Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 1

A. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả :
1.
2 2
sin cos 1
α + α =
.
2.
sin
tg
cos
α
α =
α
.
3.
cos
cot g
sin
α
α =
α
.
4.
2
2
1

1 tg
cos
+ α =
α
.
5.
2
2
1
1 cot g
sin
+ α =
α
.
6.
tg . cot g 1
α α =
.
II. Công thức cộng - trừ :
1.
(
)
sin a b sin a.cos b sin b.cos a
+ = +
.
2.
(
)
sin a b sin a.cos b sin b.cos a
− = −

.
3.
(
)
cos a b cos a.cos b sin a.sin b
+ = −
.
4.
(
)
cos a b cos a.cos b sin a.sin b
− = +
.
5.
( )
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb
+
+ =
−
.
6.
( )
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb
−
− =
+

.
7.
( )
cotga.cot gb 1
cotg a b
cot ga cot gb
−
+ =
+
.
α

sin
α
{


Cos
α

}
tg
α


cotg
α

sin
cos

tg
cotg
t
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 2

8.
( )
cot ga cot gb 1
cot g a b
cot ga cot gb
+
− =
−
.
III. Công thức góc nhân ñôi :
1.
(
)
(
)
2 2
sin 2a 2 sin a.cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a
= = + − = − −
.
2.
2 2 2 2
cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a
= − = − = −

.
3.
2
2tga
tg2a
1 tg a
=
−
.
4.
2
cotg a 1
cotg2a
2 cotga
−
=
.
IV. Công thức góc nhân ba :
1.
3
sin 3a 3 sin a 4 sin a
= −
. 2.
3
cos3a 4 cos a 3 cos a
= −
.
3.
3
3

3tga tg a
tg3a
1 3tg a
−
=
−
. 4.
3
2
cot g a 3cot ga
cot g3a
3 cot g a 1
−
=
−
.
V. Công thức hạ bậc hai :
1.
2
2
2
1 cos2a tg a
sin a
2
1 tg a
−
= =
+
. 2.
2

2
2
1 cos 2a cot g a
cos a
2
1 cotg a
+
= =
+
.
3.
2
1 cos 2a
tg a
1 cos2a
−
=
+
. 4.
1
sin a cos a sin 2a
2
=
.
VI. Công thức hạ bậc ba :
1.
( )
3
1
sin a 3 sin a s in3a

4
= −
. 2.
( )
3
1
cos a 3 cos a cos 3a
4
= +
.


Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 3

VII. Công thức biểu diễn
sin x, cos x, tgx
qua
x
t tan
2
=
:
1.
2
2t
sin x
1 t
=

+
. 2.
2
2
1 t
cos x
1 t
−
=
+
.
3.
2
2t
tgx
1 t
=
−
. 4.
2
1 t
cot gx
2t
−
=
.
VIII. Công thức biến ñổi tích thành tổng :
1.
( ) ( )
1

cos a.cos b cos a b cos a b
2
 
= − + +
 
 
.
2.
( ) ( )
1
sin a.sin b cos a b cos a b
2
 
= − − +
 
 
.
3.
( ) ( )
1
sin a.cos b sin a b sin a b
2
 
= + + −
 
 
.
IX. Công thức biến ñổi tổng thành tích :
1.
a b a b

cos a cos b 2 cos .cos
2 2
+ −
+ =
.
2.
a b a b
cos a cos b 2 sin .sin
2 2
+ −
− = −
.
3.
a b a b
sin a sin b 2 sin .cos
2 2
+ −
+ =
.
4.
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
2 2
+ −
− =
.
5.
(
)
sin a b

tga tgb
cos a.cos b
+
+ =
.
6.
(
)
sin a b
tga tgb
cos a.cos b
−
− =
.
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 4

7.
(
)
sin a b
cot ga cot gb
sin a.sin b
+
+ =
.
8.
(
)

sin a b
cot ga cot gb
sin a.sin b
− −
− =
.
9.
(
)
sin a b
tga cot gb
cos a.sin b
−
+ =
.
10.
2
tga cot ga
sin 2a
+ =
.
11.
(
)
cos a b
cot ga tgb
sin a.cos b
+
− =
.

