ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN-TIN HỌC
————oOo————
Tiểu luận tốt nghiệp
chuyên ngành Giải Tích
ĐIỂM TỚI HẠN CỦA CÁC HÀM KHÔNG
THUỘC LỚP C
2
NHÓM THỰC HIỆN : TRẦN VĨNH HƯNG - NGUYỄN TIẾN KHẢI
THẦY HƯỚNG DẪN : PGS DƯƠNG MINH ĐỨC
THẦY PHẢN BIỆN : PGS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2006
1
LỜI CẢM ƠN
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô trong khoa Toán-Tin học, đặc biệt,
chúng tôi cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã tận tình dạy dỗ chúng tôi trong
suốt thời gian học đại học. Hơn hết, chúng tôi chân thành cảm ơn PGS.Dương Minh Đức
đã tận tình hướng dẫn cho nhóm chúng tôi và PGS.Đặng Đức Trọng đã động viên, khích lệ,
hướng dẫn, xem và góp ý trong quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh tiểu luận tốt nghiệp này,
cảm ơn anh Trương Trung Tuyến và các bạn Trần Anh Hoàng, Trần Việt Cường và Nguyễn
Tuấn Duy đã giúp đỡ nhóm chúng tôi rất nhiều trong quá trình làm và chỉnh sửa tiểu luận này.
Trần Vĩnh Hưng - Nguyễn Tiến Khải
Tôi xin chân thành cảm ơn bố mẹ, em tôi và Hải Vân, những người luôn tạo cho tôi
mọi điều kiện tốt nhất trong học tập và nghiên cứu, những người luôn động viên và giúp tôi
mỗi khi tôi gặp khó khăn. Tôi xin cảm ơn Tiến Khải đã cùng tôi học tập và nghiên cứu trong
suốt thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người bạn trong nhóm học tập luôn sát
cánh cùng tôi.
Trần Vĩnh Hưng
Tôi xin cảm ơn ông bà, cha mẹ vì tất cả. Xin chân thành cảm ơn bạn Vĩnh Hưng đã

cùng tôi làm việc, học tập, nghiên cứu và đã động viên giúp đỡ tôi trong những lúc khó khăn.
Cuối cùng tôi xin được cảm ơn những người bạn đã luôn ở bên tôi.
Nguyễn Tiến Khải
Tp. HCM, tháng 12 năm 2005
2
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 2
MỤC LỤC 3
LỜI GIỚI THIỆU 4
1 Kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Các định nghĩa về sự khả vi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Các kết quả của bậc tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Không gian các hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Các định nghĩa về toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp . . . . 14
1.5 Định lý hàm ngược và Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Các kết chính 17
2.1 Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Định lý Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Chứng minh của định lý 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Chứng minh của định lý tách Gromoll-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
3
LỜI GIỚI THIỆU
Tiểu luận này là một phần trong bài báo [8] của chúng tôi, bài báo này đã được nhận đăng
trên tạp chí "Topological Methods in Nonlinear Analysis".
Trong [19] Palais đã chứng minh bổ đề Morse-Palais cho lớp hàm C
3
. Kết quả này đã được
mở rộng cho lớp hàm C

2
bởi Kuiper trong [14] (hoặc [18]). Gần đây Li, Li và Liu [17] đã đưa ra
một phiên bản mới về bổ đề Morse-Palais cho lớp hàm không C
2
. Nhưng những hàm số trong
[17] là những hàm số thuộc lớp C
2
theo một nghĩa nào đó (xem trang 440 của [17]). Trong bài
báo này chúng tôi đưa ra bổ đề Morse-Palais mới mà không cần điều kiện thuộc lớp hàm C
2
cũng như là sự đầy đủ của không gian (xem Định lý 0.1). Bổ đề Morse-Palais của chúng tôi
có thể áp dụng cho hàm sau
J(x, y) =





x
2
− y
2
+
1
40
(x
2
+ y
2
)

5
sin
1
(x
2
+ y
2
)
2
∀(x, y) ∈ IR
2
,
0 (x, y) = (0, 0) .
Ví dụ này minh hoạ ý tưởng của chúng tôi: dạng đồ thị của hàm g(x, y) = x
2
− y
2
và hàm
nhiễu J của nó giống nhau khi gần (0, 0) thậm chí nếu phần nhiễu J −g không thuộc C
2
nhưng
đạo hàm cấp hai theo hướng của nó chỉ thoả một số điều kiện (xem điều kiện (v) trong định
lý 0.1). Chúng ta chú ý rằng những kết quả trong [14, 17] không áp dụng được trong trường
hợp này (xem chú thích 0.2 cho trường hợp không gian vô hạn chiều ).
Từ nhận xét chúng ta không thể sử dụng định lý hàm ẩn để định nghĩa ánh xạ ϕ trong
định lý 0.1 cho những hàm số không thuộc lớp C
2
, chúng tôi áp dụng phương pháp trong
[5, 14, 18]: sử dụng flows tương ứng với những hàm số đó để định nghĩa hàm ϕ.
Trong bài báo này chúng tôi xây dựng flows trên không gian định chuẩn tương ứng với

những hàm không trơn (xem định lý 2.1). Chúng tôi thu được flows không cần tính đầy đủ
của không gian, điều kiện này rất cần thiết trong [5, 14, 18]. Ý tưởng của chúng tôi như sau :
Chúng tôi làm nhẹ những vấn đề trong deformations bằng cách đưa về trường hợp các không
4
gian hữu hạn chiều và chúng tôi có thể làm nhẹ đi tính đầy đủ của không gian và chúng tôi
chỉ cần tính chất trơn rất yếu của hàm số ( xem Định nghĩa 2.1 và Định lý 2.2). Sự giảm bớt
này rất thành công trong nghiên cứu nhân tử Lagrange (xem [2]).
Sử dụng những kết quả về deformations, chúng tôi làm giảm một số điều kiện compắc và
trơn của định lý Mountain-pass và định lý Gromoll-Meyer (xem Định lý 2.3, 0.2 và ví dụ trong
chú thích 0.2). Những ứng dụng của những kết quả này cho vấn đề resonance sẽ được xuất
hiện trong bài báo sắp tới.
Bổ đề Morse-Palais mới của chúng tôi được phát biểu như sau.
Định lý 0.1 [Bổ đề Morse-Palais ] Cho H là một không gian véctơ với chuẩn ||.||
H
được định
nghĩa bằng tích vô hướng < ., . >, O là một tập con mở của H, J là một hàm thực H-khả vi
cấp hai trên O (xem Định nghĩa 2.1). Cho a trong O là một điểm tới hạn cô lập của J. Giả sử
rằng có một toán tử tuyến tính Hermite bị chặn A trên H và những số thực dương α, Γ, δ và
θ sao cho
(i) D
2
J(a)(u, v) =< Au, v > ∀ u, v ∈ H,
(ii) Γ||x|| ≥ ||A(x)|| ≥ α||x|| ∀ x ∈ H,
(iii) θ < min{
α
2
,
α
2
Γ

