BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO
ÁNH XẠ CO PHI TUYẾN
SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN
S-MÊTRIC ĐẦY ĐỦ
Mã số: CS2013.01.14
Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Thành Nghĩa
ĐỒNG THÁP, 5 - 2014
i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO
ÁNH XẠ CO PHI TUYẾN
SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN
S-MÊTRIC ĐẦY ĐỦ
Mã số: CS2013.01.14
Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài
TS. Lê Xuân Trường ThS. Nguyễn Thành Nghĩa
ĐỒNG THÁP, 5 - 2014
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Thông tin kết quả nghiên cứu iii
Summary iv
Mở đầu 1
1 Tổng quan tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 2
5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Không gian S-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong
không gian S-mêtric đầy đủ 16
2.1 Một số khái niêm mở rộng trong không gian S-mêtric . . . . . . . . 16
2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không
gian S-mêtric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ii
iii
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞ
Tên đề tài: Định lí Điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong
không gian S-mêtric đầy đủ
Mã số: CS2013.01.14
Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thành Nghĩa
Tel.: 0909645886; E-mail:
Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp
Cơ quan và cá nhân phối hợp: Không
Thời gian thực hiện: 6/2013 đến 5/2014
1. Mục tiêu:
- Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy
rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ.

- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.
2. Nội dung chính:
- Kiến thức chuẩn bị
- Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian
S-mêtric đầy đủ.
3. Kết quả chính đạt được: Đề tài đã đề xuất được Định nghĩa 2.1.1,
Nhận xét 2.1.2, thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi
tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ, Định lí 2.2.1, xây dựng các Hệ
quả 2.2.2, Hệ quả 2.2.3, Hệ quả 2.2.4, Định lí 2.2.5 và các Ví dụ 2.2.6, Ví dụ 2.2.7.
Nội dung đề tài được kiểm chứng bằng một bài báo khoa học đã nhận đăng trên
tạp chí khoa học Trường Đại học An Giang.
Chủ nhiệm đề tài
Nguyễn Thành Nghĩa
iv
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
SUMMARY
Project Title: Some fixed points theorems generalized nonlinear contractive
mappings in S-metric spaces
Code number: CS 2013.01.14
Coordinator: Nguyễn Thành Nghĩa
Tel.: 0909645886; E-mail:
Implementing Institution: Dong Thap University
Cooperating Institution(s): No
Duration: from 2013, June to 2014, May
1. Objectives:
- To establish and to prove the fixed point theorem for generalized non-
linear contractive mappings in complete S-metric spaces.
- To give some examples to illustrate the obtained results.
2. Main contents:

- Background knowledge
- The fixed point theorem for generalized nonlinear contractive mappings
in complete S-metric spaces.
3. Results obtained: A new notion was introduced in Definition 2.1.1,
some properties were given in Remark 2.1.2, fixed point theorems for gen-
eralized nolinear contractions on S-metric spaces were stated and proved in
Theorem 2.21, some consequences were obtained in Corollary 2.2.2, Corollary
2.2.4, Theorem 2.2.5, examples were given in Example 2.2.6, Example 2.2.7.
The main result was accepted to publish on Science Journal of An Giang
University.
Project manager
Nguyễn Thành Nghĩa
1
MỞ ĐẦU
1 Tổng quan tình hình nghiên cứu
Lí thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề quan trọng trong toán
học. Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến, nhất là việc thiết lập
sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,
phương trình tích phân phi tuyến. Vấn đề này đã và đang được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu [4], [12], [13], [14], [19]. Năm 1922, trong [2] Banach đã
giới thiệu Nguyên lí ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ. Đây được xem
là một trong những kết quả cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động. Từ
đó, không những việc mở rộng nguyên lí co Banach cho lớp các ánh xạ co
khác nhau trên không gian mêtric được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu
đã đạt được một số kết quả nhất định [3], [10], [12], mà còn trên các không
gian mêtric suy rộng khác [11], [18], [19].
Năm 2012, S. Sedghi và các cộng sự giới thiệu không gian S-mêtric và đưa
ra một số kết quả [19]; S. Sedghi và N.V Dung đã đưa ra định lí điểm bất
động cho không gian S-mêtric [18]. Những năm gần đây, hướng nghiên cứu
định lí điểm bất động trên các không gian mêtric suy rộng đang được tiến

