WWW.MATH.VN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh , đường cao
qua đỉnh B có phương trình là x-3y-7=0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương
trình là x+y+1=0. Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác.
Gọi và lần lượt là phương trình của đcao và đtrung
tuyến đi qua đỉnh B và đỉnh C ( )

Đầu tiên ta có vector pháp tuyến của đường thẳng cũng chính là vector chỉ phương của
đường thẳng . Suy ra vector pháp tuyến của là :

Phương trình đường thẳng có dạng :

Từ đó dễ có đc tọa độ điểm

Đặt : .

Ta có :

Và
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : tâm I
và điểm M(2;4) Lậpphương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho
diện tích tam giác IAB lớn nhất ?

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip(E): 1)Tìm điều kiện kvà m để
đường thẳng d :y=kx+m tiếp xúc với elip (E)?
2)Khi d là tiếp tuyến của (E) gọi giao điểm của (d) và các đường thẳng x=5 và x=-5 là M và
N.Tính diện tích FMN theo k trong đó F là tiêu điểm của elip có hoành độ dương ?
3)Xác định k để tamgiác FMN có diện tích bé nhất ?
Ta có tâm .

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó IH vuông góc với AB nên ta có:

.
Vậy diện tích tam giác IAB lớn nhất là 2. Khi đó .
Giả sử đường thẳng d qua M(2;4) có dạng

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là:

Từ phương trình trên chọn a, b thích hợp là xong!
Dễ nhầm 4 câu về tìm Min !
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3,2) cắt các trục Ox, Oy tại M , N sao cho
a) Diện tích OMN min
b) MN min
c) OM + ON min
d) 1/OM^2 + 1/ON^2 min
1. Cho đường tròn và đường thẳng d: . Xác định
tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A thuộc d
2. Trong k/gian Oxyz cho và . Tìm tọa độ các điểm M, N, P sao
cho ABC.MNP là lăng trụ đứng có độ dài cạnh bên bằng và M có cao độ âm.
Có ji` khó đâu. Cứ chịu khó là được à:
1/ Gọi M, N là trung điểm AB, AD. Khi đó OMAN là hình vuông (O là tâm đường tròn (C)). Do
đó OM=MA=R.
.
Lúc này bài toán trở thành: "Tìm điểm A trên đường thẳng d: x+y-1=0 sao cho cách điểm O 1
khoảng . Đơn giản.
Tìm được A thì C đối xứng với A qua O. Tìm B,D có nhiều cách. Chẳng hạn lập pttt đi qua A, tt
qua C, từng đôi cắt nhau tại B, D.

2/ Thứ nhất là đề không thấy cho độ dài cạnh bên=?
Thứ hai nếu đã cho thì thử giải thế này nha: Lập pt tham số đường thẳng AM qua A và vuông
góc với (ABC). từ đó gọi dạng tọa độ của M (theo t). Sử dụng AM="đã cho" tìm được 2 giá trị t.
Kiểm tra cao độ của M là được roài.

Tìm được M rồi thì tìm N, P bằng cách .
Trong hệ trục tọa độ đề các vuông góc cho 5 điểm
và đường thẳng
Tìm điểm M (d) nhỏ nhất
Dễ dàng thấy rắng: và nằm cùng mặt phẳng bờ (d)
Như vậy (Với I là trung điểm )
Gọi , ta có:
Ta có:



Vậy để thì

Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ o và cắt đừong tròn
thành một dây cung có độ dài bằng 8
Chắc là có 2 đường nhỉ ^^
Gọi O1 là tâm (C). khi đó chắc chắn viết được Pt đường thằng (d) qua 2 điểm O & O1
Gọi A(xa;ya) là 1 trong 2 giao điểm Của O và O1.
khi đó ta có hệ 2 pt:
+khoảng cách từ A tới (d) = 4;(Còn chẳng nhớ CT tính khoảng cách từ 1 điểm tới đt nữa! quên
luôn)
+A thuộc (C);
Sau đó tính đc bán kính OA
>tìm
Chắc là ra

