BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH HÀM

CHƯƠNG I ðẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH 1
1.1. Không gian tuyến tính 1
1.2. Toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính 3
1.3. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 4
1.4. Chuỗi trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 7
1.5. Các không gian Banach khả ly 8
1.6. Không gian con và không gian thương 9
1.7. Toán tử tuyến tính liên tục, phép ñồng phôi 11
1.8. Tích các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 15
1.9. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn chiều 16
Bài tập 18
CHƯƠNG II Các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 21
2.1. ðịnh lý Hahn-Banach 21
2.2. Nguyên lý ánh xạ mở ñồ thị ñóng 24
2.3. Nguyên lý bị chặn ñều. ðịnh lý Banach-Steinhaus 28
Bài tập 30
CHƯƠNG III Không gian liên hợp, tô pô yếu và tính phản xạ 33
3.1. Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục 33
3.2. Topo yếu 36
3.3. Không gian phản xạ 39
Bài tập 40
CHƯƠNG IV Không gian Hinbe 42
4.1. Không gian unita và không gian Hilber 42
4.2. Các phần tử và tập hợp trực giao, cơ sở trực chuẩn, phép ñẳng cấu 44
4.3. Không gian liên hợp 48
4.4. Toán tử liên hợp 50
Bài tập 54
CHƯƠNG V Phổ của toán tử và toán tử compact 56
5.1. Phổ của toán tử tuyến tính liên tục 56

5.2. Toán tử compact 57
5.3. Phổ của toán tử compact 58
Bài tập 60
Tài liệu tham khảo 62



1

CHƯƠNG I
ðẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH
Số tiết: 16 tiết(LT: 13 tiết, BT 03 tiết)

A) MỤC TIÊU
Củng cố cho sinh viên, từ ñó sinh viên nắm vững khái niệm không gian tuyến tính cùng một số
tính chất ñặc trưng của nó.
Sinh viên hiểu các khái niệm cơ bản về không gian ñịnh chuẩn, không gian Banach, chuỗi
trong không gian ñịnh chuẩn, sự hội tụ trong không gian ñịnh chuẩn, toán tử tuyến tính liên tục,
phép ñồng phôi.
Sinh viên vận dụng ñược các khái niệm ñã học ñể chứng minh một số không gian thường gặp
là tuyến tính ñịnh chuẩn, Banach.
Sinh viên có thể xét ñược tính liên tục, bị chặn và tìm ñược chuẩn của một toán tử tuyến tính
liên tục giữa các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thường gặp.

B) NỘI DUNG
1.1. Không gian tuyến tính
1.1.1. ðịnh nghĩa
ðịnh nghĩa 1.1. Giả sử K là trường số thực hoặc phức. Tập hợp X khác rỗng cùng với hai ánh
xạ (gọi là phép cộng và nhân vô hướng):
Phép cộng xác ñịnh trên X x X nhận giá trị trong X: (x, y)

֏
x + y;
∀
x, y
∈
X.
Phép nhân vô hướng xác ñịnh trên K x X nhận giá trị trong X: (k, x)
֏
kx;
∀
k
∈
K,
∀
x
∈
X.
Gọi là một không gian tuyến tính (không gian vectơ) nếu các ñiều kiện sau ñược thỏa mãn:
1. X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là:
a) x + y = y + x;
∀
x, y
∈
X.
b) (x + y) + z = x + (y + z);
∀
x, y, z
∈
X.
c) Tồn tại phần tử 0 của X sao cho x + 0 = 0 +x = x;

∀
x
∈
X.
d) Với mỗi phần tử x của X, tồn tại một phần tử – x của X sao cho: x +(– x) = 0.
2. k(x + y) = kx + ky
∀
k
∈
K,
∀
x, y
∈
X.
3. (k + m)x = kx + mx
∀
k, m
∈
K,
∀
x
∈
X.
4. (km)x = k(mx)
∀
k, m
∈
K,
∀
x

∈
X.
5. 1.x = x,
∀
x
∈
X.
Nếu K =
ℝ
thì X ñược gọi là một không gian tuyến tính thực, nếu K =
ℂ
thì X ñược gọi là
một không gian tuyến tính phức.
1.1.2. Các ví dụ
1. Không gian K
T
Giả sử T là một tập hợp bất kỳ. Gọi K
T
là tập hợp các hàm số xác ñịnh trên T và nhận giá trị
trong K. Ta trang bị hai phép toán:


2

(x + y)(t) = x(t) + y(t)
∀
x, y
∈
K
T

,
∀
t
∈
T.
(kx)(t) = k(x(t))
∀
x
∈
K
T
,
∀
t
∈
T.
Khi ñó K
T
là một không gian tuyến tính.
Nếu T là một tập hợp có n phần tử thì K
T
= K
n
.
2. Không gian S
Gọi S là tập hợp các dãy số thực hoặc phức, tức là S = K
N
. Khi ñó S là một không gian tuyến
tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường.
3. Không gian S

0
Gọi S
0
là tập hợp các dãy số thực hoặc phức, trong ñó tất cả các số hạng của dãy, trừ một số
hữu hạn phần tử ñều bằng không. Khi ñó S
0
là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân
vô hướng thông thường.
4. Không gian l
Không gian l các dãy số thực hoặc phức khả tổng tuyệt ñối là một không gian tuyến tính với
các phép cộng và nhân vô hướng thông thường (x =(x
i
)
∈
l
↔

1
| |
i
i
x
∞
=
<∞
∑
).
5. Không gian l
p


Không gian l
p
, 1 < p < +
∞
các dãy số thực hoặc phức khả tổng tuyệt ñối mũ p là một không
gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường, (x=(x
i
)
∈
l
p

↔
1
| |
p
i
i
x
∞
=
<∞
∑
).
6. Không gian l
∞

Không gian l
∞
các dãy số thực hoặc phức bị chặn là một không gian tuyến tính với các phép

cộng và nhân vô hướng thông thường, (x =(x
i
)
∈
l
∞

↔

sup | |
i
i
x
<∞
).
7. Không gian c
Không gian c các dãy số thực hoặc phức hội tụ là một không gian tuyến tính với các phép cộng
và nhân vô hướng thông thường.
8. Không gian c
0

Không gian c
0
các dãy số thực hoặc phức hội tụ ñến 0, là một không gian tuyến tính với các
phép cộng và nhân vô hướng thông thường.
9. Không gian B(T)
Giả sử T là một tập hợp bất kỳ. Gọi B(T) là tập hợp các hàm số xác ñịnh và bị chặn trên T và
nhận giá trị trong K. Khi ñó K
T
là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng

thông thường.
10. Không gian C(S)
Giả sử S là một không gian topo. Gọi C(S) là tập hợp các hàm số thực (phức) liên tục và bị chặn
trên S. Khi ñó C(S) là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng thông thường.
11. Không gian
[ ]
,
k
a b
D



3

Gọi
[ ]
,
k
a b
D
là tập hợp các hàm x(t) xác ñịnh trên ñoạn [a, b] và có ñạo hàm liên tục ñến cấp k là
không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân thông thường.

12. Không gian
[ , ]
a b
C

Không gian

[ , ]
a b
C
các hàm số thực liên tục trên ñoạn [a, b] là một không gian tuyến tính với
các phép cộng và nhân thông thường.

1.1.3. Tập lồi, cân, hút
ðịnh nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính, E là một tập con của X, E ñược gọi
i) lồi nếu
{
}
[ , ] (1 ) : 0 1 , , ;
a b ta t b t E a b E
= + − ≤ ≤ ⊂ ∀ ∈

ii) cân nếu
, | | 1, ;
tx E t x E
∈ ∀ ≤ ∀ ∈

iii) hút nếu
, 0 : , | | .
x X tx E t
ε ε
∀ ∈ ∃ > ∈ ∀ <


1.2. Toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng trường K. Ánh xạ A: X
→

Y gọi là một
toán tử tuyến tính nếu:
1) A(x
1
+ x
2
) = A(x) + A(x
2
),
∀
x
1
, x
2

∈
X.
2) A(kx) = kAx,
∀
k
∈
K,
∀
x
∈
X.
Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K thì toán tử tuyến tính A: X
→
K gọi là một
phiếm hàm tuyến tính trên X.

