Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (144.67 KB, 4 trang )
TÌM GTLN VÀ GTNN
C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ:
Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
33)(/
2
++= xxxfa
)5()(/
−
=
xxxgb
Giải
4
3
2
3
4
3
4
9
2
3
233)(/
2
22
+
+=+++=++= xxxxxxfa
Ta có
,0
2
3
2
≥
+x
nên
4
3
4
3
2
3
2
≥+
+x
Vậy: f(x) đạt GTNN bằng
4
3
khi
2
3
0
4
3
2
−=⇔=
+ xx
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng:
(
)
[
]
axh +
2
trong đá a là một hằng số. Vì
(
)
[
]
0
2
≥xh
nên
(
)
[
]
aaxh ≥+
2
. Do đó GTNN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
142)(/
2
+−−= xxxfa
2
)(/ xxxgb −=
Giải
(
)
151142)(/
2
2
++−=+−−= xxxxfa
Ta có
(
)
01
2
≥+x
nên
(
)
01
2
≤+− x
⇒
(
)
15151
2
≤++− x
Vậy: f(x) đạt GTLN bằng 15 khi
(
)
101
2
−=⇔=+ xx
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng:
(
)
[
]
axh +−
2
trong đá a là một hằng số. Vì
(
)
[
]
0
2
≥xh
nên
(
)
[
]
aaxh ≤+−
2
. Do đó GTLN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0.
2/ Bài tập tự giải:
Bài tập 1: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
132)(
2
++−= xxxf
Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng
4
3
8
17
=xkhi
Bài tập2 : Tìm GTNN của các biểu thức sau:
1
6
4
1
)(
2
−−=
x
xxg
Đáp số: g(x) đạt GTNN bằng
3
1
36
37
=− xkhi
Bài tập 3: a/ Tìm GTNN của các biểu thức sau:
)4)(3)(2)(1()(
+
+
+
+
=
xxxxxf
Đáp số: f(x) đạt GTNN bằng
2
55
1
2,1
±−
=− xkhi
b/ Giải phương trình trên khi f(x)=3
Đáp số: Phương trình có nghiệm
2
135
2,1
±−
=x
Bài 4: Cho phương trình
(
)
(
)
01381
222
=−++−++ xmmxmm
Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm GTLN và GTNN của biểu tổng
S=
21
xx +
Đáp số: S đạt GTLN bằng
1323
3413
3
132
−
−
=mkhi
S đạt GTNN bằng
1323
3413
3
132
+
+
−=− mkhi
Bài 5: Cho x và y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = 1
a/ Tìm GTNN của biểu thức:
22
3 yxM +=
Đáp số: M đạt GTNN bằng
4
1
;
4
1
4
1
== yxkhi
b/ Tìm GTLN của biểu thức: N = 2xy
Đáp số: N đạt GTLN bằng
2
1
;
6
1
6
1
== yxkhi
Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức
Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức
)(
)(
xG
xF
A =
. Biểu thức A đạt GTLN khi
F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN khi F(x) đạt GTNN và G(x) đạt GTLN.
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức:
10
6
35183
2
2
+
−
+−
=
x
x
xx
A
Giải
( )
13
5
3
106
5
3
106
35183
222
2
+−
+=
+−
+=
+−
+−
=
x
xxxx
xx
A
A đạt GTLN khi
(
)
13
2
+−x
đạt GTNN, mà
(
)
113
2
≥+−x
Vậy GTLN của
8
1
5
3 =+=A
khi
(
)
303
2
=⇔=− xx
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép chia để đưa biểu thức
về dạng A = M +
)(xf
N
(M, N là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTLN khi biểu thức f(x) đạt
GTNN.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức:
( )
0
12
2
≠
+
= x
x
x
A
Giải
Ta có thể viết:
(
)
1
111212
2
2
2
2
2
22
2
−
+
=
−+
=
−++
=
+
=
x
x
x
xx
x
xxx
x
x
A
Do đó:
101
1
1
2
−≥⇔≥+⇒
+
=+ AA
x
x
A
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1010
1
−=⇔=+⇔=
+
xx
x
x
Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x=-1
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép biến đổi để đưa biểu
thức về dạng A =
K
xg
xf
F +
2
)(
)(
(K là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTNN là K khi biểu
thức
)(
)(
xg
xf
=0.
2/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm GTLN của hàm số:
( )
0
1
)(
4
2
≠
+
= x
x
x
xf
Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng
1
2
1
±=xkhi
Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức
( )
2
2009+
=
x
x
M
đạt GTLN. Đáp số: M đạt GTLN bằng
2009
.
