213
VAÁN ÑEÀ 8






BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
LÖÔÏNG GIAÙC



214
Vấn đề 8
Bất PhươngTrình Lượng Giác
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu
vào các bpt lượng giác .
• Từng bước đưa về dạng uv hoặc
v
u
sau đó xét dấu của các hàm
số lượng giác tương ứng trên đường tròn lượng giác , ta sẽ suy
được trực tiếp .
• Có thể đưa về các dạng cơ bản như bpt bậc 1, bậc 2, bậc cao …
hoặc có thể đặt ẩn phụ để đưa về các dạng quen thuộc …
• Có thể đưa về dạng đối lập .
• Có thể dùng đồ thò hoặc bảng biến thiên để can thiệp vào .

• Có thể đưa về dùng các tính chất đồng biến hoặc nghòch biến
của các hàm số thông dụng …
• Có thể dùng MAX , MIN để can thiệp vào một số bài toán tìm
m để bpt có nghiệm trên tập xác đònh của nó , vô nghiệm ,hoặc
có ít nhất nghiệm, ……
• Có thể đánh giá các biểu thức tham gia vào bài toán
• Có thể áp dụng các bất đẳng thức quan biết như Côsi , Bunhia –
cốp xki và các bấtđẳng thức khác .Nhờ đó các bài toán được giải
quyết gọn gành và nhanh chóng .
• Có thể dùng phương pháp đổi biến số
Để giải bất phương trình ta có thể thực hiện các bước sau :
- Đặt ẩn số ban đầu x = α(t) (hay t = α(x) , trong đó t được coi là ẩn
số mới , α là hàm số liên tục theo t sao cho khi t biến thiên trên
tập xác đònh D
1
thì x biến thiên trên toàn bộ tập xác đònh D của
bất phương trình đã cho
- Kết hợp tập xác đònh D và các điều kiện ràng buộc khác để đua
ra kết luận về nghiệm theo ẩn số ban đầu


215
Sau đây là một số ví dụ từ đơn giản đến phức tạp để các bạn có
thể tham khảo …
B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNGÏ DẪN GIẢI
Bài 1
Giải bất phương trình : sin x ( cos x -
2
1
) > 0

Giải
Ta có :
sin 0
(1)
1
cos
2
sin 0
(2)
1
cos
2
x
x
x
x
⎡
>
⎧
⎪
⎢
⎨
⎢
>
⎪
⎢
⎩
⎢
<
⎧

⎢
⎪
⎢
⎨
<
⎢
⎪
⎢
⎩
⎣
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
π+
π
<<+π
π+
π
<<π
2k
3
5
x)1k2(
2k
3
x2k


Bài 2
Giải bất phương trình : sinx < sin2x(*)
Giải
(*)
⇔ 2sinxcosx – sinx > 0 ⇔ sinx(2cosx –1 ) > 0
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
2
1
cos
0sin
x
x
∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
2
1

cos
0sin
x
x

⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+<<+
+<<
π
π
ππ
π
π
π
2
3
2
2
2
3
2
lxl
kxk
(k,l ∈ Z)



216
Bài 3
Giải bất phương trình : cos3x -
3 sin3x ≥ 1 (1)
Giải
(1)
⇔
2
1
3sin
2
3
3cos
2
1
≥− xx
⇔
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
3
3cos
π
x ≥

2
1
(1)
Dựa vào đường tròn lượng giác :
(1)
⇔
3
π
− + k2π ≤ 3x +
3
π
− ≤
3
π
− + k2π

⇔
3
2
3
2
9
2
π
π
π
kxk ≤≤+−

Bài 4
Giải bất phương trình : 2x

2
sinx – 1 ≤ 2sinx(sinx – 1) + cos2x (*)
Giải
(*)
⇔ 2x
2
sinx – 1 ≤ 2sin
2
x – 2sinx + 2 – 2sin
2
x
⇔ (2x
2
+ 2)sinx ≤ 2 ⇔ (x
2
+ 1)sinx ≤ 1
⇔ sinx ≤ 1 (vì x
2
+ 1 > 0 ∀x ∈ R) ⇔ x ∈ R
Bài 5
Giải bất phương trính : cos
2
x + 3 sinx.cosx < 1 (1)
Giải
(1)
⇔ cos2x + 3 sin2x < 1
⇔ sin
2
1
6

2
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
x ⇔
π
π
π
π
π
2
6
13
6
22
6
5
kxk +<+<+
⇔
πππ
π
kxk +<+
3