12.
cot ga tga 2 cot g2a
− =

X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan ñặc biệt :
1. Góc ñối:
(
)
( )
( )
(
)
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g


−α = − α




−α = α



−α = − α




−α = − α



2. Góc bù:
(
)
( )
( )
(
)
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g


π − α = α




π − α = − α



π − α = − α




π − α = − α




3. Góc sai kém
π
:
(
)
( )
( )
(
)
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g


π + α = − α




π + α = − α




π + α = α



π + α = α



4. Góc phụ:
sin cos
2
cos sin
2
tg cot g
2
cot g t g
2

 

π




− α = α
 






 



 
π





− α = α







 


 

π





− α = α







 



 
π





− α = α







 






Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 5

XI. Công thức bổ sung :
1.
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
   
π π
 
 
 
α + α = α − = α +
 
 
 
 
 
   
.
2.
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
   
π π

 
 
 
α − α = α + = −α
 
 
 
 
 
   
.
3.
sin cos 2 sin a 2 cos a
4 4
   
π π
 
 
 
α − α = − = +
 
 
 
 
 
   
.
4.
(
)

(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
A sin a B cos a A B sin a A B cos a , A B 0
+ = + + α = + − β + >
.
5.
(
)
2
1 sin 2 cos sin
+ α = α + α
.
XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung ñặc biệt :

Góc
Hàm số
0
0
0

/ 6
π

0
30

/ 4

π

0
45

/ 3
π

0
60

/ 2
π

0
90

sin 0
1 / 2

2 / 2

3 / 2

1
cos 1
3 / 2

2 / 2


1 / 2

0
tan 0
3 / 3

1
3

||
cot ||
3

1
3 / 3

0




Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 6

XIII. ðịnh lý hàm số cosin :
1.
2 2 2
a b c 2bc.cos A
= + −

.
2.
2 2 2
b c a 2ca.cos B
= + −
.
3.
2 2 2
c a b 2bc.cos C
= + −
.
XIV. ðịnh lý hàm số sin :

a b c
2R
sin A sin B sin C
= = =

Với R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp
ABC
△

Hay
a 2R sin A
b 2R sin B
c 2R sin B


=




=



=




XV. Công thức tính diện tích tam giác :
Gọi
h
△
là ñường cao thuộc cạnh trong
ABC
△
.

a b c
p
2
+ +
=
là phân nửa chu vi
ABC
△
.
S là diện tích

ABC
△
.
R là bán kinh ñường tròn ngoại tiếp
ABC
△
.
R là bán kính ñường tròn nội tiếp
ABC
△
.
1.
a b c
1 1 1
S a.h b.h c.h
2 2 2
= = =
.
2.
1 1 1
S ab.sin C bc.sin A ca.sin B
2 2 2
= = =
.
3.
abc
S
4R
=
.

A
B
C
a
b
c
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 7

4.
S p.r
=
.
5.
(
)
(
)
(
)
S p p a p b p c
= − − −
. (Công thức Héron)
XVI. Công thức nghiệm :
1.
u a 2k
sin u sin a , k Z
u a 2k


= + π

= ⇔ ∈

= π − + π


.
2.
u a 2l
cos u cos a , l Z
u a 2l

= + π

= ⇔ ∈

= − + π


.
3.
tgu tga u a m , m Z
= ⇔ = + π ∈
.
4.
cot gu cot ga u a n , n Z
= ⇔ = + π ∈
.
XVII. Hàm lượng giác và hàm hyperbolic ñược biểu diễn qua hàm mũ theo các công thức sau:

1.
iz iz
e e
sin z
2i
−
−
=
. 2.
iz iz
e e
cos z
2
−
+
=
.
3.
z z
e e
sinh z i sin iz
2
−
−
= = −
. 4.
z z
e e
cosh z cos iz
2

−
+
= =
.









Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 8


B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

I. Phương trình lượng giác cơ bản
2
1) sin sin
2
2)cos cos 2 ,
u v k
u v k
u v k
u v u v k k
π

π π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= ⇔ = ± + ∈
ℤ
ℤ

3) tan tan ,
4) t t ,
u v u v k k
co u co v u v k k
π
π
= ⇔ = + ∈
= ⇔ = + ∈
ℤ
ℤ


II. Một số phương tình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc hai theo một hàm số lương giác
Dạng:
a) a
sin
2

x + bsinx + c = 0
b) acos
2
x + bcosx + c = 0
(a
≠
0)
c) a
tan
2
x + btanx + c = 0
d) a
cot
2
x + bcotx + c = 0

Cách giải

ðặ
t
ẩ
n s
ố
ph
ụ
cho HSLG
ñể

ñư
a v

ề

ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai m
ộ
t
ẳ
n.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1)

2sin
2
x – sinx – 1 = 0
2)

2cos
2
x - 5cosx – 3 = 0
3)

