Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
Mục lục
Mở đầu 2
Chương 1. Kiến thức cơ sở 5
1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . 5
1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai . . . . . . 7
1.3. Giải phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Khái niệm về chuỗi và tích phân Fourier . . . . . . . . . . 16
1.5. Các hệ toạ độ cong trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 2. Phương trình hyperbolic 26
2.1. Đặt bài toán. Định lí duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . 26
2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng . . . . 29
2.2.1. Phương trình chuyển dịch . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng 30
2.2.3. Nghiệm của bài toán Cauchy - Công thức D’Alember 31
2.3. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng . . . . 34
2.3.1. Các bài toán biên đối với phương trình truyền sóng 34
2.3.2. Sử dụng phương pháp Fouier giải bài toán hỗn hợp 34
Chương 3. Ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật
lí 38
3.1. Phương trình dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Dao động xoắn của một thanh đồng chất . . . . . . . . . 51
3.3. Sóng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4. Sóng điện và từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Kết luận 74
Tài liệu tham khảo 75
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực
mới có khá nhiều ứng dụng trong thực tế cũng như trong toán học và các

môn học khác. Đặc biệt phải kể đến mối quan hệ mật thiết giữa lý thuyết
phương trình đạo hàm riêng với bộ môn vật lí - một trong những nét đặc
thù cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.
” Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng thường gặp
trong vật lí đã dẫn tới một ngành mới của giải tích - phương trình vật lí
toán vào cuối thế kỷ XVIII. Những người đặt nền móng cho ngành khoa học
này phải kể đến các nhà toán học: J. D’Alembert, L. Euler, P. Laplace,
Các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của các nhà toán học đó khi xem
xét các bài toán cụ thể của vật lí toán có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát
triển lý thuyết tổng quát của phương trình đạo hàm riêng vào cuối thế kỷ
XIX ” ([1, tr 12]).
” Khi nghiên cứu các phương trình vật lí toán thường nảy sinh ra các
phương pháp, chẳng hạn phương pháp Fourier, phương pháp Riesz ” ([1,
tr 13]). ” Tính hữu hiệu của việc áp dụng các phương pháp này vào các vấn
đề vật lí đòi hỏi lập luận toán học chặt chẽ. Và để nhận được các phương
trình từ các hiện tượng vật lí đòi hỏi phải bỏ qua các yếu tố thứ yếu của
hiện tượng, tức là phương trình chỉ mô tả các quy luật vật lí cơ bản (Định
luật bảo toàn năng lượng, động lượng, khối lượng, ) bằng cách đó có thể
nhận được các phương trình mô tả các hiện tượng vật lí trong điện động
lực hoc, thuỷ động học, lý thuyết đàn hồi và các lĩnh vực khác. Việc nghiên
cứu các hiện tượng vật lí nhờ các mô hình toán học cho phép nhận biết
không chỉ mặt định lượng mà cả bản chất các hiện tượng vật lí” ([1, tr 14]).
Ta đã biết mối liên hệ giữa các đại lượng vật lí trong tự nhiên là
phức tạp nhưng chúng đều có quy luật và mục đích của con nguời là tìm
ra được các mối liên hệ có quy luật đó bằng rất nhiều các phương pháp
khác nhau. Và các mối liên hệ giữa các đại lượng thường được thể hiện
qua các phương trình toán lí. Cho đến nay người ta phân loại các phương
2
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
trình toán lí theo học phần phương trình đạo hàm riêng bởi lẽ nó phù hợp

với phương pháp giải. Cụ thể có ba phương trình đạo hàm riêng cơ bản:
Phương trình hyperbolic, phương trình parabolic, phương trình eliptic. Và
mỗi loại phương trình đều có nhiều ứng dụng trong vật lí.
” Phương trình hyperbolic hay còn gọi là phương trrình truyền sóng
được thiết lập dựa trên cơ sở nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng,
sóng âm, sóng tạo ra do thuỷ chiều, sóng đàn hồi, sóng điện từ trường
nó đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo
hàm riêng” ([3]). Vào năm 1747, J.D’ Alembert đã đưa ra phương trình dao
động của dây và nhận được công thức biểu diễn nghiệm tổng quát của nó
và đây chính là nền móng cho việc nghiên cứu về phương trình hyperbolic.
Qua học phần phương trình đạo hàm riêng đã giúp nắm được một
số phương pháp giải phương trình hyperbolic như phương pháp Fourier
(phương pháp tách biến), phương pháp năng lượng Tuy nhiên hầu như
chúng ta mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng phương trình hyperbolic và các
bài toán về phương trình hyperbolic mà chưa thành thạo trong việc ứng
dụng phương trình hyperbolic vào giải các bài tập vật lí như các bài toán
dao động của dây, dao động xoắn của một thanh đồng chất, sóng điện và
từ
Với mong muốn khai thác nhiều hơn những ứng dụng của phương trình
hyperbolic vào việc giải các bài toán vật lí trên cơ sở nắm được điều kiện
ban đầu, điều kiện biên, phương pháp giải các phương trình hyperbolic.
Tôi chọn đề tài: “ Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí ” cho
khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận là tổng hợp và hệ thống hoá các kiến thức
về phương trình đạo hàm riêng, đăc biệt là về phương trình hyperbolic.
Đồng thời khoá luận còn tổng hợp, phân tích đưa ra những ví dụ và bài
tập nhằm làm rõ những ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật
lí.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức liên quan đến phương trình
đạo hàm riêng, phương trình hyperbolic và ứng dụng của phương trình
hyperbolic trong vật lí.
- Phạm vi nghiên cứu: Phương trình hyperbolic và một số ứng dụng
của phương trình hyperbolic trong vật lí.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
3
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
- Nghiên cứu các kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nói chung
và phương trình hyperbolic nói riêng.
- Nghiên cứu các ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí.
- Tổng hợp nghiên cứu và đưa ra các ví dụ minh hoạ để làm rõ từng
ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu, giáo trình liên quan
đến phương trình đạo hàm riêng, phương trình hyperbolic và các ứng dụng
của phương trình hyperbolic trong vật lí.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các
kiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách khoa học, đầy đủ và chính xác.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Ý nghĩa khoa học: Nội dung của khoá luận là tổng hợp các kiến thức
có liên quan đến phương trình hyperbolic, hệ thống, phân tích làm rõ các
ứng dụng của nó trong vật lí.
- Ý nghĩa thực tiễn: Khoá luận góp thêm một tài liệu tham khảo cho
các sinh viên chuyên ngành toán, sinh viên kỹ thuật, vật lí và cả các giáo
viên có nhu cầu tìm hiểu thêm về phương trình đạo hàm riêng nói chung
và phương trình hyperbolic nói riêng.
4
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng
1.1.1 Khái niệm
Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x
1
, x
2
, , x
n
), các biến độc
lập x
i
và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình (vi phân)
đạo hàm riêng. Nó có dạng
F

