Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Mục lục
Mục lục 1
Mở đầu 2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Vành và vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Lý thuyết mở rộng trường 18
2.1. Mở rộng trường. Bậc của mở rộng trường . . . . . . . . . 18
2.2. Mở rộng đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Trường phân rã của một đa thức. Đa thức tách được. . . . 29
2.5. Mở rộng chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chương 3. Ứng dụng của lý thuyết mở rộng trường vào bài
toán dựng hình bằng thước kẻ và compa 39
3.1. Ba bài toán dựng hình cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Điều kiện cần và đủ để đa giác đều p cạnh dựng được bằng
thước kẻ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết mở rộng trường là một trong những lý thuyết cơ bản của
đại số, lý thuyết này bao gồm: mở rộng đơn, mở rộng đại số, mở rộng bậc
hữu hạn, mở rộng chuẩn tắc có một tầm quan trọng đặc biệt, chẳng hạn
như: mở rộng bậc hữu hạn, mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách được là cơ
sở của mở rộng Galois

Trong thực tế giải toán, có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến mở rộng
trường, chẳng hạn khi xét trong trường số thực R, phương trình x
2
+ 1 = 0
không có nghiệm trong R và cần mở rộng trường số thực R. Hay đối với
một phương trình đại số bậc n trên trường K, có thể xây dựng một trường
chứa đủ n nghiệm của nó hay không? Điều này dẫn tới mở rộng trường K
bằng cách "ghép thêm" vào nó những nghiệm đang xét
Cũng như nhiều lý thuyết khác, khi nắm được các kiến thức về mở
rộng trường thì vấn đề đặt ra là cần phải khai thác và vận dụng nó vào
bài tập như thế nào. Do đó để người học có thể hiểu và tự nghiên cứu đến
những lý thuyết cao hơn và ứng dụng kiến thức về mở rộng trường vào giải
bài tập tôi nhận thấy cần nghiên cứu một cách có hệ thống, khoa học về
phần kiến thức này. Mặt khác, kiến thức về mở rộng trường còn là tiền đề
cho các bạn sinh viên ngành Toán khai thác vấn đề trong từng phần kiến
thức, sử dụng các công cụ mới của đại số tính toán.
Với mong muốn: Đề tài sẽ là một tài liệu giúp cho các bạn sinh viên
củng cố kiến thức về cấu trúc đại số, nắm được kiến thức về mở rộng
trường để từ đó ứng dụng vào bài tập và có thể tiếp cận những lý thuyết
cao hơn và có ứng dụng sâu sắc hơn, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:
“Lý thuyết mở rộng trường”
2. Mục tiêu của khóa luận
- Mục tiêu khoa học công nghệ: Tổng hợp một cách có hệ thống các
kiến thức về mở rộng trường bao gồm: định nghĩa, tính chất, ví dụ minh
2
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
hoạ và các định lý, mệnh đề. Hệ thống các dạng bài tập vận dụng kiến
thức mở rộng trường.
- Sản phẩm khoa học công nghệ: Đề tài là tài liệu tham khảo cho sinh
viên chuyên ngành Toán.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu nội dung kiến thức về lý thuyết mở rộng trường và ứng
dụng của nó vào bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan
đến kiến thức về mở rộng trường, cụ thể như mở rộng đơn, mở rộng hữu
hạn, mở rộng đại số. . .
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo
trình rút ra được kinh nghiệm để giải một số bài toán liên quan đến mở
rộng trường, xác định được khi nào một điểm, một đoạn thẳng hay một
đa giác có thể dựng được bằng thước kẻ và compa.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp
hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như
hình thức của đề tài.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Lý thuyết mở rộng trường.
- Phạm vi: Dùng kiến thức đại số đại cương và đại số tuyến tính để
nghiên cứu về lý thuyết mở rộng trường cũng như ứng dụng của nó vào
bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa.
6. Bố cục của khóa luận
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung
khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Nhóm
1.2. Vành và vành đa thức
1.3. Trường
Chương 2: Lý thuyết mở rộng trường
2.1. Mở rộng trường. Bậc của mở rộng trường
2.2. Mở rộng đơn
3

Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
2.3. Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số
2.4. Trường phân rã của một đa thức. Đa thức tách được
2.5. Mở rộng chuẩn tắc
Bài tập chương 2
Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết mở rộng trường vào bài
toán dựng hình bằng thước kẻ và compa
3.1. Ba bài toán dựng hình cổ điển
3.2. Điều kiện cần và đủ để đa giác đều p cạnh dựng được bằng thước
kẻ và compa
Bài tập chương 3
4
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Nhóm
Định nghĩa 1.1
Tập hợp G cùng phép toán hai ngôi, kí hiệu bởi dấu ".", được gọi là
một nhóm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) (a + b) + c = a + (b + c), với ∀a, b, c ∈ G (tính chất kết hợp).
(ii) Có một phần tử 0 ∈ G sao cho a + 0 = a + 0 = a, với ∀a ∈ G.
(iii) Với mỗi a ∈ G, tồn tại một phần tử kí hiệu bởi −a ∈ G sao cho:
a + (−a) = 0 = (−a) + a
Trong trường hợp này G là một nhóm cộng.
Định nghĩa 1.2
Tập hợp G cùng với phép nhân được gọi là một nhóm nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:
(a.b).c = a.(b.c), với ∀a, b, c ∈ G (tính chất kết hợp).
(ii) Có một phần tử e ∈ G sao cho: a.e = a = e.a với ∀a ∈ G.
(iii) Với mỗi a ∈ G, tồn tại một phần tử kí hiệu bởi a
−1