Các phiếm hàm tuyến tính của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X thường ñược ký hiệu x*,
y*, z*, …
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường K. Gọi
L
(X, Y) là tập hợp tất cả các
toán tử tuyến tính A : X
→
Y. Trên
L
(X, Y) ta trang bị hai phép toán:
(A + B)x = Ax + Bx
(kA)x = k(Ax)
∀
A, B
∈
L
(X, Y),
∀
k
∈
K,
∀
x
∈
X.
Khi ñó
L
(X, Y) là một khôn gian tuyến tính trên K.
ðặc biệt nếu Y = K thì
L

(X, K) là không gian các phiếm hàm tuyến trên X và
L
(X, K) ñược
gọi là không gian liên hợp ñại số của không gian tuyến tính X và thường ñược ký hiệu là X’.


4

Không gian liên hợp ñại số của không gian X’ ñược gọi là không gian liên hợp ñại số thứ hai
của không gian tuyến tính X và thường ñược ký hiệu là X’’.
Hiển hiên X’’ cũng là một không gian tuyến tính trên trường K.
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K, x là một phần tử cố ñịnh của X. Dễ thấy
ánh xạ
H
x
: X’
→
K
xác ñịnh bởi
H
x
(x*) = x*(x)
là một phiếm hàm tuyến tính trên X’, tức là H
x

∈
X’’.
Dễ thấy ánh xạ
H : X
→

X’’
xác ñịnh bởi
H(x) = H
x

là một toán tử tuyến tính. Ngoài ra H là một ñơn ánh. Thật vậy, giả sử x là một phần tử khác 0 của
X. Gọi L là không gian con tuyến tính sinh bởi a, tức là L = Lin{a} và M là phần bù ñại số của L.
Khi ñó, mỗi phần tử x của X có biểu diễn duy nhất dưới dạng
x = ka + y, trong ñó k
∈
K, y
∈
M.
Ánh xạ x*: X
→
K xác ñịnh bởi x*(x) = k là một phiếm hàm tuyến tính trên X và x*(a) = 1.
Do ñó, H
a
(x*) = x*(a) = 1
≠
0. Suy ra H(a)
≠
0.
ðơn ánh tuyến tính H: X
→
X’’ xác ñịnh như trên gọi là phép nhúng chính tắc không gian X
vào X’’. Vì X ñẳng cấu tuyến tính với một không gian con tuyến tính của X’’ nên có thể coi X là
một không gian con tuyến tính của X’’và ñồng nhất mỗi phần tử x của X với phần tử H(x) của X’’.

1.3. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn

1.3.1. Sơ chuẩn, nửa chuẩn, chuẩn
ðịnh nghĩa 1.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính. Hàm số thực g: X
→
R xác ñịnh trên
X ñược gọi là một sơ chuẩn trên X nếu với mọi x, y
∈
X và với mọi k
≥
0, ta luôn có:
1) g(x + y)
≤
g(x) + g(y).
2) g(kx) = kg(x).
Hiển nhiên, từ ñịnh nghĩa trên ta có g(0) = 0.
Hàm số thực p: X
→
R xác ñịnh trên X ñược gọi là một nửa chuẩn trên X nếu với mọi x, y
∈
X
và với mọi k
∈
K, ta luôn có:
1) p(x + y)
≤
p(x) + g(y).
2) p(kx) = |k|p(x).
Hiển nhiên, nửa chuẩn là một sơ chuẩn.
Nếu p là một nửa chuẩn trên X thì p(x)
≥
0 với mọi x

∈
X.


5

Từ ñịnh nghĩa nửa chuẩn ta có:
a)
1 1
( ) | | ( )
n n
i i i i
i i
p k x k p x
= =
≤
∑ ∑
với mọi
1 1
, , ; , ,
n n
x x X k k K
∈ ∈

b) |p(x) – p(y)|
≤
p(x - y) với mọi x, y
∈
X.
Nửa chuẩn p trên không gian tuyến tính X ñược gọi là một chuẩn trên X nếu từ p(x) = 0 suy ra

x = 0. Nếu p là một chuẩn trên X thì với mọi x
∈
X, số p(x) thường ñược ký hiệu là || x ||.
Như vậy hàm số thực || . || xác ñịnh trên không gian tuyến tính X ñược gọi là một chuẩn nếu
thỏa mãn:
1) Với mọi x
∈
X , || x ||
≥
0, || x || = 0 khi và chỉ khi x = 0,
2) || x + y ||
≤
|| x || + || y ||, với mọi x, y
∈
X,
3) || kx || = | k |.|| x || với mọi x
∈
X, với mọi k
∈
K.

1.3.2. ðịnh nghĩa và ví dụ
ðịnh nghĩa 1.4. Cặp (X, || || ), trong ñó X là một không gian tuyến tính và ||.|| là một chuẩn
trên X, ñược gọi là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn.
Giả sử (X, || || ) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, dễ ràng thấy rằng hàm số thực
ρ
xác
ñịnh trên X x X cho bởi công thức
ρ
(x, y) = || x – y || là một metric trên X(ñược gọi là metric xác

ñịnh bởi chuẩn). Vậy không gian tuyến tính ñịnh chuẩn là một không gian metric.
Nếu dãy {x
n
} những phần tử của X và x
0
∈
X thì
0
lim
n
n
x x
→∞
=

có nghĩa là
0
lim || || 0
n
n
x x
→∞
− =
.
Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn (X, || || ) ñầy ñủ ñối với metric xác ñịnh bởi chuẩn ñược gọi
là một không gian Banach.
ðịnh lý 1.1. Trong một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X,
a) Phép cộng và phép nhân vô hướng là những ánh xạ liên tục,
b) Chuẩn x
֏

|| x ||, với mọi x
∈
X là một hàm số liên tục trên X.
Chứng minh.
a) Giả sử
0 0
lim , lim
n n
n n
x x y y
→∞ →∞
= =
trong X,
0
lim
n
n
k k
→∞
=
trong K. Khi ñó
0 0 0 0
|| ( ) ( ) || || || || || 0
n n n n
x y x y x x y y
+ − + ≤ − + − →
khi n
→

∞

.

0 0 0 0 0
|| || || ( ) ( ) ||
n n n n n
k x k x k x x k k x
− = − + −


0 0 0
| | . || || | | . || || 0
n n n
k x x k k x
≤ − + − →
khi n
→

∞
.
b) Ta có | || x || – || y || |
≤
|| x – y ||
∀
x, y
∈
X, do ñó hàm chuẩn là liên tục trên X.





6

Các ví dụ
1. R, C là những không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi
|| x || = | x |, với mọi x
∈

ℝ
hoặc x
∈

ℂ
.
2.
ℝ
n
và
ℂ
n
là những không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi
|| x || =
2
1
| |
n
i
i
x
=
∑

, với mọi x = (x
1
, , x
n
)
∈
K
n
.
3. B(T) là không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi
|| || sup | ( ) |
t T
x x t
∈
=
, với mọi x(t)
∈
B(T).

4. l

∞
là không gian Banach với chuẩn
|| || sup | |
n
n N
x x
∈
=
, với mọi x = (x

n
)
∈
l

∞
.
5. l
p
là không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi
|| x ||
p
=
1
1
| |
n
p
p
i
i
x
=
 









 
∑
, với mọi x = (x
1
, , x
n
)
∈
K
n
.
Mệnh ñề 1.1. Giả sử p là một nửa chuẩn trên X. Khi ñó các tập
B B(p) X p 1
{ : ( ) }
x x
= = ∈ <

và
B B(p) X p 1
{ : ( ) }
x x
= = ∈ <

là lồi, cân và hút.
Mệnh ñề 1.2. Nếu E là một tập lồi, cân và hút thì công thức
( ) inf{ 0 : },
x
p x t E x X

t
= > ∈ ∈

xác ñịnh một nửa chuẩn trên X, thỏa mãn
( ) ( )
B p E B p
⊂ ⊂
.
Ngoài ra, nếu E chỉ là tập lồi và hút thì
( )
p x
là một sơ chuẩn trên X và thỏa mãn
( ) ( )
B p E B p
⊂ ⊂
.