hành bởi số tác giả ở các Trường Đại học, Viện Toán học đã thu được một số
kết quả [7], [8]. Hiện nay, tại Trường Đại học Đồng Tháp một số tác giả đang
quan tâm, nghiên cứu các vấn đề về không gian mêtric suy rộng và bước đầu
đã thu được một số kết quả [13], [14].
Ngoài ra, năm 2013 trong tài liệu [4], S. Chandok trình bày định lí điểm
bất động chung cho ánh xạ co phi tuyến trong không gian mêtric đầy đủ bằng
cách khái quát và mở rộng các kết quả của [1], [5], [6], [9], [15]. Đến nay, việc
mở rộng định lí chính trong [4] trên các không gian mêtric suy rộng khác còn
là vấn đề mở, nên chúng tôi mở rộng định lí sang không gian S-mêtric.
2
2 Tính cấp thiết của đề tài
Từ tình hình tổng quan đề tài và kết quả các công trình nghiên cứu liên
quan, đặc biệt từ kết quả [4], chúng tôi thấy việc mở rộng kết quả này sang
không gian S-mêtric vẫn còn là vấn đề chưa được nghiên cứu, nên chúng tôi
chọn thiết lập "định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy
rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ" làm nội dung nghiên cứu của
đề tài.
Bên cạnh đó, nội dung đề tài cũng góp phần mở rộng trong việc nghiên
cứu về lí thuyết điểm bất động của nhóm giảng viên và sinh viên chuyên
ngành Sư phạm Toán học của Trường Đại học Đồng Tháp, và những tác giả
quan tâm nghiên cứu về Toán học Hiện đại.
3 Mục tiêu nghiên cứu
- Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến
suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ.
- Xây dựng một số ví dụ minh họa cho các kết quả đạt được.
4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
- Cách tiếp cận: Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu tham khảo liên quan
đến đề tài, bằng cách tương tự những kết quả đã có, chúng tôi đề xuất các
kết quả mới.
- Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu các tài liệu tham khảo trong và

ngoài nước có liên quan, từ đó tương tự hoá những kết quả về điểm bất động
cho ánh xạ co phi tuyến tổng quát trong không gian S-mêtric đầy đủ. Đồng
thời trao đổi thông tin với các thành viên trong nhóm nghiên cứu và các tác
giả khác; viết bài gửi cho các tạp chí chuyên ngành để kiểm định kết quả
nghiên cứu.
3
5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu những đặc trưng và tính chất của điểm bất động cho
ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ và đưa ra
các ví dụ làm sáng tỏ các kết quả đạt được.
6 Nội dung nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian
mêtric và không gian S-mêtric, từ đó đề xuất và chứng minh Định lí điểm
bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy
đủ đồng thời đưa ra các ví dụ làm sáng tỏ các kết quả đạt được.
Ngoài Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội dung
chính của đề tài được trình bày trong hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong
không gian S-mêtric đầy đủ.
4
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian mêtric
Mục này, chúng tôi hệ thống các khái niệm và các tính chất liên quan đến
không gian mêtric, từ đó chi tiết hóa Theorem 2.1 trong tài liệu [4].
1.1.1 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 1.1). Cho X là một tập khác rỗng, ánh
xạ d : X × X −→ R thỏa mãn các điều kiện sau
(1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(2) d(x, y) = d(y, x);

(3) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z);
với mọi x, y, z ∈ X, khi đó d được gọi là một mêtric trên X và (X, d) được
gọi là một không gian mêtric.
1.1.2 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 4.5.1). Giả sử f : X −→ X là một ánh
xạ. Khi đó, phần tử x ∈ X sao cho f (x) = x được gọi là điểm bất động của
ánh xạ f .
Các khái niệm sau đây được xét trên không gian mêtric (X, d).
1.1.3 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 4.5.1). Ánh xạ T : X −→ X được gọi
là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ k < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d(T x, T y) ≤ kd(x, y).
5
1.1.4 Định nghĩa ([19], Định nghĩa 1.5.1).
(1) Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là hội tụ đến x, kí hiệu là lim
n→+∞
x
n
= x hoặc
x
n
−→ x nếu d(x
n
, x) −→ 0 khi n −→ +∞, nghĩa là với mỗi ε > 0 tồn
tại n
0
∈ N sao cho d(x
n
, x) < ε với mọi n ≥ n
0

.
(2) Dãy {x
n
} được gọi là dãy cơ bản trong X (hay dãy Cauchy) nếu với mỗi
ε > 0, tồn tại n
0
∈ N sao cho với mọi m, n ≥ n
0
ta có d

x
m
, x
n

< ε.
1.1.5 Định nghĩa ([6]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ C-co khi
và chỉ khi tồn tại k ∈

0,
1
2

sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d(T x, T y) ≤ k[d(x, T y) + d(y, T x)].
1.1.6 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ co yếu nếu
với mọi x, y ∈ X, ta có
d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ψ

d(x, y)


với f : X −→ X và ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) liên tục và thỏa mãn điều kiện
ψ(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
1.1.7 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ f-co yếu
nếu với mọi x, y ∈ X, ta có
d(T x, T y) ≤ d(f x, f y) − ψ

d(fx, f y)

với f : X −→ X và ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) liên tục và thỏa mãn điều kiện
ψ(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Gọi Ψ là lớp các hàm liên tục ψ : [0, +∞)
2
−→ [0, +∞) thỏa mãn điều
kiện ψ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0.
1.1.8 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ co yếu
suy rộng nếu với mọi x, y ∈ X, với ψ ∈ Ψ, ta có
d(T x, T y) ≤
1
2

d(x, T y) + d(y, T x)