},
(iv) Với mọi h trong H, ánh xạ x → DJ(x)h liên tục trên O,
(v) ||D
2
J(z)(z − a, h) − D
2
J(a)(z − a, h)|| < θ||z − a||||h|| với mọi h trong H, z trong
B
H
(a, δ).
Lúc đó có hai không gian véctơ con đóng E và F của H, hai lân cận mở U và W lần
lượt của a và 0 trong H và một đồng phôi ϕ từ W vào U sao cho H = E ⊕ F, ϕ(0) = a và
J(ϕ(y + z)) =< y, y > − < z, z > +J(a) ∀ y ∈ E, z ∈ F, y + z ∈ W.
Chú ý 0.1 Những điều kiện (i) − (v) được thoả khi J thuộc lớp C
2
, H là một không gian
Hilbert và A khả đảo.
Định lý 0.2 [Định lý tách Gromoll-Meyer] Cho H là một không gian Hilbert, và J là một
hàm thực H-khả vi cấp hai trên H (xem Đinh nghĩa 2.1). Cho a trong H là một điểm tới hạn
cô lập của J. Giả sử rằng D
2
J(a) là một toán tử A tuyến tính Hermite bị chặn trên H; A và
DJ thuộc lớp S
+
trên H. Thì có những số thực dương C, α và Γ, một không gian véctơ con
đóng H
+
, hai không gian vectơ con hữu hạn chiều H
0
và H

−
của H sao cho H
−
⊕ H
0
⊕ H
+
là tổng trực tiếp của H, H
0
= kerA,
5
< Ax, x > ≥ C||x||
2
∀ x ∈ H
+
< Ax, x > ≤ −C||x||
2
∀ x ∈ H
−
.
Γ||y|| ≥ ||A(y)|| ≥ α||y|| ∀ y ∈ Y ≡ H
+
⊕ H
−
.
Hơn nữa,giả sử rằng có những số thực dương δ và θ sao cho
(i) θ < min{
α
2
,

α
2
Γ
},
(ii) Ánh xạ x → DJ(x)h liên tục trên O,
(iii) ||D
2
J(x)(x − a + z, h) − D
2
J(a)(x − a + z, h)|| < θ||x − a + z||||h||
∀ x ∈ B(a, δ), z ∈ Z ≡ H
0
.
(iv) < DJ(z + x
1
+ y
1
) − DJ(z + x
2
+ y
2
), (x
1
− x
2
) − (y
1
− y
2
) >> 0

∀x
1
, x
2
∈ H
+
; y
1
, y
2
∈ H
−
và x
1
+ y
1
= x
2
+ y
2
∈ B

Y
(0,
δ
2
), z ∈ B

Z
(0,

δ
2
)
Thì tồn tại một ánh xạ liên tục ψ từ B
Z
(0,
δ
2
) vào B
Y
(0,
δ
2
) và hai lân cận mở U và W
của 0 trong H, và một đồng phôi ϕ từ W vào U sao cho ϕ(0) = 0, DJ(z + ψ(z))|
Y
= 0 và
J(z + ψ(z)) = min{J(z + Qψ(z) + x) : x ∈ H
+
; Qψ(z) + x ∈ B
Y
(0, δ
1
)},
J(z + ψ(z)) = max{J(z + Pψ(z) + t) : t ∈ H
−
; P ψ(z) + t ∈ B
Y
(0, δ
1

)},
J(ϕ(y + z)) =
1
2
< Ay, y > +J(z + ψ(z))
bất kì y ∈ H
+
⊕ H
−
, z ∈ H
0
, y + z ∈ U, với P và Q được định nghĩa trong Định nghĩa 5.2.
Chú ý 0.2 Định lý này được chứng minh trong [5] nếu J là C
2
và A trường véctơ compắc.
Trong ví dụ sau chúng tôi làm giảm tính trơn này. Cho Ω = B(0, 1) là quả cầu đơn vị trong
IR
N
, N ≥ 3, và H là không gian Sobolev W
1,2
0
(Ω) với chuẩn ||u|| = {

Ω
|∇u|
2
}
1/2
. Đặt
ρ(x) = −(1 − ||x||)

−2
∀ x ∈ Ω.
Theo bất đẳng thức Poincaré, tồn tại một số thực dương C sao cho
|

Ω
ρw
2
dx| ≤ C||w||
2
∀w ∈ H. (1)
Cho γ là một số thực, ε là một số thực dương và k là một hàm số thuộc lớp C
2
(IR, IR) sao
cho:
k(t) =

1
6
t
3
∀t ∈ (−1, 1)
1
2
t|t| ∀t ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
Chú ý rằng k

(t) = t bất kì t trong [−1, 1] và có một số thực dương M sao cho |k

(s)| ≤

6
M bất kì s trong IR. Đặt
J(u) =

Ω
[
1
2
|∇u(x)|
2
+ γu(x)
2
+ ερ(x)k(u(x))]dx ∀ u ∈ H.
Theo (1) chúng ta thấy rằng J là H-khả vi trên H và bất kì u, v và w trong H
DJ(u)(v) =

Ω
[∇u(x)∇v(x) + γu(x)v(x) + ρ(x)k

(u(x))v(x)]dx,
D
2
J(u)(v, w) =

Ω
[∇v(x)∇w(x) + γv(x)w(x) + ρ(x)k

(u(x))v(x)w(x)]dx,
|D
2

J(u)(v, w) − D
2
J(0)(v, w)| = |

Ω
[ρ(x)k

(u(x))v(x)w(x)]dx|
≤ M||v||||w||.
Do đó J thoả những điều kiện (i), (ii) và (iii) của Định lý 0.2 với a = 0 nếu  đủ
nhỏ. Bây giờ cho H
0
, H
−
và H
+
như trong Định lý 0.2, u thuộc H
0
, v
1
và v
2
thuộc H
+
, và
w
1
và w
2
thuộc H

−
. Ta có
[DJ(u + v
1
+ w
1
) − DJ(u + v
2
+ w
2
)][(v
1
− v
2
) − (w
1
− w
2
)] ≥

Ω
[|∇(v
1
− v
2
)|
2
+ γ(v
1
− v

2
)
2
]dx − 2M

Ω
ρ(v
1
− v
2
)
2
dx
−

Ω
[|∇(w
1
− w
2
)|
2
+ γ(w
1
− w
2
)
2
]dx − 2M


Ω
ρ(w
1
− w
2
)
2
dx.
Ta suy ra rằng J thoả những điều kiện (iv) của Định lý 0.2 với a = 0 nếu  đủ nhỏ. Chúng
ta sẽ chứng minh rằng D
2
J không liên tục tại 0.
Đặt a
i
= (1−2
−i
, 0, · · · , 0) và r
i
= 2
−i−2
bất kì số nguyên dương i. Chọn ψ trong C
∞
c
(IR
N
)
sao cho
ψ(x) =






1 |x| < 1
∈ [0, 1] 1 ≤ |x| ≤
3
2
0 |x| >
3
2
.
Chú ý rằng {

Ω
|ψ|
2
dx}
1/2
= γ
0
> 0 và {

IR
N
|∇ψ|
2
dx}
1/2
= γ
1

> 0.
Ta định nghĩa
φ
i
(x) = r
1−
N
2
i
ψ(
x − a
i
r
i
),
ψ
i
(x) = ψ(
x − a
i
r
i
) ∀ x ∈ IR
N
, i ∈ IN.
Ta thấy rằng φ
i
và ψ
i
thuộc W

1,2
0
(Ω), ||ψ
i
|| = r
N
2
−1
i
γ
1
và ||φ
i
|| = γ
1
bất kì số nguyên i. Do
đó {ψ
i
} hội tụ về 0 trong W
1,2
0
(Ω). Mặt khác ta có
|D
2
J(ψ
i
)(φ
i
, φ
i