1.3.3. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compact
ðịnh nghĩa 1.4. Cho E là một tập hợp con của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X. Khi ñó E
ñược gọi là
i) tập bị chặn nếu
sup{|| ||: } .
x x E
∈ < +∞

ii) hoàn toàn bị chặn nếu
∀
ε
> 0, tồn tại tập hữu hạn A
⊂

X sao cho


7

∀
x
∈
E,
∃
y
∈
A: || x – y || <
ε
.
iii) compact nếu mọi dãy {x
n
}
⊂
E có một dãy con
{
}
k
n
x
hội tụ tới một phần tử x
∈
E.
Nhận xét.
a) Các khái niệm bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compact tương ñương với các ñịnh nghĩa trong

không gian metric.
b) Mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn.
c) Tập hợp con hữu hạn A
⊂
X thỏa mãn ii) ñược gọi là một
ε
- lưới hữu hạn của E. Hơn nữa
A có thể coi chứa trong E.
ðịnh lý 1.2 (Hausdorff). Tập con E trong không gian Banach X là compact nếu và chỉ nếu E là
ñóng và hoàn toàn bị chặn.

1.4. Chuỗi trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
1.4.1. Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi
ðịnh nghĩa 1.5. Giả sử {x
n
} là một dãy những phần tử của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
X. Ta gọi tổng hình thức
1 2
1

n i
i
x x x x
∞
=
+ + + + =
∑
là một chuỗi trong X. Phần tử
S
n

= x
1
+ + x
n

gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.
Nếu dãy các tổng riêng hội tụ thì chuỗi ñược gọi là hội tụ. Giới hạn S của dãy {S
n
} ñược gọi là
tổng của chuỗi và ta viết S = , khi ñó r
n
= S – S
n
ñược gọi là phần dư thứ n của chuỗi . Ngược lại
chuỗi gọi là phân kỳ.
ðịnh lý 1.3. Nếu chuỗi
1
n
n
x
∞
=
∑
trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X hội tụ thì thỏa mãn
ñiều kiện : với mọi
ε
> 0,
∃
n
0


∈
N sao cho với mọi n
≥
n
0
, p
≥
1, luôn có
1
|| || || ||
n p n n n p
S S x x
ε
+ + +
− = + + <
.
ðịnh lý 1.4. Nếu chuỗi
1
n
n
x
∞
=
∑
trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X hội tụ thì
lim 0
n
n
x

→∞
=
.
ðịnh lý 1.5. Nếu các chuỗi
1
n
n
x
∞
=
∑
,
1
n
n
y
∞
=
∑
trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X hội tụ và
có tổng tương ứng là S, T thì các chuỗi
1 1
( ), .
n n n
n n
x y k x
∞ ∞
= =
+
∑ ∑

cũng hội tụ và có tổng tương ứng là
S + T và k.S,
∀
k
∈
K.




8

1.4.2. Chuỗi hội tụ tuyệt ñối
Chuỗi
1
n
n
x
∞
=
∑
gọi là hội tụ tuyệt ñối nếu chuỗi số
1
|| ||
n
n
x
∞
=
∑

hội tụ.
ðịnh lý 1.6. Trong không gian Banach X, mỗi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ và
1 1
|| ||
i i
i i
x x
∞ ∞
= =
≤
∑ ∑

ðịnh lý 1.7. Trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X mỗi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ
thì X là không gian Banach.

1.5. Các không gian Banach khả ly
Ví dụ 1. Các không gian
ℝ
n
và
ℂ
n
là khả ly.
Ví dụ 2. Không gian l
p
với 1
≤
p <
∞
là khả ly. Thật vậy, ta chứng minh cho trường hợp

l =
ℂ
. Gọi M là tập hợp các dãy số y = (y
1
, y
2
, , y
n
, 0, 0, ), trong ñó n là số tự nhiên, y
k
= p
k
+
iq
k
; p
k
, q
k
là những số hữu tỷ với k = 1, , n . Hiển nhiên, M là một tập hợp ñếm ñược của không
gian l
p
. Ta sẽ chứng minh M trù mật trong l
p
. Với mọi dãy x(x
n
)
∈
l
p

, vì
1
| |
p
n
n
x
∞
=
∑
hội tụ nên với số
dương
ε
bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên n
0
sao cho
0
1
| |
2
p
p
n
n n
x
ε
∞
= −
<
∑


Gọi r
1
= p
1
+ iq
1
, , r
n
= p
n
+ iq
n
, p
k
, q
k
là những số hữu tỷ với k = 1, , n sao cho
0
1
| |
2
n
r
p
p
n n
n
x r
ε

=
− <
∑

0
0 1 2
( , , , ,0, 0, )
n
y r r r
=
là một phần tử của M thỏa mãn bất ñẳng thức
0 0
0
0
1 1
|| || | | | |
n n
p p p p
n n n
n n n
x y x r x
ε
= = +
− = − + <
∑ ∑

do ñó || x – y
0
|| <
ε

.
Ví dụ 3. l
∞
không phải là một không gian khả ly. Thật vậy, gọi E là tập hợp các dãy số {x
n
},
trong ñó các phần tử của dãy nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Hiển nhiên E là một tập con của
l
∞
,
E có lực lượng continum. Mặt khác, nếu {x
n
}, {y
n
} là hai phần tử khác nhau của E thì
|| x – y || =
sup | | 1
n n
n
x y
− =
.
Giả sử E là không gian khả ly. Khi ñó, tồn tại một tập hợp ñếm ñược M trù mật trong l
∞
. Khi
ñó họ hình cầu tâm là các phần tử của M và bán kính 0,3 phủ không gian l
∞
, do ñó phủ E. Vì M là
ñếm ñược, E có lực lượng continum nên tồn tại ít nhất một hình cầu chứa hai phần tử khác nhau x, y
của E. Gọi z là tâm hình cầu ñó, ta có



9

1 = || x – y ||
≤
|| x - z || + || z - y ||
≤
0,3 + 0,3 = 0,6
ñiều này là vô lý. Vậy, l
∞
không phải là một không gian khả ly.

1.6. Không gian con và không gian thương
1.6.1. Không gian con
Giả sử (X, || . ||) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và L là một không gian con tuyến
tính của X. Dễ thấy hàm số
||. || ||. || :
L L
L
= →
ℝ

|| || || ||
L
x x
=

∀
x

∈
L
là một chuẩn trên L. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn (L,
|| . ||
L
) gọi là không gian con của không
gian tuyến tính ñịnh chuẩn (X, || ||).
Có thể thấy ngay rằng tôpô sinh ra bởi chuẩn
|| ||
L
là tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X sinh ra
bởi chuẩn || ||.
Ta biết không gian con của một không gian metric khả ly là một không gian khả ly. Do ñó
không gian con của một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn khả ly là một không gian khả ly.
Hiển nhiên không gian con ñóng của một không gian Banach là một không gian Banach.
Không gian con ñầy ñủ của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X là một không gian con ñóng của X.
Ví dụ 1. C(S) – không gian các hàm liên tục trên không gian tôpô S, là một không gian con
ñóng của không gian Banach B(S) – không gian các hàm bị chặn trên S. Do ñó C(S) là là một không
gian Banach.
Ví dụ 2. c
0
– không gian các dãy số thực hoặc phức hội tụ ñến 0, là không gian con ñóng của
không gian Banach c – không gian các dãy số thực hoặc phức hội tụ. Do ñó c
0
là một không gian
Banach.
ðịnh lý 1.7. (Riesz) Giả sử L là một không gian con ñóng thực sự của không gian tuyến tính
ñịnh chuẩn X. Khi ñó với một số thực
θ
bất kỳ mà 0 <