∈ G sao cho
a.a
−1
= e = a
−1
.a.
Định nghĩa 1.3.
Giả sử G là một nhóm. Tập hợp con H của G được gọi là một nhóm
con của G nếu H cũng là một nhóm đối với phép toán đã cho trong G.
5
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Định lí 1.4
Một bộ phận A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A.
(ii) e ∈ A, với e là phần tử trung lập của X.
(iii) Với mọi x ∈ A, x
−1
∈ A.
Hệ quả 1.5
Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X. Các điều kiện
sau là tương đương:
(i) A là một nhóm con của X.
(ii) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A và x
−1
∈ A .
(iii) Với mọi x, y ∈ A, xy
−1
∈ A.
Định lí 1.6

Giao của một họ bất kì những nhóm con của một nhóm X là một nhóm
con của X
Chứng minh
Xét một họ bất kì (A
α
)
α∈I
những nhóm con của X và gọi A là giao của
chúng. Ta có A = φ vì e ∈ A
α
, với mọi α ∈ I (e là phần tử trung lập của
X), do đó e ∈ A. Ta lấy hai phần tử x, y ∈ A. Vì x, y ∈ A nên x, y ∈ A
α
với mọi α ∈ I. Vì các A
α
là những nhóm con của X nên xy
−1
∈ A
α
với
mọi α ∈ I, suy ra
xy
−1
∈ A
Vậy A là nhóm con của X (Theo hệ quả 1.5).
Mệnh đề 1.7
Giả sử G là một nhóm, H là một nhóm con của G. Trên G xác định
quan hệ ” ∼ ” như sau:
Với a, b ∈ G: a ∼ b ⇔ a
−1

b ∈ H
Thế thì ” ∼ ” là một quan hệ tương đương. Ta nói rằng đó là quan hệ
tương đương xác định bởi nhóm con H.
Tập hợp
aH = {b ∈ G | a
−1
b ∈ H}
được gọi là một lớp kề trái của H trong G.
6
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Tương tự tập
Ha = {b ∈ G | ba
−1
∈ H}
được gọi là một lớp kề phải của H trong G.
Định nghĩa 1.8
Giả sử G là một nhóm nhân. Tập hợp
A = {a
m
| m ∈ Z}
là một nhóm con của G. Nó được gọi là nhóm xyclic sinh bởi a và được kí
hiệu bởi < a >.
Nếu G là một nhóm cộng thì A = {ma | m ∈ Z} được gọi là nhóm
xyclic sinh bởi a.
Ví dụ
Nhóm cộng Z các số nguyên là nhóm xyclic sinh bởi số 1. Mọi tập con
A = {ma | m ∈ Z}, với a là số nguyên, đều là nhóm xyclic của nhóm cộng
Z.
Định nghĩa 1.9
Nhóm con H được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G nếu

aH = Ha, ∀a ∈ G
hay với mọi a ∈ G, mọi h ∈ H, ta có: aha
−1
∈ H.
Ví dụ
(i) Bản thân nhóm G và nhóm con {e} chỉ gồm một phần tử đơn vị
của G là những nhóm con chuẩn tắc tầm thường của G.
(ii) Mọi nhóm con của nhóm aben A đều là nhóm con chuẩn tắc của
nhóm A.
Định nghĩa 1.10
Số phần tử của một nhóm hữu hạn được gọi là cấp của nhóm đó. Số
phần tử của nhóm xyclic sinh bởi phần tử a được gọi là cấp của phần tử
a.
Định lí 1.11 (Định lí Lagrange)
Giả sử G là một nhóm hữu hạn, H là một nhóm con của G. Thế thì
cấp của G chia hết cho cấp của H.
7
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Mệnh đề và định nghĩa nhóm thương 1.12
Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Ta kí hiệu lớp kề
aH bởi a và tập hợp các lớp kề bởi G. Trên tập G xác định phép toán như
sau:
a.b = ab
với ∀a, b ∈ G.
Khi đó G là một nhóm, được gọi là nhóm thương của nhóm G trên
nhóm con chuẩn tắc H và còn được kí hiệu bởi G/H.
Hệ quả 1.13
Nếu cấp của nhóm G bằng m và cấp của nhóm con chuẩn tắc H bằng
n thì nhóm thương G/H có cấp bằng
m

n
.
Định nghĩa 1.14
Giả sử G và G

là hai nhóm. Ánh xạ f : G −→ G

được gọi là một
đồng cấu nhóm nếu f(ab) = f(a).f(b), với ∀a, b ∈ G.
f(G) được gọi là ảnh của G qua f hay ảnh của f và được kí hiệu Imf.
f
−1
(e

) = {a ∈ G | f(a) = e

}, trong đó e

là đơn vị của G

, được gọi là
hạt nhân của f, kí hiệu Kerf.
Ví dụ
(i) Giả sử A là một nhóm con của nhóm X. Đơn ánh chính tắc:
A −→ X
a −→ a
là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc.
(ii) Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu, gọi là tự
đẳng cấu đồng nhất của X.
(ii) Xét ánh xạ từ nhóm nhân các số thực dương R

+
đến nhóm cộng
các số thực R: log : R
+
−→ R, x −→ logx trong đó logx là logarit cơ số
10 của x. Vì log(xy) = logx + logy nên log là một đồng cấu. Đồng cấu này
còn là một song ánh nên là một đẳng cấu.
Mệnh đề 1.15
Giả sử G và G

là hai nhóm. Ánh xạ f : G −→ G

là một đồng cấu
nhóm. Khi đó:
8
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
i) Nếu A là một nhóm con của G thì f(A) là một nhóm con của G