x, u(x),
∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
n
, ,
∂
k
u
∂x
1
k

1
∂x
n
k
n

= 0.
trong đó F là một hàm nào đó của các đối số,
x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, u(x) = u(x
1
, x
2
, , x
n
).
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được
gọi là cấp của phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính
đối với hàm ẩn và các đạo hàm riêng của nó.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến
tính đối với tất cả các đạo hàm riêng cấp cao nhất của hàm ẩn.
Ví dụ 1.1.

Phương trình:
a(x, y)
∂
2
u
∂x
2
+2b(x, y)
∂
2
u
∂x∂y
+c(x, y)
∂
2
u
∂y
2
+d(x, y)
∂u
∂x
+e(x, y)
∂u
∂y
+f(x, y)u = g(x, y).
là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
5
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
Ví dụ 1.2. Phương trình:
a(x, y, u, u

x
, u
y
)
∂
2
u
∂x
2
+ 2b(x, y, u, u
x
, u
y
)
∂
2
u
∂x∂y
+ c(x, y, u, u
x
, u
y
)
∂
2
u
∂y
2
+ d(x, y, u, u
x

, u
y
) = 0
là phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính.
*Một số kí hiệu
. Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho 0 ≤ k ≤ +∞. Tập
hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω kí hiệu
là C
k
(Ω).
. D
α
u(x) =
∂
|α|
u
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n

, ở đó α = (α
1
, α
2
, , α
n
), |α| = α
1
+ α
2
+
+ α
n
.
1.1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu
*Phương trình Laplace
Do Laplace đưa ra vào khoảng năm 1780
−∆u = λu.
* Phương trình Helmholtz
Do Laplace nghiên cứu vào năm 1860
∆u =
n

i=1
u
x
i
x
i
= 0, x ∈ R

n
* Phương trình chuyển dịch tuyến tính
u
t
+
n

i=1
b
i
u
x
i
= 0
* Phương trình Liouville
Được nghiên cứu vào khoảng năm 1851
u
t
−
n

i=1
(b
i
u)
x
i
= 0
6
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh

* Phương trình truyền nhiệt
Được Fourier công bố vào năm 1810 - 1822
u
t
= ∆u
* Phương trình Schrodinger (1926)
iu
t
+ ∆u = 0
* Phương trình truyền sóng
Được D’Lembert đưa ra năm 1752
u
tt
− ∆u = 0
và dạng tổng quát
u
tt
−
n

i,j=1
a
ij
u
x
i
x
j
+
n


i=1
b
i
u
x
i
= 0
1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai
1.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai tổng quát
Xét trong miền Ω ⊂ R
n
phương trình tuyến tính cấp hai
n

i,j=1
a
ij
(x)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
+
n

i=1

a
i
(x)
∂u
∂x
i
+ a(x)u = f(x) (1.1.1)
trong đó các hệ số a
ij
, i, j = 1, , n là các hàm thực.
Dùng phép biến đổi, ta đưa phương trình (1.1.1) về dạng chính tắc
∂
2
v
∂ξ
1
∂ξ
1
+ +
∂
2
v
∂ξ
n
+
∂ξ
n
+
−
∂

2
v
∂ξ
n
+
+1
∂ξ
n
+
+1
−
−
∂
2
v
∂ξ
n
+
+n
−
∂ξ
n
+
+n
−
+ F (ξ, v,
∂v
∂ξ
1
, ,

∂v
∂ξ
n
) = 0 (1.1.2)
trong đó n
+
, n
−
, n
0
tương ứng là số các nghiệm thực của phương trình
det||a
ij
(x) − λ(x)δ
ij
||
n
i,j=1
= 0 có giá trị dương, âm, bằng không. Đây là
dạng chính tắc của phương trình (1.1.1).
- Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình ( loại ) elliptic tại điểm
x
0
nếu n
+
= n hoặc n
−
= n. Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình
7
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh

elliptic trên miền Ω ⊂ R
n
nếu nó là phương trình elliptic tại mỗi điểm của
Ω.
- Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình ( loại ) hyperbolic tại
điểm x
0
nếu n
+
= n − 1, n
−
= 1 hoặc n
−
= n − 1, n
+
= 1. Phương trình
(1.1.1) được gọi là phương trình hyperbolic trên miền Ω ⊂ R
n
nếu nó là
phương trình hyperbolic tại mỗi điểm của Ω.
- Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình ( loại ) parabolic tại
điểm x
0
nếu n
0
> 0. Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình parabolic
trên miền Ω ⊂ R
n
nếu nó là phương trình parabolic tại mỗi điểm của Ω.
1.2.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai trong trường

hợp hai biến
Xét phương trình
a(x, y)
∂
2
u
∂x
2
+ 2b(x, y)
∂
2
u
∂x∂y
+ c(x, y)
∂
2
u
∂y
2
+ F (x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
) = 0. (1.1.3)
trong đó a, b, c là các hàm không đồng thời bằng không trong một lân cận
U ⊂ R
2
nào đó.