θ
< 1, tồn tại một phần tử z của X sao cho
|| z || = 1, và || x – z || >
θ
, với mọi x
∈
L.
Chứng minh.
Vì L là một không gian con ñóng thực sự của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X nên X \ L
khác
∅
. Giả sử x
0

∈
X \ L. ðặt d =
inf
0
|| ||
x L
x x
∈
−
. Vì L là ñóng nên d > 0. Với mỗi số
θ
: 0<
θ
< 1,
vì
d

θ
> d nên tồn tại u
∈
L sao cho
|| x
0
- u || <
d
θ
. (*)
ðặt


10

0
0
|| ||
x u
z
x u
−
=
−
,
khi ñó || z || = 1 và
∀
x
∈
L ta luôn có:


0
0
|| || || ||
|| ||
x u
x z x
x u
−
− = −
−


0 0
0
1
|| (|| ||) ||
|| ||
x u x x u
x u
= − − +
−


0 0
0
1
|| (|| || ) ||
|| ||
x u x u x

x u
= − + −
−

Vì
0
|| ||
x u x u
− +

∈
L
nên

0 0
|| (|| || ) ||
x u x u x
− + −

≥
d (**)
Từ (*) và (**) ta có || x –z || >
θ
.
□


1.6.2. Không gian thương
Giả sử X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, L là một không gian con ñóng của X. Gọi X/L
là không gian thương. Ta biết X/L là không gian thuyến tính. Ta trang bị cho X/L một chuẩn ñược

xác ñịnh như sau:



|| || = inf inf
|| || || ||, ( )
u L
y x
x y x u x x
∈
∈
= + ∈
ɶ
(1)
Dễ thấy hàm số xác ñịnh bởi (1) là một chuẩn trên X/L. Như vậy X/L là một không gian tuyến
tính ñịnh chuẩn với chuẩn ñược xác ñịnh bởi (1). Ta gọi nó là thương của không gian tuyến tính
ñịnh chuẩn X và không gian con ñóng L của nó.
ðịnh lý 1.8. Nếu X là không gian Banach và L là một không gian con ñóng của X thì X/L là
một không gian Banach.
Chứng minh.
Giả sử
1
n
n
x
∞
=
∑
ɶ
là một chuỗi hội tụ tuyệt ñối. Ta sẽ chứng minh chuỗi hội tụ trong không gian

thương X/L và do ñó X/L là một không gian Banach. Theo ñịnh nghĩa chuẩn trên X/L, với mỗi số tự
nhiên n tồn tại u
n

∈
L sao cho
1
|| || || ||
2
n
n n
n
x u x+ < +
ɶ

Do ñó


11

1 1
|| || || || 1
n
n n
n n
x u x
∞ ∞
= =
+ < +
∑ ∑

ɶ
.
Vì
1
n
n
x
∞
=
∑
ɶ
là một chuỗi hội tụ tuyệt ñối nên chuỗi
1
|| ||
n
n
x
∞
=
∑
ɶ
hội tụ nên chuỗi
1
( )
n n
n
x u
∞
=
+

∑

hội tụ tuyệt ñối trong không gian Banach X suy ra
1
( )
n n
n
x u
∞
=
+
∑
hội tụ. Gọi x
0
là tổng của chuỗi
1
( )
n n
n
x u
∞
=
+
∑
. Khi ñó

0
1
lim || ( ) || 0
n

k k
n
k
x u x
→∞
=
+ − =
∑
(*)
Vì
0
1
( )
n
k k
k
x u x
=
+ −
∑
là một phần tử của lớp tương ñương
1
n
k
k
x
=
∑
ɶ
–

0
x
ɶ
, nên
||
1
n
k
k
x
=
∑
ɶ
-
0
x
ɶ
||
≤
||
0
1
( )
n
k k
k
x u x
=
+ −
∑

|| (**)
Từ (*) và (**) suy ra
0
1
lim || || 0
n
k
n
k
x x
→∞
=
− =
∑
ɶ
, tức là
1
n
n
x
∞
=
∑
ɶ
=
0
x
ɶ
.
Vậy X/L là một không gian Banach.

□


1.7. Toán tử tuyến tính liên tục, phép ñồng phôi
1.7.1. Toán tử tuyến tính liên tục
ðịnh nghĩa 1.6. Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên cùng một trường
K. Toán tử A từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y ñược
gọi là một toán tử tuyến tính liên tục nếu nó vừa tuyến tính vừa liên tục.
Hiển nhiên A liên tục tại ñiểm x
0
của X, khi và chỉ khi: “Với mọi dãy bất kỳ {x
n
} những phần
tử của X, nếu
x
n

→
x
0
thì Ax
n
→

Ax
0

hay
từ
0

lim || || 0
n X
n
x x
→∞
− =
suy ra
0
lim || || 0
n Y
n
Ax Ax
→∞
− =
”.
Ta có: Nếu L là một không gian con ñóng của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X thì toán tử
thương
π
: X
→
X/L,
π
(x) =
x
ɶ
là một toán tử tuyến tính liên tục.

ðịnh lý 1.9. Nếu toán tử tuyến tính A: X
→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào

không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y liên tục tại một ñiểm x
0

∈
X thì nó liên tục trên X.


12

Chứng minh.
Giả sử toán tử tuyến tính A: X
→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào không gian
tuyến tính ñịnh chuẩn Y liên tục tại x
0

∈
X, với mọi x
∈
X và với mọi dãy {x
n
} những phần tử của
X hội tụ ñến x. Khi ñó,
0 0
lim ( )
n
n
x x x x
→ ∞
− + =

. Vì A liên tục tại x
0
nên

0 0
lim ( )
n
n
A x x x Ax
→ ∞
− + =
(*)
Vì A là toán tử tuyến tính nên
0 0
( )
n n
A x x x Ax Ax Ax
− + = − +
(**)
Từ (*) và (**) ta có
lim
n
n
Ax Ax
→ ∞
=
. Vậy A liên tục tại x. Do ñó A liên tục.
□

ðịnh nghĩa 1.7. Toán tử tuyến tính A: X

→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào
không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại một số dương M sao cho:
|| A(x) ||
≤
M.|| x ||,
∀
x
∈
X.
Ta có: “Ảnh của một tập hợp bị chặn qua toán tử tuyến tính bị liên tục là một tập hợp bị chặn”.
ðịnh lý 1.10. Toán tử tuyến tính A: X
→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào không
gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Chứng minh.
Giả sử A: X
→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn Y là toán tử tuyến tính bị chặn. Với mọi x
∈
X và với mọi dãy {x
n
} những phần tử của X hội
tụ ñến x. Khi ñó
|| || || ( )|| || || 0
n n n
Ax Ax A x x M x x
− = − ≤ − →


Do ñó Ax
n
→

Ax, hay A liên tục tại x và vì vậy A liên tục.
Giả sử A: X
→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn Y là liên tục. Khi ñó A liên tục tại 0 của X. Do ñó, tồn tại số dương
δ
sao cho với mọi x
∈

X, nếu || x ||
≤

δ
thì || Ax ||
≤
1. Với mọi x
≠
0 của X, ñặt
|| ||
x
u
x
δ
=
. Vì || x || =
δ

nên || Au ||
≤
1,
tức là
1
|| || 1 || || || ||
|| ||
x
A Ax x
x
δ
δ
≤ ↔ ≤
. Hiển nhiên bất ñẳng thức vẫn ñúng với x = 0. Vậy A
là toán tử tuyến tính bị chặn.
□

Như vậy trong các toán tử tuyến tính giữa hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, hai tính chất
“liên tục” và “bị chặn” là tương ñương.
ðịnh nghĩa 1.8. Giả sử A: X
→
Y là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn X vào không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y. Khi ñó, số

inf { }
: ,|| || || ||
M x X Ax M x
∀ ∈ ≤
(2)
ñược gọi là chuẩn của toán tử A.

