Chun đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRỊN XOAY
Sưu tầm và biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên
Quang.
1. Một số kiến thức bổ trợ :
a) Hệ thống các ví dụ ơn lại lý thuyết:
a.1.Một số cơng thức tính thể tích:
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c Trong đó a,b,c là ba kích thước.
Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V = a3
Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương .
V = B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
1
- Thể tích của khối chóp: V = .B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
3
- Thể tích khối lăng trụ:

- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt
lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S. Ta có:
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2.π .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường
sinh)
- Thể tích khối trụ: V = π .R 2 .h ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π .R.l
1
3
- Diện tích mặt cầu: S = 4.π .R 2
4

- Thể tích khối cầu: V = π .R 3
3

- Thể tích khối nón: V = .π .R 2 .h

a.2.Một số kiến thức bổ trợ:
3
3
Diện tích : S = a2 .
2
4
+ Hình vng ABCD có cạnh a: Đường chéo AC= a. 2 Diện tích S = a2 .
1
1
+ Cơng thức tính diện tích tam giác: S = .a.ha = .a.b.sin C .
2
2
+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P).
·
• Nếu d ⊥ (P ) thì (d ,(P )) = 900
• Nếu khơng vng góc với ( P ) thì
+ Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: h = a.

- Xác định hình chiếu vng góc d’ của d trên (P) .
·
·
Khi đó : (d ,(P )) = (d , d ') = α .


+Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).

( P ) ∩ (Q) = d 
a ⊂ (P ), a ⊥ d 

·
·
 ⇒ (( P ),(Q)) = (a, b)
b ⊂ (Q), b ⊥ d 
a ∩ b = I ∈d 

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
* Nếu a ⊥ b thì
- Dựng mp(P) ⊃ b và mp(P) ⊥ a tại A
- Dựng AB vng góc với b tại B
Khi đó: d (a, b) = AB

* Nếu a và b không vng góc thì
Cách 1:
- Dựng mp(P) ⊥ a tại O và ( P ) ∩ b = { I }
- Dựng hình chiếu vng góc b’ của b
trên (P)
-Trong (P) dựng OH vng góc với b’tại
H.
-Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b tại B
-Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a tại
A.
Khi đó: d (a, b) = AB
Cách 2:
- Dựng (P) ⊃ b và mp(P)//a .
- Dựng (Q) thỏa mãn A ∈ (Q), A ∈ a,
(Q) ⊥ (P),(Q) ∩ (P)= c

- Trong (Q) kẻ AB vng góc với c tại B
Khi đó: d (a, b) = AB
Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a.
3 3a 3
3 9a 2 3
Giải: Ta có : Chiều cao: h = 3a.
Diện tích : S = ( 3a ) 2 .
=
=
2
2
4
4
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh 5a 6 . Tính độ dài đoạn AC và diện tích
hình vng ABCD.

(

Giải: Ta có : AC = 5a 6. 2 = 10a 3 và SABCD = 5a 6

)

2

= 150a2

Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 7,
BC = 5a .
2



Giải: Ta có: AB = BC 2 − AC 2 = (5a)2 − (a 7)2 = 18a 2 = 3a 2 Khi đó:
Diện tích tam giác ABC là
1
1
a2 14
(đvdt)
SABCD = .AC .AB = .a 7.a 2 =
2
2
2
Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=5a,BC=2a 3 , ·
ABC = 600 .
Giải: Diện tích tam giác ABC là
1
1
3 15a2
·
(đvdt)
SABCD = .AB.BC .sin ABC = .5a.2a 3.
=
2
2
2
2
Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .
b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC).
Giải
Giải:

a. Gọi M là trung điểm của BC và O là
tâm của tam giác ABC. Vì S.ABC là
hình chóp tam giác đều nên ta có:
O ∈ AM , SO ⊥ ( ABC )
Khi đó OA là hình chiếu vng góc của
SA trên (ABC).Do đó
·
·
·
(SA,( ABC )) = (SA, AO ) = SAO
b.Vì SO ⊥ ( ABC ) nên
OM là hình chiếu vng góc của SM
trên (ABC) mà BC ⊥ OM
nên
SM ⊥ BC .Do đó
·
·
·
((SBC ),( ABC )) = (SM ,OM ) = SMO
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ ( ABCD)
a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) .
b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD).
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì
ABCD là hình vng nên ta có:
AC ⊥ BD
Vì SA ⊥ ( ABCD) Khi đó AC là hình
chiếu vng góc của SC trên
(ABCD).Do đó
·

·
·
(SC ,( ABCD)) = (SC , AC ) = SCA
b.Vì SA ⊥ ( ABCD) nên AO là hình
chiếu vng góc của SO trên (ABCD)
mà BD ⊥ AO nên SO ⊥ BD
.Do đó
3