1)Trong mặt phẳng hệ tọa đ
ộ
khoảng cách từ trọ
ng tâm G c

2)trong không gian v
ới hệ tọa
trên (d) 2 đi
ểm A,B sao cho tam giác MAB
3)Trong không gian v
ới hệ tọa
. Đư
ờng thẳng (d) cắ
trình mặt cầu?
câu 1
vì khoảng cách đ
ến trục hoành = 1/3 nên => G( x, 1/3) ho
xét hai trường hợp
tiếp giả sử đi
ểm C( a,b) . dựa vào tr
kiện vuông góc giữa hai véc t
ơ

câu 2
đưa pt chính t
ắt của d về pt tham s
hai véc tơ MB và véc tơ ch
ỉ ph
cung là ứng với hai điểm A,B


câu 3
tính khoàng cách d(M,(d)) v
ẽ hình ra ta th
Cho elip có phươ

ng trình (x^2/64)+(y^2/36)=1 và
giác MAB vuông cân tại M
Cho (E):
Qua điểm M(1,1) viết pt đư
ờng th
của AB.
Hai đi
ểm A, B nhận M là trung
Mà A, B cùng thu
ộc (E), thay to
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vi
ế
cạnh nằm trên 2 tiệm cận củ
a (H) và trên
giác đều.
>tìm
được đg tròn
ộ
Oxy cho tam giác ABC vuông tại C. biết
ng tâm G c
ủa tam giác ABC đến trục hoành
. Tìm t
ọa
độ Oxyz cho và đường thẳng
m A,B sao cho tam giác MAB
đều?
tọa
độ Oxyz cho đường thẳng
ng (d) cắt mặt cầu (S) tâm M
tại 2 đi

ểm A,B sao cho AB=6. Vi
c hoành = 1/3 nên => G( x, 1/3) hoặc G( x,
-1/3)
ựa vào trọng tâm và hai
đ
ỉnh suy ra b,, còn một ẩ
ơ AB và AC s
ẽ suy ra dc a,, có 4 điểm C đ
ấy b
pt tham số giả sử B có tọa
độ theo t,, đ
ể tam giác ABC cân => góc gi
ỉ ph
ương cảu d là 60 đ
ộ,,áp dụng công thức cos tìm ra t

ẽ hình ra ta thấy R^2= (6/2)^2 + (d(M,(d))^2 từ
ng trình (x^2/64)+(y^2/36)=1 và
điểm M(6;8). Tìm tọa độ
A,B thu
ờng thẳng cắt (E) tại 2
đi
ểm phân biệt A,B sao cho M là trung
n M là trung
điểm A(x;y) và B(2-x;2-y)
c (E), thay toạ
độ A, B ở trên vào pt (E), ta đc hệ
pt, gi
ế
t phương trình chính tắc của hyberbol (H) biế

t r
a (H) và trên
đường thẳng vuông góc với trục thự
c t
, và
. Tìm t
ọa độ C?
. Tìm
và điểm
m A,B sao cho AB=6. Viết ph
ương
ột ẩn a ,,dựa vào
điều
ấy bạn

tam giác ABC cân => góc giữa
c cos tìm ra t
,,có hai t đó
y R^2= (6/2)^2 + (d(M,(d))^2 từ
đó viết dc pt rôi'
A,B thu
ộc elip sao cho tam
t A,B sao cho M là trung
điểm
pt, gi
ải ra là OK!!
t r
ằng tam giác có các
c t
ại đỉnh của (H) là tam


1. Viết pt đường thẳng đi
qua đ
cho độ dài đoạn MN nhỏ nhấ
t


(Luôn tiện cho em hỏi, có ai
đ
cập ở đâu trong SGK nhỉ ? )


thanks
Một cách chân phương:
Giải sử nó cắt Ox,Oy tại các
đi
phương trình đoạn chắn của
đư

A(27;1) thuộc đư
ờng thẳng trên nên
sau đó khảo sát.


