải hội tụ đến −

uD
i
φ. Do
đó D
i

u = v
i
và u ∈ W
1,2
(Ω). Để chứng minh trên đẳng thức
H
1,2
(Ω) = W
1,2
(Ω), ta cần chỉ ra rằng không gian C
∞
(Ω) ∩
W
1,2
(Ω) là trù mật trong W
1,2
(Ω). Cho n ∈ N ta đặt
Ω
n
:= {x ∈ Ω : ||x|| < n, dist(x, ∂Ω) >
1
n
,
với Ω
0
= Ω
−1
:= ∅ do đó
Ω
n

⊂⊂ Ω
n+1
và

n∈N
Ω
n
= Ω.
Giả sử {ϕ
j
}
j∈N
là một phân hoạch đơn vị của phủ sau của Ω

Ω
n+1
\Ω
n−1

.
Giả sử u ∈ W
1,2
(Ω), theo Định lý 1.1.3 cho mỗi  > 0, ta tìm
được một số dương h
n
cho bất kì n ∈ N sao cho
h
n
≤ dist(Ω
n

, ∂Ω
n+1
);
||(ϕ
n
u)
h
n
− ϕ
n
u||
W
1,2
(Ω)
<

2
n
vì ϕ
n
là các hàm số trong phân hoạch đơn vị trên bất kì Ω

⊂⊂ Ω,
hàm trơn (ϕ
n
u)
h
n
có giá trị khác 0. Vậy


u :=

n
(ϕ
n
u)
h
n
∈ C
∞
(Ω).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Ta có
||u −

u||
W
1,2
(Ω)
≤

n
||(ϕ
n
u)
h
n
− ϕ
n

u|| < 
và ta thấy rằng mỗi u ∈ W
1,2
(Ω) có thể xấp xỉ bởi hàm C
∞
(Ω).
Bổ đề 1.1.6. Cho u ∈ W
1,2
(Ω), f ∈ C
1
(R), giả sử
sup
y∈R
|f

(y)| < ∞.
Khi đó f ◦ u ∈ W
1,2
(Ω) và đạo hàm yếu thỏa mãn
D(f ◦ u) = f

(u)Du.
Chứng minh. Giả sử u
n
∈ C
∞
(Ω), u
n
→ u trong W
1,2

(Ω) khi
n → ∞. Khi đó

Ω
|f(u
n
) − f(u)|
2
dx ≤ sup |f

|
2

Ω
|u
n
− u|
2
dx → 0
và

Ω
|f

(u
n
)Du
n
− f


(u)Du|
2
dx ≤ 2 sup |f

|
2

Ω
|Du
n
− Du|
2
dx
+2

Ω
|f

(u
n
) − f

(u)|
2
|Du|
2
dx.
Do sự chọn của dãy con u
n
hội tụ tới u hầu hết theo từng điểm

trong Ω
3
. Vì f

liên tục, f

(u
n
) cũng hội hội tụ hầu khắp nơi tới
f

(u). Vì f

cũng bị chặn, tích phân cuối cùng hội tụ tới 0 cho
n → ∞ bởi định lý Lebesgue trên sự hội tụ do đó
f(u
n
) → f(u) trong L
2
(Ω)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
và
D(f(u
n
)) = f

(u
n
)Du

n
→ f(u)Du trong L
2
(Ω).
Do đó
f ◦ u ∈ W
1,2
(Ω) và D(f ◦ u) = f

(u)Du.
Hệ quả 1.1.7. Nếu u ∈ W
1,2
(Ω) thì |u| ∈ W
1,2
(Ω) và D|u| =
sign u.Du
Chứng minh. Ta xét f

(u) := (u
2
+ 
2
)
1
2
− , áp dụng Bổ đề 7.2.3
và giả sử  → 0, sử dụng một lần nữa định lý Lebesgue trên sự
hội tụ để khẳng định giới hạn như trước.
Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức Poincare). Cho u ∈ H
1,2