.
ii) Nếu B là một nhóm con chuẩn tắc của G

thì f
−1
(B) là một nhóm
con chuẩn tắc của G.
Định lí về đồng cấu 1.16
Giả sử f : G −→ G

là một đồng cấu nhóm, p : G −→ G/Kerf là phép
chiếu chính tắc. Khi đó:

(i) Tồn tại duy nhất một đơn cấu f : G/Kerf −→ G

sao cho fp = f
f : G/Kerf
∼
=
Imf.
(ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f(X).
Chứng minh
(i) Đặt Kerf = A và cho tương ứng với mỗi phần tử xA của X/A phần
tử f(x) của Y . Quy tắc cho tương ứng như vậy là một ánh xạ.
Thật vậy, giả sử xA = x
1
A, thế thì ta có x
−1
x
1
∈ A nhứng A là hạt nhân
của f nên f(x
−1
x
1
) = f(x
−1
)f(x
1
) = f(x)
−1
f(x) = e
Y

, tức là f(x) =
f(x
1
). Ta đặt
f : X/A −→ Y
xA −→ f(xA) = f(x)
Ta chứng minh f là một đồng cấu. Ta có, với xA và yA là hai phần tử tùy
ý của X/A
f(xA.yA) = f(xyA) = f(xy)
Nhưng f là một đồng cấu nên f(xy) = f(x).f(y), do đó:
f(xA.yA) = f(x).f(y) = f(xA).f(yA)
(định nghĩa của f). Vậy ta có f là một đồng cấu.
Từ đẳng thức f(xA) = f(x) với mọi x ∈ X, ta có thể viết
f(x) = f(xA) = f(p(x)) = fp(x)
với mọi x ∈ X. Vậy f = fp.
Giả sử có một đồng cấu ϕ : X/A −→ Y sao cho f = ϕ.p. Vậy với mọi
xA ∈ X/A ta có
ϕ(xA) = ϕ(p(x)) = ϕ.p(x) = f(x) = f(xA)
do đó ϕ =
f.
9
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
(ii) Giả sử xA ∈ X/A sao cho f(xA) = e
Y
. Theo định nghĩa của f,
f(xA) = f(x). Vậy f(x) = e
Y
. Do đó x ∈ A = eA, tức là xA = eA. Ta suy
ra Kerf = {eA}. Vậy f là một đơn cấu. Vì p là toàn cấu và f = fp nên
ta suy ra Imf = Imf = f(x).

1.2 Vành và vành đa thức
1.2.1 Vành
Định nghĩa 1.17
Tập hợp X được gọi là một vành nếu trên X có hai phép toán cộng và
nhân thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với phép cộng X là một nhóm Abel.
(ii) Với phép nhân X là một nửa nhóm.
(iii) Phép cộng và phép nhân liên hệ với nhau bởi luật phân phối, tức
là:
a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca
với ∀a, b ∈ X.
Nếu phép nhân giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán.
Nếu phép nhân có đơn vị thì X là vành đơn vị.
Định lí 1.18
Cho X là một vành. Với ∀x, y, z ∈ X, ta có:
(i) x(y −z) = xy −xz, (y −z)x = yx − zx.
(ii) 0x = x0 = 0.
(iii) x(−y) = (−x)y = −xy, (−x)(−y) = xy.
Định nghĩa 1.19
Tập A được gọi là một vành con của vành X nếu A là một vành đối
với hai phép toán đã cho trong X.
Nếu vành X có đơn vị và vành con A cũng có đơn vị thì đơn vị của A
phải là đơn vị của X.
Định lí 1.20
Giả sử A là một tập con của vành X. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) A là một vành con của X
10
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
(ii) Với mọi a, b ∈ A, ta có a + b ∈ A, −a ∈ A, ab ∈ A.
(iii) Với mọi a, b ∈ A, ta có a − b ∈ A, ab ∈ A.

Định nghĩa 1.21
Ta gọi một vành con A của X là iđêan trái (iđêan phải) của vành X
nếu thỏa mãn điều kiện: xa ∈ A(ax ∈ A) với mọi a ∈ A và mọi x ∈ X.
Một vành con A của X được gọi là một iđêan của X nếu và chỉ nếu A vừa
là iđêan trái, vừa là iđêan phải của X.
Định nghĩa 1.22
Iđêan A của vành X được gọi là iđêan chính sinh bởi phần tử a nếu
A = {ax | x ∈ X}
Ta thường kí hiệu iđêan này bởi (a).
Định nghĩa 1.23
Nếu A là một iđêan của một vành X thì nhóm thương (đối với phép
cộng) X/A là một vành với phép nhân xác định bởi:
xy = x.y
với mọi x, y thuộc X/A.
X/A được gọi là một vành thương của vành X trên iđêan A.
Định nghĩa 1.24
Một đồng cấu (vành) là một ánh xạ từ vành X đến một vành Y sao
cho:
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b)
với mọi a, b ∈ X. Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của
X.
Ta cũng định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu tương tự như định
nghĩa trong nhóm.
Ví dụ
(i) Giả sử A là một vành con của vành X. Đơn ánh chính tắc:
A −→ X
a −→ a
11
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May

là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc.
(ii) Ánh xạ đồng nhất 1
X
của một vành X là một đồng cấu, gọi là tự
đẳng cấu đồng nhất của X.
(iii) Giả sử A là một iđêan của vành X. Ánh xạ:
X −→ X/A
x −→ x + A
là một đồng cấu từ vành X đến vành thương X/A. Đồng cấu này còn là
toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
Định lí 1.25
Giả sử f : X −→ Y là một đồng cấu vành từ một vành X đến một
vành Y , A là một vành con của X và B là một iđêan của Y . Khi đó:
(i) f(A) là một vành con của Y .
(ii) f
−1
(B) là một iđêan của X.
1.2.2 Vành đa thức
Một tổng có dạng:
a
0
+ a
1
x + ··· + a
m
x
m
được gọi là một đa thức, trong đó các a
i
, i = 0, . . . , n là những số thực và