− ψ

d(x, T y), d(y, T x)

.
1.1.9 Nhận xét. Ánh xạ C-co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ co yếu suy
rộng khi chọn hàm ψ(x, y) =


1
2
− k

(x + y), 0 < k <
1
2
.
6
1.1.10 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ f -co yếu
suy rộng nếu với mọi x, y ∈ X, ta có
d(T x, T y) ≤
1
2

d(fx, T y) + d(fy, T x)

− ψ

d(fx, T y), d(fy, T x)

với ψ ∈ Ψ và f : X −→ X.
1.1.11 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 1.10). Cho M là tập con khác rỗng
của X và hai ánh xạ T, f : M → M. Khi đó
(1) Điểm x ∈ M được gọi là điểm trùng của f và T nếu fx = T x. Kí
hiệu, tập hợp điểm bất động của f và T là F (f, T ), tập hợp điểm trùng của
f và T là C(f, T ).
(2) Hai ánh xạ f và T được gọi là giao hoán nếu T fx = fT x với mọi
x ∈ M.

(3) Hai ánh xạ f và T được gọi là tương thích nếu lim
n→+∞
d(T x
n
, f T x
n
) = 0
với mọi dãy {x
n
} thỏa mãn lim
n→+∞
T x
n
= lim
n→+∞
fx
n
= t với t ∈ M .
(4) Hai ánh xạ f và T được gọi là tương thích yếu nếu f và T giao hoán
tại các điểm trùng.
1.1.12 Định lí ([4], Theorem 2.1). Cho M là tập con của không gian mêtric
(X, d), hai ánh xạ f, T : M −→ M thỏa mãn
(1) T (M) ⊂ f(M);
(2) T (M) là đầy đủ;
(3) T là ánh xạ f− co yếu suy rộng;
Khi đó: T và f có duy nhất điểm trùng. Hơn nữa, nếu f và T là tương thích
yếu thì F (T ) ∩ F (f) có duy nhất điểm.
Chứng minh. Lấy bất kì x
0
∈ M. Do T (M) ⊂ f(M) nên ta có thể chọn

x
1
∈ M sao cho f(x
1
) = T x
0
. Vì T x
1
∈ f (M ) nên tồn tại x
2
∈ M sao
cho f(x
2
) = T x
1
. Tương tự, ta xây dựng được dãy {x
n
} trong M sao cho
fx
n+1
= T x
n
với mọi n ≥ 0.
7
Do T là ánh xạ f-co yếu suy rộng nên ta có
d(T x
n+1
, T x
n
) ≤

1
2

d(fx
n+1
, T x
n
) + d(fx
n
, T x
n+1
)

−ψ

d(fx
n+1
, , T x
n
), d(f x
n+1
, T x
n
)

≤
1
2
d(T x
n−1

, T x
n+1
) − ψ

0, d(T x
n−1
, T x
n+1
)

(1.1)
suy ra
d(T x
n+1
, T x
n
) ≤
1
2
d(T x
n−1
, T x
n+1
)
≤
1
2

d(T x
n−1

, T x
n
) + d(T x
n+1
, T x
n
)

(1.2)
do đó, với mọi n = 1, 2, 3, ta có
d(T x
n+1
, T x
n
) ≤ d(T x
n
, T x
n−1
).
Vậy dãy {d(T x
n+1
, T x
n
)} là dãy không âm đơn điệu giảm, nên tồn tại r ≥ 0
sao cho lim
n→+∞
d(T x
n+1
, T x
n

) = r.
Cho n −→ +∞ từ (1.2) ta được
r ≤
1
2
lim
n→+∞
d(T x
n−1
, T x
n+1
) ≤
1
2
(r + r) = r
suy ra
lim
n→+∞
d(T x
n−1
, T x
n+1
) = 2r (1.3)
Cho n −→ +∞ từ bất đẳng thức (1.1), sử dụng (1.3) và theo tính liên
tục của hàm ψ, ta được
r ≤
1
2
2r − ψ(0, 2r) (1.4)
từ (1.4) và tính chất của hàm ψ, ta suy ra r = 0

nên
lim
n→+∞
d(T x
n+1
, T x
n
) = 0. (1.5)
Tiếp theo, ta chứng minh dãy {T x
n
} là dãy Cauchy.
Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại ε > 0 sao cho từ dãy {T x
n
} ta tìm được
dãy con {T x
n(k)
} và {T x
m(k)
} với n(k) ≥ m(k) ≥ k sao cho với mọi k ta có
8
d(T x
m(k)
, T x
n(k)
) ≥ ε và d(T x
m(k)
, T x
n(k)−1
) < ε.
Khi đó

ε ≤ d(T x
m(k)
, T x
n(k)−1
) + d(T x
n(k)
, T x
n(k)−1
)
≤ d(T x
m(k)
, T x
n(k)
)
< ε + d(T x
n(k)
, T x
n(k)−1
). (1.6)
Cho k −→ +∞ từ (1.6), và sử dụng (1.5) ta được
lim
k→+∞
d(T x
m(k)
, T x
n(k)
) = lim
k→+∞
d(T x
m(k)