2sin
2
x – 3cosx = 0
4)


sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
= 0
5)
2cos2x + 4sinx + 1 = 0
6) cos4x = cos
2
x

2. Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng: asinx + bcosx = c
Cách giải: chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b
+
ta ñược:
Ví dụ: Giải các phương trình:
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 9

2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin cos
1

a b c
x x
a b a b a b
a b
do
a b a b
+ =
+ + +
   
+ =
   
+ +
   

Nên ñặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b
α
α

=

+




=

+

(hoặc ngược
lại)
Ta ñược phương trình:
( )
2 2
2 2
os sin sin cos
sin
c
c x x
a b
c
x
a b
α α
α
+ =
+
⇔ + =
+

Ta
ñươ
c PT b

ậ
c nh
ấ
t theo 1 hslg.
( )
( )( )
2
1. 3sin cos 1
2. 2 cos2 2sin 3
3. 2sin 3 sin 2 3
4. 3cos2 4sin 2 5
5. 1 sin cos sin cos 0
6. 3cos5 2sin3 cos2 sin 0 ( 2009)
1 2sin cos
7. 3 ( 2009)
1 2sin 1 sin
8. sin cos sin
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x D
x x
A
x x
x x
+ =
+ =
+ =

+ =
+ + + =
− − = −
−
= −
+ −
+
(
)
3
2
2 3cos3 2 cos4 sin
3 1
9. 3sin cos
2cos
cos 2sin cos
10. 3
2cos sin 1
x x x x
x x
x
x x x
x x
+ = +
+
+ =
−
=
+ −



3. Phương trình thuần nhất bậc hai với Sinx và cosx : asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x = d
Cách giải:
Cách 1:
Dùng công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c
ñể

ñư
a v
ề
d
ạ
ng 2
Cách 2: (biến ñổi ñưa về phương trình bậc hai
theo tan hoặc cot)

Ki
ể
m tra cosx = 0 có ph
ả

i là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng
trình hay không.
Khi cosx
≠
0 chia 2 v
ế
ph
ươ
ng trình cho cos
2
x ta
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1.
3sin
2
x – 2sin2x – 3cos
2
x = 2
2.
cos
3
x + sin
3
x = sinx + cosx

3.

1
4sin 6cos
cos
x x
x
= +


Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 10

ñược: atan
2
x + btanx + c = d(1 + tan
2
x)
<=> (a – d)tan
2
x +btanx + c – d = 0
Giải phương trình ta ñược nghiệm của phương
tình ñã cho.

4. Phương trình ñối xứng bậc nhất theo sinx và cosx :
(
)
a sinx + cosx + bsinxcosx + c = 0


Cách giải:
ðặ
t:
sin cos 2 sin
4
t x x x
π
 
= + = +
 
 


2 cos
4
x
π
 
= −
 
 

ðiều kiện :
2 2
t− ≤ ≤
khi ñó
2
1
sin cos
2

t
x x
−
=
và phương trình ñược viết
lai
2
2 2 0
bt at c b
+ + − =
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2
theo t. chú ý
ñ
i
ề
u ki
ệ
n t thích h
ợ
p. Sau
ñ
ó gi
ả
i

ph
ươ
ng trình
0
2 sin
4
x t
π
 
+ =
 
 
ho
ặ
c
0
2 cos
4
x t
π
 
− =
 
 
.
Chú ý :
N
ế
u g
ặ

p ph
ươ
ng trình d
ạ
ng
Ví dụ :
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
1.
1
1 tan 2sin
cos
x x
x
+ = +

2.
3 3
sin cos 2sin .cos sin cos
x x x x x x
+ = + +

3.
1 1
sin cos
tan cot
x x

x x
+ = −
4.
2sin cot 2sin 2 1
x x x
+ = +

Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 11

(
)
a sinx - cosx + bsinxcosx + c = 0
thì ta cũng
ñặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
π
 
= − = −
 
 


2 cos
4
x
π

 
= − +
 
 

5. Phương trình lượng giác không mẫu mực :
ðây là loại phương trình rất khó giải vì nó không tuân theo mẫu mực nào cả. Ở ñây chúng ta thường
gặp (không phải là ñã ñủ) 9 dạng phương trình sau:
Dạng 1: Phương trình bậc chẵn : Ta dùng phương pháp hạ bậc nâng cung.
Ví dụ : Giải phương trình
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4cos 2 sin 2
x x x x
x x
+ +
=
+
.
Giải :
6 6 2 2 2 2
3
sin cos 1 sin 2 ; 4cos 2 sin 2 4 3sin 2
4
x x x x x x
+ = − + = −