Xét phương trình




a −λ b
b c −λ




= λ
2
− (a + c)λ + ac −b
2
= 0
- Nếu b
2
−ac > 0 thì phương trình (1.1.3) là phương trình hyperbolic.
- Nếu b
2
− ac = 0 thì phương trình (1.1.3) là phương trình parabolic.
- Nếu b
2
− ac < 0 thì phương trình (1.1.3) là phương trình eliptic.
Nhờ phép đổi biến
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y)
với
a


∂ξ
∂x

2
+ 2b
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
+ c

∂ξ
∂y

2
= 0,
a

∂η
∂x

2
+ 2b
∂η
∂x
∂η
∂y
+ c

∂η

∂y

2
= 0
ta đưa phương trình (1.1.3) về dạng chính tắc. Phương trình
a(y

)
2
− 2by

+ c = 0, (1.1.4)
được gọi là phương trình vi phân đăc trưng đối với phương trình (1.1.3).
8
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
1.2.3 Đưa về dạng chính tắc phương trình đạo hàm riêng cấp
hai
Bổ đề 1.1. ([1]). Nếu z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình
az
2
x
+ 2bz
x
z
y
+ cz
2
y
= 0 (1.1.5)
thì hệ thức

ϕ(x, y) = C, C ∈ R
xác định nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường
ady
2
− 2bdxdy + cdx
2
= 0 (1.1.6)
Ngược lại, nếu ϕ(x, y) = C là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.5)
thì hàm z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình (1.1.5)
Đường cong tích phân ϕ(x, y) = C được gọi là đường cong đặc trưng
của phương trình (1.1.3).
* Trường hợp b
2
− ac > 0 trong lân cận U
- Nếu a = 0. Khi đó, phương trình (1.1.4) có hai nghiệm thực đối với
y

, hay viết dưới dạng tích phân tổng quát
ϕ
1
(x, y) = C
1
, ϕ
2
(x, y) = C
2
Đặt
ξ = ϕ
1
(x, y), η = ϕ

2
(x, y)
thay vào phương trình
a
1
(ξ, η)u
ξξ
+ 2b
1
(ξ, η)u
ξη
+ c
1
(ξ, η)u
ηη
+ F
1
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0
thì a
1
= c
1
= 0 và b
1
= 0 nên phương trình ban đầu sẽ có dạng chính tắc
u

ξη
= F
∗
1
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) (1.1.7)
- Nếu a = 0 thì ta có ngay u
xy
= F
∗
(x, y, u, u
x
, u
y
).
Thực hiện phép đổi biến ξ = α − β, η = α + β thì dạng chính tắc
của phương trình (1.1.7) có dạng
u
αα
− u
ββ
= Φ(α, β, u, u
α
, u
β
) (1.1.8)
Ví dụ 1.3.

Đưa về dạng chính tắc phương trình sau:
u
xx
− 7u
xy
+ 12u
yy
+ u
x
− 2u
y
− 3u = 0
9
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
Phương trình đường cong đặc trưng y
2
+ 7y

+ 12 = 0 có biệt thức
∆ = 1 > 0.
Áp dụng bổ đề 1.1 ta được nghiệm của phương trình đặc trưng là
y

= −3 và y

= −4. Do đó hai đường cong tích phân tổng quát là
y + 3x = C
1
; y + 4x = C
2

Đặt ξ = y + 3x, η = y + 4x ta có phương trình chính tắc là
u
ξη
+ u
ξ
+ 2u
η
+ 3u = 0
* Trường hợp b
2
− ac < 0 trong lân cận U
Khi đó, phương trình (1.1.4) có hai nghiệm phức liên hợp đối với y

,
hay viết dưới dạng tích phân tổng quát
ϕ
1
(x, y) = C
1
, ϕ
2
(x, y) = C
2
Đặt
ξ = ϕ
1
(x, y), η = ϕ
2
(x, y)
thay vào phương trình

a
1
(ξ, η)u
ξξ
+ 2b
1
(ξ, η)u
ξη
+ c
1
(ξ, η)u
ηη
+ F
1
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0
thì a
1
= c
1
= 0.
Đặt
α =
1
2
(ϕ
1

(x, y) + ϕ
2
(x, y)), β =
1
2i
(ϕ
1
(x, y) −ϕ
2
(x, y))
ta được phương trình sẽ có dạng
a
2
u
αα
+ 2b
2
u
αβ
+ c
2
u
ββ
+ F
2
(α, β, u, u
α
, u
β
) = 0 (1.1.9)

với a
2
= c
2
, b
2
= 0 và a
2
c
2
− b
2
2
> 0 thì dạng chính tắc của phương trình
(1.1.9) có dạng
u
αα
+ u
ββ
= Φ(α, β, u, u
α
, u
β
) (1.1.10)
Ví dụ 1.4. Đưa về dạng chính tắc phương trình sau:
u
xx
+ 2u
xy
+ 5u

yy
− 2u
x
+ 3u
y
= 0
Phương trình đường cong đặc trưng y
2
− 2y

+ 5 = 0 có biệt thức
∆ = −4 < 0.
10
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
Áp dụng bổ đề 1.1 ta được nghiệm của phương trình đặc trưng là
y