Bài 6
Giải bất phương trình : cosx +
xcos
1
≥
2
5
(*)
Giải
(*)
⇔ 0
cos
1cos
2
5
cos
2
≥
+−
x
x



217
⇔
()( )
x
xx
cos

1cos22cos
−
−
≥ 0 ⇔
x
x
cos
1cos2
−
≤ 0 (do cosx < 2 , ∀x)
⇔ 0 < cosx ≤
2
1
∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
0cos
2
1
cos
x
x
⇔ 0 < cosx ≤
2
1


⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+≤<+
+<<+
π
π
π
π
π
π
π
π
2
2
5
2
2
3
2
3
2
2
kxk
kxk


Bài 7
Giải bất phương trình :
x2cos1
x2sin
−
≤ 0 (1)
Giải
(1)
⇔
xsin2
x2sin
2
≤ 0 (điều kiện : x ≠ k
π
)

⇔ cotg x ≤ 0 (điều kiện : x ≠ k
π
)

⇔
π+π≤≤π+
π
kxk
2
loại trừ x = k
π

Bài 8

Đònh m để bất phương trình vô nghiệm : sin (2x -
3
π
) ≥ m -
2
3

Chú ý :
• f(x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ max f(x) , x
∈
D
• f(x) ≥ m vô nghiệm khi m > max f(x) , x
∈
D
Ta có : sin (2x -
3
π
)
[
]
1,1
−
∈

Từ đó suy ra : sin (2x -
3
π
) có max bằng 1
Bất phương trình vô nghiệm
⇔ m -

2
3
> 1 ⇔ m > 1 +
2
3



218
Bài 9
Đònh m để bất phương trình có nghiệm :
sin
2
x – sinx ≥ m
2
– 2m , x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π
∈
4
,0

Giải
Khi x
0,

4
π
⎡⎤
∈
⎢⎥
⎣⎦
thì
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤
=
2
2
t0
xsint

Xét f(t) = t
2
– t ; f’(t) = 2t – 1
t 0
2
1

2
2

f’(t) 1 _ 0 + 1

f(t) 0
2
21
−


4
1
−
Bảng biến thiên cho ta : maxf(x) = 0 , với x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
2
2
,0

Bất phương trình có nghiệm
⇔ m
2
– 2m ≤ maxf(x) ,
⇔ m
2
– 2m ≤ 0 ⇔ m(m – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.
Bài 10
Giải bất phương trình :

cos
3
x.cos3x – sin
3
x.sinx ≤
8
5
(1)
Giải
(1)
⇔ cos
3
x(4cos
3
x – 3cosx) – sin
3
x(3sinx – 4sin
3
x) ≤
8
5

⇔ 4(cos
6
+ sin
6
) – 3(sin
4
x + cos
4

x) ≤
8
5



219
⇔ 4(1 – 3sin
2
x.cos
2
x) – 3(1 – 2sin
2
x.cos
2
x) ≤
8
5

⇔ 1 – 6sin
2
x.cos
2
x ≤
8
5
⇔ sin
2
2x ≥
4

1

⇔ sin2x ≤ -
2
1
∨ sin2x ≥
2
1

⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+≤≤+
+≤≤+
π
π
π
π
π
π
π
π
2
3
2
22

3
2
3
5
22
3
4
kxk
kxk
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+≤≤+
+≤≤+
π
π
π
π
π
π
π
π
kxk
kxk
36
6

5
3
2

Bài 11
1-\ Tìm tất cả các nghiệm của phương trình :
sinxcos4x + 2sin
2
2x = 1 – 4 sin
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
2
x
4

thoả mãn hệ bất phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−>+
<−

x3x
31x
2

2-\ Tìm giá trò lớn nhất của hàm số :
f(x) = 5cosx – cos5x trên đoạn
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ππ
−
4
;
4

(Đại học An ninh 2001)
Giải
1-\ Ta có :
sinxcos4x + 2sin
2
2x = 1 – 4sin
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−
π
2
x
4

⇔ sinxcos4x + 1 – cos4x = 1 - 2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
− x
2
cos1

⇔ cos4x(sinx – 1) = 2(sinx – 1)
⇔ (sinx – 1) (cos4x – 2) = 0 ⇔
⎢
⎣

⎡
=
=
2x4cos
1xsin
( vô nghiệm)


220
Vậy sinx = 1
⇔ x =
2
π
+ k2
π
; k
∈
Z
2
|1|3
3
x
x
x
−<
⎧
⎨
+>−
⎩
⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>++
−>−
<−
03xx
31x
31x
2
⇔
⎩
⎨
⎧
−>
<
2x
4x
⇔ -2 < x < 4
Điều kiện của bài toán được thoả mãn
⇔ k = 0
Khi đó nghiệm của phương trình : x =
2
π