ðịnh lý 1.11. Giả sử A: X
→
Y là toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X
vào không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y. Khi ñó:


13

i) || Ax ||
≤
|| A ||. || x ||,
∀
x
∈
X.
ii)
|| || 1 || || 1 0
|| ||
|| || || || || ||
|| ||
x x x
Ax
A sup Ax sup Ax sup
x
≤ = ≠
= = =
(3)
Chứng minh.
i) Theo ñịnh nghĩa || A || =
inf { }

: ,|| || || ||
M x X Ax M x
∀ ∈ ≤
nên tồn tại một dãy M
n

sao cho
|| Ax ||
≤
M
n
|| x || với mọi x
∈
X,
và
lim || ||
n
n
M A
→∞
=
. Trong bất ñẳng thức trên cho n
→

∞
, ta có: || Ax ||
≤
|| A ||. || x ||,
∀
x

∈
X.
ii) Từ (i) ta có || Ax ||
≤
|| A || với mọi x mà || x ||
≤
1( hoặc || x || = 1). (*)
Mặt khác từ ñịnh nghĩa chuẩn || A || suy ra rằng với mỗi số dương
ε
, tồn tại phần tử u
∈
X
sao cho
|| Au ||
≥
(|| A || -
ε
).|| u ||
ðặt v =
|| ||
u
u
. Khi ñó || v || = 1 và
|| ||
|| || || ||
|| ||
Au
Av A
u
ε

= > −
.
Từ ñó, kết hợp với (*) ta có
{
}
|| ||:|| || 1 || ||
Sup Ax x A
≤ =

(hoặc || x || = 1).
Ta cũng có
{ }
|| ||:|| || 1 || ||: 0
|| ||
x
Sup Ax x Sup A x
x
 
 
 

 


= = ≠

 





 
 
 
 


|| ||
: 0
|| ||
Ax
Sup x
x
 
 
 
= ≠
 
 
 
 

Do ñó
|| ||
: 0 || ||
|| ||
Ax
Sup x A
x
 

 
 
≠ =
 
 
 
 
.
□


1.7.2. Không gian
L
LL
L
(X, Y)
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên cùng một trường K. Gọi
L
(X, Y)
là tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn (liên tục) từ X vào Y. Với hai phép toán cộng và nhân vô
hướng thông thường và với chuẩn của toán tử tuyến tính ñược ñịnh nghĩa ở trên
L
(X, Y) là không
gian tuyến tính ñịnh chuẩn.


14

ðịnh lý 1.12.
i)

L
(X, Y) là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn với chuẩn
|| A || = inf { M : || Ax ||
≤
M.|| x || ,
∀
x
∈
X}. (4)
ii) Nếu Y là một không gian Banach thì
L
(X, Y) là một không gian Banach.
Chứng minh.
i) Hiển nhiên
L
(X, Y) là không gian tuyến tính.
Với mọi A
∈
L
(X, Y) và || A || = 0. Khi ñó, || Ax ||
≤
|| A || . || x || = 0
∀
x
∈
X. Do ñó Ax = 0
∀
x
∈
X, vậy A = 0.

Giả sử A, B
∈

L
(X, Y) và k
∈
K. Khi ñó
|| || 1 || || 1
|| || 1 || || 1
|| || sup || ( ) || sup || ||
sup || || sup || ||
x x
x x
A B A B x Ax Bx
Ax Bx
≤ ≤
≤ ≤
+ = + = +
≤ +


=
|| A || + || B ||

|| || 1 || || 1
|| || sup || ( ) || sup || ( ) ||
x x
kA kA x k Ax
≤ ≤
= =


|| || 1
| | sup || || | | . || ||
x
k Ax k A
≤
= =
.
Vậy
L
(X, Y) là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn.
ii) Giả sử Y là một không gian Banach, {A
n
} là một dãy Cauchy trong không gian
L
(X, Y).
Khi ñó với mọi số dương
ε
, với mỗi phần tử x
≠
0 cố ñịnh, ñặt
ε
’ =
|| ||
x
ε
, khi ñó luôn tồn tại số
nguyên dương n
0
sao cho

|| A
m
– A
n
|| <
ε
’ với mọi n, m
≥
n
0
.
Do ñó
|| A
m
x – A
n
x || = ||(A
m
- A
n
)x ||
≤
|| A
m
– A
n
||.|| x ||
≤
ε
’.|| x || =

ε
(*)
Như vậy, với mỗi x
∈
X dãy {A
n
x} là một dãy Cauchy của không gian Banach Y, nên A
n
x hội
tụ. ðặt
lim
n
n
Ax A x
→ ∞
=
,
∀
x
∈
X.
Ta ñược một ánh xạ A từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn Y. Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính. Từ (*) ta có thể chỉ ra rằng A là bị chặn và A
n

→
A.
Vậy
L
(X, Y) là không gian Banach.

□

Nhận xét. Nếu X, Y, Z là các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, A
∈
L
(X, Y); còn B
∈
L
(Y, Z)
thì BA
∈
L
(X, Z) và || BA||
≤
||A||.||B||.



15

1.7.3. Phép ñồng phôi tuyến tính. Phép ñẳng cự tuyến tính
ðịnh nghĩa 1.9. Giả sử A: X
→
Y là một song ánh từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X lên
không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y. Khi ñó,
i) A là một phép ñồng phôi tuyến tính nếu A là một toán tử tuyến tính ñồng thời A là một phép
ñồng phôi.
ii) A là một phép ñẳng cự tuyến tính nếu A là một toán tử tuyến tính và là một phép ñẳng cự,
tức là A là một toán tử tuyến tính thỏa mãn: || Ax || = || x ||,
∀

x
∈
X.
Phép ñồng phôi tuyến tính còn ñược gọi là phép ñẳng cấu tôpô hay ñẳng cấu hình học.
Hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X và Y ñược gọi là ñồng phôi tuyến tính hoặc ñẳng cấu
tôpô hoặc ñẳng cấu hình học nếu có một phép ñồng phôi tuyến tính từ một không gian lên không
gian thứ hai.
Hiển nhiên hai không gian ñẳng cự tuyến tính thì ñồng phôi tuyến tính.
Hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X và Y ñược gọi là ñẳng cự nếu có một phép ñẳng cự
tuyến tính từ một không gian lên không gian thứ hai.
Hiển nhiên hai không gian ñẳng cự tuyến tính thì ñồng phôi tuyến tính.
Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, ký hiệu
L
(X) là không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào chính nó.
Với mỗi A
∈

L
(X), ñặt
0 1 2 1
; ; ; ;
n n
A I A A A AA A A A
−
= = = =

Hiển nhiên với mỗi n, A
n


∈
L
(X) và
A
m+n
= A
m

A
n
với mọi m, n
|| A
n
||
≤
|| A ||
n
, với mọi n.
ðịnh lý 1.13 Nếu X là một không gian Banach, A
∈
L
(X) và || A || < 1 thì I – A là một phép
ñồng phôi tuyến tính từ X lên X,

1
0
( ) ,
n
n
I A x A x x X

∞
−
=
− = ∀ ∈
∑
(5)
và

1
1
|| ( ) ||
1 || ||
I A
A
−
− ≤
−
(6)

1.8. Tích các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
ðịnh nghĩa 1.10. Giả sử (X
1
, || ||
1
), (X
2
, || ||
2
), , (X
m

, || ||
m
), là m không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn. Ta ñã biết rằng tích của m không gian tuyến tính là một không gian tuyến tính với phép cộng
và nhân vô hướng ñược xác ñinh thông thường. Với mỗi phần tử x (x
1
, x
2
, , x
m
)
∈
X, ñặt
|| x || =
1
|| ||
m
k
k
x
=
∑
(7)