) − D
2
J(0)(φ
i
, φ
i
)| = 

Ω
(1 − ||x||)
−2
ψ
i
φ
2
i
dx
7
≥ 

B(a
i
, r
i
)
(1 − ||x||)
−2
φ
2
i

dx ≥ 
1
25

B(a
i
, r
i
)
r
−2
i
φ
2
i
dx = (
γ
0
5
)
2
> 0.
Vì thế {D
2
J(ψ
i
)} không hội tụ về D
2
J(0) và hàm J không thuộc lớp C
2

trên W
1,2
0
(Ω).
Chú thích này chứng minh rằng kết quả chúng tôi có thể áp dụng rất mạnh đặc biệt những
phương trình elliptic không cần tính compắc. Trong [10] chúng tôi có thể nghiên cứu về sự
biến dạng của vỏ kim loại dày bằng phương pháp này.
Tiểu luận này sẽ gồm 2 chương. Chương 1 sẽ nêu các kiến thức cần thiết cho các phần sau
của tiểu luận. Chương 2 sẽ phát biểu và chứng minh các kết quả chúng tôi thu được và có kèm
theo sự so sánh với các kết quả trước đó.
8
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày lại các kiến thức cơ bản đã được học trong chương
trình đại học cũng như một số kiến thức khác cần cho những trình bày về sau.
1.1 Các định nghĩa về sự khả vi trong không gian định chuẩn
Cho (E, 
E
) và (F, 
F
) là các không gian định chuẩn và D là một tập mở trong E. X là
không gian véctơ con của E. Z là một không gian véctơ con của X. Cho f là một ánh xạ từ
D vào F , e là một véctơ trong E và x ∈ D. Cho v là một véctơ trong X. Ta ký hiệu Z(v) là
không gian véctơ sinh bởi Z ∪ {v}. Ta nói
(i) f có đạo hàm riêng phần theo hướng e tại x là
∂f
∂e
(x) nếu và chỉ nếu
lim
t→0

f(x + te) − f(x)
t
=
∂f
∂e
(x),
(ii) f khả vi theo hướng tại x nếu f có đạo hàm riêng phần theo hướng theo mọi hướng
trong E và có một ánh xạ tuyến tính Df (x) từ E vào F để cho
∂f
∂e
(x) = Df(x)(e) ∀e ∈ E,
(iii) f khả vi Gâteaux tại x nếu f khả vi theo hướng tại x và Df(x) thuộc L(E, F),
(iv) f khả vi Fréchet tại x nếu f khả vi Gâteaux tại x và có một ánh xạ φ từ một quả
cầu mở B(0, δ) trong E vào F sao cho B(x, δ) ⊂ D, lim
h→0
φ(h) = 0 và
f(x + h) − f(x) = Df(x)(h) + h φ(h) ∀h ∈ B(0, δ).
Ta định nghĩa
D
x,Z(v)
= {y ∈ Z(v) : x + y ∈ D},
f
x,Z(v)
(y) = f(x + y) ∀ y ∈ D
x,Z(v)
.
9
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10
Khi đó Z(v) là không gian véctơ con của E, và D
x,Z(v)

là một tập mở của Z(v). Ta nói
(vi) f (X, Z)-liên tục trên D nếu và chỉ nếu f
x,Z(v)
liên tục tại 0 với mọi x trong D và v
trong X,
(vii) f X-khả vi tại x nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính Df(x) từ X vào F
sao cho
lim
t→0
f(x + th) − f(x)
t
= Df(x)(h) ∀ h ∈ X,
(viii) f (X, Z)-khả vi tại x nếu và chỉ nếu f X-khả vi tại x và với mọi v trong X, nếu
dãy {(h
m
, t
m
)}
m∈IN
hội tụ về (h, 0) trong Z(v) × IR, thì
lim
m→∞
J(x + t
m
h
m
) − J(x)
t
m
= DJ(x)(h),

(ix) f (X, Z)-khả vi mạnh tại x nếu và chỉ nếu f X-khả vi tại x và với mọi v trong X, tồn
tại một ánh xạ φ từ một quả cầu mở B
E
(0, η) ∩ Z(v) trong Z(v) vào F sao cho B
E
(x, η) ⊂ D,
lim
z→0
φ(z) = 0 và
f(x + z) = f(x) + Df (x)(z) + ||z||
X
φ(z) ∀ z ∈ B
E
(0, η) ∩ Z(v) .
Chú ý 1.1 Cho J là ánh xạ tuyến tính từ E vào IR
n
. X là không gian véctơ con của E và Z là
không gian véctơ con hữu hạn chiều của X. Dễ thấy là J (X, Z)-liên tục trên E và (X, Z)-khả
vi mạnh tại mọi x trong E mặc dù nó có thể không liên tục trên E.
Chú ý 1.2 Nếu X = F = E, thì tính chất (X, F )-liên tục trên E và (X, F )-khả vi mạnh
tại x tương ứng trùng với tính chất liên tục trên E và khả vi Fréchet tại x thông thường. Nếu
X = F = E và J khả vi Fréchet tại x, J sẽ (X, F )-khả vi mạnh tại x.
Định lý 1.1 (Định lý đạo hàm hàm hợp)
Cho Ω
1
và Ω
2
là các tập con mở lần lượt trong không gian định chuẩn E và F . Cho
f : Ω
1

→ Ω
2
và g : Ω
2
→ G, ở đây G là không gian định chuẩn. Cho x là một điểm trong Ω
1
.
Giả sử f khả vi Fréchet tại x và g khả vi Fréchet tại f(x). Thì g ◦ f khả vi Fréchet tại x và
D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) ◦ Df(x).
Định lý này đã được phát biểu và chứng minh trong [6].
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11
Định lý 1.2 (Định lý giá trị trung bình)
Cho u là một ánh xạ khả vi Gâteaux từ một tập mở Ω trong không gian định chuẩn E vào
một không gian định chuẩn F . Giả sử ánh xạ x → Du(x)(h) là một ánh xạ liên tục trên Ω với
mọi h ∈ E. Cho a và b trong Ω sao cho tập hợp A ≡ {a + t(b − a) : t ∈ [0, 1]} ⊂ Ω. Thì
(i) u(b) − u(a) =
1

0
Du (a + t(b − a)) (b − a)dt,
(ii) u(b) − u(a)
F
≤ sup
x∈A
Du(x)
L(E,F )
b − a
E
.
Định lý này đã được phát biểu và chứng minh trong [6].

1.2 Các kết quả của bậc tôpô
Định nghĩa 1.1
Cho D là một tập mở khác trống trong không gian định chuẩn E. Cho T là một ánh xạ từ
D vào E. Ta nói T là một ánh xạ compắc nếu và chỉ nếu T liên tục trên D và T(D) compắc.
Khi đó f = Id
D
− T được gọi là một trường véctơ compắc trên D.
Định lý 1.3 Cho D là một tập mở khác trống trong không gian định chuẩn E. f là một
trường véctơ compắc trên D. Khi đó tồn tại ánh xạ deg(., f, D) : E \ f(∂D) → Z có các tính
chất sau
(D1) Nếu deg(p, f, D) = 0 thì có x ∈ D sao cho f(x) = p,
(D2) Nếu D
1
, D
2
, , D
k
là k tập mở rời nhau nằm trong D và p ∈ E\f(D\
k
∪
i=1
D
i
) thì
deg(p, f, D) =
k

i=1
deg(p, f
|D

i
, D
i
),
(D3) deg(p, Id, D) = 1 nếu p ∈ D,
= 0
nếu
p
∈
E
\
D
,
(D4) deg(p, f, D) = deg(p + q, f + q, D) ∀ q ∈ E sao cho p + q ∈ E\f(∂D),
(D5) (Bất biến đồng luân)
Cho H là ánh xạ liên tục từ [0, 1] × D vào E sao cho H