0
(Ω) ta có
||u||
L
2
(Ω)
≤

|Ω|
ω
d

1
d
||Du||
L
2
(Ω)
,
|Ω| là kí hiệu thể tích của Ω, ω
d
là thể tích của hình cầu đơn vị
trong R
d
, cho bất kì u ∈ H
1,2
0
(Ω). Chuẩn W
1,2
được đánh giá bởi

chuẩn L
2
của Du
||u||
H
1,2
(Ω)
≤

1 +

|Ω|
w
d

1
d

||Du||
L
2
(Ω)
.
Chứng minh. Giả sử u ∈ C
1
0
(Ω) ta đặt u(x) = 0 cho x ∈ R
d
\Ω,
cho ω ∈ R

d
với |ω| = 1 mà
u(x) = −
∞

0
∂
∂r
u(x + rω)dr.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Lấy tích phân theo ω
u(x) =
−1
dω
d
∞

0

|ω|=1
∂
∂r
u(x + rω)dudr
=
−1
dω
d
∞


0

∂B(x,r)
1
r
d−1
∂
∂v
(z)dδ(z)dr
=
−1
dω
d

Ω
1
|x − y|
d−1
d

i=0
∂
∂y
i
u(y)
x
i
− y
i
|x − y|

dy.
Do đó theo bất đẳng thức Schwarz ta thu được
|u(x)| ≤
1
dω
d

Ω
1
|x − y|
d−1
|Du(y)|dy.
Bổ đề 1.1.9. Cho f ∈ L
1
(Ω), 0 < µ ≤ 1, giả sử
(V
µ
f)(x) :=

Ω
|x − y|
d(µ−1)
f(y)dy
Khi đó
||V
µ
f||
L
2
(Ω)

≤
1
µ
ω
1−µ
d
|Ω|
µ
||f||
L
2
(Ω)
.
Chứng minh. Đặt B(x, R) := {y ∈ R
d
|x−y| ≤ R}, giả sử R được
chọn sao cho |Ω| = |B(x, R)| = ω
d
R
d
. Từ đẳng thức
|Ω\(Ω ∩ B(x, R))| = B(x, R)\(Ω ∩ B(x, R))|
và
|x − y|
d(µ−1)
≥ R
d(µ−1)
, |x − y| ≤ R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17

Nên ta có

Ω
|x−y|
d(µ−1)
dy ≤

B(x,R)
|x−y|
d(µ−1)
dy =
1
ω
ω
d
R
dµ
=
1
µ
ω
1−µ
d
|Ω|
µ
.
Ta viết
|x − y|
d(µ−1)
|f(y)| =


|x − y|
d
2
(µ−1)

|x − y|
d
2
(µ−1)
|f(y|

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta được
|(V
µ
f)(x)| ≤

Ω
|x − y|
d(µ−1)
|f(y)|dy
≤


Ω
|x − y|
d(µ−1)
dy


Ω
|x − y|
d(µ−1)
|f(y)|
2
dy

≤

1
µ
ω
1−µ
d
|Ω|
µ

2

Ω
|f(y)|
2
dy.
Định lý 1.1.10. Giả sử Ω ∈ R
d
mở và bị chặn. Khi đó H
1,2
0
(Ω)
được nhúng compact trong L

2
(Ω), tức là với bất kì dãy (u
n
)
n∈N
⊂
H
1,2
0
(Ω) với
||u
n
||
W
1,2
(Ω)
≤ C
0
(1.7)
luôn chứa dãy con hội tụ trong L
2
(Ω).
Chứng minh. Ta cần tìm hàm ω
n,
⊂ C
1
(Ω), cho bất kì  > 0 sao
cho
||u
n