x là một ẩn.
Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1 = 0. Ký hiệu A[x] là một
vành đa thức của ẩn x trên A. Các phần tử của vành đó gọi là các đa thức
của ẩn x lấy hệ tử trong A. Trong một đa thức
f(x) = a
0
+ a
1
x + ··· + a
n
x
n
Các a
i
, i = 0, 1, . . . , n gọi là các hệ tử của đa thức, các a
i
x
i
gọi là các hạng
tử của đa thức, đặc biệt a
0
x
0
= a
0
gọi là hạng tử tự do.
Định nghĩa 1.26
Bậc của đa thức khác 0
f(x) = a
0

+ a
1
x + ··· + a
n
x
n
với a
n
= 0, n ≥ 0 là n. Hệ tử a
n
gọi là hệ tử cao nhất của f(x). Kí hiệu:
degf(x).
Đối với đa thức 0, ta nói nó không có bậc.
12
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Định lí 1.27
Nếu A là một miền nguyên, f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0 của
vành A[x] thì f(x)g(x) = 0 và degf(x)g(x) = degf(x) + degg(x).
Chứng minh
Giả sử f(x), g(x) ∈ A[x] là hai đa thức khác 0
f(x) = a
0
+ ··· + a
m
x
m
(a
m
= 0)
g(x) = b

0
+ ··· + b
n
x
n
(b
n
= 0)
Theo quy tắc nhân đa thức ta có:
f(x)g(x) = a
0
b
0
+ ··· + (a
0
b
k
+ ··· + a
k
b
0
)x
k
+ ··· + a
m
b
n
x
m+n
a

m
và b
n
khác 0 nên a
m
b
n
= 0(A không có ước của 0), do đó f(x)g(x) = 0
và degf(x)g(x) = degf(x) + degg(x).
Mệnh đề 1.28 (Tính phổ dụng của vành đa thức)
Cho vành đa thức A[x] và L là một vành giao hoán và α ∈ L. Khi đó
mọi đồng cấu vành τ : A −→ L mở rộng duy nhất thành đồng cấu vành
ϕ : A[x] −→ L thỏa mãn:
ϕ(x) = α, ϕ(a) = τ(a), ∀a ∈ A
Hệ quả 1.29
Mọi iđêan của F[x] đều là iđêan chính. Hơn thế, iđêan (f) ⊂ F[x] là
tối đại khi và chỉ khi f bất khả quy.
Hệ quả 1.30
Cho f, g ∈ F [x]. Ký hiệu d = (f, g). Khi đó tồn tại các đa thức s, t ∈
F [x] sao cho sf + tg = d.
Mệnh đề 1.31 (Tiêu chuẩn bất khả quy của Eisenstein)
Giả sử
f(x) = a
0
+ a
1
x + ··· + a
n
x
n

là một đa thức với hệ số nguyên, và giả sử có một số nguyên tố p sao cho p
không chia hết hệ số cao nhất a
n
nhưng p chia hết các hệ số còn lại và p
2
không chia hết số hạng tự do a
0
. Thế thì đa thức f(x) bất khả quy trong
Q[x].
13
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Định lí 1.32
Giả sử A là một trường, f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0 của vành
A[x], thế thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A[x]
sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x) với degr(x) < degg(x) nếu r(x) = 0.
1.3 Trường
1.3.1 Trường
Định nghĩa 1.33
Ta gọi một miền nguyên X là một trường nếu mọi phần tử khác không
trong X đều có nghịch đảo trong vị nhóm nhân X. Vậy một vành X giao
hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trường nếu và chỉ nếu
X (0 ∈ X) là một nhóm đối với phép nhân của X.
Ví dụ
Tập Q các số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân các số là một
trường. Ta cũng có trường số thực R và trường số phức C.
Định nghĩa 1.34
Giả sử X là một trường, A là một bộ phận của X ổn định với hai phép
toán trong X. A được gọi là một trường con của X nếu A cùng với hai
phép toán cảm sinh trên A là một trường.
Định lí 1.35

Giả sử A là một bộ phận có nhiều hơn một phần tử của một trường
X. Các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) A là một trường con của X.
(ii) Với ∀x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A, x
−1
∈ A nếu x = 0.
(iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy
−1
∈ A, nếu y = 0.
Định lí 1.36
Giả sử X là một miền nguyên, X
∗
là bộ phận các phần tử khác 0 của
X. Có một trường X và một đơn cấu vành f từ X đến X có các tính chất
sau: Các phần tử của X có dạng f(a).f(b)
−1
với a ∈ X, b ∈ X
∗
.
14
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Định nghĩa 1.37
Giả sử X là một miền nguyên, X là một trường. X được gọi là một
trường các thương của miền nguyên X nếu có một đơn cấu (vành) f :
X −→ X sao cho cặp (X, f) thỏa mãn tính chất (i) của định lí 1.25.
Ví dụ
Trường các thương của vành số nguyên Z là trường các số hữu tỉ Q.
1.3.2 Một số tính chất của trường số phức
Bổ đề 1.38
Mọi đa thức với hệ số thực có bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực.