·
·
·
((SBD),( ABCD)) = (SO,OA ) = SOA
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ ( ABCD)
Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC .
Giải:
Gọi O là tâm của hình vng ABCD. Ta
AC ⊥ BD và
SA ⊥ BD
thấy
nên
BD ⊥ (SAC ) Do đó SC ⊥ BD
(SAC ) ⊃ SC ,(SAC ) ⊥ BD tại O
Trong (SAC ) kẻ OH vng góc với SC
tại H.
Khi đó :
d (BD, SC ) = OH
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng ⊥ ( ABC ) .Gọi M là trung điểm của AB,mp

qua SM và // BC cắt AC tại N.Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau AB và SN .
Giải: (ĐH khối A-2011)
Kẻ đt d đi qua N và //AB,Qua A kẻ đt đi //MN
cắt d tại E.
EN ⊥ AE 
 ⇒ EN ⊥ (SAE ) ⇒ (SEN ) ⊥ (SAE ) .
EN ⊥ SA 
Gọi K là hình chiếu vng góc của A trên SE.
Khi đó AK ⊥ (SEN ) .
Vì MN//EN mà EN ⊂ (SEN ) ⇒ AM //(SEN )
Do đó
d ( AB, SN ) = d ( AB,(SEN ) = d ( A,(SEN )) = AK
b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm
Bài tập 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 2a.
Bài tập 2: Cho hình vng ABCD cạnh 4a 3 . Tính độ dài đoạn AC và diện
tích hình vng ABCD.
Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 5 ,
BC = 4a .
Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=3a,BC=2a 6 , ·
ABC = 300 .
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) .
b.Xác định góc giữa mặt bên (SCD) và (ABCD).
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vng tại A,
SA=SB=SC.
4


a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .

b.Xác định góc giữa mặt (SAB) và (ABC).
Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều.Hình chiếu
của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Xác định góc giữa cạnh bên AA’
và mặt đáy (A’B’C’).
Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại
A. Xác định góc giữa đường chéo BC’ của mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’).
2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề :
a) Ôn lại kiến thức cơ bản của chủ đề:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác.
B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B 3: Áp dụng cơng thức V =

1
B.h
3

Ví dụ 1.
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Giải:
a) Gọi E là trung điểm của BC và O là
tâm của ∆ABC .Vì ABCD là tứ diện đều
DO ⊥ ( ABC )
AE ⊥ BC và
nên
và
2
2a 3

AE =
3
3
Trong ∆ vuông DAO : DO = AD 2 − AO 2
O ∈ AE , AO =

= (2a ) 2 − (

2a 3 2 2a 6
) =
3
3

Mặt khác: S ABC = (

2a ) 3
= a2 3 ,
4
2

Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
3
1
V = S ABC .DO = 1 .a 2 3. 2a 6 = 2a 2
3
3
3
3

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến

mp(ABC) là MH
MH =

1
a 6
DO =
2
3

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích
khối chóp
5


a.
b.
c.
d.

Biết cạnh bên bằng a 3 .Gọi K là trung điểm của SA Tính thể tích khối tứ
diện K.ABC theo a.
Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 600 .
Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 300 .
Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 450 .

Giải
Giải:
a. Gọi M là trung điểm của BC và O là
tâm của tam giác ABC. Vì S.ABC là hình
chóp tam giác đều nên ta có:

O ∈ AM , SO ⊥ ( ABC )
2
2 a 3 a 3
AM = .
=
3
3 2
3
2
Trong ∆ vuông SAO : SO = SA − AO 2
O ∈ AM , AO =

= (a 3) 2 − (

a 3 2 2a 6
) =
3
3

Mặtkhác:
2

1
1 a 3 a 3
S ABC = .BC. AM = .a.
=
2
2
2
4


Vậy thể tích chóp S.ABC là
2
3
1
VS . ABC = S ABC .SO = 1 . a 3 . a 6 = a 2
3
3 4
3
12

Gọi

H

là

hình chiếu vng góc của K trên (ABC).Khi
1
a 6
Vậy Tính thể tích khối tứ diện K.ABC là
H ∈ AM , KH // = SO =
2
3

VK . ABC

đó

1

1 a2 3 a 6 a3 2
(đvtt)
= S ABC .KH = .
.
=
3
3 4
3
12

b.Vì SO ⊥ ( ABC ) nên OA là hình chiếu vng góc của SA trên (ABC).Do đó
·
·
·
(SA,( ABC )) = (SA, AO ) = SAO = 600 .Trong tam giác vuông SAO ta có:
a 3
a2 3
·
; S ABC =
(đvdt)
SO=AO.tanSAO =
. 3=a
4
3
1
1 a2 3
a3 3
Vậy VS . ABC = S ABC .SO = .
(đvtt)
.a =

3
3 4
12
c.Vì SO ⊥ ( ABC ) nên OM là hình chiếu vng góc của SM trên (ABC) mà BC ⊥ OM
·
·
·
nên SM ⊥ BC .Do đó ((SBC ),( ABC )) = (SM ,OM ) = SMO = 300
a 3 1 a
a2 3
·
.
= ; S ABC =
Trong tam giác vuông SMO ta có: SO=OM.tanSMO =
(đvdt)
4
6
3 6
Vậy VS . ABC

