Trần Nguyên Hiển-Lớp Đạn2-Đề Số 38
THIẾT KẾ CÓ SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH
BÀI TẬP SỐ : 38
Họ tên :Trần Nguyên Hiển
Lớp : Đạn2_K40
Đề số : 38
Bài 1:
Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép đối xứng qua gốc
toạ độ có thể phân rã thành hai phép biến đổi liên tiếp : đối xứng qua trục ox rồi
đối xứng qua trục 0y hoặc ngược lại.
BÀI GIẢI:
Ta có ma trận phép đối xứng qua gốc toạ độ : T =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
Ma trận đối xứng qua trục ox: T
1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 ÷
−

 ÷
 ÷
 
Ma trận đối xứng qua trục oy: T
2
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Vậy ta có:
T = T
1
*T
2
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 

*
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2: Cho vòng tròn bán kính R tâm ở gốc toạ độ
a. Tìm phương trình và dạng đường cong sau khi thực hiện phép biến đổi với ma
trận là:
2 0 0
0 1 0
2 2 1
 
 ÷

 ÷
 ÷
 
b. Vẽ đồ thị của đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ trục toạ độ.
BÀI GIẢI:
Ta có:
( )
' '
, ,1x y
=
( )
, ,1x y
*
2 0 0
0 1 0
2 2 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=>
'
'
2* 2
2
x x
y y
= +
= +

Rút x, y thế vào (1) có:
( )
2
'
2
' 2
1 2
2
x
y R
 
− + − =
 ÷
 
a. Vậy đường tròn sau khi biến đổi là đường cong có phương trình:
Bài Tập Lớn CAD-Phần1
1
Trần Nguyên Hiển-Lớp Đạn2-Đề Số 38
( )
( )
( )
2 2
' '
2
2
2 2
1
2
x y
R

R
− −
+ =
Đây là đường elíp tâm ( 2, 2) bán trục lớn 2*R, bán trục nhỏ R
b. Hình vẽ:
Bài 3: Cho vòng tròn bán kính R=2cm tâm ở gốc toạ độ .
a. Tìm phương trình và dạng đường cong sau khi thực hiện phép biến đổi với ma
trận là:
1 3 0
2 3 2 0
3 3 1
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 ÷
 
b. Vẽ đồ thị của đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ trục toạ độ.
BÀI GIẢI:
a. Gọi A(x, y) thuộc vòng tròn tâm O bán kính R=2:
2 2
4x y+ =
(2)
với ma trận của phép biến đổi là T =
1 3 0
2 3 2 0
3 3 1
 
 ÷

−
 ÷
 ÷
 ÷
 

( )
,A x y

→
( )
' ' '
,A x y
=>
( )
' '
, ,1x y
=
( )
, ,1x y
*
1 3 0
2 3 2 0
3 3 1
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 ÷

 
Bài Tập Lớn CAD-Phần1
2
Trần Nguyên Hiển-Lớp Đạn2-Đề Số 38
'
'
2 3* 3
3 * 2* 3
x x y
y x y
= − +
= + +
=>
3( ' 3) ( ' 3)
4
( ' 3) 3( ' 3)
8
y x
x
y x
y
− + −
=
− − −
=
thế vào (2) có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 ' 3 ' 3 ' 3 3 ' 3
4

4 8
y x y x
   
− + − − − −
+ =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
đặt:
1
1
' 3
' 3
x x
y y
= −


= −

ta được :
2 2
1 1 1 1
3 3
4
4 8
y x y x
   
+ −
+ =

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
đặt lần 2:
1 1
2
1 1
2
3.
x
2
3.
2
x y
x y
y

+
=



−

=


ta được phương trình:
2 2
2 2

2 2
1
4 8
x y
+ =
Đây là phương trình đường elíp tâm (0, 0), bán kính trục nhỏ a = 4, bán kính
trục lớn b = 8. (Khi xét với biến là: x
2
, y
2
).
Theo 2 lần đặt biến thì khi xét với biến là (x’, y’) thì nó biểu diễn đường elíp
tâm (3, 3), bán kính trục nhỏ a = 4, bán kính trục lớn b = 8 , nghiêng với trục ox
góc 30
0
.
b. Đồ thị đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ trục toạ độ

Bài 4: Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép quay quanh
gốc toạ độ với góc quay
±
180
0
hoàn toàn tương đương với phép đối xứng qua
gốc toạ độ.
BÀI GIẢI:
Ma trận phép quay quanh gốc toạ độ góc
0
180
α

=
độ:
Bài Tập Lớn CAD-Phần1
3
Trần Nguyên Hiển-Lớp Đạn2-Đề Số 38
T
1
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
os 180 sin 180 0
1 0 0
sin 180 os 180 0 0 1 0
0 0 1
0 0 1
c
c
 
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
= − = −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 