Do ñó phương trình ñã cho


2
10 10 6 6 10 10
2 2 2
10 10 2 10 2 10
3
1 sin 2
sin cos sin cos sin cos 1
4
4 4cos 2 sin 2 4 4 3sin 2 4
sin cos 1 (sin sin ) (cos cos ) 0
x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
−
+ + +
= ⇔ = =
+ −
⇔ + = ⇔ − + − =

Ta có
2 10 2 8
2 10 2 8
sin sin sin (1 sin ) 0
cos cos cos (1 cos ) 0
x x x x
x x x x

− = − ≥



− = − ≥



Pt
2 10 2 8
2 10 2 8
sin sin 0 sin (1 sin ) 0
cos cos 0 cos (1 cos ) 0
x x x x
x x x x
 
− = − =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 
sin 0 sin 1
cos 0 cos 1
2
x x
x k
x x
π
= ∨ = ±

⇔ ⇔ =


= ∨ = ±

.
Dạng 2: Phương trình có dạng :
( )
( )
a
f x
f x
±
và
( )
( )
2
2
2
a
f x
f x
±
thì ta
ñặ
t
( )
( )
a
t f x
f x
= ±

.
ðể

Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 12

ñưa về dạng ñại số.
Dạng 3: Phương trình có dạng Biến ñổi ñể chuyển về phương trình tích

( ) ( )
(
)
( )
0
. 0
0
f x
f x g x
g x
=

= ⇔

=



Ví dụ : Giải phương trình :
2 2

1
4cos sin 3sin 3
2 2 2
x x
x
+ + =

Giải :

( )
2 2 2 2
2
1
4cos sin 3sin 3 sin cos
2 2 2 2 2
cos sin cos 0
2 2 2
cos cos sin 0
2 2 2
cos 0
cos 0

2 sin 0
cos sin 0
2 4
2 2
2

2
2

x x x x
pt x
x x x
x x x
x
x
x
x x
x k
k
x k
π
π π
π
π
 
⇔ + + = +
 
 
⇔ + =
 
⇔ + =
 
 
=

=




⇔ ⇔
 


+ =
+ =
 


 

= +


⇔ ∈

= +

ℤ

Dạng 4: Biến ñổi ñể ñưa về phương trình cho về dạng tổng bình phương :

( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
2 2
0
0

0

0
f x
g x
f x g x h x
h x
=


=

+ + + = ⇔



=


Ví dụ : Giải phương trình :
2
8cos4 cos 2 1 cos3 1 0
x x x
+ − + =

Giải :
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 13



2
2
2
8cos4 cos 2 1 cos3 1 0
4cos4 (1 cos4 ) 1 cos3 1 0
(4cos 4 4cos4 1) 1 cos3 0
(2cos4 1) 1 cos3 0
1
2cos4 1 0
cos4
2
1 cos3 0
cos3 1
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
+ − + =
⇔ + + − + =
⇔ + + + − =
⇔ + + − =

+ =

= −

 
⇔ ⇔
 
− =



=


Dạng 5: Phương pháp ñối lập :
Ta có
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
f x g x
f x a
f x a
g x a
g x a
=
=




≥ ⇔
 
=



≤

.
Ví dụ : 11
3cos
1
3cos1
cos
1
cos =−+−
x
x
x
x

Giải:
ðiều kiện:



>
>
03cos
0cos

x
x

Khi ñó pt

13cos3coscoscos
22
=−+−⇔ xxxx

Vì

4
1
0)
2
1
(
4
1
222
≤−⇒≥−=+− aaaaa

Do ñó

4
1
coscos
2
≤− xx


và

4
1
3cos3cos
2
≤− xx

2
1
3cos3cos
2
1
coscos
22
≤−≤−⇒ xxvàxx

Dấu bằng xảy ra

∅∈⇔







=
=
⇔








=−
=−
⇔ x
x
x
xx
xx
2
1
3cos
2
1
cos
4
1
3cos3cos
4
1
coscos
2
2

Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội


Trang 14

Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm.
Dạng 6: ðoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất (Nhờ tính ñơn ñiệu, bất ñẳng thức, …)
Phương trình
0)(
=
xf
có 1 nghiệm
),( bax
∈
=
α
và hàm
f
ñơn ñiệu trong
),( ba
thì
0)(
=
xf
có
nghiệm duy nhất là
α
=
x
.
Phương trình
)()( xgxf