1
1 a 2 3 a a3 3
= S ABC .SO = .
(đvtt)
. =
3
3 4 6
72
6



d. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên VSAB là tam giác cân đỉnh S mà
a 2
0
·
SAB = 450 ,AB=a Do đó VSAB vng cân đỉnh S Ta có: SA = AB.sin 45 =
2
Trong ∆SAO vng có : SO = SA2 − AO 2 = (
Vậy VS . ABC =

a 2
a
a 6
) − ( )2 =
6
2
3

2
3
1
S ABC .SO = 1 . a 3 . a 6 = a 2 (đvtt)
3
3 4
6
24

Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
AB=a,BC=3a, SA ⊥ ( ABCD) .Góc giữa SD và ABCD bằng 450 .
Giải:

a) Vì SA ⊥ ( ABCD) nên AD là hình chiếu
vng góc của SD trên (ABCD).Do đó
·
·
·
(SD,( ABCD)) = (SD, AD) = SDA = 450
·
Xét tam giác SAD có SDA = 450 và
·
SAD = 900 nên SA=AD=3a
2
Ta có S ABCD = AB.BC = a.3a = 3a ,
Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là

1
1
VS . ABCD = S ABCD .SA = .3a 2 .a = 3a 3
3
3
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ.
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B3: Áp dụng công thức V = B.h
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và
chiều cao bằng 2a 15
Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có
cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a 15
là ABCA’B’C’.
Khi đó Thể tích của khối lăng trụ là
VABCA ' B'C' = AA '.SABC = 2a 15.


=

a2 3 3a3 5
=
4
2

a3 6
(đvtt)
12

7


Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều
cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một
góc 600. Tính thể tích của lăng trụ
Giải:
a. Gọi H là hình chiếu ⊥ của
A’trên (ABC). Do
A’A=A’B=A’C nên H là tâm của
tam giác đều ABC.
a 3
·
Ta có AH=
và A'AH=600
3
Trong ∆ vng AA’H ta có
a 3

A’H = AH. tan600 =
. 3=a
3
2
SABC = a 3
4
Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCA ' B 'C ' = S ABC . A ' H =
a2 3
a3 3
=
.a =
4
4

Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo
bằng AC'=2a 6
Giải:
Gọi b là độ dài cạnh của khối lập
phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có
A'C'=a 2; AA ' = b; AC ' = b 3
Mặt khác Theo giả thiết ta có
AC'=2a 6 nên b 3
=2a 6 ⇒ b = 2a 2

(

Khi đó SABCD = 2a 2


)

2

= 8a2

Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCD. A ' B 'C ' D ' = S ABCD . AA ' =
= 2a 2.8a 2 = 16a 2 . 2

Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay
B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối trịn xoay
B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối tròn xoay
B 3: Áp dụng công thức :
8


- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2.π .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường
sinh)
- Thể tích khối trụ: V = π .R 2 .h ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π .R.l
1
3
- Diện tích mặt cầu: S = 4.π .R 2
4
- Thể tích khối cầu: V = π .R 3
3

- Thể tích khối nón: V = .π .R 2 .h


Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích tồn phần của khối trụ
ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b.
Giải:
Khối trụ có bán kính
Mặt khác Theo giả thiết ta có bán kính
2
2 3a 3
R=AO= AH=
=a 3
3
3 2
- Diện tích xung quanh của hình trụ là
Sxq = 2.π .a 3.4b = 8ab 3.π (đvdt)
- Diện tích tồn phần của hình trụ là
Stp = Sxq +2.Sđ =
2.π .a 3.4b + 2π .(a 3)2 =
= 8ab 3.π + 6a2 .π = 2aπ (4b 3 + 3a)
Thể tích khối trụ có bán kính R và chiều
cao h=4b là

(

)

2

V = π .R 2 .h = π a 3 .4b = 12a2bπ
Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích tồn phần của khối nón có
chiều cao bằng a và góc ở đỉnh bằng 1200 .

Giải:
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có
tâm O.Thiết diện qua trục là ∆ SAB
·
·
cân có ASB=1200 nên ASO=600
Trong ∆ vng ASO Ta có:
R = AO = SO.tan 600 = a 3;
AO
a 3
=
= 2a
0
sin 60
3
2
- Diện tích xung quanh của hình nón là
Sxq = π Rl = π .a 3.2a = 2a2 3.π (đvdt)
- Diện tích tồn phần của hình nón là
l = SA =

9


Stp = Sxq +Sđ = π Rl + π R 2 =

(

π .a 3.2a + π a 3


)

2

= 2a2 3.π + 3π a2

= π a2 (2 3 + 3) (đvdt)
Thể tích khối nón có bán kính R và
chiều cao h=a là
2
1
1
2
3
V = .π .R .h = .π a 3 .a = π a
3
3

(

)

b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:
Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vng góc
với đáy ABC và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a
Giải: Do SA ⊥ ( ABC ) nên SA là đường
cao của khối chóp S.ABC.
Trong tam giác vng ABC.
Ta có:
BC = AC 2 − AB 2 =