− ω
n,
||
W
1,2
(Ω)
<

2
(1.8)
và
||ω
n,
||
W
1,2
(Ω)
≤ C
1
, (1.9)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
(hằng số C
1
phụ thuộc vào  nhưng không phụ thuộc vào n),
bởi định lý Ascoli dãy (ω
n,
)
n∈N
chứa dãy con hội tụ đều, do đó

cũng trong L
2
. Cố định cho mỗi  > 0, bao đóng của (u
n
)
n∈N
là
compact trongL
2
(Ω) và chứa dãy con hội tụ. Ứng dụng kết quả
bao đóng của dãy (ω
n,
)
n∈N
ta kết luận luôn tồn tại nhiều hữu hạn
z
v
, v = 1, , N trong L
2
. Như vậy cho mỗi n ∈ N
||ω
n,
− z
v
||
L
2
(Ω)
<


2
, v ∈ {1, , N}. (1.10)
Do đó từ (1.8) và (1.10) cho mỗi n ∈ N
||u
n
− z
v
||
L
2
(Ω)
< 
vì  > 0 cố định nên dãy (u
n
)
n∈N
là dãy bị chặn hoàn toàn. Vì
vậy bao đóng của nó là compact trong L
2
(Ω) và ta muốn có dãy
con hội tụ trong L
2
(Ω). Theo định nghĩa của H
1,2
0
(Ω) tồn tại
ω
n
∈ C
1

0
(Ω) với
||u
n
− ω
n
||
W
1,2
(Ω)
<

4
.
Sau đó hàm ω
n,ε
(x) được xây dựng như sau
ω
n,ε
(x) =
1
h
d

Ω
ρ

x − y
h


ω
n
(y)dy.
Kiểm tra chuẩn L
2
của hiệu ω
n
− ω
n,ε

Ω
|ω
n
(x)−ω
n,ε
(x)|
2
dx =

Ω




|y|≤1
ρ(y)(ω
n
(x) − ω
n
(x − hy))dy




2
dx
≤

Ω




|y|≤1
ρ(y)
h|y|

0




∂
∂r
ω
n
(x − rω)





drdy



2
dx với ω =
y
|y|
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
=

Ω




|y|≤1
ρ(y)
1/2
ρ(y)
1/2
h|y|

0




∂

∂r
ω
n
(x − rω)




drdy



2
dx
≤




|y|≤1
ρ(y)dy







|y|≤1
ρ(y)h

2
|y|
2

Ω
|Dω
n
(x)|
2
dxdy



.
Do bất đẳng thức Holder’s và Định lý Fubini’s. Vì

|y|≤1
ρ(y)dy = 1,
ta thu được đánh giá
||ω
n
− ω
n,ε
||
L
2
(Ω)
≤ h||Dω
n
||

L
2
(Ω)
.
Sau đó chúng ta có thể lựa chọn h sao cho
||ω
n
− ω
n,ε
||
L
2
(Ω)
<
ε
4
.
1.2 Phiếm hàm toàn phương trong H
1,2
0
(Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (H(·, ·)) là không gian Hilbert với
chuẩn || · ||.
A : H × H → R là dạng song tuyến tính, đối xứng, liên tục sao
cho
|A(u, v)| ≤ C||u||||v||. (1.11)
Tính đối xứng có nghĩa là ∀u, v ∈ H
A(u, v) = A(v, u). (1.12)
Dạng A gọi là eliptic nếu tồn tại một số λ dương sao cho ∀v ∈ H
A(v, v) ≥ λ||v||

2
. (1.13)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Định lý 1.2.2. Giả sử (H, (·, ·)) là không gian Hilbert với chuẩn
|| · || và V ⊂ H là lồi và đóng, A : H × H → R là hàm liên tục,
đối xứng, eliptic. Cho dạng tuyến tính L : H → R là ánh xạ tuyến
tính liên tục. Đặt
J(v) := A(v, v) + L(v). (1.14)
Khi đó tồn tại duy nhất cực tiểu hóa u của phiếm hàm J(v) trong
V.
Chứng minh. Do tính eliptic của A nên J bị chặn dưới
J(v) ≥ λ||v||
2
− ||L||||v|| ≥
−||L||
2
4λ
.
Ta đặt
K := inf
v∈V
J(v). (1.15)
Giả sử (u
n
)
n∈N
⊂ V là dãy cực tiểu hóa tức là
lim
n→∞