, T x
n(k)−1
) = ε. (1.7)
Ta lại có
d(T x
m(k)
, T x
n(k)−1
) ≤ d(T x
m(k)
, T x
m(k)−1
) + d(T x
n(k)−1
, T x
m(k)−1
)
≤ d(T x
m(k)
, T x
m(k)−1
) + d(T x
n(k)−1
, T x
n(k)
)
+ d(T x
m(k)−1
, T x
n(k)

)
≤ d(T x
m(k)
, T x
m(k)−1
) + d(T x
n(k)
, T x
n(k)−1
)
+ d(T x
m(k)
, T x
m(k)−1
) + d(T x
n(k)
, T x
m(k)
) (1.8)
cho k −→ +∞ từ (1.8) và sử dụng (1.5) ta được
ε ≤ lim
k→+∞
d(T x
m(k)−1
, T x
n(k)
) ≤ ε.
Do đó
lim
k→+∞

d(T x
m(k)−1
, T x
n(k)
) = ε. (1.9)
Mặt khác
ε ≤ d(T x
m(k)
, T x
n(k)
)
≤
1
2

d(fx
m(k)
, T x
n(k)
) + d(fx
n(k)
, T x
m(k)
)

− ψ

d(fx
m(k)
, T x

n(k)
), d(f x
n(k)
, T x
m(k)
)

≤
1
2

d(T x
m(k)−1
, T x
n(k)
) + d(T x
n(k)−1
, T x
m(k)
)

− ψ

d(fx
m(k)
, T x
n(k)
), d(f x
n(k)
, T x

m(k)
)

(1.10)
9
cho k −→ +∞ trong (1.10) và sử dụng (1.7), (1.9) ta được
ε ≤
1
2
(ε + ε) − ψ(ε, ε),
suy ra ψ(ε, ε) ≤ 0; điều này mâu thuẫn với ε > 0. Vậy {T x
n
} là dãy Cauchy.
Vì tính đầy đủ của T (M) nên tồn tại u ∈ T (M ) sao cho u = lim
n→+∞
T x
n
.
Do T (M) ⊂ f(M ) nên tồn tại z ∈ M sao cho fz = u.
Ngoài ra,
d(fz, T z) ≤ d(f z, T x
n+1
) + d(T z, T x
n+1
)
d(fz, T z) ≤ d(fz, T x
n+1
) +
1
2


d(fz, T x
n+1
) + d(fx
n+1
, T z)

− ψ

d(fz, T x
n+1
), d(f x
n+1
, T z)

≤ d(fz, T x
n+1
) +
1
2

d(fz, T x
n+1
) + d(T x
n
, T z)

− ψ

d(fz, T x

n+1
), d(T x
n
, T z)

. (1.11)
Cho n −→ +∞ trong (1.11) và sử dụng tính liên tục của ψ, ta được
d(fz, T z) ≤
1
2
d(fz, T z) − ψ

0, d(f z, T z)

.
suy ra d(f z, T z) = 0, nên T z = fz = u hay z là một điểm trùng của T và f.
Bây giờ giả sử rằng T và f là tương thích yếu nghĩa là ta có
T u = T fz = f T z = fu.
Khi đó ta có
d(T z, T u) ≤
1
2

d(fz, T u) + d(fu, T z)

− ψ

d(fz, T u), d(fu, T z)

≤

1
2

d(T z, T u) + d(T u, T z)

− ψ

d(T z, T u), d(T u, T z)

.
Điều này suy ra d(T z, T u) = 0, hay T u = T z = fu = u. Vậy u là điểm bất
động chung của f và T.
Cuối cùng, ta chứng minh F (T ) ∩ F (f ) có duy nhất một điểm.
10
Giả sử F (T ) ∩ F (f) = {x, y}, khi đó
d(x, y) = d(T x, T y) ≤
1
2

d(fx, T y) + d(fy, T x)

− ψ

d(fx, T y), d(fy, T x)

≤
1
2

d(x, y) + d(y, x)


− ψ

d(x, y), d(y, x)

;
suy ra ψ(d(x, y), d(y, x)) = 0 nên d(x, y) = 0 hay y = x.
Vậy T và f có duy nhất điểm bất động.
1.1.13 Hệ quả ([4], corollary 2.2). Cho M là tập con của không gian mêtric
(X, d), T : M −→ M thỏa mãn T (M) ⊂ M. Nếu T (M ) là đầy đủ và T là
ánh xạ co yếu suy rộng thì T có duy nhất điểm bất động.
1.1.14 Hệ quả ([9]). Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Nếu ánh
xạ T : X −→ X là ánh xạ co yếu suy rộng thì T có duy nhất điểm bất động.
Từ Nhận xét 1.1.9 và Hệ quả 1.1.14, ta có hệ quả sau
1.1.15 Hệ quả ([6]). Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Nếu ánh
xạ T : X −→ X thỏa mãn
d(T x, T y) ≤ k

