Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B

BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô

ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9










Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 15/11/10




Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 20/11/10

Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 1
11
13
33
3

Bất đẳng thức và cực trị đại số
Buổi 1
Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị của một biểu thức











A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh biết dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ
nhất của một biểu thức đại số
Kĩ năng
- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức
Thái độ
- Học sinh tích cực giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:


- HS:


C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức

II.

Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ

III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới

I
I I
I -

- Các phơng pháp
Các phơng pháp Các phơng pháp
Các phơng pháp




Phơng pháp 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức
*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1
x y 2
+ =
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A =
x y
+
.

Hớng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên
1 1
0; 0; x 0; y 0
x y
> > > >

Vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng
1 1
;
x y
tìm đợc
xy 4


Tiếp tục vận dụng BĐT cô-si cho hai số dơng
x và y

Ta có:
A x y 2 x . y 2 4 4
= + = =

Dấu = xảy ra

x = y = 4. Vậy Min A = 4

x = y = 4
Phơng pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của
bình phơng biểu thức đó.
*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
3x 5 7 3x

+
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Hớng dẫn: ĐKXĐ:
5 7
x
3 3


Ta có
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
A 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 4
= + + + + =

Dấu = xảy ra

x = 2
Vậy Max A
2
= 4 => Max A = 2

x = 2
Phơng pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với
cùng một số khác 0
*) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x 9

A
5x

=

Hớng dẫn: ĐKXĐ:
x 9


(
)
x 9
x 9
1
.3
3
x 9 3
2 3
1
A
5x 5x 5x 30


+

= = =

Dấu = xảy ra

x = 18

Vậy Max A =
1
30


x = 18
Phơng pháp 4: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các
biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau
*) Bài tập 4: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
3
3x 16
A
x
+
=

Hớng dẫn:
4
4
3 3 3
3x 16 16 x.x.x.16
A x x x 4 8
x x x
+
= = + + + =

Dấu = xảy ra


x = 2
Vậy Min A = 8

x = 2
2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với
một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của
một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một
hằng số)
*) Bài tập 5: Cho
9x
2
0 x 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 x x
< < +


Hớng dẫn:
9x 9x 9x
2 2 x 2 x
A = 1 2. . 1 7
2 x x 2 x x 2 x x

+ = + + + =


Dấu = xảy ra

x =
1
2


Vậy Min A = 7

x =
1
2

Phơng pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
*) Bài tập 6: Cho ba số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 2
y
x z
P
y z z x x y
= + +
+ + +




Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010

-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d


ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ

ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9









Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dơng
2
y z
x
và
y z 4
+

+

Ta có
2
y z
x
+ x
y z 4
+

+

Tơng tự :
2
y
z x
+ y
z x 4
+

+
và
2
x y
z
+ z
x y 4
+

+


Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta đợc
P 1


Dấu = xảy ra

x = y = z =
2
3

Vậy Min P = 1

x = y = z =
2
3

II
II II
II

Luyện tập
Luyện tập Luyện tập
Luyện tập





*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 và x + y = 2a (a > 0). Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức A =
1 1
x y
+

Hớng dẫn:
2
x y
xy a xy a
2
+
= =>
=>
2
x y
2a
2
A
xy a
a
+
= =

Dấu = xảy ra

x = y = a
Vậy Min A =
2
a


x = y = a
*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A x 5 23 x
= +

Hớng dẫn: ĐKXĐ:
5 x 23

. Max A
2
= 36

Max A = 6

x = 14
*) Bài tập 3: Cho x + y = 15, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
biểu thức
B x 4 y 3
= +

Hớng dẫn: ĐKXĐ:
x 4;y 3


( ) ( ) ( )( )
2
B x 4 y 3 2 x 4 y 3 8 2 x 4 y 3 8 B 8
= + + + =>

Dấu = xảy ra


x 4 = 0 hoặc y - 3 = 0
Nếu x = 4 thì y = 11 và y = 3 thì x = 12 (vì x + y = 15)
B 8 MinB 8
=> =
(khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12 ; y = 3)
Max B
2
= 16 => Max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)
*) Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2x 6x 5
A
2x
+
=
(x > 0)
Hớng dẫn:
5
A x 3 10 3
2x
= +
. Dấu = xảy ra


1
x 10
2
=


Vậy Min A =
10 3




1
x 10
2
=

*) Bài tập 5: Tỡm giá trị lớn nhất ca biu thc
a) A =
3 5 7 3
x x
+
b) B =
5 23
x x
+

Hớng dẫn
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
a) KX:
5
3



x


7
3

Ta có: A
2
= 3x - 5 + 7 - 3x +
2 (3 5)(7 3 )
x x

= 2 +
2 (3 5)(7 3 )
x x


p dng BT Cụ-si ta cú: A
2


2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4
Du = xy ra

3x - 5 = 7 - 3x

x = 2
Vy Max A

2
= 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2
b) Tơng tự câu a
*) Bài tập 6:
Hớng dẫn
*) Bài tập 7:
Hớng dẫn
*) Bài tập 8:
Hớng dẫn
*) Bài tập 4:
Hớng dẫn
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài đã chữa, giải bài tập sau: Cho a, b, x là những số
dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
)
(
)
x a x b
P
x
+ +
=

D/Bổ sung





*****************************

Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 15/11/10




Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 24/11/10

Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 1
11
13
33
3

Bất đẳng thức và cực trị đại số
Buổi 2
Luyện tập











A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh sử dụng thành thạo bất đẳng thức cô - si để tìm giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số
Kĩ năng
- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức
Thái độ



Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011


G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ

ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii

i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9









- Học sinh tích cực giải bài tập
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:


- HS:


C/Tiến trình bài dạy

I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức

II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ

- HS1:

Giải bài tập đã cho tiết trớc
Cho a, b, x là những số dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
(
)
(
)
x a x b
P
x
+ +
=

KQ:
( )
(
)
2

ab ab
P x (a b) 2 x. a b a b
x x
= + + + + + = +

Min P =
(
)
2
a b
+


x =
ab

- HS2:

Cho
x 0

, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
x 2x 17
Q
2(x 1)
+ +
=
+


KQ:
( )
2
x 1 16
8 8
x 1 x 1
Q 2 . 4
2(x 1) 2 x 1 2 x 1
+ +
+ +
= = + =
+ + +

Min Q = 4

x = 3
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới

*) Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x 6 x 34
M
x 3
+ +
=
+

Hớng dẫn: ĐKXĐ:

x 0


(
)
2
x 3 25
25
M x 3 2 25 10
x 3 x 3
+ +
= = + + =
+ +

Min M = 10

x = 4
*) Bài tập 2: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
x 2000
N
x
+
=