[0, 1] × D

compắc. Đặt
h : [0, 1] × D → E như sau
h(t, x) = x − H(t, x) ∀(t, x) ∈ [0, 1] × D.
Nếu p ∈ E\h([0, 1] × D) thì deg (p, h (0, .), D) = deg(p, h(1, .), D),
(D6) Nếu f = Id − u với u là toán tử tuyến tính compắc từ E vào E sao cho f là một đơn
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12
ánh trên E và D là một tập mở chứa 0 trong E. Đặt S = {λ ∈ (1, ∞) : λ là một giá trị phổ
của u} và α =

λ∈S
dim(N

λ
). Thì
deg(0, Id − u, D) = (−1)
α
,
(D7) Nếu E là không gian Euclide hữu hạn chiều IR
n
và f liên tục khả vi Fréchet trên D
và Df(x) khả đảo với mọi x trong f
−1
(p). Thì
deg(p, f, D) =

x∈f
−1
(p)
signJ
f
(x),
ở đây J
f
(x) là định thức của ma trận

∂f
i
∂x
j
(x)

i,j=1, ,n

(ở đây f = (f
1
, , f
n
)) và
sign(t) = 1 nếu t > 0,
= 0 nếu t = 0,
= −1 nếu t < 0.
Ta gọi deg(p, f, D) là bậc tôpô của f tại p trên D.
Định lý 1.4 Cho D là một tập mở bị chặn khác trống trong không gian IR
n
và f là một ánh
xạ liên tục từ D vào IR
n
. Khi đó, nếu 0 ∈ D và x, f(x)
IR
n
> 0 với mọi x ∈ ∂D thì phương
trình f(x) = 0 có nghiệm trong D.
Chứng minh
Trước tiên ta chứng minh f là một trường véctơ compắc trên D. Đặt T = Id
D
− f, ta
chứng minh T là ánh xạ compắc. Từ tính liên tục của f trên D, ta suy ra tính liên tục của T
trên D.
Do D bị chặn nên tồn tại M
D
> 0 sao cho x < M
D
với mọi x ∈ D . Từ đó ta suy ra

x ≤ M
D
với mọi x ∈ D.
Do D đóng và bị chặn trong IR
n
nên D compắc trong IR
n
. Kết hợp với tính liên tục của f
trên D ta suy ra f(D) bị chặn trong IR
n
.
Vậy T (D) bị chặn trong IR
n
nên T (D) là tập compắc. Vậy f là một trường véctơ compắc
trên D.
Với mỗi (t, x) ∈ [0, 1] × D đặt H(t, x) = (1 − t)x + (t − 1)f(x). Lý luận tương tự như trên,
ta cũng chứng minh được H liên tục và H([0, 1] × D) compắc.
Đặt h(t, x) = x − H(t, x) = tx + (1 − t)f (x) ∀(t, x) ∈ [0, 1] × D.
Ta chứng minh 0 ∈ IR
n
\h([0, 1] × ∂D) bằng phản chứng. Giả sử tồn tại (t, x) ∈ [0, 1] × ∂D
sao cho h(t, x) = 0. Ta suy ra tx + (1 − t)f(x) = 0 ⇒ t x, x + (1 − t) f(x), x = 0.
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13
Nếu 1 − t = 0, ta suy ra x, x = 0 hay x = 0 suy ra f(x), x = 0 (vô lý !).
Nếu t < 1, ta suy ra tx, x < 0 (vô lý !).
Vậy 0 ∈ IR
n
\h([0, 1] × ∂D). Áp dụng Định lý 1.3 phần (D5) ta suy ra
deg(0, f(.), D) = deg(0, Id, D).
Áp dụng Định lý 1.3 phần (D3), ta có deg(0, Id, D) = 1 do 0 ∈ D. Do đó, deg(0, f (.), D) =

1 = 0. Áp dụng Định lý 1.3 phần (D1) ta suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong D.
1.3 Không gian các hàm tuyến tính liên tục
Định nghĩa 1.2
Cho E, F là không gian định chuẩn. Ta định nghĩa L(E, F ) là tập hợp tất cả các ánh
xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Theo [6] thì L(E, F) là không gian định chuẩn trên K
(K = C
/
hay IR) với chuẩn định nghĩa như sau ∀T ∈ L(E, F ) thì
T 
L(E,F )
= sup
x∈E,x
E
≤1
T (x)
F
.
Hơn nữa, nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) cũng là không gian Banach với chuẩn
tương ứng.
Định lý 1.5 (Định lý đồ thị đóng)
Cho E và F là hai không gian Banach và T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F . Đặt
Γ = {(x, T x) : x ∈ E}. Khi đó, T liên tục trên E nếu và chỉ nếu Γ đóng trong E × F .
Định lý 1.6 (Định lý Hahn-Banach)
Cho E là một không gian định chuẩn trên K (K = C
/
hay IR), M là một không gian véctơ
con của E và f ∈ L(M, K). Thì có g ∈ L(E, K) sao cho g |
M
= f và f
L(M,K)

= g
L(E,K)
.
Định lý 1.7 Cho E, F là hai không gian Banach, T là một song ánh tuyến tính liên tục từ
E vào F . Thì T
−1
là ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E.
Định lý 1.8 Cho N là một không gian véctơ con đóng của một không gian định chuẩn E và
x ∈ E\N . Khi đó, tồn tại f ∈ L(E, K) sao cho f(N ) = {0} và f(x) = 1.
Các định lý trên đã được phát biểu và chứng minh trong [6].
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14
Định lý 1.9 Cho M và N là hai không gian véctơ con của một không gian véctơ E. Nếu
M +N = E và M ∩N = {0}. Ta nói E là tổng trực tiếp của M và N và ký hiệu là E = M ⊕N
(i) Nếu E = M ⊕ N và x ∈ E, thì có duy nhất một cặp φ(x) = (p(x), q(x)) ∈ M × N sao
cho p(x) + q (x) = x.
(ii) Cho E là một không gian định chuẩn và là tổng trực tiếp của M và N. Chứng minh φ
là một đồng phôi từ E lên M × N (tức là φ là song ánh và φ, φ
−1
lần lượt liên tục trên E và
M × N ) nếu và chỉ nếu p, q liên tục trên E. Lúc bấy giờ, ta gọi E là tổng trực tiếp tôpô
của M và N.
Định lý trên đã được phát biểu và chứng minh trong [6].
Hệ quả 1.1 Cho E là một không gian Banach. Nếu E là tổng trực tiếp tôpô của M và N
thì M, N cũng là các không gian Banach với chuẩn tương ứng trên E.
Chứng minh
Do E là tổng trực tiếp tôpô của M và N nên theo Định lý 1.9, tồn tại một đồng phôi từ E
vào M × N. E là không gian Banach, suy ra M × N là không gian Banach. Nên M , N cũng
là các không gian Banach với chuẩn tương ứng trên E.
1.4 Các định nghĩa về toán tử tuyến tính không bị chặn và
toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.3
Cho E là không gian Banach. Ta định nghĩa không gian đối ngẫu của không gian E là
E

là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào K (K = C
/
hay IR). Theo [6], E