16

Dễ thấy rằng hàm số cho bởi (7) xác ñịnh một chuẩn trên X. Không gian tuyến tính
1
m

k
k
X X
=
=
∏
với chuẩn xác ñịnh bởi (7) ñược gọi là tích của các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
(X
1
, || ||
1
), (X
2
, || ||
2
), , (X
m
, || ||
m
).
ðịnh lý 1.14. Dãy phần tử
( ) ( ) ( )
1
( , , )
n n n
m
x x x
=
, n=1, 2, hội tụ ñến phần tử
(0) (0) (0)

1
( , , )
m
x x x
=
trong không gian
1
m
k
k
X X
=
=
∏
khi và chỉ khi
( ) 0
n
k k
x x
→
,
∀
k = 1, , m trong
không gian X
k
.
Nhận xét. Dễ thấy rằng
Các phép chiếu
1
:

m
j k j
k
p X X
=
→
∏


1
( ) , ( , , ) , 1, ,
j j m
p x x x x x X j m
= ∀ = ∈ ∀ =

là những toán tử liên tục.
Các phép nhúng
1
:
m
j j k
k
i X X
=
→
∏


thø j
( ) (0, , 0, , 0, , 0) , 1, ,

j j j
p x x x X j m
= = ∈ ∀ =

là những phép ñẳng cự tuyến tính từ không gian X
j
vào một không gian con ñóng của không gian
tích
1
m
k
k
X X
=
=
∏
.
ðịnh lý 1.15. Tích
1
m
k
k
X
=
∏
của các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X
1
, X
2
, , X

m
là một
không gian Banach khi và chỉ khi X
1
, X
2
, , X
m
ñều là những không gian Banach.

1.9. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn chiều
Chúng ta ña biết rằng các không gian
K
n
là những không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn
chiều. ðịnh lý sau cho thấy chỉ những không gian ñó là hữu hạn chiều nếu coi các không gian ñồng
phôi tuyến tính là ñồng nhất.
ðịnh lý 1.16. Mọi không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thực (hoặc phức) n chiều ñều ñồng phôi
tuyến tính với không gian
ℝ
n
(
ℂ
n
)
Chứng minh.
Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thực (hoặc phức) n chiều trên trường K và
{e
1
, e

2
, , e
n
} là một cơ sở của X. Khi ñó mỗi phần tử x của X ñược biểu diễn duy nhất dưới dạng


17

1
n
i
i
x x
=
=
∑
, trong ñó x
1
, , x
n

∈
K.
Gọi A: K
n

→
X là ánh xạ
1 2
1

( , , , ) ( )
n
n i
i
x x x x A x x x
=
= = =
∑
֏

Hiển nhiên A là một song ánh tuyến tính từ K
n
lên X.
Ta sẽ chứng minh A là một phép ñồng phôi. Thất vậy, với mọi
1 2
( , , , )
n
x x x x
=

∈
K
n
,
|| A(
x
) || = || x || =
1
|| ||
n

i i
i
x e
=
∑
1
|| | | . || ||
n
i i
i
x e
=
≤
∑


≤

1/2
1/2
1 1
|| || . | | . || ||
n n
i i
i i
e x x
α
= =
   
 

 
 
=
 
 
 
 
 
   
∑ ∑
,
trong ñó
α
=
1/2
1
|| ||
n
i
i
e
=
 









 
∑
. Vậy A là bị chặn.
Gọi B là hình cầu ñơn vị trong K
n
, tức là:
B = {
x
= (x
1,
,

x
n
)
∈
K
n
: ||
x
|| =
2 1/2
1
| |
n
i
i
x
=

 








 
∑
= 1}.
B là tập compact trong
n
ℝ
. Xét hàm số
1
( ) || || || || || ||
n
i i
i
f x Ax x x e
=
= = =
∑
.
Vì
f
liên tục trên tập compact B nên
f

ñạt giá trị nhỏ nhất m trên B và m > 0. Như vậy
|| || ,
Ax m x B
≥ ∀ ∈
.
Từ ñó
|| || || ||,
n
Ax m x x K
≥ ∀ ∈ .
Do ñó A
-1
là toán tử bị chặn. Vậy A là một phép ñồng phôi tuyến tính từ K
n
lên X.
Hệ quả 1.1.
i) Mọi không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thực (hoặc phức) hữu hạn chiều cùng số chiều ñều
ñồng phôi với nhau.
ii) Mọi chuẩn trên cùng một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn chiều ñều tương ñương
với nhau.
ðịnh lý 1.17. Mọi toán tử tuyến tính từ một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn chiều
vào một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn bất kỳ ñều liên tục.


18

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Hà Nội.
[2] Nguyễn Xuân Liêm (2009), Bài tập Giải tích hàm, NXB Giáo dục Hà Nội.
[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình Giải tích hàm, NXB ðại học Sư

phạm Hà Nội.
[4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ðại học Quốc gia Hà Nội.

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
Câu hỏi.
1) Khái niệm sơ chuẩn, nửa chuẩn và chuẩn trong một không gian tuyến tính.
2) Khái niệm không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, không gian Banach, không gian khả ly.
3) Khái niệm và cách tính chuẩn của một toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian
tuyến tính ñịnh chuẩn. Khái niệm phép ñồng phôi tuyến tính.

Bài tập
1) Cho
{ }
t t T
B e
∈
=
là một cơ sở của không gian tuyến tính X trên trường K. Với mỗi phần
tử t
0
cố ñịnh của T, gọi
0
*
:
t
e X K
→
là hàm số ñược xác ñịnh như sau:
0 0 0
* *

( ) ( )
t t t t t
t T
e x e k e k
∈
= =
∑

trong ñó
t t
t T
x k e
∈
=
∑
là khai triển của phàn tử x theo cơ sở B.
a) Chứng minh rằng
0
*
t
e
là một phiếm hàm tuyến tính trên X.
b) Chứng minh rằng nếu x
0
là một phần tử khác không của X thì tồn tại một phiếm hàm
tuyến tính x* trên X sao cho x*(x
0
)
≠
0.

2) Không gian con tuyến tính L của không gian tuyến tính X ñược gọi là một siêu phẳng
thuần nhất nếu L là không gian con tuyến tính thực sự cực ñại của X, tức là L
≠
X, L
≠
∅
và nếu
V là một không gian con của X chứa L thì hoặc V = X hoặc V = L.
Chứng minh rằng:
Nếu x* là một phiếm hàm tuyến tính khác không trên X thì N(x*) = { x
∈
X: x*(x) = 0} là
một siêu phẳng thuần nhất. ðảo lại, nếu L là một siêu phẳng thuần nhất của X thì tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính x* trên X sao cho N(x*) = L; x* ñược xác ñịnh sai khác một vô hướng.
3) Giả sử L là một không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính X, tập hợp có dạng
x + L
ñược gọi là một ña tạp tuyến tính của X.
a) Cho M là một tập con của không gian tuyến tính X. Chứng minh rằng M là một ña tạp
tuyến tính của X khi và chỉ khi với mọi x, y
∈
M và với mọi k, t
∈
K mà k + t = 1 ta ñều có
tx + ky
∈
M.