Hớng dẫn:

2 2 2
3
2000 1000 1000 1000 1000

N x x 3 x . . 3.100 300
x x x x x
= + = + + = =

Min N = 300

x = 10
*) Bài tập 3: Cho x > 0 và y > 0; x + y
6

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
16
12
P 5x 3y
x y
= + + +

Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu

( )
(
)
16 16
12 12

P 2 x y 3x y 12 2 3x. 2 y. 32
x y x y

= + + + + + + + =



Min P = 32

x = 2 và y = 4
*) Bài tập 4: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
x 1,2xy y
Q
x y
+ +
=


Hớng dẫn:
( )
2
x y 3,2xy
16
Q x y 2 16 8
x y x y
+
= = + =



Min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 và y = 1 hoặc x = - 1 và y = - 5)
*) Bài tập 5: Cho x > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
25
A 4x
x 1
= +


Hớng dẫn:
( ) ( )
25 25
A 4 x 1 4 2 4 x 1 4 24
x 1 x 1
= + + + =


Min A = 24

x = 3,5
*) Bài tập 6: Cho 0 < x <1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
4
B
1 x x
= +



Hớng dẫn: Đặt
4b(1 x)

3 3ax
4
B c
1 x x 1 x x

= + = + +


Sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc a = b = 1; c = 7
Vậy
(
)
(
)
2
4 1 x
3x
B 7 2 3
1 x x

= + + +

(theo cô-si)
Min B =
(
)
2
2 3
+



x =
(
)
2
3 1


*) Bài tập 7: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + zx
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
2 2 2
x y z
+ +

Hớng dẫn:
a)
2 2 2 2
2 2
x y y z
z x
xy ;yz ;zx (theo cô-si)
2 2 2
+ +
+


=>
( ) ( )
2

2 2 2
xy yz zx x y z x y z 2 xy yz zx
+ + + + = + + + +

=> A
2
a
3

. Max A =
2
a
3


x = y = z =
a
3

b)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
B x y z x y z 2 xy yz zx a 2 xy yz zx
= + + = + + + + = + +

B min

(xy + yz +zx ) max


xy + yz +zx =
2
a
3
(theo câu a)



Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á

áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG

GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9










Khi đó Min B =
2
a a
x y z
3 3
<=> = = =

*) Bài tập 8: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z

12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y
x z
P
y z x
= + +

Hớng dẫn:
2
2 2
2

2x y
y 2y z
2z x
x z
P
y z x
z x y
= + + + + +

2 2
2
4
x y x y
x .x .y.z
x
z 4 4x
y yz
z z
+ + + =

Tơng tự
2
y y z y z
x 4y
z
x x
+ + +
;
2
z x z x

z
y 4z
x
y y
+ + +

Do đó
2
P 36
=> P
6

. Min P= 6

x = y = z = 4
*) Bài tập 9: Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z = a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
(
)
(
)
a a a
1 1 1
x y z

+ + +



Hớng dẫn:

2 2
4
2 x 2 yz 4 x yz
x x y z
a
1
x x x x
+
+ + +
+ =

Tơng tự:

2 2
4
2 y 2 xz 4 y xz
y y x z
a
1
y y y y
+
+ + +
+ =
;
2
4
4 z yx
a
1
z z

+

Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có
( )
4
4
64 xyz
Q 64
xyz
=

Min Q = 64

x = y = z =
a
3

IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài tập đã chữa
- Giải bài tập sau:
*) Bài tập 1 : Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
)
(
)

(
)
( ) ( )( )
1 a 1 b 1 c
A
1 a 1 b 1 c
+ + +
=


Hớng dẫn :
a b c 1 1 a b c 0
+ + = => = + >
. Tơng tự 1 b > 0 và 1 c > 0
Mặt khác 1 + a = 1 + (1- b - c) = 1 b + 1 c
( )( )
2 1 b 1 c


Tơng tự :
( ) ( ) ( ) ( )
1 b 2 1 a 1 c ;1 c 2 1 a 1 b
+ +

Suy ra
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c
+ + + =


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vậy
1
A 8. Min A = 8 <=> a = b = c =
3


*) Bài tập 2 :
Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011
Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011
Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 -

- 2012
2012 2012
2012


Cho hai số thực dơng x, y thoả mn:
(
)
(
)
3 3 2 2 2 2 3 3
3 4 4 0
x y xy x y x y x y x y
+ + + + =

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.
Hớng dẫn:
Đặt a = x+y = M; b = xy;
2
4
a b

Từ giả thiết có:
3 2 2 2 3
3 3 6 4 4
a ab a b b ab b
+ +
= 0

2 2
( 2 )( 2 3 ) 0
+ =
a b a ab b b

2 2
2
2 3 0
=



+ =

a b

a ab b b

+) Nếu a = 2b
Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y)
2

4
xy

nên (x+y)
2

2( )
x y
+

2; " " : 1.
= + = = =
M x y khi x y
(*)
+) Nếu
2 2
2 3 0
a ab b b
+ =

2 2
2 ( 3) 0
+ + =
b a b a

(1)
Giả sử
=
(1) có nghiệm b thoả mn b
2
4
a

thì
b=
2
3
2 4
a a
+

2
2 6 0 1 7;( : 0)
a a a Do a
+ >
và
2 2
3
( 3) 8 0 ( 3 2 2)( 3 2 2) 0
2 2 1
a a a a a a a+ + + +


Vậy a
1 7

+
(**)
Từ (*) và (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1.
*) Bài tập 3 :
Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011
Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011
Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 -

- 2012
2012 2012
2012


Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
2
1
4x 3x 2011
4x
+ +

Hớng dẫn:
(
)
(
)
2 2 2
2
2
1 1 1 1 1
M 4x 3x 2011 3 x x x 2010

4x 4 8x 8x 4
1 1 1 1
M 3 x x 2010
2 8x 8x 4
= + + = + + + + + +
= + + + + +

p dng cụ si cho ba s
x
x
x
8
1
,
8
1
,
2
ta cú
4
3
8
1
.
8
1
.3
8
1
8

1
3
22
=++
xx
x
xx
x
Du = xy ra khi x = 1/2
m
(
)
2
1
x 0
2

Du = xy ra khi x = 1/2
Vy
20112010
4
1
4
3
0 =+++M

Vy giỏ tr nh nht ca M bng 2011 khi x = 1/2
*) Bài tập 4 :
Đề thi vào THPT tỉnh Hải
Đề thi vào THPT tỉnh HảiĐề thi vào THPT tỉnh Hải

Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng năm học 2011
Dơng năm học 2011 Dơng năm học 2011
Dơng năm học 2011 -