Cho hình thoi ABCD có
: A(1;3) ; B(4;
a, Cho AD song song Ox ,
b, Viết PT đư
ờng tròn nội tiếp ABCD
a)


Cậu này lư
ời quá! Từ gi
Ch
ỉ việc tìm C(x; y) sao cho AB//CD là ok mà.
b) Tâm đư
ờng tròn nội ti
chính là kho
ảng cách từ
viết phương trình các cạ
nh c
A,B,C lần lượ
t là M(2;1) N(3;4) P(1;
Với bài này, dễ dàng nhậ
n ra MN = MP =>
nội tiếp một đường tròn vớ
i bán kính là BC/2 Mà MP = MN => M chính là trung
ABC cân tạ
i A => NP song song v
và C =>
(Bài này thì có thể làm thế đượ
c, nh
ai biết thì post lên cho mọi ngư
ờ
Nhân tiện đây xin hỏi mọi ngư
ờ
1) Viết pt ba cạnh củ
a tam giác ABC bi
của tam giác có pt lần lượ
t là x+2y

(Pg trong và trung tuyến có thể
t
2) Điể
m A(1;1) trong tam giác ABC. Hai đ
qua đi
ểm A ( 27 ; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần l
ư
t

đ
ã nghe qua khái niệm " véc tơ đơn vị" chưa
ạ

đi
ểm có hoành độ, tung độ lần lư
ợt là a,b, khi
đư
ờng thẳng MN:
ng trên nên
, Đến
đây thfi ta rút a theo b, thay vào

: A(1;3) ; B(4;
-1)
. Tìm C , D
ếp ABCD

ừ giả thiết có D(
-
4; 3). Vì AD//Ox, x(D)<0 và AB=AD=5.

c tìm C(x; y) sao cho AB//CD là ok mà.

ội tiếp chính là I
-giao điểm của hai đư
ờng chéo hình thoi, bán kính
ng cách từ I
đến đường thẳng AB. ok!
nh c
ủa tam giác nhọn biết tọa độ
chân đ
t là M(2;1) N(3;4) P(1;
-2)
n ra MN = MP =>
tam giác MNP cân tại M. Mặt khác lạ
i có b
i bán kính là BC/2 Mà MP = MN => M chính là trung
i A => NP song song v
ới BC => vector BC là vt chỉ phương củ
a BC => sd kho
c, nh
ưng với bài toán tổng quát thì mình chị
u, ch
ờ
i xem với )
ờ
i vài bài toán như thế này, mình nghĩ cũng chư
a ra:
a tam giác ABC bi
ết C(4;3). Có pt đườ
ng phân giác trong , trung tuy

t là x+2y
-5=0 và 4x+13y-10=0.
t
ừ đỉnh bất kì)
m A(1;1) trong tam giác ABC. Hai đ
ường thẳng ở bài trên là pt hai đườ
ng phân giác trong k
ư
ợt tại M và N sao
ạh ? Nếu có thì nó
đề
t là a,b, khi
đó ta viết được
ây thfi ta rút a theo b, thay vào
4; 3). Vì AD//Ox, x(D)<0 và AB=AD=5.

ng chéo hình thoi, bán kính
chân đ
ường cao kẻ từ
i có b
ốn điểm B, C, N, P
i bán kính là BC/2 Mà MP = MN => M chính là trung
điểm BC => tam giác
a BC => sd kho
ảng cách tìm ra B
u, ch
ưa nghĩ ra hướng làm,
a ra:

ng phân giác trong , trung tuy

ến kẻ từ 1 đỉnh
ng phân giác trong k
ẻ từ
đỉnh B và C. Tìm hai điể
m B và C?
Nhờ mọi người xem hộ
Gợi ý hướng giải :
Gọi B là điểm xuất phảt của đư
ờ
Tọa độ điểm B là nghiệm của h
ệ
Tính được : m=cos(BA,đườ
ng phân giác)
Gọi k là hệ số góc của đườ
ng th
d là đường thẳng AB khi và chỉ
khi cos(AB,đ
Giải phương trình này tìm đượ
c k
CA còn lại giải tương tự bằ
ng cách g
2) Đi
ể
m A(1;1) trong tam giác ABC. Hai
trong k
ẻ
t
ừ
đ
ỉ

nh B và C. Tìm hai
Nhờ mọi người xem hộ
Từ A lần lượt kẻ hai đư
ờng thẳ
đư
ờng PG trên tại I và J;A1 và A2 cùng thu
Dễ dàng tìm được tọa đ
ộ I và J (I,J la trung
viết được PT đư
ờng BC (chính là PT c
Giả sử cần tìm PT của các cạ
nh tam
CC1