=
có 1 nghi
ệ
m
),( bax
∈
=
α
,
)(xf
t
ă
ng (gi
ả
m) trong
),( ba
,
)(xg
gi
ả
m
(t
ă
ng) trong
),( ba
thì ph
ươ
ng trình
)()( xgxf
=

có nghi
ệ
m
α
=
x
là duy nh
ấ
t
.
Ví d
ụ
1 : Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
1cos
2
x
x −=
với
0
>
x

Giải :
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm
0

=
x
.
ðặt
1
2
cos)(
2
−+=
x
xxf
có ñạo hàm
'( ) sin 0, 0
f x x x x
= − + ≥ ∀ ≥
(vì xxx ∀> ,sin )
⇒
Hàm
f
luôn ñơn ñiệu tăng trong
[
)
0;
+∞

⇒

0)(
=
xf

có 1 nghiệm duy nhất trong
[
)
0;
+∞

Vậy phương trình ñã cho có 1 nghiệm duy nhất
0
=
x
.

Ví dụ 2: Giải phương trình:
02tansin
=
−
+
xxx
với
2
0
π
≤≤ x

Giải :
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 15

Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm

0
=
x

ðặt
xxxxf 2tansin)(
−
+
=
liên tục trên






2
;0
π

Có
ñạ
o hàm:






∈∀≥

−−−
=
2
;0,0
cos
)1cos)(cos1(cos
)('
2
2
π
x
x
xxx
xf
do
01coscos
2
51
1cos0
2
51
2
<−−
⇒
+
<≤≤<
−
xxx

f

⇒

ñơ
n
ñ
i
ệ
u t
ă
ng trên






2
;0
π

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 0.
Dạng 7: Phương pháp dùng bất ñẳng thức (Nguyên lý cực biên)

Ta có :
(
)
( )
( ) ( )
( )
( )
f x a
f x a
g x b
g x b
f x g x a b
≤
=



≤ ⇔
 
=



+ = +

.
Ví d
ụ
: Gi
ả

i ph
ươ
ng trình
12 16
sin cos 1
x x
+ =
.
Ta
có
:
12 2
16 2
sin sin
cos cos
x x
x x

≤


≤



12 16
sin cos 1
x x x
⇒ + ≤ ∀



Vì
th
ế
:
12 16
sin cos 1
x x
+ =
( )
12 2
16 2
sin sin
2
cos cos
x x
k
x k
x x
π

=

⇔ ⇔ = ∈

=


Z


Dạng 8: ðưa về hệ phương trình
Ví d
ụ
1 : Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
sin 2 5 cos 2
x x
+ + − =

Giải:
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 16

ðặt
2 2
sin 2; 5 cos
a x b x
= + = −

Pt
2 2
1
2
2
3

2
2
a
a b
a b
b

=

+ =


⇔ ⇔
 
− = −


=



Ví dụ 2 : Giải phương trình
3
2 2
3
3
( cos ) sin 3 2
x x
+ − = −


Giải: ðặt
(
)
2
3 2
3
cos , sin 3
a x b x
= = −

Lúc ñó phương trình
3
3 3
2
2
a b
a b

+ = −

⇔

+ = −



Dạng 9: Phương pháp ñổi biến
Ví d
ụ
: Gi

ả
i ph
ươ
ng trình
6
32cos sin 6 1
4
x x
π
 
+ − =
 
 

Giải: ðặt
3
6 6
4 2
t x x t
π π
= + ⇒ = −

Phương trình trở thành

3 3
2 3 3
2
1 cos2 3 1 cos2
32 sin 6 1 32 cos6 1
2 2 2

4(1 3cos 2 3cos2 cos 2 ) (4cos 2 3cos2 ) 1
4cos 2 5cos2 1 0
t t
t t
t t t t t
t t
π
+ +
     
− − = ⇔ − =
     
     
⇔ + + + − − =
⇔ + + =

Ví d
ụ
2 : Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
4
cos cos
3
x
x =

Giải

Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 17


2
4 1 cos2 4 1 2 4
cos cos cos 1 cos3. cos
3 2 3 2 3 3
x x x x x
x
+
 
= ⇔ = ⇔ + =
 
 


ðặ
t
2
3
x
t =
, phương trình trở thành:
1
(1 cos3 ) cos2
2
t t
+ =

(dùng công thức nhân ñôi, nhân ba khai
triển ñể giải tiếp)
C. Bài tập áp dụng :
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1.
1
sin 2
2
x
=
2.
2
sin 2
6 2
x
π
 
+ =
 
 
3.
( )
0
3
sin 30
2
x + =

4.