2-\ Ta có : f(x) = 5cosx – cos5x x
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
ππ
−∈
4
;
4

f’(x) = -5sinx + 5sin5x
f’(x) = 0
⇔ sin5x = sinx ⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∈
π
+
π
=
π
=
Zk;
3
k
6

x
2
kx

Vì x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ππ
−∈
4
;
4
, ta thấy x = 0 ; x =
6
π
; x =
6
π

Lại có : f”(x) = -5cosx + 25cos5x
f”(x) = 20 > 0
f”
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
π
±
6
= -15 3 < 0.
Vậy hàm số f(x) đạt cực đại tại x =
±
6
π
và giá trò cực đại là f
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
±
6
=
3
3
Ngoài ra : f
23
4
=
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
π
− ; f 23
4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π

Vậy giá trò lớn nhất của f(x) là 3
3 (khi x= ±
6
π
)


221
Bài 12
Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm :
mxx ≥+ 2sin
2
1
sin3
2

(*)
Giải
(*)
⇔ 3 (1 – cos2x) + sin2x ≥ 2m ⇔ sin
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
2
π
x ≥
2
32 −
m

Để bất phương trình vô nghiệm thì :
2
32 −
m
> 1 ⇔ m >
2
23 +

Bài 13
Giải bất phương trình
2cos2x + sin

2
xcosx + sinxcos
2
x > 2(sinx + cosx)(1)
Giải
(1)
⇔ (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] > 0
Đặt f(x) = (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2]
• f(x) = 0 ⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
=−
−
+
=+
2
02
2
1

2
0cossin
2
t
t
t
xx
với t = cosx – sinx
⇔
⎢
⎣
⎡
=−
=+
1sincos
0cossin
xx
xx
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=∨=
=∨=
2
3
0

4
7
4
3
π
ππ
xx
xx

Do x là hàm số tuần hoàn nên ta chỉ cần xét dấu của f(x) trên [0 ; 2
π]
Trong 1 chu kỳ [0 ; 2
π] nghiệm là :
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
<<
<<
π
π
ππ
2
4
7
2
3
4

3
x
x

Vậy nghiệm của bất phương trình là :


222
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+<<+
+<<+
πππ
π
π
π
π
π
222
4
7
2
2
3
2
4

3
kxk
kxk
(k ∈ Z)
Bài 14
Giải bất phương trình : (sinx + cosx)
2
≥ (tgx + cotgx)
2
(1)
Giải
Ta có :
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥+
≤+
(BCS) 4cot
(Cauchy) 2cossin
2
2
gxtgx
xx

Do vế trái và vế phải hoàn toàn đối lập
Vậy (1) vô nghiệm

Bạn đọc có thể dựa vào các bất đẳng thức cơ bản với 2 chiều đối lập
nhau để dẫn đến 1 sự đối lập hoàn toàn và cho ra bất phương trình vô
nghiệm dể dàng .
Bài 15
Giải bất phương trình :
4sin3sin
62cossin4
10cossin
log
2
2
5
−+>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
xx
xx
xx
(*)
Giải
(*)
⇔

4sin3sin
5sin4sin2
9sinsin
log
2
2
2
5
−+>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
xx
xx
xx
(1)
Đặt t = sinx (-1
≤ t ≤ 1)
(1)
⇔
43
542
9

log
2
2
2
5
−+>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
tt
tt
tt

Đặt a = 2t
2
+ 4t + 5 ; b = t
2
+ t + 9
(1)
⇔
ba
a
b

−>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5
log
⇔ log
5
a – log
5
b > a – b
• Với a > b ⇒
⎩
⎨
⎧
>−
<−
0
0loglog
55
ba
ba
⇒ (1) vô nghiệm
• Với a < b ⇔ 2t
2
+ 4t + 5 < t
2

+ t + 9 ⇔ -4 < t < 1


223
⇒
⎩
⎨
⎧
<−
>−
0
0loglog
55
ba
ab
⇒ (1) có nghiệm –4 < t < 1
⇔ -4 < sinx < 1 ⇔ x ∈ R
Bài 16
Giải bất phương trình : 2cos2x + 4sinx – cosx
≥ 4 (*)
Giải
(*)
⇔ 2 – 4sin
2
x + 4sinx – cosx ≥ 4
⇔ 4sin
2
x – 4sinx + 1 + cosx + 1 ≤ 0 ⇔ (2sinx – 1)
2
+ cosx + 1 ≤ 0 (1)

mà (2sinx – 1)
2
≥ 0 ; (cosx + 1) ≥ 0 ⇒ vế trái ≥ 0
(1) có nghiệm khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
2
1
sin
1cos
x
x
⇒ vô nghiệm ⇒ (*) vô nghiệm .
Bài 17
Giải bất phương trình :
α
α
α
α
α
3
3
3
2