= 1 + 2i và y

= 1 − 2i. Do đó hai đường cong tích phân tổng quát là
y −x −2ix = C
1
; y −x + 2ix = C
2
Đặt ξ = y − x, η = −2x ta có phương trình chính tắc là
u
ξξ
+ u
ηη
+

1
25
(u
ξ
+ 4u
η
) = 0
* Trường hợp b
2
− ac = 0 trong lân cận U
- Nếu b = 0 thì a = 0 hoặc c = 0 nên phương trình có dạng
u
αα
= Φ(α, β, u, u
α
, u
β
)
- Nếu b = 0. Khi đó, phương trình (1.1.4) có nghiệm kép đối với y

, hay
viết dưới dạng tích phân tổng quát
ϕ(x, y) = C
Đặt
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y)
với ψ(x, y) tùy ý thỏa mãn
D(ϕ, ψ)
D(x, y)
= 0
thay vào phương trình

a
1
(ξ, η)u
ξξ
+ 2b
1
(ξ, η)u
ξη
+ c
1
(ξ, η)u
ηη
+ F
1
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0
thì a
1
= b
1
= 0 và c
1
= 0 nên phương trình ban đầu sẽ có dạng chính tắc
u
ηη
= Φ(ξ, η, u, u
ξ

, u
η
) (1.1.11)
Ví dụ 1.5. Đưa về dạng chính tắc phương trình sau:
u
xx
+ 4u
xy
+ 4u
yy
+ 5u
x
+ u
y
+ 12u = 0
Phương trình đường cong đặc trưng y
2
+ 4y

+ 4 = 0 có biệt thức ∆ = 0.
Áp dụng bổ đề 1.1 ta được nghiệm của phương trình đặc trưng là
y

= −2. Do đó đường cong tích phân tổng quát là
y + 2x = C
Đặt ξ = y + 2x, η = y ta có phương trình chính tắc là
4u
ηη
+ 10u
ξ

+ u
ξ
+ u
η
+ 12u = 0
hay u
ηη
+
11
4
u
ξ
+
1
4
u
η
+ 3u = 0.
11
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
1.3 Giải phương trình vi phân cấp 2
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có dạng:
a
0
(x)
∂
2
y
∂x
2

+ a
1
(x)
∂y
∂x
+ a
2
(x) = 0, a ≤ x ≤ b.
Giả sử

y
1
(x), y
2
(x)

là tập nghiệm cơ bản của phương trình vi phân
thuần nhất tuyến tính cấp 2
L(y) = a
0
(x).
∂
2
y
∂x
2
+ a
1
(x).
∂y

∂x
+ a
2
(x).y = 0
Suy ra nghiệm tổng quát có dạng
y
c
= C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) (1.2.1)
trong đó: C
1
, C
2
là các hằng số tuỳ ý. Dùng phương pháp biến thiên hằng
số tìm một nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất
L(y) = a
0
(x).
∂
2
y
∂x
2

+ a
1
(x).
∂y
∂x
+ a
2
(x).y = F (x), (1.2.2)
có dạng
y
p
= u(x).y
1
(x) + v(x).y
2
(x) (1.2.3)
trong đó: u(x) và v(x) là các hàm thay thế hằng số C
1
, C
2
trong (1.2.1).
Các hàm u, v cần tìm để thoả mãn hệ phương trình



u

(x)y
1
(x) + v


(x)y
2
(x) = 0
u

(x)y

1
(x) + v

(x)y

2
(x) =
F (x)
a
0
(x)
a
0
(x) = 0 (1.2.4)
Dùng quy tắc Cramer giải hệ (1.2.4) đối với u

và v

ta được:
u

(x) =

du
dx
=






0 y
2
(x)
F (x)
a
0
(x)
y

2
(x)











y
1
(x) y
2
(x)
y

1
(x) y

2
(x)




;
v

(x) =
dv
dx
=






y

1
(x) 0
y

1
(x)
F (x)
a
0
(x)










y
1
(x) y
2
(x)
y

1
(x) y


2
(x)




.
12
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
hay
du
dx
=
−y
2
(x)F (x)
a
0
(x)W (x)
;
dy
dx
=
y
1
(x)F (x)
a
0
(x)W (x)
(1.2.5)

trong đó W (x) =




y
1
(x) y
2
(x)
y

1
(x) y

2
(x)




, là định thức Wronskian.
Các phương trình (1.2.5) sau khi lấy tích phân sẽ thu được các hàm
u(x) và v(x):
u = u(x) = −
x

α
y
2

(ξ)F (ξ)
a
0
(ξ)W (ξ)
dξ
v = v(x) = −
x

α
y
1
(ξ)F (ξ)
a
0
(ξ)W (ξ)
dξ (1.2.6)
trong đó α là hằng số nào đó.
Như vậy, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có một
nghiệm riêng tìm được là:
y
p
= y
p
(x) = y
1
(x)
x

α
−y

2
(ξ)F (ξ)
p(ξ)W (ξ)
dξ + y
2
(x)
x

α
y
1
(ξ)F (ξ)
p(ξ)W (ξ)
dξ
=
x

α
[y
2
(x)y
1
(ξ) − y
1
(x)y
2
(ξ)] F (ξ)
p(ξ)W (ξ)
dξ (1.2.7)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = y
c
+ y
p
= C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) +
x