d(x, T y) + d(y, T x)

với 0 ≤ k <
1
2
và với mọi x, y ∈ X thì T có duy nhất điểm bất động.
1.1.16 Định lí ([4], Theorem 2.7). Gọi M là tập con của không gian mêtric
(X, d), f, T : M −→ M thỏa mãn T (F (f)) ⊂ F (f). Nếu T (M) là đầy đủ,
F (f ) là tập khác rỗng và T là ánh xạ f − co yếu suy rộng với mọi x, y ∈ F (f)
thì F (T ) ∩ F (f ) có duy nhất điểm.
Chứng minh. Do T (F (f )) là tập hợp con của T (M ) đầy đủ và T (F (f )) ⊂ F (f).
Do đó với mọi x, y ∈ F (f) ta có

d(T x, , T y) ≤
1
2

d(fx, T y) + d(fy, T x)

− ψ

d(fx, T y), S(fy, T x)

≤
1
2

d(x, T y) + d(y, T x)

− ψ

d(x, T y), d(y, T x)

.
11
Điều này chứng tỏ T là ánh xạ co yếu suy rộng trên F (f). Vì vậy, từ Hệ
quả 1.1.14 ta suy ra ánh xạ T có duy nhất điểm bất động z ∈ F (f). Do đó,
tập F (T ) ∩ F (f) có duy nhất một điểm.
1.2 Không gian S-mêtric
Mục này, chúng tôi hệ thống một số khái niệm và tính chất về không gian
S-mêtric liên quan đến đề tài như là định nghĩa S-mêtric, sự hội tụ của dãy
trong không gian S-mêtric, các tính chất cơ bản,
1.2.1 Định nghĩa ([19], Definition 2.1). Cho X là một tập khác rỗng. Ánh

xạ S : X
3
−→ [0; +∞) thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi x, y, z, a ∈ X
(1) S(x, y, z) = 0 khi và chỉ khi x = y = z;
(2) S(x, y, z) ≤ S(x, x, a) + S(y, y, a) + S(z, z, a);
Khi đó, S được gọi là một S-mêtric trên X và (X, S) được gọi là không gian
S-mêtric.
1.2.2 Ví dụ ([19], Definition 2.1, (1)). Cho X = R
n
và . là một chuẩn
trên X. Khi đó, với mọi x, y, z ∈ X
S(x, y, z) = y + z − 2x + y − z
là một S-mêtric trên X.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh S được định nghĩa như trên thỏa mãn 3 điều
kiện của S-mêtric. Thật vậy, vì  ·  là chuẩn trên X nên ta có S(x, y, z) ≥ 0.
Ta có S(x, y, z) = 0 tương đương y + z − 2x + y − z = 0, giải phương
trình ta được x = y = z.
Ta có
S(x, x, a) = x + a − 2x + x − a = a − x + x − a.
S(y, y, a) = y + a − 2y + y − a = a − y + y − a.
S(z, z, a) = z + a − 2z + z − a = a − z + z − a.
12
Từ đó, suy ra
S(x, x, a) + S(y, y, a) + S(z, z, a)
=

a − x + x − a

+


a − y + y − a

+

a − z + z − a

=

a − x + y − a

+

x − a + a − z

+

a − y + z − a

≥ y − x + x − z + z − y
= y − x + z − x + z − y
≥ y + z − 2x + y − z = S(x, y, z).
Vậy S được định nghĩa như trên là một S-mêtric trên X.
1.2.3 Ví dụ ([19], Definition 2.1, (2)). Cho X = R
n
và  ·  là một chuẩn
trên X. Khi đó, với mọi x, y, z ∈ X
S(x, y, z) = x − z + y − z
là một S-mêtric trên X.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh S được định nghĩa như trên thỏa mãn 3 điều
kiện của S-mêtric. Thật vậy, vì  ·  là chuẩn trên X nên ta có S(x, y, z) ≥ 0

với mọi x, y, z ∈ X. Ta có S(x, y, z) = 0 tương đương với x−z+y−z = 0,
giải phương trình ta được x = y = z.
Ta có
S(x, x, a) = x − a + x − a = 2x − a.
S(y, y, a) = y − a + y − a = 2y − a.
S(z, z, a) = z − a + z − a = 2z − a.
Từ đó, suy ra
S(x, x, a) + S(y, y, a) + S(z, z, a) = 2x − a + 2y − a + 2z − a
=

x − a + a − z

+

y − a + a − z

+

x − a + a − y

≥ x − z + y − z + x − y
≥ x − z + y − z
= S(x, y, z).
Vậy S được định nghĩa như trên là một S-mêtric trên X.
13
1.2.4 Ví dụ ([19], Definition 2.1, (3)). Cho X là một tập khác rỗng và d là
một mêtric trên X. Khi đó, với mọi x, y, z ∈ X
S
d
(x, y, z) =