3
sin 3
4 2
x
π
 
− = −
 
 
5.
sin 2 0
4
x
π
 
− =
 
 
6.
sin 3 1
6
x
π
 
− = −
 
 

7.
3

cos 2
3 2
x
π
 
− =
 
 
8.
1
cos 2
3 2
x
π
 
− = −
 
 
9.
2
cos 3 1
3
x
π
 
+ =
 
 

10.

tan 2 3
3
x
π
 
+ =
 
 
11.
( )
0
3
tan 45
3
x + = −
12.
3
tan 1
4
x
π
 
− = −
 
 

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1.
2sin3 1 0
x

− =
2.
3 2sin 0
x
− =

3.

2 sin2 1 0
x
+ =

4.
(
)
0
2cos x+30 1 0
− =
5.
3
2 2cos 0
4
x
π
 
− − =
 
 
6.
2cos 2 0

x
+ =

7.
tan 3 0
x
+ =
8.
3 tan 2 1 0
4
x
π
 
− + =
 
 
9.
cot 2 1 0
x
− =

10.
( )
(
)
tan 1 cot2 3 0
x x
− + =

11.


(
)
(
)
2cos 3 3 cot3 1 0
x x
+ + =




Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 18

Bài 3: Giải các phương trình sau:
1.
0
sin 2 sin50
x =
2.
sin 2 sin
6
x x
π
 
+ =
 
 


3.
(
)
0
sin 30 sin3
x x
+ =
4.
sin 3 sin 0
4
x x
π
 
− − =
 
 


5.
sin 2 sinx=0
4
x
π
 
− +
 
 

6.


cos 3 os2x
6
x c
π
 
− =
 
 

7.
cos 2 cos
3 6
x x
π π
   
− = +
   
   

8.

cos 2 cos3 0
3
x x
π
 
− + =
 
 



9.

2
cot cot 2
3
x x
π
 
− =
 
 

10.
tan 2 tan
3
x x
π
 
+ =
 
 


11.

(
)
0

tan 45 tan 2 0
x x
+ − =

12.

(
)
(
)
0 0
tan 60 tan 2 20 0
x x
− + + =


Bài 4: Giải các phương trình sau:
1.
sin 2 cos
x x
=

2.

sin 2 cos 0
6
x x
π
 
+ + =

 
 


3.

(
)
0
cos 30 sin 2 0
x x
+ + =
4.
(
)
(
)
0 0
cos 100 2 sin 30 0
x x
− + + =

5.
tan 2 cot x
4
x
π
 
− =
 

 
6.
cot 3 tan2x
6
x
π
 
− =
 
 

7.
tan .tan 2 1
x x
= −
8.
cot 2 .cot3 1
x x
=

9.
tan3 .cot 1
x x
=

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ðỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. sin2x – 2cosx = 0 2. 2sin
2
x + cos3x = 1

3. 2cos
2
x + cos2x = 2 4. 8cos2xsin2xcos4x =
2

Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 19

5. tan2x – tanx = 0 6. cos
2
(x – 30
0
) =
3
4

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ðỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. sin
2
x + 2sinx – 3 = 0 2. 2sin
2
x + sinx – 1 = 0
3. 2sin
2
2x + 5sin2x + 2 = 0 4. 2cos
2
x – 3cosx – 2 = 0
5. 4cos

2
x + 4cosx – 3 = 0 6. 2cos
2
x – 5cosx – 3 = 0
7. 3tan
2
x – tanx – 4 = 0 8. 5 + 3tanx – tan
2
x = 0
9. -5cot
2
x – 3tanx + 8 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1. 3sin
2
2x + 7cos2x – 3 = 0 2. 5sin
2
x + 3cosx + 3 = 0
3. 6cos
2
x + 5sinx – 7 = 0 4. 3cos
2
x – 2sinx + 2 = 0
5.
2 4
1
sin cos
4
x x
− + = 6. cos2x – 5sinx – 3 = 0

7. cos2x + cosx + 1 = 0 8. 3sin2x – 4cos4x = -1
9. 5cosx – 6cos2x = 2 10. 2cos
2
x – sin
2
x – 4cosx + 2 = 0
11. 9sin
2
x – 5cos
2
x – 5sinx + 4 = 0 12. cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0
13. 3cos2x + 2(1 +
2
+ sinx)sinx – 3 -
2
= 0
14. sin
2
x - cos2x + 4sinx = 6 15. sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
= 0
16. sin
3

x + 3sin
2
x + 2sinx = 0 17.
2
3
5tan 1 0
cos
x
x
+ − =

18. 3tanx – 4cotx + 1 = 0
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ðỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 20