α
[y
2
(x)y
1
(ξ) − y
1
(x)y
2
(ξ)] F (ξ)
p(ξ)W (ξ)
dξ
(1.2.8)
Một trong những phương trình vi phân cấp 2 có cách giải đơn giản là:
d

2
F
d(x
2
)
+ λF = 0 (1.2.9)
Phương trình này xuất hiện do việc nghiên cứu của nhiều phương trình
vi phân đạo hàm riêng trong toạ độ Descartes đối với các hiện tượng vật lí
13
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
và kĩ thuật. Phương trình vi phân (1.2.9) chứa tham số λ, vì thế ta sẽ xét
3 trường hợp của tham số: âm, dương và bằng không.
* Trường hợp 1: λ = −ω
2
(ω > 0)
Phương trình vi phân có dạng
d
2
F
dx
2
− ω
2
F = 0
là phương trình vi phân cấp 2 với hệ số là hằng số, vì thế người ta có thể
giả thiết nó có một nghiệm mũ F = e
mx
; ta có phương trình đặc trưng là
m
2

+ ω
2
= 0 với nghiệm đặc trưng

m = ω
m = −ω
và tập nghiệm cơ bản là
{e
ωx
, e
−ωx
}. Nếu biết được tập ngiệm cơ bản của các nghiệm, có thể tạo
nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập vô hạn
các nghiệm khác
F (x) = C
1
e
ωx
+ C
2
e
−ωx
trong đó C
1
, C
2
là các hằng số tuỳ ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ
sung là điều kiện ban đầu hoặc là điều kiện biên.
Từ tính tuỳ ý của C
1

, C
2
có thể viết nghiệm dưới nhiều cách như:
F (x) = C
1
e
ωx
+ C
2
e
−ωx
F (x) = C
1
e
ω(x−x
0
)
+ C
2
e
−ω(x−x
0
)
F (x) = C
1
shωx + C
2
chωx
F (x) = C
1

shω(x −x
0
) + C
2
chω(x −x
0
)
với C
1
, C
2
, x
0
là các hằng số tuỳ ý.
* Trường hợp 2: λ = 0
Nghiệm phương trình vi phân
d
2
F
dx
2
= 0 có các dạng sau:
F (x) = C
1
+ C
2
(x)
F (x) = K
1
+ K(x −x

0
)
* Trường hợp 3: λ = ω
2
> 0(ω > 0)
Phương trình vi phân
d
2
F
dx
2
+ ω
2
F = 0 là phương trình vi phân cấp 2
với hệ số là hằng số, vì thế có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ F = e
mx
,
ta có phương trình đặc trưng m
2
+ ω
2
= 0 với các nghiệm đặc trưng
14
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh

m = iω
m = −iω
vậy tập nghiệm cơ bản là

e

iωx
, e
−iωx

. Nếu biết đựơc tập
nghiệm cơ bản có thể tạo nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này
và sinh ra một tập vô hạn các nghiệm khác
F (x) = C
1
e
iωx
+ C
2
e
−iωx
trong đó C
1
, C
2
là các hằng số tuỳ ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ
sung là điều kiện ban đầu hoặc là điều kiện biên. Từ tính tuỳ ý của C
1
, C
2
có thể viết nghiệm dưới nhiều cách như sau
F (x) = C
1
e
iωx
+ C

2
e
−iωx
F (x) = C
1
e
iω(x−x
0
)
+ C
2
e
−iω(x−x
0
)
F (x) = C
1
sin ωx + C
2
cos ωx
F (x) = C
1
sin ω(x −x
0
) + C
2
cos ω(x −x
0
)
với C

1
, C
2
, x
0
là các hằng số tuỳ ý.
1.4 Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier
1.4.1 Khái niệm
Tập các hàm

1, sin
nπx
L
, cos
nπx
L

là các hàm riêng trực giao nhau
trong khoảng (−L, L). Hàm f(x) được gọi là hàm trơn từng khúc trong
một khoảng nào đó, có nghĩa là khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng
nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đó hàm f(x) và đạo hàm f

(x) liên tục.
Tập hợp các hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng
khúc f(x) dưới dạng chuỗi
f(x) = a
0
+
∞


n=1

a
n
cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L

(1.3.1)
được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng
(−L, L). Các hằng số a
o
, a
n
, b
n
được gọi là các hệ số Fourier của chuỗi. Từ
tính trực giao của tập

e
iωx
, e
−iωx

có thể tìm được các hệ số Fourier như

15
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
sau:
a
0
=
(f, 1)
||1||
2
=
1
2L
L

−L
f(x)dx (1.3.2 a)
a
n
=
(f, cos
nπx
L
)






cos

nπx
L






2
=
1
L
L

−L
f(x) cos
nπx
L
dx (1.3.2 b)
b
n
=
(f, sin
nπx
L
)







sin
nπx
L






2
=
1
L
L

−L
f(x) sin
nπx
L
dx (1.3.2 c)
Ví dụ 1.6. Tìm biểu diễn chuỗi lương giác Fourier của hàm f(x) = e
x
trong khoảng xác định (−L, L).
Giải:
Theo công thức (1.3.2 a), (1.3.2 b), (1.3.2 c) các hệ số Fourier của khai
triển trên có dạng:
a
0