= (5a)2 − (4a)2 = 3a
1
1
SABC = AB.BC = .3a.4a = 6a2
2
2
Vậy V =

1
SABC. SA = 6a3 (đvtt)
3

Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a và đường cao SA vng góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy
một góc 300
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì ABC là tam giác đều nên AM ⊥ BC
mà SA ⊥ ( ABC )
Nên AM là hình chiếu vng góc của
SM trên (ABC) Do đó SM ⊥ BC hơn
nữa BC = ( SBC ) ∩ ( ABC ) nên
·
·
((SBC ),( ABC )) = (SM , AM ) =
·
= SMA = 300

Trong ∆ V SAM ta có
a 3 3 a

SA = AM. tan300 =
.
=
2 3 2
Vậy V =

1
SABC. SA =
3

1 a 2 3 a a3 3
= .
(đvtt)
. =
3 4 2
24
10


Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác
a 3
vng tại A,BC=a, SA=SB=SC=
và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một
2
góc 600
Giải:
Gọi H là hình chiếu vng góc
của S trên (ABC).Do tam giác
ABC vuông tại A và SA=SB=SC
nên H là trung điểm của BC.

Gọi M là trung điểm của AB.
AM ⊥ BC Khi đó
·
·
((SAB),( ABC )) = (SM , HM ) =
·
= SMH = 600

Trong ∆ V SHC ta có
SH = SC 2 − CH 2 =

a 3 2 a 2 a 2
) −( ) =
2
2
2
Trong ∆ V SHM ta có
= (

a 2
a 6
a 6
Do đó AC=2HM=
Khi đó
: 3=
2
6
3
2
1

1
SABC = AB.AC= .a 3 . a 6 = a 2
2
2 3 3
6
1
1 a 2 2 a 2 a3
Vậy V = SABC. SA = .
(đvtt)
.
=
3
3 6
2
18
HM = SH: tan600 =

Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích
khối chóp
a.Biết cạnh bên bằng a 2 .Gọi K là điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA
Tính tỷ số thể tích giữa khối tứ diện K.ABC và khối chóp S.ABCD.
b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 600 .
c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 300 .
·
d. Biết SAB = 600 .

11


Giải:

a. Gọi O là tâm của hình vng ABCD.
Vì S.ABCD là hình chóp tam giác đều
nên ta có: SO ⊥ ( ABCD)
O ∈ AC , AO =

1
1
a 2
AC = .a 2 =
2
2
2

Trong ∆SAO vng có : SO = SA2 − AO 2
= (a 2) 2 − (

a 2 2 a 6
) =
2
2

2
Mặtkhác: S ABCD = a
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
1
VS . ABCD = S ABCD .SO = 1 .a 2 . a 6 = a 6
3
3
2

6

Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (ABCD).
1
a2
1
1 a 6 a 6
Khi đó H ∈ AO, MH // = SO = .
, S ABC = .S ABCD =
=
2
2
5
5 2
10
Ta có thể tích khối tứ diện M.ABC là VM . ABC

1
1 a 2 a 6 a3 6
= S ABC .KH = . .
=
3
3 2 10
60

a3 6
VM . ABC
60 = 1
= 3
Khi đó :

VS . ABCD a 6 10
6
1
1
1

Cách 2: VS . ABCD = .S ABCD .SO = .2 S ABC .5MH = 10  S ABC .MH ÷ = 10VM . ABC
3
3
3

V
1
⇒ M . ABC =
VS . ABCD 10
b.Vì SO ⊥ ( ABCD) nên OA là hình chiếu vng góc của SA trên (ABCD).Do đó
·
·
·
(SA,( ABCD)) = (SA, AO ) = SAO = 600 .Trong tam giác vng SAO ta có:

a 2
a 6
a2 3
·
; S ABC =
(đvdt)
SO=AO.tanSAO =
. 3=
4

2
2
3
1
VS . ABC = S ABC .SO = 1 .a 2 . a 6 = a 6 (đvtt)
Vậy
3
3
2
6
c.Gọi E là trung điểm của CD.Vì SO ⊥ ( ABCD) nên OE là hình chiếu vng góc của
SE trên (ABCD) mà CD ⊥ OE nên SE ⊥ CD .
·
·
·
Do đó ((SCD),( ABCD)) = (SE ,OE ) = SEO = 300
Trong tam giác vuông SMO ta có:
a 1 a 3
a2 3
·
SO=OE.tanSEO = .
=
; S ABC =
(đvdt)
4
2 3
6
12



Vậy VS . ABCD =

3
1
S ABCD .SO = 1 .a 2 . a 3 = a 3 (đvtt)
3
3
6
18

d. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên VSAB là tam giác cân đỉnh S mà
·
SAB = 600 ,AB=a Do đó VSAB đều cạnh a Ta có: SA = AB = a
Trong ∆SAO vng có : SO = SA2 − AO 2 = (a)2 − (
Vậy VS . ABC =

a 2 a 2
) =
2
2

3
1
S ABC .SO = 1 .a 2 . a 2 = a 2 (đvtt)
3
3
2
6

Bài tập 5: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vng.