- 2012, ngày thứ hai
2012, ngày thứ hai 2012, ngày thứ hai
2012, ngày thứ hai

Cho ba số x, y, z thoả mn 0 < x, y, z

1 và x + y + z = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2
(x 1)
z

+
2
(y 1)
x

+
2
(z 1)
y






Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ

ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn

nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9










Hớng dẫn:
t
1 0; 1 0; 1 0
= = =
a x b y c z


0 , , 1; 2 ; ; 0; 1
< + + = + + =
x y z x y z a b c a b c

2 2 2
1 1 1
a b c
A
c a b
= + +


p dng bt ng thc Bunhiacoxki cho ba cp s
( )
1 ; 1 ; 1 ; ; ;
1 1 1
a b c
c a b
c a b







Ta cú :
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
1
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 2

= + + + + + + + +



a b c a b c
a b c c a b A
c a b c a b
Vy Min
1 1 2
2 3 3
MinA a b c x y z
= = = = = = =

Cách khác: Sử dụng phơng pháp điểm rơi trong BĐT Côsi

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
x y z

A
z x y

= + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
4 4 4 4
x y z
z x y x y z
z x y

+ +
= + + + + +

2
2 2
1
( 1) ( 1) ( 1)
2
x y z
+ +
( theo BĐT Cosi)
=1-x+1-y+1-z -
1
2
= 3-(x+y+z) -
1

2
=
1
2

=> Min A =
1
2

1 /2
1 / 2
1 / 2
2
x z
z y
y x
x y z
=


=


=


+ + =


2 2

2 2
2 2
2
x z
z y
y x
x y z
=


=


=


+ + =


2
3
2
x y
z x
x y z
y z
x y z
=



=

= = =

=


+ + =


*) Bài tập 5:
Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011
Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011
Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 -

- 2012
2012 2012
2012

Cho hai s thc dng x, y tho món
2011 x;y 2012.


Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2 2
2
(x y)(x y )
A
xy
+ +

=
.
Hớng dẫn:
2 2 3 3 2 2
2 2
(x y)(x y ) x y yx xy
A
xy xy
+ + + + +
= =

2
2
x y x
A 1
x y
y
= + + +
t
x
t
y
=
ta cú
2
1
A t t 1 A(t)
t
= + + + =


Do
2011 x;y 2012

nờn
2011 2012
t
2012 2011

(theo t/ch

t t

s

)
Xột
1 2
2011 2012
t t
2012 2011
<
ta tớnh A(t
1
) - A(t
2
) = < 0
Do

ú A(t
1

) < A(t
2
) . Nờn t


2011 2011
t A( ) A(t)
2012 2012


2011 16188554
min A A( )
2012 4048144
= =
khi
2011
t
2012
=

Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng

Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Hay x = 2011, y = 2012.

*) Bµi tËp 6 :
§Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011
§Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 §Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011

§Ị thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 -

- 2012
2012 2012
2012

Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c: A =
2
2
x 2x 2011
x
− +
(v
ớ
i x
≠
0)




H−íng dÉn:
Cách 1: V
ớ
i x
≠
0 thì
A =
2 2 2 2
2 2 2
x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011.2011 2010x (x 2.201
1x 2011.2011)
x 2011x 2011x
− + − + + − +
= =

2
2
2010 (x 2011) 2010
2011 2011
2011x
−
= + ≥

V
ậ
y MinA =
2010
2011

<=> x – 2011 = 0 <=> x = 2011
* Cách 2: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)
( )
− +
≠
 
− ⋅ + ⋅ − ≠
 
 
 
− ⋅ ⋅ + + −
 
 
 
− + ≥ ⇔ ⇔ =
 
 
2
2
2
2
2
2
2
x 2x 2011
A = với x 0
x
1 1 1
= 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (với t = 0)
x x x

1 1 1
= 2011 t 2 t 1
2011 2011
2011
1 2010 2010 1
= 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; tho
2011 2011 2011 2011
 
≠
 
 
õa x 0

2010
Vậy MinA = x = 2011.
2011
⇔

* Cách 3: (Dùng kiến thức đại số 9)
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
x 2x 2011
A = với x 0
x
A.x x 2x 2011

A 1 x 2x 2011 0 *
coi đây là phương trình ẩn x
− +
≠
⇒
= − +
⇔ − + − =

2011
Từ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1)
2
− ⇔ ⇔

Nếu A 1 0 thì (*) luôn là phương trình
bậc hai đối với ẩn x.
− ≠

x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm.
( )
/
/
2
0
1 2011 A 1 0
2010 b 1 1
A dấu "=" (*) có nghiệm kép x = 2011
; thõa x 0 (2)
2010
2011 a A 1
1

2011
⇔ ∆ ≥
⇔ + − ≥
 
 
− − −
⇔ ≥ ⇔ = = = ≠
 
−
 
−
 

So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trò nhỏ nhất của A mà:
2010
MinA = x = 2011.
2011
⇔




Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010

-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d


ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ

ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9









*) Bài tập 7 :
Đề thi vào THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011
Đề thi vào THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 Đề thi vào THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011
Đề thi vào THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 -

- 2012
2012 2012

2012

Cho a, b là các số dơng thỏa mn: a+b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =
)(2011
619
44
22
ba
b
a
ab
++
+
+

Hớng dẫn:
ta cú
)(
6)(19619
22
22
22
baab
abba
ba
ab
+
++
=

+
+
=
)(.2.
2
1
)(3)(16
22
222
baab
baba
+
+++
=
)(.2.
2
1
3)(16
22
22
baab
ba
+
++
(1)
ỏp d

ng bu nhi a copxky cho hai b

s


: b ; a
1 ; 1
(1
2
+1
2
)(a
2
+b
2
)

( a.1+b.1)
2
hay 2 (a
2
+b
2
)

( a+b)
2
d

u = khi a =b =
2
1



16 (a
2
+b
2
)

8.( a+b)
2

ta cú a > 0 ; b > 0 nờn ab > 0 ; a
2
+b
2
> 0 ỏp d

ng co si ta cú
( )
22
2
22
2
2
2
baab
abba
+









++

(
)
22
2
4
1
baab
+
d

u = khi a= b =
2
1


)(.2.
2
1
3)(16
22
22
baab
ba
+

++

(
)
2
22
2
2
2
2
1
38








++
++
abba
ba
=
2
2
1
2
1

38






+
= 88 d

u = khi a= b =
2
1

M a
4
+ b
4


2
1
(a
2
+ b
2
)
2
d


u = khi a= b =
2
1

t

ng t

: a
2
+ b
2


2
1
(a+ b)
2
nờn a
4
+ b
4


2
1
( )
2
2
2

1






+ ba
=
8
1
(a+ b)
4
=
8
1

d

u = khi a= b =
2
1

V

y T

88 +
8
1

.2011 khi va ch

khi khi a= b =
2
1

*) Bài tập 8 :
Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 20
Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 20Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 20
Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011
11 11
11 -