19


b) Cho M là một tập con của không gian tuyến tính X. Giao của tất cả các ña tạp tuyến tính
của X chứa M là ña tạp tuyến tính của X chứa M, ña tạp này ñược gọi là ña tạp tuyến tính sinh ra bởi
M. Chứng minh rằng ña tạp tuyến tính của X sinh bởi M là tập hợp các phần tử của X có dạng
1
n
i i
i
x t x
=
=
∑

trong ñó
1 2
, , ,
n
x x x

∈
M,
1 2
, , ,
n
t t t K
∈
sao cho
1
1
n
i

i
t
=
=
∑
, n là một số tự nhiên bất kỳ.
4) ða tạp tuyến tính x
0
+ L, trong ñó x
0
là một phần tử của X, L là một siêu phẳng thuần
nhất của X, gọi là một siêu phẳng của X.
Chứng minh rằng tập hợp con M của không gian tuyến tính X là một siêu phẳng của X khi
và chỉ khi tồn tại một phiếm hàm tuyến tính khác không x* trên X và một số
α
sao cho
{ : * ( ) }
M x X x x
α
= ∈ =

5) Chứng minh rằng nếu
p
là một nửa chuẩn trên mọt không gian tuyến tính X và một trong
hai tập hợp
{ : ( ) 1}, { : ( ) 1}
x X p x x X p x
∈ < ∈ ≤

là một tập hợp cân thì

p
là một nửa chuẩn.
6) Cho
( , )
K t s
là một hàm số liên tục trên hình vuông [0, 1] x [0, 1].Gọi A là một ánh xạ
xác ñịnh bởi công thức
1
[0, 1]
0
( )( ) ( , ) ( ) , , [0, 1]
Ax t K t s x s ds x C= ∈ ∈
∫
.
a) Chứng minh rằng A là một toán tử tuyến tính liên tục từ
[0, 1]
C
vào
[0, 1]
C
.
b) Tìm chuẩn của A.
7) Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, k là một số khác không.
a) Chứng minh rằng ánh xạ A: X
→
X, xác ñịnh bởi Ax = kx, x
∈
X là một phép ñồng phôi
tuyến tính từ X lên X.
b) Tính || A ||.

c) Chứng minh rằng nếu E là một tập mở (ñóng) trong X thì
{ : }
kE kx x E
= ∈
là một tập
mở (ñóng) trong X với mọi k
≠
0.
8) Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và a là một phần tử cố ñịnh của X.
Chứng minh rằng
a) Ánh xạ A : X
→
X, xác ñịnh bởi công thức
Ax = x + a, x
∈
X.
là một phép ñẳng cự từ X lên X.
b) Nếu E là một tập mở (ñóng) trong X thì
x + E = {x + a: x
∈
E}
cũng là một tập mở(ñóng) trong X.
c) Nếu U là một tập mở trong X và E là một tập con bất kỳ của X thì
U + E = { x + y : x
∈
U, y
∈
E}



20

là một tập mở trong X.
9) Chứng minh rằng trong một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X.
a) Bao ñóng của một không gian con tuyến tính là một không gian con tuyến tính.
b) Bao ñóng và phần trong của một tập hợp lồi là một tập hợp lồi.
c) Bao ñóng của một tập hợp cân là một tập hợp cân.
10) Cho một toàn ánh tuyến tính A: X
→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X lên
không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y. Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể A có toán tử ngược
A
1
−
bị chặn là tồn tại một số dương m sao cho
|| || || ||,
Ax m x x X
≥ ∀ ∈
.
11) Chứng minh rằng nếu không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X ñồng phôi tuyến tính với
không gian Banach Y thì X là một không gian Banach.
12) Giả sử Y là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn. Chứng minh rằng nếu với mỗi không
gian tuyến tính ñịnh chuẩn X,
L
(X, Y) ñều là một không gian Banach thì Y là một không gian
Banach.
13) Chứng minh rằng nếu L là một không gian con tuyến tính thực sự của không gian tuyến
tính ñịnh chuẩn X thì L là một tập hợp thưa trong X, tức là Int L =
∅
.

14) Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, L là một không gian con tuyến tính
trù mật của X, A
0
: L
→
Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ L vào không gian Banach Y. Chứng
minh rằng tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục A : X
→
Y sao cho
A|
L
= A
0
và || A || = || A
0
||.
15) Giả sử L là một không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X. Gọi
π
: X
→
X/L là toán tử thương. Chứng minh rằng
π
là một ánh xạ mở.
16) Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và L là một không gian con tuyến tính
hữu hạn chiều của X. Chứng minh rằng với mỗi phần tử x của X, tồn tại một phần tử a của L sao cho
|| || ( , ) inf || ||
u L
x a dist x L x u
∈
− = = −

.
17) Chứng minh rằng các toán tử sau là tuyến tính liên tục và tính chuẩn của chúng:
a) A:
[0, 1]
C

→

[0, 1]
C
,
0
( )( ) ( )
t
Ax t x s ds
=
∫

b) A:
[0, 1]
C

→

[0, 1]
C
,
2
( )( ) (0)
Ax t t x

=
;
c) A:
[0, 1]
C

→

[0, 1]
C
,
2
( )( ) ( )
Ax t x t
=
;
d) A:
[0, 1]
C

→

[0, 1]
C
,
( )( ) ( )
Ax t x t
=
;
e) A:

1
[0, 1]
C

→

[0, 1]
C
,
( )( ) ( )
Ax t x t
=

f) A:
1
[0, 1]
C

→

[0, 1]
C
,
( )( ) '( )
Ax t x t
=





21

CHƯƠNG II
Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm
Số tiết: 12 tiết( LT 10 tiết, BT 2 tiết)

A) MỤC TIÊU
Sinh viên hiểu nội dung của ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm: Nguyên lý bị chặn ñều,
nguyên lý ánh xạ mở ñồ thị ñóng và ñịnh lý Hahn – Banach.
Sinh viên vận dụng ñược các nguyên lý vào giải một số bài tập cơ bản của giải tích hàm.
Sinh viên thành thạo trong việc tìm một phiếm hàm tuyến tính liên tục và chuẩn của nó thỏa
mãn một số ñiều kiện cho trước.

B) NỘI DUNG
Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác ñịnh trên một không gian con L của một không gian
tuyến tính X. Nếu có một phiếm hàm tuyến tính F xác ñịnh trên X, trùng với f trên L thì ta nói F là
một thác triển của f trên X, và f ñược gọi là thác triển ñược lên X. Trong nhiều vấn ñề ta thường có
phiếm hàm f trên L và muốn thác triển nó lên toàn X sao cho nó vẫn giữ ñược một số tính chất nào
ñó vốn có của f. Chẳng hạn, nếu L là không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn X, f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L, thì thường ta muốn thác triển F của f cũng
liên tục trên X và || f || = || F ||. ðịnh lý Hahn – Banach nhằm giải quyết vấn ñề ñó, ñây là một trong
những mệnh ñề trung tâm của giải tích hiện ñại.

2.1. ðịnh lý Hahn-Banach
2.1.1. Tiên ñề Zorn
Cho một tập hợp S, trong ñó giữa một số cặp phần tử (a, b) của S có xác ñịnh một quan hệ
“
≺
” sao cho, với mọi a, b, c
∈

S, ta luôn có:
i) a
≺
a (tính phản xạ);
ii) Nếu a
≺
b, b
≺
c thì a
≺
c (tính bắc cầu);
iii) Nếu a
≺
b, b
≺
a thì a = b (tính phản xứng).
Khi ñó quan hệ “
≺
” ñược gọi là một thứ tự (bộ phận) trên tập S.
Trong một tập hợp S ñược sắp thứ tự bộ phận, tập hợp con A của S ñược gọi là sắp tuyến tính
nếu với mọi a, b
∈
A ta ñều có a
≺
b hoặc b
≺
a. Một phần tử m
∈
S ñược gọi là một cận trên của
A nếu a

≺
m với mọi a
∈
A; m ñược gọi là một phần tử tối ñại của S nếu không tồn tại a
∈
S mà
a
≠
m, m
≺
a.
Tiên ñề 2.1(Zorn) Nếu S là một tập hợp ñược sắp thứ tự bộ phận và mọi tập hợp con ñược sắp
tuyến tính của S ñều có cận trên, thì S phải có phần tử tối ñại.
2.1.2. ðịnh lý Hahn-Banach thực
ðịnh lý 2.1. (ðịnh lý Hahn – Banach ñối với sơ chuẩn cho không gian tuyến tính thực) Giả sử
F là một không gian con của một không gian tuyến tính thực X và
p
là một sơ chuẩn trên X. Khi ñó
với mọi phiếm hàm tuyến tính f: X
→

ℝ
thỏa mãn


22

f(x)
≤


p
(x),
∀
x
∈
F
tồn tại phiếm hàm tuyến tính
f
ɵ
: X
→

ℝ
sao cho
f
ɵ
(x) = f(x),
∀
x
∈
F
và
f
ɵ
(x)
≤

p
(x),
∀

x
∈
X.
Chứng minh.
Bước 1. Ta gọi một mở rộng của f là một cặp (D, g) trong ñó D là một không gian con của X
chứa F và g: D
→
ℝ
là tuyến tính và thỏa mãn
g(x) = f (x)
∀
x
∈
F và g(x)
≤

p
(x),
∀
x
∈
D.
Ta ký hiệu M là tập tất cả các mở rộng của f. Rõ ràng (F, f) là một mở rộng của f, nên M là
khác rỗng. Trong M ta xét quan hệ thứ tự:
(D
1
, g
1
)
≤

(D
2
, g
2
)
⇔
D
1

⊂
D
2
và g
2
(x) = g
1
(x),
∀
x
∈
D
1
.
Dễ thấy M với quan hệ thứ tự trên có phần tử tối ñại (D, g).
Bước 2. Ta sẽ chứng minh D = X và như vậy ñịnh lý sẽ ñược chứng minh.