=
(f, 1)
||1||
2
=
1
2L
L

−L
e
x
dx =
1
L
shL
a
n
=
(f, cos
nπx
L
)






cos

nπx
L






2
=
1
L
L

−L
e
x
cos
nπx
L
dx =
2L(−1)
n
shL
L
2
+ n
2
π
2

b
n
=
(f, sin
nπx
L
)






sin
nπx
L






2
=
1
L
L

−L
e

x
sin
nπx
L
dx =
−2nπ(−1)
n
shL
L
2
+ n
2
π
2
Do đó biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier của hàm f(x) = e
x
trong
khoảng xác định (−L, L) có dạng:
e
x
=
1
L
shL +
∝

n=1

2L(−1)
n

shL
L
2
+ n
2
π
2
cos
nπx
L
−
2nπ(−1)
n
shL
L
2
+ n
2
π
2
sin
nπx
L

.
1.4.2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
1) Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:
- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L
16
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh

- Hàm f(x) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn
các điểm gián đoạn trong khoảng(−L, L).
2) Giả sử khoảng (−L, L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x).
Chuỗi Fourier xác định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm
f(x), khi đó cho phép khai triển tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng
Fourier đầy đủ.
3) Dấu bằng (=) trong biểu thức (1.3.1) có thể được thay bằng dấu
gần bằng (≈), có nghĩa là "tương đương với", bởi vì chuỗi bên phải không
phải hội tụ thành hàm f(x) đối với mọi giá trị của x. Chuỗi Fourier chỉ
biểu diễn hàm f(x) trong khoảng Fourier đầy đủ. Một cách chọn khác
người ta có thể xác định hàm

f(x) là mở rộng của hàm f(x) bên ngoài
khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy

f(x) là mở rộng tuần hoàn của hàm f(x),
−L ≤ x ≤ L có tính chất

f(x + 2L) =

f(x), ngược lại hàm f(x) đối với
mọi x không phải là hàm tuần hoàn.
4) Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier các hệ số a
0
, a
n
và b
n
được tính cụ thể. Do đó có một số hàm không có biểu diễn chuỗi Fourier,
ví dụ như các hàm:

1
x
,
1
x
2
không có biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier trong
khoảng (−L, L). Chú ý rằng các hàm này không xác định tại một hoặc vài
điểm trong khoảng (−L, L).
5) Hàm f(x) được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm x
0
nếu
f(x
0
−
) = lim
ε→0
f(x
0
− ε) = f(x
0
+
) = lim
ε→0
f(x
0
+ ε)
hàm f(x) và f

(x) là liên tục từng khúc trong khoảng (−L, L) thì biểu diễn

chuỗi Fourier của hàm f(x) thoả mãn các điều kiện:
- Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàmf(x) là liên tục;
- Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng
Fourier đầy đủ.
-Tại điểm x
0
có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi
Fourier của hàm f(x) hội tụ về
1
2
[f(x
+
0
) + f(x
−
0
)] là giá trị trung bình
của giới hạn trái và phải của bước nhảy gián đoạn.
6) Hàm S
N
(x) = a
0
+
N

n=1

a
n
cos

nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L

được gọi là tổng
riêng thứ N, nó biểu diễn tổng của N số hạng đầu tiên. Người ta thường
vẽ xấp xỉ hàm S
N
(x) khi biểu diễn chuỗi Fourier bằng đồ thị. Hàm f(x)
bất kì có một điểm bước nhảy gián đoạn thì hàm S
N
(x) có đồ thị tại lân
cận bước nhảy gián đoạn là dạng hàm dao động. Hiệu ứng này được gọi là
17
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
hiệu ứng Gibb. Hiệu ứng Gibb luôn có mặt khi người ta dùng một chuỗi
hàm liên tục để biểu diễn một hàm gián đoạn, hiệu ứng này vẫn tồn tại
cho dù tăng giá trị N rất lớn.
7) Chuỗi có dạng
a
0
+
N

n=1


a
n
cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L

có thể viết dưới dạng
a
0
+
N

n=1

C
n
sin
nπx
L
+ ϕ
n

trong đó: C
n
=


a
n
2
+ b
n
2
được gọi là biên độ : ϕ
n
= arctan

a
n
b
n

được
gọi là pha; số hạng thứ n: C
n
sin

nπx
L
+ ϕ
n

được gọi là dao động điều
hoà thứ n. Dao động điều hoà thứ nhất (n = 1) được gọi là dao động điều
hoà cơ bản.
1.4.3 Hàm chẵn và hàm lẻ

Cho hàm số f(x) xác định trên tập D
Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) =
f(x).
Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) =
−f(x).
1) Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì:
L

−L
f(x)dx = 2
L

0
f(x)dx
2) Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(−x) = −f(x) thì
L

−L
f(x)dx = 0
3) Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là
một hàm chẵn, tích của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm lẻ.
18
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
- Nếu f(x) là một hàm lẻ, biểu diễn (1.3.1) có dạng
f(x) =
∞

n=1
b
n

sin
nπx
L
, 0 < x < L
trong đó
b
n
=
2
L
L

0
f(x) sin
nπx
L
dx
- Nếu f(x) là một hàm chẵn, biểu diễn Fourier của nó là
f(x) = a
0
+
∝

n=1
a
n
cos
nπx
L
, 0 < x < L

trong đó a
0
và a
n
được xác định theo công thức
a
0
=
1
L
L

0
f(x)dx
a
n
=
2
L
L

0
f(x) cos
nπx
L
dx
1.4.4 Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier
a) Biểu diễn chuỗi Fourier dưới dạng lượng giác
Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác có dạng
f(x) = a

0
+
∝

n=1
a
n
cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L
−L < x < L
19
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
với các hệ số:
a
0
=
(f, 1)
||1||
2
=
1
2L
L