- 2012
2012 2012
2012


Cho a, b, c l ba s

th

c d

ng th

a món

i


u ki

n a + b + c = 1.
Tỡm giỏ tr

l

n nh

t c

a bi

u th

c: P =
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ +
+ + +
.
Hớng dẫn:
T

a + b + c = 1 => ac + bc + c
2
= c ( Do c > 0)
Vỡ v

y: c + ab = ac + ab + bc + c

2
= (b+c)(c+a)
Do

ú
( )( ) 2
a b
ab ab
a c b c
c ab b c c a
+
+ +
=
+ + +
( Cụ si)
T

ng t

:
2
b c
bc
b c c a
a bc
+
+ +

+
;

2
c a
ca
c a a b
b ca
+
+ +

+

V

y
3
2 2
a c b c a b
a c b c a b
P
+ + +
+ +
+ + +
=

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Do


ú: MinP = 3/2, x

y ra khi a = b= c = 1/2

*) Bài tập 9 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng
Hải Dơng Hải Dơng
Hải Dơng năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

- 2010
2010 2010
2010


Cho x, y thỏa mn:
3 3
x 2 y y 2 x
+ = +
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
= + + +
2 2
B x 2xy 2y 2y 10
.

Hớng dẫn:
3 3
x 2 x y 2 y
+ + = + +
ĐK:
x,y 2




3 3
2 2
x y y x
+ + =

2 2
( )( )
2 2
x y x xy y
x y
x y
+ +
=
+ + +

2 2
( )
( )( 1) 0
2 2
x xy y

x y
x y
+ +
+ =
+ + +

( ) 0
x y
=
(vì
2 2
( )
1
2 2
x xy y
x y
+ +
+
+ + +
>0)

x = y
2 2
B x 2x 10 (x 1) 9 9 x 2

= + + = + +
. MinB = 9 Khi x = y = -1
*) Bài tập 10 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh

Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang
Bắc Giang Bắc Giang
Bắc Giang năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

- 2010, ngày thứ nhất
2010, ngày thứ nhất 2010, ngày thứ nhất
2010, ngày thứ nhất


Cho các số dơng x, y, z thỏa mn xyz -
16
0
x y z
=
+ +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x+y)(x+z)
Hớng dẫn:
Vì xyz -
16
0
x y z
=
+ +
=> xyz(x+y+z) = 16
P = (x+y)(x+z) = x

2
+xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz
áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là x(x+y+z) và yz ta có
P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz
816.2)(2 ==++ zyxxyz
;
dấu đẳng thức xẩy ra khi x(x+y+z) = yz . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8
Cách 2:
Vì
xyz
zyx
zyx
xyz
16
0
16
=++

=
++


P = (x+y)(x+z) = x
2
+xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz =
yz
yz
yz
xyz
x +=+

1616

áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là
yz
16
và yz ta có
P =
yz
yz
+
16
816.2
16
2 == yz
yz
; dấu đẳng thức xẩy ra khi
yz
yz
=
16

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8
*) Bài tập 11:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Tây Ngu
Tây NguTây Ngu
Tây Nguyên
yên yên
yên năm học 2009

năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

- 2010
2010 2010
2010

Cho x, y >0 v
x y 1
+
. Tỡm giỏ tr

nh

nh

t c

a bi

u th

c:
2 2
1 1
A
x y xy
= +

+

Hớng dẫn:
Vỡ
a 0,b 0
> >
; Ta cú :

2 2 2 2
a b 2 a b 2ab
+ =
(Bdt Cụ si)
2 2 2
a b 2ab 4ab (a b) 4ab
+ + +

(a b)(a b) a b 4 a a 4 1 1 4
4 (*)
ab ab a b ab ab a b a b a b
+ + +





+

+
+ + +





Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n


B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm

mô
ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9










p d

ng BéT (*) v i a =
2 2
x y
+
; b = 2xy ; ta cú:

2 2 2 2 2
1 1 4 4
x y 2xy x y 2xy (x y)
+ =
+ + + +
(1)
M

t khỏc :
2
2 2
1 1 1 4
(x y) 4xy
4xy (x y) xy (x y)
+





+ +
(2)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A .
x y xy x y 2xy 2xy x y 2xy 2 xy

= + = + + = + +

+ + +


2 2 2 2
4 1 4 4 1 6
. . 1
(x y) 2 (x y) (x y) 2 (x y)

+ = + =

+ + + +

6

[Vì x, y > 0 và
2
x y 1 0 (x y) 1
+ < +
]


minA = 6
khi
1
x = y =
2

*) Bài tập 12:
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dơng
Hải Dơng Hải Dơng
Hải Dơng năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

- 2010
2010 2010
2010

Tỡm giỏ tr

l

n nh

t, nh

nh


t c

a bi

u th

c: A =
2
6 4x
x 1

+

Hớng dẫn:
2
2
6 8
x 8 6 0 (1)
1
x
k k x k
x

= <=> + + =
+

+) k=0 . Ph

ng trỡnh (1) cú d


ng 8x-6=0
x=
2
3

+) k

0 thỡ (1) phi cú nghim
'

= 16 - k (k - 6)

0
2 8
k
<=>
.
Max k = 8

x =
1
2

.
Min k = -2

x = 2 .
*) Bài tập 13 :
Đề thi vào THPT tỉnh

Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hng Yên
Hng Yên Hng Yên
Hng Yên năm học 2009
năm học 2009năm học 2009
năm học 2009

-

- 2010
2010 2010
2010


Cho hai số a,b khác 0 thoả mn 2a
2
+
2
2
1
4
+
b
a
= 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2009.
Hớng dẫn:
Từ 2a
2
+

2
4
b
+
2
1
a
= 4 (ab)
2
= - 8a
4
+ 16a
2
- 4 = 4 - 8(a
4
- 2a
2
+1) 4
-2 ab 2
2007 S 2011
MinS = 2007 ab = -2 và a
2
= 1 a = 1 , b =

2
*) Bài tập 14:
Cho s thc m, n, p tha món :
2
2 2
3

1
2
m
n np p+ + =
.
Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc : B = m + n + p.
Hớng dẫn:
2
2 2
3
1
2
m
n np p+ + =
(1)
( m + n + p )
2
+ (m p)
2
+ (n p)
2
= 2
(m p)
2
+ (n p)
2
= 2 - ( m + n + p )
2