là không gian Banach trên K với chuẩn định nghĩa như sau ∀T ∈ E

thì
T 
E

= sup
x∈E,x≤1
|T (x)| .
Định nghĩa 1.4
Cho E là không gian định chuẩn và E

là không gian đối ngẫu của nó. M, N lần lượt
là không gian véctơ con của E và E

. Đặt M
⊥
= {f ∈ E

: f, x = 0 , ∀x ∈ M} và
N
⊥

= {x ∈ E : f, x = 0 , ∀f ∈ N }. Ta nói M
⊥
và N
⊥
lần lượt là không gian trực giao
của M và N.
Định nghĩa 1.5
Giả sử E, F là các không gian Banach. Ta gọi toán tử tuyến tính không bị chặn từ E
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15
vào F là một ánh xạ tuyến tính A : D(A) ⊂ E → F xác định trên không gian véctơ con D(A)
của E và lấy giá trị trong F , D(A) được gọi là miền xác định của A.
Ta ký hiệu
Đồ thị của A=G(A)=
∪
u∈D(A)
[u, Au] ⊂ E × F .
Ảnh của A=R(A)=
∪
u∈D(A)
Au ⊂ F .
Nhân của A =N(A) = {u ∈ D(A) : Au = 0} ⊂ E.
Ta nói toán tử A đóng nếu G(A) đóng trong E × F .
Giả sử A : D(A) ⊂ E → F là toán tử không bị chặn và có miền xác định trù mật, tức là
D(A) = E. Ta định nghĩa toán tử không bị chặn A
∗
: D(A
∗
) ⊂ F

→ E


như sau. Đặt
D(A
∗
) =

v ∈ F

: ∃c ≥ 0 sao cho |v, Au| ≤ c u , ∀u ∈ D(A)

.
Ta thấy rằng D(A
∗
) là không gian véctơ con của F

. Bây giờ, ta sẽ định nghĩa A
∗
v với
v ∈ D(A
∗
). Xét ánh xạ g : D(A) → IR xác định bởi
g(u) = v, Au ∀u ∈ D(A).
Do v ∈ D(A
∗
) nên ta có
|g(u)| ≤ c u ∀u ∈ D(A).
Suy ra g ∈ L(D(A), IR). Theo Định lý 1.6, ta có thể thác triển g thành ánh xạ tuyến tính
liên tục f : E → IR sao cho g = f  và
|f(u)| ≤ c u ∀u ∈ E,
nghĩa là f ∈ E


. Ta lưu ý rằng thác triển từ g lên f là duy nhất do f liên tục trên E và D(A)
trù mật trong E. Ta đặt A
∗
v = f. Ta có A
∗
tuyến tính và A
∗
: D(A
∗
) ⊂ F

→ E

được gọi là
toán tử liên hợp của A và liên hệ với A qua hệ thức cơ bản sau
v, Au = g(u) = f(u) = A
∗
v, u ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ D(A
∗
).
Định lý 1.10 Giả sử A : D(A) ⊂ E → F là toán tử tuyến tính không bị chặn, đóng với
D(A) = E. Các tính chất sau tương đương
(i) R(A) đóng.
(ii) R(A
∗
) đóng.
(iii) R(A) = N(A
∗
)

⊥
.
(iv) R(A
∗
) = N(A)
⊥
.
Định lý này đã được chứng minh trong Định lý II.18 trang 58 của [4].
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16
1.5 Định lý hàm ngược và Định lý hàm ẩn
Định lý 1.11 (Định lý hàm ngược)
Cho Ω là một tập mở trong không gian Banach E và u là một ánh xạ liên tục khả vi Fréchet
từ Ω vào không gian Banach F . Giả sử Du(x) ∈ Isom(E, F ) ( nghĩa là Du(x) là một song
ánh từ E vào F và Du(x)
−1
∈ L(F, E) ) tại một điểm x ∈ Ω. Khi đó, có một lân cận mở U
của x trong Ω và một lân cận mở V của u(x) trong F sao cho u là một song ánh từ U vào V
và v ≡ (u|
U
)
−1
liên tục khả vi Fréchet và ta có
Dv(z) = (Du(v(z)))
−1
∀z ∈ V.
Định lý này đã được phát biểu và chứng minh trong [6].
Định lý 1.12 (Định lý hàm ẩn)
Cho E, F, và G là ba không gian Banach. Cho Ω
1
và Ω

2
lần lượt là các tập mở trong E
và F. Cho f là một ánh xạ liên tục khả vi Fréchet từ Ω
1
× Ω
2
vào G và (a, b) ∈ Ω
1
× Ω
2
. Đặt
f
(a)
(y) = f(a, y) với mọi y ∈ Ω
2
. Giả sử Df
(a)
(b) khả đảo trong L(F, G). Khi đó, có hai lân
cận mở U và V của a và b trong Ω
1
và Ω
2
và một ánh xạ ϕ liên tục khả vi Fréchet từ U vào
V sao cho ϕ(a) = b, với mọi x trong U ta có f(x, ϕ(x)) = f(a, b) và
Dϕ(x) = −

∂f (x, ϕ(x))
∂x
2


−1
◦
∂f (x, ϕ(x))
∂x
1
.
hĐịnh lý này đã được phát biểu và chứng minh trong [6].
Chương 2
Các kết chính
2.1 Flows
Trong phần này chúng tôi nghiên cứu flows trong không gian định chuẩn. Kết quả chúng
tôi không cần tính compắc của không gian như sau.
Định lý 2.1 Cho

E là không gian đầy đủ hóa của một không gian định chuẩn (E, ||.||) và W
là một tập mở của

E với biên ∂W . Bất kì số thực dương s, ta đặt
W
s
= {x ∈ W : δ(x, ∂W ) ≡ inf{||x − y|| : y ∈ ∂W } > s}.
Cho g là một ánh xạ từ W vào E sao cho g(W
s
) là bị chặn với mọi s. Giả sử mọi v trong
W , tồn tại một không gian véctơ con hữu hạn chiều E
v
của E và hai số thực dương r
v
và L
v

sao cho
||g(x) − g(y)|| ≤ L
v
||x − y|| ∀ x, y ∈ B


E
(v, r
v
),
g(x) ∈ E
v
∀ x ∈ B


E
(v, r
v
). (2.1)
Thì với mọi b trong W ∩ E ta có
(i) Tồn tại t
b
∈ (0, ∞] và duy nhất ánh xạ liên tục ν
b
từ [0, t
b
) vào W ∩ E sao cho

ν


b
(t) = g(ν
b
(t)) ∀ t ∈ (0, t
b
),
ν
b
(0) = b.
Hơn nữa, nếu t
b
hữu hạn thì inf
t ∈ [0, t
b
)
δ(ν
b
(t), ∂W ) = 0.
(ii) Với mọi s ∈ (0, t
b
), tồn tại một số thực dương β có tính chất sau: với mọi x ∈
B(b, β) ∩ W ∩ E, có duy nhất ánh xạ liên tục ν
x
từ [0, s] vào W ∩ E sao cho

ν

x
(t) = g(ν
x

(t)) ∀ t ∈ (0, s),
ν
x
(0) = x.
17
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 18
Để chứng minh (i) của định lý ta cần nhứng bổ đề sau, những chứng minh này chuẩn và
lướt qua.
Bổ đề 2.1 Cho F là một không gian véctơ con hữu hạn chiều của một không gian định
chuẩn (E, ||.||), U là một tập con mở trong E và g là một ánh xạ từ U vào E. Giả sử tồn tại
a trong F và số những số thực dương r
a
, L
a
và M
a
sao cho B