J(u
n
) = k. (1.16)
Ta sẽ chứng minh (u
n
)
n∈N
là dãy Cauchy. Khi đó vì V là đóng,
tồn tại giới hạn
u = lim
n→∞
u
n
∈ V.
Tính chất Cauchy được xác định như sau
k ≤ J(
u
n
+ u
m
)
2
) =
1
2
J(u
n
) +
1
2

J(u
m
) −
1
4
A(u
n
− u
m
, u
n
− u
m
).
(Nếu u
n
và u
m
có trong V , nên
u
n
+ u
m
2
∈ V vì V là lồi).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Cho n, m → ∞ thì J(u
n
), J(u

m
) hội tụ đến k. Ta kết luận
A(u
n
− u
m
, u
n
− u
m
) → 0 khi n, m → ∞.
Từ tính chất eliptic kéo theo ||u
n
− u
m
|| hội tụ đến 0. Do J liên
tục nên giới hạn u thỏa mãn
J(u) = lim
n→∞
J(u
n
) = inf
v∈V
J(v).
Ta chứng minh tính duy nhất của u. Ta xem điều này như là hệ
quả tính lồi của J. Giả sử u
1
, u
2
là hai cực tiểu

J(u
1
) = J(u
2
) = k = inf
u∈V
J(v).
Vì với u
1
, u
2
và
u
1
+ u
2
2
cũng được chứa trong tập lồi V , nên ta có
k ≤ J(
u
1
+ u
2
2
) =
1
2
J(u
1
) +

1
2
J(u
2
) −
1
4
A(u
1
− u
2
, u
1
− u
2
)
= k −
1
4
A(u
1
− u
2
, u
1
− u
2
).
Do đó A(u
1

− u
2
, u
1
− u
2
) = 0, bởi tính eliptic của A kéo theo
u
1
= u
2
.
Chú ý 1.2.3. Định lý 1.2.1 còn đúng mà không cần giả thiết tính
đối xứng của A. Đây là nội dung của Định lý Lax-Milgram
Hệ quả 1.2.4. Giả sử V là không gian con tuyến tính đóng (do đó
lồi) của H. Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm u ∈ V
của bài toán biến phân là
2A(u, ϕ) + L(ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ V. (1.17)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chứng minh. Giả sử u là điểm cực tiểu hóa của J(v) trong V. Khi
đó
d
dt
J(u + tϕ)|
t=0
= 0, ∀ϕ ∈ V
⇔ 0 =
d
dt

(A(u + tϕ, u + tϕ) + L(u + tϕ))|
t=0
= 2A(u, ϕ) + L(ϕ).
Ngược lại, nếu cố định u ∈ V và với mọi ϕ ∈ V ta có
J(u + tϕ) = J(u) + t(2A(u, ϕ) + L(ϕ) + t
2
A(ϕ, ϕ) ≥ J(u).
Suy ra u là cực tiểu hóa.
Định lý 1.2.5. Giả sử A : H ×H → R liên tục, đối xứng, eliptic,
dạng song tuyến tính, giả sử L : H → R là tuyến tính và liên tục.
Xét bài toán
J(v) = A(v, v) + L(v) → min .
Giả sử u là nghiệm trong H, u
v
là nghiệm trong không gian con
tuyến tính đóng V . Khi đó
||u − u
v
|| ≤
C
λ
inf
v∈V
||u − v||.
Với hằng số C và λ được cho trong (1.12) và (1.15).
Chứng minh. Do Hệ quả 1.2.4 ta có
2A(u, ϕ) + L(ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ H;
2A(u
v
, ϕ) + L(ϕ