−L
f(x)dx
a
n
=
(f, cos
nπx
L
)






cos
nπx
L






2
=
1
L
L


−L
f(x) cos
nπx
L
dx
b
n
=
(f, sin
nπx
L
)






sin
nπx
L






2
=
1

L
L

−L
f(x) sin
nπx
L
dx
Đôi khi người ta còn biểu diễn dưới dạng đối xứng sau:
f(x) =
a
0
2
+
∞

n=1

a
n
cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L

, −L < x < L

trong đó:
a
n
=
1
L
L

−L
f(x) cos
nπx
L
dx
b
n
=
1
L
L

−L
f(x) sin
nπx
L
dx
Một số trường hợp hàm f(x) xác định trong khoảng α ≤ x ≤ α + 2L với
f(x + 2L) = f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác như sau
f(x) = a
0
+

∞

n=1

a
n
cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L

với các hệ số được xác định theo công thức:
a
0
=
1
2L
α+2L

α
f(x)dx
a
n
=
1
L

α+2L

α
f(x) cos
nπx
L
dx
b
n
=
1
L
α+2L

α
f(x) sin
nπx
L
dx
20
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng đồng nhất thức Euler
e

inπx
L

= cos
nπx
L

+ i sin
nπx
L
, i
2
= −1
⇒ cos
nπx
L
=
e
(
inπx
L
)
+ e
−(
inπx
L
)
2
; sin
nπx
L
=
e
(
inπx
L
)

− e
−(
inπx
L
)
2i
(*)
b) Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ
Từ (∗) ta có khai triển chuỗi Fourier dưới dạng mũ
f(x) =
A
0
2
+
∞

n=1

A
n
2
(e
(
inπx
L
)
+ e
−(
inπx
L

)
) +
−iB
n
2
(e
(
inπx
L
)
− e
−(
inπx
L
)
)

=
A
0
2
+
1
2
∞

n=1
(A
n
− iB

n
)e
(
inπx
L
)
+
1
2
∞

n=1
(A
n
+ iB
n
)e
−(
inπx
L
)
Các hằng số được xác định như sau:
C
0
=
A
0
2
=
1

2L
L

−L
f(x)dx
C
n
=
1
2
(A
n
− iB
n
) =
1
2L
L

−L
(f(x) cos
nπx
L
− if(x) sin
nπx
L
)dx
=
1
2L

L

−L
f(x)e
(
inπx
L
)
dx
C
−n
=
1
2
(A
n
+ iB
n
) =
1
2L
L

−L
(f(x) cos
nπx
L
+ if(x) sin
nπx
L

)dx
=
1
2L
L

−L
f(x)e
(−
inπx
L
)
dx
Như vậy
f(x) = C
0
+
∞

n=1
C
n
e
(
inπx
L
)
+
∞


n=1
C
−n
e
(−
inπx
L
)
21
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
Thay tổng cuối cùng n bằng −n ta có:
f(x) = C
0
+
∞

n=1
C
n
e
(
inπx
L
)
+
−∞

n=−1
C
−n

e
(
inπx
L
)
Biểu thức này là dạng phức của chuỗi Fourier
f(x) =
∞

n=−∝
C
n
e
(
inπx
L
)
trong đó
f(x) =
1
2L
L

−L
f(x)e
(
inπx
L
)
dx

1.5 Các hệ toạ độ cong trực giao
Giả sử x, y, z là toạ độ Descartes của một điểm nào đó, còn x
1
, x
2
, x
3
là
toạ độ của hệ toạ độ cong trực giao cũng của điểm này. Xét yếu tố khoảng
trong hệ toạ độ Descartes và hệ toạ độ cong trực giao
ds
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
= h
2
1
dx
1
2
+ h
2
2
dx
2
2

+ h
2
3
dx
3
2
trong đó h
i
=


∂x
∂x
i

2
+

∂y
∂x
i

2
+

∂z
∂x
i

2

, i = 1, 2, 3; là các hệ số
metric hay còn gọi là hệ số Lame.
Các hệ toạ độ trực giao được đặc trưng đầy đủ bằng 3 hệ số metric
h
1
, h
2
, h
3
. Ta đưa vào biểu diễn các toán tử grad, div, rot và toán tử Laplaw
∆ trong các hệ toa độ cong trực giao khác nhau, dạng tổng quát của chúng
có dạng:
gradu =
3

i=1
1
h
i
∂u
∂x
i

i
i
;
div

A =
1

h
1
h
2
h
3

∂u
∂x
1
(h
2
h
3
A
1
) +
∂u
∂x
2
(h
1
h
3
A
2
) +
∂u
∂x
3

(h
1
h
2
A
3
)

;
rot

A =
1
h
1
h
2
h
3








h
1


i
1
h
2

i
2
h
3

i
3
∂
∂x
1
∂
∂x
2
∂
∂x
3
h
1
A
1
h
2
A
2
h

3
A
3








;
∆u =
1
h
1
h
2
h
3

∂u
∂x
1

h
2
h
3
h

1
∂
∂x
1

+
∂u
∂x
2

h
3
h
1
h
2
∂
∂x
2

+
∂u
∂x
3

h
1
h
2
h

3
∂
∂x
3

;
22
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
trong đó:

i
1
,

i
2
,

i
3
là vectơ cơ sở có độ dài bằng đơn vị;

A = (A
1
, A
2
, A
3
)
là vectơ tuỳ ý; u = u(x

1
, x
2
, x
3
) là một hàm vô hướng; A
k
= A
k
(x
1
, x
2
, x
3
),
k = 1, 2, 3.
1.5.1 Hệ toạ độ Descartes
Các trục toạ độ cong trùng với trục toạ độ Descartes vuông góc ta có
x
1
= x, x
2
= y, x
3
= z nên h
1
= 1, h
2
= 1, h