4
1
khi x=2009
Bài 3: Cho biểu thức:
( )
xxx
x
xx
xx
M
23
:
)2(1
20092
23
32
+−
−−
+−
=
a/ Rút gọn M Đáp số:
( )
0;2;1
20092
2
2
≠≠≠
+−
= xxx
x
xx
M
b/ Tìm GTNN của M. Đáp số: M đạt GTNN bằng
2009
2009
2008
=xkhi
Bài 4: Cho biểu thức:
)1(2
4123
:
23
3
232
++
−+−
+
−
=
xx
xxx
x
xx
N
a/ Rút gọn N . Đáp số:
−≠≠
+
=
3
2
;
3
1
4
2
xx
x
x
N
b/ Tìm GTNN và GTLN của N
Đáp số: N đạt GTNN bằng
2
4
1
−=− xkhi
Đáp số: N đạt GTLN bằng
2
4
1
=xkhi
Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện:
2
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+
c
b
a
Tìm GTLN của biểu thức abc:
Đáp số: abc đạt GTLN bằng
2
1
8
1
=== cbakhi
Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho biểu thức:
xxxf +−−= 12)(
. Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN.
Giải
Biểu thức f(x) có nghĩa khi:
21
01
02
≤≤−⇔
≥+
≥−
x
x
x
Trong điều kiện này ta có f(x)
0
≥
nên f(x)đạt GTLN khi và chỉ khi
(
)
[
]
2
xf
đạt GTLN.
Ta có:
( )
[
]
( )( )
2
2
22312212 xxxxxxxf −++=+−+++−=
2
2
2
1
4
9
23
4
1
4
9
23
−−+=++−+= xxx
Do đó
(
)
[
]
2
xf
đạt GTLN khi và chỉ khi
2
1
0
2
1
=⇔=− xx
Vậy khi
2
1
=x
thì GTLN của biểu thức
)(xf
=
6
2
1
1
2
1
2 =++−
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta cần xác điều kiện các biểu thức dưới dấu căn để cho căn thức có nghĩa, sau đó tìm điều
kiện để biểu thức
(
)
[
]
2
xf
đạt GTLN . Điều kiện đó cũng chính là điều kiện để biều thức f(x) đạt
GTLN.
Ví dụ 2: Cho biểu thức:
21
3
)(
−−
−
=
x
x
xf
. Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTNN.
Giải
Biểu thứ f(x) có nghĩa khi:
≠
≥
⇔
≠−−
≥−
3
1
021
01
x
x
x
x
Ta biến đổi:
21
21
)21)(21(
21
21
21
3
)( +−=
−
+−−−
=
−−
−−
=
−−
−
= x
x
xx
x
x
x
x
xf
Do đó:
21)( +−= xxf
nên
(
)
xf
đạt GTNN khi và chỉ khi
1−x
đạt GTNN mà
01 ≥−x
nên
1−x
đạt GTNN bằng 0 khi
1
=
x
Vậy f(x) đạt GTNN bằng
2
khi
1
=
x
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa và phân tích đa thức thành nhân tử sau đó rút
gọn biểu thức đã cho.
2/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho biểu thức:
( )
2
2
1
2
12
1
)1(2
1
x
x
xx
M
−
+
−
−
+
+
=
a/ Rút gon biểu thức M. Đáp số:
( )
1;0
1
1
2
≠≥
+
+
−= xx
x
x
M
b/ Tìm GTNN của M Đáp số: M đạt GTNN bằng -1 khi x=0
Bài 2: Cho biểu thức
( )
2
1
2
:
12
2
1
2
xxx
x
x
x
M
−
−
++
+
−
−
−
=
a/ Rút gọn biểu thức M. Đáp số: M=
(
)
1;0 ≠≥− xxxx
b/Tìm GTLN của M. Đáp số: M đạt GTLN bằng
4
1
4
1
=xkhi
Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức
12
1
+−
=
xx
M
Đáp số: M đạt GTLN bằng
16
1
7
8
=xkhi
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
2
13
1
x
M
−−
=
Đáp số: M đạt GTLN bằng
0
2
1
=xkhi
M đạt GTNN bằng
1
3
1
±=xkhi
Bài 5:Tìm GTNN của biểu thức:
( ) ( )
22
20092008 −+−= xxM
Đáp số: M đạt GTNN bằng1 khi
20092008
≤
≤
x