Trờng THCS Hồng Hng

Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
(m p)
2
+ (n p)
2
= 2 B
2

v trỏi khụng õm 2 B
2
0 B
2
2
2 2
B

du bng m = n = p thay vo (1) ta cú m = n = p =
2
3


Max B =
2
khi m = n = p =
2
3


Min B =
2

khi m = n = p =
2
3


*) Bài tập 15 :
Cho ba s x, y, z tha món
[
]
x, y, z 1: 3
x + y + z 3




=


. Chng minh rng:
2 2 2
x + y + z 11


Hớng dẫn:
Vỡ
[
]

3;1,,


zyx

{
{
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 x 3
(x 1)(y 1)(z 1) 0
1 y 3
(3 x)(3 y)(3 z) 0
1 z 3
xyz xy yz xz x y z 1 0
2(xy yz xz) 2
27 9(x y z) 3(xy yz xz) xyz 0
x y z 2(xy yz xz) x y z 2 (x y z) x y z 2
3 2 x y z x y z



+ + +






+ + + + + + +

+ +
+ + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + +
2
11
Cỏch 2:.Khụng gim tớnh tng quỏt, t x = max
}
{
zyx ,,



3 = x + y + z

3x nờn 1

x

3


2 ( x -1 ) . (x - 3)

0 (1)
Li cú: x
2
+ y
2
+ z

2


x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(y +1) (z + 1)
= x
2
+ ( y + z )
2
+ 2 ( y + z ) + 2
= x
2
+ ( 3 - x )
2
+ 2 ( 3- x) + 2 = 2 x
2
- 8x + 17
= 2 ( x -1 ) . (x - 3) + 11 (2)
T (1) v (2) suy ra x
2
+ y
2
+ z
2



11
Du ng thc xy ra x = max
}
{
zyx ,,

( x -1 ) . (x - 3) = 0
(y +1) (z+1) = 0
x + y + z = 3

Khụng xy ra du ng thc
*) Bài tập 16 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hà Tĩnh
Hà Tĩnh Hà Tĩnh
Hà Tĩnh năm học 20
năm học 20năm học 20
năm học 2011
11 11
11 -

- 2012
2012 2012
2012

Cho cỏc s a, b, c u ln hn
25
4

.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
2 5 2 5 2 5
a b c
Q
b c a
= + +

.
Hớng dẫn:
Do a, b, c >
25
4
(*) nờn suy ra:
2 5 0
a
>
,
2 5 0
b
>
,
2 5 0
c
>

p dng bt ng thc Cụ si cho 2 s dng, ta cú:




Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ

ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn

nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9










2 5 2
2 5
a
b a
b
+

(1)
2 5 2
2 5
b
c b
c
+

(2)
2 5 2
2 5
c
a c
a
+

(3)
Cng v theo v ca (1),(2) v (3), ta cú:
5.3 15
Q
=
.

Du = xy ra
25
a b c
= = =
(tha món iu kin (*))
Vy Min Q = 15
25
a b c
= = =

*) Bài tập 17 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc
Vĩnh Phúc Vĩnh Phúc
Vĩnh Phúc năm học 20
năm học 20năm học 20
năm học 2011
11 11
11 -

- 2012
2012 2012
2012

Cho a, b, c l ba s thc dng tha món iu kin a + b + c = 1.
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P =
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ +

+ + +
.
Hớng dẫn:
Cú:
(
)
2
1 .
a b c c a b c c ac bc c
+ + = = + + = + +


2
( ) ( )
c ab ac bc c ab a c b c b c
+ = + + + = + + +
=
( )( )
c a c b
+ +


( )( ) 2
a b
ab ab
c a c b
c ab c a c b
+
+ +
=

+ + +

Tng t:
( )( )
( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
+ = + +
+ = + +

;
( )( ) 2 ( )( ) 2
+ +
+ + + +
= =
+ + + + + +
b c c a
bc bc ca ca
a b a c b c b a
a bc a b a c b ca b c b a


P
2
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a
+ + + + +
+ + + + + +
=
2

a c c b b a
a c c b b a
+ + +
+ +
+ + +
=
3
2

Du = xy ra khi
1
3
a b c
= = =

T ú giỏ tr ln nht ca P l
3
2
t c khi v ch khi
1
3
a b c
= = =

*) Bài tập 18 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Hòa Bình
Hòa Bình Hòa Bình
Hòa Bình nă

nănă
năm học
m học m học
m học 2010
2010 2010
2010 -

- 2011
2011 2011
2011

Cho x, y > 0 và
2 2
8
x y
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
1 1
A
x y
= +

Hớng dẫn:
x,y > 0 Theo BĐT Cosi và kết hợp với đề bài ta có:
2 2
2 8 4
xy x y xy
+




áp dụng BDT Cosi với hai số:
1 1
,
x y
ta có:
1 1 2
x y
xy
+
mà:
4
xy


Nên:
1 1
1
x y
+
. Vậy A
min
= 1
1 1 1
2
2
x y
x y
= = = =


*) Bài tập 19 :
Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh
Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn
Lạng Sơn Lạng Sơn
Lạng Sơn năm học
năm học năm học
năm học 2010
2010 2010
2010 -

- 2011
2011 2011
2011

Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Cho hai s thc dng x, y tha món 4xy = 1.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A =
2 2
2 2 12
x y xy
x y
+ +
+

Hớng dẫn:

Ta cú A =
2
2 2 2 2 2
2 ( ) 2 3
2 2 3.4 2 2 3 2.( ) 4 3
x y xy
x y xy x y x y xy
x y x y x y x y

+ +
+ + + + + +

= = =
+ + + +

2
2 2 2 2
2. ( ) 1
2.( ) 1 3 2.( ) 1 3 2.( ) 2 2( ) 2
x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y x y

+ +
+ + + + + + + +

= = = = =
+ + + + +

2

2( )x y
x y
= + +
+
=
1
2 ( )x y
x y

+ +

+


Xột
1
( )x y
x y
+ +
+

p dng Cosi cho 2 s (x+y) v (
1
x y
+
) ta cú:
(x+y) + (
1
x y
+

) 2
( )
1
x y .( )
x y
+
+
= 2
Do ú: A =
1
2 ( )x y
x y

+ +

+

4
Vy Min A = 4 (x+y) = (
1
x y
+
(x+y)
2
=1 x + y = 1
Kt hp vi iu kin 4xy = 1 ta c x = y = -
1
2
; x = y =
1

2

*) Bài tập 20 : Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 -

- 2011
2011 2011
2011
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2
= 5
Hớng dẫn:
Trớc hết chứng minh bất đẳng thức bunhia-côp-xki
( )
(
)
(
)
2
2 2 2 2
am bn a b m n
+ + +
; đẳng thức xảy ra
a b
m n
=