a. Biết AB=,2a SA ⊥ ( ABCD) và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 600
b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 300
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD
là hình vng cạnh 2a nên ta có: AC ⊥ BD và
1
AO = AC = a 2
2
SA ⊥ ( ABCD) Khi đó AO là hình chiếu
Vì
vng góc của SO trên (ABCD). mà BD ⊥ AO
nên SO ⊥ BD
Do đó
·
·
·
((SBD),( ABCD)) = (SO, AO ) = SOA = 600
Trong tam giác vng SAO ta có:
1 a 6
·
SA=AO.tanSOA = a 2.
=
;
6
3
S ABCD = ( 2a ) = 4a 2 (đvdt)
2

Vậy VS . ABCD


1
1 2 a 6 2a 3 6
= S ABCD .SO = .4a .
=
3
3
6
9

b. Vì SA ⊥ ( ABCD) nên AC là hình chiếu vng góc của SC trên (ABCD).Do đó
·
·
·
(SC ,( ABCD)) = (SC , AC ) = SCA = 300 .Trong tam giác vuông SAC ta có:
1 2a 3
·
SA=AC.tanSCA = 2a.
=
; Gọi b là độ dài cạnh của hình vng ABCD Ta
3
3
có b. 2 = 2a ⇒ b = a 2
Vậy

Khi đó S ABCD = ( a 2 ) = 2a 2 (đvdt)
2

3
1
VS . ABCD = S ABCD .SO = 1 .2a 2 . 2a 3 = 4a 3 (đvtt)

3
3
3
9

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vng cạnh
bằng 3a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.Gọi H là
trung điểm của AB
a. CMR SH ⊥ ( ABCD)
13


b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
1
4

c. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho AM = AD .Tính VS . ABM theo a.
Giải:
a. Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là
trung điểm của AB nên SH ⊥ AB
3 3a 3
và SH = 3a.
=
2
2
Khi đó Ta có :
(SAB) ⊥ ( ABCD)

SH ⊥ AB
 ⇒ SH ⊥ ( ABCD)


SH ⊂ (SAB)

b. Mặtkhác: S ABCD = ( 3a ) = 9a 2
2

Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là

VS . ABCD

1
1 2 3a 3 9a 3 3
= S ABCD .SH = .9a .
=
3
3
2
2
1
4

c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn AM = AD nên.Tính

SVABM

1
1 1
1
9a 2
= .SVABD = . S ABCD = S ABCD =

4
4 2
8
8

Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM là

VS . ABM

1
1 9a 2 3a 3 9a 3 3
= S ABM .SH = .
.
=
3
3 8
2
16

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình thoi cạnh a.
a 5
·
BAD = 600 , SA = SC =
, SB = SD .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có
SA=SC và OA=OC nên SO ⊥ AC (1)
SB=SD và OB=OD nên SO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) Ta có SO ⊥ ( ABCD)

Xét VABD ta có AB = AD = a và
·
BAD = 600 nên VABD là tam giác đều
cạnh a. Khi đó Ta có :
a 3
a2 3
AO =
; S VABD =
2
4
a2 3
⇒ S ABCD = 2. S VABD =
2
SAO Ta có:
Trong ∆ vng
14


SO = SA2 − AO 2 = (

a 5 2 a 3 2 a 2
) −(
) =
2
2
2

Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
2
1

VS . ABCD = S ABCD .SO = 1 . a 3 . a 2 =
3
3 2
2

=

a3 6
(đvtt)
12

Bài tập 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và
đường chéo hợp với mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ
Giải:
a. Vì ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác đều nên
AA ' ⊥ ( ABCD) và ABCD là hình vng cạnh a.Khi
2
đó ta có SABCD = ( 5a ) = 25a2 và
AC là hình chiếu vng góc của A’C trên ( ABCD)
·
nên AC'A'=600
Trong ∆ V ABC ta có
AA’ = AC. tan600 = 5a 2 . 3 =5 a 6
Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCD. A ' B 'C ' D ' = S ABCD . AA ' = 25a 2 .5a 6 = 125a 3 6
Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
·
BC = a, ACB = 600 .Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên
(ABC) một góc 300.Tính thể tích lăng trụ đó.

Giải:
a. Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên
AA ' ⊥ ( ABC ) Do đó AB là hình chiếu vng
·
góc của A’B trên (ABC)Ta có: BC'A=300
Trong ∆ V ABC ta có: AB = BC. tan600 = a 3
AA'
Trong ∆ V AA’B Ta có: tan300 =
AB
1
⇒ AA’=AB.tan300 = a 3 .
=a
3
2
1
1
SABC = AB.AC = .a 3 .a = a 3
2
2
2
Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCA ' B 'C '

a2 3
a3 3
= S ABC . AA ' =
.a =
2
2

15


Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại
·
A, AC = a, BCA = 600 .Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên
(ACC’A’) một góc 300.
a. Tính độ dài cạnh AC’
b. Tính thể tích lăng trụ
Giải:
a. Vì ∆ ABC vng tại A nên BA ⊥ AC
Mặt khác vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BA ⊥ AA’ Do đó BA ⊥ ( ACC ' A ')
Ta có BA ⊥ ( ACC ' A ') nên AC’ là hình chiếu vng góc của BC’ trên ( ACC ' A ')
·
Theo giả thiết Ta có: BC'A=300
AB
⇒ AB = AC. tan600 = a 3
Trong ∆ V ABC ta có: tan600 =
AC
Trong ∆ V BAC’ Ta có:
AB
AB
⇒ AC’ =
tan300 =
=AB 3 =3a
AC′
tan 300
Trong ∆ V AA’C’:
AA' = AC '2 − A ' C '2 = (3a )2 − a 2 = 2a 2