1
2

d(x, z) + d(y, z)

là một S-mêtric trên X.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh S
d
được định nghĩa như trên thỏa mãn 3 điều
kiện của S-mêtric. Thật vậy, vì d là mêtric trên X nên ta có S
d
(x, y, z) ≥ 0
với mọi x, y, z ∈ X. Ta có S
d
(x, y, z) = 0 tương đương với d(x, z)+d(y, z) = 0,
giải phương trình ta được x = y = z.
Ta có
S
d
(x, x, a) =
1
2

d(x, a) + d(x, a)

= d(x, a).
S
d
(y, y, a) =
1

2

d(y, a) + d(y, a)

= d(y, a).
S
d
(z, z, a) =
1
2

d(z, a) + d(z, a)

= d(z, a).
Từ đó, suy ra
S
d
(x, x, a) + S
d
(y, y, a) + S
d
(z, z, a) = d(x, a) + d(y, a) + d(z, a)
=
1
2

d(x, a) + d(a, z)

+


d(y, a)
+d(a, z)

+

d(x, a) + d(a, y)

≥
1
2

d(x, z) + d(y, z) + d(x, y)

≥
1
2

d(x, z) + d(y, z)

= S
d
(x, y, z).
Vậy S
d
được định nghĩa như trên là một S-mêtric trên X.
1.2.5 Bổ đề ([19], Lemma 2.5). Cho (X, S) là một không gian S-mêtric. Khi
đó, với mọi x, y ∈ X ta có S(x, x, y) = S(y, y, x).
Chứng minh. Theo điều kiện 3 của Định nghĩa 1.2.1 ta có
S(x, x, y) ≤ S(x, x, x) + S(x, x, x) + S(y, y, x) = S(y, y, x).
S(y, y, x) ≤ S(y, y, y) + S(y, y, y) + S(x, x, y) = S(x, x, y).

Từ đó, suy ra S(x, x, y) = S(y, y, x).
14
1.2.6 Bổ đề ([14], Lemma 1.12). Cho (X, d) là một không gian mêtric và
S
d
(x, y, z) =
1
2

d(x, z) + d(y, z)

.
Khi đó, ta có
(1) S
d
là một S-mêtric trên X.
(2) lim
n→∞
x
n
= x trong (X, d) khi và chỉ khi lim
n→∞
x
n
= x trong (X, S
d
).
(3) {x
n
} là dãy Cauchy trong (X, d) khi và chỉ khi {x

n
} là dãy Cauchy
trong (X, S
d
).
(4) (X, d) đầy đủ khi và chỉ khi (X, S
d
) đầy đủ.
Chứng minh. (1) Chứng minh Ví dụ 1.2.4.
(2) Suy ra từ đẳng thức S(x
n
, x
n
, x) = d(x
n
, x).
(3) Suy ra từ đẳng thức S(x
n
, x
n
, x
m
) = d(x
n
, x
m
).
(4) Suy ra từ 2 và 3.
1.2.7 Định lí ([17], Mệnh đề 1.6). Cho (X, S) là không gian S-mêtric. Khi
đó với mọi x, y, z ∈ X, ta có

S(x, x, z) ≤ 2S(x, x, y) + S(y, y, z).
1.2.8 Định nghĩa ([4], Định nghĩa 1.7). Cho (X, S) là không gian S-mêtric.
Khi đó
(1) Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là hội tụ về x nếu S(x
n
, x
n
, x) −→ 0 khi
n −→ +∞. Điều này có nghĩa là với mỗi ε > 0, tồn tại n
0
∈ N sao
cho với mọi n ≥ n
0
thì S(x
n
, x
n
, x) < ε.
Kí hiệu là lim
n−→+∞
x
n
= x hay x
n
−→ x khi n −→ +∞.
(2) Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu S(x

n
, x
n
, x
m
) −→ 0 khi
n, m −→ +∞. Nói cách khác, {x
n
} là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi
ε > 0, tồn tại n
0
∈ N sao cho với mỗi n, m ≥ n
0
thì S(x
n
, x
n
, x
m
) < ε.
(3) Không gian S-mêtric (X, S) được gọi là đầy đủ nếu với mỗi dãy Cauchy
trong (X, S) đều là dãy hội tụ.
15
1.2.9 Định lí ([17], Mệnh đề 1.8). Cho (X, S) là không gian S-mêtric. Nếu
dãy {x
n
} trong X hội tụ thì giới hạn đó duy nhất.
1.2.10 Định lí ([17], Mệnh đề 1.9). Cho (X, S) là không gian S-mêtric. Nếu
tồn tại hai dãy {x
n

} và {y
n
} sao cho lim
n−→+∞
x
n
= x và lim
n−→+∞
y
n
= y thì
lim
n−→+∞
S(x
n
, x
n
, y
n
) = S(x, x, y).
16
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO
PHI TUYẾN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN
S-MÊTRIC ĐẦY ĐỦ
2.1 Một số khái niêm mở rộng trong không gian
S-mêtric
Trước hết, chúng tôi đề xuất khái niệm ánh xạ C-co, ánh xạ co yếu suy
rộng và ánh xạ f-co yếu suy rộng trên không gian S-mêtric.
Kí hiệu Ω là lớp các hàm liên tục ψ : [0, +∞)