 
Ma trận đối xứng qua gốc toạ độ: T
2
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
Rõ ràng T
1
=T
2
suy ra điều phải chứng minh.
Bài 5: Cho tam giác ABC với toạ độ các đỉnh: A(5 ,

0) B(1 ,

0) C(4 ,

4) và một
đường thẳng y =
1
3
x+2

a) Tính ma trận của phép đối xứng tam giác qua đường thẳng y =
1
3
x+2
b) Tính tọa độ của các đỉnh tam giác sau khi biến đổi (A’ ; B’ ; C’)
c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng một hệ tọa độ oxy, mỗi đơn vị dài lấy
bằng 1cm hoặc 0,5 cm. Nên vẽ bằng SolidWork, rồi chuyển sang File ảnh JPG
và chèn vào File Word, tô màu khác nhau cho rõ.
d) Dùng phần mềm SolidWork kiểm tra lại tọa độ các đỉnh A’B’C’ đã tính toán
BÀI GIẢI:
a. Phép đối xứng tam giác qua đường thẳng y=
1
3
x+2 gồm
Phép tịnh tiến với ma trận chuyển đổi: T
1
=
1 0 0
0 1 0
0 2 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
Phép quay với
0
30
α

= −
với ma trận chuyển đổi: T
2
=
3 1
0
2 2
1 3
0
2 2
0 0 1
 
−
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
phép đối xứng qua trục ox ma trận chuyển đổi: T
3
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 ÷

−
 ÷
 ÷
 
Phép quay với
0
30
α
=
với ma trận chuyển đổi: T
4
=
3 1
0
2 2
1 3
0
2 2
0 0 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 

Bài Tập Lớn CAD-Phần1
4
Trần Nguyên Hiển-Lớp Đạn2-Đề Số 38
Phép tịnh tiến với ma trận chuyển đổi: T
5
=
1 0 0
0 1 0
0 2 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Vậy ta có ma trận biến đổi chung: T = T
1
*T
2
*T
3
*T
4
*T
5
=
1 3
0
2 2
3 1
0

2 2
3 3 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 ÷
 ÷
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
b. Tính toạ độ tam giác
' ' '
A B C∆

' '
' '
' '
1 3 5 5 3
0 3 3 1
2 2 2 2
1 5 0 1
3 1 1 3
1 1 0 1 * 0 3 3 1
2 2 2 2
1 4 4 1
3 3 1 2+ 3 2 3 1 1

A A
B B
C C
x y
x y
x y
   
− +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 
 
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
= − = − + +
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
 
 
 ÷  ÷
− +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
c. Chọn 1đv = 10 mm ta vẽ được như sau:

d. Dùng phần mềm CAD để kiểm tra:
Bài Tập Lớn CAD-Phần1
5
Trần Nguyên Hiển-Lớp Đạn2-Đề Số 38
Sau khi cho
ABCV
đối xứng qua đường thẳng có phương trình y=
1
3
*x+2 ta
được
' ' '
A B C∆
với toạ độ các đỉnh được biểu diễn trong ma trận sau:
' '
' '
' '
1 0,77 7,33 1
1 1,23 3,87 1
1 3,73 4,46 1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
 
 
 ÷
 ÷

= −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Như vậy kết quả là chính xác.
Bài 6: Cho tam giác ABC với toạ độ các đỉnh: A(4,

0) B(3 ,

5) C(1 ,

2) và một
điểm E(0 ,

-2).
a) Tính ma trận của phép quay tam giác quanh điểm E một góc α=-90
0
b) Tính tọa độ của các đỉnh tam giác sau khi biến đổi (A’ ; B’ ; C’)
c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng một hệ tọa độ oxy, mỗi đơn vị dài lấy
bằng 1cm hoặc 0,5 cm
d) Dùng phần mềm SolidWork kiểm tra lại tọa độ các đỉnh A’B’C’ đã tính toán.
BÀI GIẢI:
a. Phép quay tam giác quanh điểm E một góc
α
gồm
Phép tịnh tiến với ma trận chuyển đổi: T
1

=
1 0 0
0 1 0
0 2 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Phép quay góc
0
90
α
= −
ma trận chuyển đổi: T
2
=
0 1 0
1 0 0
0 0 1
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Phép tịnh tiến với ma trận chuyển đổi: T
3
=
1 0 0

0 1 0
0 2 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
Vậy ta có ma trận biên đổi chung:
T = T
1
*T
2
*T
3
=
0 1 0
1 0 0
2 2 1
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
b. Tính toạ độ tam giác
' ' '
A B C∆


' '
' '
' '
1 4 0 1 0 1 0 2 6 1
1 3 5 1 * 1 0 0 7 5 1
1 1 2 1 2 2 1 4 3 1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
 