Chứng minh
Giả sử f(x) = a
0
+ a
1
x + ··· + a
n
x
n
với a
n
= 0, n lẻ.
Ta đã biết rằng với những giá trị dương và âm của x khá lớn về trị
tuyệt đối, hàm số f(x) có các giá trị trái dấu. Vậy có những giá trị thực
của x, a và b chẳng hạn sao cho f(a) < 0, f(b) > 0. Mặt khác, hàm số f(x)
là liên tục. Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.
Bổ đề 1.39
Mọi đa thức bậc hai ax
2
+ bx + c với hệ số phức bao giờ cũng có hai
nghiệm phức.
Chứng minh
Gọi α
1
, α
2
là hai căn bậc hai của b
2
−4ac, ta có hai nghiệm của đa thức
là

−b + α
1
2a
và
−b + α
2
2a
.
Bổ đề 1.40
Mọi đa thức có bậc lớn hơn 0 với hệ số thực có ít nhất một nghiệm
phức.
Định lí 1.41
Mọi đa thức có bậc lớn hơn 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm
phức.
Chứng minh
Giả sử f(x) là một đa thức bậc n > 0
f(x) = a
0
+ a
1
x + ··· + a
n
x
n
15
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
với hệ số phức. Đặt
f(x) = a
0
+ a

1
x + ··· + a
n
x
n
với các a
i
là liên hợp của các a
i
, i = 0, . . . , n Xét đa thức:
g(x) = f(x)f(x)
Ta có:
g(x) = b
0
+ b
1
x + ··· + b
2n
x
2n
Với b
k
=

i+j=k
a
i
a
j
, k = 0, . . . , 2n vì

b
k
=

i+j=k
a
i
a
j
= b
k
nên các hệ số b
k
là thực. Theo bổ đề 1.40, g(x) có ít nhất, một nghiệm
phức z = s + it
g(z) = f(z)f(z)
Do đó f(z) = 0 hoặc f(z) = 0.
Nếu f(z) = 0, tức là
f(x) = a
0
+ a
1
x + ··· + a
n
x
n
= 0
hay f(z) = 0.
Như vậy, hoặc z hoặc z là nghiệm của f(x).
Hệ quả 1.42

Các đa thức bất khả quy của C[x], C là trường số phức, là các đa thức
bậc nhất.
Chứng minh
Vì các đa thức bậc nhất là các đa thức bất khả quy nên ta xét các đa
thức bậc lớn hơn 1. Giả sử f(x) là một đa thức của C[x] có bậc lớn hơn 1.
Theo định lí 1.41, f(x) có một nghiệm phức c. Vậy f(x) có một ước
thực sự là x − c, do đó f(x) không bất khả quy.
Vậy các đa thức bất khả quy của C[x], C là trường số phức, là các đa
thức bậc nhất.
Hệ quả 1.43
Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức có n nghiệm phức.
16
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Hệ quả 1.44
Các đa thức bất khả quy của R[x], R là trường số thực, là các đa thức
bậc nhất và các đa thức bậc hai ax
2
+ bx + c với biệt số b
2
− 4ac < 0.
17
Chương 2
LÝ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG
2.1 Mở rộng trường. Bậc của mở rộng trường
2.1.1 Mở rộng trường
Định nghĩa 2.1
Cho trường K và F là một trường con của K. Khi đó F ⊂ K gọi là
một mở rộng trường và K được gọi là một mở rộng (trường) của F. Một
mở rộng trường F ⊂ K còn được kí hiệu là K : F hay K/F.
Nhận xét

(i) Mọi trường đều là mở rộng của trường con nguyên tố của nó.
(ii) Cho K : F là một mở rộng trường. Khi đó trường con nguyên tố
của chúng trùng nhau.
Ví dụ: Q ⊂ R, R ⊂ C là các mở rộng trường.
Định nghĩa 2.2
Cho K : F và L : F là một mở rộng trường của F . Một đồng cấu
(đẳng cấu) trường ϕ : K −→ L thỏa ϕ(a) = a, ∀ a ∈ F gọi là F- đồng cấu
(F -đẳng cấu). Mở rộng K : F được gọi là F- đẳng cấu với mở rộng L : F
nếu tồn tại F -đẳng cấu từ K vào L, kí hiệu: K
∼
=
F
L. Nếu K = L thì các
F - đồng cấu (F - đẳng cấu) gọi là F - tự đồng cấu (F - tự đẳng cấu).
Định nghĩa 2.3
Cho F ⊂ K và E ⊂ L là các mở rộng trường, cho τ : F −→ E là một
đồng cấu (đẳng cấu) trường. Đồng cấu (đẳng cấu) ϕ : K −→ L gọi là một
mở rộng của τ nếu ϕ(a) = τ(a) ∀ a ∈ F .
18
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Định nghĩa 2.4
Mở rộng F ⊂ K gọi là đẳng cấu với mở rộng E ⊂ L nếu tồn tại các
đẳng cấu i: F −→ E và một mở rộng của nó j : K −→ L, nghĩa là j(a) =
i(a), ∀ a ∈ F .
Nhận xét
Quan hệ đẳng cấu của các mở rộng trường là một quan hệ tương đương.
Đặc biệt, quan hệ "
∼
=
F