2
sin
sin28
sin
2
sin
sin4 −
≤+
−
(*)
Giải
Đặt x =
α
sin
2
với ⏐t⏐ ≥ 2
Bpt (*)
⇔ 21
332
−≤+− xxx ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≤+−
≥
2
3
3

2
1
11
2
x
x
x
x
x
(1)
Đặt f(x) = VT =
1
11
3
3
+−
x
x
;
f’(x) =
()
4
2
3
2
342
3
2
3
311

2
13111
2
1
x
x
x
x
xxx
x
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−
−−
< 0
với x
≥ 2


224
g(x) = VP =
2
2
x
x −
; g’(x) =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
3
2
4
1
2
2
1

x
x
x
> 0
⇒ f(x) giảm và g(x) tăng ∀x ≥ 2
Với x = 3 thì f(x) = g(x)
Vậy (1)
⇔ x ≥ 3 ⇔
α
sin
2
≥ 3 ⇔
α
α
sin
sin32
−
≥ 0 ⇔ 0 < sinα ≤
3
2

Bài 18
Giải bất phương trình :
9
cos
1
cos
sin
1
sin

22
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x
x
x

Giải
Điều kiện : x
≠
2
π
k
VT =
2
cos

1
cos2
sin
1
sin
2
2
2
2
+++++
x
x
x
x
=
x
x
xx
22
22
cossin
cossin
5
+
+
=
x
2sin
4
5

2
+
Ta có : 0 < sin
2
2x ≤ 1 ⇒
4
2sin
4
2
≥
x
⇒ VT ≥ 9
bpt
⇔ sin
2
2x = 1 ⇔ sin2x =
±
1 ⇔ 2x =
2
π
+ kπ ⇔ x =
4
π
+ k
2
π

Bài 19
Cho bất phương trình :
92

cos
1
2
++
+
+ m
x
m
xtg
≥ 0 (1)
Tìm m để (1) luôn đúng với mọi m ∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
;0
π

Giải
Đặt t =
xcos
1
với 0 < x <
2
π
⇒ t > 1
(1)

⇔ t
2
+ 1 + (m + 1)t + 2m + 9 ≥ 0 ∀t > 1


225
⇔ m(t + 2) ≥ -t
2
– t – 10 ∀t > 1 ⇔ m ≥
2
10
2
+
−−−
t
tt
= f(t) ∀t > 1
(do t > 1
⇒ t > -2 ⇒ t + 2 > 0)
D = (1 ; +
∞)
f’(t) =
2
2
)2(
84
+
+−−
t
tt

f’(t) = 0 ⇔ t = 322 ±−
t
1 -2+2
2 +∞
f’(t) + 0 -
f(t)
3-4
3
-4 (+) -
∞
Vậy m ≥ 343 −
Bài 20
Giải bất phương trình :
1sin2cos
2
sin2
2
≥++ xx
x
trên [0 ; 2π] (*)
Giải
(*)
⇔ 2sin
2
t + cos2t + 2sin2t ≥ 1 (đặt t =
2
x
)
⇔ 2sin
2

t + cos2t + 1 + 2sin2t ≥ 2 ⇔ sin
2
t +
2
12cos
+
t
+ sin2t ≥ 1
⇔ sin
2
t + cos
2
t + sin2t ≥ 1 ⇔ sin2t ≥ 0 ⇔ sinx ≥ 0 ⇔ x ∈ [0 ; π]
Bài 21
Giải bất phương trình : cos2x + sinx –1 < 0 (1)
Giải
(1)
⇔ -2sin
2
x + sinx < 0 ⇔ sinx(1 – 2sinx) < 0
⇔
⎩
⎨
⎧
<−
>
∨
⎩
⎨
⎧

>−
<
0sin21
0sin
0sin21
0sin
x
x
x
x
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
2
1
sin
0sin

2
1
sin
0sin
x
x
x
x

⇔ sinx < 0 ∨ sinx >
2
1
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
+<<+
+<<+
π
π
π
π
ππππ
2
6
5
2
6
222

kxk
kxk
(k ∈ Z)