Chứng minh bằng cách biến đổi tơng đơng
áp dụng:
(
)
(
)
(
)
( )
2
2 2 2 2
2
A (2x 3y) 2 x 2 3 y 3 2x 3y 2 3 5.5 25
3 y
2 x
A 25 x y
2 3

= + = + + + = =


= <=> = <=> =

Do
2
A 25 nên - 5 A 5






Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB

Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô

ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9










MinA = - 5
x y
x y 1
2x 3y 5
=

<=> = =

+ =


MaxA = 5
x y
x y 1
2x 3y 5
=

<=> = =

+ =


*) Bài tập 21 : Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
1 4
y x x y
M
xy
+

=

Hớng dẫn:
Vi iu kin
1, 4
x y

ta cú: M =
4
1
y
x
x y


+

p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm,
Ta cú:
( )
1 1
1 1 1
2 2
x x
x x
+
= =

1 1
2

x
x



(vỡ x dng)
V:
( )
1 1 4 4
4 4 4
2 2 2 4
y y
y y
+
= =

4
1
4
y
y



(vỡ y dng)
Suy ra: M =
4
1 1 1 3
2 4 4
y

x
x y


+ + =

Vy giỏ tr ln nht ca M l
3
4


x = 2, y = 8
*) Bài tập 22 : Cho
P x 2 xy 3y 2 x 1
= + +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Hớng dẫn:
ĐK
x; y 0


P x 2 xy y 1 2 x 2 y 2 y 2y
= + + + +

2
P ( x y) 1 2( x y ) 2 y 2y
= + +

2 2
1 1

P ( x y 1) (2 y 1)
2 2
= +

1 1 9
P y ; x
2 4 4
= =

*) Bài tập 23 :
Cho m, n l
à
c
á
c s
ố
th
ỏ
a m

n
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
mn
2

=
.
T
ì
m gi
á
tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
:
2 2 2 2
2 2 2 2
m n m n
P .
m n m n
+
= +
+

Hớng dẫn:

b) T
ừ

( )
2
2 2
m n 2mn m n 0
+ =
v
à
gi
ả
thi
ế
t suy ra
2 2
m n 2mn 1
+ =
.
Do
đó

(
)
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
15 m n
m n m n m n m n
P .

m n m n 16m n m n 16m n
+

+ +
= + = + +

+ +


áp d
ụ
ng B
Đ
T
a b 2 ab
+
v
ớ
i a, b kh
ô
ng
â
m,
đấ
u
đẳ
ng th
ứ
c c
ó

khi a = b,
ta c
ó
:
1 15 17
P
2 4 4
+ =
. K
ế
t lu
ậ
n:
min
17
P
4
=
,
đạ
t
đợ
c khi
1
m n
2
= =
.
*) Bài tập 24 : Tỡm GTLN ca :
a) A x 1 y 2

= +
bit x + y = 4
Hớng dẫn:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
iu kin : x 1 , y 2. Bt ng thc Cauchy cho phộp lm gim mt tng :
a b
ab
2
+

. õy ta mun lm tng mt tng. Ta dựng bt ng thc :
2 2
a b 2(a b )
+ +
. Ta có:
A x 1 y 2 2(x 1 y 3) 2
= + + =

x 1 y 2 x 1,5
max A 2
x y 4 y 2,5
= =

=

+ = =



*) Bài tập 25 :
a. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau :
A = x
2
+ 2y
2
2xy - 4y + 2014
b. Cho cỏc s x,y,z tha món ng thi:
x + y + z = 1; x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 và x
3
+ y
3
+ z
3
= 1.
Tớnh tng: S = x
2009
+y
2010
+ z
2011


Hớng dẫn:
a) A = x
2
- 2xy + y
2
+y
2
- 4y + 4 + 2010 = (x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 2010
Do (x-y)
2


0 ; (y - 2)
2


0
Nờn:(x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 2010

2010
Du ''='' xảy ra


x y = 0 v y 2 = 0

x = y = 2.
Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2
b) Ta cú: (x + y + z)
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
+ 3(x + y)(y + z)(z + x)
Kt hp cỏc iu kin ó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0

Mt trong
cỏc tha s ca tớch (x + y)(y + z)(z + x) phi bng 0
Gi s (x + y) = 0, kt hp vi /k: x + y + z = 1

z = 1, lại kt hp vi
/k: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1

x = y = 0.
Vy trong 3 s x,y,z phi cú hai s bng 0 v một s bng 1. Nờn tng S

luụn cú giỏ tr bng 1.
*) Bài tập 26 : Đề thi chính thức chọn HSG
Đề thi chính thức chọn HSG Đề thi chính thức chọn HSG
Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng
tỉnh Hải Dơngtỉnh Hải Dơng
tỉnh Hải Dơng
1) Cho biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
A = + + + +
x x 3 2 x 5 6 x 7 12 x 9 20
x x x x x
+ + + + + + + + +

Tìm x để
5
4050150
A
=

2) Cho hệ phơng trình
2 2 2 2
x y a b
x y a b
+ = +


+ = +



Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dơng n ta có
n n n n
x y a b
+ = +

3) Cho x, y, z 0 và
x + y + z 3

.
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +

Hớng dẫn:
1) Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1 1 1
A = + + + +
x 1 1 2 2 3 3 4 4 5
x x x x x x x x x
+ + + + + + + + +


1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - -
x 1 x + 1 2 x + 2 3 x + 4 5

x x x x
= +
+ + + +

( )
1 1 5
-
x 5 5
x x x
= =
+ +




Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii

iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg

g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số

ốố
ố


9
99
9









Để
5
4050150
A
=



( )
5 5
5 4050150
x x
=
+




2
5 4050150 0
x x
+ =

Giải phơng trình này ta đợc
1
2010
x
=
;
2
2015
=
x

Vậy tìm đợc hai giá trị của x là:
1
2010
x
=
và
2
2015
=
x
thì

5
4050150
A
=
.
2) Từ x
2
+ y
2
= a
2

+ b
2


(x
2
a
2
) + (y
2
b
2
) = 0


(x a)(x + b) + (y b)(y + b) = 0 (1)
Vì x + y = a + b


x a = b y Thay vào (1) ta đợc:

(
)
(
)
(
)
0
b y x a y b
+ + =



0
b y
x a y b
=


+ = +


Nếu b y = 0

y = b

x = a

n n n n

x y a b
+ = +

Nếu x + a = y + b

x b
y a
=


=




n n n n
x y a b
+ = +

Vậy trong mọi trờng hợp ta có
n n n n
x y a b
+ = +

3) Ta có:
( )
2
1 0
x
+

với
x

ằ



2
2 1
x x
+



2
2 2
2 1
1
1 1
x x
x x
+
=
+ +




2
1

1 2
x
x

+
.
2 2
1 1
;
1 2 1 2
y z
y z

+ +



2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
x y z
+ +
+ + +

Vậy biểu thức
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z

+ +
+ + +
đạt giá trị lớn nhất bằng
3
2

khi x = 1; y = 1 ; z = 1
*) Bài tập 26 :
Hớng dẫn: Tỡm giá trị nhỏ nhất ca biu thc:
E =
2
2 4 5 1
x x
+ +
; F =
( 1)( 2)( 3) 5
x x x x
+ + + +

Hớng dẫn:
a) E =
2
2 4 5 1
x x
+ +
=
( )
( )
2
2

2 2 1 3 1 2 1 3 1
x x x
+ + + = + +

3 1
+

Suy ra : Giỏ tr nh nht ca E bng
3 1
+
khi ( x - 1)
2
= 0 hay x = 1.
b) F =
( 1)( 2)( 3) 5
x x x x
+ + + +
=
(
)
(
)
2 2
3 3 2 5
x x x x
+ + + +

t t = x
2
+ 3x. Ta cú :

F
( ) ( )
2
2 5 1 4
t t t
= + + = + +

2


F t giỏ tr nh nht bng 2 khi t +1 = 0 hay t = -1.
Vy min F = 2 khi x =
3 5
2


*) Bài tập 27 : Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010
Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 -

- 2011
2011 2011
2011
1) Tỡm 7 s nguyờn dng sao cho tớch cỏc bỡnh phng ca chỳng bng
2 ln tng cỏc bỡnh phng ca chỳng.
2) Cho cỏc s thc khụng õm x. y thay i v tha món x+y=1. Tỡm giỏ
tr ln nht v giỏ tr nh nht ca:
B=(4x
2
+3y)(4y

2
+3x)+25xy
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Hớng dẫn:
1) * Gọi 7 s nguyên dơng phi tỡm l x
1
, x
2
, , x
7
;
2 2 2 2 2 2
1 2 7 1 2 7
x .x x 2(x x x )
= + +

* Gi s x
1
x
2
x
7
1 cú
2 2 2
1 2 7
x .x x

2.7
2
1
x
=14
2
1
x


2 2
2 7
x x
14
* x
2
x
7
14 <4=2
2
x
2
= = x
7
=1

2 2
1 2
x .x
=

2 2
1 2
2(x x 5)
+ +
)
* t
2
1
x
=a,
2
2
x

=b vi a, b l cỏc s nguyờn dng chớnh phng
ab=2a+2b+10 (a-2)(b-2)=14.1=7.2
* Trng hp 1:
a 2 14
b 3 khụng
b 2 2
=

=

=

phi lỏ s chớnh phng
* Trng hp 2:
1
2

x 3
a 2 7 a 9

b 2 2 b 4 x 2
=
= =




= = =


v kt lun
2) * B=16x
2
y
2
+12x
3
+12y
3
+34xy
* B=16x
2
y
2
+12(x+y)
3
-2xy= = 16(xy-

1
16
)
2
+
191
16

* B
191
16
, B nh nht =
191
16
xy=
1
16
. Gii c:
2 3 2 3
x , y=
4 4
+
=
hoc
2 3 2 3
x , y=
4 4
+
=


* Li cú 0 4xy (x+y)
2
=1 0 xy
1
4
-
1
16
xy -
1
16

3
16

nờn 0 xy -
1
16

3
16

* B=16(xy -
1
16
)
2
+
191
16

16. (
3
16
)
2
+
191
16
=
25
52
. Vy B ln nht
=
25
52
(x+y) =1 v xy =
1
4
x=y=
1
2

*) Bài tập 28 :
1) Tìm các số thực dơng a, b, c biết chúng thoả mn
abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca 6
2) Cho x > 0 ; y > 0 tho mn: x + y 6 . Hy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: M = 3x + 2y +
yx
8
6

+

Hớng dẫn:
1) Ta có
;
1
=
c
ab

;
1
a
bc = ;
1
=
b
ac

Thay vào bắt đẳng thức đ cho có : a + b + c + ab + bc + ac 6



Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học


2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o

á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd

d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ

ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9
99
9









2
2
2
1 1
b c 0
c

b
+ + + + + + +








1 1 1
1
a b c 6 a -
c a b
a

0
1
=
a
a

10
1
==== cba
b
b
(Thoả mn yêu cầu)
0
1

=
c
c

2) Biến đổi :
( )
yx
y
y
x
xyx +=








++






++







+=
2
38
2
6
2
3
2
3
2
3








++






++

y
y
x
x 8
2
6
2
3

áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số không âm ta có :
y
y
x
x 8
.
2
2
2
.
2
66.
2
3
++
M 9 + 6 + 4 = 19
Dấu bằng xảy ra khi x = 2; y = 4 M nhỏ nhất bằng 19 (khi x = 2; y = 4)
*) Bài tập 29 : Cho 2 số dơng x, y thỏa mn x + y =1
a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x
2
+

2
1
y
)( y
2
+
2
1
x
)
b) Chứng minh rằng : N = ( x +
x
1
)
2
+ ( y +
y
1
)
2

2
25

Hớng dẫn:
a) Ta có : M = ( x
2
+
2
1

y
)( y
2
+
2
1
x
) =
2
22
222
)
1
(
)1(
xy
xy
yx
yx
+=
+

Mặt khác : xy +
xy
1
= ( xy +
)
16
1
xy

+
xy16
15
( 1).
áp dụng BĐT Côsi : xy +
xy16
1
2
16
1
=
2
1
(2).