(a, r
a
) ⊂ U và
(g1) ||g(x) − g(y)|| ≤ L
a
||x − y|| ∀ x, y ∈ B

(a, r
a
),
(g2) ||g(x)|| ≤ M
a

x ∈ B

(a, r
a
),
(g3) g(x) ∈ F ∀ x ∈ B

(a, r
a
).
Đặt t
a
= min{
1
2L
a
,
r
a
M
a
}. Thì có duy nhất một ánh xạ liên tục ν
a
từ [0, t
a
] vào B

F
(a, r
a

)
sao cho



ν

a
(t) = g(ν
a
(t)) ∀t ∈ (0, t
a
) ,
ν
a
(0) = a .
Bổ đề 2.2 Cho V là một tập mở trong một không gian Banach H và g là một ánh xạ từ V
vào H. Giả sử tồn tại a trong V và những số thực dương r
a
, L
a
và M
a
sao cho B

(a, r
a
) ⊂ V
và g thoả (g1) và (g2). Đặt t
a

= min{
1
2L
a
,
r
a
M
a
}. Thì có duy nhất một ánh xạ liên tục ν
a
từ
[0, t
a
] vào B

(a, r
a
) sao cho

ν

a
(t) = g(ν
a
(t)) ∀ t ∈ (0, t
a
),
ν
a

(0) = a
Chứng minh (i) của định lý
Cố định b trong W ∩ E. Đặt T
b
là tập hợp tất cả số thực dương s sao cho có một nghiệm
ν
s
trong C([0, s), W ∩ E) của phương trinh Cauchy sau

ν

s
(t) = g(ν
b
(t)) ∀ t ∈ (0, s),
ν
s
(0) = b .
Áp dụng bổ đề 2.1 cho U = W ∩ E, a = b, r
a
=
r
b
2
và không gian véctơ con hữu hạn chiều
F sinh bởi E
b
∪ {b} ta thấy rằng T
b
không rỗng. Cho α và β trong T

b
sao cho α < β, ta sẽ
chứng minh
ν
α
(t) = ν
β
(t) ∀ t ∈ (0, α) . (2.2)
Giả sử ngược lại rằng (2.2) là sai. Định nghĩa S tập hợp {t ∈ (0, α) : ν
α
(t) = ν
β
(t)}. Thì
S = ∅. Đặt t
0
≡ inf S. Ta chứng minh
ν
α
(t
0
) = ν
β
(t
0
). (2.3)
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 19
Nếu t
0
= 0, ta có (2.3) từ ν
α

(t
0
) = b = ν
β
(t
0
). Xét trường hợp t
0
> 0. Ta có
ν
α
(t) = ν
β
(t) ∀ t ∈ (0, t
0
) .
Từ ν
α
và ν
β
liên tục trên (0, t
0
], ta nhận (2.3). Đặt
c = ν
α
(t
0
) = ν
β
(t

0
).
Bằng tính liên tục của ν
α
và ν
β
có hai số thực dương t
1
và t
2
sao cho
ν
α
(t
0
+ t) ∈ B


E
(c, r
c
) ∀ t ∈ (0, t
1
). (2.4)
ν
β
(t
0
+ t) ∈ B



E
(c, r
c
) ∀ t ∈ (0, t
2
). (2.5)
Áp dụng bổ đề 2.2 với H =

E, V = W và a = c, ta có một số thực dương s
c
và duy nhất
ánh xạ từ [0, t
c
) vào B


E
(c, s
c
) sao cho

ν

c
(t) = g(ν
c
(t)) ∀ t ∈ (0, t
c
),

ν
c
(0) = c .
(2.6)
Đặt t
3
= min{t
1
, t
2
, t
c
}. Kết hợp (2.4), (2.5) và (2.6) Ta nhận được
ν
α
(t
0
+ t) = ν
β
(t
0
+ t) ∀ t ∈ (0, t
3
).
Ta suy ra rằng [0, t
0
+ t
3
] nằm trong [0, ∞)\S, điều này mâu thuẫn từ inf S = t
0

<
t
0
+ t
3
. Do đó (2.2) đúng.
Nếu T
b
bị chặn từ trên, (i) của định lý 2.1 nhận được với t
b
= ∞. Bây giờ giả sử rằng
t
b
≡ sup T
b
< ∞, ta sẽ chứng minh inf{δ(ν
b
(t), ∂W ) : t ∈ [0, t
b
)} = 0. Giả sử ngược lại
inf{δ(ν
b
(t), ∂W ) : t ∈ [0, t
b
)} > d > 0 . (2.7)
Trong trường hợp này ν
b
([0, t
b
)) ⊂ W

d
. Bằng điều kiện của định lý, có một số thực dương
M sao cho g (W
d
) nằm trong B

(0, M) và
||ν
b
(t) − ν
b
(s)|| = ||

s
t
g(ν
b
(ξ))dξ|| ≤ |

s
t
||g(ν
b
(ξ))||dξ| ≤ M|t − s| ∀t, s ∈ [0, t
b
).
Do đó ν
b
liên tục đều trên [0, t
b

) và tồn tại c = lim
t→t
b
ν
b
(t) thuộc

E. Theo (2.7) ta thấy rằng
c thuộc W. Áp dụng bổ đề 2.2 như trên, ta nhận được một số thực dương t
c
như trong bổ đề 2.2.
Ta có thể tìm t
0
trong (t
b
−
t
c
4
, t
b
) sao cho ||ν
b
(t
0
) − c|| <
r
c
2
. Do đó B



E
(ν
b
(t
0
),
r
c
2
) ⊂ B


E
(c, r
c
)
và
||g(x) − g(y)|| ≤ L
c
||x − y|| ∀ x, y ∈ B


E
(ν
b
(t
0
),

r
c
2
),
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 20
||g(x)|| ≤ M
c
∀ x ∈ B


E
(ν
b
(t
0
),
r
c
2
),
g(x) ∈ E
c
∀ x ∈ B


E
(ν
b
(t
0

),
r
c
2
)
với L
c
, M
c
và E
c
xuất hiện trong điều kiện của định lý.
Đặt d = ν
b
(t
0
), t
4
= min{
1
2L
c
,
r
c
2
1
M
c
}. Thì t

4
≥
t
c
2
, và bằng bổ đề 2.1 có duy nhất ánh xạ
ν
d
từ [0, t
4
) vào B

E
c
(ν
b
(t
0
),
r
c
2
) sao cho

ν

d
(t) = g(ν
d
(t)) ∀ t ∈ (0, t

4
),
ν
d
(0) = ν
b
(t
0
) .
Đặt
h(t) =

ν
b
(t) ∀ t ∈ (0, t
0
),
ν
d
(t − t
0
) ∀ t ∈ [t
0
, t
0
+ t
4
).
Ta có


h

(t) = g(h(t)) ∀ t ∈ (0, t
0
+ t
4
),
h(0) = b .
Do đó t
0
+ t
4
thuộc T
b
. Do t
0
∈ (t
b
−
t
c
4
, t
b
) và t
4
≥
t
c
2

,ta có
t
b
= sup T
b
≥ t
0
+ t
4
> t
b
−
t
c
4
+
t
c
2
= t
b
+
t
c
4
> t
b
,
điều này mâu thuẫn và hoàn thành chứng minh (i) của định lý.
Chứng minh (ii) của định lý