226
Bài 22
Đònh a để bất phương trình sau cóâ nghiệm :
sin
2
x – (a + 2)sinx + a – 3 > 0(*)
Giải
(*)
⇔ (sinx – 1)a < sinx – 2sinx – 3
Đặt t = sinx , t
∈[-1 ; 1]
Bpt
⇔ (t – 1)a < t
2
– 2t – 3
• t > 1 : a <
1
32
2
−
−−
t
tt
: a ∈ ∅
• t = 1 : bpt ⇔ 0.a < -4 (vô lý) : a ∈ ∅

• -1 ≤ t < 1
Bpt
⇔ a >
1
32
2
−
−−
t
tt

Đặt f(t) =
1
32
2
−
−−
t
tt
với –1 ≤ t ≤ 1
f’(t) =
()
2
2
1
52
−
+−
t
tt

> 0; ∀t
t -1 1
f’(t) + ||
f(t) ||
0
YCBT ⇔ a > 0
Bài 23
Giải bất phương trình sau :
2
cos
1
.2
2cos1
2cos1
2
−≥
+
−
x
x
x
(*)
Giải
(*)
⇔ 2
cos
1
.2
cos
sin

22
2
−≥
x
x
x

⇔ 1
cos
1
.21
2
2
−≥+
x
tg ⇔ 1
cos
1
.2
cos
1
22
−≥
x
x



227
⇔

x
2
cos
1
≤ 1 ⇔ cos
2
x = 1 ⇔ cosx = 1 ∨ cosx = -1
⇔ x = k2π ∨ x = π + k2π
Bài 24
Tìm m để bất phương trìh có nghiệm :
m
x
x
x
−≥
+
−
2
cos
1
.2
2cos1
2cos1
(*)
Giải
Theo trên ta có :
Bpt (*)
⇔
1
cos

1
.2
cos
1
22
+−≥ m
x
x
⇔
1
cos
1
2
−≤ m
x

• m – 1 > 0 ⇔ m > 1 : bpt ⇔ cos
2
x ≥
1
1
−m

YCBT
⇔
1
1
−m
≤ 1 ⇔ 1 ≤ m – 1 ⇔ m ≥ 2 (thoả điều kiện m > 1)
• m –1 < 0 ⇔ m < 1 : bpt ⇔ cos

2
x ≤
1
1
−m

YCBT
⇔
1
1
−m
≥ 0 ⇔ 1 ≤ 0 (vô lý) ⇔ m ∈ ∅
• m = 1 : bpt ⇔
x
2
cos
1
≤ 0 : vô nghiệm
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m
≥ 2
Bài 25
Giải bất phương trình : cosx > cotgx(*)
Giải
(*)
⇔ cosx >
x
x
sin
cos
⇔ cosx 0

sin
1
1 >
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
x

⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
1
sin

1
0cos
1
sin
1
0cos
x
x
x
x

(Bạn đọc tiếp tục tự giải )


228
Bài 26
Đònh m để bất phương trình có nghiệm :
2
cos2x
+
x
2
sin
4 + 5 – m ≤ 0 (*)
Giải
(*)
⇔ 542
2
2cos1
2cos

++
− x
x
≤ m
Đặt t = 2
cos2x
với t ∈ [
2
1
; 2]
Bpt
⇔ t +
5
2
+
t
≤ m ⇔
t
tt 25
2
++
≤ m
Đặt f(t) =
t
tt 25
2
++
với t ∈ [
2
1

; 2]
f’(t) =
2
2
2
t
t −

f’(t) = 0
⇔ t = 2±
t

1
2
-2+2 2 2
f’(t) - 0 +
f(t)

19
2
8
2
2 +5
Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 522 +
Bài 27
Giải bất phương trình :
x
x
x
x

sin1
sin1
sin1
sin1
+
−
+
−
+
≤ a (*)
Giải
Điều kiện x
≠ nπ , n nguyên
Ta có :
(*)
⇔
x
x
x
x
sin1
sin1
sin1
sin1
+
−
+
−
+
≤ a ⇔

x
xx
2
cos1
cossin22
−
−
≤ a


229
⇔ gx
x
cot2
sin
2
2
− ≤ a ⇔ 2cotg
2
x – 2cotgx + 2 – a ≤ a (1)
∆’ = 2a – 3
• a ≥
2
3
⇒ ∆’ ≥ 0
Khi đó (1)
⇔
2
321
cot

2
321 −+
≤≤
−− a
gx
a

Vậy k
π + α và kπ +
β
(k ∈ Z) với -
2
π
< α <
2
π
và -
2
π
<
β
<
2
π
và
cotg
α =
2
321 −+ a
và cotg