− −
     
 ÷
 ÷  ÷  ÷
= = −
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
− −
     
 
c. Chọn 1đv =10 mm ta vẽ được như sau:
Bài Tập Lớn CAD-Phần1
6
Trn Nguyờn Hin-Lp n2- S 38


d. Dựng phn mm CAD kim tra
Sau khi quay
ABCV
quanh im E mt gúc = -90
0
ta c
' ' '
A B C
vi to
cỏc nh c biu din trong ma trn sau:
' '
' '
' '
1 2 6 1
1 7 5 1
1 4 3 1
A A
B B
C C
x y
x y
x y



ữ
ữ
=
ữ
ữ

ữ
ữ




Nh vy kt qu l chớnh xỏc.
Bi 7:
Cho toạ độ của các đỉnh của tam giác ABC trong không gian A(1,0,0);
B(1,-1,0);C(0,0,1):
a.Tìm ma trận của phép biến đổi tam giác ABC theo trình tự sau:quay quanh trục
z một góc 45
0


quay quanh trục Y một góc - 45
0


quay quanh trục X một
góc 30
0


scale tăng lên hai lần với tâm biến đổi là đỉnh A.
b.Tính toạ độ mới của tam giác sau khi biến đổi.Dùng một chơng trình CAD t-
ơng tác kiểm tra lại toạ độ đã tính toán.
Bài Giải
a. Cỏc phộp bin i v ma trn tng ng:
Bi Tp Ln CAD-Phn1

7
Trần Nguyên Hiển-Lớp Đạn2-Đề Số 38
• Quay quanh oz một góc 45
0
, T
1
=
















−
1000
0100
00
2
2
2

2
00
2
2
2
2
• Quay quanh oy một góc -45
0
, T
2
=














−
1000
0
2
2

0
2
2
0010
0
2
2
0
2
2
• Quay quanh ox một góc 30
0
, T
3
=














−

1000
0
2
3
2
1
0
0
2
1
2
3
0
0001
• Tịnh tiến A( 1; 0; 0) về trùng với O, T
4
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
• Tỉ lệ tam giác ABC lên 2 lần , T
5

=














1000
0200
0020
0002
• Tịnh tiến hệ về điểm A(1;0;0), T
6
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
 
 ÷
 ÷
 ÷

 ÷
 
Ma trận biến đổi:
T = T
1
.T
2
.T
3
.T
4
.T
5
.T
6
=
6 1 2 3
1 0
2 2
6 1 2 3
1 0
2 2
2 6
2 0
2 2
1 0 0 1
 
− +
 ÷
 ÷

 ÷
+ −
−
 ÷
 ÷
 ÷
−
−
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
b. Tọa độ các đỉnh tam giác sau khi biến đổi được tính theo công thức;
( x’ y’ z’ 1) = ( x y z 1). T (với T là ma trận biến đổi).
Bài Tập Lớn CAD-Phần1
8
Trần Nguyên Hiển-Lớp Đạn2-Đề Số 38











1

1
1
'''
'''
'''
CCC
BBB
AAA
zyx
zyx
zyx
=










1
1
1
CCC
BBB
AAA
zyx
zyx

zyx
.
6 1 2 3
1 0
2 2
6 1 2 3
1 0
2 2
2 6
2 0
2 2
1 0 0 1
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
+ −
−
 ÷
 ÷
 ÷
−
−
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
=

1 6 2 3
0 1
2 2
1 1 3 1
2 6
2 1 1
2 4
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
 ÷
 ÷
− − −
 ÷
 
Vậy toạ độ các đỉnh tam giác ABC sau khi biến đổi là:
A’(0; -0,725; 1,573); B’(0; -1; -1,732); C’( -2,414; -0,707; 0,612)
♣ Dùng AutoCAD kiểm tra lại kết quả tính toán:
• Trong CAD vẽ hệ trục toạ độ Oxyz bằng lệnh 3P.( có thể dựa vào khối
hình hộp lập phương để vẽ dược nhanh chóng)
• Đưa hệ toạ độ về trùng với hệ toạ độ vừa tạo.
• Dùng lệnh 3P vẽ tam giác ABC, nhập toạ độ tuyệt đối. đánh dấu các
đỉnh tam giác.
• Sử dụng lệnh 3D Rotate lần lượt quay tam giác ABC quanh các trục
oz,oy, ox một góc 45
0
, -45

0
, 30
0
.
• Dùng lệnh Scale biến đổi tỷ lệ tam giác ABC lên 2 lần, tâm biến đổi là
(2; 0 ; 0) - điểm này được nhập toạ độ tuyệt đối.
• Dùng lệnh ID kiểm tra lại các đỉnh tam giác sau khi biến đổi ta được:
A’(0; -0,72; 1,57); B’(0; -1; -1,73); C’( -2,41; -0,71; 0.61)
So sánh với kết quả tính toán ta kết luân phép tính chính xác.
Bài Tập Lớn CAD-Phần1
9