3
= 1
Các toán tử grad, div, rot và toán tử Laplaw ∆ trong các hệ toa độ
Descartes vuông góc được viết:
gradu =
∂u
∂x

i +
∂u
∂y

j +
∂u
∂z

k;
div

A =
∂A
x
∂x
+
∂A
y
∂y
+
∂A
z

∂z
;
rot

A =









i

j

k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
A
x
A
y
A

z








; trong đó:

i,

j,

k là các vectơ chỉ phương của
các trục x, y, z.
1.5.2 Hệ toạ độ trụ
Xét hệ toạ độ cong x
1
= r, x
2
= ϕ, x
3
= z liên hệ với hệ toạ độ
Descartes bởi các hệ thức x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, các bề mặt của
hệ toạ độ cong này khi r = const là mặt trụ, khi ϕ = const là mặt phẳng,
khi z = const là mặt phẳng, vì thế còn được gọi là hệ toạ độ trụ. Hệ số
metric h
1

= 1, h
2
= r, h
3
= 1 do đó các toán tử grad, div, rot và toán tử
Laplaw ∆ trong các hệ toa độ trụ được viết:
gradu =
∂u
∂r

i
1
+
∂u
∂ϕ

i
2
+
∂u
∂z

i
3
;
div

A =
1
r

∂
∂r
(rA
1
) +
1
r
∂A
2
∂ϕ
+
∂A
3
∂z
;
rot

A =
1
r









i

1
r

i
2

i
3
∂
∂r
∂
∂ϕ
∂
∂z
A
1
A
2
A
3








=


1
r
∂A
3
∂ϕ
−
∂A
2
∂z


i
1
+

∂A
1
∂z
−
∂A
3
∂r


i
2
+

1
r

∂
∂r
(rA
2
) −
1
r
∂A
1
∂ϕ


i
3
;
23
Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh
∆u =
1
r
∂
∂r
(r
∂u
∂r
) +
1
r
2
∂

2
u
∂ϕ
2
+
∂
2
u
∂z
2
.
1.5.3 Hệ toạ độ cầu
Xét trong hệ toạ độ cong x
1
= r, x
2
= θ, x
3
= ϕ liên hệ với hệ toa độ
Descartes bởi các hệ thức x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, các
bề mặt của hệ toạ độ cong này khi r = const là mặt cầu, khi ϕ = const
là mặt phẳng, khi z = const là mặt nón, vì thế còn được gọi là hệ toạ độ
cầu. Hệ số metric h
1
= 1, h
2
= r, h
3
= r sin θ do đó các toán tử grad, div,
rot và toán tử Laplaw ∆ trong các hệ toa độ trụ được viết:

gradu =
∂u
∂r

i
1
+
∂u
∂θ

i
2
+
1
r sin θ
∂u
∂ϕ

i
3
div

A =
1
r
2
∂
∂r
(r
2

A
1
) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θA
2
) +
1
r sin θ
∂A
3
∂ϕ
rot

A =
1
r
2
sin θ










i
1
r

i
2
r sin θ

i
3
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂ϕ
A
1
rA
2
r sin θA
3









=
1
r sin θ

∂
∂θ
(sin θA
3
) −
∂A
2
∂ϕ


i
1
+
1
r

1
sin θ
∂A
1
∂ϕ
−
∂
∂r
(rA

3
)


i
2
+
1
r

∂
∂r
(rA
2
) −
∂A
1
∂θ


i
3
∆u =
1
r
2
∂
∂r

r

2
∂u
∂r

+
1
r
2
sin θ
∂u
∂θ

sin θ
∂u
∂θ

+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
u
∂ϕ
2
.
24

Chương 2
Phương trình hyperbolic
2.1 Đặt bài toán. Định lí duy nhất nghiệm
* Đặt bài toán
Xét sợi dây căng thẳng theo trục Ox. Tác động làm sợi dây dao động.
Ta sẽ nghiên cứu quy luật dao động của sợi dây. Ta có các giả thiết:
- Sợi dây rất mảnh và không cưỡng lại sự uốn.
- Có lực căng T tương đối lớn so với trọng lượng của dây, tức là bỏ qua
được trọng lượng của sợi dây.
- Ta chỉ xét các dao động ngang của sợi dây, tức là khi dao động, các
phần tử của dây chỉ chuyển động theo phương vuông góc với trục Ox,
không xét các dao động của dây nằm ngoài mặt phẳng Oxu.
Xét tại vị trí điểm M trên sợi dây, ký hiệu độ lệch của M so với vị trí
cân bằng là u, khi đó u = u(x, t), với x là tọa độ của M trên dây và t là
thời gian. Tại thời điểm t = t
0
cho trước ta có
u = u(x, t
0
) = f(x)
tức là tại điểm t = t
0
ta nhận được hình dáng của dây rung u = f(x). Giả
thiết thêm rằng độ lệch của dây u(x, t) và đạo hàm riêng ∂
x
u là rất nhỏ và
có thể bỏ qua đại lượng (∂
x
u)
2

. Xét đoạn dây giới hạn bởi hai điểm M
1
, M
2
với hoành độ tương ứng là x
1
và x
2
. Vì ta có thể bỏ qua đại lượng u
2
x
nên
độ dài của đoạn dây M
1
M
2
bằng:
l

=
x
2

x
1

1 + u
2
x
dx ≈ x

2
− x
1
= l
tức là bằng độ dài của đoạn M
1
M
2
ở trạng thái cân bằng, hay độ dài của
sợi dây không đổi khi nó dao động. Vậy, theo định luật Hoocke, lực căng
25