β
=
2
321 −− a

Bài 28
Giải bất phương trình :
2cos2x + sin
2
xcosx + sinxcos
2
x > 2(sinx + cosx) (1)
Giải
Ta có :
(1)
⇔ 2(sinx + cosx) < 2(cos
2
x – sin
2
x) + sinxcosx(sinx + cosx)
⇔ (sinx + cosx)[2(cosx – sinx) + sinxcosx – 2] > 0
Đặt t = cosx – sinx
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
−=
2
4
cos2
1sin
2
t
xt
tx
π

Khi đó ta có :
()
021
2
1
2
4
cos2
2
>
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− ttx
π

⇔ 0)3)(1(
2
1
4
cos2 >−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− ttx
π

Do t – 3 <

∀x
⇒ (1) ⇔ 0)1(
4
cos >−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− tx
π



230
⇔ (a)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
1
4
cos
0
4
cos
π
π
x
x
∨ (b)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
1
4
cos
0
4
cos
π
π
x
x

Giải a) : Xét 1 chu kỳ 2
π ta có :
• cos

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
4
π
x > 0 ⇔
242
π
π
π
<−<− x ⇔
4
3
4
π
π
<<− x
• cos
2
1
4
>
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+
π
x
⇔
444
π
π
π
<+<− x ⇔ 0
2
<<− x
π

Kết hợp nghiệm ta được :
4
π
− + k2π < x < 2(k + 1)π (k ∈ Z)
Giải : b) : Xét 1 chu kỳ 2
π ta có :
• cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
4

π
x
< 0 ⇔
2
3
62
π
π
π
<−< x ⇔
4
7
4
3
π
π
<< x
• cos
2
1
4
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π

x ⇔
4
7
44
π
π
π
<+< x ⇔
2
3
0
π
<< x
Kết hợp nghiệm ta được :
4
3
π
+ k2π < x <
2
3
π
+ k2π (k ∈ Z)
Bài 29
Giải bất phương trình : 4(sin
4
x + cos
4
x) > 2sinx.cosx + 3 (1)
Giải
Ta có :

(1)
⇔ 32sin
2
2cos1
2
2cos1
4
22
+>
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−
x
xx

⇔ 2sin
2
2x + sin2x –1 > 0 ⇔ 2(sin2x + 1)(sin2x -
2
1
) < 0
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≠
<
12sin
2
1
2sin
x
x
⇔
()
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎨
⎧
+≠
++<<+
π
π
π
π
π
π
2
2
3
2
12
6
22
6
5
kx
kxk



231
⇔
()
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+≠
++<<+
π
π
π
π
π
π
kx
kxk
4
3
1
1212
5

Bài 30
Tìm tất cả các giá trò của a để bất phương trình :
a(4 – sinx)
4
– 3 + cos
2
x + a > 0 có tập nghiệm là R
Giải

Giả sử a thoả mãn đề bài .Vì bất phương trình có nghiệm là R nên
x =
2
π
là nghiệm , do đó ta phải có
a
0
2
cos3
2
sin4
2
4
>++−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− a
ππ
⇔ 82a – 3 > 0 ⇔ a >
82
3

Vậy là mọi a thoả mãn đề bài đều nằm trong khoảng a >
82
3


Giả sử a >
82
3
.Vì cos
2
x ≥ 0
Nên 4 – sinx
≥ 3 ⇔ (4 – sinx)
4
≥ 81 ∀x
Vì a > 0 nên ta có :
a(4 – sinx)
4
– 3 + cos
2
x + a ≥ 81a – 3 + a = 82a – 3 > 0
Vậy khi a >
82
3
thì bất phương trình có tập nghiệm là R
Bài 31
Tìm tất cả các giá trò của tham số a để bất phương trình :
a
2
+ 2a – sin
2
x = 2acosx nghiệm đúng ∀x
Giải
Vì sin
2

x = 1 – cos
2
x nên đặt t = cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1 và bất phương trình
trở thành :
y = t
2
– 2at + a
2
– 2a – 3 > 0 ∀t ∈ [-1 ; 1]
Đây là 1 parabol quay bề lõm về phía trên , có đỉnh tại điểm t = a ,
nên già trò bé nhất y
min
cùa nó trên [-1 , 1] là :


232
y
min
=
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥−=
<<−=
≤−+=−
1a khi 21