" là một quan hệ tương đương.
2.1.2 Bậc của mở rộng trường
Cho K : F là một mở rộng trường. Khi đó K có cấu trúc của một
không gian vectơ trên F với phép nhân vô hướng là phép nhân trên K.
Một cơ sở F - không gian vectơ K cũng được gọi là cơ sở của mở rộng
trường K : F.
Định nghĩa 2.5
Bậc của mở rộng trường K : F là chiều của F - không gian vectơ K, kí
hiệu [K : F ]. Trường K được gọi là mở rộng bậc hữu hạn (vô hạn) của F
nếu bậc mở rộng của nó là hữu hạn (vô hạn).
Ví dụ
(i) Xét mở rộng trường C : R. Mọi phần tử của C được viết duy nhất
dưới dạng a + bi với a, b ∈ R. Do đó {1, i} là một cơ sở của C : R. Suy ra
[C : R] = 2.
(ii) Các mở rộng trường R/Q, C/Q, K(x)/K là các mở rộng vô hạn.
Nhận xét
Bậc của mở rộng F ⊂ K bằng 1 khi và chỉ khi F = K. Nói cách khác,
bậc của mở rộng trường bằng 1 khi và chỉ khi mở rộng là tầm thường. Thật
vậy, nếu K = F .α thì 1 = a.α, kéo theo α = a
−1
∈ F . Do đó F = K.
19
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
2.2 Mở rộng đơn
Định nghĩa 2.6
Giả sử K là một mở rộng của F . Khi đó ta nói rằng K là một mở rộng
đơn của F nếu tồn tại một phần tử u ∈ K sao cho K = F (u), còn u được
gọi là phần tử nguyên thủy của K.
Ví dụ
(i) Q(

√
2,
√
3) là một mở rộng đơn của Q vì Q(
√
2,
√
3) = Q(
√
2+
√
3).
(ii) Q(i, −i) là một mở rộng đơn của Q vì Q(i, −i) = Q(i).
Định nghĩa 2.7
Giả sử K là một mở rộng của trường F và u ∈ K. Phần tử u được gọi
là đại số trên F nếu tồn tại một đa thức bậc dương f(x) ∈ F[x] sao cho
f(u) = 0. Trong trường hợp u không là nghiệm của bất kì một đa thức bậc
dương nào trên F thì u được gọi là phần tử siêu việt trên F .
Ví dụ
(i) Phần tử i ∈ C là đại số trên trường số thực R.
(ii) Phần tử
√
2 ∈ R là đại số trên trường số hữu tỉ Q.
(iii) Với mọi a ∈ K đều là đại số trên K, các số thực π, e đều là siêu
việt trên trường số hữu tỉ Q.
Định lí 2.8
Cho K là một mở rộng của trường F và u ∈ K là đại số trên F . Khi
đó tồn tại một đa thức p(x) ∈ F[x] bất khả quy nhận u làm nghiệm. Hơn
nữa, nếu u là một nghiệm của đa thức f(x) ∈ F[x] thì f(x) chia hết cho
p(x). Đa thức p(x) được gọi là đa thức tối tiểu của u trên F . Các đa thức

tối tiểu của u thì liên kết với nhau.
Chứng minh
Do u là đại số trên F, nên tồn tại một đa thức p(x) có bậc dương thấp
nhất, nhận u làm nghiệm. Ta sẽ chứng minh p(x) là bất khả quy trên F .
Thật vậy, giả sử p(x) là khả quy trên F . Khi đó, p(x) = g(x).h(x) với
g(x), h(x) ∈ F [x] và degg(x) < degp(x) , degh(x) < degp(x).
Ta có 0 = p(u) = g(u).h(u). Do F là trường nên g(u) = 0 hoặc h(u)
= 0. Điều này dẫn tới mâu thuẫn với tính cực tiểu của p(x). Do đó p(x) là
đa thức bất khả quy trên F .
20
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Giả sử f(x) ∈ F [x] nhận u làm nghiệm. Lấy f(x) chia cho p(x) ta nhận
được f(x) = p(x).q(x) + r(x) với degr(x) < degp(x). Vì u là nghiệm của
p(x) và f(x) nên u cũng là nghiệm của r(x). Vậy r(x) = 0 và do đó f(x)
chia hết cho p(x).
Ta chứng minh các đa thức tối tiểu của u liên kết với nhau. Thật vậy,
giả sử q(x) là đa thức bất khả quy và nhận u làm nghiệm. Khi đó, q(x) và
p(x) chia hết cho nhau, do vậy chúng liên kết.
Ví dụ
(i) x
2
−2 là một đa thức tối tiểu của
√
2 ∈ R trên trường số hữu tỉ Q.
(ii) x
2
+ 1 là một đa thức tối tiểu của i ∈ C trên trường số thực R.
(iii) x
4
−10x

2
+ 1 là đa thức tối tiểu của
√
2 +
√
3 ∈ R trên trường số
hữu tỉ Q.
Định lí 2.9
Cho K là một mở rộng của trường F và u ∈ K là phần tử đại số trên
F . Giả sử p(x) là một đa thức tối tiểu bậc n của u trên F . Khi đó
(i) F [u] = F (u)
∼
=
F [x]/p(x)
(ii) 1, u
2
, , u
n−1
là một cơ sở của F (u) trên trường F .
(iii) [F (u) : F ] = n = degp(x).
Chứng minh
(i) Giả sử đa thức f(x) ∈ F [u].
Khi đó f(u) ∈ F[x] và ánh xạ ϕ: F (x) −→ F [u] cho bởi f(x) −→ f(u) là
một đồng cấu vành. Từ định lí 2.8 ta suy ra kerϕ = (p(x)). Vậy F[x]/(p(x))
∼
=
Imϕ = F[u] ⊂ F (u). Vì p(x) bất khả quy nên F [x]/(p(x)) là một trường.
Do đó F[u] là một trường chứa F và u. Vậy F(u) ⊂ F[u]. Suy ra F(u) =
F [u] đẳng cấu với F [x]/(p(x)).
(ii) Do F (u) = F [u] nên mọi phần tử của F (u) đều có dạng f(u) với

f(x) ∈ F [x]. Giả sử degp(x) = n. Lấy f(x) chia cho p(x) ta nhận được
f(x) = p(x).q(x) + r(x), trong đó r(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ···+ a
n−1
x
n−1
∈ F [x].
Khi đó:
f(u) = p(u).q(u) + r(u) = 0.q(u) + r(u)
= a
0
+ a
1
u + a
2
u
2
+ ··· + a
n−1
u
n−1
.
Vậy {1, u, . . . , u

n−1
} là một hệ sinh của F (u) trên F . Ta còn phải chứng
minh tập {1, u, . . . , u
n−1
} là độc lập tuyến tính.
21
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Giả sử c
0
+ c
1
u + c
2
u
2
+ ···+ c
n−1
u
n−1
= 0 với c
i
∈ F (i = 0, 1, . . . , n −1).
Khi đó u là nghiệm của đa thức g(x) = c
0
+ c
1
u + c
2
u
2