1
1
a2 3
AB.AC = .a 3 .a =
2
2
2
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
SABC =

VABCA ' B 'C '

a2 3
= S ABC . AA ' =
.2a 2 = a 3 6
2

Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều
a 6
cạnh a , AA'=
và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’.
2
Tính thể tích của lăng trụ trên.
Giải:
a. Gọi H là trung điểm của
B’C’.Theo giả thiết ta có
AH ⊥ ( A ' B ' C ')
Trong ∆ vng AA ' H Ta có:
AH = AA '2 − A ' H 2
= (


a 6 2 a 3 2 a 3
) −(
) =
2
2
2

SA'B'C'

=

a2 3
4

Vậy Thể tích khối lăng trụ là
16


VABCA ' B 'C ' = S ABC . A ' H =
a 2 3 a 3 3a 3
=
.
=
4
2
8
Bài tập 12: Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a,diện tích xung
quanh bằng bằng 2π a 2 .
Giải:

Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có
tâm O.Thiết diện qua trục là ∆ SAB
- Diện tích xung quanh của hình nón là
Sxq = π Rl ⇔ π Rl = 2π a2 ⇔
(đvdt)
2π a2 2π a2
⇔R=
=
=a
πl
2π a
Trong ∆ vng SAO Ta có:
SO = SA2 − AO 2 =
=

( 2a )

2

− a2 = a 3

Vậy Thể tích khối nón có bán kính
R và chiều cao h=a là
1
1
π a3 3
V = .π .R 2 .h = .π a2 .a 3 =
3
3
3

c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp:
Bài 1 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân ở B, AC = a 2 ,
SA vng góc với đáy, SA = a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng α qua AG và song song với
BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
Lời giải:
S
a)Ta có: VS . ABC =

1
S ABC .SA
3

+ SA = a
+ ∆ABC cân có : AC = a 2 ⇒ AB = a

N
G

1 2
a
2
1 1 2
a3
= . a .a =
3 2
6


⇒ S ABC =

Vậy: VSABC

A
I

Yêu cầu:
B
+Học sinh ghi được thể tích khối
SABC và tính.

b) Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm,ta có :

C

M

SG 2
=
SI 3

17


α // BC ⇒ MN// BC ⇒
⇒

SM SN SG 2

=
=
=
SB SC SI 3

VSAMN SM SN 4
=
.
=
VSABC
SB SC 9
4
9

Vậy: VSAMN = VSABC =

2a 3
27

+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các
đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai
khối.
+ Nắm được cơng thức (*) để lập tỉ số
thể tích đối với khối chóp

Bài 2.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo
với đáy góc 60ο . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song
với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Lời giải:
HD
I = SO ∩ AM .
S
a) Gọi
Ta có (AEMF) //BD ⇒ EF // BD

1
S ABCD .SO
3
= a2

b) VS . ABCD =
+ S ABCD

M
E

B

a 6
+ ∆SOC có : SO = AO.tan 60 =
2

I

C
F


ο

Vậy : VS . ABCD =

a

3

6

SM 1
=
SC 2

∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:
SI SF 2
⇒
=
=
SO SD 3
V
SM SF 1
⇒ SAMF =
.
=
VSACD SC SD 3
⇒ VSAMF

D


6

c) VS . AEMF :
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có : ⇒

O
A

Yêu cầu:
+Học sinh dựng được E, F dưới sự
pháp vấn của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD
sau khi đã làm qua nhiều bài tập.
+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối
S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính
thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ
số ( tương tự như bài 5)

1
1
a3 6
= VSACD = VSACD =
3
6
36

⇒ VS . AEMF


a3 6 a3 6
=2
=
36
18

Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và
vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua
C vng góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
18


b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:
a)Tính VABCD
Ta có: VABCD =

D

1
1
S ABC . AD = a 3
3
3

F


b) Ta có: AB ⊥ AC , AB ⊥ CD

⇒ AB ⊥ EC
Ta có: DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD)

E

C

B

c) Tính VDCEF :
VDCEF

DE DF

A

=
.
(*)
Ta có: V
DA DB
DABC
Mà DE.DA = DC 2 , chia cho DA2
⇒

u cầu:
+Học sinh chứng minh được đường thẳng
vng góc mặt phẳng.