1a1- khi 32)(
-1a khi 241
2
2
ay
aay
aay

y > 0
∀t ∈ [-1 ; 1] ⇔ y
min
> 0 khi t ∈ [-1 ; 1]
• Khi a ≤ -1 : a
2
+ 4a – 2 > 0 ⇔ a < -2 - 6
• Khi –1 < a < 1 : 2a – 3 > 0 ⇔ a >
2
3
(loại)
• Khi a ≥ 1 : a
2
– 2 > 0 ⇔ a >
2

Vậy bất phương trình nghiệm đúng
∀x khi a > 2 hoặc a < -2 - 6
Bài 32
Giải bất phương trình : cos2x + 5cooxsx + 3
≥ 0 (*)
Giải

(*)
⇔ 2cos
2
x + 5cosx + 3 ≥ 0 (1)
Đặt t = cosx với –1
≤ t ≤ 1
(1)
⇔ 2t
2
+ 5t + 3 ≥ 0 ⇔ t ≤ -2 ∨ t ≥ -
2
1

So sánh điều kiện ta có :
2
1
−
≤ t ≤ 1
⇔
2
1
−
≤ cosx ≤ 1 ⇔ -
3
2
π
+ k2π ≤ x ≤
3
2
π

+ k2π
Bài 33
Giải bất phương trình : sinx + cosx – 3sinxcosx
≤ 1 (1)
Giải
Đặt t = sinx + cosx ,
⏐t⏐ ≤
2

⇒ t
2
= 1 + 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx =
2
1
2
−t

(1)
⇔ t – 3(
2
1
2
−t
) ≤ 1 ⇔ 2t – 3(t
2
–1) ≤ 2
⇔ -3t
2
+ 2t + 1 ≤ 0 ⇔ t ≤ -
3

1
∨ t ≥ 1


233
So ủieu kieọn nhaọn :







3
1
2
21
t
t

1 t 2
1 sinx + cosx 2 1







4

cos2

x 2

2
2








4
cos

x 1


2
4
k+ x -
4




2
4

k+
k2 x
2

+ k2
-
2
t
3
1


- 2 sinx + cosx -
3
1

3
1
4
cos2








x
-1

23
1
4
cos








x (*)
ẹaởt cos
=
23
1


(*)
+ k2 x -
4

2 - + k2

+
4

+ k2 x
4

9

- + k2


234
Bài 34
1-\ Tìm k để bất phương trình sau có nghiệm :
3
.sinx + 2sin
2

2
x
≥ k
2-\ Tìm nghiệm của bất phương trình :
3
.sinx + 2sin
2

2
x
≥ 1
Thoả điều kiện : log
2
(x
2
– x +2) ≤ 2
(Đề Đại Học Tổng Hợp TP HCM )
Giải

1-\
3 .sinx + 2sin
2

2
x
≥ k ⇔ xcos1xsin3 −+≥ k
⇔
2
1k
xcos
2
1
xsin
2
3 −
≥−
⇔
2
1k
6
xsin
−
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

π
−

Bất phương trình vô nghiệm khhi và chỉ khi
2
1k
−
≥ 1 ⇔ k ≥ 3
2-\ theo trên với k = 1 , ta có :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
6
xsin
≥ 0 ⇔ π+π≤
π
−≤π k2
6
xk2
⇔ k2
6
7
xk2
6
π+

π
≤≤π+
π
(1)
Mặt khác :
log
2
(x
2
– x +2 ) ≤ 2 ⇔ x
2
– x + 2 ≤ 4 ( vì x
2
– x + 2 > 0 , x∀ )

⇔ x
2
– x + 2 = 0 ⇔ 1
−
≤ x ≤ 2 (2)
Trong (1) , với k =
1− thì :
6
x
6
5
π
≤≤
π
−

. Khi đó , giao với (2) , ta lấy
6
x1
π
≤≤−
.
Với k = 0 thì
6
7
x
6
π
≤≤
π
; giao với (2) ta lấy 2x
6
≤≤
π
.
Vậy các giá trò x được lấùy trong (1) để thoả mãn (2) là :

1
−
≤ x≤ 2.