3
−→ [0, +∞) thỏa mãn
ψ(x, y, z) = 0 khi và chỉ khi x = y = z = 0.
2.1.1 Định nghĩa ([16], Định nghĩa 2.1). Cho (X, S) là không gian S-mêtric
và hai ánh xạ T, f : X −→ X. Khi đó
(1) Ánh xạ T được gọi là C-co nếu tồn tại k ∈

0,
1
3

sao cho với mọi
x, y ∈ X ta có
S(T x, T x, T y) ≤ k[2S(x, x, T y) + d(y, y, T x)].
(2) Ánh xạ T được gọi là co yếu suy rộng nếu với mọi x, y ∈ X và ψ ∈ Ω
ta có
S(T x, T x, T y) ≤
1
3

2S(x, x, T y) + S(y, y, T x)

− ψ

S(x, x, T y), S(x, x, T y), S(y, y, T x)

.
,
17
(3) Ánh xạ T được gọi là f-co yếu suy rộng nếu với mọi x, y ∈ X và ψ ∈ Ω

ta có
S(T x, T x, T y) ≤
1
3

2S(fx, f x, T y) + S(f y, f y, T x)

− ψ

S(fx, f x, T y), S(f x, f x, T y), S(f y, f y, T x)

.
2.1.2 Nhận xét ([16], Nhận xét 2.2).
(1) Ánh xạ C-co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ co yếu suy rộng khi ánh
xạ ψ xác định bởi
ψ (x, y, z) =

1
3
− k

(x + y + z)
với 0 ≤ k <
1
3
.
(2) Khi f là ánh xạ đồng nhất, ánh xạ f-co yếu suy rộng trở thành ánh xạ
co yếu suy rộng.
2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến
suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ

Mục này, chúng tôi thết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh
xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ, từ đó rút ra các
hệ quả và định lí khác. Đồng thời, chúng tôi xây dựng các ví dụ để minh họa
cho các kết quả đạt được.
2.2.1 Định lí ([16], Định lí 2.3). Cho (X, S) là không gian S-mêtric, M là
tập con khác rỗng của X và hai ánh xạ T, f : M −→ M thỏa mãn các điều
kiện sau:
(1) T (M) ⊂ f(M);
(2) T (M) đầy đủ;
(3) T là ánh xạ f-co yếu suy rộng;
18
Khi đó, hai ánh xạ T và f có điểm trùng trong M. Hơn nữa, nếu T và f là
hai ánh xạ tương thích yếu thì F (T ) ∩ F (f) có duy nhất điểm.
Chứng minh. Lấy bất kì x
0
∈ M. Do T (M) ⊂ f(M) nên ta có thể chọn
x
1
∈ M sao cho f(x
1
) = T x
0
. Vì T x
1
∈ f (M ) nên tồn tại x
2
∈ M sao
cho f(x
2
) = T x

1
. Tương tự, ta xây dựng được dãy {x
n
} trong M sao cho
fx
n+1
= T x
n
với mọi n ≥ 0. Do T là ánh xạ f-co yếu suy rộng nên ta có
S(T x
n+1
, T x
n+1
, T x
n
) ≤
1
3

2S(fx
n+1
, f x
n+1
, T x
n
)
+ S(f x
n
, f x
n

, T x
n+1
)

− ψ

S(fx
n+1
, f x
n+1
, T x
n
),
S(fx
n+1
, f x
n+1
, T x
n
), S(f x
n
, f x
n
, T x
n+1
)

≤
1
3

S(T x
n−1
, T x
n−1
, T x
n+1
) − ψ

0, 0, S(T x
n−1
, T x
n−1
, T x
n+1
)

(2.1)
hay S(T x
n+1
, T x
n+1
, T x
n
) ≤
1
3
S(T x
n−1
, T x
n−1

, T x
n+1
)
≤
1
3

2S(T x
n−1
, T x
n−1
, T x
n
) + S(T x
n+1
, T x
n+1
, T x
n
)

(2.2)
suy ra S(T x
n+1
, T x
n+1
, T x
n
) ≤ S(T x
n

, T x
n
, T x
n−1
).
Vậy {S(T x
n+1
, T x
n+1
, T x
n
)} là dãy không âm đơn điệu giảm, nên tồn tại
r ≥ 0 sao cho lim
n−→∞
S(T x
n+1
, T x
n+1
, T x
n
) = r.
Cho n −→ +∞ trong (2.2) ta được
r ≤
1
3
lim
n−→+∞
S(T x
n−1
, T x

n−1
, T x
n+1
) ≤
1
3
(2r + r) = r.
suy ra
lim
n−→+∞
S(T x
n−1
, T x
n−1
, T x
n+1
) = 3r. (2.3)
Cho n −→ +∞ trong (2.1), sử dụng (2.3) và tính liên tục hàm ψ, ta được
r ≤
1
3
3r − ψ(0, 0, 3r). (2.4)
Từ (2.4) và tính chất của hàm ψ, ta suy ra r = 0.
Do đó
lim
n−→+∞
S(T x
n+1
, T x
n+1

, T x
n
) = 0 (2.5)
19
Tiếp theo, ta chứng minh dãy {T x
n
} là dãy Cauchy.
Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại ε > 0 sao cho từ dãy {T x
n
} ta tìm được
dãy con {T x
n(k)
} và {T x
m(k)
} với n(k) ≥ m(k) ≥ k sao cho với mọi k ta có
S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
n(k)
) ≥ ε
và
S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
n(k)−1
) < ε.