+ ···+ c
n−1
u
n−1
∈
F [x] (degg(x) ≤ n−1) chia hết cho p(x) (degp(x) = n). Điều này chỉ xảy ra
nếu g(x) = 0, suy ra c
i
= 0 với mọi i = 0, 1, . . . , n −1. Vậy {1, u, . . . , u
n−1
}
độc lập tuyến tính và do đó nó là một cơ sở của F(u) trên F .
(iii) Suy ra từ (ii).
Ví dụ
(i)Đa thức tối tiểu của
√
2 trên Q là x
2
− 2.
Ta có Q(
√
2)
∼
=
Q[x]/(x
2
− 2) và {1,
√
2} là một cơ sở của Q(
√

2) trên Q,
[Q(
√
2) : Q] = 2.
(ii) Đa thức tối tiểu của
√
2+
√
3 trên Q là x
4
−10x+1, [Q(
√
2+
√
3) : Q]
= 4 và {1,
√
2+
√
3, (
√
2+
√
3)
2
, (
√
2+
√
3)

3
} là một cơ sở của Q(
√
2+
√
3)
trên Q.
Cho K là một mở rộng của trường F và u, v ∈ K. Nếu u, v là hai
nghiệm của cùng một đa thức tối tiểu p(x) trên F thì F (u)
∼
=
F (v) bởi vì
chúng cùng đẳng cấu với F [x]/(p(x)). Tuy nhiên để có ứng dụng rộng hơn
ta cần mở rộng các tính chất này.
Giả sử F và E là các trường và σ: F −→ E là một đẳng cấu. Khi đó
ánh xạ F [x] −→ E[x] cho bởi:
f(x) = a
0
+ ··· + a
n
x
n
−→ σf(x) = σ(a
0
) + ··· + σ(a
n
)x
n
cũng là một đẳng cấu. Dễ thấy nếu đa thức p(x) là một đa thức bất khả
quy trong F[x] thì σp(x) cũng là một đa thức bất khả quy trong E[x]. Ta

có các hệ quả sau.
Hệ quả 2.10
Cho σ: F −→ E là một đẳng cấu. Giả sử u là một phần tử đại số của
một mở rộng nào đó trên F và p(x) là một đa thức tối tiểu của u trên F ,
giả sử v là một phần tử đại số của một mở rộng nào đó trên E và σp(x) là
đa thức tối tiểu của v trên E. Khi đó tồn tại một đẳng cấu σ: F(u) −→
E(u) sao σ(u) = v và σ(c) = σ(c) với mọi c ∈ F.
Hệ quả 2.11
Giả sử K là một mở rộng trường của trường F và u, v ∈ K là hai
nghiệm của cùng một đa thức tối tiểu p(x) trên F. Khi đó tồn tại một
đẳng cấu τ: F(u) −→ F (v) sao cho τ(u) = v và τ (c) = c với mọi c ∈ F.
22
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Ví dụ
Theo tiêu chuẩn Eisenstein với p = 2 thì đa thức x
3
− 2 bất khả quy
trên Q. Nghiệm của x
3
− 2 là
3
√
2,
3
√
2ω,
3
√
2 ω
2

, với ω = (−1 +
√
3i)/2.
Theo hệ quả 2.11 ta có các đẳng cấu id: Q(
3
√
2)
∼
=
Q(
3
√
2), σ: Q(
3
√
2)
∼
=
Q(
3
√
2ω) và τ: Q(
3
√
2)
∼
=
Q(
3
√

2ω
2
) sao cho: σ(
3
√
2) =
3
√
2ω, τ(
3
√
2) =
3
√
2ω
2
và σ(c) = c, τ(a) = a với mọi c, a ∈ Q.
2.3 Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số
2.3.1 Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số
Định nghĩa 2.12
Nếu [K : F] hữu hạn thì ta gọi K : F là một mở rộng hữu hạn. Nếu
[K : F] không hữu hạn thì ta gọi K : F là mở rộng vô hạn.
Ví dụ
(i) Trường số phức C là một mở rộng bậc 2 của trường số thực R.
(ii) Trường Q[
√
2] = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q} là một mở rộng bậc 2 của
trường số hữu tỉ Q. Tương tự trường Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q} là mở rộng

bậc 2 của Q.
(iii) C(x) là một mở rộng vô hạn của trường số phức C vì C(x) có cơ
sở là 1, x
2
, . . . hay C(x) có số chiều là vô hạn.
Định lí 2.13
Cho một tháp các trường F ⊂ E ⊂ K. Khi đó K là một mở rộng hữu
hạn của F nếu và chỉ nếu K là một mở rộng của E và E là một mở rộng
hữu hạn của F . Hơn nữa, [K : F ] = [K : E].[E : F].
Chứng minh
Giả sử [K : E] = s và [E : F ] = r. Khi đó tồn tại một cơ sở
{v
1
, v
2
, . . . , v
s
} của K trên E và một cơ sở {w
1
, w
2
, . . . , w
r
} của E trên
F . Ta cần chỉ ra rằng {v
i
w
j
| 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ r} là một cơ sở của K
trên F .