235
Bài 35
Tìm y để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x :
ysinysinycosx2ycosx

2
+− ≥ 0
(Đề Đại Học Tài Chính _ Kế toán )
Giải
ysinysinycosx2ycosx
2
+− ≥ 0 ,
∀
x .
π+
π
=⇔
⎩
⎨
⎧
≥
=
•
k2
2
x
0ysin
0ycos

•cos y ≠ 0 , bất phương trình nghiệm đúng
∀
x ⇔
Bài 36
Chứng minh rằng bất phương trình :
sinx(cos

2
x + sin.2x) + sin 3x < 9cos
3
x
Được thoả mãn
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π
∈∀
3
;0x

(Đề Đại Học Y Dược TP HCM)
Giải
Ta có : sinx(cos
2
x + sin.2x) + sin 3x < 9cos
3
x ; x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π

∈
2
;0

⇔ sinxcos
2
x + 2sin
2
xcosx +3sinx – 4sin
3
x < 9cos
3
x ; x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π
∈
2
;0

Khi x =
2
π
, bất phương trình có dạng : 1
−
< 0 ( đúng )

Khi x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
π
∈
2
;0
⇒ cosx > 0
Chia hai vế bất phương trình cho cos
3
x > 0 , ta được :
tgx + 2tg
2
x + 3tgx(1 + tg
2
x) – 4tg
3
x < 9 ⇔ tg
3
x – 2tg
2
x – 4tgx + 9 > 0
Đặt t = tgx ; với x
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
π
∈
2
;0
⇒ tgx ≥ 0 hay t ≥ 0
Xét hàm số : f(t) = t
3
– 2t
2
–4t +9 ; t
[
]
+
∞
∈
;0

f’(t) = 3t
2
– 4t – 4 ; f’(t) = 0 ⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
=
3

2
t
2t



236
Bài 37
Cho phương trình : 4cos
5
xsinx – 4sin
5
xcosx = sin
2
4x + m (1)
1-\ Biết rằng x =
π
là 1 nghiệm của (1) . Hãy giải phương trình (1)
trong trường hợp đó.
2-\ Cho biết x =
8
π−
là 1 nghiệm của (1) . Hãy tìm tất cả các nghiệm
của phương trình (1) thoả mãn : 2x3x
24
+− < 0 .
(Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M )
Giải
Ta có (1)
⇔ mx4sin)xsinx(cosxcosxsin4

244
+=−
⇔ mx4sin)xsinx)(cosxsinx(cosx2sin2
22222
+=−+
⇔ mx4sinx4sin
2
=− (2)
1-\ x =
π
là nghiệm của (1) nên cũng là nghiệm của (2) .
m4sin4sin
2
=π−π ⇒ m = 0
Do đó (2) :
⇔ 0x4sinx4sin
2
=−
⇔
⎢
⎣
⎡
=
=
1x4sin
0x4sin
⇔
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
∈
π
+
π
=
∈
π
=
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
∈π+
π
=
∈π=
)Z(
28
x
)Zk(
4
kx
)Z(2
2
x4
)Zk(kx4
A

A
AA

2-\ . x =
8
π−
là nghiệm cùa (2) :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π−
2
sin
2
sin
2
= m ⇔ m = 2
−


Vậy (1)
⇔ 2x4sinx4sin
2
−=− ⇔
⎢
⎣
⎡
−=
=
1x4sin
)loai(2x4sin

⇔ )Zk(
2
k
8
x)Zk(2k
2
x4 ∈
π
+
π
−=⇔∈π+
π
−=
* Mặt khác :
2x3x
24
+− < 0
⇔

⎢
⎣
⎡
−<<−
<<
⇔<<⇔<−−
1x2
2x1
2x10)2x)(1x(
222

∈<
π
+
π
−< k,2
2
k
8
1 Z xảy ra ⇔ k = 1


237
2−
<
2
k
8
π
+

π
−
< 1− , k
∈
Z không xảy ra .
Vậy cỉ có x =
8
3
28
π
=
π
+
π
−
là thoả mãn bài toán .
Bài 38
Xác đònh m để bất phương trình sau vô nghiệm :
mxx ≥+ 2sin
2
1
sin3
2

(Đại học dân lập Lạc Hồng , năm 1998 – 1999)
Giải
mxx ≥+ 2sin
2
1
sin3

2

⇔ mx
x
≥+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2sin
2
1
2
2cos1
3

⇔
2
32
2
3
2cos
2
3
2sin
2
1 −

=−≥−
m
mxx

⇔
2
32
2cos
3
sin2sin
3
cos
−
≥−
m
xx
ππ

⇔
2
32
3
2sin
−
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−
m
x
π

Bất phương trình vô nghiệm khi
1
2
32
>
−
m
hay m >
2
32 +

Bài 39
Giải bất phương trình :
[
]
cos x 3sin x 2, x 0;2
+
<∈π
Giải
cosx 3 sin x 2 cos x 3sin x 2 0 +<⇔+−<
Đặt
f(x) cosx 3sinx 2. =+ − ta có f xác đònh và liên tục trên
0; 2 π
f(x) 0 cosx 3sinx 2=⇔ + =

cos cos x sin sin x cos
334
π
ππ
⇔+=