DE DC 2
a2
1
=
= 2 =
2
DA DA
2a
2

+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số

Tương tự:

DF
.
DB

DF DC 2
a2
1
=
=
=
2
2
2
DB DB
DC + CB

3

+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông
để suy ra

VDCEF 1
= .
Từ (*) ⇒ V
6
DABC

Vậy

DE
,
DA

DE
DA

1
a3
VDCEF = VABCD =
6
36

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng
góc đáy, SA = a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
d)
Lời giải:
a) Ta có:
S

3

1
a 2
VS . ABCD = S ABCD .SA =
3
3

b) Ta có BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ AB '
SB ⊥ AB '
Ta có
AB ' ⊥ ( SBC )
Suy ra:
c) Tính VS . A B 'C ' D '

B'

C'
D'

I
B


A

+Tính VS . AB 'C ' :

O

VSA ' B 'C ' SB ' SC '
=
.
(*)
Ta có: V
SB SC
SABC

D

19

C


∆SAC vuông cân nên

Yêu cầu:
+Học sinh biết chứng minh AB ' ⊥ ( SBC )
+ Biết phân thành hai khối chóp bằng
nhau: S . AB ' C ', S . AC ' D '
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.

SC ' 1

=
SC 2

Ta có:
SB ' SA2
2a 2
2a 2 2
= 2 = 2
= 2 =
SB SB
SA + AB 2 3a
3
VSA ' B 'C ' 1
=
Từ (*) ⇒ V
3
SABC

⇒ VSA ' B 'C '

1 a3 2 a3 2
= .
=
3 3
9

+ VS . A B 'C ' D ' = 2VS . AB 'C ' =

2a 3 2
9


Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a 3 , AD = a, AA’=a,
O là giao điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
B
A
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
O
Ta có : V = AB. AD.AA '
M
D
2
3
c
= a 3.a = a 3
.
∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a
* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và
A'
B'
đường cao giống khối hộp nên:
1
a3 3
⇒ VOA ' B 'C ' D ' = V =
D'
C'

3
3
⇒ OM ⊥ ( BB ' C ')
b) M là trung điểm BC
Yêu cầu:
1
1 a 2 a 3 a3 3
⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C ' .OM = . .
=
+Học sinh xác định cơng thức thể tích
3
3 2 2
12
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ của khối hộp và khối chóp.
+Biết khai thác tính chất của hình hộp
3V
C ' H = OBB 'C '
diện OBB’C’. Ta có :
đứng để làm bài: Chọn đáy của khối
SOBB '
OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên hình
∆ABD có : DB = AB 2 + AD 2 = 2a
hộp)
1 2
+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
⇒ SOBB ' = a ⇒ C ' H = 2a 3
2

Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích
khối tứ diện ACB’D’.


20


Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối
ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,
D’ACD, AB’A’D’.
+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD,
AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng
nhau nên có cùng thể tích.
1 1
3 2

A

B

D

C

A'

1
6

Khối CB’D’C’ có V1 = . a 2 .a = a 3

B'


C'

D'

+ Khối lập phương có thể tích:
V2 = a 3
1
1
= a 3 − 4. a 3 = a 3
6
3

Yêu cầu:
+Học sinh biết chọn đáy và chiều
⇒ VACB ' D '
cao đối với khối nhỏ đang tính
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC,mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối
CA’B’FE
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:
E
C
A
Gọi I là trung điểm AB, Ta có:

1
VA ' B ' BC = S A ' B ' B .CI

3
1 a 2 a 3 a3 3
=
.
=
3 2 2
12

F

I
B

b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’
và CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao

1
= SCEF . A ' A
3

A’A nên VA 'CEF

C'

A'
J
B'

1

a2 3
a3 3
S ABC =
⇒ VA ' CEF =
4
16
48

Yêu cầu:
+ Học sinh biết cách tính khối A’B’
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối BC
A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ +Biết phân khối chóp CA’B’FE
1
nên VA ' B 'CF = SCFB' . A ' J
; thành hai khối chóp
SCEF =

3

tam giác.
+ Biết được đường thẳng nào vng
góc với mp(CEF), ghi cơng thức thể
tích cho khối CEFA’.
+ Tương tự cho khối CFA’B’

2

1
a
SCBB ' =

2
4
1 a 2 a 3 a3 3
⇒ VA ' B ' CF =
=
3 4 2
24

SCFB' =

+ Vậy : VCA'B'FE =

a3 3
16

21


Bài 8. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt
(A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể
tích khối lăng trụ.
Lời giải.
C'
A'

2x 3
Giả sử BI = x ⇒ AI =
=x 3
2
 AI ⊥ BC

⇒ ∠A' IA = 30 0
Ta có 
A' I ⊥ BC

∆A' AI : A' I = AI : cos 30 0 =

2 AI

2x 3

= 2x
3
3
A’A = AI.tan 300 = x 3. = x
3
3
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x 3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 ⇒ x = 2
3

=

B'

C

A

30
I

B

Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3
Bài 9 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 ,
AD = 7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc
450 và 600. Tính thể tích khối lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1.
Lời giải.
D'
⊥ ( ABCD) , HM ⊥ AB, HN ⊥ AD
Kẻ A’H
⇒ A' M ⊥ AB, A' N ⊥ AD (định lý 3 đường
A'
vng góc) ⇒ ∠ A' MH = 45 0 , ∠A' NH = 60 0
B'
Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 600 =
AN =

2x

3 − 4x 2
AA' − A' N =
= HM
3
2

A

Mà HM = x.cot 45 = x
3 − 4x 2
⇒x=

3

C

N

2

0

Nghĩa là x =

D

3
H
M

B

3
7

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3. 7 .