1. sinx -
3
cosx =
2
2.
( )
sin 2 3sin 2 1
2
x x
π
π
 

+ + − =
 
 


3.
2sin
2
x +
3
sin2x = 3
4.
2cosx – sinx = 2

5.
sin5x + cos5x = -1
6.
sin
6
x + cos
6
x +
1
2
sin4x = 0
7. 1 + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 0 8. 8cos
4
x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0
V. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ðỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1: Giải các phương trình sau:

1. sin
2
x – 2sinxcosx – 3cos
2
x = 0 2. 6sin
2
x + sinxcosx – cos
2
x = 2
3. sin2x – 2sin
2
x = 2cos2x 4. 2sin
2
x – 3sin4x + cos
2
2x = 2
5. 4cos
2
x +3sinxcosx - sin
2
x = 3 6. 4sin
2
x – 4sinxcosx + 3cos
2
x = 1
VI. PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG BẬC NHẤT ðỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1.
3 3
1 sin cos sin 2

x x x
− + =
2.
(
)
2 sin 2 sin cos 2
x x x
+ =

3.
3 3
3
1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x
+ + =
4.
sin cos 4sin 2 1
x x x
− + =

5.
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
+ + + =

D. BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau nếu có:
1.
2sin 3cos 1
y x x
= − +
.
HD:

Sử dụng tam thức bậc 2

2.
sin cos
sin 2
x x
y
x
+
=
+

HD :

Sử dụng tam thức bậc 2.

Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 21

3.
4 4

cos sin sin .cos 1
A x x x x
= + + +

HD : ñặt
2 2
sin
1
cos
x a
a b
x b
=

⇒ + =

=

. Chú ý
2 2
1
ab a b
≤ + =
.
17
8
2
MaxA
MinA


=

⇒


=


4.
3 2cos 2cos2
B x x
= − +
HD :
cos , -1 1
t x t
= ≤ ≤

5.
sin cos
C x x
= +

HD:
Tìm Max : bunhiacopski
sin
Tìm Min:
cos
u x
v x




=
 


=




MaxC 2 2

MinC 1


=
⇒

=



6.
2
2sin 3sin 2
y x x
= +

HD: Sử dụng phương trình cổ ñiển

sin cos
a x b x
+
.
7.
(
)
2
2 4
sin sin
y x x
= −

HD: Biến ñổi lượng giác suy ra
2
1
1 cos 2

4
4
0
Maxy
x
y
Miny

=
−

= ⇒



=


8.
2 2
2sin 4cos 8sin cos 1
y x x x x
= − + −

HD: Bi
ế
n
ñổ
i l
ượ
ng giác
ñư
a v
ề
d
ạ
ng
( )
( )
2
2
2 2sin cos 7 7
7


3
3 2 sin 2cos 3
x x
Maxy
y
Miny
x x

+ − ≥
=


= ⇒

=


− − ≤


9.
2 2
3sin sin cos cos
y x x x x
= + +

HD: Sử dụng phương trình cổ ñiển
sin cos
a x b x

+
suy ra
5 2
2
5 2
2
Maxy
Miny

+
=



− +

=


.
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 22

10.
2 2
sin cos
y x x
= −


HD: Biến ñổi lượng giác ñưa về tam thức bậc 2.
Bài 2: giải các phương trình
1.
1
cos3 2 cos
2
x co x x
− + =
. 2.
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
2
x x x x
+
− =

3.
3
2 2 cos 3cos sin 0
4
x x x
π
 
− − − =
 
 

4.


1
2cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + =
5.
sin 2 2cos 2 1 sin 4cos
x x x x
+ = + −
6.
2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cos
x x x x
+ + = +

7.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cos
x x x x x x
− = −
8.
2 2
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2
x x x x x
+ + + = +
9.
(2cos 1)(2sin cos ) sin2 sin
x x x x x
− + = −



10.
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+

11.
2
cos2 sin 2
3 cot 3
sin cos
x x
x
x x
 
+ = +
 
 


12.

2sin 2 4sin 1 0
6

x x
π
 
− + + =
 
 

13.
( )
2sin 2 2cos 2sin 1
cos2 3 sin 1
2cos 1
x x x
x x
x
+ − −
= + +
−

14.
( )( )
3 3
3
sin cos 1 sin 2 cos sin
2
x x x x x
+ = + −

15.
2

1 sin
tan
2 sin
x
x
x
π
+
 
− =
 
 


16.