Khi đó
ε ≤ S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
n(k)
) = S(T x
n(k)
, T x
n(k)
, T x
m(k)
)
≤ S(T x
m(k)
T x
m(k)
, T x
n(k)−1
) + 2S(T x
n(k)
, T x
n(k)
, T x
n(k)−1
)
< ε + 2S(T x
n(k)
, T x

n(k)
, T x
n(k)−1
) (2.6)
cho k −→ +∞ trong (2.6) và sử dụng (2.5) ta được
lim
k−→+∞
S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
n(k)
) =
= lim
k−→+∞
S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
n(k)−1
)
= ε. (2.7)
Ta lại có
S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x

n(k)−1
) ≤ 2S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
m(k)−1
)
+S(T x
n(k)−1
, T x
n(k)−1
, T x
m(k)−1
)
≤ 2S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
m(k)−1
)
+2S(T x
n(k)−1
, T x
n(k)−1
, T x
n(k)
)
+S(T x

m(k)−1
, T x
m(k)−1
, T x
n(k)
)
≤ 2S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
m(k)−1
)
+2S(T x
n(k)
, T x
n(k)
, T x
n(k)−1
)
+2S(T x
m(k)
, T x
m(k)
, T x
m(k)−1
)
+S(T x
n(k)
, T x

n(k)
, T x
m(k)
), (2.8)
cho k −→ +∞ trong (2.8) và sử dụng (2.5) ta được
ε ≤ lim
k−→+∞
S(T x
m(k)−1
, T x
m(k)−1
, T x
n(k)
) ≤ ε,
nên
lim
k−→+∞
S(T x
m(k)−1
, T x
m(k)−1
, T x
n(k)
) = ε. (2.9)
20
Mặt khác
ε ≤ S(T x
m(k)
, T x
m(k)

, T x
n(k)
)
≤
1
3

2S(fx
m(k)
, f x
m(k)
, T x
n(k)
) + S(fx
n(k)
, T x
m(k)
, T x
m(k)
)

−ψ

S(fx
m(k)
, f x
m(k)
, T x
n(k)
), S(f x

m(k)
, f x
m(k)
, T x
n(k)
),
S(fx
n(k)
, T x
m(k)
, T x
m(k)
)

=
1
3

2S(T x
m(k)−1
, T x
m(k)−1
, T x
n(k)
) + S(T x
n(k)−1
, T x
m(k)
, T x
m(k)

)
− ψ

S(fx
m(k)
, f x
m(k)
, T x
n(k)
), S(f x
m(k)
, f x
m(k)
, T x
n(k)
),
S(fx
n(k)
, T x
m(k)
, T x
m(k)
)

(2.10)
cho k −→ +∞ trong (2.10) và sử dụng (2.7), (2.9) ta được
ε ≤
1
3
(2ε + ε) − ψ(ε, ε, ε),

suy ra ψ(ε, ε, ε) ≤ 0. Điều này mâu thuẫn với ε > 0. Vậy {T x
n
} là dãy
Cauchy. Vì tính đầy đủ của T (M ) nên tồn tại u ∈ T (M) sao cho u = lim
n→+∞
T x
n
.
Do T (M) ⊂ f(M ) nên tồn tại z ∈ M sao cho fz = u.
Ta lại có
S(fz, fz, T z) ≤ 2S(f z, f z, T x
n+1
) + S(T z, T z, T x
n+1
)
≤ 2S(f z, f z, T x
n+1
) +
1
3

2S(fz, fz, T x
n+1
) + S(fx
n+1
, f x
n+1
, T z)

−ψ


S(fz, fz, T x
n+1
), S(f z, f z, T x
n+1
), S(f x
n+1
, f x
n+1
, T z)

≤ 2S(fz, fz, T x
n+1
) +
1
3

2S(fz, fz, T x
n+1
) + S(T x
n
, T x
n
, T z)

− ψ

S(fz, fz, T x
n+1
), S(f z, f z, T x

n+1
), S(T x
n
, T x
n
, T z)

(2.11)
cho n −→ +∞ trong (2.11) và sử dụng tính liên tục của ψ, ta được
S(fz, fz, T z) ≤
1
3
S(fz, fz, T z) − ψ

0, 0, S(f z, fz, T z)

.