2
1
2
=
+

yx
xy
xy
4
1
( 3)
Từ (1), (2) và (3) ta có : xy +
xy
1


2
1
+
4
1
.16
15
=
4
17
(xy +
xy
1
)
2
(
4
17
)
2
=
16
289

Vậy min M =
16
289
, đạt đợc khi






=
=
yx
xy
xy
16
1


x = y =
2
1

b) áp dụng BĐT : A
2
+ B
2

2
)(
2
BA +
, ta có :
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng


Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
N = ( x +
x
1
)
2
+ ( y +
y
1
)
2

2
)(
2
xy
yx
yx
+
++
=
2
)
1
1(
2
xy
+


Mặt khác : (x + y)
2
4xy ( do ( x -y)
2
0)

1 4xy

xy
4
1

N
2
25
2
4
1
1
1
2
)
1
1(
2
2
=













+

+
xy
. Vậy N
2
25
.
Dấu "=" xảy ra khi



=
=+
yx
yx
1


x = y =
2

1

*) Bài tập 30 :
a. Rút gọn biểu thức : A =
6 2 2 3 2 12 18 128
+ + +

b. Tìm GTNN của A =
2
2
20062
x
xx +

c. Giả sử x, y là các số thực dơng thoả mn : x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A =
xy
yx
11
33
+
+

Hớng dẫn:
a. Rút gọn : A =
6 2 2 3 2 12 4 2
+ + +
=
6 2 2 3 4 2 3
+ +


=
6 2 2 2 3
+
=
6 2 4 2 3
+
=
)
(
6 2 3 1
+
=
3 1
+

b. Tìm GTNN của A =
2
2
20062
x
xx +

A =
2
2
20062
x
xx +
= 1 -

x
2
+
2
2006
x
= 2006






+
22
2006
1
2006
21
x
x
+ 1 -
2006
1

= 2006
2
2006
11








x
+
2006
2005



2006
2005


GTNN của P =
2006
2005
khi x = 2006
c. Ta có: (x + y)
3
= x
3
+ y
3
+ 3xy( x + y ) = 1 hay x
3
+ y

3
+ 3xy = 1
Thay vào biểu thc A ta có:
A =
xy
xyyx
yx
xyyx 33
33
33
33
++
+
+
++
=
xy
yx
yx
xy
33
33
3
4
+
+
+
+

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

xy
yx
yx
xy
33
33
3
4
+
+
+
+
324.
3
24
33
33
+=
+
+
+
xy
yx
yx
xy
.
Vậy A
324+
. MinA =
324+


x =









+
3
322
1
2
1
; y =










3
322

1
2
1

Hoặc x =










3
322
1
2
1
; y =










+
3
322
1
2
1




Vì sự nghiệp giáo dục




Năm học

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o


á
áá
án
nn
n

B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i

d
dd
d

ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS

SS
SG
GG
G

m
mm
mô
ôô
ôn
nn
n


Đ
ĐĐ
Đạ
ạạ
ại
ii
i

s
ss
số
ốố
ố


9

99
9









*) Bài tập 31 : Cho biểu thức f(x,y) = x
2
+ 26y
2
-10xy + 14x 76y + 11
Tìm giá trị x; y để f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Hớng dẫn:
Ta có: f(x,y) = x
2
+ y
2
+ 25y
2
10xy 6y 70y + 9 +14x + 2
= (x
2
10xy + 25y
2
) + (y

2
- 6y + 9) + (14x 70y) + 2
= (x-5y)
2
+ (y-3)
2
+ 14(x 5y) +2
Đặt: t = x 5y Ta có: f(x,y) = t
2
+ (y 3)
2
+ 14t + 2
= (t + 7)
2
+ (y 3)
2
47

- 47 ( vì (t + 7)
2

0

với
2
;( 3) 0
t R y

với
y R


)
Do dó: f(x,y)
Min
= - 47 khi t = -7 và y = 3
Với: t = - 7 Ta có:
5 7 8
3 3
x y x
y y
= =



= =

. Vậy: f(x,y)
Min
= - 47 khi x = 8 ; y = 3
*) Bài tập 32 :
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A(x)=
2
2 1
2
x
x
+
+

Hớng dẫn:

(1)
2 2
2 2 1 2 2 1 0
Ax A x Ax x A
+ = + + + =

Xét: A=0 thì x=
1
2

Xét: A
0



2
4 4 (2 1) 4 8 4 0
A A A A
= = + =

2
2 1 0
A A
=


1 8 9; 3
= + = =

1 2

1
1;
2
A A

= =

Vậy A
max
= 1 khi x = 1
A
min
=
1
2

khi x = -2
*) Bài tập 33 :
a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x
2
+ 4x = 19 - 3y
2

b/ Giải phơng trình:
4524428183
22
+++ xxxx
= x
2
+ 6x -5

c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
12
2
68
2
3
+
+
xx
xx

d/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =
1
24
2
++ xx
x

Hớng dẫn:
a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2x
2
+ 4x = 19 - 3y
2
<=> 4x
2
+ 8x + 4 = 42 - 6y
2
<=> (2x + 2)
2

= 6(7 - y
2
)
Vì (2x + 2)
2


0 => 7 - y
2


0 => 7

y
2
mà y

Z => y =
2;1;0



+ Với y =

1 => (2x + 2)
2
= 6(7 - 1) <=> 2x
2
+ 4x - 16 = 0=> x
1

= 4; x
2
= -2.
+ Với y =

2 =>2x
2
+ 4x - 7 = 0 => x
1
, x
2


Z (loại)
+ Với y = 0 =>2x
2
+ 4x - 19 = 0 => x
1
, x
2


Z (loại)
Vậy cặp nghiệm (x, y) của phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1).
b. Ta có:
9)3(41)3(3
22
+++ xx
= 4 (x-3)
2


Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì 3(x-3)
2


0 nên
1)3(3
2
+x


1. Tơng tự :
9)3(4
2
+x


3
Do đó
9)3(41)3(3
22
+++ xx


1 + 3 = 4. Mặt khác : 4 (x - 3)

2


4
Vậy vế trái = khi và chỉ khi x 3 = 0. Từ đó ta có x = 3
Vậy nghiệm phơng trình x = 3
c/ Có A =
2
)1(
1
1
2
3
2
)1(
1)1(2)12
2
(3

+

=

++
x
x
x
xxx

Đặt y =

1
1
x
=> A = y
2
2y + 3 = (y 1)
2
+ 2

2
=> min A = 2 => y = 1
1
1
1
=


x
=> x = 2. Vậy min A = 2 khi x = 2
d/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất.
Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x
2
ta đợc:
M =
1
2
1
2
1
++









x
x
. M đạt giá trị lớn nhất khi
2
1
2
x
x +
nhỏ nhất
=>
2
1
2
x
x +
= 2 => x =

1. Vậy M lớn nhất bằng
1
3
khi x =


1

*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:
*) Bài tập 33 :
Hớng dẫn:





V× sù nghiÖp gi¸o dôc





N¨m häc

2010
-
2011

G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o

¸
¸¸
¸n
nn
n

B
BB
Bå
åå
åi
ii

i

d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g

H
HH
HS
SS
SG
GG
G

m
mm
m«
««
«n
nn
n



§
§§
§¹
¹¹
¹i
ii
i

s
ss
sè
èè
è


9
99
9














D/Bæ sung




*******************************