3
=3
7

Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC =

a, BC = 2a và AA’ = 3a. Tính thể tích của lăng trụ
B'
C'
HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a
* Tính: VABC.A′B′C′ = Bh = SABC .AA’
A'
1
* Tính: SABC = AB.AC (biết AC = a)
2
3a
* Tính AB: Trong ∆ V ABC tại A, ta có:
2a
B
C
AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
a
3a3 3
ĐS: VABC.A′B′C′ =
2
A
22

C'


∧

Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 600.
Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm
hai đường chéo của đáy. Cho BB’ = a.

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo
AC và BD
* B’O ⊥ (ABCD) (gt)
* Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là
ϕ = B′BO
·
·
* Tính ϕ = B′BO : Trong ∆ V BB’O tại O, ta
có:
OB
OB
cos ϕ =
=
a
BB′
∧
+ ∆ ABD đều cạnh a (vì A = 600 và AB = a)
⇒ DB = a
⇒ OB =

D'

C'
B'

A'

a

D

C

60
°
A

O
a

ϕ
B

1
a
1
DB = . Suy ra: cos ϕ = ⇒ ϕ = 600
2
2
2

a2 3 a2 3
b) * Đáy ABCD là tổng của 2 ∆ đều ABD và BDC ⇒ SABCD = 2.
=
4
2
2
a 3 ’
* VABCD.A′B′C′D′ = Bh = SABCD .B’O =

.B O
2
3a3
a 3
* Tính B’O: B’O =
(vì ∆ B’BO là nửa tam giác đều) ĐS:
4
2
Dạng 3: Tính thể tích các khối trịn xoay
Bài 12: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3.
Khi quay tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc
OAB tạo thành một hình nón trịn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
A
HD:
a) * Sxq = π Rl = π .OB.AB = 15 π
Tính: AB = 5 ( ∆ ∨ AOB tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 15 π + 9 π = 24 π
4
1 2
1
1 2
2
b) V = πR h = π.OB .OA = π.3 .4 =
3
3
3
B
O

3
π
=12

23


Bài 13: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD:
a) * Sxq = π Rl = π .OB.SB = 2 π a2
* Stp = Sxq + Sđáy = 2 π a2 + π a2 = 23 π a2
S
1 2
1
2
b) V = πR h = π.OB .SO =
3
3
3
1 2
πa 3
2a
π.a .a 3 =
3
3
2a 3
A
B

Tính: SO =
= a 3 (vì SO là đường
O
2
cao của ∆ SAB đều cạnh 2a)
Bài 14: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác
vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác
∧
∧
vuông cân tại S nên A = B = 450
S
* Sxq = π Rl = π .OA.SA = π a2 2
Tính: SA = a 2 ; OA = a ( ∆ ∨ SOA tại
O)
* Stp = Sxq + Sđáy = π a2 2 + π a2 =
(1 + 2 ) π a2
45
A
1 2
1
2
O
b) V = πR h = π.OA .SO =
3
3
3
1 2

πa
π.a .a =
3
3

B

Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình
vng.Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ.Tính thể
tích của khối trụ.
B
HD:
O
* Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .R.2R = 4
A
π R2
* OA =R; AA’ = 2R
h
l
π R2 + π R2 = 5 π R2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4
* V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ =
B'
O'
π.R 2 .2R = 2πR 3
A'
24


Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng

7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy
tính diện tích của thiết diện được tạo nên
HD:
a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .5.7 =
70 π (cm2)
B
* OA = 5cm; AA’ = 7cm
O
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 π + 50 π =
I
r
π (cm2)
=120
A
2
2
π .52.7 =
b) * V = πR h = π.OA .OO′ =
l
h
= 175 π (cm3)
c) Gọi I là trung điểm của AB ⇒ OI = 3cm
* SABB′A′ = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình
O'
B'
chữ nhật)
A'

* AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) ( ∆ ∨ OAI tại I)
Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC), ∆ ABC
vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
D
HD:
a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
O
* Chứng minh: ∆ DAC vuông tại A
1
⇒ OA = OC = OD = CD
2
C
A
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh
huyền bằng nửa cạnh ấy)
B
1
1
* Chứng minh: ∆ DBC vuông tại B ⇒ OB = CD * OA = OB = OC = OD = CD
2
2
CD
⇔ A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O;
)
2
CD 1

1
1
b) * Bán kính R =
=
AD 2 + AC 2 =
AD 2 + AB2 + BC2 = =
2
2
2
2
5a 2
25a2 + 9a2 + 16a2 =
2
2
3
 5a 2 
4
4  5a 2  125 2πa3
2
3
* S = 4π 
÷ = 50πa ; * V = π R = π 
÷=
3
3  2 
3
 2 
Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
25