2.1.2. ðịnh lý Hahn - Banach phức
Bổ ñề 2.1. Giả sử X là không gian vectơ phức và f: X
→
ℂ

. Khi ñó f là tuyến tính phức khi và
chỉ khi f viết dưới dạng
f(x) = f
1
(x) – if
1
(ix), x
∈
X
với f
1
: X
→
ℝ
là tuyến tính thực.
ðịnh lý 2.2. (ðịnh lý Hahn – Banach ñối với nửa chuẩn cho không gian phức) Giả sử X là một
không gian tuyến tính thực hoặc phức,
p
là một nửa chuẩn trên X. Nếu
f
là một phiếm hàm tuyến
tính trên một không gian con L của X sao cho
|
f
(x) |
≤

p
(x),
∀

x
∈
L,
thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F xác ñịnh trên X sao cho
F|
L
=
f
và | F(x) |
≤

p
(x) với mọi x
∈
X.
ðịnh lý 2.3 (ðịnh lý Hahn – Banach ñối với chuẩn cho không gian tuyến tính thực). Giả sử L
là không gian con của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X,
f
là một phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên L. Khi ñó tồn tại mọt phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X sao cho
F|
L
=
f
và ||
f
|| = || F ||.
Chứng minh
Với mỗi x
∈

X, ñặt,
p
(x) = ||
f
||. || x ||,
thì
p
là một chuẩn nên cũng là một nửa chuẩn trên X. Ta có
| ( ) | || || . || || ( ),
f x f x p x x L
≤ = ∀ ∈
.


23

Theo ñịnh lý 2.2 tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F trên X sao cho F|
L
=
f
và
| ( ) | ( ) || || . || ||,
F x p x f x x X
≤ = ∀ ∈
.
Vậy F là một toán tử bị chặn và do ñó F liên tục trên X và
|| || || ||
F f
≤


Mặt khác, hiển nhiên
|| || || ||
F f
≥

Từ hai bất ñẳng thức trên ta có
|| || || || .
F f
=


2.1.3. Các hệ quả của ñịnh lý Hahn – Banach
Hệ quả 2.1. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục
f
xác ñịnh trên một không gian con tuyến tính
L của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X bao giờ cũng có thể thác triển thành một phiếm hàm
tuyến tính liên tục F trên X mà ||
f
|| = || F ||.
Hệ quả 2.2. Giả sử L là không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X và
phần tử a
∈
X \ L sao cho
( , ) inf || ||
x L
d a L x a d
∈
= − =
> 0. Khi ñó tồn tại một phiếm hàm tuyến
tính

f
liên tục trên X sao cho
||
f
|| =
1
d
,
f
|
L
= 0 và
f
(a) = 1.
Hệ quả 2.3. Với mỗi phần tử x
0

≠
0 của một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X ñều có một
phiếm hàm tuyến tính liên tục
f
trên X sao cho
f
(x
0
) = || x
0
|| và ||
f
|| = 1.

Ví dụ 2.1. Trong
ℝ
2
, với
1 2
|| || | | | |
x x x
= +
, với mọi
2
1 2 0
( , ) , (1,2)
x x x x
= ∈ =
ℝ
. Xác
ñịnh phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
2
ℝ
sao cho:
0
|| || 1, ( ) 3
f f x
= =
.
Xét tương ứng
f
:
2
ℝ


→

ℝ
, ñược cho bởi công thức
2
1 2 1 2
( ) , ( , )f x x x x x x
= + ∀ = ∈
ℝ
.
Dễ thấy,
f
là một toán tử tuyến tính trên
2
ℝ
và
f
(x
0
) = 3.
Với mọi
2
1 2 1 2 1 2
( , ) , || ( ) || | | | | | |
x x x f x x x x x
= ∈ = + ≤ +
ℝ
, nên
|| ( ) || || ||

f x x
≤
.
Do ñó
f
bị chặn và vì vậy
f
liên tục trên
2
ℝ
và
|| || 1
f
≤
. (*)
Chọn
(0,1) || || 1, || ( ) || 1
x x f x
= ⇒ = =
nên
|| || 1
f
≥
. (**)


24

Từ (*) và (**) ta có ||
f

|| = 1.
Ví dụ 2.2. Trong
ℝ
2
, với
2 2
1 2
|| || |
x x x
= +
,
∀
2
1 2 0
( , ) , (2, 3)
x x x x
= ∈ =
ℝ
,
{( , 0) : }
F x x
= ∈
ℝ
. Xác ñịnh phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
2
ℝ
sao cho:
0
1
|| || , ( ) 1, | 0

3
F
f f x f
= = =
.
Xét tương ứng
f
:
2
ℝ

→

ℝ
, ñược cho bởi công thức
2
2 1 2
1
( ) . , ( , )
3
f x x x x x
= ∀ = ∈
ℝ
.
Dễ thấy,
f
là một toán tử tuyến tính trên
2
ℝ
,

f
(x
0
) = 1 và
f
(x) = 0,
∀
(x, 0)
∈
F.
2 2 2
1 2 2 2 1 2
1 1 1
( , ) :|| ( ) || | . | | |
3 3 3
x x x f x x x x x
∀ = ∈ = = ≤ +ℝ

Do ñó
|| ( ) || || ||
f x x
≤
, nên
f
bị chặn từ ñó suy ra
f
liên tục và
|| || 1
f
≤

.
Mặt khác, chọn
(0,1)
x
=
thì
1 1
|| || 1, || ( ) || || ||
3 3
x f x f
= = ⇒ ≥
.
Vậy
1
|| ||
3
f
=
.

2.2. Nguyên lý ánh xạ mở ñồ thị ñóng
2.2.1. ðịnh lý Baire về phạm trù
Giả sử X là một không gian metric và A là một tập hợp con của X. Tập hợp A ñược gọi là
không ñâu trù mật trong X nếu phần trong của
A
bằng rỗng.
Không gian X ñược gọi là tập thuộc phạm trù thứ nhất nếu X biểu diễn ñược dưới dạng hợp
ñếm ñược của một họ các tập không ñâu trù mật trong X, tức là
1
n

n
X A
∞
=
=
∪
, trong ñó
n
A

⊂
X,
int
n
A
= ∅
,
∀
n.
Không gian X không thuộc phạm trù thứ nhất ñược gọi là tập thuộc phạm trù thứ hai.
ðịnh lý 2.4.(ðịnh lý Baire về phạm trù) Mọi không gian metric ñầy ñủ ñều là tập thuộc phạm
trù thứ hai.
Chứng minh.
Giả sử {A
n
} là một dãy các tập không ñâu trù mật trong X. Vì
1
intA
= ∅
nên tồn tại

1 1
\
x X A
∈
và hình cầu B
1
tâm x
1
, bán kính
1
r
< 1 sao cho
1 1
B A
∩ = ∅
. Vì
1
intA
= ∅
nên tồn
tại
2 1 2
\
x B A
∈
và hình cầu B
2
tâm x
2
, bán kính

2
r
< ½ sao cho
2 2
B A
∩ = ∅
. . Tiếp tục như