Từ ν
b
([0, s]) là tập con compắc của W ∩ E, bởi (i) của định lý, có hai số thực dương L và
γ sao cho ν
b
([0, s]) + B(0, γ) ⊂ W ∩ E và
||g(x) − g(y)|| ≤ L||x − y|| ∀ x, y ∈ ν
b
([0, s]) + B(0, γ) .
Cố định z trong ν
b
([0, s]) + B(0, γ). Bởi (i) của định lý, có duy nhắt ánh xạ ν
z
từ [0, t
z
)
vào W ∩ E sao cho

ν

z
(t) = g(ν
z
(t)) ∀ t ∈ (0, t
z
),
ν
z
(0) = z.
Hơn nữa bởi bổ đề 2.2, có môt số thực dương ε sao cho

t
z
> 3ε ∀z ∈ ν
b
([0, s]) + B(0, γ). (2.8)
Đặt β =
1
2
γe
−Ls
. Giả sử tồn tại x trong B(b, β) ∩ W ∩ E sao cho t
x
< s. Định nghĩa
S = {t ∈ (0, t
x
) : ν
x
(ξ) ∈ ν
b
([0, s]) + B(0, γ) btk ξ ∈ [0, t]} ,
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 21
s
1
= sup S .
Ta có
||ν
x
(ζ) − ν
b
(ζ)|| ≤ ||x − b|| +


ζ
0
||g(ν
x
(ζ)) − g(ν
b
(ζ))||dξ
≤ ||x − b|| +

ζ
0
L||ν
x
(ζ) − ν
b
(ζ)||dξ ∀ ζ ∈ [0, s
1
).
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall (xem [15]) ta có
||ν
x
(ζ) − ν
b
(ζ)|| ≤ ||x − b||e
Lζ
≤ βe
Ls
=
1

2
γ ∀ ζ ∈ [0, s
1
). (2.9)
Nếu s
1
< t
x
, ν
x
(s
1
) được xác định và thuộc ν
b
([0, s]) + B

(0,
1
2
γ), do đó theo chứng minh
trên s
1
không là sup S. Do đó s
1
= t
x
.
Chọn một số thực dương s
2
thuộc (t

x
− ε, t
x
) và đặt z = ν
x
(s
2
). Ta thấy rằng z nằm trong
ν
b
([0, s]) + B(0,
1
2
γ). Bởi (2.8), t
z
> 3ε. Do đó ν
x
có thể được định nghĩa trên [0, t
x
+ 2ε). Điều
này mâu thuẫn và t
x
> s bất kì x trong B(b, β) ∩ W ∩ E.
✷
Bổ đề sau sẽ được sử dụng trong phần tiếp.
Bổ đề 2.3 Giả sử tất cả các điều kiện của định lý 2.1 được thoả. Cho b thuộc W ∩ E, và s
thuộc (0, t
b
). Thì có một không gian véctơ con hữu hạn chiều F
s

của E sao cho ν
b
([0, s]) ⊂ F
s
,
với ν
b
đựơc định nghĩa như trong (i) của định lý 2.1.
Chứng minh
Từ ν
b
liên tục từ [0, s] vào W ∩ E ta có ν
b
([0, s]) compắc trong E. Mặt khác:
ν
b
([0, s]) ⊂

a ∈ ν
b
([0, s])
B
E
(a, r
a
).
Do đó có một tập con hữu hạn A của ν
b
([0, s]) sao cho
ν

b
([0, s]) ⊂

a ∈ A
B
E
(a, r
a
) .
Cho F
s
là không gian véctơ sinh bởi {b}

{

a ∈ A
g(B

E
(a, r
a
))}. Bởi (2.1) của định lý 2.1,
ta có F
s
là một không gian véctỏ con hữu hạn chiều của E và
ν
b
(t) = b +

t

0
g(ν
b
(s))ds ∈ F
s
∀ t ∈ [0, s] .
Điều này hoàn thành chứng minh của bổ đề.
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 22
Bổ đề 2.4 Giả sử tất cả điều kiện của định lý 2.1 vẫn thoả và g(W ) nằm trong một không
gian véctơ V của E. Cho b thuộc W ∩ E, và s thuộc (0, t
b
). Thì có một không gian véctơ con
hữu hạn chiều V
s
của V sao cho ν
b
([0, s]) chứa trong b + V
s
, với ν
b
đựơc định nghĩa trong (i)
của Định lý 2.1.
Chứng minh
Bởi bổ đề 2.3, ν
b
([0, s]) và g(ν
b
([0, s])) chứa trong một không gian véctơ con hữu hạn
chiều F
s

of E. Mặt khác từ g(W ) chứa trong V , suy ra g(ν
b
([0, s])) chứa trong F
s
∩ V . Hơn
nữa, từ F
s
∩ V là không gian hữu hạn chiều thì
ν
b
(t) = b +

t
0
g(ν
b
(ξ))dξ ∈ b + V ∩ F
s
∀ t ∈ [0, s].
Đặt V
s
= F
s
∩ V , ta có ν
b
[0, s] ⊂ b + V
s
.
2.2 Định lý Deformation
Trong phần này chúng tôi chứng minh định lý deformation cho hàm số liên tục V-khả vi

(xem Định nghĩa 2.1). Chúng tôi không cần tính đầy đủ của không gian, điều này nhẹ hơn
điều kiện trong [1, 5, 7, 20]. Đầu tiên ta cần những định nghĩa sau :
Trong phần này, chúng tôi giả sử rằng J là ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 2.1 Cho V là không gian véctơ con không tầm thường của không gian định chuần
(E, ||.||
E
) và J là một ánh xạ từ tập con U của E vào một không gian định chuẩn (F, ||.||
F
).
Ta nói
(i) J là V -khả vi trên U nếu và chỉ nếu với bất kì x trong U có một ãnh xạ tuyến tính
DJ(x) từ V vào F sao cho
DJ(x)(v) = lim
t→0
J(x + tv) − J(x)
t
∀ v ∈ V .
(ii) J là liên tục V -khả vi trên U nếu và chỉ nếu J là V -khả vi trên U và
lim
y → x
DJ(y)(v) = DJ(x)(v) ∀ (x, v) ∈ E × V .
(iii) J là V -khả vi hai lần trên U nếu và chỉ nếu J là V -khả vi trên U , DJ(x) là toán tử
liên tục trên E với bất kì x trong U và DJ là ánh xạ V -khả vi từ U vào L(E, F), với L(E, F )
là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F .
Bây giờ chúng tôi đưa ra một một định nghĩa cho ||DJ(x)||.
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 23
Định nghĩa 2.2 Cho V là không gian véctơ con không tầm thường của không gian định
chuẩn (E, ||.||),

E là không gian đầy đủ của E và J là một hàm số liên tục V -khả vi trên E.