Gọi C1 là trung điểm BA dễ
dàng bi
Thay tọa độ điể
m A (Xa,Ya) và PT Phân giác AA1 b
độ B đã biết)
Thay tọa độ C1 vào phươ
ng trình trung tuy
Từ đó tìm được tọa độ củ
a C1 => T

Từ Phương trình của AB đ
ã tìm
Hệ số góc của AA1 là k2

AC chính là đường thẳ
ng qua A,sao cho AA1 là PG c

Gọi HSG củ
a AC là k3.Do AA1 là PG nên A1 = A2 <=> tan A1 = tan A2 <=>
từ đó tìm được k3 => PT đườ
ng th

Trường hợp kẻ từ 1 đỉnh còn đ
ơ
Cảm ơn bạn nhé, như
ng theo mình, sau khi tìm
ở trên, tức là kẻ đườ
ng vuông góc v
m B và C?

ờ
ng phân giác đường trung tuyến.
ệ
Phương trình đường BC.
ng phân giác)

ng th
ẳng d qua B. Ta có phương trình đường thẳ
ng d (xem k là tham s
khi cos(AB,đ
ường phân giác)=m.
c k
phương trình đường AB.
ng cách g
ọi k' là hệ số góc
m A(1;1) trong tam giác ABC. Hai đ
ườ

ng th
ẳ
ng
ở

bài trên là pt hai đ
nh B và C. Tìm hai
đi
ể
m B và C?
ng thẳng vuông góc AA1,AA2 với
các đư
ờng PG cho tr
i I và J;A1 và A2 cùng thuộc BC)

I và J (I,J la trung
điểm AA1 và AA2) nên tìm
đư
ng BC (chính là PT của A1A2)

nh tam
giác khi biết Tọa độ 1 đỉnh (B) và 1 đườ
ng PG (AA1) và trung tuy
dàng bi
ểu diễn được tọa độ của A qua B và C1 (gọ
i là Xa và Ya)
m A (Xa,Ya) và PT Phân giác AA1 b
ạn có Phương trình thứ nhấ
t liên h
ng trình trung tuy

ến CC1,dễ dàng tìm được Pt thứ
2 gi
a C1 => T
ọa độ của A
ã tìm
được , ta có hệ số góc của AB = k1
ng qua A,sao cho AA1 là PG c
ủa góc BAC
a AC là k3.Do AA1 là PG nên A1 = A2 <=> tan A1 = tan A2 <=>
ng th
ẳng AC
ơ
n giản hơn,bạn cứ giải theo hướng trên là ra
ng theo mình, sau khi tìm
được tọa độ của đỉnh rồ
i thì có th
ng vuông góc v
ới phân giác , dễ dàng tìm được mộ
t đi
ng d (xem k là tham s
ố)
bài trên là pt hai đ
ường phân giác
ng PG cho tr
ước ( cắt 2
đư
ợc tọa độ A1.A2 từ đó
ng PG (AA1) và trung tuy
ến
i là Xa và Ya)


t liên h
ệ Xc1 và Yc1 (Tọa
2 gi
ữa Xc1 và Yc1


i thì có th
ể áp dụng luôn bài
t đi
ểm nữa thuộc đường
và như thế thì viết pt đư
ờ
thể hơi cồng kềnh một chút

1.
Trong cho
sao cho


2.
Lập phương trình các cạnh c
ủ
a/ Trực tâm và phươ
ng trình

b/ Trực tâm và đườ
ng tròn




ờ
ng sẽ đơn giản hơn nhiều so với việc sử
d

. Viết pt đường tròn qua
ủ
a tam giác , biết :
ng trình
đường tròn đi qua chân các đườ
ng cao có ph
ng tròn
đi qua chân các trung điểm của các cạ
nh có ph
d
ụng hệ số góc, số có
cắt tại
ng cao có ph
ương trình là :
nh có ph
ương trình :