3
2sin cos2 cos 0
x x x
+ + =

17.
3 cos2
4cot 2
sin
x
x
x
+
− =



Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 23

18.
cos2 3sin 2 2 3sin 2cos 1 0
x x x x
− + − + =

19.
2
tan
tan 2
cot3
x
x
x
− =

20.
(
)
1 cos cos2 cos3 2
3 3sin
cos cos2 3
x x x
x
x x

+ + +
= −
+

21.
2 2
3
4sin 3 cos2 1 2cos
2 4
x
x x
π
 
− = + −
 
 


22.

2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x
x
π
−

 
+ − =
 
 

23.
3 2
4sin 4sin 3sin2 6cos 0
x x x x
+ + + =

24.

sin3 3cos3 cos2 3sin 2 sin 3 cos
x x x x x x
+ + − = +

25.
sin sin 2
3
cos cos2
x x
x x
−
=
−


26.
2

cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+

27.
(
)
2cos2 -sin 2 2 sin cos
x x x x
= +

28.

4 4 2
2
1
sin cos cos 1 0
4sin 2
x x x
x
+ − + − =

29.
sin2 1 2 cos cos2
x x x

= + +


30.

cos7 sin8 cos3 sin 2
x x x x
+ = −
.

Bài 2:
Tìm nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng (0; 2
π
) c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x

+
 
+ = +
 
+
 

Bài 3: Tìm x
[
]
0;14
∈ nghiệm ñúng của phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4= 0
Bài 4: Xác ñịnh m ñể phương trình 2(sin
4
x + cos
4
x) + cos4x + 2sin2x + m = 0
Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 24

có ít nhất 1 nghiệm thuộc ñoạn
0;
2
π
 
 
 

Bài 5:

Cho ph
ươ
ng trình:
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
− +

1. Giải phương trình (1) khi a =
1
3

2. Tìm a ñể phương trình (1) có nghiệm.
Bài 6: Tìm x
3
0;
2
π
 
∈
 
 
thỏa mãn phương trình
2
cos (cos 1)

2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+

Bài 7: Cho phương trình: 4cos
3
x + (m – 3)cosx – 1 = cos2x
1. Giải phương trình khi m = 1
2. Tìm m ñể phương trình có ñúng 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
;
2
π
π
 
−
 
 

E. Lượng giác qua các kỳ thi cao ñẳng và ñại học :
Bài 1: Khối A – 2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng
(
)
0;2
π
của phương trình


cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 
+
 
ðS:
5
;
3 3
x x
π π
= = .
Bài 2: Khối A – 2003: Giải phương trình :
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+


ðS:
4
x k
π
π
= +

Bài 3: Khối A – 2005: Giải phương trình :
2 2
cos 3 .cos2 cos 0
x x x
− =


ð
S:
2
x k
π
=
.
Bài 4: Khối A – 2006:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
(
)

6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−

Chuyên ñề lượng giác Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Trang 25

ðS:
5
2
4
x k
π
π
= +
.
Bài 5: Khối A – 2007: Giải phương trình :
(
)
(
)
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2

x x x x x
+ + + = +

ðS:
; 2 ; 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= − + = + =

Bài 6: Khối A – 2008: Giải phương trình :
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 
 
 
−
 

 


ð
S:
5
; ;
4 8 8
x k x k x k
π π π
π π π
= − + = − + = +

Bài 7: Cð Khối A – 2008:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
sin3 3cos3 2sin 2
x x x
− =


ð
S:
4 2
2 ;
3 15 5
k

x k x
π π π
π
= + = +

Bài 8: Khối A – 2009:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
(
)
( )( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −


ð
S:
2
18 3
x k
π π

= − +
Bài 9: Cð Khối A – 2009: Giải phương trình :
( )
2
1 2sin cos 1 sin cos
x x x x
+ = + +

ðS:
5
2 ; ;
2 12 12
x k x k x k
π π π
π π π
= − + = + = + .
Bài 10: Khối A – 2010: Giải phương trình :
( )
1 sin cos2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
 
+ + +

 
 
=
+
.
ðS:
7
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π
= − + = +
.
Bài 11: Cð Khối A – 2010: Giải phương trình :
( )
5 3
4cos cos 2 8sin 1 cos 5
2 2
x x
x x
+ − =