Ta đặt
||DJ(x)|| = sup
h ∈ V, ||h|| = 1
lim
r → 0
inf{|DJ(y)h| : y ∈ B(x, r) ∩ E} ∀ x ∈

E,
với ||DJ(x)|| có thể là ∞.
Nếu x thuộc E, kí hiệu của chúng tôi ||DJ(x)|| như định nghĩa thông thường. Bây giờ
chúng tôi giới thiệu một số kí hiệu khác cho những hàm V -khả vi.
Định nghĩa 2.3 Cho

E không gian đầy đủ của không gian định chuẩn (E, ||.||), V là một
không gian véctơ con không tầm thường của E, J là một ánh xạ liên tục V -khả vi từ E vào IR
và c là một số thực. Đặt U(J) = {x ∈

E : có một dãy {x
m
} trong E sao cho {x
m
} hội tụ về
x và {J(x
m
)} hội tụ trong IR}, J
∗
(y) = {α ∈ IR : có một dãy {y
m
} trong E hội tụ về y và
{J(y

m
)} hội tụ về α trong IR} với y trong U(J) và
K
c
= {y ∈ U(J) : c ∈ J
∗
(y) v ||DJ(y)|| = 0}.
Nếu K
c
= ∅, ta nói c là một giá trị tới hạn suy rộng của J, và mỗi véctơ u trong K
c
được
gọi là điểm tới hạn suy rộng của J.
Nếu y thuộc E, J
∗
(y) = {J(y)}. Vì thế định nghĩa của chúng tôi J
∗
(y) tương tự như định
nghĩa cổ điển.
Định nghĩa điểm tới hạn suy rộng đã từng được giới thiệu trong [7], với một phiên bản
của Định lý Mountain-pass đã từng dược chứng minh và áp dụng để giải phương trình của
Yamabe. Bây giờ ta có định nghĩa điều kiện Palais-Smale.
Định nghĩa 2.4 (Điều kiện Palais-Smale ) Cho V là không giạn véctơ con không tầm thường
của không gian định chuẩn (E, ||.||),

E là không gian đầy đủ của E, J là một hàm thực liên
tục V -khả vi trên E và {x
m
} là một dãy trong U(J). Ta nói
(i) {x

m
} là một dãy (P S)
c
nếu lim
m→∞
||DJ(x
m
)|| = 0 và có một dãy số thực {α
m
} sao
cho α
m
∈ J
∗
(x
m
) với mọi m và {α
m
} hội tụ về c.
(ii) J thoả điều kiện (P S)
c
nếu và chỉ nếu mỗi dãy (P S)
c
-có một dãy con hội tụ trong

E.
Chúng tôi có kết quả sau.
Định lý 2.2 (Định lý Deformation)
Cho V là không gian véctơ con không tầm thường của không gian định chuẩn (E, ||.||),


E
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 24
là không gian đầy đủ của E, J là hàm thực liên tục V -khả vi trên E, và a và b là hai số thực
sao cho a < b. Giả sử
(i) J thoả điều kiện (P S)
c
với bất kì c trong [a, b],
(ii) K
α
= ∅ với bất kì α trong (a, b),
(iii) K
a
, K
b
⊂ E,
(iv) Mỗi tập con liên thông T của K
a
có nhiều nhất một phần tử.
Thì J
a
là một deformation retract của J
b
\ K
b
, với J
α
= J
−1
((−∞, α]) với bất kì α trong
IR.

Để chứng minh định lý này ta cần những bổ đề sau.
Bổ đề 2.5 Cho E,

E và V như trong định lý 2.2. Cho J là một hàm thực liên tục V -khả vi
trên E và x thuộc

E. Thì hai điều sau tương đương
(i) ||DJ(x)|| = 0.
(ii) Với bất kì véctơ h trong V có một dãy {x
n
} trong E sao cho {x
n
} hội tụ về x trong

E và
lim
n→∞
DJ(x
n
)(h) = 0.
Chứng minh
Đầu tiên, ta chứng minh (i) suy ra (ii). Giả sử ||DJ(x)|| = 0. Cố định một véctơ h thuộc
V , với định nghĩa của ||DJ(x)|| ta có
lim
r→0
inf{|DJ(y)h| : y ∈ B(x, r) ∩ E} = 0 .
Mặt khác, với mỗi số nguyên dương m, có x
m
trong tập hợp B(x, 1/m) ∩ E sao cho
|DJ(x

m
)(h)| ≤ inf{|DJ(y)h| : y ∈ B(x,
1
m
) ∩ E} +
1
m
∀ m ∈ IN.
Rõ ràng dãy {x
m
} hội tụ về x thuộc

E và
lim
m→∞
DJ(x
m
)(h) = 0.
Bây giờ giả sử (ii) thoả, nghĩa là với bất kì véctơ h trong V có một dãy {x
n
} trong E sao
cho hội tụ về x thuộc

E và lim
n→∞
DJ(x
n
)(h) = 0. ta có
inf{|DJ(y)h| : y ∈ B(x, r) ∩ E} = 0 ∀ r > 0 , h ∈ V .
Điều này suy ra ||DJ(x)|| = 0.

Bổ đề 2.6 Cho E,

E, V và J như trong Định lý 2.2 và {x
m
} là một dãy hội tụ về x thuộc

E. Thì
||DJ(x)|| ≤ lim inf
m→∞
||DJ(x
m
)|| .
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 25
Chứng minh
Cố định véctơ h trong V sao cho ||h|| = 1. Với định nghĩa ta có
lim
r→0
{inf{|DJ(y)h| : y ∈ B(x
n
, r) ∩ E}} ≤ ||DJ(x
n
)|| ∀ n ∈ IN .
Điều đó suy ra rằng
inf{|DJ(y)h| : y ∈ B(x
n
, 1/n) ∩ E} ≤ ||DJ(x
n
)|| ∀ n ∈ IN
Do đó có dãy z
n

trong B(x
n
, 1/n) ∩ E sao cho
|DJ(z
n
)h| ≤ ||DJ(x
n
)|| +
1
n
.
Ta có {x
n
} hội tụ về x và ||x
n
− z
n
|| ≤
1
n
. Điều này suy ra {z
n
} hội tụ về x và
lim
r → 0
inf{|DJ(y)h| : y ∈ B(x, r) ∩ E} ≤ lim inf
n→∞
|DJ(z
n
)h)|

≤ lim inf
n→∞
[||DJ(x
n
)|| +
1
n
] = lim inf
m→∞
||DJ(x
n
)||.
Điều đó suy ra
||DJ(x)|| = sup
h ∈ V, ||h|| = 1
lim
r→0
{inf{|DJ(y)h| : y ∈ B(x, r) ∩ E}} ≤ lim inf
m→∞
||DJ(x
n
)||.
Bổ đề 2.7 Cho E,

E và V như trong Định lý 2.2, y thuộc

E và J là hàm số thực liên tục
V -khả vi trên E. Giả sử ||DJ(y)|| ∈ (0, ∞]. Thì tồn tại h
y
trong V và một số thực dương r

y
sao cho:
||h
y
||.||DJ(y)|| < 2 ||DJ(y)|| < ∞ ,
|h
y
|| = 1 ||DJ(y)|| = ∞ ,
DJ(x)h
y
< −1 ∀ x ∈ B

E
(y, r
y
) ∩ E .
Chứng minh
Với định nghĩa, tồn tại hai số thực dương r
y
, s và một véctơ h trong V với ||h|| = 1 sao
cho
∗ Nếu ||DJ(y)|| < ∞: ||DJ(y)|| < s và |DJ(x)h| >
s
2
∀ x ∈ B

E
(y, r
y
) ∩ E.

∗ Nếu ||DJ(y)|| = ∞: s = 2 và |DJ(x)h| >
s
2
∀ x ∈ B

E
(y, r
y
) ∩ E.
Từ ánh xạ x → DJ(x)h liên tục trên tập liên thông B

E
(y, r
y
) ∩ E, ta có thể giả sử rằng
DJ(x)h < −
s
2
với mọi x in B

E
(y, r
y
) ∩ E. Đặt h
y
=
2
s
h ta nhận được bổ đề.
Bổ đề 2.8 Cho E,


E, V và J như trong định lý 2.2. Giả sử J thoả điều kiện (P S). K
c
là
một tập compắc với mọi số thực c .