v
) = 0, ∀ϕ ∈ V.
Do đó
2A(u − u
v
, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ V. (1.18)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Cho v ∈ V ta thu được
||u − u
v
||
2
≤
1
λ
A(u − u
v
, u − u
v
)( do tính chất eliptic của A )
=
1
λ
A(u − u
v
, u − v) +
1
λ
A(u − u

v
, v − u
v
)
=
1
λ
A(u − u
v
, u − v, từ (1.18), với ϕ = v − u
v
∈ V
≤
C
λ
||u − u
v
||||u − v||.
Dưới đây ta xét vấn đề tìm cực tiểu hóa gần đúng.
Định lý 1.2.6. Giả sử A : H × H → R là liên tục, đối xứng,
eliptic, dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert (H(·, ·)) với
chuẩn || · ||, và giả sử L : H → R là liên tục, đối xứng, eliptic,
dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert (H(·, ·)) với chuẩn
|| · ||, giả sử L : H → R là tuyến tính và liên tục.
Ta xét bài toán biến phân sau:
J(v) := A(v, v) + L(v) → min .
Giả sử (V
n
)
n∈N

⊂ H là dãy tăng (V
n
⊂ V
n+1
, ∀n) các không gian
con tuyến tính đóng sao cho ∀v ∈ H và δ > 0, tồn tại n ∈ N và
v
n
∈ V
n
ta có
||v − v
n
|| < δ.
Giả sử u
n
là nghiệm của bài toán
J(v) → min trong V
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
mà đã thu được trong Định lý 1.2.5. Khi đó (u
n
)
n∈N
hội tụ khi
n → ∞ tới nghiệm của bài toán
J(v) → min trong H.
Chứng minh. Giả sử k := inf
v∈H

J(v), ta sẽ chứng minh
lim
n→∞
J(u
n
) = k. (1.19)
Vì (u
n
)
n∈N
là dãy cực tiểu hóa của J trong H nên nó sẽ hội tụ
đến cực tiểu hóa của J trong H (Định lý 1.2.5). Giả sử (1.19) là
sai, khi đó ∀ > 0, ∀n ∈ N ta có
J(u
n
) ≥ k + 
(vì v
n
⊂ V
n+1
ta có J(u
n+1
) ≤ J(u
n
), ∀n).
Do đó tồn tại u
0
∈ H với
J(u
0

) < k +

2
. (1.20)
Khi đó cho δ > 0, tồn tại n ∈ N và v
n
∈ V
n
với ||u
0
− v
n
|| < δ.
Với ω
n
:= v
n
− u
n
ta có
|J(v
n
) − j(u
0
)| ≤ |A(v
n
, v
n
) − A(u
0

, u
0
) + |L(v
n
) − L(u
0
)|
≤ A(ω
n
, ω
n
) + 2|A(ω
n
, u
0
)| + ||L||||ω||
≤ C||ω
n
||
2
+ 2C||ω
n
||||u
0
|| + ||L||||ω
n
||
<

2

.
Do đó
J(v
n
) < J(u
0
) +

2
< k +  < J(u
n
).
Điều này mâu thuẫn với tính chất cực tiểu của u
n
trong V
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
1.3 Phiếm hàm trong H
1,2
0
(Ω)
Xét phiếm hàm
I(u) = A(u, u) + L(u),
trong đó
(A(u, ϕ)) =
1
2


Ω
[

i,j
a
ij
(x)D
i
uD
j
ϕ + C(x)u(x)]dx
và
L(u) =

Ω
f(x)u(x)dx.
Với các giả thiết sau
1) Tính đối xứng
a
ij
(x) = a
ji
(x), ∀i, j và x ∈ Ω.
2) Tính elliptic: Tồn tại λ > 0 sao cho
n

i,j=1
a
ij
(x)ξ

i
ξ
j
≥ λ|ξ|
2
, ∀x ∈ Ω, ξ ∈ R
n
.
3) Sự bị chặn: Tồn tại Λ < ∞ sao cho
|C(x)|, |a
ij
| ≤ Λ, ∀i, j và x ∈ Ω.
4) Tính không âm
C(x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên