ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
oOo


TRỊNH THANH ĐÈO




VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA
HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU



Chuyên ngành:
Đại số và lý thuyết số
Mã số chuyên ngành:
62 46 05 01



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH – 2012
Công trình được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh.


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Bùi Xuân Hải

Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Văn Sanh

Phản biện 2: PGS.TS. Mỵ Vinh Quang

Phản biện 3: TS. Nguyễn Viết Đông

Phản biện độc lập 1: GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường

Phản biện độc lập 2: TS. Phó Đức Tài






Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp cơ sở đào tạo
họp tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp.HCM
Vào hồi 15 giờ 00 ngày 14 tháng 06 năm 2012






Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM
- Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM
TÓM TẮT LUẬN ÁN
Trong lý thuyết vành chia, một trong những bài toán được nhiều
nhà toán học quan tâm là khảo sát các nhóm con trong vành chia
không giao hoán, và rộ ng hơn nữa là khảo sát các tính chất liên quan
đến nhóm tuyến tính trên vành chia. Có nhiều kết quả thú vò liên
quan đến bài toán này. Một trong số đó phải kể đến là một khám
phá nổi t i e á ng của Wedderburn vào nă m 1905, đó là “nếu nhóm nhân
D
∗
của vành chia D là hữu hạn thì D g i a o h o a ù n ”. Sau đó, L. K.
Hua đã chư ù ng mi nh rằng (xem [8], p.223) nhóm nhân của mo ä t vành
chia không giao hoán thì không giải được. Năm 2009, B. X. Hải và
N. V. Thìn (xem [5]) đã chứng m i nh D
∗
cũng không lũy linh đòa
phương. Một vài kết quả mới nhất có thể được tìm thấy trong các
công trình của các nhóm tác giả S. Akbari, M. Mahdavi-Hezavehi,
R. Ebrahimian, B. X. Hải (xem [1]-[3], [4]-[5], [9]-[12]), . . .
Các nghiên cứu chính của luận án là khảo sát bài toán trên cho
các lớp vành chia mở rộng của lớp vành chia hữu hạn đòa phương,
đó là l ơ ù p vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương
yếu. C á c lơ ù p vành chia này đ ư ơ ï c đònh nghóa ở chươ ng 1 của luận
án.
Các phương pháp được sử dụng trong luận án cũng chính là các
phương pháp đang được nhiều nhà toán học sử dụng trong hướng

nghiên cứ u về nhóm tuyến tính trên vành chia. Đó chính là các
phương pháp của lý thuyết nhóm kết hợp với lý thuyết vành, như:
dùng các điều kiện hữu hạn để khả o sát trong những trường hợp
cần thiết, sử dụng các phương pháp của lý thuyết nhóm tuyến tính
trên trường trong một số trường hơ ï p cụ t he å , . . .
1
Nội dung của luận án được tóm tắt theo từng chương như sau:
Chương 1. Các kiến thức mở đầu
1.1. Các khái ni ệ m và ký hi ệ u
Trong m u ï c này, tác giả đã đưa ra một số khái niệm và ký hiệu
liên quan đến luận án.
1.2. Về các lớp vành chia không giao hoán
Trong mục này, tác giả đã nhắc lại khái niệm về các lớp vành
chia không giao hoán cổ điển như: vành chia hữu hạn tâm, vành
chia hữu hạn đòa phương, vành chia đại số, đồng thời xét hai lớp
vành chia mới là lớp vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn
đòa phư ơ ng ye á u .
Đònh nghóa 1.1. Cho D là vành chia tâm F . Ta nói D là vành chia
kiểu 2 nếu với mọi x, y thuộc D, vành chia con F (x, y) của D là
không gian vectơ hữu hạn chiều trên F .
Đònh nghóa 1.2 . Ta nói vành chia D là hữu hạn đòa phương y ế u nế u
với mọi tập con hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S
là vành chia hữu hạn tâm.
Lớp vành chia kiểu 2 đã được S. Akbari và M. Mahdavi-Hezavehi
đònh nghóa năm 2002 trong [3]. Đối với lớp vành chia kiểu 2, vi e ä c
chứng tỏ lớp vành chia này thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn
đòa phư ơ ng là một bài toán khó. Sự khó khăn này liên quan đến
một giả thuyết chưa có câu trả lời do A. Kurosh đặt ra năm 1941
(được hiểu như là Bài toán Kurosh về vành chi a (xem [7])), đo ù là:
“Mọi vành chia đại số đều hữu hạn đòa phương”. Trong luận án,

những kết quả chúng tôi đạt được đối với những lớp vành chia kiểu
2 đều chưa từng được chứng minh cho những vành chia hữu hạn đòa
phương. Do đó, mặc dù chưa có ví dụ chứng tỏ lớp vành chia kiểu
2 thực sự khác với lớp vành chia hữu hạn đòa phương, nhưng những
kết quả chúng tôi đạt được ít nhất là có giá trò đố i với lớp vành chia
2
hữu hạn đòa phương. Lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu là lớp
vành chia do chu ù ng to â i đ ònh nghóa trong quá trình nghiên cứ u . Sở
dó có tên gọi như vậy vì lớp vành này là mở rộng của lớp vành hữu
hạn đ òa phương thông qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3. Mọi vành c h i a c o n của vàn h c h i a hữu h a ï n t a â m đề u
hữu hạn tâm.
Dựa vào mệnh đề trên ta thấy rằng, nế u D là vành chia hữu
hạn đ òa phương thì với mọi tập con hữu hạn S của D ta có vành
chia con F (S) của D l à hữu hạn tâm, nên vành chia con sinh bởi S
cũng hữu hạn tâm. Do đó mọi vành chia hữu hạn đòa phương đều
là hữu hạn đòa phương yếu. Trong chương 2 của luận án, chúng tôi
xây dựng ví dụ chứng tỏ lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu là
lớp vành chia chứa thực sự lớp vành chia hữu hạn đòa phư ơ ng.
1.3. Một số kế t quả cổ điển liên quan đến luận án
Trong mục này, chúng tôi đã phát biể u lại một số đònh lý cổ
điển của lý thuyết vành chia được áp dụng nhiều trong luận án
như Đònh lý tâm hóa t ư û kép, Đònh lý Wedderburn-Artin, Đònh lý
Jacobson, Đònh lý Kaplansky, . . .
Chương 2. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia
Trong chương này, chúng tôi đưa ra các kết quả liên quan đến
nhóm con của nhóm nhân D
∗
của vành chia D (gọi là nhóm tuyến
tính bậ c 1 trên vành chia), với D là vành chia kiểu 2 hoặc vành

chia hư õ u hạ n đòa phương y e á u . Các kết quả thu được đều là các kết
quả mở rộng của các kết quả đã có trên lớ p vành chia hữu hạn tâm.
Nội dung của chương đã được tác giả bố cục thành các đề mục như
sau:
2.1. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia kiểu 2
Trong [10] đã chứng minh rằng, nếu D là vành chia hữu hạn
tâm thì Z(D

) là hữu hạn. Từ kết quả này, tác giả bài báo [10]
3
cũng đưa ra một câu hỏi là “nếu D đại số trên tâm thì Z(D

) có là
nhóm xoắn hay không?” Tuy nhiên, câu hỏi này đến nay vẫn chưa
có câu trả lời. Bằng cách khảo sát lớp vành chia kiểu 2, chúng tôi
chứng minh được kết quả sau:
Đònh l y ù 2 .1 . Nếu D là vành chia kiểu 2 thì Z(D

) là nhóm xoắn.
Sử dụng kết quả trên, chúng tôi chứng minh đ ư ơ ï c rằng:
Đònh lý 2.2. Cho D là vành chia kiểu 2 không giao h o a ù n với tâm F,
N là nhóm con của D
∗
chứa F
∗
. Khi đó N không hữu hạn sinh.
Dựa vào kết quả trên ta có thể suy ra rằng, nếu D là vành chia
kiểu 2 sao cho D
∗
hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn. Do đo ù kết

quả của chú ng tôi được xem như là một mở rộng mạnh của Đònh
lý 1 trong [2] (nếu D hữu hạn tâm và D
∗
hữu hạn sinh thì D giao
hoán).
Liên hệ đến một giả thuyết của Herstein trong [6] : “Cho D
là vành chia với tâm F . Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc của D
∗
sao cho N căn trên F thì N ⊆ F ”. Bằng cách xét trườ ng hợp D
là vành chia kiểu 2, chúng tôi chứng minh rằng kết luận trên cũng
đúng cho trường hợp N là nhóm con chuẩn tắc căn trên một vành
chia con t hư ï c sự K của D, không nhất thi e á t là tâm F.
Đònh l y ù 2 .3 . Cho D là vành chia kiểu 2 với tâm F, K là vành chia
con thật sự của D và N là nhóm con chua å n tắc của D
∗
. Khi đó,
nếu N căn trên K t h ì N ⊆ F .
2.2. Vành chia hữu hạn đòa phương yếu
Trong m u ï c này , chú ng tôi đã xây dựng ví dụ chứng tỏ lớp vành
chia hư õ u hạ n đòa phươ ng yếu thực sự chư ù a lớp vành chia hữu hạn
đòa phư ơ ng tho â ng qua me ä nh đề sau:
Mệnh đề 2 .4 . Tồn tại một vành chia hữu hạn đòa phương yếu nhưng
không đại số trên tâm.
4
2.3. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia hữu hạn đòa phương yếu
Trở lại giả thuyết của Herstein đã trình bày ở trên, B. X. Hải
và L. K. Huỳnh (xem [4]) đã chứng minh giả thuyế t này đúng cho
trường hợp vành chia hữu hạn tâm. Trong đònh lý sau, chúng tôi
chứng minh được rằng giả thuyết trên cũng đúng cho trường hợp D
là vành chia hữu hạn đòa phương yếu.

Đònh lý 2.5. Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm
F và N là nhóm con á chuẩn tắc của D
∗
. Nếu N căn trên F t h ì
N ⊆ F.
Bằng cách thực hiện tương tự chứng minh Đònh lý 2.3, chúng
tôi cũng chứng tỏ rằng kết quả của đònh lý cũng đúng khi thay lớp
vành chi a kiểu 2 bởi lớp vành chia hữu hạn đòa phươ ng yếu:
Đònh lý 2.6. Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm
F , K là vành chia con thật sự của D và N la ø nhóm con chuẩn tắc
của D
∗
. Khi đó, nếu N căn trên K thì N ⊆ F .
Chương 3. Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia
Trong chương này, chúng tôi xét các bài toán liên quan đế n
nhóm tuyến t ính tổng quát trên vành chia D hữu hạn đ òa phương
yếu và thu được các kết quả sau đây, đư ơ ï c chia thành hai m u ï c nhỏ
là nhóm tuye á n tính hữu hạn si nh và nhóm tuyến tính t o á i đại căn
trên tâm.
3.1. Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh
Trong mục này của luận án, đã chứng minh các kết qu ả sau:
Đònh l y ù 3.1. Cho D là vành chia hữu h a ï n đòa phương yếu. Khi đó,
mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D
∗
đều nằm trong tâm
của D.
5
Đònh lý 3.2. C h o D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm
F và N l a ø nhóm con á chuẩn tắ c vô hạn của GL
n

(D), n ≥ 2. Khi
đó, nếu N hữu hạn sinh t h ì N ⊆ F .
Các kết quả trên được xem như là kết quả mơ û ro ä ng củ a Đònh
lý 1 t ro ng [9] và Đònh lý 5 trong [2]. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu
sự mở rộng của Đònh lý 1 trong [9] đối vớ i vành chi a hữu hạn tâm
và chư ù ng minh được rằng:
Đònh l y ù 3.3. Cho D là vành chi a khô n g g i a o hoá n , đa ï i so á và hữu
hạn đòa phương yếu, với t a â m F . Khi đó, nếu N là nhóm con của
GL
n
(D), n ≥ 1, sao cho N chứa F
∗
, th ì N không hữu hạn sinh.
3.2. Nhóm tuyến tính tối đại căn trên tâm
Trong m u ï c này của luậ n án, tác giả đã khảo sát các tính chất
liên quan đến nhóm con tối đại căn trên tâm của nhóm tuyến tính
tổng quát GL
n
(D) và thu được kết quả khá quan trọng sau:
Đònh lý 3.4. Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn đòa
phương yếu với tâm F, n ≥ 1. Khi đó , nếu tồn tại M là nhóm con
tối đại của GL
n
(D) sao cho M căn trên F thì
i) n = 1,
ii) CharD = p > 0,
iii) [D : F ] = p
2
,
iv) F

∗
⊆ M,
v) K := M ∪ {0} là trường con tối đại của D,
vi) K/F là mở rộng thuần túy không tách được.
Kết quả trên là một mở rộng mạnh của Đònh lý 5 trong [11] và
Đònh lý 6 trong [12]. Áp dụng kết quả trên, chu ù ng tôi đã đưa ra
6
một kết quả mở rộng của Đònh lý 5 trong [11] và Đònh lý 11 trong
[1] tư ø lớp vành chia hữu hạn tâ m sang lớp vành chia kho â ng giao
hoán tổng quát, và thậm chí giảm bớt điều kiện M ∪ {0} chứ a tâ m .
Đây có thể nói là kết quả mở rộng thật sự mạnh so với các kết quả
đã có. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả sau:
Đònh lý 3.5. Cho D là vành chia không giao hoán với tâm F và
giả sử M là nhóm con tối đại của GL
n
(D), n ≥ 1. Khi đó, nếu
M/M ∩ F
∗
là nhóm hữu hạn đòa phương thì
i) n = 1,
ii) CharD = p > 0,
iii) [D : F ] = p
2
,
iv) F
∗
⊆ M,
v) K := M ∪ {0} là trường con tối đại củ a D,
vi) K/F là mở rộng thuần túy không tách được.
Các kết quả thu được của luận án là mớ i và chư a từng được ai

công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
7
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN
Dưới đây là một số kết quả cơ bản nhất có được từ luận án. Tất
cả cá c kết quả này đều là mới và là thành quả đạ t đượ c của tác
giả cùng với người hướng dẫn khoa học và của nhóm nghiên cứu.
1. Các kết quả tr ê n GL
1
(D)
Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chi a D chính là nhóm con
của nhóm nhân D
∗
=GL
1
(D) nên các kết quả liên quan đến nhóm
tuyến tính bậc 1 trên vành chia D chính là các kết quả liên quan
đến nhó m con của D
∗
. C á c kết quả chính thu đ ư ơ ï c trong trường
hợp này là:
a) Nếu D là vành chia kiểu 2 hoặc vành chia hữu hạn đòa phương
yếu thì Z(D

) xoắn. Kết quả này liên quan đến câu ho û i của M.
Mahdavi-Hezavehi trong [10] rằng Z(D

) có xoắn trong trường
hợp D là vành chia đại số hay không.
b) Trong vành chia D kiểu 2 không giao hoán với tâm F , không có
nhóm con hữu hạn sinh chứa F

∗
. Kết quả này được xem như là
một mở rộng mạnh của Đònh lý 1 trong [2].
c) Nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F và N
là nhóm con á chuẩn tắc của D
∗
sao cho N căn trên F thì
N ⊆ F . Kết quả này cho ta kết luận rằng, giả thuyết của
Herstein trong [6] đúng trong trường hợp D là vành chia hữu
hạn đ òa phương yếu.
d) Hơn nữa, bằng cách t hay điều kiện của N trong giả thuyết của
Herstein, ta được kết quả sau: Nếu D là vành chia kiểu 2 hoặc
8
vành chia hữu hạn đòa phương yếu và N là nhóm con chuẩn tắc
của D
∗
sao cho N căn trên một vành chia con thực sự K c u û a D
thì N nằm trong tâm của D.
2. Các kết quả trên GL
n
(D)
Các kết quả chính liên quan đế n nhóm tuyến tính bậc n trên
vành chi a D là:
a) Nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu và N là nhóm con á
chuẩn tắc hữu hạn sinh của GL
n
(D) thì trong trường hợp n = 1
hoặc N vô hạn ta được N nằm trong tâm của D. Kết quả này
được xe m như là kết quả mở rộng củ a Đònh lý 1 trong [9] và
Đònh lý 5 trong [2].

b) Nếu D là vành chia không giao hoán, đại số và hữu hạn đòa
phương yếu, với tâm F , và N là n h o ù m con của GL
n
(D), n ≥ 1
sao cho N chứa F
∗
thì N không hữu hạn sinh.
c) Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn đòa phương yếu
với tâm F, và n ≥ 1. Khi đó, nếu tồn tại M là nhóm con tối đại
của GL
n
(D) sao cho M căn trên F thì n = 1, CharD = p > 0,
[D : F ] = p
2
, F
∗
⊆ M, K := M ∪ {0} là trường con tối đại
của D, K/F là mở rộng thuần túy không tách được. Kết quả
này là một mở rộng mạnh của Đònh lý 5 trong [11] và Đònh lý
6 tro ng [12].
d) Cho D là vành chia không giao hoán với tâm F v a ø giả sử M là
nhóm con tối đại của GL
n
(D), n ≥ 1. Khi đó, nếu M/M ∩ F
∗
là
nhóm hữu hạn đòa phương thì n=1, CharD =p > 0, [D :F] = p
2
,
F

∗
⊆ M, K : = M ∪ {0} là trường con tối đại của D, K/F là
mở rộng thuần túy k h o â n g tác h đượ c . Đây là kết quả mở rộng
của Đònh lý 5 trong [11] và Đònh lý 11 trong [1] từ lớp vành chia
hữu hạn tâm sang lớp vành chia không giao hoán tổng quát, và
thậm chí giảm bớt điều kiện F
∗
⊆ M.
9
ĐỀ XUẤ T CỦA LUẬN ÁN
Luận á n trình bày một số kết quả mới liên quan đến nhóm tuyến
tính trên vành chia. Các kết quả này là sự tổng quát hóa các kết
quả trươ ù c của các tác giả I. N. Herstein, S. Akbari, M. Mahdavi-
Hezavehi,. . . Các kết quả này có thể được ứng dụng trong lý thuyết
vành chi a và lý thuyết nhóm tuyến tính trên vành chia. Một số kết
quả có thể được mở rộng hơn nữa cho nhóm tuyến tính trên các lớp
vành chia rộng hơn.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH
CỦA TÁC GI A Û
1. (with Bui Xuan Hai and Mai Hoang Bien), On subgroups in
division rings of type 2, Studia Scientiarum Mathematicarum
Hungarica (accepted).
2. (with Bui Xuan Hai and Mai Hoang Bien), On linear groups over
weakly locally finite division rings, Algebra Colloquium (accepted).
3. (with Bui Xu an Hai and Mai Hoang Bien), On radicality of maximal
subgroups in GL
n
(D), Journal of Algebra (accept e d).
10
TAØI LIEÄU THAM KHAÛ O

[1] S. Akbari; R. Ebrahimian; H. Mo m e nae e Kermani; A. Salehi
Golsefidy, “Maximal subgroups of GL
n
(D)”, Journal of Alge-
bra 259:1 (2003), 201-225.
[2] S. Akbari and M. Mahdavi-Hezavehi , “Normal subgroups of
GL
n
(D) are not fini t e l y ge ne rat e d”, Proceedings of the Amer-
ican Mathematical Society, 128:6 (2000),1627-1632.
[3] S. Akbari and M . Mahdavi-Hezavehi, “On the existence of
normal maximal subgroups in division rings”, Journal of Pure
and Applied Algebra, 171:2-3 (2002), 123-131.
[4] B. X. Hai and L. K. Huynh, “On subgroups of the mult i pl i cat i ve
group o f a division ri ng”, Vi et n a m Journal of Mathematics, 32:1
(2004), 21-24.
[5] B. X. Hai and N. V. Thin, “On locally nilpotent subgroups of
GL
1
(D)”, Communitations in Algebra 37 (2009), 712-718.
[6] I. N. Herstein, “Multiplicative commutators in division rings”,
Israel Journal of Mathematics, 31:2 (1978), 180-188.
[7] A. Kurosh, “Ringtheoretische probleme, die mit dem Burnsid-
eschen Problem uber periodische gruppen in zusammenhang
stehen”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 5:3 (1941), 233-240
(in R u s s i an).
11
[8] T. Y. Lam, A first course in non-commutative rings, GTM 131
(1991), Spri nge r-Ve rl ag.
[9] M. Mahdavi-He zave hi , M. G. Mahmudi, and S. Yasamin,

“Finitely generated subnormal subgroups of GL
n
(D) are
central”, Journal of Algebra 255 (2000), 517-521.
[10] M. Mahdavi-Hezavehi, “Extension of valuat i o ns on derived
groups of division rings”, Communications in Algebra, 23:3
(1995), 913-926.
[11] M. Mahdavi-Hezavehi, “Tits alternative for maximal sub-
groups of GL
n
(D)”, Journal of Algebra 271 (2004) 518-528.
[12] M. Mahdavi-Hezavehi, “Free subgroups in maximal subgroups
of GL
1
(D)”, Journal of Algebra 241 (2001), 720-730.
12