Thật vậy, do K = Ev
1
+Ev
2
+···+Ev
s
và E = F w
1
+F w
2
+···+F w
r
nên K =

F v
i
w
j
và rút ra {v
i
w
j
| 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ r} là một hệ sinh
23
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
của F − không gian vectơ K. Bây giờ ta giả sử rằng
0 =

a
ij

v
i
w
j
=

i
(

j
a
ij
w
j
)v
i
Do {v
1
, v
2
, . . . , v
s
} là một cơ sở của E- không gian vectơ K nên

j
a
ij
w
j
= 0

Mặt khác, do {w
1
, w
2
, . . . , w
r
} là một cơ sở của E trên F nên kéo theo các
a
ij
= 0. Vậy hệ {v
i
w
j
| 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ r} là độc lập tuyến tính và
do đó hệ này là một cơ sở của F-không gian vectơ K. Vậy ta nhận được
[K : F] = [K : E].[E : F ].
Hệ quả 2.14
Cho một tháp các trường F = F
1
⊂ F
2
⊂ . . . F
n
= K. Khi đó nếu K
là một mở rộng hữu hạn của F thì [K : F ] = [K : F
n−1
] . . . [F
2
: F
1

].
Định lí 2.15
Giả sử K là một mở rộng của F và X ⊂ K. Khi đó F (X) gồm các
phần tử có dạng:
f(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
g(v
1
, v
2
, . . . , v
m
)
trong đó u
i
, v
j
∈ X, g(v
1
, v
2
, . . . , v
m
) = 0 và f(u
1

, u
2
, . . . , u
n
), g(v
1
, v
2
, . . . , v
m
)
là các đa tức trên F .
Chứng minh
Đặt E là tập tất cả các phần tử có dạng trên. Ta thấy rằng mọi trường
chứa F và X thì nó phải chứa tập E. Do đó E ⊂ F (X) (1).
Giả sử f, g ∈ F [x
1
, x
2
, . . . , x
n
] và f
1
, g
1
∈ F [x
1
, x
2
, . . . , x

m
]. Ta định
nghĩa hai đa thức h, h
1
∈ F [x
1
, x
2
, . . . , x
n+m
] như sau:
h(x
1
, . . . , x
n+m
) = f(x
1
, . . . , x
n
)g
1
(x
n+1
, . . . , x
n+m
−
g(x
1
, . . . , x
n

)f
1
(x
n+1
, . . . , x
n+m
)
h
1
(x
1
, . . . , x
n+m
) = g(x
1
, . . . , x
n
)g
1
(x
n+1
, . . . , x
n+m
)
Khi đó với mọi u
1
, u
2
, . . . , u
n

, v
1
, v
2
, . . . , v
m
∈ X sao cho g(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) =
0, g
1
(v
1
, v
2
, . . . , v
m
) = 0. Ta có:
f(u
1
, . . . , u
n
)
g(u
1
, . . . , u

n
)
−
f
1
(v
1
, . . . , v
m
)
g
1
(v
1
, . . . , v
m
)
=
h(u
1
, . . . , u
n
, v
1
, . . . , v
m
)
h
1
(u

1
, . . . , u
n
, v
1
, . . . , v
m
))
24
Lý thuyết mở rộng trường Hoàng Thị May
Do đó E lập thành một nhóm đối với phép cộng. Tương tự các phần tử
khác 0 của E lập thành một nhóm đối với phép toán nhân. Vậy E là một
trường. Vì X ⊂ E và F ⊂ E nên X ∪F ⊂ E. Suy ra F (X) ⊂ E (2).
Từ (1) và (2) suy ra E = F (X). đpcm
Định nghĩa 2.16
Giả sử K là một mở rộng của trường F . Trường K được gọi là một mở
rộng đại số của F nếu mọi phần tử của K đều đại số trên F .
Ví dụ
(i) Trường Q(
√
2) là một mở rộng đại số của trường số hữu tỉ Q.
(ii) Trường số phức C là một mở rộng đại số của trường số thực R.
(iii) Các trường C và R không là mở rộng đại số của trường số hữu tỉ
Q.
Mỗi phần tử u ∈ K đại số trên F đều thuộc vào một trường mở rộng
của F có bậc hữu hạn (đó là trường F (u)). Ngược lại, nếu cho trước một
mở rộng hữu hạn của trường F ta có định lí sau:
Định lí 2.17
Cho K là một mở rộng hữu hạn của trường F . Khi đó K là một mở
rộng đại số của F .

Chứng minh
Giả sử [K : F ] = n. Lấy u bất kì thuộc K. Ta phải chứng minh u là
một nghiệm của một đa thức nào đó trên F .
Thật vậy, hệ {1, u, u
2
, . . . , u
n
} gồm có n + 1 phần tử nên nó phụ thuộc
tuyến tính. Khi đó tồn tại các phần tử a
i
∈ F (i = 0, 1, . . . , n) không đồng
thời bằng 0 để a
0
+ a
1
u + ··· + a
n
u
n
= 0. Do đó u là nghiệm của đa thức
khác không a
0
+ a
1
x + ··· + a
n
x
n
∈ F [x]. Vậy K là một mở rộng đại số
trên F .

Chú ý
Nếu K là một mở rộng của F và K chứa một phần tử siêu việt u trên
F thì K phải là một mở rộng bậc vô hạn của F . Chẳng hạn, C và R là
các mở rộng bậc vô hạn của Q vì chúng chứa các phần tử siêu việt e, π.
Định lí 2.18
Giả sử K là một mở rộng hữu hạn của trường F . Khi đó K là một mở
rộng hữu hạn sinh trên F .
25